材料力学(压杆稳定2)

解：(1)
π EI = Pcr = 2 (µ l)
2
π E
2
π d4
1 16
2 2
64 2 (µ l)
π 2 E I正
( 2) Pcr 正 Pcr 圆 =
(µ l) 2
π E I圆
2
=
I正 I圆
(µ l)
2
π d 4 a4 12 = 12 = 4 4 πd πd 64 64
=
附：求二阶常系数齐次微分方程y ′′ + p y ′ + q = 0 的通解
特征方程为 r + pr + q = 0
2
①两个不相等的实根 r1 、r2
y = C1e
r1 x
通解
r2 x
+ C2 e
②两个相等的实根 r1 = r2
通解
r1 x
y = （C1 + C2 x）e
αx
③一对共轭复根 r1,2 = α ± iβ 通解
解：
Pcr b Pcr a
4 π E Ib h 2 3 Ib (µ l) h 12 = 2 = = 3 = =8 I a hb b π E Ia 2 12 (µ l)
2
例：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端 圆截面的细长压杆，材料、 约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半， 约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则 其临界力为原压杆的＿＿＿＿＿；若将压杆的 其临界力为原压杆的＿＿＿＿＿；若将压杆的 ＿＿＿＿＿； 横截面改变为面积相同的正方形截面， 横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临 界力为原压杆的＿＿＿＿＿。 界力为原压杆的＿＿＿＿＿。
1、塑性屈服 、 2、脆性断裂 、
芬奇--1、意大利的达·芬奇--意大利的达 芬奇 (Leonardo da Vinci) 报告了杆件轴向拉伸压缩 的强度问题。 的强度问题。 失效条件为:σ=σjx 失效条件为 以强度为失效标志。 以强度为失效标志。
但对于细长中心压杆： 但对于细长中心压杆： 还存在另一类问题－－－－－－ 还存在另一类问题－－－－－－ 稳定性问题
nπ = k= l
P EI
⇒
n π EP I 2
2 2
其最小非零解
Pcr =
π EI
2
l
2
两端铰支细长压杆临界压力的欧拉公式 两端铰支细长压杆临界压力的欧拉公式
Pcr =
临界力与哪些因素有关： 临界力与哪些因素有关： ①与材料有关 ②与截面尺寸有关 ③与压杆的长度有关 ④与截面形状有关 与支承有关: ⑤与支承有关
所以： 所以：压杆原有直线形式的平衡形式是 不稳定的。 不稳定的。 临界力：Pcr 临界力： 1、P< Pcr 杆件仍可保持为稳定的平衡。 、 杆件仍可保持为稳定的平衡。 2、P≥ Pcr压杆直线形状的平衡是不稳定的。 压杆直线形状的平衡是不稳定的。 临界压力P 就是压杆保持稳定平衡状态的极限荷载。 临界压力 cr就是压杆保持稳定平衡状态的极限荷载。 关键：压杆稳定性的计算，关键在于确定临界压力 关键：压杆稳定性的计算，
P=Pcr即压杆的临界力时，压杆可在任一微弯状态
下平衡。这是由小挠度理论（材料力学小变形假设） 而得，实际用大挠度理论，P与δ一一对应。
二、其它杆端约束条件下细长压杆的临界压力
Pcr =
π EI
2
l
2
π EI ⇒ Pcr = 2 ( µ l)
2
µ 称为长度系数
Pc r =
π EI
2
l
2
µ =1
Pc r =
第十四章 压杆稳定
目录 下节
§14-1 压杆稳定的概念 14§14-2 细长压杆的临界力的欧拉公式 §14-3 欧拉公式的适用范围 压杆的稳定性校核 §14-4 压杆的稳定性校核
第14章 14章
压杆的弹性稳定分析 与稳定性设计
工背景
前面介绍了压杆的强度计算: 前面介绍了压杆的强度计算: 压杆的强度计算
π EI
2
l
2
注意判断在哪个平面内失稳？
注意： 注意： 是压杆的临界力， 由于 Pcr 是压杆的临界力 ， 为微弯状态的 最 小 外 力 ， 因 而 应 取 Imin （ 最 小 主 惯 性 矩）。
挠曲线 ν = A sin
π
l
x 为半波正弦曲线
l x= 2
ν = A =δ
δ为任意（不确定)
意义：
钢板尺： 钢板尺：一端固定 一端自由
Pcr 称为临界压力
§14-2 14-
细长压杆的临界压力
研究压杆问题，一般采用两种力学模型。 研究压杆问题，一般采用两种力学模型。
1、将实际压杆抽象为理想中心压杆； 、将实际压杆抽象为理想中心压杆； 2、按压杆实际工作情况进行分析，即考虑 、按压杆实际工作情况进行分析， 压杆有初弯曲、初偏心、残余应力等。 压杆有初弯曲、初偏心、残余应力等。 理想压杆的概念 （1）完全对中等截面； ）完全对中等截面； （2）载荷作用无偏心； ）载荷作用无偏心； （3）光滑（球形）铰链 ）光滑（球形）铰链。
y=e (C1 cos βx + C2 sin βx )
通解： v = A sin kx + B cos kx
边界条件：x = 0时：v = 0 ⇒ B = 0 x = l 时：v = 0 ⇒ A sin kl = 0
sin kl = 0 ⇒ kl = nπ
(n = 0,1,2,⋯ )
= P= k 2 l EI
2
θ = arc tg(ctg β )
θ
①
β
90°
②
例：三种不同截面形状的细长压杆如图所 示。试标出压杆失稳时各截面将绕哪根形心主 惯性轴转动。 惯性轴转动。
正方形
等边角钢
槽钢
解：图 (a ) 中，AD杆受压 2 π EI N AD = 2 P1 = 2 2a
(
)
⇒
1 π EI P1 = 2 2 a2
2
图（b）中，AB杆受压
N AB = P2 =
π EI
2
a
2
⇒
P2 =
π EI
2
a2
例：长方形截面细长压杆，b/h=1/2；如果 长方形截面细长压杆， ； 将 b改为 h 后仍为细长杆，临界力 cr是原来的 改为 后仍为细长杆，临界力P 多少倍？ 多少倍？
7m
5m
(a)
(b)
9m (c)
解：三根压杆临界力分别为：
(a)
π EI Plj = = 2 (µ L )
2
π 2 × 200 ×109 ×
π × 0.16 4
64 = 2540kN
(1× 5)
2
(b ) (c )
π EI Plj = = 2 (µ L )
2
π 2 × 200 ×109 ×
π × 0.16 4
4
64a
2
例：图示结构，①、②两杆截面和材料相 图示结构， 两杆截面和材料相 同，为细长压杆。确定使载荷 P 为最大值时的 为细长压杆。 θ角（设0<θ<π/2）。 角 π/2）。 π/2
θ
①
β
90°
②
解：由静力平衡条件可解得两杆的压力分别为：
N 1 = P cosθ
，
N 2 = P sin θ
BD杆的临界压力:
Pcr =
(
π EI
2
2a
)
2
=
π EI
2
2a
2
故杆系所能承受的最大载荷
Pmax = Pcr =
π EI
2
2a
2
=
π Ed
3
4
128a
2
(b) 杆BD受拉，其余杆受压
四根受压杆的临界压力：
Pcr =
π EI
2
a
2
故杆系所能承受的最大载荷：
Pmax = 2 Pcr =
2 π Ed
3
π
3
例：五根直径都为 d的细长圆杆铰接构成 的细长圆杆铰接构成 平面正方形杆系ABCD，如各杆材料相同，弹 平面正方形杆系 ，如各杆材料相同， 性模量为E。求图 (a)、(b)所示两种载荷作用下 性模量为 。 、 所示两种载荷作用下 杆系所能承受的最大载荷。 杆系所能承受的最大载荷。
解：(a ) 杆BD受压，其余杆受拉
工程背景
工程背景
压杆
工程背景
桁架中的压杆
武 汉 长 江 一 桥
工程背景
液压缸顶杆
工程背景
液压缸 顶杆
工程背景
桁架中的压杆
工程背景
高压输电线路保持相间距离的受压构件
工程背景
高压输电线路保持相间距离的受压构件
可 变 夹 角 桁 架 试 验 架
工程背景
压杆稳定性实验
工程背景
工程构件稳定性实验
π EI
2
(2 l )
2
µ=2
Pc r =
π EI
2
(0.7 l )
2
µ = 0.7
Pc r =
π EI
2
(0.5 l )
2
µ = 0.5
Pc r =
π EI
2
π EI
2
π EI
2
π EI
2
l
2
(2l )
2
(0.7l )
2
(0.5l )
2
例： 材料相同，直径相等的三根细长压杆 细长压杆 如图示，如取 E=200GPa，d=160mm, 试计 算三根压杆的临界压力，并比较大小。
64
2
(0.7 × 7 )
π 2 × 200 ×109 ×