圆锥曲线中斜率乘积问题为定值的问题
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经典题突破方法---圆锥曲线中斜率乘积为定值的问题温县第一高级中学数学组任利民
问题1：平面上一动点
(,)
P x y
与两点
(2,0),(2,0)
A B
-
的连线的斜率之积是
3
4
-
，求
点P的轨迹方程
22
1(2)
43
x y
x
+=≠±
.
问题2：椭圆
22
1
43
x y
+=
上任一点P与两点
(2,0),(2,0)
A B
-
的连线的斜率之积是
123 4
k k=-
.
探究：（1）已知椭圆
22
22
1
x y
a b
+=
上两点
(,0),(,0)
A a
B a
-
,椭圆上任意异于A、B的点P
与A、B连线的斜率之积是
2
2 b
a -
.
（2）已知椭圆
22
22
1
x y
a b
+=
上两点(0,),(0,)
A b
B b
-,椭圆上任意异于A、B的点P与A、
B连线的斜率之积是
2
2 b
a -
.
（3）已知椭圆
22
22
1
x y
a b
+=
上两定点0000
(,),(,)
A x y
B x y
--
，椭圆上任意异于A、B
的点P与A、B连线的斜率之积是
2
2 b
a -
.
结论1.设 A、B是椭圆
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>
上关于原点对称的两点，点P是该椭圆
上不同于A，B的任一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则
2
122
b
k k
a
=-
．
探究：（3）设 A、B是双曲线
22
22
1(0)
x y
a b
a b
-=>>
上关于原点对称的两点，点P是该
双曲线上不同于A，B的任一点，直线PA,PB的斜率是k1,k2，猜想k1k2是否为定值？并给予证明．
结论2.设 A 、B 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>上关于原点对称的两点，点P 是该双曲线上不同于A ，B 的任一点，直线PA ，PB 的斜率分别为k1，k2，则
2
122
b k k a =． 应用拓展：
1.设椭圆的左、右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，若直线AP 与BP 的斜率之积为12
-，则椭圆的离心率为 .
解析：利用k AP ·k BP ＝22b a -
，可以得到2c e a ====.
2.椭圆C:22
143x y +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值
范围是[2,1]-- ，那么直线1PA 斜率的取值范围是
A. 13[,]24
B. 33[,]84
C. 1[,1]2
D. 3[,1]4
解析：因为122
2
34
PA PA b k k a ⋅=-=-，所以123
4PA PA k k -
= ,∵2
[2,1]PA k ∈--
∴133[,]84
PA k ∈,故选B.
3.如图2，在平面直角坐标系xOy 中，F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点，B 、C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D .若cos∠F 1BF 2＝7
25，则直线CD 的斜率
为 ．
解析：由已知可得21227cos cos 2cos 125F BF OBF ∠=∠-=
，所以24cos 5b OBF a
∠==，所以35c a =，又因为BD b
k c =-，且BD CD k k ⋅=2
2b a
-，
所以22CD b b k c a -⋅=-，即43125525
CD b c k a a =⋅=⋅=．
3.已知椭圆2
2:12
x C y +=，点125,,,M M M L 为其长轴AB 的6等分点，分别过这五点
作斜率为(0)k k ≠的一组平行线，交椭圆C 于点1210,,,P P P L ,则这10条直线
1AP ,210,,AP AP L 的斜率的乘积为132 .