高考数学(理)一轮总复习名师公开课省级获奖课件：选修4-4第2节参数方程(人教A版)
2018高考数学(理)一轮复习课件 选修4-4 坐标系与参数方程 第2讲 课件
直线
y－y0＝k(x－x0) (x－x0)2＋(y－
(t 为参数)
x0＋Rcos θ x＝____________ y0＋Rsin θ y＝____________
圆
y0 ) 2 ＝R2
(θ 为参数且 0≤θ<2π)
名 称
普通方程 x y ＋ ＝ a2 b2 1(a>b>0)
2 2
2 x＝3－ 2 t 【解】 (1)由 得直线 l 的普通方程为 x＋y－3－ y＝ 5＋ 2t 2 5＝0. 又由 ρ＝2 5sin θ 得圆 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2 5y＝0， 即 x2＋(y－ 5)2＝5.
(2)把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得
参数方程
acos t x＝____________ bsin t y ＝ ____________
椭圆
(t 为参数且 0≤t<2π)
2pt2 x＝__________ (t 2pt ห้องสมุดไป่ตู้＝__________
抛物 线
y2＝2px(p>0)
为参数)
参数方程与普通方程的互化 [典例引领] 已知曲线
[解 ] y2＝1.
(1)l 的普通方程为 y＝ 3(x－1)，C1 的普通方程为 x2＋
y＝ 3（x－1） 联立方程 2 2 ，解得 x ＋y ＝1 1 B ，－ 2
l 与 C1 的交点为 A(1，0)，
3 ，则|AB|＝1. 2
1 x＝2cos θ (2)C2 的参数方程为 (θ 为参数)． y＝ 3sin θ 2 故点 P
(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注 意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与 圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等． (2)根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下常 用结论：
高三数学一轮复习课件之选修4-4(2)参数方程
解析答案
14
课堂 题型全突破
15
参数方程与普通方程的互化
1．将下列参数方程化为普通方程．
x＝1t ， (1)y＝1t t2－1
(t 为参数)；
x＝2＋sin2θ， (2)y＝－1＋cos 2θ (θ 为参数)．
答案
6
2．常见曲线的参数方程和普通方程
点的轨迹
普通方程
参数方程
直线
y－y0＝tan α(x－x0)
xy＝ ＝xy00＋ ＋ttcsions
α， α
(t 为参数)
圆
x2＋y2＝r2
x＝_r_c_o_s_θ___， y＝__rs_i_n_θ___
(θ 为参数)
椭圆
ax22＋by22＝1(a＞b＞0)
x＝_a_c_o_s_φ__， y＝_b_s_i_n_φ__
由|AB|＝
10得
cos2α＝38，tan
α＝±
15 3.
所以 l 的斜率为
315或－
15 3.
35
[规律方法] 处理极坐标、参数方程综合问题的方法 1涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分 别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特 点，确定选择何种方程. 2数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义， 或者利用 ρ 和 θ 的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.
对应参数 t＝π3，点 O 为原点，则直线 OM 的斜率为 3. ( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
10
x＝－1＋cos θ，
【人教版】数学(理)复习：选修4-4《坐标系与参数方程》(第2节)ppt课件 大赛获奖精美课件PPT
(θ 为参数)．
答案
x＝cos θ＋1， y＝sin θ
(θ 为参数)
[关键要点点拨]
x＝x0＋tcos α， 1．在直线的参数方程 y＝y0＋tsin α
(t 为参数)中 t 的几何意义
x＝1＋2t， “ y＝1－2t x＝t， C1 的参数方程 y＝ t
(t 为参数 )”若变为
(t 为参数)”，试判断曲线 C1 与 C2 的位置关系． 得 x＋y＝2，又 C2 化为 x2＋y2＝2，
解析
x＝1＋2t， 由 y＝1－2t，
|2| ∴圆心到直线 x＋y－2＝0 的距离，d＝ ＝ 2＝r， 2 ∴C1 与 C2 相切．
[规律方法] 1．消去参数的方法一般有三种：
(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；
(2)利用三角恒等式消去参数； (3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整 体上消去参数． 2．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范
围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和
是表示在直线上过定点 P0(x0，y0)与直线上的任一点 P(x，y)构 成的有向线段 P0P 的长度且在直线上任意两点 P1、 P2 的距离为 |P1P2|＝|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2. 2．参数方程化为普通方程的关键是消参数：一要熟练掌握常用技 巧(如整体代换)；二要注意变量取值范围的一致性，这一点最 易忽视
参数．
[基础自测自评]
x＝3t＋2， 1．(教材习题改编)参数方程 y＝t－1
(t 为参数)的普通方程为
高考数学(理)一轮复习教案选修4-4坐标系与参数方程第2讲参数方程
第2讲 参数方程【20XX 年高考会这样考】考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题． 【复习指导】复习本讲时，应紧紧抓住直线的参数方程、圆的参数方程、圆锥曲线的参数方程的建立以及各参数方程中参数的几何意义，同时要熟练掌握参数方程与普通方程互化的一些方法.基础梳理1．参数方程的意义在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x ，y 都是某个变量的函数⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝f (t )，并且对于t 的每个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．常见曲线的参数方程的一般形式(1)经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量． (2)圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)．(3)圆锥曲线的参数方程椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a sec φ，y ＝tan φ(φ为参数)．抛物线y 2＝2px 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)． 双基自测1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎨⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别是( )．A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线解析 ∵ρcos θ＝x ，∴cos θ＝x ρ代入到ρ＝cos θ，得ρ＝xρ，∴ρ2＝x ，∴x 2＋y 2＝x 表示圆．又∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t ，相加得x ＋y ＝1，表示直线．答案 D2．若直线⎩⎨⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为实数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.解析 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t ，所表示的直线方程为3x ＋2y ＝7，由此直线与直线4x ＋ky ＝1垂直可得－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＝－1，解得k ＝－6.答案 －63．二次曲线⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)的左焦点的坐标是________．解析 题中二次曲线的普通方程为x 225＋y 29＝1左焦点为(－4,0)． 答案 (－4,0)4．(2011·广州调研)已知直线l 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin θ，则直线l 与圆C 的位置关系为________．解析 将直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1＋4t 化为普通方程得，y ＝1＋2x ，圆ρ＝22sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝2，圆心(0，2)到直线y ＝1＋2x 的距离为2－11＋4，因为该距离小于圆的半径，所以直线l 与圆C 相交．答案 相交5．(2011·广东)已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，它们的交点坐标为________． 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)得，x 25＋y 2＝1(y ≥0)由⎩⎨⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )得，x ＝54y 2，∴5y 4＋16y 2－16＝0. 解得：y 2＝45或y 2＝－4(舍去)．则x ＝54y 2＝1又θ≥0，得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，255. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1，255考向一 参数方程与普通方程的互化【例1】►把下列参数方程化为普通方程： (1)⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝2－sin θ；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t .[审题视点] (1)利用平方关系消参数θ； (2)代入消元法消去t .解 (1)由已知⎩⎨⎧cos θ＝x －3，sin θ＝2－y ，由三角恒等式cos 2θ＋sin 2θ＝1,可知(x －3)2＋(y －2)2＝1，这就是它的普通方程． (2)由已知t ＝2x －2，代入y ＝5＋32t 中，得y ＝5＋32(2x －2)，即3x －y ＋5－3＝0就是它的普通方程．参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围．【训练1】(2010·陕西)参数方程⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)化成普通方程为________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos α，y ＝1＋sin α，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α， ①y －1＝sin α， ②①2＋②2得：x 2＋(y －1)2＝1. 答案 x 2＋(y －1)2＝1考向二 直线与圆的参数方程的应用【例2】►已知圆C ：⎩⎨⎧ x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(其中t 为参数，α为直线l 的倾斜角)．(1)当α＝2π3时，求圆上的点到直线l 距离的最小值； (2)当直线l 与圆C 有公共点时，求α的取值范围．[审题视点] (1)求圆心到直线l 的距离，这个距离减去圆的半径即为所求；(2)把圆的参数方程化为直角坐标方程，将直线的参数方程代入得关于参数t 的一元二次方程，这个方程的Δ≥0.解 (1)当α＝2π3时，直线l 的直角坐标方程为3x ＋y －33＝0，圆C 的圆心坐标为(1,0)，圆心到直线的距离d ＝232＝3，圆的半径为1，故圆上的点到直线l 距离的最小值为3－1.(2)圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2＋2(cos α＋3sin α)t ＋3＝0，这个关于t 的一元二次方程有解，故Δ＝4(cos α＋3sin α)2－12≥0，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≥34，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≥32或sin⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≤－32.又0≤α＜π，故只能sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≥32，即π3≤α＋π6≤2π3，即π6≤α≤π2.如果问题中的方程都是参数方程，那就要至少把其中的一个化为直角坐标方程．【训练2】 已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝4－2t (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ(参数θ∈[0,2π])，求直线l 被圆C 所截得的弦长． 解 由⎩⎨⎧ x ＝1＋t ，y ＝4－2t 消参数后得普通方程为2x ＋y －6＝0，由⎩⎨⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ消参数后得普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，显然圆心坐标为(2,0)，半径为2.由于圆心到直线2x ＋y －6＝0的距离为d ＝|2×2＋0－6|22＋1＝255，所以所求弦长为222－⎝⎛⎭⎪⎫2552＝855. 考向三 圆锥曲线的参数方程的应用【例3】►求经过点(1,1)，倾斜角为135°的直线截椭圆x 24＋y 2＝1所得的弦长．[审题视点] 把直线方程用参数表示，直接与椭圆联立，利用根与系数的关系及弦长公式可解决．解由条件可知直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t(t 为参数)，代入椭圆方程可得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22t 24＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋22t 2＝1， 即52t 2＋32t ＋1＝0.设方程的两实根分别为t 1、t 2，则由二次方程的根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－625，t 1t 2＝25，则直线截椭圆的弦长是|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6252－4×25＝425.普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系x ＝f (t )(或y ＝φ(t ))，再代入普通方程F (x ，y )＝0，求得另一关系y ＝φ(t )(或x ＝f (t ))．一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)．普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样．【训练3】(2011·南京模拟)过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t(t 为参数)相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．解直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32s ，y ＝12s(s 为参数)，又曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t(t 为参数)可以化为x 2－y 2＝4，将直线的参数方程代入上式，得s 2－63s ＋10＝0，设A 、B 对应的参数分别为s 1，s 2.∴s 1＋s 2＝63，s 1s 2＝10.∴|AB |＝|s 1－s 2|＝(s 1＋s 2)2－4s 1s 2＝217.如何解决极坐标方程与参数方程的综合问题从近两年的新课标高考试题可以看出，对参数方程的考查重点是直线的参数方程、圆的参数方程和圆锥曲线的参数方程的简单应用，特别是利用参数方程解决弦长和最值等问题，题型为填空题和解答题．【示例】►(本题满分10分)(2011·新课标全国)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.第(1)问：利用代入法；第(2)问把曲线C 1、曲线C 2均用极坐标表示，再求射线θ＝π3与曲线C 1、C 2的交点A 、B 的极径即可． [解答示范] (1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)．(5分)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3， 射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3. 所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.(10分)很多自主命题的省份在选考坐标系与参数方程中的命题多以综合题的形式命题，而且通常将极坐标方程、参数方程相结合，以考查考生的转化与化归的能力．【试一试】(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎨⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程．[尝试解答] 由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从 而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0..精品资料。
人教版高中数学选修高考总复习·4-4-2参数方程ppt课件
到直线 l 的距离为
d＝|2cos
θ＋2sin 5
θ－4|
＝ 154－2 2sinθ＋π4.
所以当 sinθ＋π4＝1 时，d 有最小值，
此时 sin θ＝sinθ＋π4－4π
＝sinθ＋π4cosπ4－cosθ＋π4sinπ4＝ 22，
……………………………………………………………………………4
所以直线 l 的平面直角坐标方程为 3x＋3y－2 3＝0.…………5
又圆 C 的圆心坐标为(2，－ 3)，半径为 r＝2，………………6
圆心到直线 l 的距离 d＝|2
3－3 3－2 3＋9
3|＝32<r，
故直线 l 与圆 C 相交. ……………………………………………7
(1)设 P 为线段 MN 的中点，求直线 OP 的平面直角坐标方程；
(2)判断直线 l 与圆 C 的位置关系．
【思路导析】 (1)将M、N两点的极坐标化为直角坐标，进而 出点P的直角坐标，由此可得直线OP的平面直角坐标方程．
(2)将直线l与圆C的方程都化为平面直角坐标方程再去判断位 关系．
【规范解答】 (1)由题意知，M，N 的平面直角坐标分别为
解析：化射线的极坐标方程为普通方程，代入曲线方程求 t 值．
射线
θ＝4π的普通方程为
x＝t＋1， y＝x(x≥0)，代入y＝t－12，
得 t2－3t＝0，解得 t＝0 或 t＝3.
当 t＝0 时，x＝1，y＝1，即 A(1,1)；
当 t＝3 时，x＝4，y＝4，即 B(4,4)．
所以 AB 的中点坐标为52，52. 答案：52，52
x＝3cos θ， 令y＝sin θ，
∴x＋2 3y＝3cos θ＋2 3sin φ
高考数学(人教A版)一轮复习课件：选修4-4-2参数方程
2 2 2 3 2 3 2 2 | AB | ( ) ( ) 2 5. 2 2 2 2
2.(2015·湖北高考改编)在直角坐标系xOy中,以O为极 点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极 坐标方程为ρ(sinθ-3cosθ)=0,曲线C的参数方程为 (t为参数),l与C相交于A,B两点,求|AB|的长.
1 xt , t y t 1 t
y2 4
解得t1=0,t2=
16 ,得|AB|=|t , 由直线参数方程的意义 1-t2|= 7
16 . 7
【规律方法】 直线的参数方程在交点问题中的应用 已知直线l经过点M0(x0,y0),倾斜角为α,点M(x,y)为l上 任意一点,则直线l的参数方程为 数). (t为参
x x 0 tcos, y y0 tsin
2.直线的参数方程中,参数t的系数的平方和为1时,t才有几何意义且几何意义为:|t|是直 线上任一点M(x,y) 到M0(x0,y0)的距离.
考点一 直线的参数方程与应用 【典例1】(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中, 已知直线l的参数方程为 (t为参数),椭圆C的
1 x 1 t， 参数方程为 (θ为参数),设直线l与椭圆 C相交 2 于A,B两点,求线段AB的长. y 3 t 2 x cos， y 2sin
3
(1)写出☉C的直角坐标方程. (2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求点P的直角坐标.
【解题提示】(1)利用直角坐标与极坐标的关系进行代换即得. (2)直角坐标与极坐标进行坐标代换后,利用两点间的距离公式可求解.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 【解析】(1)由ρ=2 从而有x2+y2=2
高考数学一轮复习讲义选修4-4 第2讲 参数方程
第2讲 参数方程[最新考纲]1．了解参数方程，了解参数的意义．2．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．3．掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题.知 识 梳 理1．曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的参数方程，其中变量t 称为参数． 2．一些常见曲线的参数方程(1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos θy ＝b sin θ(θ为参数)．(4)抛物线方程y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2pt 2y ＝2pt (t 为参数)．诊 断 自 测1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎨⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别是________．①直线、直线；②直线、圆；③圆、圆；④圆、直线．解析 ∵ρcos θ＝x ，∴cos θ＝x ρ代入到ρ＝cos θ，得ρ＝xρ，∴ρ2＝x ，∴x 2＋y 2＝x 表示圆．又∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t ，相加得x ＋y ＝1，表示直线．答案 ④2．若直线⎩⎨⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为实数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.解析 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t ，所表示的直线方程为3x ＋2y ＝7，由此直线与直线4x ＋ky ＝1垂直可得－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＝－1，解得k ＝－6.答案 －63．(2012·北京卷)直线⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．解析 直线方程可化为x ＋y －1＝0，曲线方程可化为x 2＋y 2＝9，圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝12＝22＜3.∴直线与圆相交有两个交点． 答案 24．已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋2t (t 为参数)上到点A (1,2)的距离为42的点的坐标为________．解析 设点Q (x ，y )为直线上的点， 则|QA |＝(1－1＋2t )2＋(2－2－2t )2＝(2t )2＋(－2t )2＝42，解之得，t ＝±22，所以Q (－3,6)或Q (5，－2)． 答案 (－3,6)和(5，－2)5．(2013·广东卷)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．解析 由ρ＝2cos θ知，ρ2＝2ρcos θ 所以x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1， 故其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．答案 ⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)考点一 参数方程与普通方程的互化【例1】 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线；(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝2＋32t(t 为参数)；(2)⎩⎨⎧x ＝1＋t 2，y ＝2＋t (t 为参数)； (3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝1t －t(t 为参数)．解 (1)由x ＝1＋12t 得t ＝2x －2. ∴y ＝2＋32(2x －2)．∴3x －y ＋2－3＝0，此方程表示直线． (2)由y ＝2＋t 得t ＝y －2，∴x ＝1＋(y －2)2. 即(y －2)2＝x －1，此方程表示抛物线． (3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t y ＝1t －t①②∴①2－②2得x 2－y 2＝4，此方程表示双曲线．规律方法 参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，不要忘了参数的范围．【训练1】 将下列参数方程化为普通方程． (1)⎩⎨⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12(e t ＋e －t)，y ＝12(e t－e－t)(t 为参数)．解 (1)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)， 得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]． (2)由参数方程得e t ＝x ＋y ，e －t ＝x －y ， ∴(x ＋y )(x －y )＝1，即x 2－y 2＝1.考点二 直线与圆参数方程的应用【例2】 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |. 解 (1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ. ∴x 2＋y 2＝25y ，即x 2＋(y －5)2＝5. (2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程． 得⎝⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根， 所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.规律方法 (1)过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，t 的几何意义是直线上的点P 到点P 0(x 0，y 0)的数量，即t ＝|PP 0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P 1、P 2对应的参数分别为t 1、t 2，则|P 1P 2|＝|t 1－t 2|，P 1P 2的中点对应的参数为12(t 1＋t 2)．(2)对于形如⎩⎨⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．【训练2】 已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝4－2t (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ(参数θ∈[0,2π])，求直线l 被圆C 所截得的弦长．解 由⎩⎨⎧ x ＝1＋t ，y ＝4－2t消参数后得普通方程为2x ＋y －6＝0，由⎩⎨⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ消参数后得普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，显然圆心坐标为(2,0)，半径为2.由于圆心到直线2x ＋y －6＝0的距离为d ＝|2×2＋0－6|22＋1＝255， 所以所求弦长为222－⎝⎛⎭⎪⎫2552＝855. 考点三 极坐标、参数方程的综合应用【例3】 已知P 为半圆C ：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．解 (1)由已知，点M 的极角为π3，且点M 的极径等于π3，故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π3.(2)点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3π6，A (1,0)． 故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－1t ，y ＝3π6t(t 为参数)．规律方法 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．【训练3】 (2013·福建卷)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为(2，π4)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝a ，且点A 在直线l 上． (1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．解 (1)由点A (2，π4)在直线ρcos(θ－π4)＝a 上，可得a ＝ 2. 所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1， 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交.转化思想在解题中的应用【典例】 已知圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ是参数)和定点A (0, 3)，F 1、F 2是圆锥曲线的左、右焦点．(1)求经过点F 1且垂直于直线AF 2的直线l 的参数方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程．[审题视点] (1)先将圆锥曲线参数方程化为普通方程，求出F 1的坐标，然后求出直线的倾斜角度数，再利用公式就能写出直线l 的参数方程．(2)直线AF 2是已知确定的直线，利用求极坐标方程的一般方法求解．解 (1)圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ化为普通方程x 24＋y 23＝1，所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则直线AF 2的斜率k ＝－3，于是经过点F 1且垂直于直线AF 2的直线l 的斜率k ′＝33，直线l 的倾斜角是30°，所以直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos 30°y ＝t sin 30°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t －1，y ＝12t(t 为参数)．(2)直线AF 2的斜率k ＝－3，倾斜角是120°， 设P (ρ，θ)是直线AF 2上任一点，则ρsin 60°＝1sin (120°－θ)，ρsin(120°－θ)＝sin 60°，则ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3.[反思感悟] (1)本题考查了极坐标方程和参数方程的求法及应用．重点考查了转化与化归能力．(2)当用极坐标或参数方程研究问题不很熟练时，可以转化成我们比较熟悉的普通方程求解．(3)本题易错点是计算不准确，极坐标方程求解错误．【自主体验】已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝4－2t y ＝t －2(t 为参数)，P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．解 将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝4－2ty ＝t －2(t 为参数)转化为普通方程为x ＋2y ＝0，因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点， 故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈R . 因此点P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π45.所以当θ＝k π＋π4，k ∈Z 时， d 取得最大值2105.一、填空题1．(2014·芜湖模拟)直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t (t 为参数)上与点A (－2,3)的距离等于2的点的坐标是________．解析 由题意知(－2t )2＋(2t )2＝(2)2，所以t 2＝12，t ＝±22，代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t(t 为参数)，得所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)． 答案 (－3,4)或(－1,2)2．(2014·海淀模拟)若直线l ：y ＝kx 与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(参数θ∈R )有唯一的公共点，则实数k ＝________.解析 曲线C 化为普通方程为(x －2)2＋y 2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径r ＝1.由已知l 与圆相切，则r ＝|2k |1＋k2＝1⇒k ＝±33. 答案 ±333．已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为________．解析 当t ＝π3时，x ＝1，y ＝23，则M (1,23)，∴直线OM 的斜率k ＝2 3. 答案 2 34．(2013·湖南卷)在平面直角坐标系xOy 中，若l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________． 解析 ∵x ＝t ，且y ＝t －a ， 消去t ，得直线l 的方程y ＝x －a ， 又x ＝3cos φ且y ＝2sin φ，消去φ， 得椭圆方程x 29＋y 24＝1，右顶点为(3,0)， 依题意0＝3－a ， ∴a ＝3. 答案 35．直线3x ＋4y －7＝0截曲线⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)的弦长为________．解析 曲线可化为x 2＋(y －1)2＝1，圆心(0,1)到直线的距离d ＝|0＋4－7|9＋16＝35，则弦长l ＝2r 2－d 2＝85.答案 856．已知直线l 1：⎩⎨⎧ x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)，l 2：⎩⎨⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)，若l 1∥l 2，则k ＝________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.解析 将l 1、l 2的方程化为直角坐标方程得l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y －1＝0，由l 1∥l 2，得k 2＝21≠4＋k1⇒k ＝4，由l 1⊥l 2，得2k ＋2＝0⇒k ＝－1. 答案 4 －17．(2012·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧ x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．解析 曲线C 1的普通方程为y 2＝x (y ≥0)， 曲线C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x (y ≥0)，x 2＋y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即交点坐标为(1,1)．答案 (1,1)8．直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．解析 消掉参数θ，得到关于x 、y 的一般方程C 1：(x －3)2＋y 2＝1，表示以(3,0)为圆心，以1为半径的圆；C 2：x 2＋y 2＝1，表示的是以原点为圆心的单位圆，|AB |的最小值为3－1－1＝1. 答案 19．(2012·湖南卷)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝______.解析 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22.将⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22.答案 22 二、解答题10．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)． 解 (1)将⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25， 即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0. 由⎩⎨⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0， 解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.11．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)， 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α，(α为参数，0<α<2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹通过坐标原点．12．(2012·新课标全国卷)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围． 解 (1)由已知可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2， 即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)． (2)设P (2cos φ，3sin φ)， 令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2， 则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ. 因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．必记内容: 高中数学三角函数公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x=αcos 正切：xy=αtan 余切：y x =αcot正割：xr=αsec 余割：yr =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。
2020届一轮复习(理)通用版 选修4-4 第二节 参数方程 课件
解：(1)C 的普通方程为x42＋y2＝1，
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由 ρcosθ＋π4＝ 2得 x－y－2＝0， 则直线 l 的倾斜角为π4，
又直线 l 过点(2,0)，得直线 l 的一个参数方程为
x＝2＋ 22t，
y＝
2 2t
(t 为参数)．
(2)将 l 的参数方程代入 C 的普通方程得
又圆心(0,0)到直线 x＋y－1＝0 的距离 d＝ 22＜3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有 2 个交点．
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2.[考法二]已知直线 l：x＋y－1＝0 与抛物线 y＝x2 相交于 A，B 两 点，求线段 AB 的长度和点 M(－1,2)到 A，B 两点的距离之积． 解：因为直线 l 过定点 M，且 l 的倾斜角为34π，
(θ 为参数)．
(3)椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的参数方程为
x＝_a_c_o_s_φ__， y＝_b_s_in__φ_
(φ 为参数)．
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[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)参数方程xy＝＝2－＋1t－t， (t 为参数)所表示的图形是直线．
x＝－1＋tcos 所以它的参数方程为
34π，
y＝2＋tsin
3π 4
(t 为参数)，
x＝－1－ 即
22t，
y＝2＋
2 2t
(t 为参数)，
把它代入抛物线的方程，得 t2＋ 2t－2＝0，
由根与系数的关系得 t1＋t2＝－ 2，t1·t2＝－2， 由参数 t 的几何意义可知|AB|＝|t1－t2|＝ 10， |MA|·|MB|＝|t1t2|＝2.
第二节 参数方程
[考纲要求] 1.了解参数方程，了解参数的意义． 2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．
高考数学大一轮复习 第2节 参数方程课件(选修4-4)
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1
[考情展望] 1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择 适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．
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2
1．曲线的参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的
x＝ft， 坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数y＝gt 并且对于 t 的每一个
x＝a－2t， y＝－4t
(t
为参数)，圆
C
的参数方程为xy＝＝44csions
θ， θ
(θ
为参数)．
(1)求直线 l 和圆 C 的普通方程；
(2)若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 a 的取值范围．
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9
【解】 (1)直线 l 的普通方程为 2x－y－2a＝0， 圆 C 的普通方程为 x2＋y2＝16. (2)因为直线 l 与圆 C 有公共点， 故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d＝|－25a|≤4， 解得－2 5≤a≤2 5.
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14
对点训练 (2014·课标全国卷Ⅰ)已知曲线 C：x42＋y92＝1， 直线 l：xy＝ ＝22＋ －t2，t (t 为参数)．
(1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程； (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大值与最小值．
(φ 为参数)
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5
考向一 参数方程与普通方程的互化
(2015·郑州质检)在平面直角坐标系 xOy 中，直线
l 的参数方程为xy＝ ＝t2＋t 1， (t 为参数)，曲线 C 的参数方程为
x＝2tan2θ， y＝2tan θ
(θ 为参数)．试求直线 l 和曲线 C 的普通方程，
高考数学(理)一轮复习课件：选修4-4-2
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选修4－4
坐标系与参数方程
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参数方程
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选考部分
考纲展示
三年高考总结 从近三年高考情况来看，参数方程部分主要考查直 线与圆的参数方程及应用，属容易题，单独考查参 数方程的题目，一般为选择题、填空题，若综合考 查参数方程和极坐标的题目，则通过解答题的形式 出现．解题时，掌握常见参数方程的一般形式，增 强转化和化归的数学意识的培养.
x＝x0＋tcosα， 若直线过(x0，y0)，α 为直线的倾斜角，则直线的参数方程为 (t 为参数)，其中参数 t y ＝ y ＋ t sin α 0
的几何意义是直线上定点 P0 到动点 P 的有向线段 P0P 的数量，若动点 P 在定点 P0 的上方，则 t>0；若动点 P 在定点 P0 的下方，则 t<0；若动点 P 与定点 P0 重合，则 t＝0.定点 P0 到动点 P 的距离是|P0P|＝|t|. (2)圆的参数方程 若圆心在点 M0(x0，y0)，半径为 r，则圆的参数方程为
＋y2＝1.
0<x≤1 －1≤x<0 0≤y<1 或－1<y≤0
栏目 导引
①式代入②式得 x2
第十二章
选考部分
x＝2＋sin2θ， (2) (θ 为参数)． y ＝－ 1 ＋ cos 2θ
解 (2)由 x＝2＋sin2θ，0≤sin2θ≤1⇒2≤2＋sin2θ≤3⇒2≤x≤3
x＝2＋sin2θ x－2＝sin2θ x－2＝sin2θ ⇒ 2 ⇒ 2 ⇒2x＋y－4＝0.(2≤x≤3) y＝－1＋cos2θ y＝－1＋1－2sin θ y＝－2sin θ
高考数学(新课标人教版)一轮总复习课件：选修4-4 坐标系与参数方程2
若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 (1)M1，M2 两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0 ＋t2cos α，y0＋t2sin α)． (2)|M1M2|＝|t1－t2|. t1＋t2 (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝ 2 ， 中点 M 到定点
(t 为参数)的距离最大值为(
)
B．1 D．5
选修4-4 坐标系与参数方程
[ 解析]
圆 O 的普通方程为 x2＋y2＝1.
直线的普通方程为 3x＋4y－10＝0， 10 圆心 O(0,0)到该直线的距离为 5 ＝2， 故圆 O 上的点到直线的距离最大值为 2＋1＝3.
[答案] C
选修4-4 坐标系与参数方程
选修4-4 坐标系与参数方程
思路点拨 (1)消去 θ，需利用 sin2θ＋cos2θ＝1，只需由①、 ②分别表示 sin θ 和 cos θ 即可；(2)消去 t，由①、②分别表示 t 1 1 ＋ t ，t－ t ，利用两者平方之差为常数求解即可．但要注意 t 的 取值范围．
选修4-4 坐标系与参数方程
选修4-4 坐标系与参数方程
第2节 参数方程
1．了解参数方程及其参数的意义． 2．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．
选修4-4 坐标系与参数方程
【考点自主回扣】
[ 要点梳理] 1．曲线的参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐 标 x，y 都是某个变数 t
x＝ft， 的函数 y＝gt，
(θ 为参数)
x2 y2 椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)
x＝acos φ， y＝bsin φ.
2019年高三一轮总复习理科数学课件选修4-4-2参数方程
(t 为参数 ) 的普通方程为
解析：依题意，消去参数可得 x－2＝y－1，即 x－y－1＝0. 答案：x－y－1＝0
9
3 ．曲线 C
x＝sinθ， 的参数方程为 y＝cos2θ－1
(θ 为参数)，则曲线 C 的普通方程为
________________．
x＝sinθ， 解析：由 y＝cos2θ－1
解：直线 l 的普通方程为 x－y－a＝0， x2 y 2 椭圆 C 的普通方程为 ＋ ＝1， 9 4 ∴椭圆 C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线 l 过(3,0)， 则 3－a＝0，∴a＝3.
15
参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利 用三角恒等式消元等．在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．
2019高三一轮总复习
数 学（理）
提高效率 ·创造未来 ·铸就辉煌
选修部分
选修4－4 坐标系与参数方程
第二节 参数方程
1
栏 目 导 航
考情分析
1 3
考点疑难突破
基础自主梳理
2 4 课时跟踪检测
2
1
考 情 分 析
3
考点 分布
考纲要求 (1)了解参数方程，了解参数 的意义． (2)能选择适当的参数写出直 线、圆和圆锥曲线的参数 方程．
x＝acosφ， 2 2 (φ 为参数) x y y＝bsinφ (3)椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的参数方程为________________________ ．
a
b
7
「基础小题练一练」 1． 椭圆 C
x＝5cosφ， 的参数方程为 y＝3sinφ
(φ 为参数)， 过左焦点 F 的直线 l 与 C 相交
【人教版】数学(理)一轮复习：选修4-4《坐标系与参数方程》(第2节)ppt课件 公开课一等奖课件PPT
选修4-4 坐标系与参数方程
2．(2013·陕
西
高考
)圆
锥曲线
x＝t2， y＝2t
(t 为参数)的焦点坐标是
________．
解析 代入法消参，得到圆锥曲线的方程为 y2＝4x，
则焦点坐标为(1,0)．
答案 (1,0)
选修4-4 坐标系与参数方程
3．(2012·湖北高考)在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴
选修4-4 坐标系与参数方程
直线的参数方程 [典题导入]
(2014·东北三省三校第二次联考)在直角坐标系 xOy 中，已
知点 P(0， 3)，曲线 C 的参数方程为xy＝ ＝
5cos φ， 15sin φ
(φ 为参数)．以
原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标
方程为 ρ＝2cosθ3－π6.
解析 直线方程可化为 x－y＋1＝0，圆的方程可化为(x－1)2＋y2 ＝1.由点到直线的距离公式可得，圆心 C(1,0)到直线 l 的距离为
12＋|2|－12＝ 2. 答案 2
选修4-4 坐标系与参数方程
5．(2013·广东高考)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ.以极点
为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线 C 的参
(t 为参数)．若 A，B 为直线 l 上两点，其对应的
参数分别为 t1，t2.线段 AB 的中点为 M，点 M 所对应的参数为 t0. 注意以下几个常用的结论：
(1)t0＝t1＋2 t2；(2)|PM|＝|t0|＝|t1＋2 t2|；(3)|AB|＝|t2－t1|；(4)|PA|·|PB|
＝|t1t2|.
选修4-4 坐标系与参数方程
高三数学文科一轮复习课件选修4-4参数方程
01抓住2个必备考点
考点1
参数方程的概念
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都
x＝fx 是某个变数t的函数 y＝gt
(*)，如果对于t的每一个允许值，由
方程组(*)所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组(*)就 叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参数．
选修4－4 坐标系与参数方程
第2讲 参数方程
1．了解参数方程，了解参数的意义． 2. 能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.
1个重要策略——参数方程与普通方程的互化 参数方程是新课标新增的选学内容，对该部分知识的复习，只 需要掌握好参数方程与普通方程的互化、常见曲线参数方程中 参数的几何意义，会解与教材例题、习题难度相当的题目即 可．
2种必会方法——参数方程与普通方程互化的方法 (1)参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路 是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒 等式(三角的或代数的)消去法． (2)普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本思路 是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x＝f(t)(或y＝ φ(t))，再代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝φ(t)(或x＝ f(t))．
(θ为参数)，直线l经过点P(2,2)，倾斜角α＝
π . 3 (1)写出圆的普通方程和直线l的参数方程； (2)设l与圆C相交于A，B两点，求|PA|· |PB|的值．
x＝4－2t y＝3－t
(t为参数)
平行的直线的普通方程为________．
[解析]
(1)由极坐标方程与直角坐标方程互化公式可得，
曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，故曲线C对应的参数方
高考数学(理)总复习备考指导课件：选修4-4 第2节 参数方程(共46张PPT)
菜单
高三一轮总复习理科数学 ·（安徽专用）
【思路点拨】 用代入法消去参数 t 化为普通方程，联
自
主 立方程求出公共点的坐标．
高 考
落
体
实 · 固 基
【尝试解答】 因为直线 l 的参数方程为xy＝＝2t＋t 1， (t
验 · 明 考
础
情
为参数)，由 x＝t＋1，得 t＝x－1，代入 y＝2t，得到直线 l
自
高
主
考
落
体
实
验
·
·
固 基
变式训练 1
(2013·湖南高考)在平面直角坐标系 xOy
明 考
础
情
中，若直线 l：yx＝＝tt－，a，
(t
为参数)过椭圆
C：xy＝＝23scions
φ， φ
典
例 探
(φ 为参数)的右顶点，则常数 a 的值为________．
究
课
·
时
提
作
知
业
能
菜单
高三一轮总复习理科数学 ·（安徽专用）
高三一轮总复习理科数学 ·（安徽专用）
自 主 落 实
4．(2013·陕西高考)圆锥曲线yx＝＝2t2t，
(t 为参数)的焦点
高 考 体 验
·
·
固 基
坐标是________．
明 考
础
情
【解析】 将参数方程化为普通方程为 y2＝4x，表示开
典 口向右，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线，由 2p＝4⇒p＝2，
考 体
实
验
· 固
得圆 C 的直角坐标方程 x2＋y2＝9.
· 明
基
考
础
高考数学一轮复习 选修44 坐标系与参数方程 第2讲 参数方程课件 理
所以曲线 C1 是以(－4，3)为圆心，1 为半径的圆；
曲线 C2 是中心为坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆．
12/13/2021
第二十三页，共四十八页。
将参数方程化为普通方程的方法 (1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常 见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方
第十五页，共四十八页。
1．若曲线
C
的参数方程为
x＝1＋cos
y＝sin2θ
2θ，
(θ
为参数)，则曲线
C
上的点的轨迹是
()
A．直线 x＋2y－2＝0
B．以(2，0)为端点的射线
C．圆(x－1)2＋y2＝1
D．以(2，0)和(0，1)为端点的线段 解析：选 D.将曲线 C 的参数方程化为普通方程得 x＋2y－2＝0(0≤x≤2，0≤y≤1)．故
12/13/2021
第七页，共四十八页。
②若线段 M1M2 的中点为 M3，点 M1，M2，M3 对应的参数分别为 t1，t2，t3，则 t3＝t1＋2 t2； ③若直线 l 上的线段 M1M2 的中点为 M0(x0，y0)，则 t1＋t2＝0，t1t2<0. (2)一个易错点：在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直 线倾斜角的正余弦值．否则参数不具备该几何含义．
12/13/2021
第四页，共四十八页。
2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程
名称
普通方程
直线
y－y0＝k(x－x0)
圆
(x－x0)2＋(y－y0)2＝
R2
参数方程 x＝_x_0_＋__t_co_s__α____ y＝__y_0_＋__ts_i_n_α____
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(t 为参数)的焦点
坐标是________．
【解析】 将参数方程化为普通方程为 y2＝4x，表示开
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
口向右，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线，由 2p＝4⇒p＝2， 则焦点坐标为(1,0)．
【答案】 (1,0)
课 时 作 业
菜
单
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课 时 作 业
→ l 上以定点 M0 为起点， 任一点 M(x， y)为终点的有向线段M 0M 的数量．( )
菜
单
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自 主 落 实 · 固 基 础
x＝2cos θ (2)方程 y＝1＋2sin
θ
表示以点(0,1)为圆心，以 2 为半
径的圆(
) (t 为参数)，点 M
菜
单
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自 主 落 实 · 固 基 础
2．参数方程与普通方程的互化 通过消去 参数 从参数方程得到普通方程， 如果知道变 数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t)，把它代入普 通 方 程 ， 求 出 另 一 个 变 数 与 参 数 的 关 系 y ＝ g(t) ， 那 么
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
x＝ft y＝gt
就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互
化中，必须使 x，y 的取值范围保持一致．
课 时 作 业
菜
单
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自 主 落 实 · 固 基 础
3．直线、圆、椭圆的参数方程 轨迹 普通方程 y－y0＝tan α(x 直线 －x0) π (α≠ ，点斜式) 2 (x－a)2＋(y－ b) ＝r
∵ρ＝cos θ，∴ρ2＝ρcos θ，
∴x2＋y2＝x，即 x2－x＋y2＝0 表示圆，
x＝－1－t， ∵ y＝2＋3t，
消 t 后，得 3x＋y＋1＝0，表示直线．
课 时 作 业
【答案】
菜 单
D
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自 主 落 实 · 固 基 础
2 x＝t ， 4．(2013· 陕西高考)圆锥曲线 y＝2t
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
x＝2cos t， (3)已知椭圆的参数方程 y＝4sin t
π 在椭圆上，对应参数 t＝ ，点 O 为原点，则直线 OM 的斜 3 率为 3( )
课 时 作 业
菜
单
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自 主 落 实 · 固 基 础
【解析】 根据直线与圆的参数方程知(1)，(2)正确．对 π 于(3)，当 t＝ 时，点 M(1,2 3)，kOM＝2 3，(3)错． 3
【答案】 (1)√ (2)√ (3)×
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
课 时 作 业
菜
单
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自 主 落 实 · 固 基 础
菜
单
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自 主 落 实 · 固 基 础
【解析】
典 例 探 究 · 提 知 能
将 sin2θ＝y 代入 x＝2＋sin2θ 得 y＝x－2，
高 考 体 验 · 明 考 情
又 0≤sin2θ≤1，∴y∈[0,1]，x∈[2,3]，故选 C.
【答案】 C
课 时 作 业
自 主 落 实 · 固 基 础
1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”， 错误的打“×”) (1)过 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
(t 为参数)．参数 t 的几何意义表示：直线
2 2
参数方程
x0＋tcos α， (t 为参数) y0＋tsin α a＋rcos θ b＋rsin θ acos θ
(θ 为参数) (θ 为参数)
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
圆
x2 y2 2＋ 2＝1(a＞b a b 椭圆 ＞0)
菜 单
课 时 作 业
bsin θ
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自 主 落 实 · 固 基 础
第二节
考纲传真
参数方程
1.了解参数方程， 了解参数的意义.2.能选择适
高 考 体 验 · 明 考 情
当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．
典 例 探 究 · 提 知 能
课 时 作 业
菜
单
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自 主 落 实 · 固 基 础
1．曲线的参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的
x＝ft， y＝gt 并且对于ຫໍສະໝຸດ 高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数
t的
课 时 作 业
每一个允许值，由这个方程组所确定的点 M(x，y)都在这条 曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 变数 x，y 的变数 t 叫做 参变数 ，简称 参数 ．
自 主 落 实 · 固 基 础
5．(2014· 广州质检)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 和 C2 的 参 数 方 程 分 别 为
x＝ y＝ x＝t， y＝ t
(t 为 参 数 ) 和
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
菜
单
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3．极坐标方程 ρ＝cos θ
自 主 落 实 · 固 基 础
x＝－1－t， 和参数方程 y＝2＋3t
(t 为
高 考 体 验 · 明 考 情
参数)所表示的图形分别是( A．直线、直线 C．圆、圆
)
B．直线、圆 D．圆、直线
【解析】
典 例 探 究 · 提 知 能
2 x＝2＋sin θ， 2． (人教 A 版教材习题改编)将参数方程 2 y ＝ sin θ
高 考 体 验 · 明 考 情
(θ 为参数)化为普通方程为(
典 例 探 究 · 提 知 能
) B．y＝x＋2 D．y＝x＋2(0≤y≤1)
课 时 作 业
A．y＝x－2 C．y＝x－2(2≤x≤3)