类比归纳专题：配方法的应用
类比归纳专题：一元二次方程的解法与配方法的应用之十大类型(学生版)--2024届九年级数学重难点
类比归纳专题：一元二次方程的解法与配方法的应用之十大类型【考点导航】目录【典型例题】1【类型一形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可用直接开平方法】【类型二当二次项系数为1，且一次项为偶数，可用配方法】【类型三若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解】【类型四所有一元二次方程均可用公式法求解】【类型五一元二次方程的特殊解法--十字相乘法】【类型六一元二次方程的特殊解法--换元法】【类型七完全平方式中的配方】【类型八判断代数式的正负或求最值】【类型九比较两个代数式的大小】【类型十利用配方法构造非负数求值】【典型例题】【类型一形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可用直接开平方法】1(2023秋·河南平顶山·九年级统考期末)方程x+12=4的根为()A.x1=x2=2B.x1=3，x2=-1C.x1=x2=3D.x1=1，x2=-32(2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习)方程(x-2)2=6的根是．3(2023春·安徽滁州·八年级校考阶段练习)解方程：x-22=18．4(2023春·山东济南·八年级校考阶段练习)解方程：(2x-1)2=5．5(2023春·浙江·八年级专题练习)解方程：(x+1)2=(1-2x)2．6(2023·上海·八年级假期作业)用开平方法解下列方程：(x+3)2=6；(2)4(x+1)2=(x-2)2．(1)13【类型二当二次项系数为1，且一次项为偶数，可用配方法】1(2023春·安徽合肥·八年级统考期中)用配方法解方程x2-6x-3=0时，配方后得到的方程是()A.(x-3)2=12B.(x-3)2=6C.(x-6)2=12D.(x-6)2=62(2023·全国·九年级假期作业)一元二次方程x2-4x-3=0的解为()A.x1=-2+7，x2=-2-7B.x1=2+7，x2=2-7C.x1=-2+7，x2=2-7D.x1=2+7，x2=-2-73(2023秋·陕西榆林·九年级绥德中学校考期末)将方程x2-6x=0化成x+m2=n的形式是．4(2023秋·广东东莞·九年级校联考期末)解方程：x2-4x+7=10．5(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模)解方程：x2-6x-2=06(2023春·浙江·八年级专题练习)用配方法解方程：x2-8x+13=0．7(2023·全国·九年级专题练习)用配方法解方程．(1)x2-4x-2=0；(2)x2+6x+8=0．8(2023·全国·九年级假期作业)用配方法解下列方程：(1)x2-6x=-8；(2)x2-8x-4=0；(3)x2+3x+2=0；(4)-x2+5x+6=0．【类型三若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解】1(2023春·广东揭阳·九年级统考期末)一元二次方程x-6x+2=0的解是()A.x=6B.x=-2C.x1=6，x2=-2D.x1=-6，x2=22(2023春·浙江温州·八年级校联考期中)方程x(2x+1)=3(2x+1)的根是()A.3和-12B.-12C.3D.-3和-123(2023·全国·九年级假期作业)方程2x2+5x=0的解为．4(2023春·山东烟台·八年级统考期中)方程x-1的解为．2=4x-15(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模)解方程：x x-7=27-x．6(2023秋·广东湛江·九年级统考期末)解下列方程：x+12=6x+6．7(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模)解方程：4x-6=2x-328(2023·陕西西安·校考二模)解方程：3x-22=2x-4．9(2023·江苏苏州·苏州工业园区星湾学校校考模拟预测)解方程：32x-3．2=22x-3【类型四所有一元二次方程均可用公式法求解】1(2023秋·四川广安·九年级统考期末)解方程：2x2-8x-1=0．2(2023春·浙江·八年级专题练习)公式法解方程：2x2-3x-3=0．3(2023·全国·九年级专题练习)用公式法解下列一元二次方程：(1)2x2-5x+3=0．(2)4x2+1=-4x．(3)34x2-2x-12=0．4(2023·全国·九年级专题练习)用公式法解下列方程：(1)x2+3x-4=0．(2)2x2-13x+15=0．(3)12x2-14x=1．5(2023·全国·九年级专题练习)用公式法解下列方程：(1)4x2+9=12x．(2)23x2-16x-12=0．(3)2x2-2x-1=0．(4)0.1y2-y-0.2=0．6(2023·全国·九年级专题练习)用公式法解下列方程：(1)x2-5x=6．(2)3x2-11x-4=0．(3)3x2+10x+3=0．(4)6t2-13t+5=0．7(2023秋·河南南阳·九年级校考期末)(1)我们发现，利用配方法解一元二次方程的步骤是相同的，因此，用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，可以得到一元二次方程的求根公式．一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，它的求根公式是x=，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．(2)小明在用公式法解方程x2-5x=1时出现了错误，解答过如下：∵a=1，b=-5，c=1，(第一步)∴b2-4ac=-52-4×1×1=21．(第二步)∴x=5±212．(第三步)∴x1=5+212，x2=5-212．(第四步)小明解答过程是从第步开始出错的，其错误原因是．(3)请你写出此题正确的解答过程．【类型五一元二次方程的特殊解法--十字相乘法】1(2023秋·广东广州·九年级校考期末)解方程：x2-2x-3=0．2(2023·全国·九年级专题练习)解方程：x2-4x-12=0．3(2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测)解一元二次方程：2x2-5x+2=0．4(2023春·北京海淀·九年级首都师范大学附属中学校考开学考试)解方程：3x2-x=3x-1 5(2023·全国·九年级专题练习)解方程：x2-1+3x+1=0．【类型六一元二次方程的特殊解法--换元法】1(2023春·全国·八年级专题练习)解下列方程：(1)2(x2-7x)2-21(x2-7x)+10=0；(2)2x2+3x2-42x2+3x-5=0．2(2023春·浙江·八年级专题练习)请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：已知x+y-3x+y+4=-10，求x+y的值；3(2023秋·九年级单元测试)阅读材料，解答问题．解方程：4x-1+24=0．2-104x-14(2023春·八年级单元测试)(换元法)解方程：(x2-3x)2-2(x2-3x)-8=0【类型七完全平方式中的配方】1(2023春·陕西咸阳·七年级统考期中)如果x2-kx+4是一个完全平方式，那么k=．2(2023春·全国·七年级专题练习)如果m4+4m2+K是一个完全平方式，那么K=3(2023春·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期中)若x2+k+1x+9是完全平方公式，则k的值为．4(2023春·江苏徐州·七年级校考阶段练习)阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式x2+bx+c(b、c为常数)写成x+h2+k(h、k为常数)的形式．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．【知识理解】(1)若多项式x2+kx+16是一个完全平方式，那么常数k的值为；A.4B.8C.±8D.±16(2)若多项式x2+4x+m是一个完全平方式，那么常数m的值为；(3)配方：x2-6x-10=x-32-；x2+2x+4=；【知识运用】(4)通过配方发现，代数式x2-4x+7有最小值，则最小值为；(5)已知m2+2mn+2n2-8n+16=0，则m=，n=．【类型八判断代数式的正负或求最值】1(2023·江苏扬州·统考一模)已知y2-2x+4=0，则x2+y2+2x的最小值是()A.8B.-8C.-9D.92(2023春·山东威海·八年级统考期中)已知A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，下列结论正确的是()A.B-A的最大值是0B.B-A的最小值是-1C.当B=2A时，x为正数D.当B=2A时，x为负数3(2023春·广东清远·八年级校考期中)多项式x2-2x+4的最小值是．4(2023春·江苏·七年级期中)阅读材料：求y2+4y+8的最小值．5(2023春·浙江·七年级专题练习)把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：a2+4a+3，解：原式=a2+4a+4-1= a+22-1=a+2+1a+2-1a+1=a+3②M=a2-2a+6，利用配方法求M的最小值：【类型九比较两个代数式的大小】1(2023·江苏·九年级假期作业)若A=x2+2x-6y，B=-y2+4x-11，则A、B的大小关系为()A.A>BB.A<BC.A≥BD.A=B2(2023春·浙江·八年级专题练习)若代数式M=10a2+b2-7a+8，N=a2+b2+5a+1，则M-N的值()A.一定是负数B.一定是正数C.一定不是负数D.一定不是正数3(2023·江苏·九年级假期作业)已知代数式A=3x2-x+1，B=4x2+3x+7，则A B(填>，<或=)．4(2023春·全国·八年级专题练习)我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2=a±b2来求一些多项式的最小值．例如，求x2+6x+3的最小值问题．【类型十利用配方法构造非负数求值】1(2023春·广西贵港·七年级统考期末)若x2+4y2-6x+4y+10=0，则y x=．2(2023·全国·九年级假期作业)“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：x2+4x+5=x2+4x+4+1=x+22+1≥1，∴x2+4x+2≥0，∴x+22+1，∵x+25≥1．即：x2+4x+5的最小值是1．试利用“配方法”解决下列问题：(1)求代数式x2-4x+6最值；(2)已知x2-4x+y2+2y+5=0，求x+y的值；(3)比较代数式x2-1与2x-3的大小．3(2023·全国·九年级假期作业)阅读下列材料，解答问题．材料：求代数式x2-2x+5的最小值．小明同学是这样解答的：x2-2x+5=x2-2x+1-1+5=x-12+4我们把这种解决问题的方法叫做“配方法”．问题：(1)请按照小明的解题思路，把解答过程补充完整．(2)请运用“配方法”解决问题：若x2+y2-6x+10y+34=0，求y-x的立方根．4(2023春·全国·八年级专题练习)先阅读材料，再解决下列问题．例如：用配方法求代数式x2+4x+6的最小值．原式=x2+4x+4+2=x+22+2．∵x+22≥0，∴当x=-2时，x2+4x+6有最小值是2．根据上述所用方法，解决下列问题：(1)求代数式x2-6x+12的最小值；(2)若y=-x2+2x-3，当x=时，y有最值(填“大”或“小”)，这个值是；(3)当a，b，c分别为△ABC的三边时，且满足a2+b2+c2-6a-10b-8c+50=0时，判断△ABC的形状并说明理由．。
中考数学类比归纳专题复习配方法的应用
类比归纳专题：配方法的应用——体会利用配方法解决特定问题◆类型一 配方法解方程1．一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是（ ）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝1＋2，x 2＝－1－ 2C ．x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2D ．x 1＝－1＋2，x 2＝－1－ 22．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100B ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25C ．2t 2－7t －4＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎫t －742＝8116D ．3x 2－4x －2＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＝1093．利用配方法解下列方程：(1)(淄博中考)x 2＋4x －1＝0；(2)(x ＋4)(x ＋2)＝2；(3)4x2－8x－1＝0；(4)3x2＋4x－1＝0.◆类型二配方法求最值或证明4．代数式x2－4x＋5的最小值是（）A．－1 B．1 C．2 D．55．下列关于多项式－2x2＋8x＋5的说法正确的是（）A．有最大值13 B．有最小值－3C．有最大值37 D．有最小值16．求证：代数式3x2－6x＋9的值恒为正数．7．若M＝10a2＋2b2－7a＋6，N＝a2＋2b2＋5a＋1，试说明无论a，b为何值，总有M＞N.◆类型三完全平方式中的配方8．如果多项式x2－2mx＋1是完全平方式，则m的值为（）A．－1 B．1 C．±1 D．±29．若方程25x2－(k－1)x＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k的值为（）A．－9或11 B．－7或8C．－8或9 D．－6或7◆类型四利用配方构成非负数求值10．已知m2＋n2＋2m－6n＋10＝0，则m＋n的值为（）A．3 B．－1 C．2 D．－211．已知x2＋y2－4x＋6y＋13＝0，求(x＋y)2016的值．答案：。
人教版九年级数学上册中考专题复习题含答案全套
人教版九年级数学上册中考专题复习题1.类比归纳专题：配方法的应用2.类比归纳专题：一元二次方程的解法3.易错易混专题：一元二次方程中的易错问题4.考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合5.解题技巧专题：抛物线中与系数a，b，c有关的问题6.易错易混专题：二次函数的最值或函数值的范围7.难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做)8.抛物线中的压轴题9.易错专题：抛物线的变换10.解题技巧专题：巧用旋转进行计算11.旋转变化中的压轴题12.类比归纳专题：圆中利用转化思想求角度13.类比归纳专题：切线证明的常用方法14.解题技巧专题：圆中辅助线的作法15.解题技巧专题：圆中求阴影部分的面积16.考点综合专题：圆与其他知识的综合17.圆中的最值问题18.抛物线与圆的综合19.易错专题：概率与放回、不放回问题类比归纳专题：配方法的应用——体会利用配方法解决特定问题◆类型一 配方法解方程1．一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是（ ）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝1＋2，x 2＝－1－ 2C ．x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2D ．x 1＝－1＋2，x 2＝－1－ 22．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100B ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25C ．2t 2－7t －4＝0化为⎝⎛⎭⎫t －742＝8116 D ．3x 2－4x －2＝0化为⎝⎛⎭⎫x －232＝1093．利用配方法解下列方程：(1)(2016·淄博中考)x 2＋4x －1＝0；(2)(x ＋4)(x ＋2)＝2；(3)4x 2－8x －1＝0；(4)3x 2＋4x －1＝0.◆类型二 配方法求最值或证明 4．代数式x 2－4x ＋5的最小值是（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．55．下列关于多项式－2x 2＋8x ＋5的说法正确的是（ ）A ．有最大值13B ．有最小值－3C ．有最大值37D ．有最小值1 6．(2016－2017·夏津县月考)求证：代数式3x 2－6x ＋9的值恒为正数．7．若M ＝10a 2＋2b 2－7a ＋6，N ＝a 2＋2b 2＋5a ＋1，试说明无论a ，b 为何值，总有M ＞N .◆类型三 完全平方式中的配方 8．如果多项式x 2－2mx ＋1是完全平方式，则m 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．±1D ．±29．若方程25x 2－(k －1)x ＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k 的值为（ ）A ．－9或11B ．－7或8C ．－8或9D ．－6或7◆类型四 利用配方构成非负数求值 10．已知m 2＋n 2＋2m －6n ＋10＝0，则m ＋n 的值为（ ）A ．3B ．－1C ．2D ．－211．已知x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0，求(x ＋y )2016的值．答案：类比归纳专题：一元二次方程的解法——学会选择最优的解法◆类型一 一元二次方程的一般解法方法点拨： 形如（x ＋m ）2＝n （n ≥0）的方程可用直接开平方法；当方程二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法；若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解法；如果方程不能用直接开平方法和因式分解法求解，则用公式法.1.用合适的方法解下列方程：（1）⎝⎛⎭⎫x －522－14＝0；（2）x 2－6x ＋7＝0；（3）x 2－22x ＋18＝0；（4）3x （2x ＋1）＝4x ＋2.◆*类型二 一元二次方程的特殊解法 一、十字相乘法方法点拨：例如：解方程：x 2＋3x －4＝0.第1种拆法：4x －x ＝3x （正确）， 第2种拆法：2x －2x ＝0（错误）， 所以x 2＋3x －4＝（x ＋4）（x －1）＝0，即x ＋4＝0或x －1＝0，所以x 1＝－4，x 2＝1. 2.解一元二次方程x 2＋2x －3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程____________.3.用十字相乘法解下列一元二次方程： （1）x 2－5x －6＝0； （2）x 2＋9x －36＝0.二、换元法方法点拨：在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.4.若实数a ，b 满足（4a ＋4b ）（4a ＋4b －2）－8＝0，则a ＋b ＝_______.5.解方程：（x 2＋5x ＋1）（x 2＋5x ＋7）＝7.1.解：（1）移项，得⎝⎛⎭⎫x －522＝14， 两边开平方，得x －52＝±14， 即x －52＝12或x －52＝－12，∴x 1＝3，x 2＝2；（2）移项，得x 2－6x ＝－7，配方，得x 2－6x ＋9＝－7＋9，即（x －3）2＝2， 两边开平方，得x －3＝±2， ∴x 1＝3＋2，x 2＝3－2；（3）原方程可化为8x 2－42x ＋1＝0. ∵a ＝8，b ＝－42，c ＝1，∴b 2－4ac ＝（－42）2－4×8×1＝0， ∴x ＝－（－42）±02×8＝24，∴x 1＝x 2＝24； |（4）原方程可变形为（2x ＋1）（3x －2） ＝0，∴2x ＋1＝0或3x －2＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝23.2. x －1＝0或x ＋3＝0.3.解：（1）原方程可变形为（x －6）（x ＋1） ＝0，∴x －6＝0或x ＋1＝0， ∴x 1＝6，x 2＝－1；（2）原方程可变形为（x ＋12）（x －3） ＝0，∴x ＋12＝0或x －3＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝3. 4.－12或15.解：设x 2＋5x ＋1＝t ，则原方程化为t （t ＋6）＝7，∴t 2＋6t －7＝0，解得t ＝1或－7.当t ＝1时，x 2＋5x ＋1＝1，x 2＋5x ＝0， x （x ＋5）＝0，∴x ＝0或x ＋5＝0，∴x 1＝0，x 2＝－5； 当t ＝－7时，x 2＋5x ＋1＝－7，x 2＋5x ＋8＝0，∴b 2－4ac ＝52－4×1×8＜0，此时方程 无实数根.∴原方程的解为x 1＝0，x 2＝－5.易错易混专题：一元二次方程中的易错问题◆类型一 利用方程或其解的定义求待定系数时，忽略“a ≠0”1．(2016－2017·江都区期中)若关于x的方程(a ＋3)x |a |－1－3x ＋2＝0是一元二次方程，则a 的值为______.【易错1】2．关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋a 2－1＝0的一个根是0，则a 的值是（ ）A ．－1B ．1C ．1或－1D ．－1或0 3．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋5x ＋m 2－3m ＋2＝0的常数项为0.(1)求m 的值； (2)求方程的解．◆类型二 利用判别式求字母取值范围时，忽略“a ≠0”及“a 中的a ≥0”4．(2016－2017·抚州期中)若关于x 的一元二次方程(m －2)2x 2＋(2m ＋1)x ＋1＝0有解，那么m 的取值范围是（ ）A ．m ＞34B ．m ≥34C ．m ＞34且m ≠2D ．m ≥34且m ≠25．已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________.6．若m 是非负整数，且关于x 的方程(m －1)x 2－2x ＋1＝0有两个实数根，求m 的值及其对应方程的根．◆类型三 利用根与系数关系求值时，忽略“Δ≥0”7．(2016·朝阳中考)关于x 的一元二次方程x 2＋kx ＋k ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，且x 21＋x 22＝1，则k 的值为_______.【易错2】 8．已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m 的值．【易错2】◆类型四 与三角形结合时忘记取舍 9．已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程x 2－14x ＋48＝0的根，则这个三角形的周长为（ ）A ．11B ．17C ．17或19D ．1910．在等腰△ABC 中，三边分别为a ，b ，c ，其中a ＝5，若关于x 的方程x 2＋(b ＋2)x ＋6－b ＝0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x＋15＝0的根，则△ABC的周长是________．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为_________．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与一次函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x －m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x ＋m－1的图象不经过（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k、b是一元二次方程(2x＋1)(3x－1)＝0的两个根，且k＞b，则函数y＝kx＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y＝(5－m2)x和关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋mx＋1＝0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是______．◆类型三一元二次方程与二次根式的综合12．(达州中考)方程(m－2)x2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m的取值范围为（）A．m＞52B．m≤52且m≠2C．m≥3 D．m≤3且m≠213．(包头中考)已知关于x的一元二次方程x2＋k－1x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．答案：12.B 13.解题技巧专题：抛物线中与系数a，b，c有关的问题◆类型一由某一函数的图象确定其他函数图象的位置1．二次函数y＝－x2＋ax－b的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第1题图第2题图2．已知一次函数y＝－kx＋k的图象如图所示，则二次函数y＝－kx2－2x＋k的图象大致是（）3．已知函数y＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图象可能正确的是（）第3题图第4题图4．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是（）◆类型二由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值5．(2016·新疆中考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是【方法10】（）A．a＞0B．c＜0C．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根D．当x＜1时，y随x的增大而减小第5题图第7题图6．(2016·黄石中考)以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是【方法10】（）A．b≥54B．b≥1或b≤－1C．b≥2 D．1≤b≤27．(2016·孝感中考)如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a－b＋c＞0；②3a＋b＝0；③b2＝4a(c－n)；④一元二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．(2016·天水中考)如图，二次函数y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，则下列结论：①abc＜0；②b2－4ac4a＞0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB ＝－ca .其中正确结论的序号是____________.答案：易错易混专题：二次函数的最值或函数值的范围——类比各形式，突破给定范围求最值◆类型一 没有限定自变量的范围求最值 1．函数y ＝－(x ＋1)2＋5的最大值为_______. 2．已知二次函数y ＝3x 2－12x ＋13，则函数值y 的最小值是【方法11】（ ）A ．3B ．2C ．1D ．－13．已知函数y ＝x(2－3x)，当x 为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值．◆类型二 限定自变量的取值范围求最值4．(2016－2017·双台子区校级月考)函数y ＝x 2＋2x －3(－2≤x ≤2)的最大值和最小值分别是（ ）A ．4和－3B ．－3和－4C ．5和－4D ．－1和－45．二次函数y ＝－12x 2＋32x ＋2的图象如图所示，当－1≤x ≤0时，该函数的最大值是【方法11】（ ）A ．3.125B ．4C ．2D ．06．已知0≤x ≤32，则函数y ＝x 2＋x ＋1（ ） A ．有最小值34，但无最大值B ．有最小值34，有最大值1C ．有最小值1，有最大值194D ．无最小值，也无最大值◆类型三 限定自变量的取值范围求函数值的范围7．从y ＝2x 2－3的图象上可以看出，当－1≤x ≤2时，y 的取值范围是（ ）A ．－1≤y ≤5B ．－5≤y ≤5C ．－3≤y ≤5D ．－2≤y ≤18．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋3，当x ≥2时，y 的取值范围是（ ）A ．y ≥3B ．y ≤3C ．y ＞3D ．y ＜39．二次函数y ＝x 2－x ＋m(m 为常数)的图象如图所示，当x ＝a 时，y ＜0；那么当x ＝a －1时，函数值CA ．y ＜0B ．0＜y ＜mC ．y ＞mD ．y ＝m◆类型四 已知函数的最值，求自变量的取值范围或待定系数的值10．当二次函数y ＝x 2＋4x ＋9取最小值时，x 的值为（ ）A ．－2B ．1C ．2D ．911．已知二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a －1的最小值为2，则a 的值为（ ）A．3 B．－1C．4 D．4或－112．已知y＝－x(x＋3－a)＋1是关于x 的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）A．a＝9 B．a＝5 C．a≤9 D．a≤513．在△ABC中，∠A，∠B所对的边分别为a，b，∠C＝70°.若二次函数y＝(a＋b)x2＋(a＋b)x－(a－b)的最小值为－a2，则∠A＝_______度．14．★已知函数y＝－4x2＋4ax－4a－a2，若函数在0≤x≤1上的最大值是－5，求a的值．答案：难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做)——代几结合，突破面积及点的存在性问题◆类型一二次函数与三角形的综合一、全等三角形的存在性问题1．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1，－4)和(－2，5)，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x轴的两个交点为A，B，与y轴交于点C.在该抛物线上是否存在点D，使得△ABC与△ABD全等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．二、线段(或周长)的最值问题及等腰三角形的存在性问题2．(2016·凉山州中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P 的坐标；(3)点M也是直线l上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．◆类型二二次函数与平行四边形的综合3．如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋c(a＞0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，A点在B点左侧．若点E在x轴上，点P 在抛物线上，且以A，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，抛物线y＝12x2＋x－32与x轴相交于A，B两点，顶点为P.(1)求点A，B的坐标；(2)在抛物线上是否存在点E，使△ABP 的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)坐标平面内是否存在点F，使得以A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标．◆类型三 二次函数与矩形、菱形、正方形的综合5．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y ＝x 2－2x ＋2上运动．过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连接BD ，则对角线BD 的最小值为________.第5题图 第6题图6．如图，抛物线y ＝ax 2－x －32与x 轴正半轴交于点A(3，0)．以OA 为边在x 轴上方作正方形OABC ，延长CB 交抛物线于点D ，再以BD 为边向上作正方形BDEF.则a ＝，点E 的坐标是_________________．7. (2016·新疆中考)如图，对称轴为直线x ＝72的抛物线经过点A(6，0)和B(0，－4)． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)设点E(x ，y)是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式；(3)当(2)中的平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形．8．(2016·百色中考)正方形OABC 的边长为4，对角线相交于点P ，抛物线l 经过O ，P ，A 三点，点E 是正方形内的抛物线l 上的动点．(1)建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O ，P ，A 三点的坐标； ②求抛物线l 的解析式；(2)求△OAE 与△OCE 面积之和的最大值．答案：拔高专题抛物线中的压轴题一、基本模型构建常见模型思考在边长为1的正方形网格中有A, B, C三点，画出以A,B,C为其三个顶点的平行四边形ABCD。
2019秋九年级数学上册类比归纳专题配方法的应用(新版)北师大版
类比归纳专题：配方法的应用——体会利用配方法解决特定问题 ◆类型一 配方法解方程1.用配方法解方程3x 2－6x ＋1＝0，则方程可变形为（ ） A.（x －3）2＝13 B.3（x －1）2＝13C.（3x －1）2＝1D.（x －1）2＝232.一元二次方程x 2＋22x －6＝0的根是（ ） A.x 1＝x 2＝ 2 B.x 1＝0，x 2＝－2 2 C.x 1＝2，x 2＝－3 2 D.x 1＝－2，x 2＝3 2 3.用配方法解下列方程： （1）x 2＋8x －20＝0； （2）3x 2＋6x －1＝0. ◆类型二 配方法求最值或证明【方法8】 4.代数式x 2－4x ＋5的最小值为（ ） A.－1 B.1 C.2 D.5 5.关于多项式－2x 2＋8x ＋5的说法正确的是（ ） A.有最大值13 B.有最小值－3 C.有最大值37 D.有最小值16.用配方法求解下列问题：（1）2x 2－7x ＋2＝______________，它的最小值是_________；（2）－3x 2＋5x ＋1＝_____________，它的最大值是________.7.已知代数式－2x 2＋4x －18. （1）用配方法说明无论x 取何值，代数式的值总是负数； （2）当x 为何值时，代数式有最大值，最大值是多少？◆类型三 完全平方式中的配方8.如果多项式x 2－2mx ＋1是完全平方式，则m 的值为（ ） A.－1 B.1 C.±1 D.±29.若方程25x 2－（k －1）x ＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k 的值为（ ） A.－9或11 B.－7或8 C.－8或9 D.－6或7 ◆类型四 利用配方构成非负数求值10.已知x 2＋y 2＋4x －6y ＋13＝0，则代数式x ＋y 的值为（ ） A.－1 B.1 C.25 D.36 11.已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且满足a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac ＝0，请你根据此条件判断这个三角形的形状，并说明理由.[提示：2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ＝（a －b ）2＋（b －c ）2＋（c －a ）2]比归纳专题：配方法的应用答案1．D 2.C3．解：移项，得x 2＋8x ＝20，配方，得x 2＋8x ＋16＝20＋16，即(x ＋4)2＝36，两边开平方，得x ＋4＝±6，即x ＋4＝6或x ＋4＝－6.所以x 1＝2，x 2＝－10；(2)移项，得3x 2＋6x ＝1，两边除以3，得x 2＋2x ＝13，配方，得x 2＋2x ＋1＝13＋1，即(x ＋1)2＝43，两边开平方，得x ＋1＝±233，即x ＋1＝233或x ＋1＝－23 3.所以x 1＝－1＋233，x 2＝－1－233.4．B 5.A6．(1)2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －742－338 小 －338(2)－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －562＋3712 大 37127．解：(1)－2x 2＋4x －18＝－2(x 2－2x＋9)＝－2(x 2－2x ＋1＋8)＝－2(x －1)2－16.∵－2(x －1)2≤0，∴－2(x －1)2－16＜0，∴无论x 取何值，代数式－2x 2＋4x －18的值总是负数；(2)∵－2x 2＋4x －18＝－2(x －1)2－16，∴当x ＝1时，代数式有最大值，最大值是－16.8．C 9.A10．B 解析：∵x 2＋y 2＋4x －6y ＋13＝0，∴x 2＋4x ＋4＋y 2－6y ＋9＝0，∴(x ＋2)2＋(y －3)2＝0，∴x ＋2＝0，y －3＝0，∴x ＝－2，y ＝3，∴x ＋y ＝1.故选B.11．解：△ABC 为等边三角形．理由如下：∵a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac ＝0，∴2a2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ＝0，∴a 2＋b2－2ab ＋b 2＋c 2－2bc ＋a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a－b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，∴a －b ＝0，b －c ＝0，c －a ＝0，∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．。
1.类比归纳专题：配方法的应用
类比归纳专题：配方法的应用——体会利用配方法解决特定问题◆类型一 配方法解方程 1．一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是（ ） A ．x 1＝x 2＝1 B ．x 1＝1＋2，x 2＝－1－ 2C ．x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2D ．x 1＝－1＋2，x 2＝－1－ 22．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100B ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25C ．2t 2－7t －4＝0化为⎝⎛⎭⎫t －742＝8116 D ．3x 2－4x －2＝0化为⎝⎛⎭⎫x －232＝1093．利用配方法解下列方程：(1)(2016·淄博中考)x 2＋4x －1＝0；(2)(x ＋4)(x ＋2)＝2；(3)4x 2－8x －1＝0；(4)3x 2＋4x －1＝0.◆类型二 配方法求最值或证明 4．代数式x 2－4x ＋5的最小值是（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．55．下列关于多项式－2x 2＋8x ＋5的说法正确的是（ ） A ．有最大值13 B ．有最小值－3 C ．有最大值37 D ．有最小值16．(2016－2017·夏津县月考)求证：代数式3x 2－6x ＋9的值恒为正数． 7．若M ＝10a 2＋2b 2－7a ＋6，N ＝a 2＋2b 2＋5a ＋1，试说明无论a ，b 为何值，总有M ＞N .◆类型三 完全平方式中的配方 8．如果多项式x 2－2mx ＋1是完全平方式，则m 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．±1D ．±29．若方程25x 2－(k －1)x ＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k 的值为（ ）A ．－9或11B ．－7或8C ．－8或9D ．－6或7◆类型四 利用配方构成非负数求值 10．已知m 2＋n 2＋2m －6n ＋10＝0，则m ＋n 的值为（ ）A ．3B ．－1C ．2D ．－211．已知x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0，求(x ＋y )2016的值．答案：。
类比归纳专题：配方法的应用
类比归纳专题：配方法的应用——体会利用配方法解决特定问题◆类型一 配方法解方程 1．一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是（ ） A ．x 1＝x 2＝1 B ．x 1＝1＋2，x 2＝－1－ 2C ．x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2D ．x 1＝－1＋2，x 2＝－1－ 22．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100B ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25C ．2t 2－7t －4＝0化为⎝⎛⎭⎫t －742＝8116D ．3x 2－4x －2＝0化为⎝⎛⎭⎫x －232＝109 3．利用配方法解下列方程：(1)(2016·淄博中考)x 2＋4x －1＝0；(2)(x ＋4)(x ＋2)＝2；(3)4x 2－8x －1＝0； (4)3x 2＋4x －1＝0.◆类型二 配方法求最值或证明 4．代数式x 2－4x ＋5的最小值是（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．55．下列关于多项式－2x 2＋8x ＋5的说法正确的是（ ）A ．有最大值13B ．有最小值－3C ．有最大值37D ．有最小值1 6．(2016－2017·夏津县月考)求证：代数式3x 2－6x ＋9的值恒为正数． 7．若M ＝10a 2＋2b 2－7a ＋6，N ＝a 2＋2b 2＋5a ＋1，试说明无论a ，b 为何值，总有M ＞N .◆类型三 完全平方式中的配方 8．如果多项式x 2－2mx ＋1是完全平方式，则m 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．±1D ．±2 9．若方程25x 2－(k －1)x ＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k 的值为（ ）A ．－9或11B ．－7或8C ．－8或9D ．－6或7◆类型四 利用配方构成非负数求值10．已知m 2＋n 2＋2m －6n ＋10＝0，则m ＋n 的值为（ ）A ．3B ．－1C ．2D ．－211．已知x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0，求(x＋y)2016的值．答案：。
人教版九年级数学上册类比归纳专题：配方法的应用
初中数学试卷类比归纳专题：配方法的应用——体会利用配方法解决特定问题◆类型一 配方法解方程1．一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是（ ）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝1＋2，x 2＝－1－ 2C ．x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2D ．x 1＝－1＋2，x 2＝－1－ 22．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100B ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25C ．2t 2－7t －4＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎫t －742＝8116D ．3x 2－4x －2＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＝1093．利用配方法解下列方程：(1)(2016·淄博中考)x 2＋4x －1＝0；(2)(x ＋4)(x ＋2)＝2；(3)4x 2－8x －1＝0；(4)3x 2＋4x －1＝0.◆类型二 配方法求最值或证明4．代数式x 2－4x ＋5的最小值是（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．55．下列关于多项式－2x 2＋8x ＋5的说法正确的是（ ）A ．有最大值13B ．有最小值－3C ．有最大值37D ．有最小值16．(2016－2017·夏津县月考)求证：代数式3x 2－6x ＋9的值恒为正数．7．若M ＝10a 2＋2b 2－7a ＋6，N ＝a 2＋2b 2＋5a ＋1，试说明无论a ，b 为何值，总有M ＞N .◆类型三完全平方式中的配方8．如果多项式x2－2mx＋1是完全平方式，则m的值为（）A．－1 B．1 C．±1 D．±29．若方程25x2－(k－1)x＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k的值为（）A．－9或11 B．－7或8C．－8或9 D．－6或7◆类型四利用配方构成非负数求值10．已知m2＋n2＋2m－6n＋10＝0，则m ＋n的值为（）A．3 B．－1 C．2 D．－211．已知x2＋y2－4x＋6y＋13＝0，求(x＋y)2016的值．答案：。
配方法的应用
配方法的应用
1．用于比较大小：
在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.
2．用于求待定字母的值：
配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．
3．用于求最值：
“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．
4．用于证明：
“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．
要点诠释：
“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具．
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