新版北师大九年级上第三章4.相似三角形的判定(一)导学案
北师大新版九年级数学上册-4.5相似三角形判定定理的证明1教案带教学反思
＝∠
ACD ；②∠
ADC ＝∠
ACB；③
AC CD
＝BACB；
④ AC2 ＝ AD·AB. 其 中 能 单 独 判 定
△ ABC ∽△ ACD 的个数为（
）
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：在图中已知两个三角形有一
夹角相等， 若不是夹角相等，则不能判定这
两个三角形相似 . 【类型二】 探索三角形相似的条件
＝ 0，Δ＝ l2－ 4mn. 当 Δ＝l 2－ 4mn＜ 0 时，存在以 P、A、B
三点为顶点的三角形与以 P、 C、D 三点为 顶点的三角形相似的一个点 P；
当 Δ＝l 2－ 4mn＝ 0 时，存在以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、 C、D 三点为 顶点的三角形相似的两个点 P；
当 Δ＝l 2－ 4mn＞ 0 时，存在以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、 C、D 三点为 顶点的三角形相似的三个点 P.
方法总结： 由于相似情况不明确，
因此要分两种情况讨论， 注意要找准对应边 .
三、板书设计 相似 三角 形判定 定理的证 明 判定定理 1 判定定理 2 判定定理 3
本课主要是证明相似三角形判定定理， 以学 生的自主探究为主， 鼓励学生独立思考， 多 角度分析解决问题， 总结常见的辅助线添加 方法， 使学生的推理能力和几何思维都获得 提高，培养学生的探索精神和合作意识 .
P？两个点
P？三个点 P？ 解：（1）设 BP＝ x，则 DP ＝ 10－x.
若△
ABP∽△
CDP
，则
CADB＝
BP DPபைடு நூலகம்
，即
94＝
x ，解得 x＝ 90；若△ ABP∽△ PDC ，则
北师大九年级数学上第四章相似三角形的性质及判定讲义
教学过程前课回顾1. 相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 2. 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方错题重现1．若3x-7y=0, 则y∶x=_______, =________。
2．若a=7, b=4, c=5, 则b, a, c 的第四比例项d=_______。
3.若线段a=4, b=6, 则a, b 的比例中项为________。
4.已知：===, 则=______，=_________。
5.已知：a∶b∶c=3∶4∶5, a+b -c=4, 则4a+2b-3c=________。
知识详解知识点二：相似三角形的判定 相似三角形的几种基本图形：A C E DB①E DCB A ②A③C BDE D BCA⑥A CB④D A CDBP⑤图①为“A ”型图，条件是DE ∥BC ，基本结论是△ADE ∽△ABC ； 图②为“X ”型图，条件是ED ∥BC ，基本结论是△ADE ∽△ABC ； 图③，图④是图①的变式；图⑤是图②的变式；图⑥是“母子”型图，条件是CD 为斜边上的高，基本结论是△ACD ∽△ABC ∽△CBD 。
典型例题作辅助线构造“A ”“X ”型例1、如图，1==DEAECD BD ，求BF AF 。
（试用多种方法解）方法一：方法二：方法三：例2、如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 上的一点，且AE=31AD ，CE 交AB 于点F ，若AF=1.2cm ，求AB 的长。
北师大版九年级数学上册4.4探索三角形相似的条件教学设计
-学生在完成练习后，对照答案进行自我检查，找出错误原因，及时修正。
-教师组织课堂小结，让学生复述相似三角形的判定方法和应用，巩固所学知识。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生的审美观念，让学生体会相似三角形在几何图形中的美。
-教师引导学生通过几何画板或其他教具，观察相似三角形的特征，并总结规律。
-学生在小组内分享观察结果，讨论相似三角形的判定条件。
2.理论与实际结合：结合具体实例，让学生将相似三角形的性质应用于解决实际问题，提高学生解决问题的能力。
-教师设计具有实际背景的问题，指导学生运用相似三角形的性质进行求解。
-学生通过自主探究和小组合作，解决实际问题，体验数学知识在生活中的应用。
-教师引导学生发现相似三角形在自然界和生活中的应用，如建筑、艺术等，激发学生对几何美的追求。
2.培养学生合作交流的意识，增强团队协作能力。
-在小组合作活动中，学生学会倾听他人意见，表达自己的观点，共同解决问题。
3.增强学生的自信心，激发学习数学的兴趣。
-教师及时给予学生鼓励和肯定，让学生在解决实际问题的过程中感受到成功的喜悦，提高学习积极性。
2.提出问题：向学生提问：“你们觉得这些图形之间有什么联系？”、“如何判断两个三角形是否相似？”等问题，激发学生的思考，为新课的学习做好铺垫。
3.回顾相关知识：简要回顾全等三角形的判定方法，为学生学习相似三角形的判定方法打下基础。
（二）讲授新知
在这一环节，我将系统地讲解相似三角形的定义、判定方法及其应用：
-设计开放性问题和实际应用题，评价学生对相似三角形知识掌握的深度和广度。
九年级数学 相似三角形的判定(教案、导学案)
27.2相似三角形27.2.1 相似三角形的判定第1课时相似三角形的判定（1)【知识与技能】1.了解相似三角形的概念及其表示方法；2.掌握平行线分线段成比例定理及平行于三角形一边的直线的性质定理；3.掌握相似三角形判定的预备定理.【过程与方法】经历从探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力和逻辑思维能力.【情感态度】体验从一般到特殊及由特殊到一般的认知规律，发展辩证思维能力. 【教学重点】平行线分线段成比例定理及判定三角形相似的预备定理.【教学难点】探索平行线分线段成比例定理的过程.一、情境导入，初步认识问题1相似多边形的性质是否也适用于相似三角形呢？问题2如果△ABC与△A1B1C1相似，能类似于两个三角形全等，给出一种相似表示方法吗？△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为k ，那么△A 1B 1C 1与△ABC 的相似比也是k 吗？问题3 如何判定两个三角形相似呢？【教学说明】通过上述三个问题的设置，既帮助学生认识了相似三角形的一些基本知识，又为引出平行线分线段成比例定理作些铺塾，教师可釆用自问自答形式讲述这部分内容. 二、思考探究，获取新知问题1 如图，任意画两条直线l 1，l 2，再画三条与l 1，l 2相交的平行线l 3，l 4，l 5分别度量AB ，BC ，DE ，EF 长度，则EFDEBC AB 与相等吗？呢？与DF DE AC AB 呢？与DFEFCA BC【教学说明】教师可让学生在自己准备的 白纸上画出类似图形，测出所截各条线段的长度（尽可能准确些），然后求出相应比值的近似值，便于作出说明.教师巡视，发现问题及时引导.对出现比值相差较大情形，帮助他们分析，找出原因，尽量让学生们获得对应线段的比值近似相等这一结果，形成感性认知.最后，教师可综合大多数同学的认知，给予总结，得出结论.平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等.【教学说明】这一结论不要求学生证明，只需形成感性认识.为了便于记忆，上述定理的结论可使用下面形象化的语言，如：.等全下全下，全上全上，上下上下，下上下上==== 问题 2 如图，当l 1//l 2//l 3时，在（1）中是否仍有呢？，，AF EFAC BCAF AE AC AB EF AE BC AB ===在（2）中是否仍有呢？，，DFBFACBCDF DB AC AB BF DB BC AB ===【教学说明】针对问题2，教师应引导学生利用“平行线分线段成比例定理”来进行说明，不可继续用测量方法得到，这样就由感性认识 上升到理性思考.这里建议将学生进行分组，小组讨论，相互交流，形成认识，最后教师再与全 班同学一道分析，得出结论.平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得到的对应线段的比相等.问题3 如图，在△ABC 中，DE// BC ，DE 分别交AB 、AC 于D 、E ，则△ABC 与△ADE 能相似吗？为什么？问题4如图，已知DE//BC，DE分别交AB.AC的反向延长线于D、E，则△ADE与△ABC能相似吗？为什么？【教学说明】将全班学生分成两组，分别完成问题3、4的探究，教师应先给予点拨，突破难点（即添加辅助线，达到两个三角形的三边的比能相等的目的），然后学生自主完成，锻炼逻辑思维能力和推理能力.平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 (相似三角形判定的预备定理).三、运用新知，深化理解1.如图，DE//BC，EF//AB，请尽可能多地找出图中的相似三角形，并用符号表示出来.2.如图D 为△ABC 中BC 边的中点，E 为AD 中点，连接并延长BE 交 AC 于F.过E 作EG//AC 交BC 于G. （1） 求AC EG 的值；（2)求CF EG 的值；（3)求FCAF的值.3.如图，已知在△ABC 中，DE//BC ，AD=EC ，BD=1cm ，AE=4cm ，BC=5cm ， 求 DE 的长.【教学说明】 让学生自主完成，也可合作完成，在练习中加深理解.教师巡视指导，及时点拨.在完成上述题目后，教师引导学生完成创 优作业中本课时的“名师导学”部分.【答案】1.解：△ADE ～△ABC ，△CEF ～△CAB, △ADE ～△EFC. 2.解：（1）∵EG//AC ，∴△DGE ～△DCA ，∴21==DA DE AC EG . （2）∵EG//AC ，E 是AD 的中点，∴G 是CD 的中点，即CG=DG.又D 是BC 的中点，∴BD=CD ，∴BG=3CG ，BC=4CG ，∴34BG BC = . ∵EG//FC, ∴△BEG ～△BFC,∴43==BC BG FC FG . （3）过D 点作DH//CF ，交BF 于H.易得DH=AF ，∴21==FC DH FC AF . 3.解：∵DE//BC ，∴ECAEDB AD =,又AD=CE ，∴AD 2=4，∴AD=2，∴AB=3.由DE//BC 可知△ADE ～△ABC ，∴）（cm 310352=⨯==BC DE AB AD . 四、师生互动，课堂小结 1.这节课你学到了哪些知识？ 2.你还有哪些疑惑？【教学说明】师生以交谈方式回顾本节知识，重点应关注哪些内容，还有什么地方不太明白，及时解疑.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.本课时教学思路应从探究、猜想、验证归纳出发，遵循学生的理解认知能力，由浅入深、逐步推进，激发学生自主探究的学习热情，培养学生的自主学习能力.27.2 相似三角形 27.2.1 相似三角形的判定 第1课时 相似三角形的判定（1）一、新课导入 1.课题导入问题1：我们学过哪些判定两个三角形全等的方法？问题2：类比上面这些方法，猜一猜判定两个三角形相似的方法有哪些？ 由此导入课题(板书课题). 2.学习目标（1）能用符号表示两个三角形相似，能确定它们的相似比、对应边和对应角.（2）能叙述平行线分线段成比例定理及其推论，并能结合图形写出正确的比例式.（3）能用平行线分线段成比例定理的推论证明三角形相似的判定引理. 3.学习重、难点重点：平行线分线段成比例定理及其推论. 难点：正确理解定理中的“对应线段”. 二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P29~P30思考上面的内容. （2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：学生分小组采用度量的方法和已学知识探究平行线分线段成比例定理，并完成自学参考提纲.（4）自学参考提纲：①三个角相等，三条边成比例的两个三角形相似.在△ABC 和△A′B′C′中, 如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=C′,AB BC CAk A B B C C A ==='''''', 那么△ABC 和△A′B′C′相似，记作△ABC ∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k，△A′B′C′与△ABC的相似比为1 k .全等三角形也是相似三角形, 它们的相似比为1.②相似三角形的对应角相等，对应边成比例.③完成教材P29探究：a.如图1，量一量，算一算，ABBC与DEEF相等吗？BCAB与EFDE呢？ABAC与DEDF呢？BCAC与EFDF呢?b.由上一步可得：∵l3∥l4∥l5,∴ABBC=DEEF，BCAB=EFDE，ABAC=DEDF，BC AC =EFDF.c.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.d.指出图1中的所有对应线段(如AB与DE)：BC与EF,AC与DF.④把平行线分线段成比例定理应用到三角形中，会出现图2和图3两个基本图形：在这两个图形中，把DE看成平行于△ABC的边BC的直线，截其他两边（如图1）或其他两边的延长线（如图2），于是可得推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.即：∵DE∥BC,∴ADDB=AEEC，ADAB=AEAC，BDAB=CEAC.2.自学：结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：能否正确理解“对应线段”，尤其是在推论的两个图形中.②差异指导：根据学情，指导学生结合图形理解“对应线段”.（2）生助生：小组交流、研讨.4.强化（1）分清平行线分线段成比例定理的条件与结论,弄清哪些是“对应线段”.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等（强调“对应”）.1.自学指导（1）自学内容：教材P30思考~P31.（2）自学时间：6分钟.（3）自学方法：学生分小组对不同类型的相似三角形进行证明，并完成自学参考提纲.（4）自学参考提纲：①已知DE∥BC,运用定义证明△ADE∽△ABC(如图1，作EF∥AB).证三个角相等：∠A公共，由DE∥BC可得∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.证三条边成比例：由DE∥BC可得ADAB＝AEAC，由EF∥AB可得BFBC＝AEAC.由DE∥BC，EF∥AB可得四边形BFED是平行四边形，所以BF=DE.故DE BCADAB=AEAC=BFBC.所以△ADE∽△ABC.②如图2, DE∥BC分别交BA、CA的延长线于点D、E，那么△ADE与△ABC 相似吗？能否给予证明？相似.∵DE ∥BC,∴∠E=∠C,∠D=∠B.过E 作EF ∥BD 交CB 的延长线于点F. ∵DE ∥BC ，EF ∥BD ，∴,AE AD BF AEAC AB BC AC==. 又∵四边形BDEF 是平行四边形，∴DE=BF,∴AE AD DEAC AB BC==. ∴△ADE ∽△ABC.③如图3，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，求证:△ADE ∽△EFC. ∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴∠CEF=∠A,∠ADE=∠B=∠EFC,AD AE DB EC =,BF AEFC EC=. 又∵四边形BDEF 是平行四边形， ∴BD=EF,DE=BF. ∴AD AE DEEF EC FC==, ∴△ADE ∽△EFC.④如图4，DE ∥FG ∥BC ，找出图中所有的相似三角形. 由DE ∥FG ∥BC ，易知△ADE ∽△AFG ∽△ABC. 2.自学：结合自学指导进行自学. 3.助学 （1）师助生：①明了学情：看学生能否添加辅助线构造比例线段进行转化. ②差异指导：根据学情指导学生弄清引理的证明思路和方法. （2）生助生：小组交流、研讨. 4.强化（1）判定三角形相似的预备定理及其两个基本图形. （2）点两名学生板演自学参考提纲中第③、④题，并点评. 三、评价1.学生学习的自我评价：这节课你有什么收获？还有哪些不足？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：从学生的课堂参与程度、思维状况、小组协作等方面的课堂表现去评价.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时先给出相似三角形的定义，说明有关概念，明确相似三角形的符号表示和相似比的意义.由于三角形的相似与比例线段密不可分，因此在形成相似三角形的概念之后，主要安排学习比例线段，进而讨论平行于三角形一边的平行线的性质与判定以及平行线分线段成比例定理，为研究相似三角形提供了必要的知识准备.教学过程中应遵循学生的理解认知能力，由浅入深，逐步推进.一、基础巩固（70分）1.(10分)如图，在△ABC中，DE∥BC, 且AD=3，DB=2.图中的相似三角形是△ADE∽△ABC，其相似比是35.第1题图第2题图2.(10分)如图，DE∥BC，DF∥AC，则图中相似三角形一共有（C）A.1对B.2对C.3对D.4对3.(10分)如图，DE∥BC，12ADDB，则AEAC=(B)A.12B.13C.23D.32第3题图第4题图4.(10分)如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是（A ）5.(10分)如图，AB ∥CD ∥EF,AF 与BE 相交于点G ，且AG=2，GD=1，DF=5，求BC CE .解：∵AB ∥CD ∥EF,∴35BC AD AG GD CE DF DF +===. 6.(20分)如图，DE ∥BC.（1）如果AD=5，DB=3，求DE ∶BC 的值;（2）如果AD=15，DB=10，AC=15，DE=7，求AE 和BC 的长.解：（1）∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC,∴58DE AD BC AB ==. （2）AE AD AC AB =,即151525AE =,求得 AE=9. DE AD BC AB =,即71525BC =,求得 BC=353. 二、综合应用（20分）7.(20分)如图,△ABC ∽△DCA ，AD ∥BC ，∠B=∠DCA.（1）写出对应边的比例式；（2）写出所有相等的角；（3）若AB=10,BC=12,CA=6,求AD 、DC 的长．解：（1）BC AB AC CA DC DA==; (2)∠BAC=∠CDA,∠B=∠ACD,∠ACB=∠DAC; (3)由（1）中的结论和已知条件可知121066DC AD==,求得AD=3，DC=5. 三、拓展延伸（10分）8.(10分)如图，在△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB 、AC 于点D 、E ，试证明：ADAB=DOCO.证明：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC,△DOE ∽△COB,∴,AD DE DO DE AB BC CO CB==. ∴AD DO AB CO =.。
新北师大版九年级数学上册4.7.1相似三角形的性质(1)导学案.doc
新北师大版九年级数学上册4.7.1相似三角形的性质（1）导学案学 习 目 标1、学会应用相似三角形的性质：对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长比都等于相似比，而面积比等于相似比的平方。
2、能用来解决简单的实际问题。
重点：相似三角形的性质 难点：相似三角形性质的运用【学习过程】1、本节主要知识点：相似三角形的性质 （1） 相似三角形的对应角相等，对应边成比例；（2） 相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比； （3） 相似三角形周长比等于相似比；（4） 相似三角形面积比等于相似比的平方。
2、自主学习例1：钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图纸制作三角形零件，如图1，图纸上的△ABC 表示该零件的横断面△A ′B ′C ′，CD 和C ′D ′分别是它们的高.（1）B A AB '',C B BC '',C A AC ''各等于多少？ （2）△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比.（3）请你在图1中再找出一对相似三角形.（4）DC CD''等于多少？你是怎么做的？与同伴交流解：（1）B A AB ''=C B BC ''=C A AC''=_________. （2）△ABC ∽△A ′B ′C ′ 备注（教师复备栏及学生笔记）备注（教师复备栏及学生笔记） ∵_______=_______=_______∴△ABC ∽△A ′B ′C ′( )，且相似比为___________. （3）△BCD ∽△B ′C ′D ′.（或△ADC ∽△A ′D ′C ′）∵由△ABC ∽△A ′B ′C ′得∠______=∠______ ∵∠________=∠________=_____°∴△BCD ∽△B ′C ′D ′( )（同理△ADC ∽△A ′D ′C ′） （4）∵△BDC ∽△B ′D ′C ′ ∴D C CD''= ________=________.小结1: 若△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 、C ′D ′是它们的__________，那么D C CD ''=CB BC''=k . 3．知识拓展： 求证1：如图2，△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 、C ′D ′分别是它们的对应角平分线，那么D C CD ''= C A AC ''=k . 图2求证2：如图3中，CD 、C ′D ′分别是它们的对应中线，则D C CD ''= C A AC''=k .备注（教师复备栏及学生笔装订线图3我们发现：相似三角形 的比， 的比， 的比都等于相似比例2：如图4所示，AD 是△ABC 的高，AD=h ,点R 在AC 边上，点S 在AB 边上，SR⊥AD,垂足为E .当SR=21BC 时，求DE 的长，如果SR =31BC 呢？三、达标测评：1．△ACD ∽△A ′C ′D ′，BD 和B ′D ′是它们的对应中线，已知23，，CA AC ，B ′D ′记备注（教师复备栏及学生笔记=4cm ，求BD 的长。
新北师大版九年级数学上册4.4.探索三角形相似的条件导学案.doc
新北师大版九年级数学上册4.4.探索三角形相似的条件导学案学 习目 标 1.熟练掌握相似三角形的定义； 2.熟练掌握三角形相似的判定方法；3.能灵活运用判定方法判断两个三角形是否相似。
. 重点：掌握相似三角形的判定定理难点：相似三角形判定定理在实际问题中的灵活运用知识链接：【回顾与思考】1．对应角相等，对应边也相等的两个三角形全等，你还记得三角形全等的其他判别条件吗？2．相似三角形的定义是什么？你认为判别两个三角形相似至少需要哪些条件？ 【合作学习】合作1 同学们观察我们的直角三角尺，直观上看它们是什么关系？如果两个三角形有若干个角对应相等，那么至少有几个角对应相等就能保证这两个三角形相似？ 合作2 与同伴合作，两个人分别画△ABC 和△A ′B ′C ′,使得∠A =∠A ′都等于∠α，∠B 和∠B ′都等于∠β，此时，∠C 与∠C ′相等吗？对应边的比C B BCC A AC B A AB '''''',,相等吗？这样的两个三角形相似吗？改变∠α，∠β的大小，再试一试.由此得到相似三角形的判定方法1：【例题学习】如图，D 、E 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点，DE ∥B C ，AB =7，AD =5，DE =10，求BC 的长。
备注（教师复备栏及学生笔记）备注（教师复【巩固训练】1、如图D 、E 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点，∠AED=∠C ，△ABC 与△ADE 相似吗？如果相似请写出证明过程AB C ED2、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．（二） 【知识回顾】 1，如图，12∠=∠，添加一个条件使得ADE ∆∽ACB ∆ . 2，两个三角形有两边成比例，它们一定相似吗？如果增加一角相等，你能说出有哪几种可能的情况吗？ ,【合作学习】1、（1）画△ABC 与△A ′B ′C ′，使∠A =∠A ′，B A AB ''和C A AC''都等于给定的值k .设法比较 ∠B 与∠B ′（或∠C 与∠C ′）的大小，△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？ （2）改变k 值的大小，再试一试.判定方法2： 2.如果△ABC 与△A ’B ’C ’两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？由此你能得到什么结论？ 备栏及学生笔记）备注（教师复备栏及学装订线21ED CB A结论：【例题学习】 例：如图，D ,E 分别是△ABC 的边AC ,AB 上的点，AE =1.5，AC =2，BC =3，且AD AB =34，求DE 的长.AB CE D（三） 【知识回顾】我们已经有哪些判别两三角形相似的方法？ 【合作学习】画△ABC 与△A ′B ′C ′，使B A AB ''、C B BC ''和A C CA''都等于给定的值k . （1）设法比较∠A 与∠A ′的大小； （2）△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？说说你的理由.改变k 值的大小，再试一试.判定方法3：例：如图在△ABC 和△ADE 中，AB AD =BC DE =ACAE ，∠BAD=20°，求∠CAE 的度数.生笔记备注（教师复备栏及学生笔记【巩固练习】1、如图，AB•AE=AD•AC ，且∠1=∠2，求证：△ABC ∽△ADE ．2、依据下列条件，证明△ABC 与△A ′B ′C ′相似.AB =10 cm,BC =8cm,AC=16cm,A ′B ′=16cm,B ′C ′=12.8 cm ，A′C ′=25.6cm ，【拓展运用】如图△ABC 与△ADE 有公共点A ，∠DAB=∠CAE ，试添加一个条件，使△ABC ∽△ADE ，并加以证明.ABCDE【归纳小结】250°) EDF1.650°)4ABC3.2。
相似三角形复习导学案
相似三角形复习导学案一、学习目标1、掌握相似三角形的定义、性质和判定定理。
2、能够熟练运用相似三角形的性质和判定解决各种问题。
3、培养观察、分析和逻辑推理能力，提高综合运用知识的能力。
二、重点难点1、重点（1）相似三角形的判定定理及其应用。
（2）相似三角形的性质及其应用。
2、难点（1）灵活运用相似三角形的判定和性质解决复杂问题。
（2）相似三角形与其他几何图形的综合应用。
三、知识梳理（一）相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
（二）相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
（三）相似三角形的判定1、两角分别相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
四、典型例题例 1：如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD ＝ 3，DB ＝ 2，AE ＝ 4，求 EC 的长。
解：因为 DE∥BC所以△ADE∽△ABC所以 AD/AB ＝ AE/AC因为 AD ＝ 3，DB ＝ 2，AE ＝ 4所以 AB ＝ AD ＋ DB ＝ 5所以 3/5 ＝ 4/（4 ＋ EC)解得 EC ＝ 20/3例 2：如图，在△ABC 中，∠B ＝ 90°，AB ＝ 6cm，BC ＝ 8cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动。
如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，经过几秒后，△PBQ 与△ABC 相似？解：设经过 t 秒后，△PBQ 与△ABC 相似。
因为 AP ＝ t，BP ＝ 6 t，BQ ＝ 2t（1）当△PBQ∽△ABC 时，BP/AB ＝ BQ/BC即（6 t)／6 ＝ 2t/8解得 t ＝ 12/11（2）当△QBP∽△ABC 时，BQ/AB ＝ BP/BC即 2t/6 ＝（6 t)／8解得 t ＝ 18/11综上，经过 12/11 秒或 18/11 秒后，△PBQ 与△ABC 相似。
九年级数学 相似三角形的判定(教案、导学案)
27.2相似三角形27.2.1 相似三角形的判定第3课时相似三角形的判定（3）【知识与技能】1.掌握“两角对应相等的两个三角形相似”的判定方法以及直角三角形中特有的判定相似的方法.2.能运用相似三角形的判定方法解决具体问题.【过程与方法】在观察、动手探究等活动中，掌握判定三角形相似的方法，体会转化思想.【情感态度】经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的探究、交流能力和推理能力.【教学重点】掌握相似三角形的判定定理3及直角三角形中特有的相似判定方法. 【教学难点】探究两个判定定理的过程及其证明方法.一、情境导入，初步认识观察展示教师用的大三角板（45°和45°) 及学生用小三角尺（45°和45°)，请学生们观察这样的两个三角形相似吗？对应相等，这样的两个三角形相似吗？【教学说明】教师简要回顾学过的相似三角形的判定方法1，2后，提出“还有没有其它的 方法来判定两个三角形相似呢？”，进而展示所准备好的三角尺，让学生获得感性认识，顺理成章地提出思考，激发学生求知欲望.二、思考探究，获取新知问题1 作△ABC 和△A ′B ′C ′，使∠A=∠A ′,∠B=∠B ′，分别度量这两个三角形的边长，计算C A AC C B BC B A AB ''''''，，的值，你有什么发现？ 由此你能作出一个怎样的猜想？【教学说明】让全班同学动手画图，并按要求独立完成探索过程，获得结论后，与同伴交流；只要画图和测量尽可能准确，则会得到它们 的比值相等，从而初步了解“有两个角对应相等的两个三角形相似”的结论.教师巡视，对出现偏差的结论应予以帮助，查找问题，尽量让他们也能获得正确结论.问题2 如图，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A=∠A ′,∠B=∠B ′，则△ABC ～△A ′B ′C ′吗？说说你的理由.【教学说明】教师应引导学生论证上述结论，在学生动笔前给予适当点拨，让学生能独立完成说理.在巡视时，对有困难的学生给予指导，并给出足够的时间，锻炼学生的合情推理能力.对应相等，那么这两个三角形相似.试一试如图，点D是AB边上一点，且∠ACD=∠B，试问：图中是否存在能够相似的二角形？如果存在，请指出来，并说明理由. 【教学说明】现学现用，巩固所学新知识.问题3对于直角三角形，我们知道“有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形是全等的”，那么如果两个直角三角形中，有一条直角边与斜边的比对应相等，这样的两个直角三角形相似吗？【教学说明】教师应先与学生一道交流，找出两个直角三角形的已知条件有哪些（用图形和符号语言来表述），从这些条件到所探讨的结论之间还缺少什么条件，能否通过推理计算获得相应条件，从而引出利用勾股定理来探讨第三条对应边之间关系而获得结论.然后让学生独立完成，或相互交流获得论证过程.直角三角形相似的特殊判定方法：斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似.三、典例精析，掌握新知例1教材P35例2.例2如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB边上的高线.求证：（1）△ABC～△CBD；（2）CD2=AD•DB.【教学说明】例1可让学生自主探究，独立完成，再相互交流.例2则需师生共同探讨，利用直角三角形及高线定义找出图中能够相等 的角，从而获得相似的三角形有哪些，进而可解决问题.但它的证明过程仍可由学生自己完成，教师再挑选两至三份作业予以展示，共同评析，达到掌握本节知识的目的.四、运用新知，深化理解1.底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论.2.如图，AD 、BE 是AABC 的高线，它们相交于点 F.求证：AF • DF=BF • EF.3. 如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且BD CD CD AD ，试求∠ACB 的大小.【教学说明】1，3两题分别应用本节的两种三角形相似的判定方法来获得结论，是对本节知识较好的理解与掌握的体现，而第2题则是用一般三角形相似的判定方法来解决直角三角形中的相似问题，具有代表性.这些练习可根据实际情况选做，要求学生自主完成或相互交 流来得到结论.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.五、师生互动，课堂小结1.本节学习两种判定三角形相似的方法，它们分别是什么？2.总结一下判定两个直角三角形相似的方法.【教学说明】釆用师生互动方式进行，教师设问，学生抢答，进行必要的知识梳理.1.布置作业：从P42〜44习题27.2中选取.2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.本课时应强调学生自主探究的原则，让学生通过观察、实验、动手探究等方式掌握判定三角形相似的方法.整堂课应注重转化思想的运用，本课时难点在于探究两个判定定理的过程及其证明方法，教师教学时讲解要尽可能详尽.教学过程中，应鼓励学生相互交流探讨，以提高学生的学习热情.27.2.1相似三角形的判定第3课时相似三角形的判定（3）——相似三角形的判定3和直角三角形相似的判定一、新课导入1.课题导入情景：拿一个含30°角的三角尺，让学生判断其内、外轮廓构成的两个含30°角的直角三角形是否相似.问题1：你是怎么判定的？能用前面学习的判定定理判定它们相似吗？问题2：我们由三角形全等的SSS和SAS的判定方法类似地得到了三角形相似的判定定理，那么能否同样地由三角形全等的ASA或AAS类比得到相应的三角形相似的判定方法呢？（板书课题）2.学习目标(1)知道两角分别相等的两个三角形相似；知道斜边、直角边成比例的两个直角三角形相似.(2)能证明结论“斜边、直角边成比例的两个直角三角形相似”.(3)能灵活选择适当的方法证明两个三角形相似.3.学习重、难点重点：相似三角形的判定方法3以及直角三角形相似的判定方法.难点：定理的证明.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P35.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：仿照上课时探究1,2完成探究提纲.（4）探究提纲：①探究：与同伴合作,一人先画△ABC,另一人再画△A′B′C′，使得∠A=∠A′，∠B=∠B′.a.操作判断：分别测量这两个三角形的边长，计算,,AB AC BC A B A C B C ''''''的值，你有什么发现？∠C=∠C′ 吗？由此你得到一个什么样的猜想？b.交流比较：把你的结果跟你周围的同学比较，你们的结论相同吗？c.归纳猜想：两角分别相等的两个三角形相似.d.推理证明：已知△ABC 和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.求证：△ABC ∽△A′B′C′.证明：在A′B′上截取A′D=AB,过D 作DE ∥B′C′交A′C′于点E.∵DE ∥B′C′,∴△A′DE ∽△A′B′C′.又∵∠A=∠A′,∠B=∠B′,DE ∥B′C′,AB=A′D,∴∠A′DE=∠B′=∠B.∴△ABC ≌△A′DE.∴△ABC ∽△A′B′C′.e.推理格式：∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴△ABC ∽△A′B′C′.②教材P35例2：如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E 是AC 上一点，AE=5，ED ⊥AB,垂足为D,求AD 的长.a.AB,AC,AE,AD 分别是哪两个三角形的边？这两个三角形相似吗？b.怎样证明这两个三角形相似？由此可以得到关于AB,AC,AE,AD 的一个怎样的比例式？c.写出你的解答过程.AB,AC 是△ABC 的边，AE,AD 是△AED 的边，这两个三角形相似.∵ED ⊥AB,∴∠EDA=90°,又∵∠C=90°,∠A=∠A,∴△AED ∽△ABC.∴AD AE AC AB =.∴AD=·AC AE AB=4. ③如图，若∠B=∠AED ，则△ADE ∽△ACB 吗？为什么？△ADE ∽△ACB.理由：∵∠B=∠AED,∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB.④底角相等的两个等腰三角形相似吗？顶角相等的两个等腰三角形相似吗？证明你的结论.（相似，证明略）2.自学：学生参照自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生对三角形相似的判定定理3的掌握情况.②差异指导：根据学情进行指导.（2）生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化：∠A＝∠A′，∠B＝∠B′△ABC∽△A′B′C′.1.自学指导（1）自学内容：教材P36.（2）自学时间: 6分钟.（3）自学方法:注意怎样根据已知条件选择合适的定理.(4)自学参考提纲：①由已知∠C=∠C′=90°，AB ACA B A C='''',能根据定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明两个三角形相似吗？为什么？（不能，∠C和∠C′并非对应两边的夹角）②选择定理“三边成比例的两个三角形相似”证明两个三角形相似，还差什么条件？AB BC A B B C=''''③能否像前面三个判定定理的证明一样，构造一个与已知的一个三角形全等而与已知的另一个三角形相似的中间三角形的方法来证明呢？④如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高.求证：a.△ACD∽△ABC；b.△CBD∽△ABC.证明：∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠CDB=90°.∴∠ADC=∠ACB=∠CDB.a.在△ACD和△ABC中，∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB,∴△ACD∽△ABC.b.在△CBD和△ABC中，∵∠B=∠B,∠CDB=∠ACB,∴△CBD∽△ABC.⑤如果Rt△ABC的两条直角边分别为3和4，那么以3k和4k(k＞0)为直角边的直角三角形一定与Rt△ABC相似吗？为什么？（相似，理由：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）2.自学：学生参照自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：直角三角形相似判定定理的归纳与证明.②差异指导：根据学情进行指导.（2）生助生：生生互动交流、研讨.4.强化（1）直角三角形相似的判定方法.（2）点学生口答后，点3位学生板演，并点评.三、评价1.学生学习的自我评价：这节课你学到了些什么？有哪些收获和不足？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：从学习态度、参与程度、思维状况等方面进行评价.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时应以学生自主探究为原则，让学生通过观察、实验、动手操作等方式探究并掌握判定三角形相似的方法.在这节课中，通过设计问题和启发、引导，让学生悟出学习方法和途径，培养学生独立学习的能力.整堂课应注重转化思想的运用，难点在于探究两个判定定理的过程及其证明方法，教师教学时讲解要尽可能详尽.教学过程中，应鼓励学生相互交流探讨，以提高学生的学习热情.一、基础巩固（70分）1.(10分)如图，当∠ADE=∠C（答案不唯一）时，△ABC∽△AED(填写一个条件).第1题图第2题图2.(10分)如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC ∽△EPD，则点P所在的格点为（C）A.P1B.P2C.P3D.P43.(10分)如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC的平分线交AC于点D，求证：△ABC∽△BDC.证明：∵AB=AC，∠A=36°,BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=36°,∴∠A=∠DBC.在△ABC和△BDC中,∠A=∠DBC,∠C=∠C.∴△ABC∽△BDC.4. (10分)如图，AD是Rt△ABC的斜边上的高.若AB=4 cm,BC=10 cm,求BD 的长.解：∵AD⊥BC,∠BAC=90°,∴∠ADB=∠CAB.∴△ABD∽△CBA,∴BD BA AB CB=,即4410BD=,BD=1.6(cm).5.(30分)从下面这些三角形中，选出相似的三角形.①、⑤、⑥相似，③、④、⑧相似，②和⑦相似.二、综合应用（20分）6.(20分)如图，△ABC中，D在线段BC上，∠BAC=∠ADC，AC=8，BC=16.（1）求证：△ABC∽△DAC;（2）求CD的长.（1）证明：∵∠BAC=∠ADC,∠C=∠C,∴△ABC∽△DAC.(2)解：∵△ABC∽△DAC，∴CD ACCA BC=,即8816CD=,∴CD=4.三、拓展延伸（10分）7.(10分)如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一个定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（C）A.1条B.2条C.3条D.4条。
最新北师大版九年级数学上册《相似三角形判定定理的证明》4教学设计(精品教案)
4.5相似三角形判定定理的证明教案课型：新授课教学目标：1. 以问题的形式，创设一个有利于学生动手和探究的情境，达到学会本节课所学的相似三角形的判定方法.2. 会证明相似三角形判定定理.3. 培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值.掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力.教学重点与难点：重点：证明相似三角形判定定理．抓住判定方法的条件，通过已知条件的分析，把握图形的结构特点.难点：证明相似三角形判定定理．关键：利用经典题目特别训练，并辅以课件的演示是突破难点的好方法．课前准备：制作多媒体课件.教学过程：一、创设情景，导入新课活动内容：1.观察并思考，用叠合法证明这两个风筝图形相似.2.相似三角形的判定方法有哪些？3.判定两个三角形全等的方法有哪些？活动方式：问题1由教师演示动画，并适时强调叠合法在本节课有很大的作用，学生观察思考完成.对于问题2、3直接让学生口答：SAS，ASA，AAS，SSS，（HL）；（1）两角对应相等，两三角形相似.（2）两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.（3）三边对应成比例,两三角形相似.设计意图: 利用学生感兴趣的动画演示开始本节课的学习和探讨，更有助于培养学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣，同时也让学生进一步回顾相关知识点，为进行新课做好准备.二、探究学习，感悟新知活动内容：（多媒体逐个出示探究1、2、3）探究1：两角对应相等，两三角形相似. 已知：如图∠A =∠A '，∠B =∠B '， 求证：△ABC ∽△A B C '''.如何证明呢？温馨提示：如何能把△A B C '''叠合到△ABC 上呢？ 证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD=A B ''，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，则∠ADE=∠B ，AD AE ABAC=.过点D 作AC 的平行线，交BC 于点F,则AD CFAB CB=. ∴AE CFAC CB=.∵ DE ∥BC,DF ∥AC,∴ 四边形DFCE 是平行四边形. ∴DE=CF. ∴AE DE ACBC=.∴AD AE DE ABACBC==.而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC, ∠AED=∠C, ∴△ADE ∽△ABC.∵∠A=∠A ', ∠ADE=∠B =∠B ',AD=A B '',∴△ADE≌△A B C'''.∴△ABC∽△A B C'''.活动方式：探究1由教师用课件展示证明过程，特别是添加辅助线应该让学生先分组讨论，再进行尝试画图，最后老师展示证明的全部过程.设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，进一步熟悉证明文字命题的基本步骤:画图、写已知、求证、证明过程.同时通过分析问题,提高学生交流的能力和语言表达能力！巩固训练１：已知：如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.解：∵∠A= ∠A,∠ABD=∠C,∴△ABD ∽△ACB ,∴AB AD=,AC AB∴AB2 = AD · AC.∵AD=2, AC=8,∴AB =4.活动方式：分小组讨论这个问题，并作出推理证明,两名学生分别板演这个问题的证明过程.设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，巩固定理1：两角对应相等，两三角形相似.探究2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 已知：如图，在△ABC 和A B C '''∆ 中，∠A =∠A ，CA ACB A AB ''=''. 求证:△ABC ∽A B C '''∆.证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD=A B ''，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，则∠ADE=∠B, ∠AED=∠C,∴△ABC ∽△ADE. ∴AEACADAB =.∵,,AB ACAD A B A B A C ''==''''∴C A ACAD AB ''=.∴C A ACAE AC ''=. ∴C A AE ''=. 而,A A '∠=∠∴△ADE ≌A B C '''∆.∴△ABC ∽A B C '''∆。
北师大版九年级数学上册4.5相似三角形判定定理的证明教学设计
在课堂小结环节，引导学生总结相似三角形的判定定理及其应用，反思自己在解决问题过程中的优点和不足。此外，教师要对学生的学习情况进行点评，给予鼓励和指导。
7.课后作业，巩固成果
布置适量的课后作业，让学生在课后对所学知识进行巩固。同时，鼓励学生进行自主探究，发现相似三角形的其他性质和应用。
（一）教学重难点
1.理解并掌握相似三角形的判定定理，能够准确地判断两个三角形是否相似。
2.能够运用相似三角形的判定定理解决实际问题，提高数学应用能力。
3.掌握几何证明的方法和技巧，培养学生的逻辑推理能力。
（二）教学设想
1.创设情境，激发兴趣
在教学伊始，通过展示生活中的相似图形，如建筑物的立面图、摄影作品中的构图等，让学生感受相似三角形在现实生活中的应用，从而激发他们的学习兴趣。
3.对相似三角形的判定定理进行详细讲解，结合实际例题，让学生理解并掌握定理的内涵。
4.通过变式训练，让学生了解相似三角形判定定理在不同题型中的应用。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成小组，让他们针对相似三角形的判定定理进行讨论，探讨定理的适用范围和注意事项。
2.各小组分享讨论成果，教师进行点评和指导。
（二）过程与方法
1.采用探究式教学方法，引导学生通过观察、分析、归纳等过程，发现相似三角形的判定定理。
2.通过小组合作、讨论交流等形式，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
3.设计丰富的例题和练习题，让学生在解决问题的过程中，掌握相似三角形的判定方法和解题技巧。
4.注重培养学生的几何直观，通过画图、观察、推理环节，提高学生的几何素养。
3.结合生活实际，找一些含有相似三角形的事物，如建筑物的立面图、摄影作品等，并运用本节课所学的相似三角形判定定理进行分析，将分析结果以文字或图片形式展示。
九年级数学上册 4.4 第3课时 利用三边判定三角形相似教案1 (新版)北师大版
第3课时利用三边判定三角形相似1.掌握相似三角形的判定定理3；（重点）2.能熟练运用相似三角形的判定定理3.（难点）一、情景导入如图，如果要判定△ABC与△A′B′C′相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？可否用类似于判定三角形全等的SSS方法，通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？二、合作探究探究点一：三边成比例的两个三角形相似已知△ABC的三边长分别为1，2，5，△DEF的三边长分别为10，2，2，试判断△ABC与△DEF是否相似.解析：因为已知两个三角形的三边长，所以可以考虑根据三边之间的比例关系来判定两个三角形是否相似.解：因为12＝22＝510，所以△ABC与△DEF相似.方法总结：已知两个三角形三边的大小，要判断它们是否相似，关键是通过计算来说明三边是否对应成比例.在相似三角形中，最短（长）边与最短（长）边是对应边，所以在判定两个三角形的三边是否成比例时，应先确定边的大小，以便找准对应关系.探究点二：相似三角形的判定定理3的应用如图所示，在△ABC中，点D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AE＝6，DE＝5，BD＝15，CE＝3，BC＝15.根据以上条件，你认为∠B＝∠AED吗？并说明理由.解析：要说明∠B＝∠AED，只需要得到△ABC∽△AED，根据三边成比例的两个三角形相似可证得△ABC∽△AED.解：∠B＝∠AED.理由如下：由题意，得AB＝AD＋BD＝3＋15＝18，AC＝AE＋CE＝6＋3＝9，ACAD＝93＝3，ABAE＝186＝3，CBDE＝155＝3，所以ACAD＝ABAE＝CBDE，故△ABC∽△AED，所以∠B＝∠AED.方法总结：证明两角相等，可通过证明对应的两个三角形相似而得到，给出的已知条件以边为主时，首先考虑使用“三边成比例”的判定条件.如图甲，小正方形的边长均为1，则乙图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是哪一个图形？解析：图中的三角形均为格点三角形，可根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边是否对应成比例来判断乙图中的三角形与△ABC是否相似.解：由甲图可知AC＝12＋12＝2，BC ＝2，AB＝12＋33＝10.同理，图①中，三角形的三边长分别为1，5，22；同理，图②中，三角形的三边长分别为1，2，5；同理，图③中，三角形的三边长分别为2，5，3；同理，图④中，三角形的三边长分别为2，5，13.∵21＝22＝105＝2，∴图②中的三角形与△ABC相似.方法总结：（1）各个图形中的三角形均为格点三角形，可以根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度是否成比例来判断两个三角形是否相似；（2）判断三边是否成比例，可以将三角形的三边长按大小顺序排列，然后分别计算他们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似.三、板书设计相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.从学生已学的知识入手，通过设置问题，引导学生进行计算、推理和归纳，提高分析问题和解决问题的能力.感受两个三角形相似的判定定理3与全等三角形判定定理（SSS）的区别与联系，体会事物间一般到特殊、特殊到一般的关系.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力，培养学生与他人交流、合作的意识和品质.。
北师大版九年级数学上册《图形的相似》导学案：相似三角形判定定理的证明
北师大版九年级数学上册《图形的相似》导学案相似三角形判定定理的证明【学习目标】1.了解相似三角形判定定理会证明相似三角形判定定理；2.掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力.【知识梳理】1.两角 的两个三角形相似. 2.两边 且 的两个三角形相似.3.三边 的两个三角形相似.【典型例题】知识点一：两角分别相等的两个三角形相似.1.已知：如图,∠ABD=∠C ，AD=2, AC=8，求AB.知识点二：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.2.如图,△ABC,AB=12,AC=15,D 为AB 上一点,且AD=23AB,在AC 上取一点E,使以A. D. E 为顶点的三角形与ABC 相似,则AE 等于( )A. 6.4B. 10C. 6.4或10D. 以上答案都不对知识点三：定理 三边成比例的两个三角形相似.3.下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）【巩固训练】1. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点F ，则下列结论一定正确的是（ ）A. =B.C.D.2如图，矩形ABCD 中，AD ＝4，AB ＝10，P 为CD 边上的动点，当DP ＝ 时，△ADP 与△BCP 相似2题1题图3.如图，在等边三角形 ABC 中， D ， E ， F 分别是三边上的点， AE = BF = CD ，那么△ABC 与△DEF 相似吗？ 请证明你的结论.4.已知:如图,ΔABC 中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC ∽ΔEAD.【拓展延伸】5.如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，DE=DF ，∠EDF=∠A ．（1）找出图中一对相似的三角形，并证明（2）求证：BC AB CE BD ．6.如图，AB ∥CD ，AC 与BD 交于点E ，且∠ACB ＝90°，AB ＝6，BC ＝6，CE ＝3． （1）求CD 的长；（2）求证：△CDE ∽△BDC ．4题图 A D B E C F。
九年级数学上册 4.4 三角形相似的判定定理(第1课时)导学案 (新版)北师大版
探索三角形相似的条件第1课时三角形相似的判定定理1【学习目标】1．掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似．2．掌握由两角对应相等判定两个三角形相似的方法，并会运用这种判定三角形相似的方法解决简单问题．【学习重点】三角形相似的判定定理1及应用．【学习难点】三角形相似的判定定理1的证明．情景导入生成问题1．各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比．2．已知，如图两个四边形相似，则∠α的度数是( A)A．87°B．60°C．75°D．120°自学互研生成能力知识模块一探索三角形相似的判定定理1先阅读教材P89页的内容，然后完成下面的问题：1．相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF，其中对应顶点要写在相同位置上，如A与D，B与E，C与F相对应．AB∶DE等于BC∶EF．2．两角对应相等的两个三角形相似．探究内容：现有一块三角形玻璃ABC，不小心打碎了，只剩下∠A和∠B比较完整．如果用这两个角去配制一张完全一样的玻璃，能成功吗？问题情景出现后，让学生充分发表自己的想法．1．动手实验：现在，已量出∠A＝60°，∠B＝45°，请同学们当一当工人师傅，在纸上作∠A＝60°，∠B＝45°的△ABC，剪下与同桌所做的三角形比较，研究这两个三角形的关系．你有哪些发现？在小组内交流．学生经过画一画、剪一剪、量一量、算一算、拼一拼，在小组合作基础上，讨论交流，可能得出下面结论：①这样的两个三角形不一定全等；②两个三角形三个角都对应相等；③通过度量后计算，得到三边对应成比例；④通过拼置的方法发现这两个三角形可能相似．此时，教师鼓励学生大胆猜想，得出命题：猜想：两角对应相等，两三角形相似．归纳结论：两角分别相等的两个三角形相似．知识模块二相似三角形判定定理1的应用1．自学自研教材P89页的例1.2．完成教材P90页随堂练习．典例讲解：已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BDC.分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得．借助于计算也是一种常用的方法．证明：∵∠A＝36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝∠C＝72°，又BD平分∠ABC，则∠DBC＝36°.在△ABC 和△BDC中，∠C为公共角，∠A＝∠DBC＝36°，∴△AB C∽△BDC.对应练习：1．如图，E为平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F.若AB＝5，AD＝6，CF＝2，求线段CE的长．解：设CE＝x，证△ABE∽△FCE，由比例式求得CE＝4.2．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D、E分别在线段BC，AC上运动，在运动过程中始终保持∠ADE ＝60°，求证：△ABD∽△DCE.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°.∴∠BAD＋∠ADB＝120°.∵∠ADE＝60°，∴∠ADB＋∠EDC＝120°.∴∠DAB＝∠EDC.∴△ABD∽△DCE.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探索三角形相似的判定定理1知识模块二相似三角形判定定理1的应用检测反馈达成目标1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有( C)A．1对B．2对C．3对D．4对2．如图，D是直角三角形ABC直角边AC上的一点，若过D点的直线交AB于E，使得到的三角形与原三角形相似，则这样的直线有( B)A．1条B．2条C．3条D．4条3．如图，在矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C. (1)设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1＝S2＋S3；(用“＞”“＝”或“＜”填空)(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．解：△BCD∽△CFB，△BCD∽△DEC，△CFB∽△DEC.证明△BCD∽△DEC如：证明：∵∠EDC＋∠BDC＝90°，∠CBD＋∠BDC＝90°，∴∠CBD＝∠EDC.又∵∠BCD＝∠DEC＝90°，∴△BCD∽△DEC.(答案不唯一)课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
北师大版数学九年级上册4.4.2相似三角形判定定理优秀教学案例
1.合理划分学习小组，培养学生团结协作、共同进步的学习氛围。
2.设计具有挑战性和实践性的小组任务，让学生在合作中解决问题，提高学生的团队协作能力。
3.组织小组交流和分享，鼓励学生展示自己的成果，培养学生的表达能力和自信心。
在教学过程中，我会合理划分学习小组，培养学生团结协作、共同进步的学习氛围。我会设计具有挑战性和实践性的小组任务，让学生在合作中解决问题，提高学生的团队协作能力。此外，我还会组织小组交流和分享，鼓励学生展示自己的成果，培养学生的表达能力和自信心。
（二）讲授新知
1.引导学生通过观察、分析、归纳相似三角形的判定定理。
2.运用几何画板等教学软件，直观展示相似三角形的判定过程，帮助学生理解判定定理。
3.通过具体案例，讲解相似三角形判定定理在实际问题中的应用，提高学生的数学素养。
本节课的教学目标如下：
1.理解相似三角形的判定理，并能够运用其解决实际问题。
2.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.激发学生的学习兴趣，提高学生对数学学科的认同感。
在教学过程中，我将注重启发式教学，引导学生主动探索、发现和总结相似三角形的判定定理。同时，通过丰富的教学活动和实例，使学生能够更好地理解和运用该定理。在课堂结束后，我将及时进行总结和反馈，确保学生能够扎实掌握本节课的知识点。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，提高学生对数学的认同感。
2.培养学生团结协作、积极探究的学习精神，提高学生的自主学习能力。
3.通过数学教学，培养学生面对困难敢于挑战、勇于克服的信念，增强学生的自信心。
在教学过程中，我会关注学生的情感态度，以鼓励、赞扬等方式激发学生的学习兴趣，使学生在愉悦的氛围中学习。同时，我会注重培养学生的团队协作精神，让学生在小组讨论、互动交流中共同解决问题。此外，我会设置一定的挑战性任务，让学生在克服困难的过程中，增强自信心，培养勇于面对挑战的优秀品质。
北师大版数学九年级上册(教案)：4.5《相似三角形判定定理的证明》
一、教学内容
北师大版数学九年级上册《相似三角形判定定理的证明》章节，主要包括以下内容：
1.探索并理解相似三角形的判定定理：AA（角角相似）定理、SAS（边角边相似）定理、SSS（边边边相似）定理。
2.学会运用判定定理判断两个三角形是否相似，并能运用相似三角形的性质解决相关问题。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握相似三角形的判定定理：AA定理、SAS定理、SSS定理，这是本节课的核心知识。
-学会运用判定定理判断两个三角形是否相似，并能运用相似三角形的性质解决实际问题。
-掌握相似三角形判定定理的证明过程，理解其中的逻辑推理和几何关系。
举例解释：
-通过动态几何软件或实际模型，演示AA定理、SAS定理、SSS定理的原理，强调在两个三角形中，如果对应角相等，对应边成比例，则可以判断两个三角形相似。
-通过典型例题，让学生练习如何应用判定定理来解决问题，如计算相似三角形中未知边的长度等。
2.教学难点
-学生对于相似三角形判定定理的逻辑推理过程理解不深，难以把握定理的本质。
-在实际问题中，学生难以识别和应用相似三角形的判定定理，特别是在复杂图形中。
-学生在证明过程中，可能会对几何图形的变换和对应关系的建立感到困惑。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解相似三角形的判定定理。相似三角形是指在形状上完全相同的两个三角形，它们的对应角相等，对应边成比例。这个概念在几何学中非常重要，它可以帮助我们在不直接测量长度的情况下，判断两个三角形的形状是否相同。
2.案例分析：ห้องสมุดไป่ตู้下来，我们来看一个具体的案例。通过分析一个实际图形，展示如何使用AA定理、SAS定理、SSS定理来判断相似三角形，以及这些定理如何帮助我们解决实际问题。
北师大版九年级数学上册(导学案)4.5 相似三角形判定定
4.5 相似三角形判定定理的证明1.通过本节相似三角形应用举例，发展学生综合运用相似三角形的判定方法和性质解决问题的能力，提高学生的数学应用意识，加深对相似三角形的理解与认识.2.在活动过程中使学生积累经验与成功体验，激发学生学习数学的热情与兴趣.阅读教材P99-102，自学三个例题，学会相似三角形三个判定定理的证明.自学反馈学生独立完成后集体订正两角分别相等的两个三角形相似。
如何对文字命题进行证明？活动1 小组讨论例1 已知：如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.解：∵∠A= ∠A,∠ABD=∠C,∴△ABD ∽△ACB ,∴AB : AC=AD : AB,∴AB2 = AD·AC.∵AD=2, AC=8,∴AB =4.例2已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=172，求AD的长.活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果) 1.下列图形中不一定相似的是（ ） A.各有一个角是45°的两个等腰三角形 B.各有一个角是60°的两个等腰三角形 C.各有一个角是110°的两个等腰三角形 D.两个等腰直角三角形2.如图，为了测量一池塘的宽DE ，在岸边找到一点C ，测得CD ＝30m ，在DC 的延长线上找一点A ，测得AC ＝5m ，过点A 作AB ∥DE 交EC 的延长线于点B ，测出AB ＝6m ，则池塘的宽DE 为（ ） A.25m B.30m C.36m D.40m第2题图 第3题图 第4题图3.在矩形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、BC 上的点，若∠AEF=90°，则一定有（ ）A. ΔADE ∽ΔAEFB. ΔECF ∽ΔAEFC. ΔADE ∽ΔECFD. ΔAEF ∽ΔABF4.如图，已知△ABC 中，P 为AB 上一点，在下列四个条件中:①∠ACP=∠B ；②∠APC=∠ACB ；③AC 2=AP ·AB ；④AB ·CP=AP ·CB ．能使△APC ∽△ACB 的条件是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③ 5.如图，图中_______x =．第5题图 第6题图 第7题图6.如图，∠DAB ＝∠CAE ，请补充一个条件： ，使△ABC ∽△ADE ．7.如图，在等边ABC △中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且26013APD BP CD ∠===，，，则ABC △的边长为____ ____.8.如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 边上的点，且3BP PC =，Q 是CD 的中点.求证：ADQQCP .9.如图，ABC △中，,,D E F 分别是,,AB AC BC 的中点， 求证：DEF CBA △∽△.活动3 课堂小结一、相似三角形判定定理的证明 1.两角对应相等，两三角形相似. 2.三边对应成比例,两三角形相似.3.两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 二、相似三角形判定定理的应用教学至此，敬请使用《名校课堂》相应课时部分.【预习导学1】 自学反馈 略【合作探究1】 活动2 跟踪训练1.A2.D3.C4.C5.26.D B ∠=∠或AED C ∠=∠或AD AEAB AC=7.3 8.设正方形ABCD 的边长为a ，3BP PC =，∴1144PC BC a ==.212AD aQC a∴==，12214aDQ CP a ==，AD DQ QC CP ∴=. 90D C ∠=∠=︒，∴ADQ QCP9.∵.,,D E F 分别是,,AB AC BC 的中点，∴12DE BC =，12DF AC =，12EF AB =，∴DE BC =DF AC =EF AB ，∴DEF CBA △∽△.。
相似三角形的判定导学案
27.2.1 相似三角形的判定（一）学习目标1．掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．2．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．重点：三角形相似的判定方法3——“两角对应相等，两个三角形相似”难点：三角形相似的判定方法3的运用．一、复习回顾（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？（2）如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．（3）如（2）题图，△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B，那么△ACD与△ABC相似吗？二、新课学习1、三角形相似的判定方法3如果一个三角形的两个角与另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似．2、例题讲解例1已知：如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于F ，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF 的长．分析：要求的是线段DF 的长，观察图形，我们发现AB 、AD 、AE 和DF 这四条线段分别在△ABE 和△AFD 中，因此只要证明这两个三角形相似，再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例，从而求得DF 的长．由于这两个三角形都是直角三角形，故有一对直角相等，再找出另一对角对应相等，即可用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似．3、课堂练习1 、填一填（1）如图3，点D 在AB 上，当∠＝∠时，△ACD ∽△ABC 。
（2）如图4，已知点E 在AC 上，若点D 在AB 上，则满足条件，就可以使△ADE 与原△ABC 相似。
2．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．3. 如图，△ABC 中， DE ∥BC ，EF ∥AB ，试说明△ADE ∽△EFC .ABD图 3 ● A BC E图 44．下列说法是否正确，并说明理由．（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形．三、拓展延伸1 、图1中DE ∥FG ∥BC ，找出图中所有的相似三角形。
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评 议
时间：
主备者
例 1 如图， 在△ABC 中， D、 E 分别是 AB 和 AC 上的点， 且 DE∥BC,AB =7,AD=5， DE = 10， 求 BC 的长是多少？
课题
4.相似三角形的判定（一） 班级 九、二
执教者
1.理解相似三角形的定义；
学生姓名
2.熟练掌握三角形相似的判定方法，并能灵活运用判定方法判断两个三角形是否相似； 运用三角形相似的判定方法进行有关的计算和证明
测
AB BC A' B' B' C ' A' B' B' C ' k' AB BC k
AC ； 如 果 写 成 △ A' B' C ' ∽ △ ABC ， 它 们 的 相 似 比 为 k ' , 则 A' C ' 1 A' C ' ,因此 k ' k AC
（3）传递性：若△ABC∽ △ A' B' C ' ， △ A' B' C ' ∽ △ A' ' B' ' C ' ' ，则△ABC∽ △ A' ' B' ' C ' ' 。
A C
）
D 2、如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠A＝90°，BD⊥DC，试说明△ABD∽△ DCB. A B D
B
达 标
C
检 3、如图，在四边形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，∠AB来自=∠ACD，试找出图中的相似三
角形，并加以证明.
互 动 课 堂
（1）对应性：两个三角形相似时通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样写比较容易 找到相似三角形的对应角和对应边。 （2）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，如：△ABC∽ △ A' B' C ' ，它们的相似比为 k，则
1、 全等三角形的判件： 2、相似多边形：各角 3、线段的比：如果选用 就说两条线段 AB:CD=m:n
、
、 、 。 、各边 的两个多边形叫做相似多边形。 量的两条线段 AB,CD 的长度分别的 m,n，那么
、
1、 如图在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90°， CD⊥AB 于点 D， CD=2， BD=1， 则 AD 的长是 （ A. 1 B. 3 C. 2 D. 4
2、相似三角形的判定方法 1： 即：已知△ABC 和 △ A' B' C ' ，若∠A=∠A’ ，∠B=∠B’，则△ABC∽ △ A' B' C ' 。 练习：在Δ ABC 和Δ DEF 中， ∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°， ∠F=60°.Δ ABC 与 Δ DEF （ “相似”或“不相似” ）.
中学导学案
学科 数学 参备者 学习目标： 重、难点： 学 前 准 备
探索合作： 1、相似三角形的定义： 如图所示：△ ABC 与 △ A' B' C ' 相似，记做△ ABC ∽ AB BC AC △ A' B' C ' ，其中 k ,k 为相似比。 A' B' B' C ' A' C ' 注意：