3曲线的交点和函数的零点(理)

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函数的零点与函数像的交点

函数的零点与函数像的交点

函数的零点与函数像的交点函数是数学中的重要概念,而函数的零点和函数像的交点是函数分析中常见的问题。

本文将从零点和像的交点的定义、性质以及应用等方面来探讨这个话题。

一、零点的概念与性质函数的零点指的是函数取零值的自变量的取值。

换句话说,函数在某个点上的函数值为零时,这个点就被称为函数的零点。

例如,对于函数 f(x),若存在 x0 使得 f(x0) = 0,则 x0 就是函数 f(x) 的零点。

函数的零点具有一些性质:1. 零点是函数图像与 x 轴的交点。

当函数在某个点上取零值时,图像必然与 x 轴相交。

2. 零点可能是单个点,也可能是多个点。

函数的零点可能有一个,也可能有多个。

二、像的交点的概念与性质函数像的交点指的是两个函数图像相交的点的横坐标。

也就是说,当两个函数图像在某个点上的纵坐标相等时,这个点的横坐标就是函数像的交点。

例如,对于函数 f1(x) 和函数 f2(x),若存在 x0 使得 f1(x0) = f2(x0),则 x0 就是函数像的交点。

像的交点也具有一些性质:1. 像的交点是两个函数图像在纵向对应的横坐标。

当两个函数图像在某个点上的纵坐标相等时,这个点的横坐标就是像的交点。

三、零点与像的交点的关系零点与像的交点可以有关联,也可以是两个不同的概念。

1. 零点与像的交点可能重合。

即一个点既是一个函数的零点,又是另一个函数的像的交点。

这种情况下,函数的零点与像的交点相互重合,可以通过求解函数的零点来得到函数像的交点。

2. 零点与像的交点也可能有差异。

即一个点是一个函数的零点,但不是另一个函数的像的交点,反之亦然。

这种情况下,函数的零点与像的交点具有差异,需要单独求解。

四、零点与像的交点的应用零点与像的交点在实际问题中有广泛的应用。

1. 方程求解:对于一个给定的函数 f(x),求解 f(x) = 0 的根(零点)可以转化为求解 f(x) 与 y = 0 的交点,从而得到方程的解。

2. 函数的性质分析:通过分析函数的零点和像的交点,可以获得函数的增减性、奇偶性以及极值等特性,进而更好地理解函数的行为。

高中数学常见题型解法归纳 函数的零点个数问题的求解方法

高中数学常见题型解法归纳 函数的零点个数问题的求解方法

高中数学常见题型解法归纳 函数的零点个数问题的求解方法【知识要点】一、方程的根与函数的零点(1)定义:对于函数()y f x =(x D ∈),把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =(x D ∈)的零点.函数的零点不是一个点的坐标,而是一个数,类似的有截距和极值点等.(2)函数零点的意义:函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根,亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标,即:方程f(x)=0有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.(3)零点存在性定理:如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线,并且有0)()(<⋅b f a f ,那么函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点,即存在(,c a b ∈)使得()0f c =,这个c 也就是方程的根.函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线,并且有0)()(<⋅b f a f 是函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点的一个充分不必要条件.零点存在性定理只能判断是否存在零点,但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定,一般通过数形结合解决. 二、二分法(1)二分法及步骤对于在区间[,]a b 上连续不断,且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法. (2)给定精确度ε,用二分法求函数的零点近似值的步骤如下: 第一步:确定区间[,]a b ,验证0)()(<⋅b f a f ,给定精确度ε. 第二步:求区间(,)a b 的中点1x .第三步:计算1()f x :①若1()f x =0,则1x 就是函数的零点;②若1()()0f a f x <,则令1b x = (此时零点01(,)x a x ∈)③若1()()0f x f b <,则令1a x =(此时零点01(,)x x b ∈)第四步:判断是否达到精确度ε即若a b ε-<,则得到零点值a 或b ,否则重复第二至第四步.三、一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布讨论一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布一般从以下个方面考虑列不等式组: (1)a 的符号; (2)对称轴2bx a=-的位置; (3)判别式的符号; (4)根分布的区间端点的函数值的符号.四、精确度为0.1指的是零点所在区间的长度小于0.1,其中的任意一个值都可以取;精确到0.1指的是零点保留小数点后一位数字,要看小数点后两位,四舍五入. 五、方法总结函数零点问题的处理常用的方法有:(1) 方程法;(2)图像法;(3)方程+图像法. 【方法点评】方法一 方程法使用情景 方程可以直接解出来. 解题步骤 先解方程,再求解.【例1 】已知函数2()32(1)(2)f x x a x a a 区间(1,1)-内有零点,求实数a 的取值范围.【点评】(1)本题如果用其它方法比较复杂,用这种方法就比较简洁.关键是能发现方程能直接解出来.(2)对于含有参数的函数要尝试因式分解,如果不好因式分解,再考虑其它方法.【反馈检测1】函数2()(1)cos f x x x =-在区间[0,4]上的零点个数是( ) A .4 B .5 C .6 D . 7方法二 图像法使用情景 一些简单的初等函数或单调性容易求出,比较容易画出函数的图像.解题步骤先求函数的单调性,再画图分析.【例2】(2017全国高考新课标I 理科数学)已知函数2()(2)xx f x ae a e x =+--.(1)讨论()f x 的单调性;(2)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围.(2) ①若0,a ≤由(1)知()f x 至多有一个零点.②若0a >,由(1)知当ln x a =-时,()f x 取得最小值,1(ln )1ln f a a a-=-+. (i )当1a =时,(ln )f a -=0,故()f x 只有一个零点. (ii )当(1,)a ∈+∞时,由于11ln a a-+>0,即(ln )0f a ->,故()f x 没有零点. (iii )当0,1a ∈()时,11ln 0a a-+<,即(ln )0f a -<. 422(2)(2)2220,f ae a e e ----=+-+>-+>故()f x 在(,ln )a -∞-只有一个零点.00000000003ln(1),()(2)203ln(1)ln ,()n n n n n n f n e ae a n e n n aa f x a>-=+-->->->->-∞设正整数满足则由于因此在(-lna,+)有一个零点.综上所述,a 的取值范围为(0,1).【点评】(1)本题第2问根据函数的零点个数求参数的范围,用的就是图像法. 由于第1问已经求出了函数的单调性,所以第2问可以直接利用第1问的单调性作图分析. (2) 当0,1a ∈()时,要先判断(,ln )a -∞的零点的个数,此时考查了函数的零点定理,(ln )0f a -<,还必须在该区间找一个函数值为正的值,它就是422(2)(2)2220,f aea e e ----=+-+>-+>要说明(2)0f ->,这里利用了放缩法,丢掉了42ae ae --+.(3) 当0,1a ∈()时,要判断(ln ,)a -+∞上的零点个数,也是在考查函数的零点定理,还要在该区间找一个函数值为正的值,它就是03ln(1)n a>-,再放缩证明0()f n >0. (4)由此题可以看出零点定理在高考中的重要性.【例3】已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点. (Ⅰ)求a ;(Ⅱ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅲ)若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点,求b 的取值范围.(Ⅲ)由(Ⅱ)知,()f x 在()1,1-内单调增加,在()1,3内单调减少,在()3,+∞上单调增加,且当1x =或3x =时,()'0f x =所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-,极小值为()332ln 221f =- 因此()()21616101616ln 291f f =-⨯>-=()()213211213f e f --<-+=-<所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点,当且仅当()()31f b f <<,因此,b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--【点评】本题第(3)问,由于函数()f x 中没有参数,所以可以直接画图数形结合分析解答.【反馈检测2】已知函数2()1x e f x ax=+,其中a 为实数,常数 2.718e =.(1) 若1 3x=是函数()f x的一个极值点,求a的值;(2) 当4a=-时,求函数()f x的单调区间;(3) 当a取正实数时,若存在实数m,使得关于x的方程()f x m=有三个实数根,求a的取值范围.方法三方程+图像法使用情景函数比较复杂,不容易求函数的单调性.解题步骤先令()0f x=,重新构造方程()()g x h x=,再画函数(),()y g x y h x==的图像分析解答.【例4】函数()lg cosf x x x=-的零点有()A.4 个 B.3 个 C.2个 D.1个【点评】调性不是很方便,所以先令()lg cos0f x x x=-=,可化为lg cosx x=,再在同一直角坐标系下画出lgy x=和cosy x=的图像分析解答.(2)方程+图像是零点问题中最难的一种,大家注意理解掌握和灵活应用.【反馈检测3】设函数()()()221ln,1,02f x x m xg x x m x m=-=-+>.(1)求函数()f x的单调区间;(2)当1m≥时,讨论函数()f x与()g x图象的交点个数.422510152025oy=cosxy=lgxyx参考答案【反馈检测1答案】C【反馈检测2答案】(1)95a =;(2)()f x 的单调增区间是51(1)2-,15(,12+; ()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-,15(,12-,5(1)++∞;(3)a 的取值范围是(1,)+∞. 【反馈检测2详细解析】(1)222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+ 因为13x =是函数()f x 的一个极值点,所以1()03f '=,即12910,935a a a -+==. 而当95a =时,229591521(2)()()59533ax ax x x x x -+=-+=--,可验证:13x =是函数()f x 的一个极值点.因此95a =.(2) 当4a =-时,222(481)()(14)xx x e f x x -++'=-令()0f x '=得24810x x -++=,解得51x =,而12x ≠±.所以当x 变化时,()f x '、()f x 的变化是x1(,)2-∞-15(,1)22-- 512-51(1,)22-15(,1)22+ 512+5(1,)2++∞ ()f x '--++-()f x极小值极大值因此()f x 的单调增区间是51(1,)22-,15(,1)22+;()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-,15(,1)2--,5(1,)++∞; 【反馈检测3答案】(1)单调递增区间是),m +∞, 单调递减区间是(m ;(2)1.【反馈检测3详细解析】(1)函数()f x 的定义域为()()(0,,'x m x m f x x+∞=.当0x m <<()'0f x <,函数()f x 单调递减,当x m >时,()'0f x >函数()f x 单调递增,综上,函数()f x 的单调递增区间是),m +∞, 单调递减区间是(m .(2)令()()()()211ln ,02F x f x g x x m x m x x =-=-++->,问题等价于求函数()F x 的零点个数,()()()1'x x m F x x--=-,当1m =时,()'0F x ≤,函数()F x 为减函数,F x有唯一零点,即两函数图象总有一个交点.综上,函数()。

函数零点存在定理

函数零点存在定理

函数零点存在定理一、函数零点的概念对于函数)(xfy=,我们把使xf=)(的实数x叫做函数)(xfy=的零点。

从几何角度来看,函数的零点就是函数图像与x轴交点的横坐标。

换句话说,函数的零点就是方程f(x)=0的实数解。

二、函数零点的性质函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根。

因此,求解函数的零点等价于求解对应的方程。

三、函数零点存在定理如果函数)(xfy=在区间[a,b]上的图像是连续不间断的一条曲线,并且有0bfaf)<()(∙,那么,函数)(xfy=在区间(a,b)内有零点推论(函数零点的唯一性)如果函数)(xfy=在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,在区间[a,b]上具有单调性,且bfaf)<()(∙,那么函数)(xfy=在区间[a,b]上有唯一零点四、定理的证明思路为了证明这个定理,我们可以采用反证法结合连续函数的性质进行证明。

这里简要说明证明思路:假设:假设在开区间(a,b)内不存在零点,即对于所有x∈(a,b),都有f(x)≠0。

分类讨论:若f(x)在(a,b)内恒大于0或恒小于0,则与f(a)f(b)<0矛盾。

若f(x)在(a,b)内既有大于0的部分也有小于0的部分,则根据连续函数的介值性,存在某个点c∈(a,b)使得f(c)=0,与假设矛盾。

结论:因此,假设不成立,原命题得证。

五、零点个数的判断1、零点个数的定义对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x的个数即为该函数的零点个数。

从图象上看,函数的零点个数就是y=f(x)的图象与x轴交点的个数。

2、零点个数判断的主要方法(1)代数法解方程:最直接的方法是解方程f(x)=0。

如果方程可以求解,那么其解的个数即为函数的零点个数。

这种方法适用于能够直接求解的方程,如一元二次方程、一元一次方程等。

因式分解:对于多项式函数,可以通过因式分解将函数化为几个因式的乘积形式,然后令每个因式等于零,解得的解即为函数的零点。

函数的零点

函数的零点

函数与方程1.函数的零点 (1)定义:对于函数y =f (x )(x ∈D ),把使f (x )=0成立的实数x 叫做函数y =f (x )(x ∈D )的零点. (2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x 轴交点间的关系:方程f (x )=0有实数根⇔函数y =f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y =f (x )有零点. (3)函数零点的判定(零点存在性定理):如果函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f (a )·f (b )<0,那么,函数y =f (x )在区间(a ,b )内有零点,即存在c ∈(a ,b ),使得f (c )=0,这个c 也就是方程f (x )=0的根.2.二分法对于在区间[a ,b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y =f (x ),通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.回顾训练1.下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是( )2.若函数f (x )=ax +b 有一个零点是2,那么函数g (x )=bx 2-ax 的零点是( ) A .0,2 B .0,12C .0,-12D .2,-123.根据表格中的数据,可以判定方程e x -x -2=0的一个根所在的区间为( )A.(-1,0) C .(1,2)D .(2,3)4.用二分法求函数y =f (x )在区间(2,4)上的近似解,验证f (2)·f (4)<0,给定精确度ε=0.01,取区间(2,4)的中点x 1=2+42=3,计算得f (2)·f (x 1)<0,则此时零点x 0∈________(填区间).5.已知函数f (x )=x 2+x +a 在区间(0,1)上有零点,则实数a 的取值范围是________.确定函数零点所在的区间[例1]设f (x )=e x +x -4,则函数f (x )的零点位于区间( ) A .(-1,0) B .(0,1) C .(1,2)D .(2,3)针对训练1.设函数y =x 3与y =⎝⎛⎭⎫12x -2的图象交点为(x 0,y 0),则x 0所在的区间是( ) A .(0,1) B .(1,2) C .(2,3)D .(3,4)判断函数零点个数[例2] (2012·北京高考)函数f (x )=x 12-⎝⎛⎭⎫12x 的零点的个数为( )A .0B .1C .2D .3针对训练2.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,x ≤0,log 2x ,x >0,则函数y =f (f (x ))+1的零点个数是( )A .4B .3C .2D .1[判断函数零点个数的常用方法(1)解方程法:令f (x )=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理法:利用定理不仅要判断函数在区间[a ,b ]上是连续不断的曲线,且f (a )·f (b )<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的个数,就是函数零点的个数.函数零点的应用[例3] 已知函数f (x )=e x -x +a 有零点,则a 的取值范围是________.针对训练3、 如图所示为f (x )=x 3+bx 2+cx +d 的图象,则x 21+x 22的值是( )A.23 B.43 C.83D.169巩固训练1.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x -1,x ≤1,1+log 2x ,x >1,则函数f (x )的零点为( )A.12,0 B .-2,0 C.12D .02.设f (x )=x 3+bx +c 是[-1,1]上的增函数,且f ⎝⎛⎭⎫-12·f ⎝⎛⎭⎫12<0,则方程f (x )=0在[-1,1]内( )A .可能有3个实数根B .可能有2个实数根C .有唯一的实数根D .没有实数根3.已知函数f (x )的图象是连续不断的,x 、f (x )的对应关系如下表:A .区间[1,2]和[2,3]B .区间[2,3]和[3,4]C .区间[2,3]、[3,4]和[4,5]D .区间[3,4]、[4,5]和[5,6]4.函数f (x )=2x -2x -a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数a 的取值范围是( )A .(1,3)B .(1,2)C .(0,3)D .(0,2)解析:选C 由条件可知f (1)f (2)<0,即(2-2-a )(4-1-a )<0,即a (a -3)<0,解之得0<a <3.5.用二分法研究函数f (x )=x 3+3x -1的零点时,第一次经计算f (0)<0,f (0.5)>0可得其中一个零点x0∈______,第二次应计算________.6.若函数f(x)=a x-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是________.7.已知函数f(x)=x2+(1-k)x-k的一个零点在(2,3)内,则实数k的取值范围是________.8.关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0,2]上有解,求实数m的取值范围.。

考点34 零点定理(解析版)

考点34 零点定理(解析版)

考点34 零点定理一.函数的零点(1)零点的定义:对于函数y =f (x ),我们把使f (x )=0的,实数x 叫做函数y =f (x )的零点. 函数的零点不是函数y=f(x)与x 轴的交点,而是y=f(x)与x 轴交点的横坐标,也就是说函数的零点不是一个点,而是一个实数(2)零点的几个等价关系:方程f (x )=0有实数根⇔函数y =f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y =f (x )有零点. 二.函数的零点存在性定理1.如果函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f (a )f (b )<0,那么,函数y =f (x )在区间(a ,b )内有零点,即存在c ⇔(a ,b ),使得f (c )=0,这个c 也就是方程f (x )=0的根.2.函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件考向一 求零点【例1】(2021·全国课时练习)函数()ln f x x x =的零点为( ) A .0或1 B .1C .()1,0D .()0,0或(()1,0【答案】B【解析】函数()ln f x x x =的定义域为()0,∞+,令()ln 0f x x x ==,得1x =,零点不是点,CD 错误,故选:B.知识理解考向分析【举一反三】1.(2021·上海市西南位育中学=)函数256y x x =-+的零点是___________. 【答案】2x =和3x =【解析】令y =0,即2560x x -+=,解得:2x =和3x =故答案为:2x =和3x =2.(2020·巴彦淖尔市临河区第三中学高三月考(理))函数256y x x =--的零点是__________. 【答案】6或-1【解析】解方程()()260561x x x x --=+=-得6x =或1x =-.所以函数256y x x =--的零点是6或-1.故答案为:6或-1.考向二 零点区间【例2】(2021·四川高一开学考试)函数()123xf x e x =+-的零点所在区间为( ) A .()1,0- B .()0,1 C .()1,2D .()2,3【答案】B【解析】由于函数xy e =、123y x =-均为R 上的增函数,所以,函数()f x 为R 上的增函数, 因为()010f =-<,()11203f e =+->,则()()010f f ⋅<.因此,函数()123xf x e x =+-的零点所在区间为()0,1.故选:B. 【举一反三】1.(2021·安徽省泗县第一中学)函数()123log 4xf x x =-++的零点所在的区间为( )A .()2,3B .()3,4C .()1,2D .()0,1【答案】C【解析】易知函数()123log 4xf x x =-++在()0,∞+上为减函数, ()110f =>,()260f =-<,则()()120f f ⋅<,因此,函数()f x 的零点所在的区间为()1,2.故选:C. 2.(2021·浙江开学考试)函数()26log f x x x=-的零点所在区间是( ) A .()0,1 B .()1,2C .()2,3D .()3,4【答案】D【解析】由题意,函数()26log f x x x=-,可函数()f x 为定义域上的单调递减函数, 又由()()22332log 30,4log 402f f =->=-<,即()()340f f ⋅<,根据零点的存在性定理,可得函数()f x 的零点所在的区间是()3,4.故选:D. 3.(2021·内蒙古包头市)函数()3xf x x e =+的零点所在区间为( )A .()2,1--B .()1,0-C .()0,1D .()1,2【答案】B【解析】函数()3xf x x e =+为R 上的增函数,且()2260f e--=-+<,()1130f e --=-+<,()010f =>,()()100f f ∴-⋅<,因此,函数()3x f x x e =+的零点所在区间为()1,0-.故选:B.考向三 零点的个数【例3】(2021·云南高三其他模拟)函数()13sin f x x =-在52,6ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的零点个数为( ) A .2 B .3C .4D .5【答案】B【解析】由()0f x =,得1sin 3x =,作出函数sin y x =在52,6ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的图象如图所示,因为511sin623π=>, 所以由图可知直线13y =与图象有3个交点,从而()f x 在52,6ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有3个零点.故选:B【例3-2】(202112log x =的解的个数为( )A .0B .1C .2D .3【答案】B【解析】在同一坐标系内,作出y =12log y x =的图象,如图:由图象可知,方程只有一个解.故选:B 【举一反三】1.(2021·云南昆明市)已知()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则()f x 在[0,]π上的零点个数为( ) A .0 B .1C .2D .3【答案】C 【解析】由23x k ππ+=得,26k x k Z ππ=-∈, 又[0,]x π∈,∴3x π=或56π,共2个.故选:C . 2.(2021·云南丽江市·丽江第一高级中学)函数21log 2xy x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数是( ) A .0 B .1C .2D .3【答案】C【解析】由21|log |02x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,得21log 2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 作出函数2log y x =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图形如图,由图可知,函数21log 2xy x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数是2.故选:C .3(2021·江西吉安市)函数21()ln 20202f x x x =+-的零点个数是( ) A .3 B .2C .1D .0【答案】C【解析】函数21()ln 20202f x x x =+-的定义域为()0,∞+, 因为函数21ln 20,022y y x x ==-在()0,∞+上递增, 所以()f x 在()0,∞+上递增, 又1(1)20200,(2020)10092020ln 202002f f =-<=⨯+>, 由零点存在定理得:函数21()ln 20202f x x x =+-的零点个数是1个数,故选:C 4.(2021·北京高三期末)已知函数()2,0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩,则函数()2xy f x =-的零点个数是( )A .0B .1C .2D .3【答案】C【解析】令()20xf x -=,得()2xf x =,则函数()2xy f x =-的零点个数等价于函数()f x 与函数2xy =的图象的交点个数,2,021,02x x x x y x ⎧≥⎪==⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩,作出函数()f x 与函数2xy =的图象如下图所示:由图象可知,两个函数图象的交点个数为2,故函数()2xy f x =-的零点个数为2.故选:C.1.(2021·陕西西安市·高三月考(文))函数21()12x f x x =--的零点的个数是( ) A .1 B .2C .3D .4【答案】B 【解析】21()012x f x x =-=-,2210x x --=,1x =1x =()0f x =的解,()f x 有两个零点.故选:B .2.(2021·湖北开学考试)函数()lg(1)3f x x x =+--零点所在的整区间是( ) A .(0,1) B .(1,2)C .(2,3)D .(3,4)【答案】C【解析】因为函数()f x 为单调递增函数,且()210f =-<,()3lg20f => 所以零点所在的区间是()2,3,故选:C .强化练习3.(2021·四川资阳市)方程24x x +=的根所在的区间为( ) A .()0,1 B .()1,2 C .()2,3 D .()3,4【答案】B【解析】构造函数()24xf x x =+-,则函数()f x 为R 上的增函数,()110f =-<,()220f =>,则()()120f f ⋅<,因此,方程24x x +=24x x +=的根所在的区间为()1,2.故选:B.4.(2020·全国课时练习)函数()()ln 11f x x x =+-+在下列区间内一定有零点的是( ) A .[]0,1 B .[]1,2 C .[]2,3 D .[]3,4【答案】C【解析】因为函数()()ln 11f x x x =+-+连续,且()()22ln31ln 10,3ln 42ln 20f e f e =->-==-<-=,所以在区间[]2,3内一定有零点,故选:C5.(2021·广西河池市=)函数()2ln 1xf x x =+-的零点所在的区间为( ).A .31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B .3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C .10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D .1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】函数()2ln 1xf x x =+-为()0,∞+上的增函数,由()110f =>,131111ln 21ln 21ln 2ln 0222222f ⎛⎫=-<--=-<-=-= ⎪⎝⎭,可得函数()f x 的零点所在的区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.故选:D.6.(2021·全国高三开学考试(文))已知函数()()1,02ln ,0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨⎪-<⎩,则函数()()y f f x =的零点个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4【答案】 C【解析】令()f x t =,当()0f t =时,解得12t =或1t =-. 在同一直角坐标系中分别作出()y f x =,1y =-,12y =的图象如图所示,观察可知,()y f x =与1y =-有1个交点,()y f x =与12y =有2个交点,则()()y f f x =的零点个数为3. 故选:C.7.(2021·北京丰台区)已知函数()22,0,11,0,x x x f x x x⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩则()f x 的零点个数为( )A .0B .1C .2D .3【答案】C【解析】()22,0,11,0,x x x f x x x⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩,令()0f x =,当0x ≤时,220x x -=,解得:0x =或2x =(舍去); 当0x >时,110x-=,解得:1x = 所以()0f x =有2个实数解,即函数()f x 的零点个数为2个.故选:C. 8.(2021·山西吕梁市)函数()1542xf x x =+-的零点[]01,x a a ∈-,*a ∈N ,则a =( ) A .1 B .2C .3D .4【答案】C【解析】已知()115042=+-<f ,()124502=+-<f ;()338504=+->f ,所以()2(3)0⋅<f f ,可知函数零点所在区间为[]2,3,故3a =.故选:C.9.(2021·安徽高三期末(文))设函数3()sin log f x x x =-,0.5()3log xg x x =-,0.5()sin log h x x x=-的零点分别为a ,b ,c ,则( ) A .a c b >> B .c b a >> C .c a b >>D .a b c >>【答案】A【解析】设函数1()sin f x x =,23()log f x x =,30.5()log f x x =,4()3xf x =,则a 是1()f x 与2()f x 图象交点的横坐标,b 是3()f x 与4()f x 图象交点的横坐标,c 是1()f x 与3()f x 图象交点的横坐标.在同一坐标系中,作出1()f x ,2()f x ,3()f x ,4()f x 的图象,如图所示.由图可知a c b >>. 故选:A10.(2021·山东威海市·高三期末)若关于x 的方程2lnx ax x -=在0,上有两个不等的实数根,则实数a 的取值范围为( ) A .(],1-∞- B .(),1-∞- C .[)1,-+∞ D .()1,-+∞【答案】B【解析】2lnx ax x -=故ln xa x x=- 则()ln x f x xx=-()2'221ln 1ln 1x x x f x x x---=-= 设()21ln g x x x =--,0x >故()'120g x x x=--< ()21ln g x x x =--在0,上为减函数,10g .故()0,1∈x 时()'0f x >;()1,∈+∞x 时()'0f x <.故()ln x f x xx=-在0,1上为增函数,在1,上为减函数.()()max 11f x f ==-,且0,x →时()f x →-∞;,x →+∞时()f x →-∞y a =与()ln x f x x x=-的图象要有两个交点则a 的取值范围为(),1-∞-. 故选:B11.(2021·兴义市第二高级中学高三期末(文))已知函数()39xf x x =+-的零点为0x ,则0x 所在区间为( ) A .31,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B .11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C .13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】()39x f x x =+-在R 上单调递增,323315390222f ⎛⎫=+-=< ⎪⎝⎭,525513390222f ⎛⎫=+-=> ⎪⎝⎭,∴由零点存在性定理可得()f x 在35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦有唯一零点,035,22x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦.故选:D.12.(2021·广西南宁市·南宁三中高三开学考试(理))已知函数()241,11,12x x x x f x x ⎧---<-⎪=⎨⎛⎫≥-⎪ ⎪⎝⎭⎩若关于x 方程()f x m =恰有三个不同的实数解,则实数m 的取值范围是( ) A .()0,3 B .[)2,3C .10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D .1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】根据函数()241,11,12x x x x f x x ⎧---<-⎪=⎨⎛⎫≥-⎪ ⎪⎝⎭⎩,作出函数图象,如图.方程()f x m =恰有三个不同的实数解,即函数()f x 的图象与y m =的图象有三个交点 如图,()112f -=, 当112m ≤<时,函数()f x 的图象与y m =的图象有三个交点 故选:D13.(2020·重庆市凤鸣山中学高三月考)函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在的大致区间是( ) A .()3,4 B .()2,eC .()1,2D .()0,1【答案】C【解析】因为()21ln 201f =-<,()22ln 302f =->,且函数f (x )在(0,+∞)上单调递增,所以函数的零点所在区间为(1,2).故选:C14.(2021·兴宁市第一中学高三期末)若00cos x x =,则( ) A .0,32x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭B .0,43x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭C .0,64x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭ D .00,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】设函数()cos f x x x =-,则()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,又()010,0,066442f f f ππππ⎛⎫⎛⎫=-<=<=->⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 10,033222f f ππππ⎛⎫⎛⎫=->=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以有064f f ππ⎛⎫⎛⎫⋅<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()00,0,064332f f f f f f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅>⋅>⋅> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以由零点存在性定理可知函数()f x 的一个零点位于,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 故选:C15.(2021·上海)已知函数1()1f x a x =-+有两个零点,则实数a 的取值范围是___________. 【答案】01a <<【解析】画出函数11y x =+的图象如下:函数1()1f x a x =-+有两个零点等价于函数11y x =+的图象与直线y a =有两个交点 所以01a <<故答案为:01a <<16.(2021·全国=课时练习)函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩零点的个数为___________.【答案】2【解析】当0x ≤时,令()0f x =,即2230x x +-=,解得3x =-或1x =(舍去); 当0x >时,令()0f x =,即2ln 0x -+=,解得2x e =, 所以函数()f x 有两个零点. 故答案为:2.17.(2021·贵州毕节市)函数()23,0ln ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩的零点个数是________.【答案】2【解析】当0x ≤时,由230x -=解得x = 当0x >时,由ln 0x =解得1x =,所以函数()23,0ln ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩的零点个数是2故答案为:218.(2020·云南师大附中高三月考(文))函数()ln f x x =的零点个数为__________. 【答案】2【解析】令ln ||0x =,当且仅当1x =±,所以()ln ||f x x =有两个零点.故答案为:2.。

专题02函数3函数的零点(3大重难点详细讲解)2024高考数学重难点及压轴题突破(原卷版)

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第03讲 函数的零点难点1:零点的定义——求函数零点或方程根的个数考试时我们经常会遇到求函数的零点个数问题,这种题常作为选择的压轴题出现,因其具有很强的综合性,常常与函数奇偶性,单调性,周期性等性质结合起来,并与各种函数以及导数和在一起考查,学生往往很难搞明白零点的位置,造成丢分。

求函数零点或方程的根的个数问题的步骤:(1)将问题转化为求两个函数交点的问题;(2)分析两个函数的性质,并做出函数图象;(3)找到两个函数的交点,即为所求。

【例题】(宁夏吴忠市吴忠中学2024届高三上学期开学第一次月考数学(理)试题)已知()f x 是定义在R 上的奇函数,满足(1)()f x f x +=-,当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()91x f x =-,则()()2(1)h x x x f =--在区间[]20212023-,上所有零点个数为____________.【答案】4044【解析】由题意, 我们根据题目条件知道,函数是奇函数得出()()f x f x -=-,而且满足(1)()f x f x +=-,便可以得出函数的对称轴,我们用1x +替换原来的x ,与(1)()f x f x +=-与结合,即可得出(2)()f x f x +=,进而得到函数的周期。

∵()f x 是定义在R 上的奇函数,∴()()f x f x -=-,∵(1)()f x f x +=-,12x =是其中一条对称轴, ∴(2)(1)()f x f x f x +=-+=,∴()f x 的周期是2 ,在()(1)()2h x x f x =--中,化简函数,将函数的零点问题转化成求函数()y f x =与函数21y x 的交点的问题,当()(1)()20h x x f x =--=时,()21f x x =-, ∴求函数零点, 即为求()y f x =与21y x 的交点的横坐标, 作出函数图象,根据图象得出,在一个周期上,两个函数有2个交点,进而可以求出在区间[]20212023-,上所有交点个数,即可知道在区间[]20212023-,上函数()()2(1)h x x x f =--所有零点个数.作出()y f x =与21yx 图象如图所示,由图知:∴交点关于(1,0)对称,每个周期有2个交点∴[2021,1)-有1011个周期, (1,2023]有1011个周期, ∴在区间[]20212023-,上所有零点个数为:1011224044⨯⨯=, 故答案为:4044.【变式训练】(2023 ·福建泉州·统考模拟预测)(多选)设函数2()ln ()f x x x a =--,则下列判断正确的是A. ()f x 存在两个极值点B. 当73a >时,()f x 存在两个零点 C. 当1a ≤时,()f x 存在一个零点D. 若()f x 有两个零点12,x x ,则122x x a +>难点2:零点存在性定理零点存在定理:设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续,且()()0f a f b ⋅<,则()f x 在开区间(,)a b 上存在零点。

数学中的函数零点与函数最值问题

数学中的函数零点与函数最值问题

数学中的函数零点与函数最值问题数学中的函数零点与函数最值问题是数学分析中的重要概念和应用。

在这篇文章中,我们将讨论函数零点和函数最值的定义、性质以及在实际问题中的应用。

一、函数零点的定义和性质1. 函数零点的定义在数学中,函数零点是指函数取值为零的点,即满足f(x) = 0的x 值。

记作x0 = 0,其中f(x)表示函数。

2. 函数零点的性质(1)函数零点存在性:对于连续函数来说,如果f(a)和f(b)异号(f(a)·f(b)<0),那么在(a,b)之间必然存在一个零点x0。

(2)函数零点的唯一性:对于严格单调函数来说,它只有一个零点。

但对于非单调函数来说,它可能有多个零点。

(3)函数零点的计算方法:求解函数零点可以通过图像法、解析法以及迭代法等方法。

其中,图像法通过绘制函数图像来确定零点的位置;解析法通过代数运算来推导零点的表达式;迭代法通过不断逼近函数零点的值。

二、函数最值的定义和性质1. 函数最值的定义函数的最值是指函数在定义域上取得的最大值和最小值。

最大值称为函数的极大值,最小值称为函数的极小值。

2. 函数最值的性质(1)最值的存在性:对于连续函数来说,在闭区间[a,b]上必然存在最大值和最小值。

但对于非连续函数来说,最值的存在性需要进一步判断。

(2)最值的唯一性:对于连续函数来说,最大值和最小值是唯一的。

但对于非连续函数来说,最值可能不唯一。

(3)最值的计算方法:求解最值可以通过求导数的方法来找出函数的驻点,进而判断最值所在的位置;也可以通过函数图像来观察最值的位置。

三、函数零点与函数最值问题的应用函数零点与函数最值问题在数学和实际应用中有着广泛的应用。

1. 函数零点的应用(1)方程求解:将方程转化为函数的形式,通过求解函数的零点来解方程。

(2)根据函数图像判断方程解:通过观察函数图像,可以判断方程在不同区间上有多少个解。

(3)曲线的与坐标轴的交点:曲线与x轴和y轴的交点即为函数的零点。

函数的零点

函数的零点

1 3 f(x)=ex-1 的零点为 x=0,f(x)=ln(x-2)的零点为 x=2,现在我们来估 1 算 g(x)=4x+2x-2 的零点,因为 g(0)=-1,g(2)=1,所以 g(x)的零点 1 x∈(0,2),又函数 f(x)的零点与 g(x)=4x+2x-2 的零点之差的绝对值不 超过 0.25,只有 f(x)=4x-1 的零点适合,故选 A.
则a的范围为________. 解析:由题意f(1)f(0)<0,∴a(2+a)<0,∴-2<a<0.
答案:(-2,0)
5.(2012届温州八校联考)关于x的方程9-|x-2|-4·3-|x-
2|-a=0有实根的充要条件是(
)
A.a≥-4 C.a<0
B.-4≤a<0 D.-3≤a<0
解析:令t=3-|x- 2|∈(0,1],∴t2-4t-a=0在(0,1]内有 根,∴a=t2-4t t∈(0,1],∴a∈[-3,0). 答案:D
[解析] 令 f(x)=log2(x+1)-1=0,得函数 f(x)的零点为 x=1,于是抛 1 物线 x=ay2 的焦点的坐标是(1,0),因为 x=ay2 可化为 y2=ax,所以
1>0 a 1 4a=1
[答案] 1 4
1 ,解得 a=4.
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)
解析:∵f′(x)=ex+1>0,∴f(x)=ex+x-2在R上是增函数.
而f(-2)=e-2-4<0,f(-1)=e-1-3<0,f(0)=-1<0,f(1)= e-1>0,f(2)=e2>0,∴f(0)·f(1)<0.故(0,1)为函数f(x)的零点所在 的一个区间. 答案:C
2.方程2-x+x2=3的实数解的个数为( A.2 B.3 C.1

函数和导数_曲线的交点及函数的零点

函数和导数_曲线的交点及函数的零点

第一讲 函数与导数—曲线的交点和函数的零点第三课时用导数探讨函数图象的交点或方程的根的个数曲线的交点和函数的零点的个数常常与函数的单调性与极值有关,解题时,还需要用图象帮助思考,而求函数的单调性与极值以及画函数的图象的有力工具就是导数.【例1】(2008江西卷, 文)已知函数()()4322411 043f x x ax a x a a =+-+> (Ⅰ)求函数()y f x =的单调区间;(Ⅱ)若函数()y f x =的图象与直线1y =恰有两个交点,求a 的取值范围. 【分析及解】(Ⅰ)令()()()322220f x x x a x x x a x a '=+-=+-=,得12320x a x x a =-==,,.在0a >的已知条件下,()f x '及()f x 随x 的变化情况列表如下:x() 2a -∞-,2a - ()2 0a -, 0 ()0a ,a() a +∞,()f x '-+-+()f x减极小值增极大值增极小值减所以()f x 的递增区间为()2 0a -,与()a,+∞,()f x 的递减区间为()2,a -∞-与()0a ,.(Ⅱ)要研究函数()y f x =的图象与直线1y =的交点的情况,就要考虑函数()y f x =的极大值和极小值相对于1y =的位置.由(Ⅰ)得到()()4523fx f a a =-=-极小值,()()4712f x f a a ==极小值,()4f x f =极大值,由图可知,要使()f x 的图象与直线1y =恰有两个交点,只需 (1) 两个极小值一个大于1且另一个小于1,即44571312a a -<<;(2) 极大值小于1,即41a <,即a >01a <<. 【例2】(2008四川 卷,理)已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点.(Ⅰ)求a ;(Ⅱ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅲ)若直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点,求b 的取值范围. 【分析及解】(Ⅰ)因为()2101af x x x'=+-+, 所以(3)61004af '=+-=.因此16a =. 当16a =时, ()()()224323116()210111x x x x f x x x x x -+--'=+-==+++, 由此可知,当()1,3x ∈时, ()f x 单调递减,当()3,x ∈+∞时, ()f x 单调递增,所以, 当16a =时, 3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点. 于是, 16a =.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,2()16ln(1)10f x x x x =++-,(1)x ∈-+∞,,()()231()1x x f x x --'=+.当(11)(3)x ∈-+∞,,时,()0f x '>,当(13)x ∈,时,()0f x '<, 所以()f x 的单调增区间是(11)(3)-+∞,,,,()f x 的单调减区间是(13),. (Ⅲ)y b =与()y f x =的图象有3个交点;等价于()f x b =有3个实数根;即()0f x b -=有3个实数根;此时,函数()f x b -的图象与x 轴有3个不同交点,令()()()216ln 110x f x b x x x b ϕ=-=++--,则()()()2131621011x x x x x xϕ--'=+-=++()1x >-, 令()0x ϕ'=,解得1x =或3x =,()x ϕ',()x ϕ随x 的变化情况列表如下:的⎧⎨⎩【例3】(2008陕西卷文)设函数3222()1,()21,f x x ax a x g x ax x =+-+=-+其中实数0a ≠.(Ⅰ)若0a >,求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)当函数()y f x =与()y g x =的图象只有一个公共点且()g x 存在最小值时,记()g x 的最小值为()h a ,求()h a 的值域;(Ⅲ)若()f x 与()g x 在区间(,2)a a +内均为增函数,求a 的取值范围. 【分析及解】(Ⅰ)22()323()()3af x x ax a x x a '=+-=-+,又0a >,∴ 当3a x a x <->或时,()0f x '>;当3aa x -<<时,()0f x '<, ∴()f x 在(,)a -∞-和(,)3a +∞内是增函数,在(,)3aa -内是减函数.(Ⅱ)由题意知 3222121x ax a x ax x +-+=-+,即22[(2)]0x x a --=恰有一根(含重根).因为,一定有一根0x =,所以,22(2)0x a --=没有实数根或有两个相等的实数根,因此有220a -≤,即a ≤≤又0a ≠,∴[(0,2]a ∈.当0a >时,()g x才存在最小值,∴a ∈.211()()g x a x a aa=-+-, 所以, 1(),h a a a a=-∈. 于是()h a的值域为(,1-∞. (Ⅲ)当0a >时,()f x 在(,)a -∞-和,3a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭内是增函数,()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内是增函数.由题意得031a a a a a ⎧⎪>⎪⎪≥⎨⎪⎪≥⎪⎩,解得1a ≥;当0a <时,()f x 在,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(,)a -+∞内是增函数,()g x 在1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭内是增函数.由题意得02312a aa a a⎧⎪<⎪⎪+≤⎨⎪⎪+≤⎪⎩,解得3a ≤-; 综上可知,实数a 的取值范围为(,3][1,)-∞-+∞.【例4】(2006四川卷,文)已知函数()()()331,5f x x ax g x f x ax =+-=--,其中()'f x 是的导函数.(Ⅰ)对满足11a -≤≤的一切a 的值,都有()0g x <,求实数x 的取值范围; (Ⅱ)设2a m =-,当实数m 在什么范围内变化时,函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点【分析及解】(Ⅰ)由题意()2335g x x ax a =-+-.令()()2335h x x a x =-+-,11a -≤≤,对11a -≤≤,恒有()0g x <,即()0h a <.∴()()10,10.h h <⎧⎪⎨-<⎪⎩ 即22320,380.x x x x ⎧--<⎨+-<⎩ 解得213x -<<.故2,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,对满足11a -≤≤的一切a 的值,都有()0g x <(Ⅱ)()'2233f x x m =-①当0m =时,()31f x x =-的图象与直线3y =只有一个公共点 ②当0m ≠时,令()()32334,x f x x m x ϕ=-=-- 则 ()2233x x m ϕ'=-.所以,2244x m m m ϕϕ==--<-min . 又因为()f x 的值域是R ,且在(),m +∞上单调递增.所以,当x m >时函数()y x ϕ=的图象与x 轴只有一个公共点.当x m <时,恒有()()max x m ϕϕ=-,此时, ()y x ϕ=的图象与x 轴不能再有公共点,必须()y x ϕ=得极大值小于零,即()0m ϕ-<, ()m ϕ-=3224240m m m -=-<,解得()()30,2m ∈.综上,m 的取值范围是(【例5】(2006福建卷,文)已知()f x 是二次函数,不等式()0f x <的解集是(0,5),且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12。

(完整word)函数的零点存在定理

(完整word)函数的零点存在定理

《函数的零点存在定理》一、教材内容分析《函数的零点》第二课时,选自人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章第一节。

1、教材的地位与作用函数是中学数学的核心概念,核心的原因之一就在于函数与其他知识具有广泛的联系性,而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的联系在一起.方程的根与函数零点的关系研究,不仅为“用二分法求方程的近似解”的学习做好准备,而且揭示了方程与函数之间的本质联系,这种联系正是中学数学重要思想方法——“函数与方程思想”的理论基础。

可见,函数零点概念在中学数学中具有核心地位。

2、内容分析本节内容有函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理.函数零点是研究当函数)(xf的值为零时,相应的自变量x的取值,反映在函数图象上,也就是函数图象与x轴的交点横坐标。

由于函数)(xxf,其本身已是方程的形式,因而函数的零点)f的值为零亦即0(=必然与方程有着不可分割的联系,事实上,若方程0f有解,则函数)(xf存在零(=)x点,且方程的根就是相应函数的零点,也是函数图象与x轴的交点横坐标。

顺理成章的,方程的求解问题,可以转化为求函数零点的问题.这是函数与方程关系认识的第一步。

零点存在性定理,是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件。

如果函数(<⋅bfaf,则函数))( (xf)y=在区间[]b a,上的图象是一条连续不断的曲线,并且满足0y=在区间()b a,内至少有一个零点,但零点的个数,需结合函数的单调性等性质f)(x进行判断.定理的逆命题不成立.方程的根与函数零点的研究方法,符合从特殊到一般的认识规律,从特殊的、具体的二次函数入手,建立二次函数的零点与相应二次方程的联系,然后将其推广到一般的、抽象的函数与相应方程的情形;零点存在性的研究,也同样采用了似的方法,同时还使用了“数形结合思想”及“转化与化归思想"。

二、教学内容诊断分析本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质,具备初步的数形结合的能力基础之上,利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数。

高考数学复习考点知识与题型专题讲解11---函数的零点与方程的解

高考数学复习考点知识与题型专题讲解11---函数的零点与方程的解

高考数学复习考点知识与题型专题讲解函数的零点与方程的解考试要求1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理,并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解.知识梳理1.函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.(3)函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.2.二分法对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点.(×)(2)连续函数y =f (x )在区间(a ,b )内有零点,则f (a )·f (b )<0.(×)(3)函数y =f (x )为R 上的单调函数,则f (x )有且仅有一个零点.(×)(4)二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0),若b 2-4ac <0,则f (x )无零点.(√) 教材改编题1.函数f (x )=ax 2-x -1有且仅有一个零点,则实数a 的值为()A .-14B .0C.14D .0或-14答案D解析当a =0时,f (x )=-x -1,令f (x )=0得x =-1,故f (x )只有一个零点为-1.当a ≠0时,则Δ=1+4a =0,∴a =-14. 综上有a =0或-14.2.已知函数f (x )=⎩⎨⎧x 2+x -2,x ≤0,-1+ln x ,x >0,则f (x )的零点为________. 答案-2,e解析⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0,x 2+x -2=0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0,-1+ln x =0,解得x =-2或x =e.3.方程2x +x =k 在(1,2)内有解,则实数k 的取值范围是________.答案(3,6)解析设f (x )=2x +x ,∴f (x )在(1,2)上单调递增,又f (1)=3,f (2)=6,∴3<k <6.题型一 函数零点所在区间的判定例1(1)函数f (x )=x +ln x -3的零点所在的区间为()A .(0,1)B .(1,2)C .(2,3)D .(3,4)答案C解析∵f (x )在(0,+∞)上单调递增,且f (2)=ln2-1<0,f (3)=ln3>0,故f (x )在(2,3)上有唯一零点.(2)若a <b <c ,则函数f (x )=(x -a )(x -b )+(x -b )·(x -c )+(x -c )(x -a )的两个零点分别位于区间()A .(a ,b )和(b ,c )内B .(-∞,a )和(a ,b )内C .(b ,c )和(c ,+∞)内D .(-∞,a )和(c ,+∞)内答案A解析函数y =f (x )是开口向上的二次函数,最多有两个零点,由于a <b <c ,则a -b <0,a -c <0,b -c <0,因此f (a )=(a -b )(a -c )>0,f (b )=(b -c )(b -a )<0,f (c )=(c -a )(c -b )>0.所以f (a )f (b )<0,f (b )f (c )<0,即f (x )在区间(a ,b )和区间(b ,c )内各有一个零点. 教师备选(2022·湖南雅礼中学月考)设函数f (x )=13x -ln x ,则函数y =f (x )() A .在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ,1,(1,e)内均有零点 B .在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ,1,(1,e)内均无零点 C .在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ,1内有零点,在区间(1,e)内无零点 D .在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ,1内无零点,在区间(1,e)内有零点 答案D解析f (x )的定义域为{x |x >0},f ′(x )=13-1x =x -33x ,令f ′(x )>0⇒x >3,f ′(x )<0⇒0<x <3,∴f (x )在(0,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e =13e +1>0,f (1)=13>0, ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ,1内无零点. 又f (e)=e 3-1<0,∴f (x )在(1,e)内有零点.思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理:首先看函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图象是否连续,再看是否有f (a )·f (b )<0.若有,则函数y =f (x )在区间(a ,b )内必有零点.(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断. 跟踪训练1(1)(2022·太原模拟)利用二分法求方程log 3x =3-x 的近似解,可以取的一个区间是()A .(0,1)B .(1,2)C .(2,3)D .(3,4)答案C解析设f (x )=log 3x -3+x ,当x →0时,f (x )→-∞,f (1)=-2,又∵f (2)=log 32-1<0,f(3)=log33-3+3=1>0,故f(2)·f(3)<0,故方程log3x=3-x在区间(2,3)上有解,即利用二分法求方程log3x=3-x的近似解,可以取的一个区间是(2,3).(2)已知2<a<3<b<4,函数y=log a x与y=-x+b的交点为(x0,y0),且x0∈(n,n+1),n∈N*,则n=________.答案2解析依题意x0为方程log a x=-x+b的解,即为函数f(x)=log a x+x-b的零点,∵2<a<3<b<4,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(2)=log a2+2-b<0,f(3)=log a3+3-b>0,∴x0∈(2,3),即n=2.题型二函数零点个数的判定例2(1)已知函数y=f(x)是周期为2的周期函数,且当x∈[-1,1]时,f(x)=2|x|-1,则函数F(x)=f(x)-|lg x|的零点个数是()A.9B.10C.11D.18解析由函数y =f (x )的性质,画出函数y =f (x )的图象,如图,再作出函数y =|lg x |的图象,由图可知,y =f (x )与y =|lg x |共有10个交点,故原函数有10个零点.(2)函数f (x )=36-x 2·cos x 的零点个数为______.答案6解析令36-x 2≥0,解得-6≤x ≤6,∴f (x )的定义域为[-6,6].令f (x )=0得36-x 2=0或cos x =0,由36-x 2=0得x =±6,由cos x =0得x =π2+k π,k ∈Z ,又x ∈[-6,6],∴x 为-3π2,-π2,π2,3π2. 故f (x )共有6个零点.教师备选函数f (x )=2x |log 2x |-1的零点个数为()A .0B .1C .2D .4解析令f (x )=0,得|log 2x |=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ,分别作出y =|log 2x |与y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象(图略), 由图可知,y =|log 2x |与y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象有两个交点,即原函数有2个零点. 思维升华 求解函数零点个数的基本方法(1)直接法:令f (x )=0,方程有多少个解,则f (x )有多少个零点;(2)定理法:利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;(3)图象法:一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.跟踪训练2(1)函数f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数,当0≤x <2时f (x )=x 2-x ,则函数y =f (x )的图象在区间[-3,3]上与x 轴的交点个数为()A .6B .7C .8D .9答案B解析令f (x )=x 2-x =0,所以x =0或x =1,所以f (0)=0,f (1)=0,因为函数的最小正周期为2,所以f (2)=0,f (3)=0,f (-2)=0,f (-1)=0,f (-3)=0.所以函数y =f (x )的图象在区间[-3,3]上与x 轴的交点个数为7.(2)函数f (x )=⎩⎨⎧ln x -x 2+2x ,x >0,4x +1,x ≤0的零点个数是() A .1B .2C .3D .4答案C解析当x >0时,作出函数y =ln x 和y =x 2-2x 的图象,由图知,当x >0时,f (x )有2个零点;当x ≤0时,由f (x )=0,得x =-14.综上,f (x )有3个零点.题型三 函数零点的应用命题点1根据函数零点个数求参数例3已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ ln (-x ),x <0,x +2x,x >0,若关于x 的方程f (x )-m -1=0恰有三个不同的实数解,则实数m 的取值范围是()A .(-∞,22]B .(-∞,22-1)C .(22-1,+∞)D .(22,+∞)答案C解析恰有三个不同的实数解等价于函数y =f (x )的图象与直线y =m +1有三个公共点. 作出f (x )的图象如图所示.由图可知,y =f (x )的图象与直线y =m +1有三个公共点时有m +1>22, 解得m >22-1,所以实数m 的取值范围为(22-1,+∞).命题点2根据函数零点范围求参数例4(2022·北京顺义区模拟)已知函数f (x )=3x -1+ax x .若存在x 0∈(-∞,-1),使得f (x 0)=0,则实数a 的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,43B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,43 C .(-∞,0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫43,+∞ 答案B解析由f (x )=3x-1+ax x =0, 可得a =3x -1x ,令g (x )=3x -1x ,其中x ∈(-∞,-1),由于存在x 0∈(-∞,-1),使得f (x 0)=0,则实数a 的取值范围即为函数g (x )在(-∞,-1)上的值域.由于函数y =3x ,y =-1x 在区间(-∞,-1)上均单调递增,所以函数g (x )在(-∞,-1)上单调递增.当x ∈(-∞,-1)时,g (x )=3x -1x <3-1+1=43,又g (x )=3x-1x >0, 所以函数g (x )在(-∞,-1)上的值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,43. 因此实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0,43. 教师备选1.函数f (x )=x x +2-kx 2有两个零点,则实数k 的值为________. 答案-1 解析由f (x )=x x +2-kx 2=x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +2-kx , 函数f (x )=x x +2-kx 2有两个零点,即函数y =1x +2-kx 只有一个零点x 0,且x 0≠0. 即方程1x +2-kx =0有且只有一个非零实根. 显然k ≠0,即1k =x 2+2x 有且只有一个非零实根.即二次函数y =x 2+2x 的图象与直线y =1k 有且只有一个交点(横坐标不为零).作出二次函数y =x 2+2x 的图象,如图.因为1k ≠0,由图可知,当1k >-1时,函数y =x 2+2x 的图象与直线y =1k 有两个交点,不满足条件.当1k =-1,即k =-1时满足条件.当1k <-1时,函数y =x 2+2x 的图象与直线y =1k 无交点,不满足条件.2.若函数f (x )=(m -2)x 2+mx +2m +1的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m 的取值范围是________.答案⎝ ⎛⎭⎪⎫14,12 解析依题意,结合函数f (x )的图象分析可知,m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠2,f (-1)·f (0)<0,f (1)·f (2)<0,即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠2,(m -2-m +2m +1)(2m +1)<0,(m -2+m +2m +1)·[4(m -2)+2m +2m +1]<0,解得14<m <12.思维升华 已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围.(2)分离参数法:将参数分离,转化成求函数值域的问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.跟踪训练3(1)已知函数f (x )=e x -ax 2(a ∈R )有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 4,+∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2,+∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 24,+∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 22,+∞ 答案C解析令f (x )=e x -ax 2=0,显然x ≠0,∴a =e xx 2,令g (x )=e x x 2(x ≠0),则问题转化为“若y =a 的图象与y =g (x )的图象有三个交点,求a 的取值范围”.∵g ′(x )=(x -2)e xx 3,令g ′(x )=0,解得x =2,∴当x <0或x >2时,g ′(x )>0,g (x )在(-∞,0),(2,+∞)上单调递增,当0<x <2时,g ′(x )<0,g (x )在(0,2)上单调递减,g (x )在x =2处取极小值g (2)=e 24,作出y =g (x )的简图,由图可知,要使直线y =a 与曲线g (x )=e x x 2有三个交点,则a >e 24,故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫e 24,+∞. (2)已知函数f (x )=log 2(x +1)-1x +m 在区间(1,3]上有零点,则m 的取值范围为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-53,0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-53∪(0,+∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-53∪(0,+∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫-53,0 答案D解析由于函数y =log 2(x +1),y =m -1x 在区间(1,3]上单调递增,所以函数f (x )在(1,3]上单调递增,由于函数f (x )=log 2(x +1)-1x +m 在区间(1,3]上有零点,则⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)<0,f (3)≥0,即⎩⎨⎧ m <0,m +53≥0,解得-53≤m <0. 因此,实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫-53,0. 课时精练1.函数f (x )=x 3-⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -2的零点所在的区间为() A .(0,1) B .(1,2) C .(2,3) D .(3,4)答案B解析由题意知,f (x )=x 3-⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -2, f (0)=-4,f (1)=-1,f (2)=7,因为f (x )在R 上连续且在R 上单调递增,所以f (1)·f (2)<0,f (x )在(1,2)内有唯一零点.2.设函数f (x )=4x 3+x -8,用二分法求方程4x 3+x -8=0近似解的过程中,计算得到f (1)<0,f (3)>0,则方程的近似解落在区间()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32,2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2,52D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52,3 答案A解析取x 1=2,因为f (2)=4×8+2-8=26>0,所以方程近似解x 0∈(1,2),取x 2=32,因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32=4×278+32-8=7>0, 所以方程近似解x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32. 3.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ e x -1-1,x <2,log 3x 2-13,x ≥2,则f (x )的零点为()A .1,2B .1,-2C .2,-2D .1,2,-2答案A解析当x <2时,令f (x )=e x -1-1=0,即e x -1=1,解得x =1,满足x <2;当x ≥2时,令f (x )=log 3x 2-13=0,则x 2-13=1,即x 2=4,得x =-2(舍)或x =2.因此,函数y =f (x )的零点为1,2.4.若函数f (x )=2x -2x -a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数a 的取值范围是()A .(1,3)B .(1,2)C .(0,3)D .(0,2)答案C解析由条件可知f (1)·f (2)<0,即(2-2-a )(4-1-a )<0,即a (a -3)<0,解得0<a <3.5.若函数f (x )=⎩⎨⎧ log 4(x -1),x >1,-3x -m ,x ≤1存在2个零点,则实数m 的取值范围为() A .[-3,0) B .[-1,0)C .[0,1)D .[-3,+∞)答案A解析因为函数f (x )在(1,+∞)上单调递增,且f (2)=0,即f (x )在(1,+∞)上有一个零点,函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 4(x -1),x >1,-3x -m ,x ≤1存在2个零点, 当且仅当f (x )在(-∞,1]上有一个零点,x ≤1时,f (x )=0⇔m =-3x ,即函数y =-3x 在(-∞,1]上的图象与直线y =m 有一个公共点,而y =-3x 在(-∞,1]上单调递减,且有-3≤-3x <0,则当-3≤m <0时,直线y =m 和函数y =-3x (x ≤1)的图象有一个公共点.6.(2022·重庆质检)已知函数f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫13x -log 2x ,设0<a <b <c ,且满足f (a )·f (b )·f (c )<0,若实数x 0是方程f (x )=0的一个解,那么下列不等式中不可能成立的是()A .x 0<aB .x 0>cC .x 0<cD .x 0>b答案B解析f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫13x -log 2x 在(0,+∞)上单调递减,由f (a )·f (b )·f (c )<0, 得f (a )<0,f (b )<0,f (c )<0或f (a )>0,f (b )>0,f (c )<0.∴x 0<a 或b <x 0<c ,故x 0>c 不成立.7.函数f (x )=sin x +2|sin x |,x ∈[0,2π]的图象与直线y =k 的交点个数不可能是()A .1B .2C .4D .6答案D解析由题意知,f (x )=sin x +2|sin x |,x ∈[0,2π],f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ,x ∈[0,π],-sin x ,x ∈(π,2π],在坐标系中画出函数f (x )的图象如图所示.由其图象知,直线y=k与y=f(x)的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.8.(2022·北京西城区模拟)若偶函数f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x)且x∈[0,1]时,f(x)=x,则方程f(x)=log3|x|的根的个数是()A.2B.3C.4D.多于4答案C解析f(x)=log3|x|的解的个数,等价于y=f(x)的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数,因为函数f(x)满足f(x+2)=f(x),所以周期T=2,当x∈[0,1]时,f(x)=x,且f(x)为偶函数,在同一平面直角坐标系中画出函数y=f(x)的图象与函数y=log3|x|的图象,如图所示.显然函数y=f(x)的图象与函数y=log3|x|的图象有4个交点.9.若函数f(x)=x3+ax2+bx+c是奇函数,且有三个不同的零点,写出一个符合条件的函数:f(x)=________.答案x 3-x (答案不唯一)解析f (x )=x 3+ax 2+bx +c 为奇函数,故a =c =0,f (x )=x 3+bx =x (x 2+b )有三个不同零点,∴b <0,∴f (x )=x 3-x 满足题意.10.函数f (x )=⎩⎨⎧2x ,x ≥0,-x 2-2x +1,x <0,若函数y =f (x )-m 有三个不同的零点,则实数m 的取值范围是________.答案(1,2)解析画出函数y =f (x )与y =m 的图象,如图所示,注意当x =-1时,f (-1)=-1+2+1=2,f (0)=1,∵函数y =f (x )-m 有三个不同的零点,∴函数y =f (x )与y =m 的图象有3个交点,由图象可得m 的取值范围为1<m <2.11.(2022·枣庄模拟)已知函数f (x )=|ln x |,若函数g (x )=f (x )-ax 在区间(0,e 2]上有三个零点,则实数a 的取值范围是______________.答案⎣⎢⎡⎭⎪⎫2e 2,1e 解析∵函数g (x )=f (x )-ax 在区间(0,e 2]上有三个零点,∴y =f (x )的图象与直线y =ax 在区间(0,e 2]上有三个交点,由函数y =f (x )与y =ax 的图象可知,k 1=2-0e 2-0=2e 2, f (x )=ln x (x >1),f ′(x )=1x ,设切点坐标为(t ,ln t ),则ln t -0t -0=1t , 解得t =e.∴k 2=1e .则直线y =ax 的斜率a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2e 2,1e . 12.(2022·安徽名校联盟联考)已知函数f (x )=2x +x +1,g (x )=log 2x +x +1的零点分别为a ,b ,则a +b =________.答案-1解析由已知得y =2x ,y =log 2x 的图象与直线y =-x -1的交点横坐标分别为a ,b , 又y =2x ,y =log 2x 的图象关于直线y =x 对称,且y =-x -1与y =x 交点横坐标为-12,故a +b =-1.13.已知函数f (x )=2x +x -1,g (x )=log 2x +x -1,h (x )=x 3+x -1的零点分别为a ,b ,c ,则a ,b ,c 的大小为()A .c >b >aB .b >c >aC .c >a >bD .a >c >b答案B解析令f (x )=0,则2x +x -1=0,得x =0,即a =0,令g (x )=0,则log 2x +x -1=0,得x =1,即b =1,因为函数h (x )=x 3+x -1在R 上为增函数,且h (0)=-1<0,h (1)=1>0,所以h (x )在区间(0,1)上存在唯一零点c ,且c ∈(0,1),综上,b >c >a .14.(2022·厦门模拟)已知函数f (x )=⎩⎨⎧x +1,x ≤0,log 2x ,x >0,则函数y =f (f (x ))的所有零点之和为________.答案12解析当x ≤0时,x +1=0,x =-1,由f(x)=-1,可得x+1=-1或log2x=-1,∴x=-2或x=1 2;当x>0时,log2x=0,x=1,由f(x)=1,可得x+1=1或log2x=1,∴x=0或x=2;∴函数y=f(f(x))的所有零点为-2,12,0,2,∴所有零点的和为-2+12+0+2=12.15.(2022·南京模拟)在数学中,布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间,并是构成一般不动点定理的基石,它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer),简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x),存在一个点x0,使得f(x0)=x0,那么我们称该函数为“不动点”函数,下列为“不动点”函数的是________.(填序号)①f(x)=2x+x;②g(x)=x2-x-3;③f(x)=12x+1;④f(x)=|log2x|-1.答案②③④解析对于①,若f(x0)=x0,则02x=0,该方程无解,故①中函数不是“不动点”函数;对于②,若g(x0)=x0,则x20-2x0-3=0,解得x0=3或x0=-1,故②中函数是“不动点”函数;对于③,若f (x 0)=x 0,则120x +1=x 0,可得x 20-3x 0+1=0,且x 0≥1,解得x 0=3+52,故③中函数是“不动点”函数;对于④,若f (x 0)=x 0,则|log 2x 0|-1=x 0,即|log 2x 0|=x 0+1,作出y =|log 2x |与y =x +1的函数图象,如图,由图可知,方程|log 2x |=x +1有实数根x 0,即|log 2x 0|=x 0+1,故④中函数是“不动点”函数.16.已知M ={α|f (α)=0},N ={β|g (β)=0},若存在α∈M ,β∈N ,使得|α-β|<n ,则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”.若f (x )=32-x -1与g (x )=x 2-a e x 互为“1度零点函数”,则实数a 的取值范围为________.答案⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ,4e 2 解析由题意可知f (2)=0,且f (x )在R 上单调递减,所以函数f (x )只有一个零点2,由|2-β|<1,得1<β<3,所以函数g (x )=x 2-a e x 在区间(1,3)上存在零点.由g (x )=x 2-a e x=0,得a =x 2e x . 令h (x )=x 2e x ,则h ′(x )=2x -x 2e x =x (2-x )e x ,所以h (x )在区间(1,2)上单调递增,在区间(2,3)上单调递减,且h (1)=1e ,h (2)=4e 2,h (3)=9e 3>1e ,要使函数g (x )在区间(1,3)上存在零点,只需a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ,4e 2.。

函数的零点

函数的零点

函数的零点◆知识点一、函数的零点1、函数零点的定义:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.2、几个等价关系:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.3、函数零点的判定(零点存在性定理):如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.◆知识点二、二分法求方程的近似解知识点三◆方法与要点1、一个口诀:用二分法求函数零点近似值的口诀为:定区间,找中点,中值计算两边看.同号去,异号算,零点落在异号间.周而复始怎么办?精确度上来判断.2、两个防范:(1)函数y=f(x)的零点即方程f(x)=0的实根,是数不是点.(2)若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续不间断的,并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)·f(b)<0,满足这些条件一定有零点,不满足这些条件也不能说就没有零点.如图,f(a)·f(b)>0,f(x)在区间(a,b)上照样存在零点,而且有两个.所以说零点存在性定理的条件是充分条件,但并不必要.3、三种方法:函数零点个数的判断方法:(1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点;(2)零点存在性定理:利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点;(3)利用图象交点的个数:画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.例与练:1.函数f (x )=-2+ln x ,x >0x2+2x -3,x ≤0的零点个数为( ).A .3B .2C .7D .02函数f (x )=log 3x +x -3的零点一定在区间( ).A .(0,1)B .(1,2)C .(2,3)D .(3,4)3..在下列区间中,函数f (x )=e x +4x -3的零点所在的区间为 ( ) .A 1-,04⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B 104⎡⎤⎢⎥⎣⎦, C 11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D 13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 4方程12xx +=根的个数是 ( ) A .0 B .1 C .2 D .35.已知函数f(x)=x+2x ,g(x)=x+lnx ,h(x)=x--1的零点分别为x 1,x 2,x 3,则x 1,x 2,x 3的大小关系是6.若方程0x a x a --=有两个解,则实数a 的取值范围是( )A .(1,)+∞ B .(0,1) C .(0,)+∞ D .Φ7.若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如那么方程32220x x x +--=的一个近似根(精确到0.1)可以是( )A .1.2B .1.3C .1.4D .1.58.方程lgx+x=3的解所在区间为( )A .(0,1)B .(1,2)C .(2,3)D .(3,+∞)9.xx x f 1lg )(-=零点所在区间是( ). A. ]1,0( B. ]10,1( C. ]100,10( D. ),100(+∞ 10.已知函数)(x f 为奇函数,且该函数有三个零点,则三个零点之和等于________.11已知函数221,0,()2,x x f x x x x ⎧->⎪=⎨--⎪⎩≤0.若函数()()g x f x m =-有3个零点,则实数m 的取值范围是12已知关于x 的方程2350x x a -+=的两根12x x ,满足1(20)x ∈-,,2(13)x ∈,,求实数a 的取值范围.。

函数的零点教案及反思

函数的零点教案及反思

《函数的零点》教案及反思1 教材目标 知识与技能:1、了解函数零点的概念,能够结合具体方程,说明方程的根、函数的零点、函数图象与x 轴的交点三者的关系.2、理解函数零点存有性定理,了解图象不间断的意义及作用. 过程与方法:1、经历“类比—归纳—应用”的过程,感悟由具体到抽象的研究方法,培养归纳概括水平.2、初步体会函数方程思想,能将方程求解问题转化为函数零点问题. 情感、态度与价值观:1、体会函数与方程的“形”与“数”、“动”与“静”、“整体”与“局部”的内在联系.2、体验规律发现的快乐. 2 教材分析本节内容为苏教版《普通高中课程标准实验教科书》必修1第2章《函数与方程》的2.5.1,主要内容为函数零点概念、函数零点与相对应方程根的关系、函数零点存有性定理,是一节概念课.函数与方程是中学数学的重要内容,既是初等数学的基础,又是初等数学与高等数学的连接纽带.所以函数与方程在高一乃至整个高中数学教学中占有非常重要的地位.本节课不但为二分法的学习做准备,而且为方程与函数提供了零点这个连接点,从而揭示了两者之间的本质联系,这种联系正是“函数与方程思想”的理论基础.用函数的观点研究方程,本质上就是将局部的问题放在整体中研究,将静态的结果放在动态的过程中研究,这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础. 3 教学重点函数零点与方程根之间的关系;函数在某区间上存有零点的判定方法. 4 教学难点发现与理解方程的根与函数零点的关系;探究发现函数存有零点的方法. 5 教学结构设计(一)创设情境,以旧带新 1、你会解吗?(1)82=x;(2)x x=2.意图:通过纯粹靠代数运算无法解决的方程,引起学生认知冲突,激起探求的热情. 2、请你填空,探索一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系.问题1:从该表你能够得出什么结论?意图:让学生从熟悉的环境中发现新知识,使新知识与原有知识形成联系. (二)启发引导,形成概念.问题2:方程的根与函数图象与x 轴交点的横坐标之间有什么关系? 意图:为引出函数零点的概念做准备.问题3:其他的函数与方程之间也有类似的关系吗?请举例.师生互动,在学生提议的基础上,老师加以改善,现场用几何画板展示类似如下函数的图象:1+=x y ,12-=x y ,)3ln(+=x y ,x x y 33-=.比较函数图象与x 轴的交点和相对应方程的根的关系,从而得出一般的结论:方程f (x )=0有几个根,y =f (x )的图象与x 轴就有几个交点,且方程的根就是交点的横坐标.意图:通过各种函数,将结论推广到一般函数,为零点概念做好铺垫.引导学生给出函数零点的定义,并引导学生仔细体会这段文字,感悟其中的思想方法. 概念:对于函数y =f (x ),把使f (x )=0的实数x 叫做函数y =f (x )的零点.问题4:你能说说方程的根、函数图象与x 轴的交点、函数的零点三者之间的关系吗?(学生讨论,教师补充归纳)说明:①函数零点不是一个点,而是具体的自变量的取值. ②求函数零点就是求方程f (x )=0的根. 即兴练习:函数f (x )=x (x 2-16)的零点为 ( ) A .(0,0),(4,0) B .0,4 C .(–4,0),(0,0),(4,0) D .–4,0,4 设计意图:即时矫正“零点是交点”这个误解.(二)逐层推动,深化概念.讨论:函数的零点与方程的根有什么共同点和区别?(1)联系:①数值上相等:求函数的零点能够转化成求对应方程的根;②存有性一致:方程f (x )=0有实数根⇔函数y =f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y =f (x )有零点. (2)区别:零点对于函数来说,根对于方程来说.以上关系说明:函数与方程有着密切的联系,函数问题有时可转化为方程问题,同样,有些方程问题能够转化为函数问题来求解,这正是函数与方程思想的基础.练习:求下列函数的零点:(1)43)(2++-=x x x f , (2)4lg )(-+=x x x f .意图:(1)使学生熟悉零点的求法(即求相对应方程的实数根),(2)产生认知冲突,激发学生求知欲.引导学生据练习题(2)提出问题:如何判断函数4lg )(++=x x x f 有没有零点? (三)实例探究,归纳定理. 零点存有性定理的探索.问题5:在怎样的条件下,函数y =f (x )在区间[a ,b ]上一定有零点?探究:(1)观察二次函数f (x )=x 2-2x -3的图象: 在区间[-2,1]上有零点______; f (-2)=_______,f (1)=_______,f (-2)·f (1)_____0(“<”或“>”). 在区间(2,4)上有零点______;f (2)·f (4)____0(“<”或“>”).(2)观察函数的图象:①在区间(a ,b )上___(有/无)零点;f (a )·f (b ) ___ 0(“<”或“>”②在区间(b ,c )上___(有/无)零点;f (b )·f (c ) ___ 0(“<”或“>”)③在区间(c ,d )上___(有/无)零点;f (c )·f (d ) ___ 0(“<”或“>”)间有什么关系得出不严密的结论:函数在区间端点处函数值乘积小于0,函数在该区间上有零点.练习:下列函数在相对应区间内是否存有零点? (1)f (x )=log 2x ,x ∈[12,2]; (2)f (x )=e x -1+4x -4,x ∈[0,1];意图:通过简单的练习适合定理的使用.(3)]1,1[,1-∈=x xy . 意图:由该问题发现刚才结论的不严密性.从而培养学生思维的严谨性. 零点存有性定理:如果函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图象是不间断一条曲线,且f (a )·f (b )<0,那么,函数y =f (x )在区间(a ,b )内有零点.(四)正反例证,臧息相辅例1 求证:函数1)(23++=x x x f 在区间)1,2(--上存有零点. 意图:巩固函数零点存有定理.思考:判断函数4lg )(-+=x x x f 是否有零点?若有在哪里?有几个?例2判断下列结论是否准确,若不准确,请使用函数图象举出反例: (1)已知函数y=f (x )在区间[a ,b ]上图象是不间断的,且f (a )·f (b )<0,则f (x )在区间(a ,b )内有且仅有一个零点. ( × )(2)已知函数y=f (x )在区间[a ,b ]上图象是不间断的,且f (a )·f (b )≥0,则f (x )在区间(a ,b )内没有零点.( × )(3)已知函数y=f (x )在区间[a ,b ]满足f (a )·f (b )<0,则f (x )在区间(a ,b )内存有零点. ( × ) 请一位学生板书反例,其他学生补充评析,例如:归纳:定理不能确零点的个数;定理中的“图象不间断”是必不可少的条件;不满足定理条件时依然可能有零点.意图:通过对定理中条件的改变,将几种容易产生的误解正面给出,在第一时间加以纠正,从而促动对定理本身的准确理解.(四)课堂小结,作业布置小结:本节课你学到了什么?除此外,你还有什么收获?作业:书第81页题1、2教后反思本节课自始至终都使用了新课标理念,按照创设情境――组织探索――知识应用的基本模式展开教学,整个课堂显得生机勃勃.1、将教学科研融入教学中,改变学生的学习方式探究式创造性思维教学法是新课程理念下的一个科研课题.本节课就是以这个理论为指导,借助多媒体手段创设问题情境,指导学生研究式学习和体验式学习.如,函数零点与方程根之间的关系是这节课的一个重点,为了突破这一重点,在教学中利用多媒体教学,调动了学生学习的积极性,几何画板画图象,准确、直观、易于学生理解,符合学生的认知特点,调动了学生主动参与教学的积极性,使他们进行自主探究与合作交流,亲身体验知识的形成过程,变静态教学为动态教学.2、渗透数学思想方法重在平时当学生有一天不再学习数学了,我们给他们留下了什么?我想应该是学生遇到具体问题时那种思考问题的方式,和解决问题的方法.本节课始终是注意数学思想方法和数学探索方式的合理渗透,如特殊一般,数形结合,类比归纳等的交叉运用.3、问题设计合理通过层层深入,由浅入深,由特殊到一般的阶梯式问题,有效的降解了本课的难点,帮助学生实现了思维的腾飞.美中不足的是教学重点不是太突出,零点的引入部分可以简化改进,使之更趋合理,零点存在性定理引入部分略显生硬,应该有更艺术的方式.高一学生在函数的学习中,常表现出不适,主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任.具体表现为将函数孤立起来,认识不到函数在高中数学中的核心地位.函数与方程相联系的观点的建立,函数应用的意识的初步树立,应该是本节课必须承载的重要任务.在这一任务的达成度方面,本课还需更加浓墨重彩的予以突出.另外,课堂上教师怎样引导学生也是值得我深思的一个问题,还有少讲多学方面也是我今后教学中努力的方向.。

三次函数的零点问题

三次函数的零点问题

三次函数的零点问题
在数学中,三次函数是指一个至多存在三次幂次的多项式函数。


于三次函数来说,它的零点问题是一个非常重要的问题,这在许多数
学和工程问题中都有广泛的应用。

三次函数可以表示为f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,其中a、b、c和d都是
常数,x是一个变量。

三次函数的图像通常是一个S形曲线,在x轴上
存在一个或多个交点,这些交点就是三次函数的零点。

在三次函数中,求解零点问题的一种方法是通过因式分解,通过寻
找a、b、c和d的共同因子来找到零点。

如果三次函数可以因式分解,则不难看出函数的零点。

但是,在大多数情况下,三次函数并不容易
因式分解,因此必须使用其他方法来解决零点问题。

另一种解决零点问题的方法是使用数值方法,例如二分法和牛顿法。

这些方法不需要将三次函数转化为标准的形式,而是直接以数值方式
计算函数的零点。

这种方法通常需要大量的计算,因此需要使用计算
机来进行计算。

除此之外,还有一种特殊的三次函数,称为“卡迈隆函数”。

这个函
数的形式是f(x)=x^3-3x,它只有一个实零点,值为0。

这个函数具有
一些非常有用的性质,因此它在计算机图形学和密码学中经常被使用。

总之,三次函数的零点问题在数学和工程领域中有着深远的影响。

无论是使用因式分解还是数值方法,找到函数的零点都是一个非常重
要的问题。

同时,特殊的三次函数卡迈隆函数也具有非常有用的性质,在许多计算问题中都有广泛的应用。

函数的相交点与零点的求解

函数的相交点与零点的求解

函数的相交点与零点的求解函数是数学中的重要概念,在不同的数学领域中都有广泛的应用。

在代数、微积分等领域中,函数的相交点和零点是常见的问题。

本文将探讨如何求解函数的相交点和零点。

1. 相交点的求解相交点是指两个函数在坐标系中的交点,即满足两个函数方程的共同解。

为求解相交点,我们可以将两个函数相等,通过解方程获得交点坐标。

例如,考虑函数 f(x) = x^2 - 4x + 3 和 g(x) = 2x - 1,我们需要找出这两个函数的相交点。

首先,将 f(x) 和 g(x) 相等:x^2 - 4x + 3 = 2x - 1。

然后,将方程化简为标准形式:x^2 - 6x + 4 = 0。

接下来,我们可以使用因式分解、配方法或求根公式等方法求解这个二次方程。

假设我们得到两个解 x1 和 x2。

最后,将解代入原始方程,即 f(x1) = g(x1) 和 f(x2) = g(x2),获得两个相交点的坐标。

2. 零点的求解零点是函数在坐标系中与 x 轴相交的点,即函数取值为零的位置。

为求解零点,我们需要将函数等于零,然后解方程得到零点的坐标。

考虑函数 h(x) = x^3 - 2x^2 + x,我们需要找出这个函数的零点。

我们将 h(x) 置为零:x^3 - 2x^2 + x = 0。

接下来,我们可以使用因式分解、配方法或求根公式等方法求解这个三次方程。

假设我们得到三个解 x1、x2 和 x3。

最后,将解代入原始方程,即 h(x1) = h(x2) = h(x3) = 0,获得三个零点的坐标。

3. 数值方法求解除了代数方法外,我们还可以使用数值方法求解函数的相交点和零点。

数值方法通过逼近法计算函数方程的解,在计算机科学和工程学中应用广泛。

常用的数值方法有二分法、牛顿法和弦截法等。

这些方法基于函数在给定区间内的连续性和可导性。

以二分法为例,我们需要一个区间 [a, b],其中函数 f(x) 在 a 和 b 两点的函数值异号,即 f(a) * f(b) < 0。

函数的零点所在的区间-概述说明以及解释

函数的零点所在的区间-概述说明以及解释

函数的零点所在的区间-概述说明以及解释1.引言1.1 概述函数的零点是函数图像与x轴交点的横坐标,也就是函数在该点的取值为0。

寻找函数的零点在数学和工程学科中具有重要的应用价值,特别是在求解等式和方程的根、优化问题以及曲线的交点等方面。

本文将探讨函数的零点所在的区间,即给定一个函数,如何确定它的零点可能存在的范围。

对于一些简单的函数,可以直接通过解方程得到精确的零点值,但对于一些复杂的函数或者无法解析求解的函数,我们需要利用数值方法来确定它的零点所在的区间。

寻找零点的方法有很多种,如二分法、牛顿法、割线法等。

这些方法都是通过不断逼近函数的零点来得到近似解。

但在使用这些方法之前,我们需要先确定零点可能存在的区间,这对于问题的求解非常重要。

确定零点所在的区间可以通过函数图像的观察和分析来进行。

首先,我们可以通过函数图像的上升和下降趋势来初步判断零点的位置。

如果我们注意到函数在某个区间内上升,在该区间的另一端下降,那么零点必然存在于该区间内。

其次,我们可以通过函数在两个点处的取值来推断零点所在的区间。

如果函数在两点处取值异号,那么根据连续函数的性质,函数在这两点之间一定存在一个零点。

我们可以将这个区间作为寻找零点的初始范围,然后再利用数值方法进行逼近求解。

此外,我们还可以通过函数的导数来确定零点所在的区间。

如果函数的导数在某个区间内恒正或者恒负,那么函数在该区间内是单调递增或者单调递减的,从而零点必然存在于该区间内。

我们可以通过求解导函数的零点来得到可能存在的零点所在的区间。

综上所述,确定函数的零点所在的区间是问题求解的第一步,它为后续的数值方法提供了一个有效的初始范围。

在实际应用中,根据函数的特点和求解的需要,可以采用不同的方法来确定零点区间,以提高计算的效率和准确性。

在接下来的章节中,我们将介绍寻找零点的具体方法,并通过实例进行说明。

1.2 文章结构文章结构部分的内容应该包括以下内容:文章结构部分旨在介绍本文的整体结构和组织方式,以帮助读者更好地理解和阅读本文。

分段函数的零点与交点定理

分段函数的零点与交点定理

分段函数的零点与交点定理在学习高中数学时,我们不可避免地要学习分段函数。

分段函数是指一种函数,在一个定义域中,由一个以上的函数组成,每个函数定义域的不同而使得整个函数在定义域上不连续,会有很多非常规的性质,其中包括零点与交点定理。

一、零点定理零点指的是一个函数在某一区间内取到零值的情况。

对于一般的函数,我们可以直接将函数转化为一元方程,通过求解方程的根的方式来求解零点。

但是对于分段函数,情况就要变得复杂很多了。

首先,我们需要知道在分段函数中出现零点的条件。

一个分段函数当且仅当在一个小区间内的函数值正负交替时才会出现零点。

这也符合我们对于函数零点的定义:函数值从正数到负数之间穿过x轴。

其次,我们需要知道如何对于分段函数求出它的零点。

因为分段函数不连续,所以我们无法直接求出x的值。

我们需要先确定函数的取值范围,再根据分段函数的定义确定在哪个小区间里出现了零点,然后使用方程的根的形式求解,在小区间内,所得的结果就是分段函数的零点。

比如,对于下面的函数:$$ f(x)=\begin{cases} -x+1, & 0<x\leqslant 1 \\ x-3, & 1<x<2\end{cases} $$我们可以将它画在坐标轴上:![image-20210916123405675](img/image-20210916123405675.png)我们看到,这个函数在1处有一个拐点。

根据我们之前的定义,这个函数在(0,1)和(1,2)两个小区间内都会出现零点。

在(0,1)区间内,因为函数值从正到负,所以我们可以得出:-x+1=0, x=1。

因此,这个区间内的零点即为x=1。

同理,在(1,2)区间内,因为函数值从负到正,所以我们可以得出:x-3=0, x=3。

因此,这个区间内的零点即为x=3。

所以,这个分段函数的零点为x=1和x=3。

二、交点定理交点是指两个函数在某一点处相遇的情况,也就是它们在这个点处的函数值相等。

高中数学函数的零点与图像的关系分析与讲解

高中数学函数的零点与图像的关系分析与讲解

高中数学函数的零点与图像的关系分析与讲解数学函数是高中数学中的重要概念,它在解决实际问题和理论推导中起着关键作用。

而函数的零点与图像的关系更是数学学习中的重要内容之一。

本文将通过具体的题目举例,分析函数的零点与图像的关系,帮助高中学生更好地理解和掌握这一知识点。

一、函数的零点是什么?函数的零点,又称为方程的根或解,是使函数取值为零的自变量的值。

对于一元函数f(x),如果存在一个实数a,使得f(a)=0,那么a就是函数f(x)的零点。

我们可以通过求解方程f(x)=0来确定函数的零点。

例如,考虑函数f(x)=x^2-4x+3,我们可以将其转化为方程x^2-4x+3=0。

通过因式分解或配方法,我们可以得到方程的解x=1和x=3。

因此,函数f(x)的零点是x=1和x=3。

二、函数的零点与图像的关系函数的零点与图像的关系密切相关,通过分析函数的零点,我们可以得到函数图像的一些特征。

1. 零点与函数图像的交点函数的零点是使函数取值为零的自变量的值,也就是函数图像与x轴的交点。

对于上述函数f(x)=x^2-4x+3,我们可以通过绘制函数图像来观察零点与图像的关系。

通过绘制函数图像,我们可以发现函数f(x)的图像与x轴交于点(1,0)和(3,0),即函数的零点x=1和x=3与图像的交点重合。

这说明函数的零点就是函数图像与x轴的交点。

2. 零点与函数图像的对称性函数的零点与函数图像还存在着一种对称性关系。

对于任意函数f(x),如果x=a是函数的零点,那么x=a关于y轴对称的点(-a,0)也是函数的零点。

例如,考虑函数f(x)=x^3-8x,我们可以通过解方程f(x)=0来确定函数的零点。

解方程x^3-8x=0后,我们可以得到x=0和x=-2的解。

通过绘制函数图像,我们可以发现函数的零点x=0和x=-2关于y轴对称,即函数图像关于y轴对称。

三、函数零点的应用举例函数的零点在实际问题中有着广泛的应用,下面通过具体的例题来说明函数零点的应用。

函数零点问题、方程实根问题、图象交点问题

函数零点问题、方程实根问题、图象交点问题

函数零点问题、方程实根问题与函数图象交点问题一、知识归纳1、基本知识点(1)函数的零点方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x 轴有交点⇔函数y=f(x)有零点方程f(x)=0的实数根=函数y=f(x)的图象与x 轴交点的横坐标=函数y=f(x)的零点 注:零点是数不是点(2)函数零点的存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。

即存在c ∈(a,b),使得f(c)=0,这个c 也就方程f(x)=0的根。

(3)函数零点存在性定理的推论:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且有f(a)·f(b)<0,并在区间[a , b]上具有单调性,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内一定只有一个零点。

即存在唯一数c ∈(a,b),使得f(c)=0,这个c 也就方程f(x)=0唯一的根。

(4)二分法:对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数,通过不断地把函数y=f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。

(逼近思想、近似思想)2、函数的零点问题、方程的实根问题、函数图象的交点问题实为同一种问题,可相互转化;其解决方法有:方程法、方程组法、图象法、存在性定理法(常与单调性结合)、函数值域法。

3、用图象法解决一元二次方程实根问题常从以下四个方面考虑:(1)开口方向(2)判别式的情况(3)对称轴位置(4)区间端点函数值情况4、求方程的近似解:图象法、二分法(只能求出某些根的近似值,并不能求出所有根的近似值)二、典例解析例1、方程x 2+(m-2)x+5-m=0的两根都大于2,求实数m 的范围。

关键词:方程、图象、转化例2、求函数21,112322≤<++++=x x x x x y 的值域。

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曲线的交点和函数的零点
例1.已知函数()2()x f x x bx c e =++在点()()0,0P f 处的切线方程为210x y +-=.
(1)求,b c 的值;
(2)求函数()f x 的单调区间;
(3)若方程()f x m =恰有两个不等的实根,求m 的取值范围.
演变1.已知3=x 是函数x x x a x f 10)1ln()(2-++=的一个极值点。

(1)求a ;
(2)求函数)(x f 的单调区间;
(3)若直线b y =与函数)(x f y =的图象有3个交点,求b 的取值范围。

演变2.已知函数x x f ln )(=,x a x g =
)((0<a ),设)()()(x g x f x F +=。

(1)求)(x F 的单调区间;
(2)若以)(x F y =(]3,0(∈x )图象上任意一点),(00y x P 为切点的切线的斜率21≤k 恒成立,求实数a 的最小值。

(3)是否存在实数m ,使得函数1)1
2(2-++=m x a g y 的图象与)1(2x f y +=的图象恰好有四个不同的交点?若存在,求出m 的取值范围,若不存在,说明理由。

例2.已知函数x x a x x f --+=2)ln()(在0=x 处取得极值,
(1)求实数a 的值;
(2)若关于x 的方程b x x f +-
=25)(在区间]2,0[上恰有两个不同的实数根,求实数b 的取值范围.
演变1.设函数22()(1)ln(1)f x x x =+-+
(1)求()f x 的单调区间;
(2)若当1[1,1]x e e
∈--时,不等式()f x m <恒成立,求实数m 的取值范围;
(3)若关于x 的方程2()f x x x a =++在区间[0,2]上恰有两个相异实根,求实数a 的取值范围。

例3.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值. (1)求函数)(x f 的解析式;
(2)求证:对于区间]1,1[-上任意两个自变量的值21,x x ,都有4)()(21≤-x f x f ;
(3)若过点)2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线,求实数m 的取值范围. 演变1.已知函数3()f x x x =-.
(1)求曲线()y f x =在点(())M t f t ,处的切线方程;
(2)设0a >,如果过点()a b ,可作曲线()y f x =的三条切线,证明:()a b f a -<<. 演变2.已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极小值-4,使其导数'()0f x >的取值范围为(1,3),求:
(1)()f x 的解析式;
(2)若过点(1,)P m -可作曲线()y f x =的三条切线,求实数m 的取值范围.
例4.已知函数.1ln )(),()(-=∈=x x g R a ax x f
(1)若函数x x f x x g x h 2)(2
1)()(--+=存在单调递减区间,求a 的取值范围; (2)当0a >时,试讨论这两个函数图象的交点个数.
演变1.已知)()2ln(2)(2R a x ax x f ∈-+=
(1)若)(x f 在区间(0,2)上是减函数,求a 的取值范围;
(2)设1>a ,判断)(x f =0根的个数,并说明理由。

演变2.已知函数()2
ln f x x a x =-在区间(1,2 ]上是增函数,()g x x =-(0,1)上为减函数.
(1)试求函数()(),f x g x 的解析式;
(2)当 x >0时,讨论方程()()2f x g x =+根的个数.
例 5.已知函数()2ln bx x a x f -=图象上一点(2,(2))P f 处的切线方程为22ln 23++-=x y .
(1)求b a ,的值;
(2)若方程()0=+m x f 在1[,]e e
内有两个不等实根,求m 的取值范围
强化练习
1.函数()ln 26f x x x =+-的零点个数为( )
A .0
B .1
C .2
D .多于两个
2.函数2()ln(1)f x x x =+-
的零点所在的大致区间是( ) A .(0,1)
B .(1,2)
C .(2,)e
D .(3,4) 3.已知函数33y x x c =-+的图像与x 轴恰有两个公共点,则c =( )
A .2-或2
B .9-或3
C .1-或1
D .3-或1 4.函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为( )
A .3
B .2
C .1
D .0
5.设函数1()ln 3
f x x x =
-(0x >),则()y f x =( ) A .在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点 B .在区间1(,1)e
内有零点,在区间(1,)e 内无零点 C .在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点 D .在区间1(,1)e 内无零点,在区间(1,)e 内有零点 6.设函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ,则0)(='x f 有( )
A .分别位于区间(1,2)、(2,3)、(3,4)内的三个根
B .四个根)4,3,2,1(=i x i
C .分别位于区间(0,1)、(1,2)、(2,3)、(3,4)内的四个根
D .分别位于区间(0,1)、(1,2)、(2,3)内的三个根
7.设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数,()f x '是()f x 的导函数,当
[]0,x π∈时,0()1f x <<;当(0,)x π∈且2x π
≠时 ,()()02x f x π
'->,则函数
()sin y f x x =-在[2,2]ππ-上的零点个数为( )
A .2
B .4
C .5
D .8 8.若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点1x 、2x ,且11()f x x =,则关于x 的方程
23[()]2()0f x a f x b +⋅+=的不同实根个数是( )
A .3
B .4
C .5
D .6
9.若函数()2x f x e x a =--在R 上有两个零点,则实数a 的取值范围是________.
10.设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-,记()()f x g x x
=,若函数()g x 至少存在一个零点,则实数m 的取值范围是 .
11.设函数ax x x f -=ln )(,ax e x g x
-=)(,其中a 为实数.
(1)若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数,且)(x g 在),1(+∞上有最小值,求a 的取值范围;
(2)若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数,试求)(x f 的零点个数,并证明你的结论.
12.已知函数2()1x f x e ax bx =---,其中,a b R ∈
(1)设()g x 是函数()f x 的导函数,求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值;
(2)若(1)0f =,函数()f x 在区间(0,1)内有零点,求a 的取值范围
13.设函数2()x x f x c e
=+(c R ∈). (1)求)(x f 的单调区间与最大值;
(2)讨论关于x 的方程|ln |()x f x =根的个数.
答案:B 、B 、A 、B 、D 、A 、B 、A 、22ln 2a >-、21(,]e e -∞+
11.(1)a 的取值范围为),(+∞e ;
(2)当0≤a 时,)(x f 的零点个数为1;当10a e
<<时,)(x f 的零点个数为2 12.(1)min 11,,21()22ln(2),,222,,2b a e g x a a a b a e e a b a ⎧-≤⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩
(2)(2,1)e - 13.(1)递增区间是1
(,)2-∞,单调递减区间是1(,)2+∞, 最大值为
12c e + (2)当2c e -<-时,有0根;当2c e -=-时,有1根;当2c e ->-时,有2根.。

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