行列式Gramer法则
克莱姆法则的证明及应用
克莱姆法则的证明及应用克莱姆法则（Cramer's rule）是线性代数中的一个重要定理，它提供了一种求解线性方程组的方法。
克莱姆法则的证明可以通过矩阵的行列式理论进行推导，并且可以应用于求解n个未知数的n个线性方程组。
下面我们将详细介绍克莱姆法则的证明以及其应用。
证明：假设有一个n个未知数的线性方程组，可以表示为Ax=b，其中A为一个n阶方阵，x为未知数向量，b为常数向量。
1.首先，我们求解方阵A的逆矩阵A^-12.接下来，我们用行列式的形式表示方程组的解x_i。
(1)当i=1时，我们将方程组的第i列替换为常数列b，得到矩阵A_i。
(2) 计算矩阵A_i的行列式det(A_i)，并用方程组的解x_i表示为x_i=det(A_i)/det(A)。
3.重复步骤2，直到求解出n个方程的解x_1,x_2,...,x_n。
通过上述步骤，我们证明了克莱姆法则。
应用：1.求解2x2线性方程组：当线性方程组只包含两个未知数时，可以直接应用克莱姆法则求解。
例如，对于方程组：a₁x+b₁y=c₁a₂x+b₂y=c₂其中a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂为已知常数，求解x和y的值可以通过下面的公式计算：x=(c₁b₂-b₁c₂)/(a₁b₂-b₁a₂)y=(a₁c₂-c₁a₂)/(a₁b₂-b₁a₂)2.求解3x3线性方程组：对于包含三个未知数的线性方程组，同样可以利用克莱姆法则进行求解。
例如，对于方程组：a₁x+b₁y+c₁z=d₁a₂x+b₂y+c₂z=d₂a₃x+b₃y+c₃z=d₃其中a₁、b₁、c₁、d₁等为已知常数，可以通过克莱姆法则计算x、y、z 的值。
3.求解特殊矩阵的逆矩阵：4.分析线性方程组的可解性：总结：克莱姆法则是一种求解线性方程组的有效方法，其基本思想是通过行列式运算推导出方程组的解。
克莱姆法则的证明可以通过矩阵的行列式理论进行推导，其应用范围广泛，可以用于求解不同数量未知数的线性方程组，也可以应用于求解特殊矩阵的逆矩阵和判断线性方程组的可解性。
chapter行列式与克拉默法则
性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式为零．
证明 a11 a12 a1n
a11
a12 a1n
ai1
a i 2 a in
a i 1 a i 2 a in
k 0. kai 1 kai 2 kain a i 1 a i 2 a in a n1 a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn
称为元素aij的余子式, 记为M ij ; 而Aij ( 1) i j M ij 称为aij的代数余子式 .
定义4.
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n 2 由n 个数组成的n 阶行列式 D
是一个算式，且 n1 a11 , n D , a A a A a A a A , n 1 1 j 1 j 11 11 12 12 1 n 1 n j 1
a31
a11 ( 1)11 M11 a12 ( 1)1 2 M12 a13 ( 1)1 3 M13
a11 A11 a12 A12 a13 A13
称M11 , M12 , M13和A11 , A12 , A13分别是 a11 , a12 , a13的余子式和代数余子式 .
Chapter 1(2)
行列式与克拉默法则
教学要求：
1. 了解行列式的定义和性质; 2. 掌握三阶、四阶行列式的计算法， 会计算简单的n阶行列式; 3. 了解排列与对换; 4. 会用克拉默(Gramer)法则解线性方程组.
一. 行列式的定义
二. 行列式的性质 三. 行列式的计算举例
四. 方阵乘积的行列式
其一、利用行列式的性质，或通过将行列式化为 三角行列式来计算行列式的值.
大学线性代数-克莱姆(Gramer)法则
齐次线性方程组; 若常数项 b1 , b2 ,, bn 全为零 , 此时称方程组为齐次线性方程组.
二、 Gramer法则
定理1 如果线性方程组 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn
记
b1 D1 b2 b3
a12 a22 a32
a13 a23 , a33 a13 a23 , a33
a11 D3 a21 a31 a12 a22 a32 b1 b2 . b3
a11 b1 D2 a21 b2 a31 b3
用D中第1列元素的代数余子式 A11 , A21 , A31 依次乘方程组的3个方程
的两边
a11 x1 a12 x2 a13 x3 A13 b1 A13 得 a21 x1 a22 x2 a23 x3 A23 b2 A23 a31 x1 a32 x2 a33 x3 A33 b3 A33
将3个方程的两边相加，得
(a11 A13 a21 A23 a31 A33 ) x1 (a12 A13 a22 A23 a32 A33 ) x2 (a13 A13 a23 A23 a33 A33 ) x3 b1 A13 b2 A23 b3 A33
由代数余子式的性质可知, 上式中x3的系数等于D ,
解
3 5 2 0 3 0 D 1 1 1 1 1 3
1 4 67 1 2
0,
由上页 3 4 D1 11 6 56
5 2 3 0 1 1 1 3
1 4 1 2
行列式克莱姆法则
利用克莱姆法则，可以将一个行列式表示为一个数值，通过计算该数值即可得到行列式的值。这种方法适用于系 数行列式不为零的情况，可以简化行列式的计算过程。
实例三：解的唯一性验证
总结词
克莱姆法则可以用于验证线性方程组解的唯一性。
详细描述
通过计算系数矩阵的行列式，利用克莱姆法则判断解的唯一性。如果行列式不为零，则线性方程组有 唯一解；如果行列式为零，则线性方程组可能无解或有无穷多解。这种方法可以用于判断线性方程组 解的情况，为求解问题提供依据。
03 适用范围
研究克莱姆法则的适用范围，探索其在更广泛领 域的应用可能性。
应用领域的拓展
数值分析
将行列式克莱姆法则应用于数值分析中，解决 大规模线性方程组的求解问题。
科学计算
将克莱姆法则与其他科学计算方法相结合，提 高计算效率和精度。
工程领域
将克莱姆法则应用于工程领域，解决实际工程问题，如结构分析、流体动力学 等。
线性方程组解的唯一性条件是克莱姆法则应用的 重要前提之一，它确保了线性方程组的解是唯一 的，从而使得行列式中的每个子式可以代表一个 唯一的解向量。
03
克莱姆法则的推导过程
推导步骤一：行列式的计算
计算行列式的值
根据行列式的定义，按照行或列展开，计算得到行列 式的值。
展开方式的选择
选择合适的展开方式，使得计算过程简化，提高计算 效率。
计算方法的改进
算法优化
优化克莱姆法则的计算方法，提高计算效率，减少计算量。
并行计算
利用并行计算技术，实现克莱姆法则的高效计算，处理大规模数 据。
软件实现
开发适用于克莱姆法则的软件或库，方便用户进行实际应用和计 算。
THANKS
121行列式克莱姆法则 75页PPT文档
当 a1a 1 22 a1a 2 21 0时方， 程组的解为 x1 ab111aa2222aa1122ba221，x2aa 11a 1b 1 222 a b1 1aa 2 2211.
a n 1 a n 2 a nn
a n 1 a n 2 a nn
性质6. 如果行列式的某一行(列)的元素可
表示成两项和的形式,则此行列式可表示成
两个行列式之和.
例如
a11 a12 (a1i a1i) a1n
Da21 a22 (a2i a2i) a2n
an1 an2 (anian i) ann
4 6 3 4 2 8 24 1.4
11 1 例3 求解方程2 3 x 0.
4 9 x2 解 方程左端
D 3 x 2 4 x 1 9 x 8 2 x 2 12
x25x6,
由x25x0解得 x2或 x3.
补充定义一阶行列式为：a11 a11
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
记
a31 a32 a33
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23 a 1a 1 2a 2 3 3a 1a 2 2a 3 3 1a 1a 3 2a 1 32(6)
a 31 a 32 a 33
a 1a 1 2a 3 3 2a 1a 2 2a 1 3 3a 1a 3 2a 2 3,1
二阶行列式的计算 对角线法则
主对角线 a11 次对角线 a12
a12 a11a22a12a21.
行列式计算及克莱姆法则课件
02
克莱姆法则
克莱姆法则的概述
01 02
克莱姆法则定义
克莱姆法则是线性代数中的一个基本法则，用于解决线性方程组的问题 。它指出，对于一个给定的线性方程组，如果系数矩阵的行列式不为零 ，则该方程组有唯一解。
线性方程组解的判定定理
唯一解判定定理
当系数矩阵A的行列式值 不为0时，线性方程组有唯 一解。
无解判定定理
当系数矩阵A的行列式值 为0且不满秩时，线性方程 组无解。
无数解判定定理
当系数矩阵A的行列式值 为0且满秩时，线性方程组 有无数解。
04
矩阵的逆与行列式的关 系
矩阵的逆的定义与性质
定义
设矩阵A是一个n阶方阵，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I（单位矩阵） ，则称B是A的逆矩阵。
利用伴随矩阵的性质计算逆矩 阵。
迭代法
利用迭代公式计算逆矩阵。
分块法
对于大型矩阵，可以将矩阵分 块处理，然后分别求出各块的 逆矩阵，再组合起来得到原矩
阵的逆矩阵。
05
总结与展望
行列式计算及克莱姆法则的重要性和应用领域
线性代数基础
行列式计算是线性代数中的基础概念 ，对于理解矩阵、向量等概念至关重 要。
数值分析
行列式计算在数值分析中有着广泛的 应用，例如在求解线性方程组、计算 特征值和特征向量等方面。
工程领域
在工程领域中，行列式计算是解决各 种实际问题的关键工具，如结构分析 、流体动力学等。
行列式的计算及克莱姆法则.ppt
定理1.3 已知有n个线性方程式构成的n元齐次 线性方程组
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
ann xn 0
如果有非零解，则系数行列式D=0； 如果系数行列式D=0，则有非零解。
4 (1)21 5 3 (1)22 6 2 (1)23 7 1 (1)24 8 8
70 40
例3 计算四阶行列式 1 0 5 2
3 1 1 6
80 50
70 40
1 0 5 2 （按第2列展开）
解：3 1 1 6 ======== 0 A12 0 A22 (1) A32 0 A42
例7 计算n阶行列式
000 b00
0 0
1 0
00 00 ab 0a
§1.4 克莱姆法则
行列式的一个重要应用就是解线性方程组。 本节我们就从最简单的二元线性方程组入手， 讨论如何运用行列式解线性方程组。
对于二元线形方程组
aa1211xx12
a12 x2 a22 x2
b1 b2
当 a11a22 a12a21 0 时，此线形方程组仅有唯一 解
564
a11 a12 a13 对于三阶行列式 a21 a22 a23
a31 a32 a33
三组同学分别计算
第一组：a11 A11 a12 A12 a13 A13 第二组：a21 A21 a22 A22 a23 A23 第三组：a31 A31 a32 A32 a33 A33
结论：
定理1.2 n阶行列式D等于它的任意一行（列） 各元素与其代数余子式乘积之和，即
x1
行列式的性质克莱姆法则和行列式的逆序定义PPT课件
x1 4x2 7x3 6x4 0
解：
2 1 5 1
0 7 5 13
1 3 0 6 (2) (1) 1 3 0 6
D
0 2 1 2
0 2 1 2
1 4 7 6
0 7 7 12
第14页/共32页
7 5 13 3 5 3 3 3
2 1 2 0 1 0
27,
7 2
7 7 12 7 7 2
五、主要结论
定理：对换改变排列的奇偶性。
第22页/共32页
分析： 1.相邻对换
设某一n级排列：
ij ji
除i和 j相对位置改变外，其余任两数顺序都没改变，
逆序增加或减少一个。
结论：相邻对换改变排列的奇偶性。
2.一般对换
奇数次
共经过 2次s+相1 邻对换。
ik1k2 ks j jk1k2 ksi
N (i1i2 in ) i11 i2 2
ainn
an1 an2 ... ann
(1) a a a N (i1i2in )N ( j1 j2jn )
i1 j1 i2 j2
in jn
i1i2in
j1 j2 jn
练习：课本11页第1题第（3）、（4）题，第3题，
第4题。
第31页/共32页
感谢您的观看！
第17页/共32页
（推论1的逆否命题）
推论2：若齐次线性方程组(1)有非零解，则其系数
行列式D . 0
例：若方程组
x1 2x1
x2
x2
2x3 0 有3非x3零解0 ，求
.
2x1 2x2 2x3 0
解：方程组有非零解时
D0
1 1 2 2 (2) 1 1 2
线性代数-克莱姆(Gramer)法则
a31 x1 a32 x2 a33 x3 A32 b3 A32
将3个方程的两边相加，得
(a11 A12 a21 A22 a31 A32 ) x1 (a12 A12 a22 A22 a32 A32 ) x2 (a13 A12 a23 A22 a33 A32 ) x3 b1 A12 b2 A22 b3 A32
0 67
0,
x4
D4 D
67 67
1.
定理1 如果线性方程组1的系数行列式 D 0, 则 1一定有解,且解是唯一的 .
推论： 如果线性方程组 1 无解或有两个不同的
解，则它的系数行列式必为零.
二、重要定理
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
定理2 齐次线性方程组
a21
x1
a22
解线性方程组
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 其中系数行列式 D a21 a22 a23 0,
a31 a32 a33
由
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
21 8 1
由上 页
1 D3 0
3 2
9 5
6 2
14 0 6
27,
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
27,
x1
D1 D
81 27
3,
x2
D2 D
108 27
4,
x3
D3 D
27 27
1,
x4
D4 D
27 27
1.
第十八讲 Gramer法则及行列式的几何意义
18.1 引言这次课我们考虑行列式的几个应用.我们需要以下定理.定理：行列式某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即18.1 引言理解：18.1 引言综合定理及推论得“代数余子式的重要性质”：例：设计算18.1 引言例：设求和分析：注意到第二、第四行元素的特点，利用行列式按某行展开定理的推论，将与分别看成整体，列方程组求解.解：18.2.1 求逆矩阵公式设可逆，构造如下矩阵，称为的伴随矩阵(adjoint of ).的代数余子式矩阵.18.2.1 求逆矩阵公式例：18.2.1 求逆矩阵公式定理：设可逆，则上例：18.2.1 求逆矩阵公式证明：其中，18.2.1 求逆矩阵公式由引言中定理，故18.2.1 求逆矩阵公式例：若是一个阶阵，求的秩的可能性.解：故的列属于的零空间.而，且存在故的任意阶子矩阵不可逆.18.2.2 线性方程组的公式解设 为可逆方阵， 我们来学习 的解的公式.写成行列式的形式(难于记忆)18.2.2 线性方程组的公式解一般地，不使用行列式，公式将非常复杂.定理(Cramer’s rule)：设可逆，如上，令是将的第列换成向量后的矩阵. 则的唯一解为18.2.2 线性方程组的公式解例：解：18.2.2 线性方程组的公式解定理的证明：可逆，的唯一解是18.2.2 线性方程组的公式解考虑矩阵则的行列式可沿着第列展开，的代数余子式恰好是即因此考虑右图平行四边形的面积为方向：或取决于向量逆(顺)时针转到的有向面积18.3 计算有向长度、面积和体积三维情形：一个三阶矩阵的行列式围成的平行六面体的有向体积.18.3 计算有向长度、面积和体积特别地，若在平面上，则我们有如下推论.推论：平面上三点围成三角形的面积为18.3 计算有向长度、面积和体积证明：令为张成平行四边形面积.18.3 计算有向长度、面积和体积特别地，若和所在平面垂直，则可以通过行列式计算围成平行四边形的面积.设线性无关. 求一个向量使得18.3 计算有向长度、面积和体积设则即令则无关，可逆.18.3 计算有向长度、面积和体积其中，18.3 计算有向长度、面积和体积于是我们有平行四边形面积平行六面体的体积(高 )号：的选取有两种可能.18.3 计算有向长度、面积和体积定义：给定两个向量是一个和均垂直的向量，且形成一个右手系，等于围成的平行四边形的面积. 称为和的叉积(cross product)或外积(exterior product).18.3 计算有向长度、面积和体积定理：记作是轴上单位向量.性质：1.2.18.3 计算有向长度、面积和体积例：验证例：18.3 计算有向长度、面积和体积注：的三个坐标是和在三个坐标平面上的投影向量形成的平行四边形的面积. 例如是在平面上的投影面积.定义：给定三个向量它们的混合积或三重积(triple product)定义为即和的点积.18.3 计算有向长度、面积和体积定理：实际上，18.3 计算有向长度、面积和体积推论一：推论二：形成平行六面体的有向体积.在一个平面上推论三：1.过两点的直线方程为2.过三点的平面方程为18.3 计算有向长度、面积和体积推论三的证明：1. 共线共面.2.在所在平面共面.18.4 和QR分解的联系设可逆.Gram-Schmidt正交化给出是的长度.是平行四边形关于底上的高.是平行六面体在形成的底上的高.平行六面体体积绝对值.18.4 和QR分解的联系给定前面我们使用外积计算了形成的平行四边形的面积. 这里我们使用分解.令设线性无关( 列满秩).高定理：。
第二章知识点总结(高等代数)
第二章行列式知识点总结一行列式定义1、n 级行列式111212122212n n ijnn n nna a a a a a a a a a =L LM M M L（1）等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a L （2）的代数和，这里12n j j j L 是一个n 级排列。
当12n j j j L 是偶排列时，该项前面带正号；当12n j j j L 是奇排列时，该项前面带负号，即：1212121112121222()1212(1)n n nn n j j j ij j j nj nj j j n n nna a a a a a a a a a a a a τ==-∑LL L L L M M M L。
2、等价定义121212()12(1)n n ni i i ij i i i n ni i i a a a a τ=-∑L L L 和121211221212()()(1)n n n n n ni i i j j j ij i j i j i j ni i i j j j a a a a ττ+=-∑L LL L L 和3、由n 级排列的性质可知，n 级行列式共有!n 项，其中冠以正号的项和冠以负号的项（不算元素本身所带的负号）各占一半。
4、常见的行列式1）上三角、下三角、对角行列式111111222222112200nn nn nnnna a a a a a a a a a a a *===*L LLL2）副对角方向的行列式111(1)212,12,1212,111110(1)nnnn n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----*===-*L L LL3）范德蒙行列式：1222212111112111()(2)n n i j j i nn n n na a a a a a a a a a a n ≤<≤---=-≥∏L L L L L L L L二、行列式性质1、行列式与它的转置行列式相等。
cramer法则
克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。
1、当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有唯一的解；
2、如果方程组无解或者有两个不同的解，那么方程组的系数行列式必定等于零
3、克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立。
对于多于两个或三个方程的系统，克莱姆的规则在计算上非常低效；与具有多项式时间复杂度的消除方法相比，其渐近的复杂度为O（n·n！）。
即使对于2×2系统，克拉默的规则在数值上也是不稳定的。
它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。
其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。
行列式的计算及克莱姆法则
CHAPTER 05
行列式的应用
在几何学中的应用
确定几何形状的面积和体积
行列式可以用于计算多边形的面积和立体的 体积。
线性变换
行列式可以Байду номын сангаас述线性变换，如旋转、平移等。
方向场和梯度
行列式可以用于确定方向场和梯度的计算。
在物理学中的应用
线性弹性力学
行列式在描述物体的弹性性质和应力状态时起到 关键作用。
系数行列式的值不为0时，线性方程组有唯一解；系数行列式的值为0时，线性方程组可能有无穷多解或无解。
系数行列式的计算
通过将线性方程组的系数按照某一行或列展开，得到一个数值，即为系数行列式的值。
利用行列式解线性方程组的方法
克拉默法则
当系数行列式不为0时，线性方程组有唯一解，且可以通过将系数行列式按某一行或列展开，得到线 性方程组的解。
给定线性方程组$begin{cases}x + y = 3 2x + y = 4 end{cases}$，首先计算系数行列式$D = begin{vmatrix}1 & 1 2 & 1 end{vmatrix} = 1 times 1 - 2 times 1 = -1$， 因为系数行列式的值为0，所以线性方程组无解。
克拉默法则的应用步骤
首先计算系数行列式的值，然后根据系数行列式的值是否为0，确定线性方程组的解的情况，最后通过展 开系数行列式得到线性方程组的解。
克拉默法则的应用实例
要点一
实例1
要点二
实例2
给定线性方程组$begin{cases}2x + y = 5 x - y = 1 end{cases}$，首先计算系数行列式$D = begin{vmatrix}2 & 1 1 & -1 end{vmatrix} = 2 times (-1) - 1 times 1 = -3$， 因为系数行列式的值不为0，所以线性方程组有唯一解。通过 展开系数行列式得到$x = frac{D_{1}}{D} = frac{5 - 1}{-3} = -frac{4}{3}$，$y = 5 - 2x = 5 - 2 times (-frac{4}{3}) = frac{23}{3}$。
第三节 Gramer 法则
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1
系数行列式 D 4
1 2
1 1
20 0,
9 3 1
D1 40, D2 60, D3 20.
a D1 D 2,
c D3 D 1
b D2 D 3,
故所求多项式为
a b c 0, 4a 2b c 3, 2 f x 2 x 3 x 1. 9a 3b c 28.
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例4 问 取何值时，齐次方程组
1 x1 2 x2 4 x3 0, 2 x1 3 x2 x3 0, x x 1 x 0, 1 2 3
有非零解？
1 2 3 1
3
4 1 1
b1 , b2 , , bn 不全为零， 称 为非齐次线性方程组;
b1 , b2 ,, bn 全为零， 称为齐次线性方程组.
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克拉默(Gramer)法则 如果非齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
1 3
1 5
27,
D1 81 x1 3, D 27
D3 27 x3 1, D 27
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例 3 求一个二次多项式 f x , 使
f 1 0, f 2 3, f 3 28.
解 设所求的二次多项式为
f x ax 2 bx c ,
行列式的性质及计算、克莱姆法则
本节内容介绍行列式的基本定义，性 质，克莱姆法则，同学们对用行列式解 线性方程组有初步认识。
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12.2.1:二阶行列式
设二元线性方程组为：
aa2111xx11
a12 a22
x2 x2
b1 b2
用加减消元法求出未知量x1，x2的值 ,
当
时，有
留意这里的分母 是一样的,而且都 是变量系数组成
12.2.5 行列式的性质
P221
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的 性质凡是对行成立的对列也同样成立.
基本性质1 行列式与它的转置行列式相等.
性质2 互换1行列7 式5的两行（列1 ）6,行3列式变号. 性质例3 D如果16行7列6 式52有, 两DT行（1 7列7）6完5 全5 ,相D同，D则T
注意:对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 10
例２
12 3
计算三阶行列式 D 2 -1 5
解 按对角线法则，有
3 0 -2
D 1 (1) (2) 2 5 3 3 2 0
1 5 0 2 2 (2) 3 (1) 3
2 30 0 0 8 9
49
11
例3
1 a 2
计算三阶行列式 D b 1 3
的 n 个元素的乘积的代数和
a11 a12 a1n
记作
D
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
12.2.4行列式按行（列）展开 1.余子式与代数余子式
例 三阶行列式按第一行展开
Ｐ219
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
最完整的线代基础知识点
最完整的线代基础知识点第1章行列式1.1 n阶行列式1.1.1 二阶、三阶行列式起源：发现规律了，继续～从上述推倒可以看出，行列式说白了就是对方程求解的简化过程。
后续的所有变换也都是基于此的。
了解到根源了，就不难理解了。
知识点：（所有的知识其实都是不成体系的，体系都是人为归纳的，其实知识就是一个一个的点而已）1.对角线法则这个法则只能用在二阶和三阶，高阶有另外的算法，后面会介绍到，耐心往下看吧。
以后看到二三阶可以直接用这个算哦。
2.行列式应用（克莱姆法则）法则啥的就是别人先发现了，就是一个规律。
不用理解，直接记住。
（因为本来就是一个现象）小技巧：再算d1d2d3的时候默念一下d1换1（列）d2换2（列）d3换3（列）。
1.1.2 排列既逆序数起源：逆序数为奇数，为奇排列，偶数为偶排列。
知识点：1.任一排列经过对换后，必改变其奇偶性。
2.所有n阶排列中，奇排列与偶排列个数相同，各有n！/2个。
1.1.3 n阶行列式知识点：1.计算方法前面说了，n阶有其他方法，这个就是其中之一不过比较笨重难算一点。
只要看懂这个式子，这节就ok啦，看不懂的可以评论问我。
2.对角行列式对角行列式等于其对角元素的连乘，再加上一个逆序数。
因为除了去取对角之外但凡取到其他位置上的0，就会让这项变成0。
上三角行列式和下三角行列式与对角行列式类似，不能取0。
好题：1.对行列式中数字的选取规则理解如果不用分块矩阵的话，直接从定义出发，三行用两个书，必有一行选不到非零数。
1.2 行列式的性质知识点：1.行列式与它的转置行列式相同，即行与列为完全等价的。
2.互换行列式的两行或两列，行列式值变号3.若行列式有两行或两列元素相同则其行列式的值为04.行列式的某一行中所有元素都乘以k，等于用k数乘行列式5.如果行列式中某一行的元素都为0，则其值为06.若行列式有两列或两行元素成比例，则其为07.若两个行列式除了一行外相同，则可以相合。
相同的行不变，不同的行相加。
六节克拉默Gramer规则
x1 x2 2x3 x4 1,
x1 x2
x4 2,
x1
x3 x4 1.
解: 因为 1 1 1 2
1 1 2 1
D
10 0
11 0 1
1 0 1 1
所以原方程有唯一解.
1 1
又因为
1 1 2
D1 2 1 0
2
11 1
1
1 1 2
1 8, D2 1 2 0
2 1
9, 1
……………………………………
ain (b1A1n b2 A2n ... bi Ain ... bn Ann )]
1 D
[b1
(ai1
A11
ai2 A12
...
ain A1n )
b2 (ai1A21 ai2 A22 ... ain A2n )
+… bi (ai1Ai1 ai2 Ai2 ... ain Ain ) +… bn (ai1An1 ai2 An2 ... ain Ann )]
定理（克莱姆规则） 若线性方程组（1）的系数行列式
a11 a12 ... a1n D a21 a22 ... a2n 0,
... ... ... ... an1 an2 ... ann
则它有且仅有一个解:
( D1 , D2 ,...Dn ), DD D
（2）
其中 D（j 1≤j≤n)是把D的第j 列换成常数
an1k1 an2k2 ... annkn ) bn.
在这组恒等式中，分别用 A1 j , A2 j ,..., Anj 乘以 第1，2，…,n个等式的两边,得
a11A1 jk1 a12 A1 jk2 ... a1n A1 jkn b1A1 j , a21A2 jk1 a22 A2 jk2 ... a2n A2 jkn b2 A2 j , ................................................................. an1 Anjk1 an2 Anjk2 ... ann Anjkn bn Anj .
行列式§2.7 Gramer法则
—（3）
用D中第j列元素 a1 j , a2 j ,, anj 的代数余子式 A1 j , A2 j ,, Anj 依次乘以（3）中每个方程得 n n n Aij aij k j bi Aij , i 1, 2,, n i 1 j 1 n i 1 n n 把这n个方程相加得： Aij aij k j bi Aij D j i 1 j 1 i 1 n n n 而 Aij aij k j Aij ai1k1 ai 2 k2 ain kn i 1 j 1 i 1
12jjnjaaal的代数余子式12jjnjaaal11112nnijijjiijijiakbain?????ak??????????l111nnnijijjiijjijiaakbad???????????而??1122111nnnijijjijiiinnijiaakaakak???????????????????????l?????l1111ak12212211ak22221122jnnjnnnjnnnnnaakakaakakaakakak????????????llll?????1111212111221122jjnnjjjjjjnjnjnnjnjnnnjkaaaaaakaaaaaakaaaaaa?????????????llll例271解线性方程组123412423412342583692254760xxxxxxxxxxxxxx??????????????????????解
A1 j a11k1 a12 k2 a1n kn A2 j a21k1 a22 k2 a2 n kn Anj an1k1 an 2 k2 ann kn
行列式Gramer法则
a13 a23 a33
a21 a22 a31 a32
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
对角线法则
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a13 a23 a33
a12
a13 a23 a11a 22 a 33 a12 a 23 a31 a13 a 21a 32 a33 a a a a a a a a a
11 23 32 12 21 33
a21 a22 a31 a32
13 22 31,
上式称为数表所确定的三阶行列式.
a11
a12
a13
D a21 a22 a23 .列标 a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算
第一章
行列式
n 阶行列式的定义、性质及计算方法
克拉默（Cramer）法则
第一节 二阶与三阶行列式
一、二阶行列式
用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
其系数矩阵
1 2
a11 a12 A a21 a22
得
b1
a13 a23 , a33
D2 a21 b2 a31 b3
a11 a12 b1 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , D3 a21 a22 b2 . a x a x a x b ; a31 a32 b3 31 1 32 2 33 3 3
注意
a12 a22 , a12 a22
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例２
计算三阶行列式
1 2 3 D 3 1 2 2 3 1
解
按对角线法则，有
D 1 1 1 2 2 2 3 3 3
1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 8 27 6 6 6 18.
1 1
例3 解
1 x 0. x2
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
D1
b1 b2
a12 a22
,
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
D2
a11
b1
a21 b2
.
则二元线性方程组的解为
b1 D1 b2 x1 D a11 a21
对角线法则 a11 a12
a13 a23 a33
a21 a22 a31 a32
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
对角线法则
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a13 a23 a33
注意
a12 a22 , a12 a22
a11 b1 D2 a21 b2 x2 . D a11 a12 a21 a22
分母都为原方程组的系数行列式.
例1 求解二元线性方程组
2 x1 4 x2 1, x1 3 x2 2.
解
D
2 1
4 3
6 4 2 0,
求解方程
方程左端
2 3 4 9
D 3 x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12
x 2 5 x 6,
由 x 2 5 x 0 解得
x 2 或 x 3.
利用三阶行列式求解三元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , 如果三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 a12 a13 a23 0, a33
类似地，消去 x1，得
（a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21 , 上式中 的系数 称为由二阶方 a11a22 a12a21 x1和x2 阵 A 所确定的二阶行列式.
记为:
a11 a12 D a21 a22
矩阵 A 还记作 A 或 det A ,即 a11 a12 det A A a11a22 a12a21 . a21 a22 当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为 b1a22 a12b2 a11b2 b1a21 x1 ， x2 . （3） a11a22 a12a21 a11a22 a12a21 由方程组的四个系数确定.
D2 2 1 1 2
D1
1 2
4 3
5,
3,
D1 5 5 x1 , D 2 2
3 D2 x2 . D 2
二、三阶行列式
定义 1
设有9个数排成3行 3列的数表 a11 a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a13 a 23 a 33
记 a11
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式; 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行、 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正、三项 为 负.
a12
a13 a23 a11a 22 a 33 a12 a 23 a31 a13 a 21a 32 a33 a a a a a a a a a
11 23 32 12 21 33
a21 a22 a31 a32
13 22 31,
上式称为数表所确定的三阶行列式.
a11
a12
a13
D a21 a22 a23 .列标 a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算
是一个二阶方阵。
用消元法求解线性方程组
1 a21 :
2 a12 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 ,
a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
两式相减消去 x2，得
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2 ;
的系数行列式 D a21 a22
a31 a32
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 b1
a11 a12 D a21 a22
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
D1
b112 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
D
a11
a12
a21 a22
,
第一章
行列式
n 阶行列式的定义、性质及计算方法
克拉默（Cramer）法则
第一节 二阶与三阶行列式
一、二阶行列式
用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
其系数矩阵
1 2
a11 a12 A a21 a22
二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a11a22 a12 a 21
a11 a12
a12 a22
a11 x1 a12 x2 b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2 .
若记 系数行列式
D
a11
a12
a21 a22
,
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .