08 离散z域分析
离散系统的Z域分析法
D z-1
X(k-1)
z-1X(z)
X
注意:z域框图只能求系统零状态响应 注意 域框图只能求系统零状态响应
第
例题
1.求如图系统的单位响应 求如图系统的单位响应h(k)和单位阶跃响应 和单位阶跃响应g(k) 求如图系统的单位响应 和单位阶跃响应
8 页
2. 知 阶 散 统 初 条 为 zi (0) = 2, yzi (1) =1 已 二 离 系 的 始 件 y , 当 入 (k) = ε (k)时 输 f , 1 5 k k 输 全 应 (k) =[ + 4⋅ 2 − ⋅ 3 ]ε (k), 出 响 y 2 2 求 差 方 .， 画 系 框 。 此 分 程 并 出 统 图
求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： 求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： •时域方法: y(k) =y zi (k) + yzs (k) yzs (k) = h(k) ∗ x(k) 时域方法: 时域方法 •z变换方法: 变换方法: 变换方法 Yzs (z) = H(z) ⋅ X(z)
X
第
二.系统框图的z域分析法
基本思路: 基本思路 时域框图 z域框图 域框图 z域代数方程 域代数方程 Yzs(z)
7 页
yzs(k)
x(k) ⇒ X (z) yzs (k) ⇒ Yzs (z) 延迟单元 x(k)
x(k)ε (k) ↔ X(z) x(k −1)ε (k) ↔ z−1X(z) + x(−1)
y(k)
X
第 5 页
优点: 优点:
•差分方程经 变换→代数方程； 差分方程经z变换 代数方程； 差分方程经 变换→ •将时域卷积→z域乘积； 将时域卷积→ 域乘积； 将时域卷积 域乘积 •部分分式展开后求解z逆变换较容易； 部分分式展开后求解z 部分分式展开后求解 逆变换较容易； •z变换过程自动引入了系统初始状态（相当于0变换过程自动引入了系统初始状态（相当于0 变换过程自动引入了系统初始状态 的条件） 可同时求出零输入和零状态响应。 的条件）,可同时求出零输入和零状态响应。 ， 注意：z域求解系统只需 －状态[y(-1)，y(-2), …,] 注意： 域求解系统只需0 状态 域求解系统只需 时域求解系统要递推出0 状态确定待定系数。 时域求解系统要递推出 ＋状态确定待定系数。
第章z变换离散时间系统的z域分析
Z[a j0nu(n)] Z[a j0nu(n)]
z z e j0
z z e j0
由 z 变换的定义可知：两序列之和的 z 变换等于各序列 z 变换的和。根据欧拉公式，从上式可以直接得
到余弦序列的 z 变换：
Z[co s(0 n)u(n)]
1 2
z
z e
j0
z
z e
j0
z(z cos0 ) z 2 2z cos0 1
若 n2 0 ，则收敛域包括 z 0 ，即| z | Rx2 。
（4）双边序列 一般写作：
1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
n
n0
n
该式可以看作是右边序列（第一项）和左边序列（第二项）的叠加。收敛域为两部分收敛域的重叠部分：
Rx1 | z | Rx2 其中 Rx1 0, Rx2 。所以,双边序列的收敛域通常是环形.若 Rx1 Rx2 ，则该序列不收敛。
Z[abnu(n)] z (| z || eb |) z eb
令 b j0 ，则当| z || e j0 | 1时,得：
Z[a
j0 n u (n)]
z
z e j0
同样，令 b j0 ，则得：
将上两式相加，得：
Z[a j0nu(n)]
z z e j0
x(n) 1
0
n
图 8-5 单边余弦序列
z sin 0 2z cos0
2
上面两式就是单边指数衰减 ( 1) 及增幅 ( 1) 的余弦、正弦的 z 变换。收敛域为：| z || | 。一些
典型的单边 z 变换列于附录五。
8。3 z 变换的收敛域
只有当级数收敛时， z 变换才有意义.对于任意给定的有界序列 x(n) ，使 z 变换定义式级数收敛之
数字信号处理实验离散系统的Z域分析
数字信号处理实验报告实验名称：离散系统的Z 域分析学号：姓名： 评语： 成绩： 一、实验目的1、掌握离散序列z 变换的计算方法。
2、掌握离散系统系统函数零极点的计算方法和零极点图的绘制方法，并能根据零极点图分析系统的因果性和稳定性。
3、掌握利用MATLAB 进行z 反变换的计算方法。
二、实验原理与计算方法1、z 变换离散序列x (n )的z 变换定义为：。
∑∞-∞=-=n n z n x Z X )()(在MATLAB 中可以利用符号表达式计算一个因果序列的z 变换。
其命令格式为：syms n; f=(1/2)^n+(1/3)^n;ztrans(f)2、离散系统的系统函数及因果稳定的系统应满足的条件一个线性移不变离散系统可以用它的单位抽样响应h (n )来表示其输入与输出关系，即y (n )= x (n )* h (n )对该式两边取z 变换，得： Y (z )= X (z )· H (z )则： )()()(z X z Y z H =将H (z )定义为系统函数，它是单位抽样响应h (n )的z 变换，即∑∞-∞=-==n n z n h n h Z z H )()]([)(对于线性移不变系统，若n <0时，h (n )=0，则系统为因果系统；若，则系统稳∞<∑∞-∞=n n h |)(|定。
由于h (n )为因果序列，所以H (z )的收敛域为收敛圆外部区域，因此H (z )的收敛域为收敛圆外部区域时，系统为因果系统。
因为，若z =1时H (z )收敛，即∑∞-∞=-=n n z n h z H )()(，则系统稳定，即H(z)的收敛域包括单位圆时，系统稳定。
∞<=∑∞-∞==n z n h z H |)(||)(1因此因果稳定系统应满足的条件为：，即系统函数H (z )的所有极点全部落在1,||<∞≤<ααz z 平面的单位圆之内。
3、MATLAB 中系统函数零极点的求法及零极点图的绘制方法MATLAB 中系统函数的零点和极点可以用多项式求根函数roots ()来实现，调用该函数的命令格式为：p=roots(A)。
信号与系统第8章 离散时间系统的z域分析
零状态响应为
Yf
(z)
(1 z 1 z 2 ) 2 3z 1 z 2
1 1 z 1
1/ 6 0.5 5 / 6 1 z1 1 z1 1 0.5z1
yf [k] Z 1{Yf (z)}{1/ 6 0.5(1)k (5/ 6)(0.5)k}u[k]
y[k] yx[k] yf [k] {1/ 6 3.5(1)k (4 / 3)(0.5)k}u[k]
离散时间信号与系统的Z域分析
• 离散时间信号的Z域分析 • 离散时间系统的Z域分析 • 离散时间系统函数与系统特
性
离散时间信号的Z域分析
• 理想取样信号的拉普拉斯变换 • 单边Z变换定义 • 单边Z变换的收敛域 • 常用序列的Z变换 • 单边Z变换的性质 • Z反变换
理想取样信号的拉普拉斯变换
fs (t) f (t) (t kT) f (kT) (t kT)
Re(z)
三、常用序列的Z变换
1) Z{ (k)} 1, z 0
2) 3)
Z{u(k)} 1 1 z
Z{aku(k)}
1 , 1
1 a
z
z
1
1 z
a
4)
Z{e
j0k
u(k
)}
1
e
1
j0
z
1
z z e j0
5)
Z{e-
j0k u (k
)}
1
1 e- j0
z
1
z z e- j0
z e j0 z e j0
解代数方程
二阶系统响应的z域求解
y[k] a1 y[k 1] a2 y[k 2] b0 f [k] b1 f [k 1] k 0
初始状态为y[1], y[2] 对差分方程两边做Z变换，利用
第八章z变换、离散时间系统的z域分析
第八章z变换、离散时间系统的z域分析§8.1 引言§8.2 z变换的定义、典型序列的z变换§8.3 z变换的收敛域§8.4 逆z变换§8.5 z变换的基本性质§8.6 z变换与拉普拉斯变换的关系§8.7 用z变换解差分方程§8.8 离散系统的系统函数习题§8.1 引言引言 z变换的导出对z变换式的理解一．引言求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换； z变换的历史可是追溯到18世纪； 20世纪50~60年代抽样数据控制系统和数字计算机的研究和实践，推动了z变换的发展；70年代引入大学课程；今后主要应用于DSP分析与设计，如语音信号处理等问题。
本章主要讨论：拉氏变换的定义、收敛域、性质，与傅氏变换和拉氏变换的关系；利用z变换解差分方程；利用z平面零极点的分布研究系统的特性。
说明§8.2 z变换的定义、典型序列的z变换 z变换的定义单位样值函数单位阶跃序列斜变序列指数序列正弦与余弦序列 z变换的定义五．正弦与余弦序列§8.3 z变换的收敛域收敛域的定义两种判定法讨论几种情况§8.4 逆z变换部分分式展开法幂级数展开法围线积分法――留数法推导推导应用柯西定理例8-4-3 例8-4-4 收敛域与原函数的对应§8.5 z变换的基本性质线性位移性序列线性加权序列指数加权初值定理终值定理时域卷积定理 z域卷积定理同理二．位移性证明双边z变换的位移性整理为例题§8.6 z变换与拉普拉斯变换的关系 z平面与s平面的映射关系 z变换与拉式变换表达式之对应一．z平面与s平面的映射关系几种情况（3）W 0，s平面实轴； q 0， z平面正实轴；二．z变换与拉式变换表达式之对应容易求得它的拉式变换为注意跳变值例8-6-1 例8-6-2 可得到§8.7 用z变换解差分方程序言应用z变换求解差分方程步骤差分方程响应y n 的起始点确定差分方程解的验证序言描述离散时间系统的数学模型为差分方程。
离散系统的Z域分析
k
cos(
0
k
)
k
z
z2 z2 z cos 2z2 2z cos 0
0
1
2
..........
k
sin 0k
k
z
2z2
z 2
sin 0 z cos 0
1 2
.........
k k
k
z (z )2k kk Nhomakorabea1
五、ZT & DTFT
求和收敛
设f(k)
为因果序列、则
F (e j ) f k e jk
Z eS Ts e e Ts jTs e j
k
F (z) f (k)zk k 0
e Ts
Ts
2 s
S 域中的一点→ → Z 域中的一点；Z 域中的一点→ → S 域中的无穷个点。
S 1 Ln z 1 Ln(e j ) 1 Ln j
Ts
Ts
Ts
Ts
三、收敛域: F (z) f k zk
ak (k) bk (k 1) z z ∣a∣< |z|< |b|
za zb
jIm[z]
|b|
|a|
o
Re[z]
四、常用 z 变换
(k+1) ←→z; (k-1) ←→z-1;……
(k) ←→1 (k) ←→z/(z-1) ←→ - (- k-1)
零、极 点分布
k k z k k 1
F(z)
K1 e j z
z e j
K1 e j z
z e j
若z> , f(k)=2K1kcos(k+)(k)，… …
(3) F(z)有重极点 推导记忆：
第8章Z变换及其离散时间系统的Z域分析
第8章Z变换及其离散时间系统的Z域分析第8章Z变换及其离散时间系统的Z域分析学习⽬标了解z变换与拉⽒变换之间的联系掌握不同序列收敛域的特点熟练掌握基本信号的z变换及其基本性质熟练利⽤基本信号的z变换和基本性质求解信号的变换式熟练掌握求逆变换的部分分式展开法、长除法掌握周期信号的z变换及其逆变换的求解⽅法理解并掌握系统函数的概念及其4种求解⽅法掌握利⽤系统函数零极点分析系统的稳定性掌握系统函数与系统框图之间的对应关系重点定义式的透彻理解基本性质的灵活应⽤周期序列的z变换由系统函数零极点分析系统特性系统函数、差分⽅程、冲激响应及系统框图之间的内在联系难点周期序列的z变换由系统函数零极点分析系统特性H z画出系统的仿真框图和信号流图根据()8.1 Z 变换的定义8.1.1 Z 变换的基本定义1. Z 变换的定义对于给定的离散时间信号，Z 变换定义：()nn F z f n z ∞-=-∞=∑（）简记为：[]()[()]Z+-+-++++（）（）（）（）（）当0n <时，它是 z 的正幂级数；⽽当0n >时，它是 z 的负幂级数。
牢记这个特征，对今后的学习是很有帮助的。
对⼀些简单的序列，我们可以利⽤这个特征直接写出其变换式。
例题：()2(3)3(2)4(1)3()2(2)f n n n n n n δδδδδ=+++++++- 则该序列的Z 变换式为322()[()]()23432nn F z Z f n f n z z z z z ∞-=-∞-===++++∑由此也可以看到， Z 变换是由各个样点序列值的Z 变换之和组成，每个样点的序列值都对应⼀个 Z 变换。
如果()f n 是右边序列，⼜称为因果序列。
则：单边Z 变换：0()()nn F z f n z∞-==∑，简记为：()()Zf n F z ←?→Z 变换和拉普拉斯变换之间的关系，可以利⽤采样信号拉普拉斯变换说明如下： ()()()()()s n n f nT f t t nT f nT t nT δδ+∞+∞=-∞=-∞=-=-∑∑()()snTs n F s fnT e +∞-=-∞=∑ 令sTz e =，T=1,则()()ns n F z f n z=∑定义表明：Z 变换()F z 是关于复变量z 的幂级数。
离散信号与系统的 Z 域分析
第 六 章 离散信号与系统的 Z 域分析引言与线性连续系统的频域分析和复频域分析类似，线性离散系统的频域分析是输入信号分解为基本信号e jΩk 之和,则系统的响应为基本信号的响应之和。
这种方法的数学描述是离散时间傅里叶变换和逆变换。
如果把复指数信号e jΩk 扩展为复指数信号Z k ,Z=re jΩ ,并以Zk 为基本信号， 把输入信号分解为基本信号Z k 之和， 则响应为基本信号Z k 的响应之和。
这种方法的数学描述为Z 变换及其逆变换,这种方法称为离散信号与系统的Z 域分析法.如果把离散信号看成连续时间信号的 抽样值序列，则Z 变换可由拉普拉斯变换引入.因此离散信号与系统的Z 域分析 和连续时间信号与系统的复频域分析有许多相似之处.通过Z 变换，离散时间信 号的卷积运算变成代算,离散时间系统的差分方程变成Z 域的代数方程,因此可 以比较方便的分析系统的响应。
Z 变换从拉普拉斯变换到Z 变换对连续信号f(t)进行理想抽样，即f（t）乘以单位冲击序列δT （t），T 为 抽样间隔，得到抽样信号为f s （t）=f（t）δT （t）= =对fs（t）取双边拉普拉斯变换，得F s （s）=￡[fs（t）]=令z=e sT , 则Fs（s）=F(z) ,得F（z）=因为T为常数,所以通常用f(k)表示f(kT),于是变为F(z)=称为f(k)的双边Z变换,z为复变量。
z和s的关系为:z=e sTs=（1/T）㏑z由复变函数理论,可以得到f(k)= ∮cF(z)z k-1 dz式(7.1-5)称为F(z)的双边Z逆变换(后面讨论).双边Z变换的定义和收敛域§双边 Z 变换的定义对于离散序列f(k)(k=0,±1,±2,┄),函数(z的幂级数)F(z)=称为f(k)的双边Z变换,记为F(z)=Z[f(k)].F(z)又称为f(k)的象函数,f(k)又 称为F(z)的原函数.为了表示方便,f(k)与F(z)之间的对应关系可表示为 f(k) F(z)§双边 Z 变换的收敛域f(k)的双边Z变换为一无穷级数,因此存在级数是否收敛的问题.只有当 (7.1-6)式的级数收敛,F(z)才存在.F(z)存在或级数收敛的充分条件是 ∞在f(k)给定的条件下,式(7.1-6)级数是否收敛取决于z的取值.在z复平面上, 使级数收敛的z取值区域称为F(Z)的收敛域。
第8章 离散时间系统的Z域分析
n0
第 页 17页 -17 2第2
湖南理工学院 信息与通信工程学院
信号与系统
的原函数f(n)。
8.2 逆Z变换
z2 z 例题1 已知 F ( z ) 2 , |z|>1,|z|<1分别求F(z) z 2z 1
(2)F(z)的收敛域为|z|<1,故f(n)为反因果序列.
F ( z ) 3z 3 3 z 2 1z
收敛域为|z|< |b|
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信号与系统
8.1 Z变换的定义及其收敛域
(4) 双边序列：
j Im[ z ]
X ( z) X (z)
n 1
n x ( n ) z n
n
Rx2 Rx1
Re[ z ]
f ( n) z
n
n 1
z
n
1 z 1 z
j Im[ z ]
∞
2 z z 1 1 F ( z) z 1 z z 0 z
Re[ z ]
第 页 7页 -7 2第2
湖南理工学院 信息与通信工程学院
信号与系统 (2)右边序列
8.1 Z变换的定义及其收敛域
n m
n n2 n x ( n ) z
j Im[ z ]
lim n x( n) z 1
n
n
Rx 2
Re[ z ]
z
n
1 lim n x(n)
Rx2
第 页 10页 -10 2第2
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信号与系统
离散系统Z域分析
《信号与系统》精品课程——第八章 离散系统的Z域分析
8.1.1 Z变换的定义
2 、Z变换的由来——从拉式变换推演出Z变换
fs((t) f (t)T (t)
2TT 0 T 2T 3T
t
T (t)
(1)
3T2TT 0 T 2T 3T t
fs (t) f (nT ) (t nT )
2、若f(n)为单边序列（因果序列），则
右移序列
f (n m) (n m) F(z)zm
举例 (n m) zm (n m) zm z
z 1
电气与信息工程学部通信工程教研室
《信号与系统》精品课程——第八章 离散系统的Z域分析
8.3.2 移位性质（延迟特性） 2、若f(n)为单边序列（因果序列），则
8.1 Z变换
8.1.1 Z变换的定义
1 、离散信号的Z变换定义
序列f( n ) 的双边Z 变换：
F (z)
f (n)
n
1
f
(n) zn F (z)zn1dz
2 j C
序列f( n ) 的单边Z 变换：
F (z)
f (n)
n0
仅当该幂级数收敛，即
f (n) zn
n0
时，序列f(n)的z变换才有意义。该 式称为绝对可和条件，为z变换存在 的充要条件。
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《信号与系统》精品课程——第八章 离散系统的Z域分析
8.1.1 Z变换的定义
例 求因果序列 f (n) an (n) 的z变换（式中a为常数）。
《信号与系统》精品课程——第八章 离散系统的Z域分析
《信号与系统》课件第6章离散系统的Z域分析
由冲击函数的性质可得：
x(n) x(t) (t nT ) n
x(n) x(nT ) (t nT )
▲
n
■
第3页
6.1.1 z变换的定义
根据拉普拉斯变换的基本定义式：
X (s) x(t)est dt
对离散时域信号 x(n) 进行双边变换：
X (s)
nx(nT
)
(t
nT
)est
dt
利用积分与冲击函数的性质可得：
X (s) x(nT )esnT n
令 z esT ，上式将成为复变量 z 的函数，用 X (z) 表示， x(nT ) x(n) ，则离散时间
序列转变成复变域即为 Z 域变换，得
X (z) x(n)zn n
（6.1.1）
X (z) x(n)zn n0
x(n)zn
n
（6.1.3）
时，其 z 变换才存在。上式称为绝对可和条件，它是序列 x(n) 的 z 变换存在的充分且
必要条件。
Z 变换收敛域的定义：对于序列 x(n) ，满足（6.13）式，即使得其 Z 变换存在的所有 z 值组成的集合称为 z 变换 X (z) 的收敛域。
▲
■
第5页
6.1.1 z变换的定义
证明： Z[ak f (k)]
ak f (k)zk
f
(k )
z
k
F( z )
k
k
a
a
例 6-2-4： 求 ak (k ) 的 Z 变换。
解：已知 (k)
z ，则根据
z 1
Z
变换的尺度性质可知： ak (k)
z
z a
▲
■
第 18 页
第八章Z变换、离散时间系统的Z域分析
n
n0
n
z Rx2
z Rx1
若 Rx2 Rx1, X (z) 收敛域：Rx1 z Rx2
j Im z
Rx2
Rx1
Re z
若 Rx2 Rx1, X (z) 不收敛。
第八章 Z变换、离散时间系统的 Z域分析 肖娟
例： x(n) anu(n) bnu(n 1)
求 X (z)并确定收敛域，其中 (b a 0) 。
, z 1
Z
[sin(0n)u(n)]
z sin 0 z2 2z cos0 1
, z 1
cos( n)u(n)
cos
2
n
u(n)
z2 z2 1
,
z
1
1
2
1,0, 1,0,1,0,
2
6
0
4
8n
sin
2
n
u(n)
z z2 1
, z 1 1 sin( n)u(n)
12
0,1,0, 1,0,1,
逆 z变
换方法
围线积分法（留数法）：P56 例8-2 幂级数展开法： P57 例8-3、8-4
部分分式展开法：仅适用于X (z)为有理分式的情况
第八章 Z变换、离散时间系统的 Z域分析 肖娟
部分分式展开法
Z [anu(n)] z
,z a
za
Z [anu(n 1)] z , z a
za
X (z)
（5）Z
[cos(0n)u(n)] Biblioteka 1z 2 [ z e j0
z z e j0
]
z(z cos0 ) z2 2z cos0 1
e j0nu(n)
08 离散z域分析
1
收敛域
a
收敛域
a
单位圆
单位圆 10
• 级数收敛的充要条件：绝对可和，即 • |x(n)z-n|<∞ • 正向级数收敛性判别法： • 比值判别法：对于级数 |an|, <1,收敛 an 1 >1,发散 lim n an =1,收发 • 根值判别法：
lim
n
x(n) [2 (0.5) ]u (n 1)
n
x(n) [2 (0.5) ]u (n)
n
17
• (2) 幂级数展开法（长除法） • 按定义 • X(z)= x(n)z-n • 若在收敛域内把X(z)展成幂级数，其系 数就是序列x(n) • X(n)一般为有理分式,即 • X(n)=N(z)/D(z)
1 2
Z [nu (n)] nz
n n 0
z ( z 1)
, z 1 2
3
•
Z [n u (n)] n z
2 2 n n 0
z ( z 1) ( z 1)
, z 1
4
(4) 单边指数序列an u(n)
Z [a u (n)] a z
n n n n 0
X (s) X ( z)
s ln z z e
s
X ( z) X (s)
8
4. Z变换的收敛域
• 为什么研究收敛域？ • 收敛域: z变换中级数收敛的所有Z值的集合。 • 只有级数收敛，变换才有意义。对单边变 换，序列与变换式、收敛域唯一对应；一 般情况，单边z变换是存在的，只是收敛域 大小不同 • 对双边变换，不同序列、不同收敛域可能 映射为同一变换式，而且由于找不到收敛 域使变换不存在。 •
离散时间系统的z域分析
第7章离散时间系统的z 域分析1. z 变换是如何提出的？它的作用是什么？z 变换是为分析离散时间系统而提出的一种工程分析方法, 统分析中的地位和作用等价于连续时间系统分析中的拉氏变换。
氏变换的推广。
Re z j Im z 而对于取样信号的拉氏变换为x( nT)e snT2. 双边z 变换和单边z 变换时如何定义的？它们的定义域是如何确定的？收敛 域的意义是什么？z 变换定义为：X （z ） x[n]z n ----双边z 变换（1）nX(z) x[n]z n----单边 z 变换(2)n 0z 变换收敛域就是使上述级数收敛的所有 z 的取值的集合。
根据级数收敛理 论，一般我们用根值判别法或比值判别法来确定 z 变换收敛域， 其作用是建立序列和z 变换之间的一一一对应关系。
根据序列的不同性质，序列 z 变换的收敛域各不相同，具体参阅教材 Page297-298 表 7-1 oz 变换定义为：X （z ）x[n]z nn----双边z 变换(1)X(z)x[n]z nn 0单边z 变换 (2)X s (s)X s (t)estdt x(nT) (t nT) e stdtx(nT) e st(tnT)dt (3)它在离散时间系 它可以看作为拉re J o其中z 是复变量，z如果 x[n] x(nT),令 ze sT ，可以发现式（1）和式（3）相同3.z变换和拉氏变换之间有什么样的关系？具体分析见问题1中的式（1）和（3）,根据两式，可以建立分析连续时间系统的拉氏变换的变量s和分析离散时间系统的z变换的变量z之间的映射关系:sT令z re j, s j ，则有r e T, T，具体见教材Page 300表7-2 。
4.z逆变换的求解方法有几种？在应用部分分式求解z逆变换时，应注意什么问题？z逆变换的求解方法主要有三种：围线积分法（复变函数理论），幕级数展开法和部分分式展开法。
其中幕级数展开法只适用于单纯的左边序列或右边序列，而且不易得到序列的解析式，因而实际中使用不多；而围线积分法（复变函数理论）和部分分式展开法因其方法的逻辑性较强，适用于各种序列，而且便于得到序列的解析式，所以，最为我们所采纳。
信号与系统课件第六章-离散系统的Z域分析
认为该序列f(k)的z变换不存在。
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2022/1/13
信号与线性系统分析—离散时间信号与系统的 z域分析
9
收敛域
设f(k)是一个因果信号［k < 0时f(k)≡0］，则F(z)是一个只
有z的负幂的级数，因此，在z平面上F(z)的绝对收敛区域是一
k 0
k 0
k 1,
z 0
指数序列 ak k
Fz
ak zk
k 0
1
a z
a z
2
若 a eb ，则 Fs z
z eb
1 z,
1
a z
za
a 1 z
za
若 a 1
，则
Fs
z z 1
（单位阶跃序列）
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2022/1/13
信号与线性系统分析—离散时间信号与系统的 z域分析
若 f k ，F则z
f k F z1
例：求 ak k 1 的 z 变换。 ∵ akk z
za
∴ ak k 1 a ak1 k 1 az1 z a
za za
ak k 1 a az
z1 a 1 az
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23 2022/1/13
信号与线性系统分析—离散时间信号与系统的 z域分析
线性叠加特性 移位（移序）特性 z 域尺度变换特性 （序列）卷积定理
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序列乘 k（z 域微分）特性 序列除(k+m)（z 域积分）特性 k 域反转特性 差分与求和特性 初值定理和终值定理
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信号与线性系统分析—离散时间信号与系统的 z域分析
17
实验八-离散系统的Z域分析
实验八-离散系统的Z域分析一、验证性实验1.Z变换确定信号f1(n)=3^nU(n),f1(n)=co(2n)U(n)的Z变换。
2.Z反变换已知离散LTI系统的激励函数为f(k)=(-1)^k某U(k),h(k)=[1/3某(-1)^k+2/3某3^k]U(k),采用变换域分析法确定系统的零状态响应Yf(t).3.绘制离散系统极点图采用MATLAB语言编程，绘制离散LTI系统函数的零极点图，并从零极点图判断系统的稳定性。
已知离散系统的H（z），求零极点图，并求解h(k)与H(e^jw)。
（1）实验代码（2）实验结果4.离散频率响应函数一个离散LTI系统，差分方程y(k)-0.81y(k-2)=f(k)-f(k-2),试确定：（1）系统函数H(z);（2）单位序列响应h(k)的数学表达式，并画出波形；（3）单位阶跃响应的波形g(k);（4）绘出频率响应函数H(e^jθ)的幅频和相频特性曲线。
1）实验代码2）实验结果二、程序设计实验1.试分别绘制下列洗头的零极点图，并判断系统的稳定性；如果系统稳定，绘制幅频特性和相频特性。
（a）H(z)=(3某z^3-5某z^2+10某z)/(z^3-3某z^2+7某z-5)1)实验代码2)实验结果（b）H(z)=(4某z^3)/(z^3+0.2某z^2+0.3某z+0.4)1）实验代码2）实验结果（c）H(z)=(z^2-2某z-1)/(2某z^3-1)1）实验代码2）实验结果（d）H(z)=(2某z^2+2)/(z^3+2某z^2-4某z+1)1）实验代码2）实验结果2.分别确定下列信号的Z变换。
(a)f(k)=(2/5)^k某U(k)(b)f(k)=co(2某k)U(k)(c)f(k)=(k-1)U(k)(d)f(k)=(-1)^k某k某U(k)3.已知某LTI离散系统在输入激励f(k)=(1/2)^k某k某U(k)时的零状态响应为Yf(k)=[3某(1/2)^k+2某(1/3)^k]U(k),通过程序确定该系统的系统函数H(z)以及系统的单位序列响应h(k).4.分别确定下列因果信号的逆Z变换。
离散系统的z域分析
F (z) f (k)zk k
F (z) f (k)zk k 0
f (k) 50, | k |,
5k 5 k 5, k 5
第六章 离散系统的z域分析
二、移位(移序)特性
6.2 z变换的性质
双边z变换： 若 f (k) F(z) z 且对整数m>0，则
f (k m) zmF(z)， z
jIm[z]
在z平面上，为半径为|b|的圆内区域
bk (k 1) z | z || b |
zb
|b|
o
Re[z]
第六章 离散系统的z域分析
二、收敛域
例4 双边序列 的z变换。
f
(k)
f1(k)
f2 (k
ak (k) bk (k
1)
bk , ak ,
6.1 z变换
k 0 k 0
解
F(z)
F1 ( z )
k
k
单边、双边z变换相等，收敛域：整个z 平面。
6.1 z变换
(2) 双边z 变换 F2(z) = z2 + 2z + 3 + 2z-1 + z-2 收敛域：0<z< ∞
单边z 变换 F2 (z) f2 (k)zk 3 2z1 z2 收敛域：z > 0 k 0
可见：有限长序列z变换的收敛域一般为0<z<∞，有时它在0或/ 和∞也收敛。
(1)
k
取样信号的拉普拉斯变换
Fs (s)
[
f (kT ) (t kT )]estdt
k
积分求和交换次序
0 T 2T
f s (t )
t
Fs (s)
f (kT ) (t kT )estdt
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例 已知 x1 (n) a
n
u(n), x2 (n) a u(n 1)
n
其中0<a<1, 求其双边z变换
X1 ( z) a z
n n n 0
z za
, z a
n
x1
x2
z X 2 ( z ) a z n n 1 a za z , z a 1 z a z a
Z [sin( 0 n)u (n)] z sin 0 z 2 z cos 0 1
2
6
3. 从抽样信号的拉氏变换引出Z变换 均匀冲 击抽样 拉氏 变换 积分求 和交换
xs (t ) x(t ) (t ) x(nT ) (t nT )
n 0
X s ( s)
18
• • • • • • • • • • •
例 求 X(z)=z/(z-1)2 的逆变换 x(n), (|z|>1) 解 ∵D(z)=(z-1)2=z2-2z+1 z-1+2z-2+3z-3+… z2-2z+1 z z- 2 + z-1 2 - z-1 2-4 z-1+2 z-2 3 z-1-2 z-2 … ∴X(z)= z-1+2 z-2+3 z-3+…= nz-n ,(0n ) x(n)=nu(n)
j 1
s
Bj z ( z zi ) j
d s j s X ( z) Bj s j ( z zi ) ( s j )! dz z z z 20 i
例 求X(z)=z2/(z2-1.5z+0.5) 的 逆变换x(n),|z|>1
• 解
X ( z)
z za
,z a
z z e
j 0
ae , z e
同样
n
j 0
j 0
1, Z [e
j 0 n
u (n)]
Z [na u (n)] na z
n 0
n n
az ( z a)
2
5
• (4) 正余弦序列sin(0n)u(n)和 cos(0n)u(n) • z z j n j n
Z
[ X ( z )] Re s m ( z 1)( z 0.5) z zm
• 分析极点：n1,z=0处无极点，z=1, z=0.5
z n 1 Re s 2 ( z 1)( z 0.5) z 1 z n 1 Re s (0.5) n ( z 1)( z 0.5) z 0.5
Z [e 0 u (n)]
z e
; Z [e j 0
j 0 n
0
u (n)]
z e
j 0
Z [2 cos( 0 n)u(n)] Z [e
u(n)] Z [e
j 0 n
u(n)]
z ( z cos 0 ) 1 z z 2 j 0 j 0 2 z e z e z 2 z cos 0 1
x(n) [2 (0.5) ]u (n 1)
n
x(n) [2 (0.5) ]u (n)
n
17
• (2) 幂级数展开法（长除法） • 按定义 • X(z)= x(n)z-n • 若在收敛域内把X(z)展成幂级数，其系 数就是序列x(n) • X(n)一般为有理分式,即 • X(n)=N(z)/D(z)
23
2. 序列位移特性
• 表明序列移动前后z变换之间的关系 • (1) 双边z变换的位移特性 • 若 Z[x(n)]=X(z) • 则 Z[x(nm)]=zmX (z) • 可使z=0或z=处的零极点变化，但收敛 域不会变化，双边X(z)的收敛域为 Rx1<|z|<Rx2
24
(2) 单边z变换位移特性 • 若 x(n)为双边序列, 其单边z变换为 Z[x(n)u(n)]=X(z) m 1 m[X(z)• 则 Z[x(n+m)u(n)]=z k 0x(k)z-k] 1 -m[X(z)+ x(k)z-k] • Z[x(n-m)u(n)]=z k m • 如果x(n)为因果序列，则右移序列的z变 换为 • Z[x(n-m)u(n)]=z-mX(z) • 而左移序列的z变换不变
n
an
<1,收敛 >1,发散 =1,收发
11
• • • • • • • • • •
几类序列z变换的收敛域： (1) 有限长序列:X(z)= x(n)z-n , (n1 n n2) ① n1<0, n20, 0<|z|<∞ ② n1 0, n2 > 0, |z|>0 ③ n1<0, n2 0, |z|<∞ (2) 右边序列 X(z)= x(n)z-n , (n1< n n2, n2=∞), 若n∞, lim(|x(n)z-n|)1/n<1, |z|>lim (|x(n)|)1/n=Rx1, 收敛。 ① n1<0 ,n2=∞ , Rx1<|z|<∞ ② n1 0 ,n2=∞ , Rx1<|z|
1 2
Z [nu (n)] nz
n n 0
z ( z 1)
, z 1 2
3
•
Z [n u (n)] n z
2 2 n n 0
z ( z 1) ( z 1)
, z 1
4
(4) 单边指数序列an u(n)
Z [a u (n)] a z
n n n n 0
n 1 c
15
求逆变换的方法
• (1) 围线积分法(留数法) 1 x ( n) X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n1 ]z zm c 2j m • 如果X(z)zn-1在z=zm处有s阶极点，则留数
Re s[ X ( z ) z ]z zm
13
例 求序列 x(n)=anu(n)-bnu(-n-1)的z变换 • 解
X ( z)
n
x ( n) z
n n
n
a z
n n n 0 n n
n
b z
z
1
n n
a z 1 b Байду номын сангаас
n 0 n 0
z a z b
z
2
( z 1)( z 0.5)
,
X ( z) z
A1 z 0.5
A2 z 1
X ( z) X ( z) A1 ( z 0.5) 1; A2 ( z 1) 2 z z 0.5 z z 1
X ( z)
由阶跃和指数 序列Z 变换 关系可知：
n n
1
收敛域
a
收敛域
a
单位圆
单位圆 10
• 级数收敛的充要条件：绝对可和，即 • |x(n)z-n|<∞ • 正向级数收敛性判别法： • 比值判别法：对于级数 |an|, <1,收敛 an 1 >1,发散 lim n an =1,收发 • 根值判别法：
lim
n
z
• 若|a|<|b|,收敛域：|a|<|z|<|b|, 若|a| |b|, 则序 列的Z变换不存在
14
§6.2 逆Z变换
jImz • 序列x(n)的Z变换及逆Z变换为
Rez
X ( z ) Z [ x(n)]
R
x(n) Z [ X ( z )]
-1
1 2j
X ( z ) z dz
n 1
1 d s n 1 s 1 ( z zm ) X ( z ) z ( s 1)! dz z zm
s 1
S=1 Re s[ X ( z ) z ]z zm ( z zm ) X ( z ) z
n 1
n 1
z zm
16
• 例 求X(z)=z2/(z-1)(z-0.5), |z|>1的逆变换 • 解 ∵ 1 z n 1
25
Z [u (n N )] z
Z
• 例 2. 求宽度为N的方波序列N(n)的z变换 • N(n)=1， 0 n N-1, 其他为 0 • 解 N(n)=u(n)-u(n-N) • ∵ Z[u(n)]=z/(z-1), |z|>1 • 根据位移性质有 • z
2z z 1
z z 0.5
n
21
x(n) (2 0.5 )u (n)
§6.3 Z变换的基本性质
• • • • • 单边Z变换的性质 1. 线性 若 Z[x(n)]=X(z), Rx1<|z|<Rx2 Z[y(n)]=Y(z), Ry1<|z|<Ry2 则 Z[ax(n)+by(n)]=aX(z)+bY(z), R1<|z|<R2, 或 max(Rx1,Ry1)<|z|<min(Rx2,Ry2) • 即两个收敛域的重叠部分
Z [u (n)] u (n) z
n 0
n
z
n 0
n
Z [u (n)]
1 1 z
1
z z 1
, z 1
3
• (3) 斜变序列 nu(n) • ∵ n ∴ 1
z
n 0
1 z
1
, z 1
n( z