圆锥曲线中斜率乘积问题为定值的问题

经典题突破方法---圆锥曲线中斜率乘积为定值的问题温县第一高级中学数学组任利民

问题1：平面上一动点

(,)

P x y

与两点

(2,0),(2,0)

A B

-

的连线的斜率之积是

3

4

-

，求

点P的轨迹方程

22

1(2)

43

x y

x

+=≠±

.

问题2：椭圆

22

1

43

x y

+=

上任一点P与两点

(2,0),(2,0)

A B

-

的连线的斜率之积是

123 4

k k=-

.

探究：（1）已知椭圆

22

22

1

x y

a b

+=

上两点

(,0),(,0)

A a

B a

-

,椭圆上任意异于A、B的点P

与A、B连线的斜率之积是

2

2 b

a -

.

（2）已知椭圆

22

22

1

x y

a b

+=

上两点(0,),(0,)

A b

B b

-,椭圆上任意异于A、B的点P与A、

B连线的斜率之积是

2

2 b

a -

.

（3）已知椭圆

22

22

1

x y

a b

+=

上两定点0000

(,),(,)

A x y

B x y

--

，椭圆上任意异于A、B

的点P与A、B连线的斜率之积是

2

2 b

a -

.

结论1.设 A、B是椭圆

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>

上关于原点对称的两点，点P是该椭圆

上不同于A，B的任一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则

2

122

b

k k

a

=-

．

探究：（3）设 A、B是双曲线

22

22

1(0)

x y

a b

a b

-=>>

上关于原点对称的两点，点P是该

双曲线上不同于A，B的任一点，直线PA,PB的斜率是k1,k2，猜想k1k2是否为定值？并给予证明．

结论2.设 A 、B 是双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>上关于原点对称的两点，点P 是该双曲线上不同于A ，B 的任一点，直线PA ，PB 的斜率分别为k1，k2，则

2

122

b k k a =． 应用拓展：

1.设椭圆的左、右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，若直线AP 与BP 的斜率之积为12

-，则椭圆的离心率为 .

解析：利用k AP ·k BP ＝22b a -

，可以得到2c e a ====.

2.椭圆C:22

143x y +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值

范围是[2,1]-- ，那么直线1PA 斜率的取值范围是

A. 13[,]24

B. 33[,]84

C. 1[,1]2

D. 3[,1]4

解析：因为122

2

34

PA PA b k k a ⋅=-=-，所以123

4PA PA k k -

= ,∵2

[2,1]PA k ∈--

∴133[,]84

PA k ∈,故选B.

3.如图2，在平面直角坐标系xOy 中，F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点，B 、C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D .若cos∠F 1BF 2＝7

25，则直线CD 的斜率

为 ．

解析：由已知可得21227cos cos 2cos 125F BF OBF ∠=∠-=

，所以24cos 5b OBF a

∠==，所以35c a =，又因为BD b

k c =-，且BD CD k k ⋅=2

2b a

-，

所以22CD b b k c a -⋅=-，即43125525

CD b c k a a =⋅=⋅=．

3.已知椭圆2

2:12

x C y +=，点125,,,M M M L 为其长轴AB 的6等分点，分别过这五点

作斜率为(0)k k ≠的一组平行线，交椭圆C 于点1210,,,P P P L ,则这10条直线

1AP ,210,,AP AP L 的斜率的乘积为132 .