2018年广州市普通高中毕业班综合文科数学试题(一)含答案
2018年广州市普通高中毕业班综合测试(一)文科试题及答案
2018届广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）本试卷共5页，23小题.满分考试用时120分钟*注意事项：1.答卷前，着生务必将自己的姓名和考生号、试室号、殛位号填写在答题卡上，用2B 笔在答題卡的相应位置壞涂考生号，并将试基类型（A〉填涂在答题卡相应位置上。
2.作答选挣题时’选出每小题答案后，用铅笔在答题卡上对应题目选项的寥案信息点涂黑]如需改动，用祿皮擦干净后，再逸潦算他答案。
答案不能答在试卷上。
3.非逸择题必须用黑莒字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位査上；如需改动*先划掉原来的答案，然后再写上新尊案；不准使用勰笔和漆改液円不按以上要求作答无效口4.考生蛊须僅证答题卡的整洁纽考试结朿后’将试卷和答题卡一并丸回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共测分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1.设复数乞満足刃= （1-i）S则复数E的共规复数云二仏-2 B. 2 C.-2i D. 2i2.设集合川二｛0丄2,3,4,5,6] + B=｛*=2耳』w/｝，则/D/ =A. {0,2,4}B. {2,4,6}C. {0,2,4,6}D. {0,2,4,6,8.10,12)3.己知向量03-（2?2）t OB =（5,3）,则网—丽卜A” 10B, TlO C 血D, 24.等差数列｛陽｝的各项均不为零.其前用项和为若a n+l ~ a tt+2 + a n * 则$亦1=A. 4社+ 2 B* 4丹 C. 2n+ ） D. 2/15.执行如图所示的程序框图，则输出的S二□42 9A, — B. - C- - D.—-20 9 9 40J在四面体A BCD中，E, F分别为AD 的中点，AB二CD *HR丄CD,则异面直线EF与/百所成角的大小为A. - B, - C. - D.-6 4 3 21L 己知数列｛%｝满足“严2, 2^+|=^ + 1,设瓦=纟匚二则数列｛*｝是暫+ 1如图，在梯形ABCD 中，已^\AB\^2\CD\t AE^-AC,双曲线过C, D, £三点，且以"，0为焦点，则双曲线的离心率为A+ 41 B. 2^2D. J1O7.已划某个函数的部分图象如图所示，则这个函数的解析式可能是B + y = xlnx-x4-l D. y- lux 4-x-lx8.椭圆y + ^=l± 一动点P 到定点A/(1,O )的距离的議小值为D.9.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为A. 10 + 4V2 + 2V3 C. 44-4V2+2V3吐14 + 4运D, 4A.A.常数列B.摆动数列C.递增数列D.递减数列12. C. 310.己知函数f(x) =上单调递增，则血的取值范围为「I『侧：本题共4小题，每小题5分，共2U分.匚L⑷咯IQI」小学学生人数如图所示.为了解该区学生参加某项社会实践活动的盘I；施拥采用分层抽样的方法来进行调查.若高中需抽取20名学生，聊小学9初中共需抽取的学生人数为_______ 名.2工-y + 3W0,4.y满足约束条件JY-IW0，则2二-x + y的绘小值为_______y-GO,I"15.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图①的数表列出了一些正整数在汀"形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”’该数表的规律是每行首尾数字均为1,从①三行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和.现将畅辉三角形中的奇数换成1,偶数换成0,得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第川行各数字的和为如^=1,绩=2, E=2, 54=4f……,则S垃二________________________________________ .I II 0 I1 J i I10 0 0 1110 0】10 10 10图②图①g(x) = x'-2兀一4.设0为实数，若存在实数a,hi(x + 2), x^-L使得/何+号何=1成立”则b的取值范围为____________乙解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题, 每个试题考生都必须做答+第22、23题为选考题，考生根据要求做答.(一)必考题:共60分.17.(本小题满分12分)△ ABC的内角, C1的对边分别为口，b , c,已知口二历，c-b = \ , £\ABC 的外接圆半径为J7-(1)求角虫的值：(2)求的面积.U,（本小题满分］2分）某地！TO岁男童年龄％（岁）与身高的中位数兀（cm）卩匸1,2*…,10）如下表:JC （岁）i2456 f 78-------,101 y (cm)76.588396,8io4a111.3117.7124,0150.0135.4140 2对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及~些统计量的值.4 y（cm）140130120H01009080,70j r 工f2 3 4 5 6 7r y如)25.5 |112曲82.503947.71566.85（O求y关于x的线性回归方程（回归方程系数精确到o.oi）：（2）某同学认为，y^px2+qx + r更适宜作为p关于工的回归方程类型，他求得的回归方程是7 = -0、30# + 10」4 + 6&0匸经调查，该地11岁男重身高的中位数145.3cm.与（I）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？附：回归方程y = a^rbx中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:19.（本小题满分门分）如图，四棱锥尸-/1BCD中，底面ABCD为矩形,（J）求证：AE=PE；（2》若是等边三角形，AB^2AD. 平面只4D丄平面彳BCD，四棱锥P-4BCD的体积为gJL求点F到平面0CD的距裔.20.（本小题满分12分）已知两个定点A/（L0）和N（2,0）,动点P满足\PN\ = ^2\PM\rU）求动点P的轨迹C的方程；（2）若B为（1）中轨迹C上两个不同的点.O为坐标原点+设直线0/1, OB, AB 的斜率分别为耐，k2t k,当k.k2=3时,求jt的取值范围.2L （本小题满分12分）已知函数/*（X）= e r - ax + a -1.（1）若fO）的极值为e —1,求。
(精品)2018届广州市普通高中毕业班综合测试(一)(文综试题及答案)
2018届广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科综合地理参考答案一、单项选择题(44分)1.A2.D3.A4.D5.B6.B7.A8.C9.B 10.D 11.C二、必做题(46分)36. (22分)(1)传统钢铁产业生产原材料多，生产环节多、流程复杂，产品成品、半成品种类丰富，产业链长（2分），而食品产业需要原料种类较少，产品相对简单，产业链较短（2分）；钢铁产业为降低生产成本，提升生产效率，上下游相关企业相对集中在同一地区（2分），而食品谷以科研院校食品研究机构为中心，共享科研成果，吸引与此相关食品企业集中在其周围（2分）。
(2)以食品研究为中心的大学和科研机构众多，科技力量雄厚；位于波罗的海航运要冲，地理位置优越；海陆空交通发达，利于产品销往世界；接近经济发达的西欧，市场广大；欧盟产业集聚等政策。
（每点2分，4点共8分）(3)食品谷以科技创新为驱动，引领世界食品潮流和发展，通过产研结合，使传统食品产业升级、转型，并走向集聚。
启示：科技创新驱动、产研结合、升级转型、集群发展（每点2分，3点共6分）。
37. (24分)(1)夜间强，白昼弱（2分）；子夜前后最强，正午前后最弱（2分）。
(2)正午前后，太阳辐射最强烈，城市中心地表和建筑物大量吸收太阳热量，大气对流、湍流作用增强，利于散热；城市与郊区热力环流加强，城区和郊区大气在水平和垂直方向上的混合作用增强，城郊温差减少；城市上空盛行上升气流利于散热；而郊区盛行下沉气流增温且不利于散热。
因而引起城区气温低于郊区气温的“冷岛”效应。
（每点2分，3点共6分）(3)规律：冬季最强，夏季最弱，春秋居中。
（2分）理由：冬季受冷气团控制，天气稳定，有利于热岛的形成与发展；受山谷地形影响，冬季逆温层加厚，不利于城市散热；冬季正值供暖期，排放热量多；冬季取暖燃煤污染物排放量大，使得城区大气逆辐射增强，收入热量多。
（每点2分，3点共6分）(4)兰州城市化的发展改变了下垫面的热力属性，人工建筑物吸热快而热容量小；城市地面和建筑物对太阳辐射反射率较低，吸收率加大；城区密集的建筑群、纵横的道路桥梁，构成较为粗糙的城市下垫面、因而对风的阻力增大，风速降低，热量不易散失；城市化发展使城市绿地和水体减少，地表含水量少，热量更多地以显热形式进入空气中，导致空气升温，使城市热岛效应不断增强。
2018届广东广州1模(文科)(试卷+答案)
绝密 ★ 启用前2018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、设复数z 满足2)1(i zi -=，则复数z 的共轭复数=z （ ）A. 2-B. 2C. i 2-D. i 22、设集合}6,5,4,3,2,1,0{=A ，},2{A n n x x B ∈==，则=B A （ ） A. }4,2,0{ B. }6,4,2{ C. }6,4,2,0{ D. }12,10,8,6,4,2,0{3、已知向量)2,2(=OA ，)3,5(=OB =-（ ）A. 10B.10 C. 2 D. 24、等差数列}{n a 的各项均不为零，其前n 项和为n S ，若n n n a a a +=++221，则=+12n S （ ）A. 24+nB. n 4C. 12+nD. n 25、执行如图所示的程序框图，则输出的=S （ ）A. 209B. 94C. 92D. 1096、在四面体ABCD 中，E 、F 分别为AD 、BC 的中 点，CD AB =，CD AB ⊥，则异面直线EF 与AB 所 成角的大小为（ ）A.6π B. 4π C. 3π D. 2π7、已知某个函数的部分图像如图所示，则这个函数 的解析式可能是（ ）A. x x y ln =B. 1ln +-=x x x yC. 11ln -+=xx y D. 1ln -+-=x xxy 8、椭圆14922=+y x 上一动点P 到定点)0,1(M 的距离的最小值为（ ） A. 2 B.554 C. 1 D. 552 9、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 322410++B. 2414+C. 32244++D. 410、已知函数)0)(6sin()(>+=ωπωx x f 在区间]32,4[ππ-上单调递增，则ω的取值范围为（ ）A. ]38,0(B. ]21,0(C. ]38,21[D. ]2,83[ 11、已知数列}{n a 满足21=a ，1221+=+n n n a a a ，设11+-=n n n a a b ，则数列}{n b 是（ ） A.常数列 B.摆动数列 C.递增数列 D.递减数列 12、如图，在梯形ABCD 中，已知CD AB 2=，52=，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，则双曲线的离心率为（ ）A. 7B. 22C. 3D. 10第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018年广东广州市普通高中毕业班综合测试
2018年广东广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学2018.03.22一、选择题1. 设复数z 满足()i i z 412=-，则复数z 的共轭复数=zA. 2-B. 2C. i 2-D.i 2 2. 设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-+=013x x xA ，{}3-≤=x xB ，则集合{}=≥1x xA. B AB. B AC. ））（B C A C R R (D.）（）（B C A C R R3. 若E D C B A ,,,,五位同学站成一排照相，则B A ,同学不相邻的概率为A. 54B. 53C. 52D.51 4. 执行如图所示的程序框图，则输出的=SA.209 B.94 C. 92 D.4095. 已知=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4cos ,534sin ππx x 则 B. 54 B. 53 C. 54- D.53-6. 已知二项式nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-122的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含x 1项的系数是A. 84-B. 14-C. 14D.847. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为A. 32244++B. 2414+C. 322410++D.48. 若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥+-0101202x y y x ，则222y x x z ++=的最小值为 A . 21 B. 41 C. 21- D.41-9. 已知函数()()06sin >⎪⎭⎫⎝⎛+=ωπωx x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ324-，上单调递增，则ω的取值范围为 A. ⎥⎦⎤⎝⎛8,0π， B. ⎥⎦⎤⎝⎛210， C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3821， D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,8310. 已知函数()223a bx ax x x f +++=在1=x 处的极值为10，则数对()b a ,为A. ()33，- B. ()411，- C. ()114-， D.()()11-43.3，或-422211. 如图，在梯形ABCD 中，已知CD AB 2=，AC AE 52=，双曲线过E D C ,,三点，且以B A ,为焦点，则双曲线的离心率为A. 7B. 22C. 3D.1012. 设函数()x f 在R 上存在导函数()x f '，对于任意的实数x ，都有()()22x x f x f =-+，当0<x ，()x x f 21<+'，若()()121++-≤+a a f a f ，则实数a 的最小值为 A. 21-B. 1-C. 23- D.2-二、填空题13. 已知向量()2,m a =，()1,1=b ，若b a b a +=+，则实数_____=m14. 已知三棱锥ABC P -的底面ABC 是等腰三角形，AC AB ⊥,ABC PA 底面⊥，1==AB PA ，则这个三棱锥内切球的半径为__________15. ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若()()0cos 2cos 2=+++-c A b B a θθ，则θcos 的值为__________16. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角形”，现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为n S ，若11=S ，22=S ，=∙∙∙==1243,42S S S 则，，_________三、解答题17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是首项为1，公差为2的等差数列 （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足()nn n n b a b a b a ⎪⎭⎫⎝⎛+-=+∙∙∙++215452211，求数列{}n b 的前n 项和n T18. 某地1~10岁男童年龄i x （岁）与身高的中位数)(cm y i ()10,,2,1∙∙∙=i ，如下表：对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值（1）求y 关于x 的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）（2）某同学认为，r qx px y ++=2更适宜作为y 关于x 的线性回归方程，他求得的回归方程式07.6817.1030.02++-=x x y 。
2018年广州市一测数学答案(文科)
因为 ABCD 为矩形，所以 CD⊥AD． 因为平面 PAD⊥平面 ABCD， 平面 PAD 所以 CD⊥平面 PAD． 因为 CD 平面 PCD，所以平面 PCD⊥平面 PAD． 作 EG⊥PD 于 G，则 EG⊥平面 PCD， 所以 EG 是点 E 到平面 PCD 的距离． 平面 ABCD=AD，
数学（文科）答案 A
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19．（1）证明：连接 AC，设 AC∩BD=O，连接 EO． 因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 AC 的中点． 因为 PC∥平面 BDE，PC 平面 PAC， 平面 PAC∩平面 BDE=EO，所以 PC∥EO． 因为 O 为 AC 的中点，所以 E 为 PA 的中点． 所以 AE = PE．
绝密 ★ 启用前
2018 年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 文科数学试题答案及评分参考
评分说明: 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内 容比照评分参考制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答 有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一．选择题 题号 答案 二．填空题 13． 85 三、解答题 17．解：（1）因为 a 14． 2 15． 32 16． , 2 2 1 A 2 C 3 C 4 A 5 D 6 B 7 D 8 B 9 A 10 B 11 D 12 A
2 ，即 21 c b bc ，所以 bc 20 】 3
广东省广州市普通高中2017-2018学年高三下学期综合测试(一)文数试题 Word版含解析
2017-2018学年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}11A x x =-≤≤，{}220B x x x =-≤，则A B = （ ）（A ）{}12x x -≤≤ （B ）{}10x x -≤≤ （C ）{}12x x ≤≤ （D ）{}01x x ≤≤ 【答案】D 【解析】试题分析：{}{}22002x x x x x B =-≤=≤≤，所以{}01x x A B =≤≤ ，故选D ．考点：1、一元二次不等式；2、集合的交集． 2.已知复数3i1iz +=+，其中i 为虚数单位，则复数z 所对应的点在（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】D 【解析】试题分析：()()()()23133321112i i i i i i z i i i i +-+-+-====-++-，所以复数z 所对应的点()2,1Z -，在第四象限，故选D ．考点：1、复数的除法运算；2、复数的几何意义．3.已知函数()2,1,1,1,1x x x f x x x⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩则()()2f f -的值为（ ）（A ）12 （B ）15 （C ）15- （D ）12-【答案】C 【解析】试题分析：()()()22226f -=---=，所以()()()1126165f f f -===--，故选C ． 考点：分段函数求值．4.设P 是△ABC 所在平面内的一点，且2CP PA =，则△PAB 与△PBC 的面积之比是（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】B 【解析】试题分析：依题意，得C 2P =PA ，设点P 到C A 的距离为h ，所以∆PAB 与C ∆PB 的面积之比是C1121C 2C 2hS S h ∆PAB∆PB PA⋅PA ===P P ⋅，故选B ．考点：三角形的面积． 5.如果函数()cos 4f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为6π，则ω的值为（ ）（A ）3 （B ）6 （C ）12 （D ）24 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得：26πT =，解得：3πT =，因为23ππωT ==，所以6ω=，故选B ． 考点：三角函数的性质．6.执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为（ ）（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12【答案】C 【解析】试题分析：第1次运行：2339x =⨯+=，2k =，9100>，否；第2次运行：29321x =⨯+=，4k =，21100>，否；第3次运行：221345x =⨯+=，6k =，45100>，否；第4次运行：245393x =⨯+=，8k =，93100>，否；第5次运行：2933189x =⨯+=，10k =，189100>，是，所以输出10k =．故选C ．考点：程序框图． 7.在平面区域(){},0112x y x y ≤≤≤≤，内随机投入一点P ，则点P 的坐标(),x y 满足2y x ≤的概率为（ ） （A ）14 （B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】A 【解析】试题分析：作出平面区域，如图所示，其中阴影部分符合2y x ≤，其面积为11111224S =⨯⨯=，正方形的面积为111S =⨯=，所以点P 的坐标(),x y 满足2y x ≤的概率是114S S =，故选A ．考点：1、线性规划；2、几何概型． 8.已知()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，若3sin 5α=2πα⎛⎫<<π ⎪⎝⎭，则12f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）（A ）（B ） （C （D【答案】B 【解析】试题分析：因为3sin 5α=，2παπ<<，所以4c o s 5α==-，所以sin 124f ππαα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭34sin coscos sin44525210ππαα=+=⨯-⨯=-，故选B ． 考点：1、同角三角函数的基本关系；2、两角和的正弦公式．9.如果1P ，2P ，…，n P 是抛物线C ：24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，n x ，F是抛物线C 的焦点，若1210n x x x +++= ，则12n PF P F P F +++= （ ）（A ）10n + （B ）20n + （C ）210n + （D ）220n +【答案】A 【解析】试题分析：抛物线C 的焦点()F 1,0，准线方程是1x =-，由抛物线的定义得：11F 1x P =+，22F 1x P =+，⋅⋅⋅，F 1n n x P =+，所以1212F F F 1nn x x x n n P +P+⋅⋅⋅+P =++⋅⋅⋅++=+，故选A ．考点：抛物线的定义．10.一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）（A ）20π （B （C ）5π （D 【答案】D 【解析】=R =，所以该球的体积为34V R 3π=343π=⨯=⎝⎭D ． 考点：1、六棱柱的外接球；2、球的体积． 11.已知下列四个：1p ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥； 2p ：若()22x x f x -=-，则x ∀∈R ，()()f x f x -=-；3p ：若()11f x x x =++，则()00,x ∃∈+∞，()01f x =； 4p ：在△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >．其中真的个数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】B 【解析】试题分析：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥或//l α，所以1p 是假；()22x x f x --=-()()22x x f x -=--=-，所以2p 是真；由111x x +=+得：0x =，所以3p 是假；a b A >B ⇒>2R sin 2R sin sin sin ⇒A >B ⇒A >B ，所以4p 是真．故选B ．考点：1、直线与平面的位置关系；2、函数的奇偶性；3、全称与特称；4、正弦定理． 12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（ ）（A ）8+（B ）8+（C ）2+（D ）1224+【答案】A 【解析】试题分析：该四面体是如图中的三棱锥D C -AB ，D B =AB =，1C A =D AB 的底边D A =的表面积是11242422S =⨯⨯+⨯⨯ 114822+⨯+⨯+A ．考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13.函数()33f x x x =-的极小值为 ． 【答案】2- 【解析】试题分析：()233f x x '=-，令()0f x '=得1x =±，当1x <-或1x >时，()0f x '>，当11x -<<时，()0f x '<，所以当1x =时，函数()f x 有极小值，且极小值是()311312f =-⨯=-．考点：导数研究函数的极值．14.设实数x ，y 满足约束条件230,230,3x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩， 则23z x y =-+的取值范围是 ．【答案】[]6,15- 【解析】试题分析：作出可行域如图所示：由23z x y =-+可得233z y x =+表示的是斜率为23，截距为3z 的平行直线系．当截距最大时，z 最大，当截距最小时，z 最小．当过直线230x y --=与直线230x y +-=的交点()3,0A 时，截距最小，min 2306z =-⨯+=-，当过直线230x y +-=与直线3x =-的交点()3,3B -时，截距最大，()max 233315z =-⨯-+⨯=，所以23z x y =-+的取值范围是[]6,15-． 考点：线性规划．15.已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点为A ，右焦点为F ，点()0,B b ，且0BA BF =，则双曲线C 的离心率为 ．【答案】12【解析】试题分析：由题意得：(),0a A -，()F ,0c ，所以(),a b BA =-- ，()F ,c b B =-，因为F 0BA⋅B =，所以20b ac -=，因为222b c a =-，所以220c ac a --=，两边同除以2a ，得210e e --=，解得：e =（舍去）或e =． 考点：1、双曲线的简单几何性质；2、平面向量的坐标运算．16.在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，AC =5CD =,2BD AD =，则AD 的长为 ． 【答案】5考点：余弦定理．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 【答案】（I ）2n n a =；（II ）()16232n n n +T =+-⨯．【解析】试题分析：（I ）设数列{}n a 的公比，由题意列出关于q 的方程，解出q ，进而可得数列{}n a 的通项公式；（II ）先求出数列{}n b 的通项公式，再利用错位相减法可得数列{}n n a b 的前n 项和n T ．试题解析：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ， 因为24a =，所以34a q =，244a q =．…………………………………………1分因为32a +是2a 和4a 的等差中项，所以()32422a a a +=+．……………………2分 即()224244q q +=+，化简得220q q -=．因为公比0q ≠，所以2q =．………………………………………………………4分 所以222422n n n n a a q --==⨯=（*n ∈N ）．…………………………………………5分（Ⅱ）因为2n na =，所以22log 121n nb a n =-=-．所以()212nn n a b n =-．……………………………………………………………7分 则()()231123252232212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-， ①()()23412123252232212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-. ②………………9分①－②得，()2312222222212n n n T n +-=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--……………………………………10分()()()11142221262321212n n n n n ++-=+⨯--=-----，所以()16232n n T n +=+-．……………………………………………………………12分 考点：1、等比数列的通项公式；2、数列求和． 18.（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1． （Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[)45,75内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[)45,65内的概率．【答案】（I ）0.05；（II ）23． 【解析】试题分析：（I ）利用频率分布直方图中所有频率之和等于1可得这些产品质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（II ）先算出落在区间[)45,55，[)55,65，[)65,75内的产品件数，再列举出从6件产品中任意抽取2件产品的基本事件和这2件产品都在区间[)45,65内的基本事件，进而利用古典概型公式可得这2件产品都在区间[)45,65内的概率． 试题解析：（Ⅰ）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ．…………………………1分 依题意得()0.0040.0120.0190.03010421x x x +++⨯+++=，……………3分 解得0.05x =．所以区间[]75,85内的频率为0.05．………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，区间[)45,55，[)55,65，[)65,75内的频率依次为0.3，0.2，0.1． 用分层抽样的方法在区间[)45,75内抽取一个容量为6的样本，则在区间[)45,55内应抽取0.3630.30.20.1⨯=++件，记为1A ，2A ，3A ．在区间[)55,65内应抽取0.2620.30.20.1⨯=++件，记为1B ，2B ． 在区间[)65,75内应抽取0.1610.30.20.1⨯=++件，记为C ．…………………6分 设“从样本中任意抽取2件产品，这2件产品都在区间[)45,65内”为事件M ，则所有的基本事件有：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}1,A C ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}2,A C ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}3,A C ，{}12,B B ，{}1,B C ，{}2,B C ，共15种．…………………………………………………………………8分事件M 包含的基本事件有：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B ，共10种．…………10分所以这2件产品都在区间[)45,65内的概率为102153=．………………………12分考点：1、频率分布直方图；2、古典概型；3、分层抽样． 19.（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是菱形，AC BD O = ，1AO ⊥底面ABCD ，21==AA AB ．（Ⅰ）证明：BD ⊥平面1ACO ； （Ⅱ）若60BAD ∠=，求点C 到平面1OBB 的距离．【答案】（I ）证明见解析；（II ． 【解析】试题分析：（I ）由题意可证1D A O ⊥B ，C D O ⊥B ，进而可证D B ⊥平面1C A O ；(II)先将点1B 到平面CD AB 的距离转化为点1A 到平面CD AB 的距离，再利用等积法可得点C 到平面1OBB 的距离．试题解析：（Ⅰ）证明：因为1AO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以1AO ⊥BD ．……………………………………………………………………1分 因为ABCD 是菱形，所以CO ⊥BD ．……………………………………………2分因为1AO CO O = ，1AO ，CO ⊂平面1ACO ， 所以BD ⊥平面1A CO ．……………………………………………………………3分（Ⅱ）解法一：因为底面ABCD 是菱形，AC BD O = ，21==AA AB ，60BAD ∠=， 所以1OB OD ==，OA OC =4分所以OBC ∆的面积为112212OBC S OB OC ∆==⨯=⨯⨯5分 因为1AO ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ， 所以1AO AO ⊥，11AO ==．………………………………………6分因为11A B 平面ABCD ，所以点1B 到平面ABCD 的距离等于点1A 到平面ABCD 的距离1AO ．…………7分 由（Ⅰ）得，BD ⊥平面1A AC ．因为1A A ⊂平面1AAC ，所以BD ⊥1A A ． 因为11A A B B ，所以BD ⊥1B B ．………………………………………………8分 所以△1OBB 的面积为111121212OBB S OB BB ∆=⨯⨯==⨯⨯．……………………9分 设点C 到平面1OBB 的距离为d ， 因为11C OBB B OBC V V --=，所以111133OBB OBC S d S A O D D =gg ．………………………………………………10分所以111212OBC OBBS AO d S ∆∆⋅===所以点C 到平面1OBB的距离为2．……………………………………………12分 解法二：由（Ⅰ）知BD ⊥平面1ACO ， 因为BD ⊂平面11BB D D ，所以平面1ACO ⊥平面11BB D D ．…4分 连接11AC 与11B D 交于点1O ，连接1CO ，1OO ，因为11AA CC =，11//AA CC ，所以11CAAC 为平行四边形． 又O ，1O 分别是AC ，11AC 的中点，所以11OAO C 为平行四边形． 所以111OC OA ==．…………………………………………………………………6分 因为平面11OAO C 与平面11BB D D 交线为1OO ， 过点C 作1CH OO ⊥于H ，则CH ⊥平面11BB D D ．………………………………8分 因为11O C A O ，1AO ⊥平面ABCD ，所以·1O C ⊥平面ABCD ． 因为OC ⊂平面ABCD ，所以·1O C ⊥OC ，即△1OCO 为直角三角形．………10分所以1122O C OC CH OO ⋅===．所以点C 到平面1OBB212分考点：1、线面垂直；2、点到平面的距离． 20.（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()120F -，，点(B 在椭圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在x 轴上是否存在点P ，使得无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（I ）22184x y +=；(II)()2,0或()2,0-．解法二：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=． ①…………………1分因为点(2B 在椭圆C 上，所以22421a b +=． ②…………………2分由①②解得，a =2b =．…………………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22184x y +=．………………………………………………4分（Ⅱ）解法一：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A 的坐标为()-．…………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --．联立方程组22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22812x k =+．所以0x =0y =6分所以直线AE的方程为y x =+．……………………………7分因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得y =M ⎛ ⎝．……………………8分同理可得点N ⎛ ⎝．…………………………………………………9分 假设在x 轴上存在点(,0)P t ，使得MPN ∠为直角，则0MP NP ⋅=．………10分即20t =，即240t -=．………………………11分解得2t =或2t =-．故存在点()2,0P 或()2,0P -，无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角．…………12分解法二： 因为椭圆C 的左端点为A ，则点A的坐标为()-．……………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点00(,)E x y ，则点00(,)F x y --． 所以直线AE的方程为y x =+．………………………………6分 因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得y =，即点M ⎛⎫⎝．……………………………7分同理可得点N ⎛ ⎝．……………………………………………………8分 假设在x 轴上存在点(),0P t ，使得MPN ∠为直角，则0MP NP ⋅=．即20t =，即222808y t x +=-． （※）…………9分 因为点00(,)E x y 在椭圆C 上，所以2200184x y +=，即220082x y -=．……………………………………………10分将220082x y -=代入（※）得240t -=．………………………………………11分解得2t =或2t =-．故存在点()2,0P 或()2,0P -，无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角．………………12分解法三：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．……………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ，设点(),2sin E θθ（0θ<<π），则点(),2sin F θθ--．……6分所以直线AE的方程为y x =+．………………………7分因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得2sin cos 1y θθ=+，即点2sin 0,cos 1M θθ⎛⎫⎪+⎝⎭．………………………………8分同理可得点2sin 0,cos 1N θθ⎛⎫⎪-⎝⎭．………………………………………………………9分假设在x 轴上存在点(,0)P t ，使得MPN ∠为直角，则0MP NP ⋅=．………10分即22sin 2sin 0cos 1cos 1t θθθθ--+⨯=+-，即240t -=．…………………………………11分解得2t =或2t =-．故存在点()2,0P 或()2,0P -，无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角．………12分考点：1、椭圆的标准方程；2、椭圆的简单几何性质；3、直线与圆锥曲线的位置关系． 21.（本小题满分12分）已知函数()e ln 1x f x m x =--.（Ⅰ）当1m =时，求曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程； （Ⅱ）当1m ≥时，证明：()1f x >. 【答案】（I ）()1y e x =-（II ）证明见解析． 【解析】试题分析：（I ）先代入1m =，对()f x 求导数，再算出()1f '，()1f ，进而可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（II ）先构造函数()ln 2xg x e x =--，再利用导数可得()g x 的最小值，，进而可证当1m ≥时，()1f x >．试题解析：（Ⅰ）解：当1m =时，()e ln 1x f x x =--，所以1()e x f x x'=-．………………………………………………………………1分 所以(1)e 1f =-，(1)e 1f '=-. …………………………………………………2分 所以曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程为(e 1)(e 1)(1)y x --=--． 即()e 1y x =-.………………………………………………………………………3分 （Ⅱ）证法一：当1m ≥时，()e ln 1e ln 1x xf x m x x =--≥--.要证明()1f x >，只需证明e ln 20xx -->.……………………………………4分 以下给出三种思路证明e ln 20xx -->.思路1：设()e ln 2xg x x =--，则1()e x g x x'=-. 设1()e xh x x =-，则21()e 0xh x x'=+>， 所以函数()h x =1()e xg x x'=-在0+∞（，）上单调递增．…………………………6分因为121e 202g ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，(1)e 10g '=->，所以函数1()e xg x x '=-在0+∞（，）上有唯一零点0x ，且01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.…………8分 因为0()0g x '=时，所以01ex x =，即00ln x x =-.………………………………9分 当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>.所以当0x x =时，()g x 取得最小值()0g x ．……………………………………10分 故()000001()=e ln 220xg x g x x x x ≥--=+->． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >.………………………………………………12分 思路2：先证明e 1xx ≥+()x ∈R ．………………………………………………5分 设()e 1xh x x =--，则()e 1xh x '=-．因为当0x <时，()0h x '<，当0x >时，()0h x '>，所以当0x <时，函数()h x 单调递减，当0x >时，函数()h x 单调递增． 所以()()00h x h ≥=．所以e 1xx ≥+（当且仅当0x =时取等号）．………………………………………7分 所以要证明e ln 20xx -->，只需证明()1ln 20x x +-->．……………………………………………………8分 下面证明ln 10x x --≥． 设()ln 1p x x x =--，则()111x p x x x-'=-=． 当01x <<时，()0p x '<，当1x >时，()0p x '>，所以当01x <<时，函数()p x 单调递减，当1x >时，函数()p x 单调递增． 所以()()10p x p ≥=．所以ln 10x x --≥（当且仅当1x =时取等号）．………………………………10分由于取等号的条件不同， 所以e ln 20xx -->．综上可知，当1m ≥时，()1f x >.………………………………………………12分 （若考生先放缩ln x ，或e x、ln x 同时放缩，请参考此思路给分！） 思路3：先证明e ln 2xx ->.因为曲线e x y =与曲线ln y x =的图像关于直线y x =对称，设直线x t =()0t >与曲线e xy =，ln y x =分别交于点A ，B ，点A ，B 到直线y x = 的距离分别为1d ，2d ，则)12AB d d +． 其中1t d =2d =()0t >．①设()e t h t t =-()0t >，则()e 1t h t '=-． 因为0t >，所以()e 10t h t '=->．所以()h t 在()0,+∞上单调递增，则()()01h t h >=．所以1t d =>． ②设()ln g t t t =-()0t >，则()111t g t t t -'=-=．因为当01t <<时，()0g t '<；当1t >时，()0g t '>，所以当01t <<时，()ln g t t t =-单调递减；当1t >时，()ln g t t t =-单调递增． 所以()()11g t g ≥=．所以2d =≥所以)122AB d d +>=⎭． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >.………………………………………………12分证法二：因为()e ln 1x f x m x =--，要证明()1f x >，只需证明e ln 20xm x -->.…………………………………4分以下给出两种思路证明e ln 20xm x -->.思路1：设()e ln 2x g x m x =--，则1()e xg x m x'=-. 设1()e xh x m x =-，则21()e 0xh x m x'=+>． 所以函数()h x =()1e xg x m x'=-在()0+∞，上单调递增．……………………6分因为11221e 2e 202m mg m m m m ⎛⎫⎛⎫'=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1e 10g m '=->，所以函数1()e xg x m x '=-在()0+∞，上有唯一零点0x ，且01,12x m ⎛⎫∈⎪⎝⎭.……8分 因为()00g x '=，所以01ex m x =，即00ln ln x x m =--．……………………9分 当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>.所以当0x x =时，()g x 取得最小值()0g x ．……………………………………10分 故()()000001e ln 2ln 20xg x g x m x x m x ≥=--=++->． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >．………………………………………………12分 思路2：先证明e 1()xx x ≥+∈R ，且ln 1(0)x x x ≤+>．……………………5分 设()e 1xF x x =--，则()e 1x F x '=-．因为当0x <时，()0F x '<；当0x >时，()0F x '>，所以()F x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增． 所以当0x =时，()F x 取得最小值(0)0F =．所以()(0)0F x F ≥=，即e 1xx ≥+（当且仅当0x =时取等号）．……………7分 由e 1()x x x ≥+∈R ，得1ex x -≥（当且仅当1x =时取等号）．………………8分所以ln 1(0)x x x ≤->（当且仅当1x =时取等号）．……………………………9分 再证明e ln 20xm x -->．因为0x >，1m ≥，且e 1xx ≥+与ln 1x x ≤-不同时取等号，所以()()e ln 2112x m x m x x -->+---()()11m x =-+0≥．综上可知，当1m ≥时，()1f x >．………………………………………………12分 考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性；3、利用导数研究函数的最值；4、不等式的证明．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图所示，△ABC 内接于⊙O ，直线AD 与⊙O 相切于点A ，交BC 的延长线于点D ，过点D 作DE CA 交BA 的延长线于点E ．（Ⅰ）求证：2DE AE BE = ；（Ⅱ）若直线EF 与⊙O 相切于点F ，且4EF =，2EA =，求线段AC 的长．【答案】（I ）证明见解析；（II ）3．【解析】（I ）利用弦切角定理和D //C E A 证D ∆AE ∽D ∆EB ，进而可证2D E =AE⋅BE ；（II ）先利用切割线定理可得EB 和AB ，利用（I ）的结论可得D E ，再由D //C E A 可得C ∆BA ∽D ∆EB ，进而可得C A ．试题分析：试题解析：（Ⅰ）证明：因为AD 是⊙O 的切线， 所以DAC B ∠=∠（弦切角定理）．………………1分 因为DE CA ，所以DAC EDA ∠=∠．……………………………2分 所以EDA B ∠=∠．因为AED DEB ∠=∠（公共角），所以△AED ∽△DEB ．……………………………………………………………3分 所以DE AE BEDE=．即2DE AE BE = ．…………………………………………………………………4分 （Ⅱ）解：因为EF 是⊙O 的切线，EAB 是⊙O 的割线，所以2EF EA EB = （切割线定理）．……………………………………………5分 因为4EF =，2EA =，所以8EB =，6AB EB EA =-=．…………………7分 由（Ⅰ）知2DE AE BE = ，所以4DE =．………………………………………8分 因为DE CA ，所以△BAC ∽△BED ． ………………………………………9分 所以BA ACBEED =．所以6438BA EDAC BE⋅⨯===． …………………………………………………10分考点：1、相似三角形的判定定理；2、弦切角定理；3、切割线定理． 23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρsin 2=，[)0,2θ∈π.（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上求一点D ，使它到直线l：32x y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ）的距离最短，并求出点D 的直角坐标.【答案】（I ）2220x y y +-=（或()2211x y +-=）；（II）32⎫⎪⎪⎝⎭． 【解析】试题分析：（I ）先两边同乘ρ得22sin ρρθ=，再利用222x y ρ=+，sin y ρθ=可得曲线C 的直角坐标方程；（II ）先消去t 可得直线l 的普通方程，再设点D 的坐标，利用垂直可得0x ，进而检验可得点D 的坐标．试题解析：（Ⅰ）解：由θρsin 2=，[)0,2θ∈π，可得22sin ρρθ=．…………………………………………………………………1分 因为222x y ρ=+，sin y ρθ=，…………………………………………………2分所以曲线C 的普通方程为2220x y y +-=（或()2211x y +-=）． …………4分（Ⅱ）解法一：因为直线的参数方程为32x y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l的普通方程为5y =+． ……………………………………5分因为曲线C ：()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，设点()00,D x y ，且点D 到直线l：5y =+的距离最短， 所以曲线C 在点D 处的切线与直线l：5y =+平行． 即直线GD 与l 的斜率的乘积等于1-，即(0011y x -⨯=-．………………7分 因为()220011x y +-=，解得02x =-或02x =．所以点D 的坐标为12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………………9分由于点D 到直线5y =+的距离最短，所以点D 的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………………………………10分解法二：因为直线l 的参数方程为32x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l 50y +-=．……………………………………5分因为曲线C ()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，因为点D 在曲线C 上，所以可设点D ()cos ,1sin ϕϕ+[)()0,2ϕ∈π．………7分所以点D 到直线l 的距离为d =2sin 3ϕπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．………………………………8分 因为[)0,2ϕ∈π，所以当6ϕπ=时，min 1d =．…………………………………9分此时D 32⎫⎪⎪⎝⎭，，所以点D 的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………10分 考点：1、极坐标方程与直角坐标方程的互化；2、参数方程与普通方程的互化． 24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数()f x x x =+-． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()12f x ≥的解集； （Ⅱ）若对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，求实数b 的取值范围．【答案】（I ）1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；（II ）)+∞．【解析】试题分析：（I ）先代入1a =得()1f x x x =+-，写出分段函数，再求解()12f x ≥，进而可得实数x 的取值范围；(II)先由已知条件得()max b f x >⎡⎤⎣⎦，再利用绝对值不等式可得()f x 的最大值，进而利用基本不等式可得实数b 的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）解：当1a =时，()12f x ≥等价于112x x +-≥．……………………1分 ①当1x ≤-时，不等式化为112x x --+≥，无解； ②当10x -<<时，不等式化为112x x ++≥，解得104x -≤<；③当0x ≥时，不等式化为112x x +-≥，解得0x ≥．…………………………3分综上所述，不等式()1≥x f 的解集为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．………………………………4分 （Ⅱ）因为不等式()f x b ≥的解集为空集，所以()max b f x >⎡⎤⎣⎦．…………………5分 以下给出两种思路求()f x 的最大值.思路1：因为()f x x x =+- ()01a ≤≤，当x ≤()f x x x =-=0<．当x <时，()f x x x =2x =≤=当x ≥()f x x x =+=所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=7分思路2：因为 ()f x x x =x x ≤+==当且仅当x ≥ 所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=7分因为对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，所以max b >．………………………………………………………8分以下给出三种思路求()g a =.思路1：令()g a = 所以()21ga =+2212≤++=．=12a =时等号成立． 所以()max g a =⎡⎤⎣⎦所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分思路2：令()g a =因为01a ≤≤，所以可设2cos a θ= 02θπ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭， 则()g a=cos sin 4θθθπ⎛⎫+=+≤ ⎪⎝⎭当且仅当4θπ=时等号成立． 所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分思路3：令()g a =因为01a ≤≤，设x y ìï=ïíï=ïî则221x y +=()01,01x y＃＃．问题转化为在221x y +=()01,01xy ＃＃的条件下，求z x y =+的最大值．利用数形结合的方法容易求得z此时2x y ==．所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分考点：1、绝对值不等式；2、恒成立问题；3、基本不等式．。
xx年广州市一测数学试题(文科)全解析
秘密★启用前 试卷类型： A2018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学2018．3本试卷共5页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足()2i =1i z -，则复数z 的共轭复数z =A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i2．设集合{}=0,1,2,3,4,5,6A ，{}=2,B x x n n A =∈，则A B =A ．{}0,2,4B ．{}2,4,6C ．{}0,2,4,6D ．{0,2,4,6,8,10,123．已知向量()2,2OA =，()5,3OB =，则OA AB =-A ．10BCD ．24．等差数列{}n a 的各项均不为零，其前n 项和为n S ，若212n n n a a a ++=+，则21=n S +A ．42n +B ．4nC ．21n +D ．2n5．执行如图所示的程序框图，则输出的S =A ．920B ．49C ．29D ．9406．在四面体ABCD 中，E F ，分别为AD BC ，的中点，AB CD =， ABCD ，则异面直线EF 与AB 所成角的大小为A ．π6B ．π4C ．π3D ．π27．已知某个函数的部分图象如图所示，则这个函数的解析式可能是A ．ln y x x =B ．ln 1y x x x =-+C ．1ln 1y x x =+-D ．ln 1xy x x=-+- 8．椭圆22194x y +=上一动点P 到定点()1,0M 的距离的最小值为A ．2B ．455C ．1D ．2559．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A ．104223++ B ．1442+ C ．44223++D ．410．已知函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>在区间43π2π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则ω的取值范围为 A ．80,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．18,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．已知数列{}n a 满足12a =，2121n n n a a a +=+，设11n n n a b a -=+，则数列{}n b 是 A ．常数列B ．摆动数列C ．递增数列D ．递减数列12．如图，在梯形ABCD 中，已知2AB CD =，2=5AE AC ，双曲线 过C ，D ，E 三点，且以A ，B 为焦点，则双曲线的离心率为A ．7B ．22C ．3D ．10图②图① 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知某区中小学学生人数如图所示．为了解该区学生参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中需抽取20名学生， 则小学与初中共需抽取的学生人数为 名．14．若x ，y 满足约束条件230,10,10x y x y -+--⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥，则z x y =-+的最小值为 ．15．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图①的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是每行首尾数字均为1，从第三行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为n S ，如11S =，22S =，32S =，44S =，……，则32S = ．16．已知函数()()21,1,ln 2,1x x xf x x x +⎧<-⎪=⎨⎪+-⎩≥，()224g x x x =--．设b 为实数，若存在实数a ，使得()()1f a g b +=成立，则b 的取值范围为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知21=a ，1=-b c ，△ABC的外接圆半径为7． （1）求角A 的值； （2）求△ABC 的面积．18．（本小题满分12分）某地1~10岁男童年龄i x （岁）与身高的中位数i y ()cm ()1,2,,10i =如下表：x （岁）1 2 3 4 5 6 7 89 10 y()cm对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．x y()1021x x i i ∑-= ()1021y y i i ∑-= ()()101x x y y ii i ∑--=（1）求y 关于x 的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）；（2）某同学认为，2y px qx r =++更适宜作为y 关于x 的回归方程类型，他求得的回归方程是20.3010.1768.07y x x =-++．经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm ．与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？附：回归方程y a bx =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，a y bx =-．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，点E 在线段PA 上，PC平面BDE ．（1）求证：AE PE =；（2）若△PAD 是等边三角形，2AB AD =， 平面PAD ⊥平面ABCD ，四棱锥P ABCD -的()()()121nx x y y i i i b n x x i i =--∑=-∑=体积为E 到平面PCD 的距离．20．（本小题满分12分）已知两个定点()1,0M 和()2,0N ，动点P满足PN =．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若A ，B 为（1）中轨迹C 上两个不同的点，O 为坐标原点．设直线OA ，OB ，AB 的斜率分别为1k ，2k ，k ．当123k k =时，求k 的取值范围． 21．（本小题满分12分）已知函数()e 1x f x ax a =-+-． （1）若()f x 的极值为e 1-，求a 的值；（2）若),[+∞∈a x 时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知过点(),0P m 的直线l的参数方程是,1,2x m y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，且2PA PB ⋅=，求实数m 的值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()f x =23x a x b ++-．（1）当1a =，0b =时，求不等式()31f x x +≥的解集；（2）若0a >，0b >，且函数()f x 的最小值为2，求3a b +的值．秘密★启用前 试卷类型：A2018年广州市普通高中毕业班综合测试（二）文科数学2018．4本试卷共5页，23小题，满分150分。
2018年广东省广州市一测数学试题文科数学试题
秘密★启用前 试卷类型: A2018年广州市普通高中毕业班综合测试(一)文科数学2018.3本试卷共5页,23小题,满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上,用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号,并将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设复数z 满足()2i =1i z -,则复数z 的共轭复数z =A.2-B.2C.2i -D.2i2.设集合{}=0,1,2,3,4,5,6A ,{}=2,B x x n n A =∈,则A B =IA.{}0,2,4B.{}2,4,6C.{}0,2,4,6D.{}0,2,4,6,8,10,123.已知向量()2,2OA =uu r ,()5,3OB =uu u r ,则OA AB =-uuu r uuu rA.10D.24.等差数列{}n a 的各项均不为零,其前n 项和为n S ,若212n n n a a a ++=+,则21=n S + A.42n +B.4nC.21n +D.2n5.执行如图所示的程序框图,则输出的S =A.920B.49C.29D.9406.在四面体ABCD 中,E F ，分别为AD BC ，的中点,AB CD =, A B C D^,则异面直线EF 与AB 所成角的大小为 A.π6 B.π4 C.π3 D.π27.已知某个函数的部分图象如图所示,则这个函数的解析式可能是A.ln y x x =B.ln 1y x x x =-+C.1ln 1y x x =+-D.ln 1xy x x=-+- 8.椭圆22194x y +=上一动点P 到定点()1,0M 的距离的最小值为A.2C.19.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某个几何体的三视图,则该几何体的表面积为A.10+B.14+C.4+D.410.已知函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>在区间43π2π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增,则ω的取值范围为 A.80,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C.18,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.3,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.已知数列{}n a 满足12a =,2121n n n a a a +=+,设11n n n a b a -=+,则数列{}n b 是 A.常数列B.摆动数列C.递增数列D.递减数列12.如图,在梯形ABCD 中,已知2AB CD =,2=5AE AC uu u r uuu r,双曲线过C ,D ,E 三点,且以A ,B 为焦点,则双曲线的离心率为B.C.3D C ABE图②图① 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知某区中小学学生人数如图所示.为了解该区学生参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法来进行调查.若高中需抽取20名学生, 则小学与初中共需抽取的学生人数为 名.14.若x ,y 满足约束条件230,10,10x y x y -+--⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥，则z x y =-+的最小值为 .15.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中,用图①的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列,俗称“杨辉三角形”,该数表的规律是每行首尾数字均为1,从第三行开始,其余的数字是它“上方”左右两个数字之和.现将杨辉三角形中的奇数换成1,偶数换成0,得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表,由上往下数,记第n 行各数字的和为n S ,如11S =,22S =,32S =,44S =,……,则32S = .16.已知函数()()21,1,ln 2,1x x xf x x x +⎧<-⎪=⎨⎪+-⎩≥，()224g x x x =--.设b 为实数,若存在实数a ,使得()()1f a g b +=成立,则b 的取值范围为 .三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22、23题为选考题,考生根据要求做答. (一)必考题:共60分. 17.(本小题满分12分)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知21=a,1=-b c ,△ABC 的外(1)求角A 的值； (2)求△ABC 的面积.18.(本小题满分12分)某地1~10岁男童年龄i x (岁)与身高的中位数i y ()cm ()1,2,,10i =L 如下表:对上表的数据作初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.(1)求y 关于x 的线性回归方程(回归方程系数精确到0.01)；(2)某同学认为,2y px qx r =++更适宜作为y 关于x 的回归方程类型,他求得的回归方程是20.3010.1768.07y x x=-++.经调查,该地11岁男童身高的中位数为145.3cm .与(1)中的线性回归方程比较,哪个回归方程的拟合效果更好？附:回归方程y a bx =+$$$中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: ,a y bx =-$$.19.(本小题满分12分)如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,点E 在线段PA 上,PC P 平面BDE . (1)求证:AE PE =；(2)若△PAD 是等边三角形,2AB AD =, 平面PAD ⊥平面ABCD ,四棱锥P ABCD -的 体积为求点E 到平面PCD 的距离.()()()121nx x y yi i i b n x x i i =--∑=-∑=$20.(本小题满分12分)已知两个定点()1,0M 和()2,0N ,动点P满足PN =.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若A ,B 为(1)中轨迹C 上两个不同的点,O 为坐标原点.设直线OA ,OB ,AB 的斜率分别为1k ,2k ,k .当123k k =时,求k 的取值范围. 21.(本小题满分12分)已知函数()e 1x f x ax a =-+-. (1)若()f x 的极值为e 1-,求a 的值；(2)若),[+∞∈a x 时,()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4－4:坐标系与参数方程已知过点(),0P m 的直线l的参数方程是,1,2x m y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 和曲线C 交于A ,B 两点,且2PA PB ⋅=,求实数m 的值.23.(本小题满分10分)选修4－5:不等式选讲已知函数()f x =23x a x b ++-.(1)当1a =,0b =时,求不等式()31f x x +≥的解集； (2)若0a >,0b >,且函数()f x 的最小值为2,求3a b +的值.。
高三数学-2018年广州市高三数学一模试题及答案 精品
试卷类型：A2018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数 学2018.3本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页。
满分为150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上，用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第一部分 选择题（共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P （A +B ）=P （A ）+P （B ） S =4πR 2 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P .334R V π=那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n kk n n P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． （1）已知向量a ＝（8，x 21，x ），b ＝（x ，1，2），其中x ＞0．若a ∥b ，则x 的值为 （A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ） 0 （2）已知复数i z +=21,i z +=12,则21z z 在复平面内对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）下列函数在0x =处连续的是（A ）1(0)()1(0)x f x x x -≤⎧=⎨->⎩（B ） ln y x =（C ） x y x = （D ） 1(0)()0(0)1(0)x f x x x ->⎧⎪==⎨⎪<⎩（4）已知函数f （xx ∈[0，52]），则其反函数1()f x -为 （A（x ∈[0，52]） （B（x ∈[0，5]） （C（x ∈[0，52]） （D（x ∈[0，5]） （5）已知3sin()45x π-=，则sin 2x 的值为（A ）1925 （B ）1625 （C ）1425 （D ）725（6）已知双曲线2213x ym -=的离心率e ＝2，则该双曲线两条准线间的距离为（A ）2 （B ）32 （C ）1 （D ）12（7）若x x f 21log )(=， A )2(b a f +=，G )(ab f =，H )2(ba abf +=，其中a ，∈b R +，则A ，G ，H 的大小关系是（A ）A ≤G ≤H （B ）A ≤H ≤G （C ）H ≤G ≤A （D ）G ≤H ≤A（8）在同一平面直角坐标系中，函数12)(+=x x f 与x x g -=12)(的图象关于（A ）原点对称 （B ） x 轴对称（C ）y 轴对称 （D ）直线x y =对称 （9）直线x －3y ＋4＝0与曲线2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点有（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个（10）某文艺团体下基层进行宣传演出，原准备的节目表中有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，在它们之间再插入2个小品节目，并且这2个小品节目在节目表中既不排头，也不排尾，则不同的插入方法有 （A ）20种 （B ）30种 （C ）42种 （D ）56种（11）若等比数列的各项均为正数，前n 项之和为S ，前n 项之积为P ，前n 项倒数之和为M ，则（A ）P =M S （B ）P ＞M S （C ）n M S P ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2 （D ）2P ＞nM S ⎪⎭⎫ ⎝⎛（12）某个凸多面体有32个面，各面是三角形或五边形，每个顶点处的棱数都相等，则这个凸多面体的顶点数可以是（A ）60 （B ）45 （C ）30 （D ）15第二部分 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．（13）抛物线x y 42=上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离MF = 4，则点M 的横坐标=x ． （14）若正六棱锥的底面边长为6，侧棱长为35，则它的侧面与底面所成的二面角的大小为 ． （15）已知某离散型随机变量ξ的数学期望E ξ=7，ξ的分布列如下： 则a = ．（16）设p ：|4x －3|≤1； q ：2(21)(1)x a x a a -+++≤0．若﹁ p 是﹁ q 的必要而不充分的条件，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张．甲从第一小组的10张票中任抽1张，和乙从第二小组的10张票中任抽1张．（Ⅰ）两人都抽到足球票的概率是多少？（Ⅱ）两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少？（18）（本小题满分12分）如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，已知AB ＝2，AA 1＝5，E 、F 分别为1D D 、B 1B 上的点，且11==F B DE ．（Ⅰ）求证：⊥BE 平面ACF ；（Ⅱ）求点E 到平面ACF 的距离．（19）（本小题满分12分）已知电流I 与时间t 的关系式为sin()I A t ωϕ=+．（Ⅰ）右图是sin()I A t ωϕ=+（ω＞0，||2πϕ<）在一个周期内的图象，根据图中数据求sin()I A t ωϕ=+的解析式；（Ⅱ）如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流 sin()I A t ωϕ=+都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？（20）（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为S n ，且对任意正整数n 都有2S n ＝(n ＋2)a n －1． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设13242111n n n T a a a a a a +=+++⋅⋅⋅ ，求lim n n T →∞．（21）（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x x x =+-． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）若1x >-，证明：11ln(1)1x x x -≤+≤+．（22）（本小题满分14分）已知曲线2224440x y x y ++++=按向量a ＝（2，1）平移后得到曲线C ． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点D （0，2）的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间，设DM＝λMN，求实数λ的取值范围．2018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学试题参考解答及评分标准一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 一、二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． （13）3 （14）300 （15）31 （16）[0，12]三、解答题：（17）本小题主要考查相互独立事件同时发生和互斥事件至少有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．解：记“甲从第一小组的10张票中任抽１张，抽到足球票”为事件A ，“乙从第二小组的10张票中任抽１张，抽到足球票”为事件B ，则“甲从第一小组的10张票中任抽１张，抽到排球票”为事件A ，“乙从第二小组的10张票中任抽１张，抽到排球票”为事件B ，…2分 于是 63()105P A ==，2()5P A =；42()105P B ==，3()5P B =． 由于甲（或乙）是否抽到足球票，对乙（或甲）是否抽到足球票没有影响，因此A 与B 是相互独立事件． …6分（Ⅰ）甲、乙两人都抽到足球票就是事件A ·B 发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得到P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ）＝3255⋅＝625． 答：两人都抽到足球票的概率是625． …9分 （Ⅱ）甲、乙两人均未抽到足球票（事件A ·B 发生）的概率为：P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ）＝2355⋅＝625． ∴ 两人中至少有1人抽到足球票的概率为：P ＝1－P （A ·B ）＝1－625＝1925． 答：两人中至少有1人抽到足球票的概率是1925． …12分（18）本小题主要考查空间线面关系和空间距离的概念，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力．满分12分． 解法一：（Ⅰ）以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图的空间直角坐标系，则 D （0，0，0），A （2，0，0），B （2，2，0）， C （0，2，0），D 1（0，0，5），E （0，0，1）， F （2，2，4）． …2分∴ AC ＝（－2，2，0），AF＝（0，2，4），BE ＝（－2，－2，1），AE＝（－2，0，1）．…4分 ∵ BE ·AC ＝0，BE ·AF＝0，从而⊥BE AC ，⊥BE AF ，且A AF AC = ， ∴ ⊥BE 平面ACF ． …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE为平面ACF 的一个法向量，∴ 向量AE 在BE上的射影长即为E 到平面ACF 的距离，设为d ． …8分于是 |||cos ,|d AE AE BE =<> ＝||||AE BE BE ⋅＝53， 故点E 到平面ACF 的距离为53． …12分 解法二：（Ⅰ）连BD ，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，AC ⊥BD ， 根据三垂线定理得AC ⊥BE ． ① …2分 过E 作EG ∥DC 交CC 1于G ，连BG ， ∵ tan ∠GBC ＝GC BC ＝12，tan ∠CFB ＝BC FB ＝24＝12， 且∠GBC 和∠CFB 都为锐角，∴ ∠GBC ＝∠CFB ．∵ ∠GBC ＋∠FCB ＝∠CFB ＋∠FCB ＝900， ∴ CF ⊥BG ， …4分 又CF ⊥EG ，且G EG BG = ，∴ CF ⊥平面BEG ．∵ BE ⊂平面BEG ， ∴ CF ⊥BE ． ②由①、②可知，⊥BE 平面ACF ． …６分 （Ⅱ）BE 3． …8分 先求出点B 到平面ACF 的距离h ． 由 B ACF F ABC V V --=得 ABC ACFS FBh S ∆∆⋅=． …10分在△ACF 中，AC ＝AF ＝CF ＝∴ ACF S ∆＝6，又FB ＝4，ABC S ∆＝2． ∴ 246h ⋅=＝43． 故点E 到平面ACF 的距离为3－43＝53． …12分 （19）考查运算能力和逻辑推理能力．满分12分．解：（Ⅰ）由图可知 A ＝300，设t 1＝－1900，t 2＝1180， 则周期T ＝2（t 2－t 1）＝2（1180＋1900）＝175． ∴ ω＝2T π＝150π． …4分 又当t ＝1180时，I ＝0，即sin （150π·1180＋ϕ）＝0，而||2πϕ<， ∴ ϕ＝6π． 故所求的解析式为300sin(150)6I t ππ=+． …8分（Ⅱ）依题意，周期T ≤1150，即2πω≤1150，（ω>0） ∴ ω≥300π＞942，又ω∈N *，故最小正整数ω＝943． …12分（20）本小题主要考查数列与极限等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力．满分12分． （Ⅰ）解法一：在2S n ＝（n ＋2）a n －1中， 令n ＝1，得2 a 1＝3 a 1－1，求得a 1＝1， 令n ＝2，得2（a 1＋a 2）＝4a 2－1，求得a 2＝32； 令n ＝3，得2（a 1＋a 2＋a 3）＝5 a 3－1，求得a 3＝2； 令n ＝4，得2（a 1＋a 2＋a 3＋a 4）＝6 a 4－1，求得a 4＝52． 由此猜想：a n ＝12n +． …3分 下面用数学归纳法证明．（1）当n ＝1时，a 1＝112+＝1，命题成立． （2）假设当n ＝k 时，命题成立，即a k ＝12k +，且2S k ＝（k ＋2）a k －1，则由2S k ＋1＝（k ＋3）a k ＋1－1及S k ＋1＝ S k ＋a k ＋1，得（k ＋3）a k ＋1－1＝2S k ＋2a k ＋1，即（k ＋3）a k ＋1－1＝[（k ＋2）a k －1]＋2a k ＋1． 则a k ＋1＝(2)1k k a k ++＝22k +，这说明当n ＝k ＋1时命题也成立． 根据（1）、（2）可知，对一切n ∈N *命题均成立． …6分 解法二：在2S n ＝（n ＋2）a n －1中，令n ＝1，求得a 1＝1． ∵ 2S n ＝（n ＋2）a n －1，∴ 2S n －1＝（n ＋1）a n －1－1．当n ≥2时，两式相减得：2（S n －S n －1）＝（n ＋2）a n －（n ＋1）a n －1， 即 2 a n ＝（n ＋2）a n －（n ＋1）a n －1， 整理得，11n n a n a n -+=． …3分 ∴ n a ＝1n n a a -·12n n a a --·…·32a a ·21aa ·1a ＝1n n +·1n n -·…·43·32·1 ＝12n +．当n ＝1时， n a ＝112+，满足上式，∴ n a ＝12n +. …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知n a ＝12n +，则21n n a a +⋅＝4(1)(3)n n ++＝2（11n +－13n +）． …9分∴ 13242111n n n T a a a a a a +=+++⋅⋅⋅ ＝2[（12－14）＋（13－15）＋（14－16）＋……＋（1n －12n +）＋（11n +－13n +）]＝2（12＋13－12n +－13n +）．∴ lim n n T →∞＝53． …12分（21）本小题主要考查函数、不等式、导数等有关知识，考查运用所学知识分析和解决问题的能力．满分12分．（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域为(1,)-+∞．()f x '＝11x +－1＝－1x x + …2分 由()f x '＜0及x ＞－1，得x ＞0．∴ 当x ∈（0，＋∞）时，()f x 是减函数，即()f x 的单调递减区间为（0，＋∞）． …4分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当x ∈（－1，0）时，()f x '＞0，当x ∈（0，＋∞）时，()f x '＜0， 因此，当1x >-时，()f x ≤(0)f ，即ln(1)x x +-≤0．∴ ln(1)x x +≤． …6分 令1()ln(1)11g x x x =++-+， 则211()1(1)g x x x '=-++＝2(1)xx +． …8分 ∴ 当x ∈（－1，0）时，()g x '＜0，当x ∈（0，＋∞）时，()g x '＞0． …10分 ∴ 当1x >-时，()g x ≥(0)g ，即 1ln(1)11x x ++-+≥0， ∴ 1ln(1)11x x +≥-+． 综上可知，当1x >-时，有11ln(1)1x x x -≤+≤+． …12分 （22）本小题主要考查平面向量、线段的定比分点、平移、直线与椭圆的关系等有关知识，考查综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解：设P （x ，y ）为曲线C 上任意一点，它在曲线2224440x y x y ++++=上的对应点为P '（x '，y '），依题意21x x y y '=+⎧⎨'=+⎩ 即21x x y y '=-⎧⎨'=-⎩…2分代入曲线2224440x y x y ++++=中，得22(2)2(1)4(2)4(1)40x y x y -+-+-+-+=．整理得 2222x y +=．∴ 曲线C 的方程为2212x y +=． …4分 （Ⅱ）解法一：（1）当直线l 的斜率不存在时，显然有M （0，1），N （0，－1），此时λ＝12． …6分 （2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：2y kx =+．将直线l 的方程代入椭圆C 中并整理得：22(21)860k x kx +++=． （*）由于直线l 与椭圆有两个不同的交点，则△＝64k 2－24（2k 2＋1）＞0，得k 2＞32． …8分 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1、x 2为方程（*）的两相异实根，于是 122122821621k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∵ DM ＝λMN ，∴x 1＝λ（x 2－x 1），则121x x λλ=+，进而122111x x x x λλλλ++=++． …10分另一方面22212121212211212()2x x x x x x x x x x x x x x ++-+==＝22323(21)k k +－2＝23213(2)k+－2， 而 k 2＞32，得 4＜23213(2)k+＜163，即12211023x x x x <+<， …12分 亦即 110213λλλλ+<+<+， 又λ＞0，故解得 λ＞12．综合（1）、（2）得，λ的取值范围为[12，＋∞)． …14分 解法二：设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），根据线段的定比分点公式得，211x x λλ=+，2121y y λλ+=+． …6分 由于点M 、N 在椭圆2222x y +=上， ∴ 221122x y +=，即22()1x λλ+＋2222()1y λλ++＝2． …8分 整理得2222222(2)88242x y y λλλλ+++=++．∵222222x y +=，∴222288242y λλλλ++=++．即2234y λλ-=． …11分 ∵－1≤y 2≤1，∴ －1≤234λλ-≤1，又λ＞0，故解得 λ≥12．故λ的取值范围为[12，＋∞)． …14分解法三：设曲线C 上任一点Pα，sin α），则|PD|…8分当sinα＝1，即点P为椭圆短轴上端点B（0，1）时，|PD|min＝1，当sinα＝－1，即点P为椭圆短轴下端点A（0，－1）时，|PD|max＝3，…10分∴|DM|≥|DB|＝1，|DN|≤|DA|＝3，从而|MN|＝|DN|－|DM|≤2．…12分∴λ＝||||DMMN≥12（等号当且仅当B与M重合时成立）．又∵λ＞0，故λ的取值范围为[12，＋∞)．…14分。
2018年3月广东省广州市2018年普通高中毕业班综合测试一文科数学试题及理科数学试题参考答案汇编广州一模
4n
3
1 2
n
．
因为 an
4n 3 ，所以 bn
4n－3
4n－3
1 2
n
2n （ n
1 时也符合公式）．
又 bn1 2n1 2 ，则数列
bn
2n
bn
是首项为 2 公比为 2 的等比数列．
2 1 2n
所以Tn 1 2 2n1 2 ．
可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答 有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．
一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D B D D A C D B C A A
以 O 为原点， OA ， OB ， OS 为 x 轴， y 轴， z 轴正向建立空间直角坐标系，
则 A3,0,0 ， B 0, 3,0 ， C 1,0,0 ， S 0,0, 3 ．
所以 AB 3, 3,0 ， CB 1, 3,0 ， SB 0, 3, 3 ．
所以二面角 A SB C 的余弦值为 105 ． 35
解法 2：因为 SC BD ，由（1）知 AC BD ，且 AC SC C ， 所以 BD 平面 SAC ． 而 SO 平面 SAC ，所以 SO BD ． 由（1）知， AC 平面 SBD ， SO 平面 SBD ，所以 SO AC ． 因为 AC BD O ，所以 SO 平面 ABCD ．
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A． 4 n 2
B． 4n
5．执行如图所示的程序框图，则输出的
C． 2n 1 S
D． 2n
n 2, S 0
y log x 1
S S+ nn 2
nn2
否 n≥19?
A． 9 20
B． 4 9
C． 2 9
D． 9 40
6．在四面体 ABCD 中， E，F 分别为 AD，BC 的中点， AB=CD ，
AB ^ CD ，则异面直线 EF 与 AB 所成角的大小为
A． π 6
B． π 4
C． π 3
D． π 2
7．已知某个函数的部分图象如图所示，则这个函数的解析式可能是
是 输出 S
结束
A． y x ln x
B． y x ln x x 1
1
C． y ln x
1
x
D． y
ln x x1
x
8．椭圆 x 2 9
y2 1 上一动点 P 到定点 M 1,0 的距离的最小值为
1 B． 0,
2
18 C． ,
23
3 D． , 2
8
11．已知数列 an 满足 a1 2 ， 2anan 1 an2 1 ，设 bn
an an
1
，则数列
1
bn 是
A．常数列
B．摆动数列
C．递增数列
D．递减数列
12．如图，在梯形 ABCD 中，已知 AB
uuur 2 uuru 2 CD ， AE= AC ，双曲线过
C ， D ， E 三点，
5
且以 A ， B 为焦点，则双曲线的离心率为
A． 7
B． 2 2
C． 3
D． 10
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知某区中小学学生人数如图所示．为了解该区学生参加某项社会实践活动的意向，拟采
用分层抽样的方法来进行调查． 若高中需抽取 20 名学生， 则小学与初中共需抽取的学生人
对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
x
y
5.5 112.45
10
2
i 1 xi x
82.50
10
2
i 1 yi y
3947.71
10 i 1 xi x yi y
566.85
（ 1）求 y 关于 x 的线性回归方程（回归方程系数精确到
0.01 ）；
（ 2）某同学认为， y px 2 qx r 更适宜作为 y 关于 x 的回归方程类型， 他求得的回归
A． 0,2,4
B． 2,4,6
C． 0,2,4,6 D． 0,2,4,6,8,10,12
uur
uuur
uuur uuur
3．已知向量 OA 2,2 ， OB 5,3 ，则 OA AB
开始
A． 10
B． 10
C． 2
D． 2
4．等 差 数 列 an 的 各 项 均 不 为 零 ， 其 前 n 项 和 为 Sn ， 若 an2 1 an 2 an ，则 S2 n 1=
换成 1 ，偶数换成 0 ，得到图②所示的由数字 0 和 1 组成的三角形数表，由上往下数，记
第 n 行各数字的和为 Sn ，如 S1 1， S2 2 ， S3 2 ， S4 4， ,, ，则 S32
．
16． 已知函数 f x
x1 x2 ,
x 1, gx
ln x 2 , x≥ 1，
x2 2x 4 ．设 b 为实数，若存在实数 a ，
方程是 y 0.30 x2 10.17 x 68.07 ．经调查， 该地 11 岁男童身高的中位数为 145.3cm ．与
（ 1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？
附： 回归方程 $y $a $bx中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别
为：
， $a y $bx ．
n
Байду номын сангаас
$b
i 1 xi n
2018 年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 文科数学
2018 ．3
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．设复数
z 满足 zi = 1
2
i ，则复数
z 的共轭复数
z
A． 2
B． 2
C． 2i
D． 2i
2．设集合 A= 0,1,2,3,4,5,6 ， B = x x 2n, n A ，则 A I B
使得 f a g b 1成立，则 b 的取值范围为
．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第
17～ 21 题为必考题，
每个试题考生都必须做答．第 22、 23 题为选考题，考生根据要求做答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（本小题满分 12 分）
△ ABC 的内角 A， B ，C 的对边分别为 a ， b ，c ，已知 a
的
体积为 9 3 ，求点 E 到平面 PCD 的距离．
20．（本小题满分 12 分）
已知两个定点 M 1,0 和 N 2,0 ，动点 P 满足 PN 2 PM ． （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2）若 A ， B 为（1）中轨迹 C 上两个不同的点， O 为坐标原点． 设直线 OA ，OB ， AB
21 ， c b 1 ，△ ABC
的外接圆半径为 7 ． （ 1）求角 A 的值； （ 2）求△ ABC 的面积．
18．（本小题满分 12 分）
某地 1~10 岁男童年龄 xi （岁）与身高的中位数 yi cm i 1,2, L ,10 如下表：
x （岁） 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y cm 76.5 88.5 96.8 104.1 111.3 117.7 124.0 130.0 135.4 140.2
4
A． 2
45
B．
5
9．如图，网格纸上小正方形的边长为
表面积为
C． 1
D．
1 ，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的
A． 10 4 2 2 3 C． 4 4 2 2 3
B． 14 4 2
D． 4
10．已知函数 f x sin x 6
为
0 在区间
， 上单调递增，则 43
的取值范围
A． 0, 8 3
数为
名．
2x y 3≤0,
14．若 x ， y 满足约束条件 x 1≤0,
则 z x y 的最小值为
．
y 1≥0，
15．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图①的数表列出了一些正整数
在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形” ，该数表的规律是每行首尾数字均为 1， 从第三行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和．现将杨辉三角形中的奇数
x
yi y 2
i 1 xi x
19．（本小题满分 12 分）
如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，点 E 在线段 PA 上， PC P 平面 BDE ． （ 1）求证： AE PE ； （ 2）若△ PAD 是等边三角形， AB 2AD ，平面 PAD 平面 ABCD ，四棱锥 P ABCD