高中数学 4.1.1直角体系课件 苏教版选修4-4
高中数学选修4-4解答题
选修4-4一、解答题1.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin （θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．2.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．3.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．4.在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）-=0，M为l3与C的交点，求M的极径．5.已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．6.已知直线l的参数方程为 (t为参数),曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ=1.（1）求曲线C的直角坐标方程.（2）求直线l被曲线C截得的弦长.7.将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y-2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．8.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，求线段AB的长．9.在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：，C3：。
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
苏教版高中数学选修4-4：参数方程的应用_课件3
标
(1)x＋y的最大值；
课
(2)x2＋y2的取值范围．
堂
课
互
时
动
作
探
【思路探究】 本题表面上看是代数题，但由于方程 业
究
3x2＋2y2＝6x可以表示一个椭圆，故可以用椭圆的参数方程
来解．
菜单
课 前 自
【自主解答】
方程3x2＋2y2＝6x，即(x－1)2＋
y2 3
＝1.设
当 堂 双
主
2
基
导
达
学 x＝1＋cos θ，
动
作
探 究
因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x－y＋4＝0， 业
所以点P在直线l上．
菜单
课 前 自
(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为( 3cos α， sin α)，
当 堂 双
主
从而点Q到直线l的距离为
导 学
d＝|
3cos α－sin α＋4| 2
基 达 标
＝2cosα＋π6＋4
(α为参
课
互
时
动 探
数)．其中，参数α的几何意义是以圆心A(a，b)为顶点，且与
作 业
究
x轴同向的射线按逆时针方向旋转到圆上一点P所在半径成的
角．
菜单
课
当
前
堂
自 主
2．椭圆的参数方程
双 基
导
达
学
椭圆的参数方程的常见形式为xy＝ ＝abcsions
θ， θ
标
课
(θ为参数)．
堂
课
互
时
动
作
探
业
菜单
课
当
前
高中数学 选修4-4 1.坐标系
1.坐标系
教学目标班级______姓名_________
1.了解常见的坐标系.
2.了解坐标法，并能运用解决相关问题.
教学过程
一、知识要点.
1.坐标系：坐标系是联系几何与代数的桥梁；是数形结合的有力工具；利用坐标系可以使数与形相互转化.
2.常用坐标系：①数轴、平面直角坐标系、空间直角坐标系；②极坐标系（重点）、柱坐标系、球坐标系.
3.坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系，这就是研究几何问题的坐标法.
二、例题分析.
1.运用坐标法解决实际问题.
例1：某信息中心O接到位于正西、正北、正东方向三个观测点A、B、C的报告：A、B 两个观测点同时听到一声巨响，C观测点听到巨响声的时间比它们晚4s. 已知各观测点到信息中心的距离都是1020m. 试确定巨响发生的位置.（假设声音传播速度为340m/s，各观测点均在同一平面上）
练1：已知ABC ∆的三边a ，b ，c 满足2225a c b =+，BE ，CF 分别是边AC ，AB 上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE 与CF 的位置关系.
作业：1.两个定点的距离为6，点M 到这两个定点的距离的平方和为26，求点M 的轨迹.
2.已知点A 为定点，线段BC 在定直线l 上滑动，已知4||=BC ，点A 到直线l 的距离为3，求ABC ∆外心的轨迹方程.。
高中数学选修4-4坐标系
1 3 1 2
得
x
1 3
x
y
1 2
y
2.在同一直角坐标系下经过伸缩变换
x y3x yFra bibliotek后，曲线C变为 x2 9y2 9，求曲线C的方程并画出
图形。
2.解：将xy3yx代入x2 9y2 9
得9x29y2 9即x2 y2 1
课堂小结：
（1）体会坐标法的思想，应用坐标 法解决几何问题；
（2）掌握平面直角坐标系中的伸缩 变换。
(4)定义法：若动点满足已知曲线的定义，可先设方程 再确定其中的基本量．
3．在掌握求曲线轨迹方程的一般步骤的基础上还要注 意：
(1)选择适当的坐标系，坐标系如果选择恰当，可使解 题过程简化，减少计算量．
(2)要注意给出曲线图形的范围，要在限定范围的 基础上求曲线方程．如果只求出曲线的方程，而 没有根据题目要求确定出x、y的取值范围，最后 的结论是不完备的．
在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标x不变， 将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。
设点P（x,y）经变换得到点为 p x, y
x x
y
3
y
2
通常把 2 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸 长变换。
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线 y=3sin2x? 写出其坐标变换。
一、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系
思考:
思考:
思考:
探究
根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则： （1）如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点； （2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； （3）使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。
二.平面直角坐标系中的伸缩变换
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高中数学新课标苏教版教材目录数学1第1章集合§1.1集合的含义及其表示§1.2子集、全集、补集§1.3交集、并集第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.1函数的概念和图象§函数的概念和图象§函数的表示方法§函数的简单性质§映射的概念§2.2指数函数§分数指数幂§指数函数§2.3对数函数§对数§对数函数§2.4幂函数§2.5函数与方程§二次函数与一元二次方程§用二分法求方程的近似解§2.6函数模型及其应用数学2第3章立体几何初步§3.1空间几何体§棱柱、棱锥和棱台§圆柱、圆锥、圆台和球§中心投影和平行投影§直观图画法§空间图形的展开图§柱、锥、台、球的体积§3.2点、线、面之间的位置关系§平面的基本性质§空间两条直线的位置关系§直线与平面的位置关系§平面与平面的位置关系第4章平面解析几何初步§4.1直线与方程§直线的斜率§直线的方程§两条直线的平行与垂直§两条直线的交点§平面上两点间的距离§点到直线的距离§4.2圆与方程§圆的方程§直线与圆的位置关系§圆与圆的位置关系§4.3空间直角坐标系§空间直角坐标系§空间两点间的距离数学3第5章算法初步§5.1算法的意义§5.2流程图§5.3基本算法语句§5.4算法案例第6章统计§6.1抽样方法§6.2总体分布的估计§6.3总体特征数的估计§6.4线性回归方程第7章概率§7.1随机事件及其概率§7.2古典概型§7.3几何概型§7.4互斥事件及其发生的概率数学4第8章三角函数§8.1任意角、弧度§8.2任意角的三角函数§8.3三角函数的图象和性质第9章平面向量§9.1向量的概念及表示§9.2向量的线性运算§9.3向量的坐标表示§9.4向量的数量积§9.5向量的应用第10章三角恒等变换§10.1两角和与差的三角函数§10.2二倍角的三角函数§10.3几个三角恒等式数学5第11章解三角形§11.1正弦定理§11.2余弦定理§11.3正弦定理、余弦定理的应用第12章数列§12.1等差数列§12.2等比数列§12.3数列的进一步认识第13章不等式§13.1不等关系§13.2一元二次不等式§13.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题§13.4基本不等式选修系列11-1第1章常用逻辑用语§1.1命题及其关系§1.2简单的逻辑联结词§1.3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程§2.1圆锥曲线§2.2椭圆§2.3双曲线§2.4抛物线§2.5圆锥曲线的共同性质第3章导数及其应用§3.1导数的概念§3.2导数的运算§3.3导数在研究函数中的应用§3.4导数在实际生活中的应用1-2第1章统计案例§1.1独立性检验§1.2线性回归分析第2章推理与证明§2.1合情推理与演绎推理§2.2直接证明与间接证明第3章数系的扩充与复数的引入§3.1数系的扩充§3.2复数的四则运算§3.3复数的几何意义第4章框图§4.1流程图§4.2结构图选修系列22-1第1章常用逻辑用语§1.1命题及其关系§1.2简单的逻辑连接词§1.3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程§2.1圆锥曲线§2.2椭圆§2.3双曲线§2.4抛物线§2.5圆锥曲线的统一定义§2.6曲线与方程第3章空间向量与立体几何§3.1空间向量及其运算§3.2空间向量的应用2-2第1章导数及其应用§1.1导数的概念§1.2导数的运算§1.3导数在研究函数中的应用§1.4导数在实际生活中的应用§1.5定积分第2章推理与证明§2.1合情推理与演绎推理§2.2直接证明与间接证明§2.3数学归纳法第3章数系的扩充与复数的引入§3.1数系的扩充§3.2复数的四则运算§3.3复数的几何意义2-3第1章计数原理§1.1两个基本原理§1.2排列§1.3组合§1.4计数应用题§1.5二项式定理第2章概率§2.1随机变量及其概率分布§2.2超几何分布§2.3独立性§2.4二项分布§2.5离散型随机变量的均值与方差§2.6正态分布第3章统计案例§3.1独立性检验§3.2线性回归分析主要编写人员情况主编单墫副主编李善良陈永高主要编写人员数学与应用数学方面：单墫陈永高苏维宜蒋声丁德成洪再吉许道云孙智伟李跃文王晓谦尤建功秦厚荣唐忠明钱定边傅珏生葛福生夏建国孙智伟汪任观数学教育与数学史方面：李善良赵振威葛军徐稼红周焕山朱家生高中数学教师与教研员：仇炳生冯惠愚张乃达祁建新樊亚东石志群董林伟张松年陈光立陆云泉孙旭东于明寇恒清王红兵卫刚单墫 1943年生，南京师范大学数学系教授，博士生导师，享受政府特殊津贴。
苏教版高二数学选修4-4 平面坐标系中几种常见变换 学案
4.3 平面坐标系中几种常见变换1．平移变换在平面直角坐标系中，设图形F 上任意一点P 的坐标为(x ，y )，向量a ＝(h ，k )，平移后的对应点为P ′(x ′，y ′)，则有x h x y k y '+=⎧⎨'+=⎩2．伸缩变换一般地，由(0)kx x k y y '⎧>⎨'⎩＝，＝所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k 向着y 轴的伸缩变换(当k ＞1时，表示伸长；当0＜k ＜1时，表示压缩)，即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k 倍(这里，P (x ，y )是变换前的点，P ′(x ′，y ′)是变换后的点)． 预习交流1．由(0)x xk kyy '⎧>⎨'⎩＝，＝所确定的伸缩变换的意义是什么？提示：曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的k 倍．2．由(0)kx x k ky y '⎧>⎨'⎩＝，＝所确定的伸缩变换的意义是什么？ 提示：曲线上所有点的横坐标、纵坐标都变为原来的k 倍．一、平移变换 (1)把点A (－2,1)按a ＝(3,2)平移，求对应点A ′的坐标(x ′，y ′)．(2)点M (8，－10)按a 平移后的对应点M ′的坐标为(－7,4)，求a .解：(1)由平移公式得231123x y '⎧⎨'⎩＝－＋＝，＝＋＝，，即对应点A ′(1,3)． (2)由平移公式得78410h k ⎧⎨⎩－＝＋，＝－＋，解得1514h k ⎧⎨⎩＝－，＝，即a 的坐标为(－15,14)．将函数y ＝2x 的图象l 按a ＝(0,3)平移到l ′，求l ′的解析式．解：设P (x ，y )为l 上的任意一点，它在l ′上的对应点为P ′(x ′，y ′)，由平移公式得03x x y y '⎧⎨'⎩＝＋，＝＋，∴ 3.x x y y '⎧⎨'⎩＝，＝－ 将它们代入y ＝2x 得y ′－3＝2x ′，∴l ′的解析式为y ＝2x ＋3.正确运用平移变换的公式是解决平移问题的关键．二、伸缩变换在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换23x x y y'⎧⎨'⎩＝，＝后的图形． (1)2x ＋3y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1. 解：(1)由伸缩变换23,x x y y '⎧⎨'⎩＝，＝得1',21',3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入2x ＋3y ＝0得到方程为x ′＋y ′＝0. 所以经过伸缩变换23,x x y y '⎧⎨'⎩＝，＝后，直线2x ＋3y ＝0得到直线x ′＋y ′＝0. (2)将1',21'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入x 2＋y 2＝1得到方程x ′24＋y ′29＝1，所以经过伸缩变换22x x y y '⎧⎨'⎩＝，＝后，圆x 2＋y 2＝1得到椭圆x ′24＋y ′29＝1.在平面直角坐标系中，椭圆x 24＋y 29＝1经过伸缩变换1',21'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩后，得到什么图形？ 解：由1',21'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得23x x y y '⎧⎨'⎩＝，＝，，代入x 24＋y 29＝1得到x ′2＋y ′2＝1. 所以经过伸缩变换1',21'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩后，椭圆x 24＋y 29＝1变为圆x ′2＋y ′2＝1. 在伸缩变换12k x x k y y '⎧⎨'⎩＝，＝下，直线仍然是直线，而圆可变为椭圆，椭圆也可变为圆．1．点P (3，－2)按a ＝(1，－4)平移后得点P ′的坐标为__________．答案：(4，－6)2．点P (3,1)按a 平移至点Q (1,3)，则a ＝__________.答案：(－2,2)3．点A (1,2)经过伸缩变换23x x y y'⎧⎨'⎩＝，＝后，得点A ′的坐标为__________． 答案：(2,6) 4．点(x ，y )经过伸缩变换1',2'3x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩后的点的坐标是(－2,6)，则x ＝__________，y ＝__________.答案：－4 25．将曲线x 2－9y 2＝27向着x 轴进行伸缩变换，伸缩系数k ＝3.解：伸缩变换为3x x y y '⎧⎨'⎩＝，＝，则',1',3x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，代入x 2－9y 2＝27，得x ′2－y ′2＝27. 所以经过伸缩变换',3'x x y y =⎧⎨=⎩后，双曲线x 2－9y 2＝27变为双曲线x ′2－y ′2＝27.。
(完整版)高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点总结
坐标系与参数方程 知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩g g 的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩222tan (0)x y yx xρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程曲线 图形 极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆(02)r ρθπ=≤<圆心为(,0)r ,半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆2sin (0)r ρθθπ≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或 (2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)
返回
x2 y2 5．求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线 ＋ ＝1 变成 4 9 x′2 y′2 曲线 ＋ ＝1. 16 9 x′＝λx，λ>0， x′2 y′2 解：设变换为 代入方程 ＋ ＝1， 16 9 y′＝μy，μ>0，
λ2x2 μ2y2 x2 y2 得 ＋ ＝1，与 ＋ ＝1 比较系数， 16 9 4 9 λ2 1 μ2 1 得 ＝ ， ＝ ，得 λ＝2，μ＝1. 16 4 9 9
x′＝3x ∴ y′＝2y
，即将圆 x2＋y2＝1 上所有点横坐标变为原
x′2 y′2 来的 3 倍，纵坐标变为原来的 2 倍，可得椭圆 ＋ ＝1. 9 4
返回
坐标伸缩变换
x′＝λx φ： y′＝μy
λ＞0 注意变换中的系 μ＞0
数均为正数．在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变， 即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐标 伸缩变换 φ 可以求变换前和变换后的曲线方程． 已知前换 前后曲线方程也可求伸缩变换 φ.
返回
2．平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的 伸缩变换就可归纳为 坐标 伸缩变换，这就是用 代数方法 研 究 几何 变换．
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点 P(x，y)是 平面直角坐标系中任意一点， 在变换
x′＝λxλ＞0 φ： y′＝μyμ＞0
x′＝2x ∴ y′＝y
x2 y2 ，即将椭圆 ＋ ＝1 上所有点横坐标变为原来 4 9
x′2 y′2 的 2 倍，纵坐标不变，可得椭圆 ＋ ＝1. 16 9
返回
6．求 4x －9y ＝1 方程．
2
2
x′＝2x 经过伸缩变换 y′＝3y
选修4-4 1.2 极坐标系
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
例1. 将点M的极坐标
2 (5, ) 3
5 5 3 ) 所以, 点M的直角坐标为( , 2 2
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
5 6
C E D O B A X
4
4 3
F
G
5 3
特别规定： 当M在极点时，它的 极坐标=0，可以取任意值。
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
三、点的极坐标的表达式的研究
如图：OM的长度为4， 4 请说出点M的极坐标的其 他表达式。 O X 思：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角 思考：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相同。也 就是说它们是终边相同的角。
π 2kπ+ 4 本题点M的极坐标统一表达式：4，
C (5,0) E ( 3,3)
D (0,2)
π），（3， ） π 例3 已知两点（2，
求两点间的距离.
用余弦定理求 AB的长即可.
3
π 解：∠AOB =
6
B
A
2
推广： 在极坐标下，任意两点P ( 1 ,1 ), P2 ( 2 , 2 ) 1
o
x
之间的距离可总结如下：
2 PP2 12 2 2 1 2 cos(1 2 ) 1
苏教版高二数学选修4-4极坐标与三维空间
极坐标与三维空间
极坐标系可被扩展到三维空间中，形成圆柱坐标系和球形坐标系两个不同的坐标系。
圆柱坐标系
与将直角坐标系扩展为三维的方法相似，圆柱坐
标系是在二维极坐标系的基础上增添了第三条
用于测量高于平面的点的高度的坐标所构成的。
这第三条坐标通常表示为h。
所以圆柱坐标表示
为（r, θ, h）。
通过以下公式，圆柱坐标可用直角坐标表达：
图柱坐标上的两点
球坐标系
球坐标系也可以运用坐标（ρ, φ, θ）扩展为三
维，其中ρ是距离球心的距离，φ是距离z轴
的角度（称作余纬度或顶角，角度从0到180°），
θ是距离x轴的角度（与极坐标中一样）。
这个
坐标系被称作球坐标系，与用于地球的经度和
纬度相似，纬度就是余角φ，取决于δ＝90°－
φ，经度可通过l=θ-180°算得。
通过以下公式，球坐标可用直角坐标表达：
球坐标表示的一个点P。
高中数学选修4-1(高考全部内容)课件
收敛性与发散性
讨论数列或函数的收敛性和发散 性的判断条件。
导数与微分
研究导数的定义、性质以及与函数的变化率和图像特征的关系。
1 导数的定义
介绍导数的几何和物理意义，以及求导的基本方法。
2 导数的性质
探索导数的四则运算法则，以及函数特性与导数的关系。
3 导数的应用
讨论导数在最值问题、曲线绘制与切线斜率等方面的应用。
物理应用
讨论定积分在物理问题中的应用， 如质量、重心、物体受力等。
导数应用
应用导数的概念和性质解决相关问题，包括弧长、曲率、变化率与极值等。
弧长
通过导数求解曲线弧长及相关 问题。
曲率
研究导数与曲线曲率的关系， 解决曲率相关问题。
变化率
利用导数分析函数的变化速率 及相应应用。
不定积分
研究不定积分的定义、计算方法以及与原函数的关系，以及简单的应用。
1
不定积分的定义
讨论三角函数的周期性、奇 偶性以及其他重要性质。
三角函数的应用
探索三角函数在几何学中的 应用以及在实际问题中的意 义。
数列和函数的极限
研究数列和函数的极限概念，以及与收敛性、发散性以及无穷大、无穷小的关系。
数列的极限
介绍数列极限的定义与性质，以 及计算极限的方法。
函数的极限
探索函数极限的定义与性质，以 及极限存在性的判断。
介绍不定积分的定义与基本性质。
2
计算不定积分
探讨常见函数的不定积分计算方法，包括换元法、分部积分法等。
3
不定积分与原函数
讨论不定积分与原函数的关系及其应用。
定积分
研究定积分的定义、性质以及与面积、曲线长度、物理量等的关系。
定积分的定义
高中数学选修4-4直线的极坐标方程课件
练习：设点P的极坐标为A( a , 0) ，直 l 线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直 线l 的极坐标方程。 M 解：如图，设点 M ( , ) ﹚ 为直线 l 上异于的点 o A x 连接OM， 在MOA 中有
a sin( ) sin( ) 即
OM cos MOA OA 即 cos a 可以验证，点A的坐标也满足上式。
求直线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图； 2、设点 M ( , ) 是直线上任意一点； 3、连接MO； 4、根据几何条件建立关于 , 的方 程，并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求。
解：圆＝4 sin 的化为直角坐标方程是 x 2 y 2 4 y 0即x 2 ( y 2) 2 4 那么一条与此圆相切的 圆的方程为 x 2化为极坐标方程为 cos 2
7、曲线＝0，＝ ( 0)和＝4所围成的 3 面积 _________ .
5、在极坐标系中，已知 一个圆的方程为 6 直线的极坐标方程是( C
＝12 sin( )，则过圆心与极轴垂直 的
)
A、 sin 3 3B、 sin 3 3 C、 cos 3D、 cos 3
6、在极坐标系中，与圆 ＝4 sin 相切的一条 直线的方程是 ( B ) A、 sin 2, B、 cos 2 C、 cos 4, D、 cos 4
解：由图可知围成的面 积就是扇形AOB 的面积 1 2 8 即S 4 6 3
A
O
BXΒιβλιοθήκη sin( ) a sin
显然A点也满 足上方程。
小结：直线的几种极坐标方程 1、过极点 2、过某个定点，且垂直于极轴
选修4-4 1.2 极坐标系
原因在于：极角有无数个。
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一 对应了.
M O (ρ,θ)… X
极坐标和直角坐标的互化
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 )
对称性
( , )关于极轴的对称点为 ,2 ) (
关于极点的对称点为 , ) (
关于过极点且垂直与极 轴的直线的对称点 为( , )
小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位和 它的正方向。 [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种 表达式？ 无数，极角有无数个。 [3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有。（ρ，2kπ+θ）
( 3, 1)
化成极坐标.
（ ） 解: ( 3 ) 1 2
2 2
1 3 tan 3 3 7 因为点在第三象限, 所以 6 7 因此, 点M的极坐标为( 2, ) 6
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A ( 3, 3 )
B (1, 3 )
X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点 M，用 表示线段OM的 长度，用 表示从OX到 OM 的角度， 叫做点M 的极径， 叫做点M的极 角，有序数对（，）就 O 叫做M的极坐标。
M
X
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到 极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即 以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
y x y , tan ( x 0) x
高中数学选修4-4习题(含答案)
统考作业题目——4-46.21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数），以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。
曲线C 的极坐标方程为 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）已知点M 是曲线C 上任一点，求点M 到直线l 距离的最大值.2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同。
直线的极坐标方程为：，点，参数．（I ）求点轨迹的直角坐标方程； （Ⅱ）求点到直线距离的最大值．1、【详解】（1）12,2x t y t=+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-= 因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，所以222440x y x y ++++=，即22(1)(2)1x y +++= （2）因为圆心(1,2)--到直线10x y +-=距离为222=， 所以点M 到直线l 距离的最大值为2222 1.r +=+ 2、解：（Ⅰ）设，则，且参数，消参得：所以点的轨迹方程为（Ⅱ）因为所以所以，所以直线的直角坐标方程为法一：由（Ⅰ）点的轨迹方程为圆心为（0,2），半径为2．，点到直线距离的最大值等于圆心到直线距离与圆的半径之和， 所以点到直线距离的最大值．法二：当时，，即点到直线距离的最大值为．6.33．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，t 为参数）.(1)求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；(2)设P 为曲线上的动点，求点P 到上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.4．在直角坐标系xOy 中曲线1C 的参数方程为cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ （α为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 224πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.3、【详解】 （1）对曲线：，，∴曲线的普通方程为．对曲线消去参数可得且∴曲线的直角坐标方程为．又，从而曲线的极坐标方程为。
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确定
确定 确定
实数x 有序实数对(x, y) 有序实数组(x, y, z)
建立坐标系目的是确定点的位置. 求出此点在该坐标系中的坐标. 创建坐标系的基本原则： (1) 任意一点都有确定的坐标与它对应； (2) 依据一个点的坐标就能确定此点的位置.
数学运用
例1、选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正 六边形的顶点.
C y B
y
C
B
D E
O F
A
x
D
A
O
E
F
x
数学运用
例2. 某地区原计划经过B地沿着东北方向修建一条 高速公路，但在A村北偏西300方向距A村500m处， 发现一古代文物遗址W。经过初步勘察，文物管理 部门将遗址W周围200m范围划为禁区，已知B地 位于A村的正西方向1km 处，试问：修建高速公路 y y 和计划需要修改吗？ C 解决问题的关键： 确定遗址W与高速公路BC的 相对位置.
H B D G
O’
A x
C
数学运用
a ( x c), AC边上的高BO b a ac y ( x c) 所在直线的方程为x 0.解方程组 得垂心坐标H（0， ). b b x 0 AB边上的高CD所在直线的方程为y
b a a ( x ), 线段AC的垂直 2 b 2 b a a y (x ) ac 2 b 2 平分线所在直线的方程 x 为 .解方程组 得外心坐标 2 x a c 2 2 ' a c ac b 为O ( , ) 2 2b 线段AB的垂直平分线所在直线 的方程为y
(1) 点关于点对称： “中点问题”. (2) 点关于直线对称： “垂直平分”.
课堂小结
平面直角坐标系建系时，根据几何特点选 择适当的直角坐标系。
（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为 坐标原点； （2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐 标轴； （3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
课后作业
思考: 一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸的时间比 在B处晚2s，已知A、B两地相距800米，并且此 时的声速为340m/s,求曲线的方程。
数学运用
ac b a c ac b 2 a c 3ac b 2 向量O 'G＝（ , )( , ) ( , ) 3 3 2 2b 6 6b
ac a c ac b 2 a c 3ac b 2 向量O' H (0, ) ( , ) ( , ) b 2 2b 2 2b
因为向量O' H 3O 'G, 所以三角形的外心、重心、垂心 在一条直线上，且重心是连接外心、重心和垂心的一 个三等分点。
数学运用
例4、 已知点Q(a, b)，分别按下列条件求出点P的坐标： (1) P是点Q关于点M(m, n)的对称点； (2) P是点Q关于直线 l: x-y+4=0 的对称点.
W
500
0 0 B 45 1000 60 A x O O
数学运用
例3、求证：三角形的外心、重心、垂心在一条 直线上。 y
解 ：建立如图所示坐 标系， 设A（a,0), B(0, b)C (c,0), 三角形 ABC的外心、重心和垂心分 别 a0c ' 为O , G各H。则有x G , 3 0b0 yG 即重心坐标为 3 ac b G（ , ). 3 3