《立体几何中的向量方法》预习导航(第1课时)
3.2立体几何中的向量方法第1课时
§3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量【学情分析】：教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,所以本节课是通过这些知识理解空间的几个元素点、直线、平面的位置的向量表示，并且用向量及其运算表示线线、线面、面面间的位置关系,可以比较顺利地进行教学. 在教学中，师生共同探索发现用向量及其运算表示线线、线面、面面间的位置关系并予于应用,在起点高的班级中是可行的.【教学目标】：（1）知识与技能：理解直线的方向向量和平面的法向量；会用向量及其运算表示线线、线面、面面间的位置关系.（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对相关知识的理解。
（3）情感态度与价值观：开始体会把立方体几何几何转化为向量问题优势。
【教学重点】：平面的法向量.【教学难点】：用向量及其运算表示线线、线面、面面间的位置关系.【课前准备】：Powerpoint课件（2）求平行四边形ABCD的面积．⋅）证明：∵AP AB∴AP AB ⊥，AP AD ⊥，又ABAD A =，AP ⊥平面ABCD ，∴AP 是平面ABCD 的法向量．（2）222||(2)(1)(4)21AB =+-+-=，222||42025AD =++=， ∴(2,1,4)(4,2,0)6AB AD ⋅=--⋅=，∴63105cos(,)1052125AB AD ==⨯， ∴932sin 110535BAD ∠=-=， ∴||||sin 86ABCDSAB AD BAD =⋅∠=．巩固以往知识，培养运算技能. 五、小结1． 点、直线、平面的位置的向量表示。
2． 线线、线面、面面间的位置关系的向量表示。
反思归纳六、作业A ，预习课本114－119的例题。
B ，书面作业:1，2，练习与测试： （基础题）1，与两点和所成向量同方向的单位向量是 。
解：向量，它的模则所求单位向量为 。
2，从点沿向量 的方向取长为6的线段 ，求点坐标。
高中数学选修2-1配套(课件+检测)：3.2立体几何中的向量方法3.2 第1课时
第三章 3.2 第1课时A 级 基础巩固一、选择题1．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,0，－4)，则导学号 21324937( B )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α斜交[解析] ∵u ＝－2a ，∴u ∥a ，∴l ⊥α.2．在如图所示的坐标系中，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，给出下列结论：①直线DD 1的一个方向向量为(0,0,1)；②直线BC 1的一个方向向量为(0,1,1)；③平面ABB 1A 1的一个法向量为(0,1,0)；④平面B 1CD 的一个法向量为(1,1,1)． 其中正确的个数为导学号 21324938( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析] DD 1∥AA 1，AA 1→＝(0,0,1)；BC 1∥AD 1，AD 1→＝(0,1,1)，直线AD ⊥平面ABB 1A 1，AD →＝(0,1,0)；C 1点坐标为(1,1,1)，AC 1→与平面B 1CD 不垂直，∴④错．3．(2017·菏泽高二检测)已知A (1，－3,5)，B (－1，－1,4)是直线l 上两点，则下列可作为直线l 的方向向量的是导学号 21324939( B )A ．(1,1,0)B ．(4，－4,2)C ．(－3，－3,0)D ．(4,4,2)4．(2017·福州高二检测)已知向量n ＝(2,3，－1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是导学号 21324940( D )A ．(0,3，－1)B ．(2,0，－1)C ．(－2,3，－1)D ．(－2，－3,1)5．已知向量a ＝(2,4,5)、b ＝(5，x ，y )分别是直线l 1、l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则导学号 21324941( D )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝10，y ＝15D ．x ＝10，y ＝252[解析] ∵l 1∥l 2，∴a ∥b ，∴52＝x 4＝y 5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝10y ＝252.6．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝导学号 21324942( C )A ．2B ．－4C ．4D ．－2[解析] ∵α∥β，∴1－2＝2－4＝－2k，∴k ＝4，故选C ． 二、填空题7．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (1,2,3)、B (2，－1,1)、C (3，λ，λ)，若AB →⊥AC →，则λ等于 145.导学号 21324943 [解析] AB →＝(1，－3，－2)、AC →＝(2，λ－2，λ－3)，∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝0，∴2－3(λ－2)－2(λ－3)＝0，解得λ＝145. 8．已知直线l 的方向向量为u ＝(2,0，－1)，平面α的一个法向量为v ＝(－2,1，－4)，则l 与α的位置关系为_l ∥α或l ⊂α__.导学号 21324944[解析] u ·v ＝2×(－2)＋0×1＋(－1)×(－4)＝0，∴l ∥α或l ⊂α.三、解答题9.如图，已知P 是正方形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是P A 、BD 上的点，且PM ︰MA ＝BN ︰ND ＝5︰8.求证：直线MN ∥平面PBC .导学号 21324945[证明] MN →＝MP →＋PB →＋BN →＝－PM →＋PB →＋BN →＝－513P A →＋PB →＋513BD → ＝－513(BA →－BP →)＋PB →＋513(BA →＋BC →) ＝513BP →－BP →＋513BC →＝513BC →－813BP →， ∴MN →与BC →、BP →共面，∴MN →∥平面BCP ，∵MN ⊄平面BCP ，∴MN ∥平面BCP .10.(2017·枣庄高二检测)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2，点M 为P A 的中点，点N 为BC 的中点．AF ⊥CD 于F ，如图建立空间直角坐标系．求出平面PCD 的一个法向量并证明MN ∥平面PCD .导学号 21324946[解析] 由题设知：在Rt △AFD 中，AF ＝FD ＝22， A (0,0,0)，B (1,0,0)，F (0，22，0)，D (－22，22，0)， P (0,0,2)，M (0,0,1)，N (1－24，24，0)． MN →＝(1－24，24，－1)，PF →＝(0，22，－2)． PD →＝(－22，22，－2) 设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·PF →＝0，n ·PD →＝0⇒⎩⎨⎧ 22y －2z ＝0，－22x ＋22y －2z ＝0，令z ＝2，得n ＝(0,4，2)．因为MN →·n ＝(1－24，24，－1)·(0,4，2)＝0， 又MN ⊄平面PCD ，所以MN ∥平面PCD .B 级 素养提升一、选择题1．下面各组向量为直线l 1与l 2方向向量，则l 1与l 2一定不平行的是导学号 21324947( D )A ．a ＝(1,2，－2)、b ＝(－2，－4,4)B ．a ＝(1,0,0)、b ＝(－3,0,0)C ．a ＝(2,3,0)、b ＝(4,6,0)D ．a ＝(－2,3,5)、b ＝(－4,6,8)[解析] l 1与l 2不平行则其方向向量一定不共线．A 中：b ＝－2a ，B 中：b ＝－3a ，C 中：b ＝2a .故选D ．2．(2017·甘肃天水一中高二期末测试)两个不重合平面的法向量分别为v 1＝(1,0，－1)、v 2＝(－2,0,2)，则这两个平面的位置关系是导学号 21324948( A )A ．平行B ．相交不垂直C ．垂直D ．以上都不对[解析] ∵v 1＝(1,0，－1)，v 2＝(－2,0,2)，∴v 2＝－2v 1，∴v 1∥v 2，∴两个平面平行．3．已知点A (4,1,3)、B (2，－5,1)，C 为线段AB 上一点且|AC →||AB →|＝13，则点C 的坐标为导学号 21324949( C )A ．(72，－12，52)B ．(38，－3,2)C ．(103，－1，73)D ．(52，－72，32) [解析] ∵C 在线段AB 上，∴AC →∥AB →，∴设C (x ，y ，z )，则由|AC →||AB →|＝13得，(x －4，y －1，z －3)＝13(2－4，－5－1，1－3)， 即⎩⎨⎧x －4＝－23y －1＝－2z －3＝－23，解得⎩⎨⎧ x ＝103y ＝－1z ＝73. 故选C ． 4．对于任意空间向量a ＝(a 1，a 2，a 3)、b ＝(b 1，b 2，b 3)，给出下列三个命题： ①a ∥b ⇔a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3； ②若a 1＝a 2＝a 3＝1，则a 为单位向量； ③a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. 其中真命题的个数为导学号 21324950( B ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[解析] 由a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3⇒a ∥b ，反之不一定成立，故①不正确；②显然错误；③是正确的，故选B ．二、填空题5．过点A (1,0,0)、B (0,1,0)、C (0,0,1)的平面的一个法向量为_(1,1,1)__.导学号 21324951[解析] 设法向量n ＝(x ，y,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0n ·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝0－x ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1.∴n ＝(1,1,1)． 6．在空间直角坐标系O －xyz 中，已知A (1，－2,3)、B (2,1，－1)，若直线AB 交平面xOz 于点C ，则点C 的坐标为___(53，0，13)___.导学号 21324952 [解析] 设点C 的坐标为(x,0，z )，则AC →＝(x －1,2，z －3)，AB →＝(1,3，－4)，因为AC →与AB→共线，所以x －11＝23＝z －3－4，解得⎩⎨⎧ x ＝53z ＝13，所以点C 的坐标为(53，0，13)． 三、解答题 7．设a 、b 分别是不重合的直线l 1、l 2的方向向量，根据下列条件判断l 1，l 2的位置关系：导学号 21324953(1)a ＝(4,6，－2)、b ＝(－2，－3,1)；(2)a ＝(5,0,2)、b ＝(0,1,0)；(3)a ＝(－2，－1，－1)、b ＝(4，－2，－8)．[解析] (1)∵a ＝(4,6，－2)、b ＝(－2，－3,1)，∴a ＝－2b ，∴a ∥b ，∴l 1∥l 2.(2)∵a ＝(5,0,2)、b ＝(0,1,0)，∴a ·b ＝0，a ⊥b ，∴l 1⊥l 2.(3)∵a ＝(－2，－1，－1)，b ＝(4，－2，－8)，∴a 与b 不共线也不垂直．∴l 1与l 2相交或异面．8．已知三棱锥P －ABC ，D 、E 、F 分别为棱P A 、PB 、PC 的中点，求证：平面DEF ∥平面ABC .导学号 21324954[证明] 证法一：如图．设PD →＝a ，PE →＝b ，PF →＝c ，则由条件知，P A →＝2a ，PB →＝2b ，PC →＝2c ，设平面DEF 的法向量为n ，则n ·DE →＝0，n ·DF →＝0，∴n ·(b －a )＝0，n ·(c －a )＝0，∴n ·AB →＝n ·(PB →－P A →)＝n ·(2b －2a )＝0，n ·AC →＝n ·(PC →－P A →)＝n ·(2c －2a )＝0，∴n ⊥AB →，n ⊥AC →，∴n 是平面ABC 的法向量，∴平面DEF ∥平面ABC .证法二：设PD →＝a ，PE →＝b ，PF →＝c ，则P A →＝2a ，PB →＝2b ，PC →＝2c ，∴DE →＝b －a ，DF →＝c －a ，AB →＝2b －2a ，AC →＝2c －2a ，对于平面ABC 内任一直线l ，设其方向向量为e ，由平面向量基本定理知，存在唯一实数对(x ，y )，使e ＝xAB →＋yAC →＝x (2b －2a )＋y (2c －2a )＝2x (b －a )＋2y (c －a )＝2xDE →＋2yDF →，∴e 与DE →、DF →共面，即e ∥平面DEF ，∴l ⊄平面DEF ，∴l ∥平面DEF .由l 的任意性知，平面ABC ∥平面DEF .C 级 能力拔高在正四棱锥P －ABCD 中，底面正方形边长为32，棱锥的侧棱长为5，E 、F 、G 分别为BC 、CD 、PC 的中点，用向量方法证明下列问题.导学号 21324955(1)EF ⊥P A ；(2)EF ∥平面PBD ；(3)直线P A 与平面EFG 不平行．[解析] 设AC 与BD 的交点为O ，∵P －ABCD 为正四棱锥，∴PO ⊥平面ABCD ，且AC ⊥BD ，以O 为原点，OB ，OC 、OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，∵正方形ABCD 边长为32，∴OB ＝OC ＝3，又PC ＝5，∴OP ＝4，∴A (0，－3,0)、B (3,0,0)、C (0,3,0)、D (－3,0,0)、P (0，0,4)．(1)∵E 、F 分别为BC 、CD 的中点，∴E (32，32，0)、F (－32，32，0)，∴EF →＝(－3,0,0)、P A →＝(0，－3，－4)，EF →·P A →＝0，∴EF ⊥P A .(2)显然OC →＝(0,3,0)为平面PBD 的一个法向量，∵EF →·OC →＝0，∴EF ∥平面PBD .(3)∵G 为PC 中点，∴G (0，32，2)，设平面EFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·EF →＝0，n ·EG →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＝0－32x ＋2z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0z ＝0. 取n ＝(0,1,0)，∵n ·P A →＝－3≠0，∴P A 与平面EFG 不平行．。
3.2.1立体几何中的向量方法(第一课时)公开课
问题 : 已知不共线的三点坐标 , 如何求经过这三点的平 面的一个法向量? 在空间直角坐标系中,已知 A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) , C (0, 0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z )
n (4, 3, 6)
3.2 立体几何中的向量方法(1)
-----直线的方向向量与平面的法向量
前面,我们把
平面向量
推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们 组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
(课本第 102 页)思考 1： 怎样用向量来表示点、 直线、 平面在空间中的位置？ ⑴点 在空间中，我们取一定点 O 作为基点， 那么空间中任意一点 P 的位置就可以用向量
⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的方程
n a 0 组 n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
练习: 1. 已 知 AB (2, 2,1), AC (4, 5, 3), 求 平 面 ABC 的单位法向量.
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z )
OP 来表示，我们把向量 OP 称为点 P 的位置向 量. P ⑵直线 P 空间中任 r 意一条直线 l a 的位置可以由 l 上一个定点 O A 以及一个定 B 方向确定. A
⑵直线
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.
P
r a
对于直线 l 上的任一点 P , uuu r uuu r 存在实数 t 使得 AP t AB
第7讲立体几何中的向量方法 (1)
第7 讲立体几何中的向量方法[必备知识]考点1 直线的方向向量和平面的法向量1．直线的方向向量直线l 上的向量e 或与e 共线的向量叫做直线l 的方向向量，显然一条直线的方向向量有无数个．2．平面的法向量如果表示向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n⊥α，此时向量n 叫做平面α 的法向量．显然一个平面的法向量也有无数个，且它们是共线向量．3．设直线l，m 的方向向量分别为a，b，平面α，β 的法向量分别为u，v，则l∥m⇔a∥b⇔a＝k b，k∈R；l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0；l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0；l⊥α⇔a∥u⇔a＝k u，k∈R；α∥β⇔u∥v⇔u＝k v，k∈R；α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0.0，2 |cos θ|＝ ，φ 的取值范围是 |e ||n | 0， 2 考点 2 空间向量与空间角的关系1．两条异面直线所成角的求法设两条异面直线 a ，b 的方向向量分别为 a ，b ，其夹角为 θ，则 |a ·b |cos φ＝|cos θ|＝ Error!其中 φ 为异面直线 a ，b 所成的角，范围是|a ||b | ( π] 2．直线和平面所成角的求法如图所示，设直线 l 的方向向量为 e ，平面 α 的法向量为 n ，直线 l 与平面 α 所成的角为 φ，两向量 e 与 n 的夹角为 θ，则有 sin φ＝ |e ·n |[ π]3．求二面角的大小(1)如图①，AB 、CD 是二面角 α－l －β 的两个半平面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝〈→ →AB ，CD 〉．.Error!.(2)如图②③，n 1，n 2 分别是二面角 α－l －β 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的大小 θ 满足 cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉．取值范围是[0，π]． 考点 3 求空间的距离1．点到平面的距离如图，设 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，则→ |AB ·n |点 B 到平面 α 的距离 d ＝ .|n |2．线面距、面面距均可转化为点面距进行求解．[必会结论]1．直线的方向向量的确定：l 是空间一直线，A ，B 是 l 上任意两点，则→及与→平行的非零向量均为直线 l 的方向向量．AB AB 2．平面的法向量的确定：设 a ，b 是平面 α 内两不共线向量， n 为平面 α 的法向量，则求法向量的方程组为Error!，－，3 3 3 [双基夯实]一、疑难辨析判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)1．直线的方向向量是唯一确定的．( )2．两条不重合的直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是平行．( )3．已知→＝(2,2,1)，→＝(4,5,3)，则平面ABC 的单位法向量AB AC(1 2 2)4．若n1，n2分别是平面α，β 的法向量，则n1∥n2⇔α∥β.( )5．两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角．( )答案 1.× 2.√ 3.√ 4.√ 5.×二、小题快练1．[2016·桂林模拟]已知平面α 内有一点M(1，－1,2)，平面α 的一个法向量为n＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A．P(2,3,3) B．P(－2,0,1)C．P(－4,4,0) D．P(3，－3,4)答案 A解析因为平面α 的一个法向量为n＝(6，－3,6)，所以n⊥α，又A 选项中P(2,3,3)，所以→＝(1,4,1)，因此有n·→＝6×1＋MP MP 是n0＝±.( )4×(－3)＋6×1＝0，故选A.2．[课本改编]设平面α 的法向量为(1,2，－2)，平面β 的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k 等于( )A．2 B．－4 C．4 D．－2答案 C1 2 －2解析因为α∥β，所以＝＝，所以k＝4.－2 －4 k3．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB ＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F 分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF 和BC1所成的角是( )A．45°B．60°C．90°D．120°答案 B解析 以 BC 为 x 轴，BA 为 y 轴，BB 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系．设 AB ＝BC ＝AA 1＝2，∴C 1(2,0,2)，E (0,1,0)，F (0,0,1)．∴ →＝(0，－1,1)， →＝(2,0,2)．EF ∴ →· → BC 1＝2，记→， →所成角为 θ.EF BC 1 EF BC 1 2 1 ∴cos θ＝ .∴EF 和 BC 1 所成角为 60°.24．[2017·广州模拟]在长方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，AB ＝2，BC ＝AA 1＝1.则 D 1C 1 与平面 A 1BC 1 所成角的正弦值为 ．1答案 3考向利用空间向量证明平行、垂直解析 建立如图所示的空间直角坐标系，由于 AB ＝2，BC ＝ AA 1＝1，所以 A 1(1,0,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,1)，D 1(0,0,1)．所以 → ＝(－1,2,0)， → ＝(－1,0,1)， → ＝(0,2,0)，设平面 A 1C 1 BC 1 D 1C 1A 1BC 1 的法向量为 n ＝(x ，y ，z )，则有Error!即Error!令 x ＝2，则 y ＝1，z ＝2，则 n ＝(2,1,2)． 又设 D 1C 1 与平面 A 1BC 1 所成的角为 θ，→ → |D 1C 1·n | 2 1 则 sin θ＝|cos 〈D 1C 1，n 〉|＝ ＝ ＝ .|D 1C 1||n | 2 × 3 3例 1 [2017·深圳模拟]如图所示，在直三棱柱 ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA1C1C 和侧面AA1B1B 都是正方形且互相垂直，M 为AA1的中点，N 为BC1的中点．求证：(1)MN∥平面A1B1C1；(2)平面MBC1⊥平面BB1C1C.[证明]由题意，知AA1，AB，AC 两两垂直，以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．设正方形AA1C1C 的边长为2，则A(0,0,0)，A1(2,0,0)，B(0,2,0)，B1(2,2,0)，C(0,0,2)，C1(2,0,2)，M(1,0,0)，N(1,1,1)．(1)由题意知AA1⊥A1B1，AA1⊥A1C1，又A1B1∩A1C1＝A1，所以AA1⊥平面A1B1C1.因为→＝(2,0,0)，→＝(0,1,1)，所以→·→＝0，即→⊥AA1 MN MN AA1 MN→.故MN∥平面A B C .AA1 1 1 1(2)设平面MBC1与平面BB1C1C 的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．因为→＝(－1,2,0)，→＝(1,0,2)，MB MC1所以Error!⇒Error!令x1＝2，则平面MBC1的一个法向量为n1＝(2,1，－1)．同理可得平面BB1C1C 的一个法向量为n2＝(0,1,1)．因为n1·n2＝2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以n1⊥n2，所以平面MBC1⊥平面BB1C1C.触类旁通1．用向量证明平行的方法(1)线线平行：证明两直线的方向向量共线．(2)线面平行：①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行．(3)面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题．2．用向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．【变式训练1】[2017·青岛模拟]如图，在多面体 ABC －A 1B 1C 1 中，四边形 A 1ABB 1 是正方形，1AB ＝AC ，BC ＝ 角．求证：2AB ，B 1C 1 綊 BC ，二面角 A 1－AB －C 是直二面 2(1) A 1B 1⊥平面 AA 1C ；(2) AB 1∥平面 A 1C 1C .证明 ∵二面角 A 1－AB －C 是直二面角，四边形 A 1ABB 1 为正方形，∴AA 1⊥平面 BAC .又∵AB ＝AC ，BC ＝ 2AB ，∴∠CAB ＝90°，即 CA ⊥AB ，∴AB ，AC ，AA 1 两两互相垂直．建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz ，设 AB ＝2，则 A (0,0,0)，B 1(0,2,2)，A 1(0,0,2)，C (2,0,0)， C 1(1,1,2)．(1) → ＝(0,2,0)， → ＝(0,0，－2)， →＝(2,0,0)， A 1B 1 A 1A AC设平面 AA 1C 的一个法向量 n ＝(x ，y ，z )，则Error!即Error!即Error! 取y＝1，则n＝(0,1,0)．∴ →＝2n，即→∥n.∴A B ⊥平面AA C.A1B1 A1B1 1 1 1(2)易知→＝(0,2,2)，→＝(1,1,0)，→＝(2,0，－2)，设平AB1 A1C1 A1C面A1C1C 的一个法向量m＝(x1，y1，z1)，则Error!即Error!令x1＝1，则y1＝－1，z1＝1，即m＝(1，－1,1)．∴→·m＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0，∴→⊥m. AB1 AB1又AB1⊄平面A1C1C，∴AB1∥平面A1C1C.考利用空间向量求异面直线所成的角命题角度1 利用空间向量求异面直线所成的角例2 [2015·全国卷Ⅰ]如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC＝120°，E，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥262平面 ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .(1)证明：平面 AEC ⊥平面 AFC ；(2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值．[解] (1)证明：连接 BD ，设 BD ∩AC ＝G ，连接 EG ，FG ， EF ，如图．在菱形 ABCD 中，不妨设 GB ＝1.由∠ABC ＝120°，可得 AG ＝GC ＝ 3.由 BE ⊥平面 ABCD ，AB ＝BC ，可知 AE ＝EC .又 AE ⊥EC ，所以 EG ＝ 3，且 EG ⊥AC .在 Rt △EBG 中，可得 BE ＝ 2，故DF ＝ . 2在 Rt △FDG 中，可得 FG ＝ .2在直角梯形 BDFE 中，由 BD ＝2，BE ＝2，DF ＝ ，可得 222333GB3，0)，所以AE＝(1，3，2)，CF＝－1，－3，23EF＝.2从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.(2)如上图，以G 为坐标原点，分别以→，→的方向为x 轴，GB GCy 轴正方向，|→|为单位长，建立空间直角坐标系Gxyz.由(1)可得A(0，－3，0)，E(1,0，2)，F Error!－1，0，Error!，C(0，2→→(2)→→→→AE·CF故cos〈AE，CF〉＝→＝－.→|AE||CF|所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为.3命题角度2 利用空间向量求直线与平面所成的角.AE 22，1，2 PM ＝(0,2，－4)，PN ＝2 ，AN ＝2，1，2 例 3 [2016·全国卷Ⅲ]如图，四棱锥 P －ABCD 中，PA ⊥底面 ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段 AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为 PC 的中点．求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值．[解] 取 BC 的中点 E ，连接 AE .由 AB ＝AC ，得 AE ⊥BC ，从而 (BC )以 A 为坐标原点， →的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz .(5 ) → →(5) → ( 5)设 n ＝(x ，y ，z )为平面 PMN 的法向量， 则Error!即Error!AE ⊥AD ，且 AE ＝ AB 2－BE 2＝ AB 2－2＝ 5.由题意知 P (0,0,4)，M (0，2,0)，C ( 5，2,0)，N ，，1，－2 .可取n＝(0,2,1)．5 →→|n·AN| 8 5于是|cos〈n，AN〉|＝＝.→25|n||AN|8即直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为.25命题角度3 利用空间向量求二面角的大小例4[2016·浙江高考]如图，在三棱台ABC－DEF 中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.(1)求证：BF⊥平面ACFD；(2)求二面角B－AD－F 的平面角的余弦值．[解] (1)证明：延长AD，BE，CF 相交于一点K，如图所示．，0， ，F － ，0， 2 2 2 2因为平面 BCFE ⊥平面 ABC ，平面 BCFE ∩平面 ABC ＝BC ，且AC ⊥BC ，所以，AC ⊥平面 BCK ，因此，BF ⊥AC .又 EF ∥BC ，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，所以△BCK 为等边三角形，且 F 为 CK 的中点，则 BF ⊥CK ，又 AC ∩CK ＝C ，所以 BF ⊥平面 ACFD .(2)如图，延长 AD ，BE ，CF 相交于一点 K ，则△BCK 为等边三角形．取 BC 的中点 O ，连接 KO ，则 KO ⊥BC ，又平面 BCFE ⊥平面ABC ，所以，KO ⊥平面 ABC .以点 O 为原点，分别以射线 OB ，OK 的方向为 x 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 Oxyz .由题意得 B (1,0,0)，C (－1,0,0)，K (0,0， 3)，A (－1，－3， (1 3) ( 1 3)因此， →＝(0,3,0)， →＝(1,3， 3)， →＝(2,3,0)．设平面AC AK ABACK 的法向量为 m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面 ABK 的法向量为 n ＝(x 2， y 2，z 2)．由Error!得Error!取 m ＝(3，0，－1)；由Error!得Error!取 n ＝(3，－2， 3)．0)，E .330，2 m ·n 于是，cos 〈m ，n 〉＝ ＝ .|m |·|n | 4所以，二面角 B －AD －F 的平面角的余弦值为. 4触类旁通利用向量求空间角的方法(1)利用向量法求异面直线所成的角时，是通过两条直线的方向 ( π]量的夹角 α 的范围是[0，π]，所以要注意二者的区别与联系，应有 cos θ＝|cos α|.(2)利用向量法求线面角的方法①分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的 角．(3)利用空间向量求二面角的方法①分别在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；②通过平面的法向量来求，即设二面角的两个半平面的法向量分别为 n 1 和 n 2，则二面角的大小等于〈n 1，n 2〉(或 π－〈n 1， n 2〉)．应注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角．考利用空间向量求空间距离向量的夹角来求解，而两异面直线所成角的范围是 θ∈ ，两向例5 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC＝1BC＝AA1，D 是棱AA1的中点，DC1⊥BD.2(1)证明：DC1⊥BC；(2)设AA1＝2，A1B1的中点为P，求点P 到平面BDC1的距离．[解] (1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D 为AA1的中点，故DC＝DC1.1又AC＝AA1，可得DC12＋DC2＝CC21，所以DC1⊥DC.DC1⊥2BD，DC∩BD＝D，所以DC1⊥平面BCD.因为BC⊂平面BCD，所以DC1⊥BC.(2)由(1)知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，6 CA ， 2 ，22 ，则BD ＝(1，－1，1)，DC 1＝(－1，0,1)，PC 1＝ － ，－ ，0 2 2则 BC ⊥平面 ACC 1A 1，所以 CA ，CB ，CC 1 两两垂直． 以 C 为坐标原点， →的方向为 x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz .(1 1 )→ → → (11 )设 m ＝(x ，y ，z )是平面 BDC 1 的法向量，则Error!即Error!可取 m ＝(1,2,1)．| →|设点 P 到平面 BDC 1 的距离为 d ，则 d ＝PC 1·m＝ .|m | 4触类旁通求平面 α 外一点 P 到平面 α 的距离的步骤由题意知 B (0,1,0)，D (1,0,1)，C 1(0,0,2)，B 1(0，1,2)，P .PA (1)求平面 α 的法向量 n ；(2)在平面 α 内取一点 A ，确定向量→的坐标；→|n ·PA |(3)代入公式 d＝ |n |求解．【变式训练 2】如图，已知四边形 ABCD ，EADM 和 MDCF 都是边长为 a 的正方形，点 P 是 ED 的中点．(1)求点 D 到直线 BF 的距离；(2)求点 P 到平面 EFB 的距离．解 如图，以 D 为坐标原点，分别以 DA ，DC ，DM 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．26 3 3，0， 则 D (0,0,0)，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，M (0,0，a )， (a a )2 2(1) →＝(a ，a,0)， →＝(－a,0，a )． DB BF则→在→方向上的投影为 DB BF→ → |DB ·BF | |a × (－a )＋a × 0＋0 × a | ＝→ |BF |＝ a ， 2故点 D 到直线 BF 的距离(→ → )→ d ＝ |BD |2－|DB ·BF | → 2＝|BF |＝ a . 2(2)设 n ＝(x ，y ，z )是平面 EFB 的单位法向量，即|n |＝1，n ⊥平面 EFB ，所以 n ⊥ →，n ⊥ →.EF BE又→＝(－a ，a,0)， →＝(0，a ，－a )， EF EB则Error!令 x ＝，则 y ＝z ＝ . 3 32 2)2E (a,0，a )，F (0，a ，a )，则由中点坐标公式可得 P .3， ， ，又PE ＝( ，0， 3 3 32 2 3) → a a 所以 n ＝)，3 3PE 1 1 设所求距离为 d ，则 d ＝| →·n |＝ a .核心规律1.用向量来求空间角，都需将各类角转化成对应向量的夹角来计算，问题的关键在于确定对应线段的向量．2.求点到平面的距离，若用向量知识，则离不开以该点为端点的平面的斜线段．满分策略1.利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角，因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同．2.求点到平面的距离，有时用等体积法求解更方便．3.求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角.规范答题系列 7——利用空间向量破解二面角中的难题[2016·全国卷Ⅰ]如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D－AF－E 与二面角C－BE－F 都是60°.(1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC；(2)求二面角E－BC－A 的余弦值．[解题视点] (1)欲证平面ABEF⊥平面EFDC，只需证明AF⊥平面EFDC，只需在平面EFDC 内找两条相交直线与AF 垂直；(2) 建立空间直角坐标系，分别求平面BCE 与平面ABCD 的法向量，再求出两法向量夹角的余弦值，借助图形，即可得二面角E－BC－A 的余弦值．[解] (1)证明：由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，又DF∩FE＝F，所以AF⊥平面EFDC.又AF⊂平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC.19 19AB(2)过 D 作 DG ⊥EF ，垂足为 G ，由(1)知 DG ⊥平面 ABEF .以 G 为坐标原点， →的方向为 x 轴正方向，| →|为单位长，建GF GF 立如图所示的空间直角坐标系 Gxyz .由(1)知∠DFE 为二面角 D －AF －E 的平面角，故 ∠DFE ＝60°，则 DF ＝2，DG ＝ 3，可得 A (1,4,0)，B (－3,4,0)，E (－3,0,0)，D (0,0， 3)．由已知，AB ∥EF ，所以 AB ∥平面 EFDC .又平面 ABCD ∩平面 EFDC ＝CD ，故 AB ∥CD ，CD ∥EF .由 BE ∥AF ，可得 BE ⊥平面 EFDC ，所以∠CEF 为二面角 C － BE －F 的平面角，∠CEF ＝60°.从而可得 C (－2,0， 3)．连接 AC ，则→＝(1,0， 3)， →＝(0,4,0)， →＝(－3，－4，EC 3)， →＝(－4,0,0)． EB AC设 n ＝(x ，y ，z )是平面 BCE 的法向量，则Error!即Error!则可取 n ＝(3,0，－ 3)．设 m 是平面 ABCD 的法向量，则Error!同理可取 m ＝(0， 3，4)． n ·m 2 则 cos 〈n ，m 〉＝ ＝－ .|n ||m | 19 2 故二面角 E －BC －A 的余弦值为－ .19 [答题模板] 利用向量求空间角的步骤： 第一步：建立空间直角坐标系；第二步：确定点的坐标；第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标；第四步：计算向量的夹角(或函数值)；第五步：将向量夹角转化为所求的空间角；第六步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．答题启示(1)利用向量求角是高考的热点，几乎每年必考，主要是突出向量的工具性作用.(2)本题易错点是在建立坐标系时不能明确指出坐标原点和坐标轴，导致建系不规范.(3)将向量的夹角转化成空间角时，要注意根据角的概念和图形特征进行转化，否则易错.跟踪训练在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB∥CD，∠ABC＝60°，AB＝2CB＝2.在梯形ACEF 中，EF∥AC，且AC ＝2EF，EC⊥平面ABCD.(1)求证：BC⊥AF；3 2，0，h ，－ ，0Error!，AD ＝ ，0 ，AF ＝ － ，0，h 2 2 2 3，－3， 2h(2)若二面角 D －AF －C 的大小为 45°，求 CE 的长．解 (1)证明：在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos60°＝ 3，所以 AB 2＝AC 2＋BC 2，由勾股定理知∠ACB ＝90°，所以 BC ⊥AC .又因为 EC ⊥平面 ABCD ，BC ⊂平面 ABCD ，所以 BC ⊥EC .又因为 AC ∩EC ＝C ，所以 BC ⊥平面 ACEF ，又 AF ⊂平面 ACEF ，所以 BC ⊥AF .(2)因为 EC ⊥平面 ABCD ，又由(1)知 BC ⊥AC ，以 C 为原点， 建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz .(3)1 →(1 ) → ( )设平面 DAF 的法向量为 n 1＝(x ，y ，z )，则Error!所以Error! ( 3)3 3 设 CE ＝h ，则 C (0,0,0)，A ( 3，0，0)，F，D Error!2 － ，－ .2 令 x ＝ 3，所以 n 1＝.2 66又平面AFEC 的一个法向量n2＝(0,1,0)，|n1·n2|所以cos45°＝＝，解得h＝，所以CE 的长为.|n1||n2| 2 4 4[A 级基础达标](时间：40 分钟)1．若平面α 的一个法向量为(1,2,0)，平面β 的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α 和平面β 的位置关系是( )A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．重合答案 C解析由(1,2,0)·(2，－1,0)＝1×2＋2×(－1)＋0×0＝0，知两平面的法向量互相垂直，所以两平面互相垂直．2．[2017·宜宾模拟]已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且k a＋b 与2a－b 互相平行，则k 的值是( )4 5 7A．－2 B. C. D.3 3 5答案 A解析由题意得，k a＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)．所k－1 k 2以＝＝，解得k＝－2.3 2 －23．[2017·金华模拟]在空间直角坐标系Oxyz 中，平面OAB 的一个法向量为n＝(2，－2,1)，已知点P(－1,3,2)，则点P 到平面OAB 的距离d 等于( )5 OPA．4 B．2 C．3 D．1 答案 B解析由已知平面OAB 的一条斜线的方向向量→＝(－1，→→→|OP·n|3,2)，所以点P 到平面OAB 的距离d＝|OP|·|cos〈OP，n〉|＝|－2－6＋2|＝＝2.22＋(－2)2＋1|n|4．在三棱锥P－ABC 中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F 分别是棱AB，BC，CP 的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为( )1 2 5 2A. B. C. D.5 5 5 5答案 C解析以A 为原点，AB，AC，AP 所在直线分别为x 轴，y轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由AB＝AC＝1，PA＝2，得A(0，0,0)，B(1，0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，D Error!，5 536Error! ，， 0， PA 2 2 2 DE 0， ，0 DF － ， ，1 2 2 20,0Error!，E1 1 0E rr o r !，F( 1 )，∴ →＝(0,0，－2)， →＝( 1 )， →＝( 1 1 ).设平面 DEF 的法向量为 n ＝(x ，y ，z )， 则由Error!得Error!取 z ＝1，则 n ＝(2,0,1)，设 PA 与平面 DEF 所成的角为 θ，→|PA ·n | 则 sin θ＝ ＝ ，∴PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为 .→ 5 5 |PA ||n |5．已知直三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，CB ＝ 2，侧棱 AA 1＝1，侧面 AA 1B 1B 的两条对角线交于点 D ，则平面 B 1BD 与平面 CBD 所成的二面角的余弦值为()3 6 A ．－B ．－C.D.3333答案 A解析，133)12 CD CB 建立如图所示的空间直角坐标系，则 C (0,0,0)，B ( 2，0,0)，A (0,1,0)，B ( 1 → 2，0,1)，D Error! Error!， ＝ 1 1 → ， ＝( 2，0,0)， →＝(－ 2，1,0)， →＝(0,0,1)．设平面 CBD 和平面BA BB 1B 1BD 的法向量分别为 n 1，n 2，可得 n 1＝(0,1，－1)，n 2＝(1， 2，n 1·n 2 0)，所以 cos 〈n 1，n 2〉＝ ＝ ，又平面 B 1BD 与平面 CBD|n 1|·|n 2| 3 所成的二面角的平面角与〈n 1，n 2〉互补，故平面 B 1BD 与平面CBD 所成的二面角的余弦值为－ .36.如图，在正方形 ABCD 中，EF ∥AB ，若沿 EF 将正方形折成一 个二面角后，AE ∶ED ∶AD ＝1∶1∶ 弦值为．2，则 AF 与 CE 所成角的余 4 答案52 2 ( ， ， 2 2AF EC解析 ∵AE ∶ED ∶AD ＝1∶1∶ 2，∴AE ⊥ED ，即 AE ， DE ，EF 两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，设 AB ＝ EF ＝CD ＝2，则 E (0,0,0)，A (1,0,0)，F (0,2,0)，C (0，2,1)，∴ →＝ (－1,2,0)， →＝(0,2,1)，→ → → → AF ·EC 4 4∴cos 〈AF ，EC 〉＝ → ＝ ＝ ， →|AF |·|EC |5 × 5 54∴AF 与 CE 所成角的余弦值为 .57.正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC －A 1B 1C 1 的底面边长为 2，侧棱长为 2 2，则 AC 1 与侧面 ABB 1A 1 所成的角为．33 2 3 ×3 3AC 1 AC 2， 2 2 ，2 2 0，2，所以 θ＝ .6 π 答案6解析 以 C 为原点建立坐标系，得下列坐标：A (2，0,0)， (3 )所以 → ＝(－2,0,2 2)， → ＝Error!， ，2 2 2E rr o r !，设 直线 AC 1 与平面 ABB 1A 1 所成的角为 θ，→ → AC 1·AC 2 则 cos θ＝ ＝ 1＋0＋8 ＝ .→ →2|AC 1||AC 2|[ π]π8．已知点 E ，F 分别在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 的棱 BB 1， CC 1 上，且 B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则面 AEF 与面 ABC 所成的锐二面角的正切值为．答案32 C 1(0,0,22)．点 C 1 在侧面 ABB 1A 1 内的射影为点 C 2 .又 θ∈11 2) ( ) ( )1，1， 30，1， 3 AE 0，1， 3 AF－1，1， 3 (解析 如图，建立空间直角坐标系 Dxyz ， 设 DA ＝1，由已知条件得 ( 1)2 → 1 → 2F ， ＝ ， ＝ ，设平面 AEF 的法向量为 n ＝(x ，y ，z )，面 AEF 与面 ABC 所成的锐二面角为 θ，由图知 θ 为锐角，由 Error!得Error!令 y ＝1，z ＝－3，x ＝－1，则 n ＝(－1,1，－3)，平面 ABC 的法 3 向量为 m ＝(0,0，－1)，cos θ＝|cos 〈n ，m 〉|＝ ，tan θ＝ .113A (1,0,0)，E ，9.如图，在直二面角E－AB－C 中，四边形ABEF 是矩形，AB＝2，AF＝2 3，△ABC 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点P 是线段BF 上的一点，PF＝3.(1)证明：FB⊥平面PAC；(2)求异面直线PC 与AB 所成的角的余弦值．解(1)证明：以A 为原点，向量→→→的方向分别为x，AB，AC，AFy，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，F(0,0,2 3)．FB ACFB AP )，0， 22 AB PC － ，2，－ 2 2∵BF ＝ AB 2＋AF 2＝4，PF ＝3，(3 3)→→ →∴P ，0， 2 2(33)，FB ＝(2,0，－2 3)，AC ＝(0,2,0)，AP ＝∵ →· →＝0，∴FB ⊥AC .∵ →· →＝0，∴FB ⊥AP .∵FB ⊥AC ，FB ⊥AP ，AC ∩AP ＝A ，∴FB ⊥平面 APC .(2)∵ →＝(2,0,0)， →＝(3 3 ，→ →→ →|AB ·PC | |－3| 3 7记AB 与PC 夹角为 θ，则|cos θ|＝ → → ＝ ＝ . 714 |AB ||PC | 2.10．如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.(1)证明：AC⊥B1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．解(1)证明：易知，AB，AD，AA1两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB＝t，则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0，3,3)．从而→＝(－t,3，－3)，→＝(t,1,0)，→＝(－t,3,0)．B1D AC BD21 7 21AC BD| |因为 AC ⊥BD ，所以→· →＝－t 2＋3＋0＝0.解得 t ＝ 3或 t ＝－ 3(舍去)．于是 →＝(－ 3，3，－3)， →＝( 3，1,0)．B 1D AC因为→· → ＝－3＋3＋0＝0，所以→⊥ → ，即 AC ⊥B D .AC B 1D AC B 1D 1 (2)由(1)知， → ＝(0,3,3)， →＝(3，1,0)， →＝(0,1,0)．AD 1 ACB 1C 1设 n ＝(x ，y ，z )是平面 ACD 1 的一个法向量，则 Error!即Error!令 x ＝1，则 n ＝(1，－ 3， 3)． 设直线 B 1C 1 与平面 ACD 1 所成角为 θ，则→ →n ·B 1C 1 3sin θ＝|cos 〈n ，B 1C 1〉|＝＝ →|n |·|B 1C 1| ＝ ，即直线 B 1C 1 7与平面 ACD 1 所成角的正弦值为. 7[B 级 知能提升](时间：20 分钟)11．一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别是 (0,0,0)，(0,1,1)，(1,0,1)，(1,1,0)，则该四面体的体积为()16 A. B. C ．1 D ．2 3 4答案 A336 3 33 3 解析如图所示，该四面体是棱长均为 2的正四面体 ABCD .设△BCD 的中心为 O ，则 AO ⊥平面 BCD ，AO 即为该四面体的高．在 Rt △2 2 AOB 中，AB ＝ 2，BO ＝ BE ＝ × × 2＝ ，所以 AO ＝3 3 2 32 1 ＝ .底面积 S △BCD ＝ ×( 2)2＝ ，故其体积为 × 34 2 3 2 2 1 × ＝ .3 312．[2017·西宁模拟]如图所示的三棱锥 P －ABC 中，D 是棱 PB6 2－9 33030的中点，已知 PA ＝BC ＝2，AB ＝4，CB ⊥AB ，PA ⊥平面 ABC ，则异面直线 PC ，AD 所成角的余弦值为()A ．－B ．－ 10 530 30 C.D.510答案 D解析因为 PA ⊥平面 ABC ，所以 PA ⊥AB ，PA ⊥BC . 过点 A 作 AE ∥CB ，又 CB ⊥AB ，则 AP ，AB ，AE 两两垂直． 如图所示，以 A 为坐标原点，分别以 AB ，AE ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 A (0,0,0)，P (0,0,2)， B (4,0,0)，C (4，－2,0)．因为 D 为 PB 的中点，所以 D (2,0,1)．故→＝(－4,2,2)， →＝(2,0,1)． CP AD30 3010→ →→ →AD ·CP所以 cos 〈AD ，CP 〉＝→ → |AD | × |CP |2 × (－4)＋0 × 2＋1 × 2 －6＝－ .10设异面直线 PC ，AD 所成的角为 θ，→ → 则 cos θ＝|cos 〈AD ，CP 〉|＝.13．已知正四棱柱 ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB ＝1，AA 1＝2，点 E 为 CC 1 的中点，则点 D 1 到平面 BDE 的距离为.2 答案3解析 如图所示，以 D 为坐标原点，以 DA ，DC ，DD 1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 D (0，0,0)，B (1,1,0)，D (0,0,2)，E (0,1,1)，所以→＝(1,1,0)， →＝(0,1,1)， →1＝(－1，－1,2)．DB DE BD 1 3设n＝(x，y，z)是平面BDE 的法向量，所以n⊥→，n⊥→，DB DE所以Error!即Error!令x＝1，则Error!所以平面BDE 的一个法向量为n＝(1，－1，1)，则点→|BD1·n| 2 3 2 3D1到平面BDE 的距离d＝＝.故填.|n| 3 314.[2016·山东高考]在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O′的直径，FB 是圆台的一条母线．(1)已知G，H 分别为EC，FB 的中点．求证：GH∥平面ABC；1 (2)已知EF＝FB＝AC＝223，AB＝BC.求二面角F－BC－A 的余弦值．解(1)证明：设FC 的中点为I，连接GI，HI，在△CEF 中，因为点G 是CE 的中点，所以GI∥EF.又EF∥OB，所以GI∥OB.在△CFB 中，因为H 是FB 的中点，所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.(2)连接OO′，则OO′⊥平面ABC.7C ＝ BF －1，13又 AB ＝BC ，且 AC 是圆 O 的直径，所以 BO ⊥AC .以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz .由题意得 B(0,2 3，0)，C (－2 3，0,0)，所以 B →(－23，－2 3，0)，过点 F 作 FM 垂直 OB 于点 M .所以 FM ＝ FB 2－BM 2＝3，可得 F (0， 3，3)．故→＝(0，－ 3，3)．设 m ＝(x ，y ，z )是平面 BCF 的法向量．由Error!可得Error!(因为平面 ABC 的一个法向量 n ＝(0,0,1)，m ·n 所以 cos 〈m ，n 〉＝ ＝ .|m |·|n | 7可得平面 BCF 的一个法向量 m ＝ .7 所以二面角F－BC－A 的余弦值为.7。
3.2.1立体几何中的向量方法(经典实用)
AC1 AB AD AA1
AC
2 1
(AB AD AA 1 )2
AB AD AA1 2( AB AD AB AA1 AD AA1 )
3.2.1立体几何中的向量方法(1)
学习目标
1.掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念
2.掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解 决平行、垂直等立体几何问题；
3.掌握向量模的计算公式，会用向量方法求两 点间距离。
立体几何中的向量方法(一)
前面,我们把 平面向量
推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
2 2 2
1 1 1 2(cos 60 cos 60 cos 60)
6
所以 |Байду номын сангаасAC1 | 6
A1 D1 C1
D
C
B
B1
答: 这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的 6 倍。 A
当堂检测7：如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，
直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直
二、垂直关系：
(1) l m a b a b 0
l
a b
m
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则 (2) l a // u a u
l
a
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
变式训练： 在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. n (4, 3, 6) 解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x , y , z ) n 则 n AB ， AC .∵ AB ( 3, 4, 0) , AC ( 3, 0, 2)
( 人教A版)2-1：3.2立体几何中的向量方法第1课时空间向量与平行关系课件 (共31张PPT)
解析：(1)∵a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2) ∴a·b＝8－6－2＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2. (2)∵u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9,0)， ∴v＝－3u，∴u∥v，∴α∥β. (3)∵a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3)， ∴a与u既不共线，也不垂直， ∴l与平面α斜交．
[证明] 如图所示建立空间直角坐标系D-xyz，则有D(0,0,0)， A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)， B1(2,2,2)， 所以F→C1＝(0,2,1)，D→A＝(2,0,0)，A→E＝(0,2,1)．
(1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量， 则n1⊥D→A，n1⊥A→E， 即nn11··DA→→EA＝＝22yx11＋＝z01，＝0，
设平面SCD的法向量为n＝(1，y，z)， 则n·D→C＝(1，y，z)·(1,2,0)＝1＋2y＝0， ∴y＝－12. 又n·D→S＝(1，y，z)·(－1,0,2)＝－1＋2z＝0， ∴z＝12. ∴n＝1，－12，12即为平面SCD的一个法向量．
探究三 利用空间向量证明平行关系 [典例3] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中 点，求证： (1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B1C1F.
G→En＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，
n·G→E＝0， 则n·G→F＝0.
∴－－2xx－＋y＋y＋2zz＝＝00，.
∴xy＝＝zz.， ∴n＝(z，z，z)，令z＝1，此时n＝(1,1,1)， 所以平面EFG的一个法向量为(1,1,1)．
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作的 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去方向，就永远不会失去自己！ 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移山之术，惟一能移山的方法就 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于没有路，你想知道将来要得到 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个门：一个是家门，成长的地方； 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己，只有战胜自己，才能战胜困难！ 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺利的就忏悔，然后放下。“雁 渡寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起折腾；受得起打击；丢得起面 子；担得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气；对已讲原则，坚持守底气；淡 泊且致远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完美。若一心想要事事求顺意， 反而深陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生的至宝。我们的梦想在哪里？ 在路上，在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真诚友谊的宽道上！珍惜每一分 钟，对自己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有的，不要感叹你失去或未得到； 学会赞美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身处困境之人，不做苟且之事， 则可重任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光的心态，得失了无忧，来去都 随缘。心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳光，才是永恒的美。意逐白云 飞，心随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够用即可；累时，闲是幸福，够 畅即可；困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很多时候限制我们的，不是周遭 的环境，也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。无论有多少委屈，一笑而泯之。 人生的幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争，却有柴米之忧烦；世外桃源祥 和升平，最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦荡，不为虚名所累；做事要头 脑清醒，不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一点要求，多一点警醒。傲不可 长，志不可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命得到升华洗礼，在自观中走向 觉悟。让心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差距；表面上看是人脉的差距， 实际上是人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同，心态决定命运。知恩感恩，是 很重要的一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道理，但他 这样一想、一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷到了极致， 太阳就要光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。知恩感恩，是很重要的一 件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道理，但他这样一想、 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷到了极致，太阳就要 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平常心观不平常事，则事事平常。 在危险面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不仅要为成功而努力，更要为做 一个有价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。只有在我们不需 要外来的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不算事。和对自己有恶意的人绝 交。人有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失。不要试图给自己找任何借口， 错误面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定要放下。活得轻松，任何事都 作一个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有�
学案11：§3.2 立体几何中的向量方法(一)
§3.2 立体几何中的向量方法(一)1．直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量的定义直线的方向向量是指和这条直线 的非零向量，一条直线的方向向量有 个． (2)平面的法向量的定义直线l ⊥α，取直线l 的 a ，则a 叫做平面α的法向量． 思考：直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？2．空间中平行关系的向量表示1．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1,2,3) B ．(1,3,2) C ．(2,1,3)D ．(3,2,1)2．若平面α，β的一个法向量分别为m ＝⎝⎛⎭⎫－16，13，－1，n ＝⎝⎛⎭⎫12，－1，3，则( ) A ．α∥βB ．α⊥βC ．α与β相交但不垂直D ．α∥β或α与β重合3．已知u ，v 分别是平面α，β的法向量，则下列条件能使α与β垂直的是( ) A ．u ＝(－2,2,5)，v ＝(6，－4,4) B ．u ＝(1,2，－2)，v ＝(－2，－4,4) C ．u ＝(2，－3,5)，v ＝(－3,1，－4)D ．u ＝(－2,1,4)，v ＝(6,3,3)4．若直线l 的方向向量a ＝(2,2，－1)，平面α的法向量μ＝(－6,8,4)，则直线l 与平面α的位置关系是________．合作探究类型1 利用方向向量和法向量判定线线、线面、面面的位置关系 例1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1)不重合的直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)； (2)直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)； (3)平面α与β的法向量分别是u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝⎛⎭⎫3，2，－12； (4)平面α与β的法向量分别是u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2，1)；(5)直线l 的方向向量、平面α的法向量分别是a ＝(0，－8，12)，u ＝(0,2，－3)．规律方法1.不重合的两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则两直线相交或异面.2.直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直.3.两个平面的法向量共线垂直时，两平面平行或重合垂直；否则两平面相交但不垂直. 跟踪训练1．设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k )，若α∥β，则k ＝________． 类型2 求平面的法向量例2 如图，已知ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，试建立适当的坐标系．(1)求平面ABCD 的一个法向量； (2)求平面SAB 的一个法向量； (3)求平面SCD 的一个法向量．规律方法1．利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB →，AC →． (3)列方程组：由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，列出方程组．(4)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 2．求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．(2)取特值：在求n 的坐标时，可令x ，y ，z 中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量．(3)注意0：提前假定法向量n ＝(x ，y ，z )的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0． 跟踪训练2．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱A 1D 1、A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面BDD 1B 1的一个法向量； (2)平面BDEF 的一个法向量．类型3 利用空间向量证明平行关系 [探究问题]在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？例3在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．母题探究1．本例中条件不变，试证明平面A1BD∥平面CB1D1．2．若本例换为：在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG．规律方法1．向量法证明线面平行的三个思路(1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u ＝0．(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v ，则α∥β⇔μ∥v ．课堂小结1．利用向量解决立体几何问题的“三部曲”：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)； (3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．2．证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明．课堂检测1．若A ⎝⎛⎭⎫0，2，198，B ⎝⎛⎭⎫1，－1，58，C ⎝⎛⎭⎫－2，1，58是平面α内的三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝( ) A ．2∶3∶(－4) B ．1∶1∶1 C ．⎝⎛⎭⎫－12∶1∶1 D ．3∶2∶42．已知平面α内有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α内的是( ) A ．P (2,3,3) B ．P (－2,0,1) C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)3．若直线l 的方向向量为a ＝(3，－1,4)，平面α的法向量为n ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，34，则直线l 与平面α的位置关系是________．4．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 1为B 1D 1的中点，求证：BO 1∥平面ACD 1．参考答案新知初探1．(1)平行或共线 无数 (2)方向向量思考：[提示] 不唯一，直线的方向向量(平面的法向量) 有无数个，它们分别是共线向量． 2．(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2) a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0 u ∥v (a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)初试身手1．【答案】A【解析】AB →＝(2,4,6)＝2(1,2,3)． 2．【答案】D【解析】∵n ＝－3m ，∴m ∥n ，∴α∥β或α与β重合． 3．【答案】A【解析】对于A ，因为u ·v ＝0，∴u ⊥v ，∴α⊥β． 对于B ，u ∥v ，∴α∥β或α与β重合．对于C ，u 与v 不垂直，也不平行，∴α与β相交． 对于D ，u 与v 不垂直，也不平行，∴α与β相交，故选A ． 4．【答案】l ⊂α或l ∥α【解析】∵μ·a ＝－12＋16－4＝0， ∴μ⊥a ，∴l ⊂α或l ∥α．合作探究类型1 利用方向向量和法向量判定线线、线面、面面的位置关系 例1 解：(1)∵a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)， ∴a ＝－13b ，∴a ∥b ，即l 1∥l 2．(2)∵a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)，∴a ·b ≠0且a ≠k b (k ∈R )，∴a ，b 既不共线也不垂直， 即l 1与l 2相交或异面．(3)∵u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝⎛⎭⎫3，2，－12， ∴u ·v ＝3－2－1＝0，∴u ⊥v ，即α⊥β． (4)∵u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)，∴u ·v ≠0且u ≠k v (k ∈R )，∴u 与v 既不共线也不垂直，即α和β相交但不垂直． (5)∵a ＝(0，－8,12)，u ＝(0,2，－3)， ∴u ＝－14a ，∴u ∥a ，即l ⊥α．跟踪训练 1．【答案】4【解析】∵α∥β，∴(1,3，－2)＝λ(－2，－6，k )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＝1，λk ＝－2，∴λ＝－12，k ＝4．类型2 求平面的法向量例2 解：以点A 为原点，AD 、AB 、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (0,1,0)，C (1，1,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，S (0,0,1)．(1)∵SA ⊥平面ABCD ，∴AS →＝(0,0,1)是平面ABCD 的一个法向量．(2)∵AD ⊥AB ，AD ⊥SA ，AB ∩SA ＝A ，∴AD ⊥平面SAB ，∴AD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量．(3)在平面SCD 中，DC →＝⎝⎛⎭⎫12，1，0，SC →＝(1,1，－1)． 设平面SCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )， 则n ⊥DC →，n ⊥SC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·DC →＝0，n ·SC →＝0，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋y ＝0，x ＋y －z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ，z ＝－y ，令y ＝－1，得x ＝2，z ＝1，∴平面SCD 的一个法向量为n ＝(2，－1,1)． 跟踪训练2．解：设正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则D (0,0,0)，B (2,2,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，E (1,0,2)．(1)连接AC (图略)，因为AC ⊥平面BDD 1B 1，所以AC →＝(－2,2,0)为平面BDD 1B 1的一个法向量．(2)DB →＝(2,2,0)，DE →＝(1,0,2)．设平面BDEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DE →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，x ＋2z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，z ＝－12x .令x ＝2，得y ＝－2，z ＝－1．∴n ＝(2，－2，－1)即为平面BDEF 的一个法向量． 类型3 利用空间向量证明平行关系 [探究问题][提示] 可设几何体的棱长为1或a ，再求点的坐标．例3 证明：法一：如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，M ⎝⎛⎭⎫0，1，12，N ⎝⎛⎭⎫12，1，1，于是DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)， MN →＝⎝⎛⎭⎫12，0，12． 设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ⊥DA 1→，n ⊥DB →，即⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝x ＋z ＝0，n ·DB →＝x ＋y ＝0，取x ＝1，则y ＝－1，z ＝－1，∴平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)． 又MN →·n ＝⎝⎛⎭⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN →⊥n ．∴MN ∥平面A 1BD ． 法二：MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→，∴MN →∥DA 1→，∴MN ∥平面A 1BD ．法三：MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12DA →－12A 1A →＝12()DB →＋BA →－12()A 1B →＋BA →＝12DB →－12A 1B →．即MN →可用A 1B →与DB →线性表示，故MN →与A 1B →，DB →是共面向量，故MN ∥平面A 1BD ． 母题探究1．证明：由例题解析知，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)， 则CD 1→＝(0，－1,1)，D 1B 1→＝(1,1,0)， 设平面CB 1D 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥CD 1→m ⊥D 1B 1→，即⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD 1→＝－y 1＋z 1＝0，m ·D 1B 1→＝x 1＋y 1＝0，令y 1＝1，可得平面CB 1D 1的一个法向量为m ＝(－1,1,1)， 又平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)． 所以m ＝－n ，所以m ∥n ，故平面A 1BD ∥平面CB 1D 1． 2．证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ， ∴EF ⊥AE ，EF ⊥BE ．又∵AE ⊥EB ，∴EB ，EF ，EA 两两垂直．以点E 为坐标原点，EB ，EF ，EA 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得，A (0,0,2)，B (2,0,0)，C (2,4,0)，F (0,3,0)，D (0,2,2)，G (2，2,0)，∴ED →＝(0,2,2)，EG →＝(2,2,0)，AB →＝(2,0，－2)．设平面DEG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ED →·n ＝0，EG →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，2x ＋2y ＝0，令y ＝1，得z ＝－1，x ＝－1，则n ＝(－1,1，－1)， ∴AB →·n ＝－2＋0＋2＝0，即AB →⊥n ． ∵AB ⊄平面DEG ， ∴AB ∥平面DEG ．课堂检测1．【答案】A【解析】AB →＝⎝⎛⎭⎫1，－3，－74，BC →＝(－3,2,0)，因为平面α的法向量为a ＝(x ，y ，z )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ·AB →＝x －3y －74z ＝0，a ·BC →＝－3x ＋2y ＝0，取y ＝3，则x ＝2，z ＝－4．所以x ∶y ∶z ＝2∶3∶(－4)． 2．【答案】A【解析】逐一验证法，对于选项A ，MP →＝(1,4,1)， 所以MP →·n ＝6－12＋6＝0，所以MP →⊥n ，所以点P 在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内． 3．【答案】l ∥α或l ⊂α【解析】因为a ·n ＝(3，－1,4)·⎝⎛⎭⎫－12，32，34＝0， 所以a ⊥n ，所以l ∥α或l ⊂α．4．证明：法一：以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 设正方体的棱长为2，则A (2,0,0)，D 1(0,0,2)，C (0,2,0)，B (2,2,0)，O 1(1,1,2)， ∴AD 1→＝(－2,0,2)， CD 1→＝(0，－2,2)， BO 1→＝(－1，－1,2)， ∴BO 1→＝12AD 1→＋12CD 1→，∴BO 1→与AD 1→，CD 1→共面． 又BO 1⊄平面ACD 1， ∴BO 1∥平面ACD 1．法二：在法一建立的空间直角坐标系下，取AC 的中点O ，连接D 1O ，则O (1,1,0)，D 1(0,0,2)，B (2,2,0)，O 1(1,1,2)，∴D 1O →＝(1,1，－2)． 又BO 1→＝(－1，－1,2)，∴D 1O →＝－BO 1→，∴D 1O →∥BO →1．又D 1O 与BO 1不重合，∴D 1O ∥BO 1． 又BO 1⊄平面ACD 1，D 1O ⊂平面ACD 1，∴BO 1∥平面ACD 1．。
《立体几何中的向量方法》互动课堂(第1课时)
互动课堂重难突破1.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量.共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.2.平面的法向量从大纲上要求是了解，但实际上应用较广泛.如判定平面的平行或垂直问题,可转化为研究其法向量的平行或垂直问题;求线面角、面面角问题、距离问题都可结合平面的法向量解决.因此在学习时可适当提高要求,理解法向量的求法及简单应用.现补充如下:(1)如果一个非零向量n垂直于异面直线a与b,则称向量n为异面直线a与b的法向量.(2)设直线l的方向向量为u=(a1,b1,c1),平面α的法向量v=(a2,b2,c2),则l∥α⇔u⊥v⇔u·v=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0;l⊥α⇔u∥v⇔u=kv(k∈R)⇔a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2.(3)因为法向量不唯一，因此要注意法向量的设法技巧，选取时要尽量简单,利于计算.一般法向量平行或垂直于某个坐标平面时,法向量的坐标分量都会有1到2个为0;当法向量与坐标平面不平行也不垂直时,不妨设横坐标、纵坐标、竖坐标中的一个坐标为1,而且尽量让1以外的坐标在点乘中与0相乘.例如：已知=(1,1,0),=(0,1,2),可设平面ABC的一个法向量为n=(x,1,z),这样使运算简单.3.利用向量证明空间中平行和垂直问题:(1)证明线线平行.设a、b是两条不重合的直线,它们的方向向量分别为a、b,则a∥b⇔a∥b⇔a=λb(λ∈R,λ≠0)(2)证明线面平行:①在平面α内找到一条直线的方向向量为b,已知直线的方向向量为a,问题转化为证明a=λb即可.或者已知直线上的两点坐标A,B,在平面α内找出两点C,D写成坐标形式,=(x1y1,z1), =(x2、y2、z2),只要证明x1=λx2且y1=λy1,且z1=λz2.②证明a与平面α共面,即在α内取两不共线向量b、c,证存在实数x,y,使a=xb+yc.③设直线a在平面α外,a是a的一个方向向量,b是α的一个法向量,则a∥α⇔a⊥b⇔a·b=0.(3)证明面面平行：设两个不重合的平面α、β的法向量分别为a,b,则α∥β⇔a∥b⇔a=λb(λ∈R,λ≠0).(4)证明线线垂直：设a、b分别为直线a、b的方向向量，则a⊥b⇔a⊥b⇔a·b=0.(5)证明线面垂直：①设直线a的方向向量为a,平面α的法向量为b,则a⊥α⇔a∥b⇔a=λb(λ∈R,λ≠0).②设直线l，平面α,要让l⊥α,只要在l上取一个非零向量p,在α内取两个不共线的向量a、b,问题转化为只证：p⊥a且p⊥b,也就是a·p=0且b•p=0.(6)证明面面垂直：设a 与b 分别是平面α、β的法向量，则α⊥β⇔a ⊥b ⇔a ·b =0.活学巧用【例1】ABCD —A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，侧棱长为1 ，底面边长为2，E 是棱BC 的中点.（1）求三棱锥D 1—DBC 的体积;（2）证明BD 1∥平面C 1DE .(1)解：易证:V D 1-DBC =31×21×2×2×1=32. (2)证明:如右图,建立空间直角坐标系D —xyz ,易得1=(-2,-2,1),1DC =(0,2,1),=(1,2,0),设n =(x ,y ,z )是平面C 1DE 的法向量,则由⎩⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,02,02,0,01y x z y n DC n 令y =1,得n =(-2,1,-2),∴n ·1BD =(-2,1,-2)·（-2，-2，1）=0，∴n ⊥1BD ，∴BD 1∥平面C 1DE .【例2】如右图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、M 、N 分别是正方体六个表面的中心，证明：平面EFG ∥平面HMN .证明：如右图，建立空间直角坐标系D —xyz ,设正方体的棱长为2，易得E （1，1，0），F （1，0，1），G （2，1，1），H （1，1，2），M （1，2，1），N （0，1，1）. ∴=(0,-1,1),=(1,0,1),=(0,1,-1),=(-1,0,-1).设m=(x 1,y 1,z 1),n =(x 2,y 2,z 2)分别是平面EFG 、平面HMN 的法向量， 由⎩⎨⎧=+=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0,0,01111z x z y m m 令x 1=1，得m=(1,-1,-1).由⎩⎨⎧=--=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0,0,02222z x z y n n 令x 2=1,得n =(1,-1,-1).∴m=n ,故m ∥n ，,即平面EFG ∥平面HMN .【例3】 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点.证明：面AED ⊥面A 1FD 1.证明：如右图，建立空间直角坐标系D —xyz ，设正方体棱长为1，则E （1，1，21），F （0，21，0），∴=11A D =（1，0，0），=（1，1，21）， F D 1=（0，21，-1）. 设m=(x 1,y 1,z 1)、n =(x 2,y 2,z 2)分别是平面AED 、A 1FD 1的法向量. 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,021,0,0,01111z y x x m m 令y 1=1,则m=(0,1,-2). 又由⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.021,0,0,0222111z y x D n A D n 令z 2=1,则n =(0,2,1).∵m ·n =(0,1,-2)·（0，2，1）=0，∴m ⊥n ,故面AED ⊥面A 1FD 1.【例4】如右图，已知矩形ABCD ，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，∠PDA 为θ,能否确定θ,使直线MN 是直线AB 与PC 的公垂线？若能确定，求出θ的值；若不能确定，说明理由.解：以点A为原点建立空间直角坐标系A—xyz，如右图，设|AD|=2a，|AB|=2b,∠PDA=θ,则A（0，0，0）、B（0，2b,0）、C(2a、2b、0)、D(2a,0,0)、P(0,0,2a tanθ)、M(0,b,0)、N(a,b,a tanθ).∴=(0,2b,0),=(2a,2b,-2a tanθ),=(a,0,a tanθ).∵·=（0，2b,0）·（a,0,a tanθ）=0,∴AB⊥MN.即AB⊥MN.若NM⊥PC，即·=（a,0,a tanθ）·（2a,2b,-2a tanθ）＝2a2-2a2tan2θ=0.∴tan2θ=1,而θ是锐角.∴tanθ=1,θ=45°.即当θ＝４5 ° 时,直线MN是直线AB与PC的公垂线.点评:对于开放型问题,解题的策略一般为先假设存在,然后转化为“封闭型”问题求解判断，这是一种最常用也最基本的方法.。
(新课程)高中数学《3.2立体几何中的向量方法(1)》导学案 新人教A版选修21
;2. 掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直、夹角等立体几何问题．102104，找出疑惑之处） 复习1： 可以确定一条直线；确定一个平面的方法有哪些？复习2：如何判定空间A ,B ,C 三点在一条直线上？复习3：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，a ·b ＝二、新课导学※ 学习探究探究任务一： 向量表示空间的点、直线、平面问题：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？新知：⑴ 点：在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量OP 来表示，我们把向量OP 称为点P 的位置向量.⑵ 直线：① 直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.② 对于直线l 上的任一点P ,存在实数t ，使得AP t AB =，此方程称为直线的向量参数方程.⑶ 平面：① 空间中平面α的位置可以由α内两个不共线向量确定.对于平面α上的任一点P ,,a b 是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(,)x y ,使得OP xa yb =+.② 空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置. ⑷ 平面的法向量：如果表示向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量n 垂直于平面α,记作n ⊥α，那 么向量n 叫做平面α的法向量.试试： .1.如果,a b 都是平面α的法向量，则,a b 的关系 .2.向量n 是平面α的法向量，向量a 是与平面α平行或在平面内，则n 与a 的关系是 .反思：1. 一个平面的法向量是唯一的吗？2. 平面的法向量可以是零向量吗？⑸向量表示平行、垂直关系：设直线,l m的方向向量分别为,a b，平面,αβ的法向量分别为,u v，则①l∥m⇔a∥b a kb⇔=②l∥α⇔a u⇔⋅=a u⊥0③α∥β⇔u∥v.⇔=u kv※典型例题例1 已知两点()()--,求直线AB1,2,3,2,1,3A B与坐标平面YOZ的交点.变式：已知三点()()•P,点Q在OP上运动（O为坐标原点）,求当QA QB1,1,21,2,3,2,1,2,A B()取得最小值时,点Q的坐标.小结：解决有关三点共线问题直接利用直线的参数方程即可.例2 用向量方法证明两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.变式：在空间直角坐标系中,已知()()()3,0,0,0,4,0,0,0,2A B C ,试求平面ABC 的一个法向量.小结：平面的法向量与平面内的任意向量都垂直.※ 动手试试练1. 设,a b 分别是直线12,l l 的方向向量，判断直线12,l l 的位置关系： ⑴ ()()1,2,2,2,3,2a b =-=-；⑵ ()()0,0,1,0,0,3a b ==.练2. 设,u v 分别是平面,αβ的法向量，判断平面,αβ的位置关系： ⑴ ()()1,2,2,2,4,4u v =-=--；⑵ ()()2,3,5,3,1,4u v =-=--.三、总结提升※ 学习小结1. 空间点，直线和平面的向量表示方法2. 平面的法向量求法和性质.※ 知识拓展：求平面的法向量步骤：⑴设平面的法向量为(,,)n x y z =；⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标； ⑶根据法向量的定义建立关于,,x y z 的方程组； ,即得法向量.）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 设()()2,1,2,6,3,6a b =--=--分别是直线12,l l 的方向向量，则直线12,l l 的位置关系是 .2. 设()()2,2,5,6,4,4u v =-=-分别是平面,αβ的法向量，则平面,αβ的位置关系是 .3. 已知n α⊥，下列说法错误的是（ ）A. 若a α⊂，则n a ⊥B.若//a α，则n a ⊥C.若,m α⊥，则//n mD.若,m α⊥，则n m =4.下列说法正确的是（ ）A.平面的法向量是唯一确定的B.一条直线的方向向量是唯一确定的C.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量D.若m 是直线l 的方向向量，//l α，则//m α5. 已知()()1,0,1,0,3,1AB AC =-=-，能做平面ABC 的法向量的是（ ）A. ()1,2,1B.11,,13⎛⎫⎪⎝⎭ C.()1,0,0 D. ()2,1,3课后作业1. 在正方体1111ABCD A B C D -中，求证：1DB 是平面1ACD 的一个法向量.2．已知()()2,2,1,4,5,3AB AC ==，求平面ABC 的一个法向量.。
总复习《第40讲 立体几何中的向量方法(1)》
(2)设 n1 为平面 AEC1F 的法向量，显然 n1 不垂直于平面 ADF，故可设 n1＝(x， y,1)． → AE＝ 0， n1· 0×x＋ 4× y＋ 1＝ 0， 由 得 → － 2× x＋ 0× y＋ 2＝ 0， AF＝ 0， n1·
4y＋ 1＝ 0， 即 ∴ 1 － 2x＋ 2＝ 0， y＝－ ，
(2)求证: 平面BCE⊥平面CDE.
利用向量法求空间距离
如图所示的多面体是由底面为ABCD的
长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB
＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.
(1)求BF的长； (2)求点C到平面AEC1F的距离．
[解 ]
(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则各相关点的坐标为：
热身训练1：下列命题中，正确命题的个数为 D . ①若n1,n2分别是α、β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β； ②若n1,n2分别是α、β的法向量，则α⊥β⇔n1· n2 ＝ 0； ③若n是平面α的法向量，a与α共面，则n· a＝ 0； ④若两平面的法向量不垂直,则这两平面一定不垂直． A.1 B.2 C.3 D.4
总复习 第40讲
立体几何中的 向量方法（1）
空间向量作为解题的工具 1、理清这个“工具”的功能. 2、把这个“工具”用到解题中去.
一、理解三个向量
1. 点P 的位置向量：(O为基点)
2. 直线l 的方向向量：
3. 平面α的法向量：
P
l
Hale Waihona Puke aOaA
α
二.利用空间向量证明空间的位置关系
设直线l、m的方向向量分别为a、b， 平面α、β的法向量 分别为u、v， l∥m ⇔ a∥b ⇔ a＝kb(k∈R)；
《立体几何中的向量方法(第1课时)》 知识讲解
数学人教A 选修2-1第三章3.2 立体几何中的向量方法第一课时1.理解直线的方向向量和平面的法向量.2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系.一、直线的方向向量与平面的法向量1.空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点以及一个向量确定.这个向量叫做直线的________.2.直线l 垂直于平面α，取直线l 的方向向量a ，则向量a ⊥α，向量a 叫做平面α的________. 【做一做1－1】 若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1)【做一做1－2】 若u ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )A.(0，－3,1)B.(2,0,1)C.(－2，－3,1)D.(－2,3，－1) 二、空间中平行关系的向量表示设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为u ，v ，则 (1)线线平行：l ∥m ⇔________________； (2)线面平行：l ∥α⇔________________； (3)面面平行：α∥β⇔__________⇔________.这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合. 【做一做2－1】 下列各组向量中不平行的是( ) A.a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4) B.c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0) C.e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D.g ＝(－2,3,5)，h ＝(16,24,40)答案:一、1.方向向量 2.法向量【做一做1－1】 A ∵AB →＝(2,4,6)，∴l 的一个方向向量应平行于AB →.故选A.【做一做1－2】 D 同一个平面的法向量平行，故选D. 二、(1)a ∥b ⇔a ＝k b (k ∈R ) (2)a ⊥u ⇔a·u ＝0 (3)u ∥v u ＝k v (k ∈R )【做一做2－1】 D A 项中，b ＝－2a ⇒a ∥b ；B 项中，d ＝－3c ⇒d ∥c ；C 项中，零向量与任何向量都平行.故选D.1.求一个平面的法向量的一般步骤剖析：若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：(1)设出平面的法向量为n ＝(x ，y ，z ). (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量 a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2).(3)根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0， n ·b ＝0. (4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量.在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0， n ·b ＝0有无数多个解，只需给x ，y ，z 中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量.2.用向量方法证明空间中的平行关系剖析：空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行. (1)线线平行设直线l 1，l 2的方向向量分别是a ，b ，则要证明l 1∥l 2，只需证明a ∥b ，即a ＝k b (k ∈R ).(2)线面平行①设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a ⊥u ，即a ·u ＝0.②根据线面平行的判定定理：“如果直线(平面外)与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.③根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线的向量线性表示即可.(3)面面平行①由平面与平面平行的判定定理可知，要证明面面平行，只要转化为证明相应的线面平行、线线平行即可.②若能求出平面α，β的法向量u ，v ，则要证明α∥β，只需证明u ∥v 即可.题型一 利用向量方法判定线、面的位置关系【例题1】 (1)设a ，b 分别是直线l 1，l 2的方向向量，判断l 1，l 2的位置关系： ①a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)； ②a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0).(2)设u ，v 分别是平面α，β的法向量，判断α，β的位置关系：①u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝⎛⎭⎫3，2，－12； ②u ＝(0,3,0)，v ＝(0，－5,0).(3)设u 是α的法向量，a 是直线l 的方向向量，判断α，l 的位置关系： ①u ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)； ②u ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12).反思：解答这类问题的关键：一是要清楚直线的方向向量，平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系；二是熟练掌握判断向量共线、垂直的方法.在向量问题转化为几何问题时，要注意两者的区别，如第(3)问中的①题，直线的方向向量和平面平行，则直线可能在平面内，也可能与平面平行.题型二 平面的法向量的求法【例题2】 四边形ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1，求平面SCD 和平面SAB 的法向量.分析：解答本题可先建立空间直角坐标系，写出每个平面内不共线的两个向量的坐标，再利用待定系数法求出平面的法向量.反思：平面的法向量有无数个，一般用待定系数法解一个三元一次方程组，求得其中的一个即可.构造方程组时，注意所选平面内的两个向量是不共线的，赋值时应保证所求法向量非零，本题中的法向量的设法值得借鉴.题型三 利用向量法证明空间中的平行关系 【例题3】 在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E ，F ，E 1分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1的中点.求证：CE ∥平面C 1E 1F .反思：此类题目，能建坐标系的先建立坐标系，找出相应直线的方向向量和平面的法向量，并确定它们对应的坐标，再进行求解、证明；不方便建系的可以用基向量法.【例题4】 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a ，求证：MN ∥平面BB 1C 1C .答案:【例题1】 解：(1)①∵a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)， ∴a ＝－13b ，∴a ∥b .∴l 1∥l 2.②∵a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)， ∴a·b ＝0，∴a ⊥b .∴l 1⊥l 2.(2)①∵u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝⎛⎭⎫3，2，－12， ∴u·v ＝0，∴u ⊥v .∴α⊥β.②∵u ＝(0,3,0)，v ＝(0，－5,0)， ∴u ＝－35v ，∴u ∥v .∴α∥β.(3)①∵u ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)， ∴u·a ＝0，∴u ⊥a .∴l ∥α或l ⊂α. ②∵u ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)， ∴u ＝－14a ，∴u ∥a .∴l ⊥α.【例题2】解：∵AD ，AB ，AS 是三条两两垂直的线段，∴以A 为原点，以AD →，AB →，AS →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，则A (0,0,0)，D (1,0,0)，C (2,2,0)，S (0,0,2)，∴AD →＝(1,0,0)是平面SAB 的法向量. 设平面SCD 的法向量为n ＝(1，y ，z )， 则n ·DC →＝(1，y ，z )·(1,2,0)＝1＋2y ＝0， ∴y ＝－12.又n ·DS →＝(1，y ，z )·(－1,0,2)＝－1＋2z ＝0， ∴z ＝12.∴n ＝⎝⎛⎭⎫1，－12，12即为平面SCD 的法向量. 【例题3】 证明：以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图.设BC ＝1，则C (0,1,0)，E (1,0,1)，C 1(0,1,2)，F (1,1,1)，E 1⎝⎛⎭⎫1，12，2. 设平面C 1E 1F 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，∵11C E ＝⎝⎛⎭⎫1，－12，0，1FC ＝(－1,0,1)，∴1110,0,n C E n FE ⎧=⎪⎨=⎪⎩即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ， x ＝z ，取n ＝(1,2,1). ∵CE →＝(1，－1,1)，n ·CE →＝1－2＋1＝0， ∴CE →⊥n ，且CE →⊄平面C 1E 1F . ∴CE ∥平面C 1E 1F .【例题4】 证明：以D 为坐标原点，以DA →，DC →，DD 1→分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，M ⎝⎛⎭⎫a ，a 3，23a ，N ⎝⎛⎭⎫23a ，a3，0， 则AB →＝(0，a,0)，MN →＝⎝⎛⎭⎫－a 3，0，－23a ， 所以AB →·MN →＝0，即AB →⊥MN →.又AB →为平面BB 1C 1C 的法向量，且MN ⊄平面BB 1C 1C ， 所以MN ∥平面BB 1C 1C.1 设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k 等于( )A.2B.－4C.4D.－2答案:C ∵α∥β，∴12224k-==--，∴k ＝4. 2 若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,0，－4)，则( ) A.l ∥α B.l ⊥α C.l ⊂α D.l 与α斜交 答案:B ∵u ＝－2a ，∴u ∥a .又∵u 为平面α的法向量，∴l ⊥α.3 已知平面α经过三点A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2，0)，则平面α的一个法向量是__________.答案: (2,1,0)(答案不惟一) ∵AB＝(1，－2，－4)，AC ＝(2，－4，－3)，BC ＝(1，－2,1)，设法向量n ＝(x ，y ，z )，则0,240,2,0,2430,0.20n AB x y z x y n AC x y z z x y z n BC ⎧=--=⎧⎪=⎧⎪⎪=⇒--=⇒⎨⎨⎨=⎩⎪⎪-+==⎩⎪⎩ ∴n ＝(2y ，y,0)，取y ＝1，则n ＝(2,1,0).4 已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )，若a ∥b ，则x ＝__________，y ＝__________. 答案:6152∵a ∥b ，∴b ＝λa (λ≠0). ∴(3，x ，y )＝(2λ，4λ，5λ)，∴3＝2λ， ∴λ＝32.∴4λ＝6,5λ＝152，即x ＝6，y ＝152. 5 长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，|DA |＝2，|DC |＝3，|DD 1|＝4，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1D 1，A 1B 1，D 1C 1，B 1C 1的中点，求证：平面AMN ∥平面EFBD .答案:证法一：建立如图所示的空间直角坐标系，取MN ，DB 及EF 的中点R ，T ，S ，则A (2,0,0)，M (1,0,4)，N 32,,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，D (0,0,0)，B (2,3,0)，E 30,,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，F (1,3,4)，R 33,,424⎛⎫ ⎪⎝⎭，S 19,,424⎛⎫ ⎪⎝⎭，T 31,,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴MN ＝31,,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，EF ＝31,,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，AR ＝13,,424⎛⎫ ⎪⎝⎭-，TS ＝13,,424⎛⎫⎪⎝⎭-.∴MN =EF ,AR =TS，∴MN ∥EF ，AR ∥TS ，∴MN ∥平面EFBD ，AR ∥平面EFBD . ∴平面AMN ∥平面EFBD .证法二：由证法一可知，A (2,0,0)，M (1,0,4)，N 32,,42⎛⎫⎪⎝⎭，D (0,0,0)，E 3(0,,4)2，F (1,3,4)， 则AM＝(－1,0,4)，AN ＝30,,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，DE ＝30,,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，DF ＝(1,3,4).设平面AMN ，平面EFBD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则11111140,0,340,0,2x z n AM y z n AN -+=⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+==⎪⎪⎩⎩ 令x 1＝1，得z 1＝14，y 1＝－23. 又222222230,40,20,340,n DE y z n DF x y z ⎧⎧=+=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩++=⎩ 令y 2＝－1，得z 2＝38，x 2＝32. ∴n 1＝211,,34-⎛⎫ ⎪⎝⎭，n 2＝33,1,28-⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴n 2＝32n 1，得n 1∥n 2. ∴平面AMN ∥平面BDEF .。
吉林省吉林市第一中学校高中数学 立体几何中的向量方
3.2立体几何中的向量方法课前预习学案预习目标：向量的相关知识：概念、基本运算、建系方法、坐标求法（不定点的坐标）、平行与垂直、法向量求法向量作为工具解决立几问题的方法预习内容：一.空间距离的计算1. 空间两点间的距离：设A 、B 是空间两点，则A 、B 两点间的距离2.两条异面直线间的距离：设a 、b 是两条异面直线，n 是a 、b 的公共法向量（即b n a n ⊥⊥且），点A ∈a,B ∈b则异面直线a 、b 间的距离 n n AB d ⋅= 即n AB 在方向上的射影长为异面直线a 、b 间的距离。
3.点（或线）到平面的距离：1）设,.,外一点是平面点的法向量是平面ααo P nP 是平面α内任一点，则PO 到平面α的距离n nP P d o ⋅=2)直线与平面（或平面与平面）的距离转化为点到平面的距离。
二.空间角度的计算1. 两条异面直线所成的角：设l1与l2两条异面直线，n ∥l1 ， m ∥l2，则l1与l2所成的角α=<n ，m >或α=л -<n ，m > （0<α≤2π）abn d所示图）见第一3.cos si n 0n p p nP P o ⋅==βθP αn P 0 d O θ βcos<n ，m >=m n mn ⋅⋅或 cosα=m n m n ⋅⋅ （0<α≤2π）2. 斜线P0P 与平面α所成的角θ)20(πθ<<3.二面角：设相交平面α与β的法向量分别为m n ,，则α与β所成的角的大小为<m n ,> 或 ><-m n ,π（如何确定？）提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案学习目标：1掌握好向量的相关知识：概念、基本运算、建系方法、坐标求法（不定点的坐标）、平行与垂直、法向量求法1掌握向量作为工具解决立几问题的方法重点难点：向量作为工具解决立几问题的方法学习过程：α B CD β A 所示图）见第一3.cos si n 0n p p nP P o ⋅==βθ例1.在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是BD D D ,1的中点，G 在棱CD 上，且CD CG 41=，H 为C1G 的中点，应用空间向量方法求解下列问题。
高中数学： 立体几何中的向量方法(第一课时)课件人教必修2
给定一个点A和一个 向量a,过点A，以向 a 量a为法向量的平 面是完全确定的。
方法指导：
怎样求平面法向量？
一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而 就可以利用平面的法向量解决相关立体几何问题。推 导平面法向量的方法如下：
设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α，β 的法向量分别为u,v,则
思考3： 给一个定点和两个定方向（向量），能确定 一个平面在空间的位置吗？
答：空间中平面的位置可以由平面内两条相 交直线来确定。
思考4： 给一个定点和一个定方向（向量），能确定一 个平面在空间的位置吗？
如果表示向量a的有向线段所在直线
垂直于平面，则称这个向量垂直于平面
，记作a⊥.
如果a⊥，那么向量a叫做平面的
3.2 立体几何中的向量方法（一）
思考1： 如何确定一个点在空间的位置？
答：空间中任意一个P的位置可以用向量OP 来表示。
向量OP称为点P的位置向量。
思考2： 在空间中给一个定点A和一个定方向（向量）， 能确定一条直线在空间的位置吗？
答：空间中任意一条直线l的位置可以由l上 一个定点A以及一个定方向（向量）确定。
线线平行：l∥m a ∥b 线面平行：l ∥α a⊥u 面面平行：α∥β u ∥v
a=kb; ⊥ m a ⊥ b a·b=0; 线面垂直：l ⊥ α a ∥ u a=ku;
面面垂直：α ⊥ β u ⊥ v u·v=0.
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/182022/1/182022/1/182022/1/18
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法预习案 新人教A版选修2-1-新人
3.2 立体几何中的向量方法§直线的方向向量与平面的法向量【教学目标】1.知识与技能：理解直线的方向向量与平面的法向量的定义,会求平面的法向量和直线的方向向量．2.过程与方法：根据直线的方向向量、平面法向量的概念，结合空间向量的坐标运算会求方向向量和法向量；3.情感态度价值观：利用空间向量解决立体几何中的平行、垂直，求空间角，离不开直线的方向向量和平面的法向量，要深刻领会这两概念在立体几何问题中的作用．【预习任务】阅读教材P102-104，回答：1.什么叫直线的方向向量；对于一条确定的直线，其方向向量是否唯一，若不唯一,这些方向向量有何关系？2.什么叫平面的法向量？对于一个确定的平面，其法向量是否唯一，若不唯一,这些法向量有何关系？3.思考：在空间直角坐标系中，如何求过A、B、C三点平面的法向量？【自主检测】1.已知点A(2,1,0)和点B在平面xOz内，若直线AB的方向向量是(3,-1,2),则点B的坐标是 .2．P104练习1,2【组内互检】1.直线的方向向量与平面的法向量的概念2. 求过A、B、C三点平面的法向量§用向量法判定空间线面关系【教学目标】1.知识与技能：能用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系，掌握应用空间向量证明线线、线面、面面平行与垂直的方法.2.过程与方法：通过预习任务和例题体会直线的方向向量和平面的法向量在平行、垂直问题证明中的作用，搞清将平行与垂直问题转化为判断方向向量与法向量的关系的理由，并学会判断和证明的方法.3.情感态度价值观：利用空间向量的方法证明平行与垂直，为我们解决立体几何中的证明问题提供了一种新的视角，要领会的其方法,进一步发展空间想象能力和几何直观能力.【预习任务】1.设直线l,m 的方向向量分别为a →，b →，平面α，β的法向量分别为u →，v →，则l∥m ⇔l⊥m ⇔l ∥α⇔l ⊥α⇔α∥β⇔α⊥β⇔____________________________u →是平面α的法向量，a →u →=(4,1,5),a →=(2,-8,0),则l 与α的位置关系为.3.已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC,∠DAB=90º，PA ⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=12,AB=1，则平面PAD 与平面PCD 的位置关系是.【自主检测】α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k),若α∥β，则k=.2. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，(1)若M 、N 分别是111,C B C C 的中点，求证:MN ∥平面BD A 1.(2)若E,F 分别是111,B D BB 的中点，求证AC B EF 1平面⊥.【组内互检】预习任务1中的l∥m、l⊥m、l ∥α、l ⊥α、α∥β、α⊥β的等价形式§ 线线角、线面角【教学目标】1.知识与技能：会利用空间向量法求两条异面直线所成的角和直线与平面所成的角.2.过程与方法：在线线角、线面角的定义的基础上，通过预习任务1,2理解并熟记利用空间向量求线线角、线面角的公式.3.情感态度价值观：利用空间向量的方法求空间角是新课标的下立体几何求角的主要方法，也是高考考查的重点，它摆脱了传统立体几何繁杂的求解方法，大大减少了思维量，使得立体几何的计算求解问题变的更简单．【预习任务】1.设异面直线a,b 所成的角为θ，它们的方向向量分别为b a ,，结合必修2中异面直线所成角的概念，推导出计算异面直线a,b 所成的角的公式.2. 直线a 与平面α所成角为θ，直线a 的方向向量为a 与平面α的法向量为n 的夹 角为β，则(1) 画图分情况分析θ与β的关系.(2) 结合(1)中所得结论，推导直线a与平面α所成角的计算公式.【自主检测】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)求异面直线AB1与BC1所成的角的大小；(2) 求直线AA1与平面A1BD所成的角的余弦值.【组内互检】1. 计算异面直线a,b所成的角的公式2. 直线a与平面α所成角的计算公式§ 二面角【教学目标】1.知识与技能：理解两平面法向量的夹角与对应二面角的关系；掌握利用空间向量的方法求二面角的步骤及方法.2.过程与方法：在二面角的概念的基础上，结合预习任务2,3理解二面角的大小与两法向量夹角 的关系，并归纳由向量法求二面角的步骤及方法.3.情感态度价值观：二面角的求解是高考中重点考查的内容，要体会利用空间向量处理二面角的优越 性，加强运算能力的培养，进一步掌握向量法处理求角问题的套路和方法.【预习任务】1.写出必修2中二面角的概念及X 围，二面角平面角的概念.2.已知二面角α-l-β，平面α的法向量m →，平面β的法向量n →：（1）若<m →,n →>=θ，结合下面两图分析二面角α-l-β的平面角与θ的关系（2）结合（1）的推导，写出求二面角的计算公式：3．结合教材的例题，总结利用空间向量求二面角的步骤：【自主检测】1．已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，且PA=3， AB=2,BC=3,则二面角P-BD-A的余弦值为.2．已知P是正方形ABCD所在平面外一点，且AP⊥平面ABCD,AP=AB,则平面ABP与平面CAP所成的二面角的大小是.【组内互检】二面角的计算公式及求二面角的步骤。
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1．直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量． 2．平面的法向量
直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则a 叫做平面α的法向量． 3．空间中平行关系的向量表示
4．直线的方向向量和平面的法向量是惟一的吗？若不惟一，直线的方向向量之间的关系是怎样的？平面的法向量之间的关系是怎样的？
提示：直线的方向向量与平面的法向量不是惟一的，直线的不同方向向量是共线向量，平面的不同法向量是共线向量．
1．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( )． A ．(1,2,3) B ．(1,3,2) C ．(2,1,3)
D ．(3,2,1)
解析：∵()2,4,6AB =
，∴l 的一个方向向量应平行于AB ，故选A ．
答案：A
2．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则满足条件l ∥α的a 与n 最有可
能是( )．
A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0)
B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1)
C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1)
D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)
解析：∵l ∥α，则a ·n ＝0，经验证只有D 满足，故选D ． 答案：D
3．若直线l 的方向向量为(2,1，m )，平面α的法向量为1
1,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
，且l ⊥α，则m ＝________. 解析：∵l ⊥α，∴直线l 的方向向量平行于α的法向量． ∵l 的方向向量为(2,1，m )，平面的法向量为11,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
，∴m ＝4. 答案：4
4．已知平面α经过三点A (1,2,3)、B (2,0，－1)、C (3，－2,0)，则平面α的一个法向量是________．
解析：AB
＝(1，－2，－4)，AC ＝(2，－4，－3)，BC ＝(1，－2,1)．
设法向量n ＝(x ，y ，z )，
则有0
AB BC AC ⎧⋅=⎪⎪⋅=⎨⎪⋅=⎪⎩
n n
n 240
202430x y z x y z x y z --=⎧⎪
-+=⎨⎪--=
⎩
20.
x y
z =⎧⎨
=⎩ ∴n ＝(2y ，y,0)．取y ＝1，则n ＝(2,1,0)． 答案：答案不惟一，如(2,1,0)
5．根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系： (1)直线l 1、l 2的方向向量分别是 a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)； (2)平面α、β的法向量分别是 u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9,0)；
(3)直线l 的方向向量、平面α的法向量分别是 a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)；
(4)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a＝(3,2,1)，u＝(－1,2，－1)．
解：(1)∵a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)，
∴a·b＝8－6－2＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.
(2)∵u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9,0)，
∴v＝－3u，∴u∥v，∴α∥β.
(3)∵a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3)．
∴a和u既不共线也不垂直，∴l与α斜交．(4)∵a＝(3,2,1)，u＝(－1,2，－1)，
∴a·u＝－3＋4－1＝0，∴a⊥u，∴l⊂α或l∥α.。