《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2第一章 投影与直观图
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2【配套备课资源】第一章 1.1.2(一)
研一研· 问题探究、课堂更高效
1.1.2（一）
问题 3
本 课 时 栏 目 开 关
依据棱柱底面多边形的边数如何分类？如何用棱柱
各顶点的字母表示棱柱？
答 底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三 棱柱、四棱柱、五棱柱……；图 1 中的六棱柱用各顶点字母 可 表 示 为 棱 柱 ABCDEF—A′B′C′D′E′F′ 或 棱 柱 AD′.
小结 如果一个几何体有两个平面平行，其它平面都是四 边形，并且每相邻两个侧面的公共边相互平行，这个几何 体就是棱柱．
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1.1.2（一）
跟踪训练 2 正方体集合记为 A， 长方体集合记为 B， 直棱柱
本 课 时 栏 目 开 关
集合记为 C，棱柱集合记为 D，写出这四个集合之间的关系．
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1.1.2（一）
例 2 如图， 截面 BCEF 将长方体分割成两部 分，这两部分是否为棱柱？
本 课 时 栏 目 开 关
解 从图中看出，EF 与 BC 平行，所以分割成的两部分都 是棱柱，因为都有两个面互相平行，而且夹在这两个平行 平面间的每相邻两个面的交线都互相平行．
本 课 时 栏 目 开 关
体．(1)棱柱有两个面 互相平行 ，(2)其余每相邻两个面 的交线都 互相平行 ．棱柱的两个互相平行的面叫做棱柱
的底面 ，其余各面叫做 棱柱的侧面 ，两侧面的公共边叫
做棱柱的侧棱． 棱柱两底面之间的 距离 ， 叫做棱柱的高． 4．棱柱的分类：侧棱与底面不垂直的棱柱叫做 斜棱柱 ，侧 棱与底面垂直的棱柱叫做 直棱柱 ，底面是正多边形的直 棱柱叫做 正棱柱 .
填一填· 知识要点、记下疑难点
1.1.2（一）
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2【配套备课资源】第一章 1.2.2(一)
本 课 时 栏 目 开 关
∵F 为 CC1 的中点，
∴BG 綊 C1F.
∴四边形 BGC1F 为平行四边形．
∴BF 綊 GC1. 又∵EG 綊 A1B1，A1B1 綊 C1D1，
∴EG 綊 D1C1.
∴四边形 EGC1D1 为平行四边形．
∴ED1 綊 GC1.∴BF 綊 ED1.
－A1B1C1D1 的棱 AD, A1D1 的中点．求证： ∠C1E1B1 ＝ ∠CEB.
本 课 时 栏 目 开 关
证明 由于 E， 1 分别是正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱 AD, E A1D1 的中点，
所以 EE1∥DD1，且 EE1＝DD1，
又因 DD1∥CC1 且 DD1＝CC1，
∴四边形 MNA1C1 是梯形．
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1.2.2(一)
(2)由(1)可知 MN//A1C1，
又∵ND//A1D1，
本 课 时 栏 目 开 关
∴∠DNM 与∠D1A1C1 相等或互补． 而∠DNM 与∠D1A1C1 均是直角三角形的一个锐角，
∴∠DNM＝∠D1A1C1.
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1.2.2(一)
问题 2
你能画出一个空间四边形，并指出空间四边形的对
角线Байду номын сангаас？
本 课 时 栏 目 开 关
答 如图，是一个空间四边形， AC、BD 是它的对角线.
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1.2.2(一)
问题 3
空间四边形的常见画法经常用一个平面衬托，你能
画出吗？
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修2-1【配套备课资源】3.2.4doc
3.2.4 二面角及其度量一、基础过关1．一个二面角的两个面分别平行于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角( )A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．不确定 2．若分别与一个二面角的两个面平行的向量m ＝(－1，2,0)，n ＝(1,0，－2)，且m 、n 都与二面角的棱垂直，则二面角的正弦值为( ) A.15 B.245 C.14 D.1543．二面角α—l —β中，平面α的一个法向量n 1＝⎝⎛⎭⎫32，－12，－2，平面β的一个法向量n 2＝⎝⎛⎭⎫0，12，2，则二面角α—l —β的大小为 ( ) A ．120°B ．150°C ．30°或150°D ．60°或120° 4.在正方体AC 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的 二面角的余弦值为( )A ．－12B.23C.33D.22 5．平面α的一个法向量n 1＝(1,0,1)，平面β的一个法向量n 2＝(－3,1,3)，则α与β所成的角是________．6．已知A ∈α，P ∉α，P A →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，2，平面α的一个法向量n ＝⎝⎛⎭⎫0，－12，－2，则直线P A 与平面α所成的角为________．二、能力提升7．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝1，则二面角B —AC —D 的余弦值为( )A.13B.12C.233D.32 8．A 、B 是二面角α—l —β的棱l 上两点，P 是平面β上一点，PB ⊥l 于B ，P A 与l 成45°角，P A 与平面α成30°角，则二面角α—l —β的大小是( ) A ．30° B ．60° C ．45° D ．75°9.如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处．从A，B到直线l(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c，AB的长为d.水库底与水坝所成二面角的余弦值为________．10.如图，已知四棱锥P—ABCD中，P A⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，P A＝AB＝a，点M是PC的中点．(1)求BP与DM所成的角的大小；(2)求二面角M—DA—C的大小．11.如图，四棱锥F—ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC＝2，BD ＝ 2.CF与平面ABCD垂直，CF＝2.求二面角B—AF—D的大小．三、探究与拓展12. 如图，在四棱锥A—BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝2，AB＝AC.(1)证明AD⊥CE；(2)设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C—AD—E的余弦值．答案1．C 2．B 3．C 4．B5．90°7．A 8．C 9.a 2＋b 2＋c 2－d 22ab10．解 (1)建系如图，由已知得A (0,0,0)，B (a,0,0)，C (a ，a,0)，D (0，a,0)，P (0,0，a )，M ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2.设直线BP 与DM 所成的角为θ.∵BP →＝(－a,0，a )，DM →＝⎝⎛⎭⎫a 2，－a 2，a 2， ∴BP →·DM →＝0.∴BP 与DM 所成的角的大小为90°.(2)∵AP →＝(0,0，a )，AB →＝(a,0,0)，AD →＝(0，a,0)，BP →＝(－a,0，a )，∴BP →·AD →＝0，AP →·AB →＝0，AP →·AD →＝0.又由(1)知BP →·DM →＝0，∴BP →是平面MDA 的法向量，AP →是平面ABCD 的法向量，则cos 〈BP →，AP →〉＝BP →·AP →|BP →||AP →|＝22. ∴所求的二面角M —DA —C 的大小为45°.11．解 过点A 作AE ⊥平面ABCD .以A 为坐标原点，BD →、AC →、AE →方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．于是B ⎝⎛⎭⎫－22，1，0， D ⎝⎛⎭⎫22，1，0，F (0,2,2)．设平面ABF 的法向量n 1＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－22x ＋y ＝0，2y ＋2z ＝0.令z ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝－1.所以n 1＝(－2，－1,1)．同理，可求得平面ADF 的法向量n 2＝(2，－1,1)．由n 1·n 2＝0知，平面ABF 与平面ADF 垂直，所以二面角B —AF —D 的大小等于π2.12. (1)证明 作AO ⊥BC ，垂足为O ，则AO ⊥底面BCDE ，且O 为BC 的中点．以O 为坐标原点，射线OC 为x 轴正方向，建立如图所示的直角坐标系Oxyz .设A (0,0，t )．由已知条件有C (1,0,0)，D (1，2，0)，E (－1，2，0)，CE →＝(－2，2，0)，AD →＝(1，2，－t )，所以CE →·AD →＝0，得AD ⊥CE .(2)解 作CF ⊥AB ，垂足为F ，连接FE ，如图所示．设F (x,0，z )，则CF →＝(x －1,0，z )，BE →＝(0，2，0)，CF →·BE →＝0.故CF ⊥BE .又AB ∩BE ＝B ，所以CF ⊥平面ABE ，故∠CEF 是CE 与平面ABE 所成的角，∠CEF ＝45°，由CE ＝6，得CF ＝ 3.又CB ＝2，所以∠FBC ＝60°，所以△ABC 为等边三角形，因此A (0,0，3)． 作CG ⊥AD ，垂足为G ，连接GE .在Rt △ACD 中，求得|AG |＝23|AD |. 故G ⎝⎛⎭⎫23，223，33，GC →＝⎝⎛⎭⎫13，－223，－33， GE →＝⎝⎛⎭⎫－53，23，－33. 又AD →＝(1，2，－3)，GC →·AD →＝0，GE →·AD →＝0， 所以GC →与GE →的夹角等于二面角C —AD —E 的平面角．由cos 〈GC →，GE →〉＝GC →·GE →|GC →||GE →|＝－1010.。
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2【配套备课资源】第一章 1.2.3(二)
小结 对于由平面图形折叠而成的几何体，要注意利用平面 图形折叠前后有些线段的长度及角的大小不变的性质．
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1.2.3（二）
跟踪训练 2 如图，在四面体 ABCD 中，BD＝ 2a，AB＝AD＝BC＝CD＝AC＝a.求证：平面 ABD⊥平面 BCD.
∴△ABD 为正三角形．∴BG⊥AD.
又 AD∩PG＝G，∴BG⊥平面 PAD.
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1.2.3（二）
(2)由(1)可知 BG⊥AD，PG⊥AD.∴AD⊥平面 PBG， 又∵PB⊂面 PBG，∴AD⊥PB.
本 课 时 栏 目 开 关
小结
证明线面垂直，除利用定义和判定定理外，另一种重
所以 AD⊥平面 BDC. 因为平面 ABD 和 ACD 都过 AD， 所以平面 ABD⊥平面 BDC，平面 ACD⊥平面 BDC；
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1.2.3（二）
(2)如图(1)中，在直角△BAC 中，
2 因为 AB＝AC＝a，所以 BC＝ 2a, 所以 BD＝DC＝ a, 2 如图(2)，△BDC 是等腰直角三角形，
填一填· 知识要点、记下疑难点
1.2.3（二）
1．两平面垂直的定义：如果两个相交平面的 交线 与第三个
本 课 时 栏 目 开 关
平面垂直， 又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交 线 互相垂直 ，就称这两个平面互相垂直．两个平面 α，β 互相垂直，记作： α⊥β . 2． 面面垂直的判定定理： 如果一个平面过另一个平面的 一条
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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修2-1【配套备课资源】3.1.2
3.1.2 空间向量的基本定理一、基础过关1．“a ＝x b ”是“向量a 、b 共线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件2．满足下列条件，能说明空间不重合的A 、B 、C 三点共线的是( ) A.AB →＋BC →＝AC →B.AB →－BC →＝AC →C.AB →＝BC → D ．|AB →|＝|BC →| 3．已知{a ，b ，c }是空间向量的一个基底，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( ) A ．aB ．bC ．a ＋2bD ．a ＋2c4．设M 是△ABC 的重心，记BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则AM →等于( ) A.b －c 2B.c －b 2C.b －c 3D.c －b 35．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，若由OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的一点P 与A ，B ，C 三点共面，则λ＝________.6．在四面体O —ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．二、能力提升7．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A 、B 、DB ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D8．在下列等式中，使点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( ) A.OM →＝25OA →－15OB →－15OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝09．在以下3个命题中，真命题的个数是________．①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面．②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线． ③若a ，b 是两个不共线向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．10．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，试求实数k 的值．11.如图所示，四边形ABCD 和四边形ABEF 都是平行四边形，且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．12.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量A 1B →、B 1C →、EF →是共面向量．三、探究与拓展13.如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1. (1)证明：A 、E 、C 1、F 四点共面；(2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z .答案1．A 2．C 3．D 4．D 5.215 6.12a ＋14b ＋14c7．A 8．C9．210．解 因为BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2， 又A ，B ，D 三点共线，由共线向量定理得12＝－4k ，所以k ＝－8.11．解 ∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点， 而四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形， ∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.又∵MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，∴12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →.∴CE →＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →)． ∴CE →＝2MN →.∴CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．12．证明如图．EF →＝EB →＋BA 1→＋A 1F →＝12B 1B →－A 1B →＋12A 1D 1→＝12(B 1B →＋BC →)－A 1B →＝12B 1C →－A 1B →.由向量共面的充要条件知，A 1B →、B 1C →、EF →是共面向量．13．(1)证明 因为AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→ ＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13AA 1→＋(AD →＋23AA 1→) ＝AB →＋BE →＋AD →＋DF →＝AE →＋AF →，所以A 、E 、C 1、F 四点共面．(2)解 因为EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →)＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→ ＝－AB →＋AD →＋13AA 1→. 所以x ＝－1，y ＝1，z ＝13. 所以x ＋y ＋z ＝13.。
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2【配套备课资源】第一章 1.1.6
研一研· 问题探究、课堂更高效
1.1.6
探究点三
答
本 课 时 栏 目 开 关
圆柱、圆锥、球的表面积
问题 1 如何根据圆柱的展开图，求圆柱的表面积？
图柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面 圆周长，宽是圆柱的高(母线), 设圆柱的底面半 径为 r，母线长为 l，
面面积等于它的大圆面积的四倍．
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1.1.6
[问题情境]
本 课 时 栏 目 开 关
已知 ABB1A1 是圆柱的轴截面，AA1＝a，AB＝b，P 是 BB1 的中点；一小虫沿圆柱的侧面从 A1 爬到 P，如何求小虫爬 过的最短路程？要解决这个问题需要将圆柱的侧面展开， 本节我们将借助几何体的侧面展开图来研究几何体的表面 积．
答 涂 100 个这样的花盆需油漆 1 000 毫升.
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
1.1.6
1．用长为 4，宽为 2 的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴
本 课 时 栏 目 开 关
截面面积为 A．8 8 B． π 4 C． π 2 D． π
(
)
解析 围成圆柱有两种方式，一种是以 2 为圆柱的母线， 4 圆柱底面圆的周长为 4，所以圆半径为 ， 2π 4 8 圆柱轴截面面积为 2×2×2π＝π，
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1.1.6
问题 2 下图是直六棱柱的展开图，你能根据展开图，归纳出 直棱柱的侧面面积公式吗？
本 课 时 栏 目 开 关
答
S 直棱柱侧面积＝ch.即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和
高的乘积．
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1.1.6
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2【配套备课资源】第一章 1.2.3(一)
填一填· 知识要点、记下疑难点
1.2.3（一）
1． 如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点， 并且
本 课 时 栏 目 开 关
交角为 直角 ，则称这两条直线互相垂直． 2．如果一条直线 AB 和一个平面 α 相交于点 O，并且和这个 平面内过交点 O 的任何直线都垂直，我们就说这条直线 和这个平面互相垂直． 这条直线叫做平面的垂线， 这个平 面叫做 直线的垂面 ，交点叫做 垂足 ，垂线上任意一点到 垂足间的线段， 叫做这个点到这个平面的垂线段， 垂线段 的长度叫做这个 点到平面的距离 ．
子吗？
答 旗杆与地面的关系，给人以直线与平面垂直的形象；大 桥的桥柱与水面的位置关系，给人以直线与平面垂直的形 象．
研一研· 问题探究、课堂更高效
1.2.3（一）
问题 2
在平面内，如果两条直线互相垂直，则它们一定相
交．在空间中，两条互相垂直的直线也一定相交吗？你能 举例说明吗？
答 不一定．在空间中，两条互相垂直相交的直线中，如果
1.2.3（一）
问题 4
结合对下列问题的思考，试着说明直线和平面垂直
的意义． (1)如图，阳光下直立于地面的旗杆 AB 与它
本 课 时 栏 目 开 关
在地面上的影子 BC 的位置关系是什么？随 着太阳的移动，旗杆 AB 与影子 BC 所成的 角度会发生改变吗？
答 垂直关系，所成的角度不变，都为 90° .
又因为 m⊂α，n⊂α，m，n 是两条相交直线，所以 b⊥α.
小结 推论 1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面， 那么另一条直线也垂直于这个平面．
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1.2.3（一）
跟踪训练 1 已知：直线 l⊥平面 α，直线 m⊥ 平面 α，垂足分别为 A、B，如图，求证：l∥m.
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2第一章精要课件 导数及其应用 习题课
若
1 1 f(x)在－2，2上为单调减函数，
则 f′(x)≤0
本 课 时 栏 目 开 关
2
1 1 在－2，2上恒成立， 1 1 在－2，2上恒成立，
即 12x －a≤0 ∴a≥12x
2
1 1 在－2，2上恒成立，
∴a≥(12x2)max＝3.
研一研· 题型解法、解题更高效
习题课
本 课 时 栏 目 开 关
而 g(0)＝0，从而对任意 x∈(0，＋∞)，都有 g(x)>0.
即 ex－x2＋2ax－1>0，故 ex>x2－2ax＋1.
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习题课
题型三
导数的综合应用
例 3 已知函数 f(x)＝x3－ax－1. (1)若 f(x)在实数集 R 上单调递增，求 a 的取值范围；
本 课 时 栏 目 开 关
解 (1)f′(x)＝12x2－a，
1 1 ∵f(x)的单调递减区间为－2，2，
1 ∴x＝± 为 f′(x)＝0 的两个根， 2 ∴a＝3.
研一研· 题型解法、解题更高效
习题课
(2)若
1 1 f(x)在－2，2上为单调增函数，
1 1 在－2，2上恒成立， 1 1 在－2，2上恒成立，
( A ) B．f(x)<0 D．不能确定
C．f(x)＝0
解析 因为 f(x)在(a， b)上为增函数， 所以 f(x)>f(a)≥0.
试一试· 双基题目、基础更牢固
习题课
3．设函数 g(x)＝x(x2－1)，则 g(x)在区间[0,1]上的最小 ( 2 3 3 A．－1 B．0 C．－ D. 9 3 解析 g(x)＝x3－x，由 g′(x)＝3x2－1＝0，
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学北师大版选修2-2【配套备课资源】第1章 1.1
研一研·问题探究、课堂更高效
1.1
猜想：任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数之和． (2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能 导电． 回答 ①以上两个推理在思维方式上有什么共同特点？
本 课 ②其结论一定正确吗？ 时 栏 答 ①共同特点：部分推出整体，个别推出一般．(这种推理称 目 开 为归纳推理) 关
时 栏 要涉及某固定图形的个数，所以可以转化成数列问题来求解， 目 开 关 也可由图形的变化规律入手，求解．
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跟踪训练 2 在平面内观察： 凸四边形有 2 条对角线， 凸五边形有 5 条对角线， 凸六边形有 9 条对角线，
本 „ 课 由此猜想凸 n(n≥4 且 n∈N*)边形有几条对角线？ 时 栏 目 解 凸四边形有 2 条对角线， 开 凸五边形有 5 条对角线，比凸四边形多 3 条， 关
本 课 时 栏 目 开 关
堆只有一层，就一个球；第 2,3,4，„堆最底层(第一层)分别 按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒 放在下一层之上，第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球，以 f(n)表 示第 n 堆的乒乓球总数，则 f(3)＝______；f(n)＝______(答 案用含 n 的代数式表示)．
1.1
凸六边形有 9 条对角线，比凸五边形多 4 条， „„ 于是猜想凸 n 边形比凸(n－1)边形多(n－2)条对角线．因此凸 n 1 边形的对角线条数为 2＋3＋4＋5＋„＋(n－2)＝2n(n－3)(n≥4 且 n∈N*)．
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1.1
本 课 时 栏 目 开 关
探究点四 归纳推理在算式问题中的应用 例 3 观察下列等式，并从中归纳出一般法则． (1)1＝12， 1＋3＝22， 1＋3＋5＝32， 1＋3＋5＋7＝42， 1＋3＋5＋7＋9＝52， „„ (2)1＝12， 2＋3＋4＝32， 3＋4＋5＋6＋7＝52 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72， 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92， „„
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2【配套备课资源】第一章 1.2.1
填一填· 知识要点、记下疑难点
1.2.1
1．连接两点的线中， 线段 最短；过两点有 一条 ，并且只 有 一条 直线． 本 课 两点 在一个平面内， 时 2．平面基本性质 1：如果一条直线上的
栏 目 开 关
那么这条直线上的 所有点 都在这个平面内． 这时我们说， 直线在平面内或 平面经过直线 . 3．基本性质 2：经过 不在同一条直线上 的三点，有且只有 一个平面．或简单说成：不共线的 三点确定一个平面．
本 课 时 栏 目 开 关
( C )
A．两条直线 C．一个三角形
B．一点和一直线 D．三个点
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
1.2.1
3．“a、b 为异面直线”是指： ①a∩b＝∅，且 a b；②a⊂面 α，b⊂面 β，且 a∩b＝∅； ③a⊂面 α，b⊂面 β，且 α∩β＝∅；④a⊂面 α，b⊄面 α； ⑤不存在面 α，使 a⊂面 α，b⊂面 α 成立．
小结 我们把这类既不相交又不平行的直线叫做异面直线．
研一研· 问题探究、课堂更高效
1.2.1
例 1 如图中的△ABC， AB、 若 BC 在平面 α 内，判断 AC 是否在平面 α 内？
解 ∵ AB 在平面 α 内，∴ A 点一定在平面 α 内，又 BC
本 课 时 栏 目 开 关
在平面 α 内，
∴ C 点一定在平面 α 内，因点 A、点 C 都在平面 α 内，
研一研· 问题探究、课堂更高效
1.2.1
问题 8 基本性质 2 中“有且只有一个”的含义是什么？
答
本 课 时 栏 目 开 关
“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形惟一，
“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的 三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点 确定一个平面．“有且只有一个平面”也可以说成“确定一 个平面．”
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2【配套备课资源】第一章 1.1.5
和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面， 通常把这个平面放在直立投射面的右面， 投射到侧立投射面 内的图形叫做左视图．
研一研· 问题探究、课堂更高效
1.1.5
探究点二 几何体的三视图 问题 1 如图，设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c ，那 么其三视图分别是什么？
本 课 时 目 开 关
本 课 时 目 开 关
表示)．正确画法如图．
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
1.1.5
1．球的三视图都是圆；
本 课 时 目 开 关
圆柱的主视图和左视图都是 矩形 ，俯视图是 圆 ； 圆锥的主视图和左视图都是 三角形 ，俯视图是 圆和圆心 ； 圆台的主视图和左视图都是等腰梯形 ， 俯视图是两个同心圆 ．
置，且主视图在左，左视图在右，俯视图在主视图的正下方．
研一研· 问题探究、课堂更高效
1.1.5
跟踪训练 2 下图是简单组合体的三视图，想象它们表示的 组合体的结构特征，并画出其示意图．
本 课 时 目 开 关
研一研· 问题探究、课堂更高效
1.1.5
解
本 课 时 目 开 关
研一研· 问题探究、课堂更高效
本 课 时 目 开 关
图形叫做空间图形的 三视图 ． (3)三视图中，三种视图的关系是：长对正，高平齐，宽 相等，或说主俯一样长，主左一样高，俯左一样宽． 4． 三视图的主视图、 俯视图、 左视图分别是从物体的正前方、 正上方、 正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图 形.
研一研· 问题探究、课堂更高效
三视图 在物体的平行投影中，如果投射线与投射面垂直，
则称这样的平行投影为正投影，那么正投影有哪些特殊的 性质呢？
答 (1)垂直于投射面的直线和线段的正投影是点；
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2【配套备课资源】章末复习课(一)
证明 (1)∵BG∶GC＝DH∶HC，
∴GH∥BD，又 EF∥BD，∴EF∥GH，
∴E、F、G、H 四点共面．
(2)∵G、H 不是 BC、CD 的中点，∴EF≠GH.
又 EF∥GH，∴EG 与 FH 不平行，则必相交，设交点为 M.
研一研· 题型解法、解题更高效
章末复习课
EG⊂面ABC ⇒M∈面 ABC 且 M∈面 ACD HF⊂面ACD
本 课 时 栏 目 开 关
⇒M 在面 ABC 与面 ACD 的交线上⇒M∈AC. ∴GE 与 HF 的交点在直线 AC 上．
研一研· 题型解法、解题更高效
章末复习课
跟踪训练 3 如图，O 是正方体 ABCD－A1B1C1D1 上底面 ABCD 的中心，M 是正方体对角线 AC1 和截 面 A1BD 的交点．求证：O、M、A1 三点共线．
研一研· 题型解法、解题更高效
章末复习课
例 4 如图，E、F、G、H 分别是正方体 ABCD —A1B1C1D1 的棱 BC、CC1、C1D1、AA1 的中点， 求证： (1)GE∥平面 BB1D1D；
本 课 时 栏 目 开 关
(2)平面 BDF∥平面 B1D1H.
证明 (1)取 B1D1 中点 O，连接 GO，OB， 1 易证 OG 綊2B1C1， 1 BE 綊2B1C1， ∴OG 綊 BE， 四边形 BEGO 为平行四边形．
又∵DN⊄平面 ABC，BC⊂平面 ABC， ∴DN∥平面 ABC，又∵MN∩DN＝N， ∴平面 DMN∥平面 ABC.
研一研· 题型解法、解题更高效
章末复习课
题型五
空间中的垂直关系
1．空间垂直关系的判定方法： (1)判定线线垂直的方法：
本 课 时 栏 目 开 关
《步步高-学案导学设计》2013-2014学年-高中数学-人教B版必修2【配套备课资源】第一章-1.
(2)如果棱锥的底面是正多边形，它的顶点又在过底面中
心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做 正棱锥 ．
2
填一填·知识要点、记下疑难点
1.1.2（二）
2．棱台：(1)棱锥被平行于底面的截面所截，截面和底面间
的部分叫做 棱台．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的
下底面、上底面；其它各面叫做棱台的侧面 ；相邻两侧
1.1.2（二）
1．1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征(二)
【学习要求】
本
1．认识棱锥、棱台的结构特征．
课 时
2．掌握其定义及性质．
栏 【学法指导】
目
开
通过直观感受空间物体，从实物中概括出棱锥、棱台的几
关
何结构特征，提高观察、讨论、归纳、概括的能力；感受
空间几何体存在于现实生活周围，增强学习的积极性，培
1.1.2（二）
问题 2 类比棱柱，棱锥的侧面、顶点、侧棱、底面、高分 别指什么？
答 如下图，棱锥中有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的侧面；
本 课 时 栏 目 开
关 各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点； 相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； 多边形叫做棱锥的底面； 顶点到底面的距离，叫做棱锥的高．
6
研一研·问题探究、课堂更高效
1.
关
11
研一研·问题探究、课堂更高效
1.1.2（二）
例 2 已知正四棱锥 V—ABCD，底面面积为 16，一条侧棱长 为 2 11，计算它的高和斜高．
解 设 VO 为正四棱锥 V—ABCD 的高，作
本 OM⊥BC 于点 M，则 M 为 BC 中点．
课 时
连接 OM，OB，则 VO⊥OM，VO⊥OB.
解 因为要制作的正三棱锥的侧面与底面都是等 本 边三角形，所以它的棱长都相等(如图)．
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修2-1【配套备课资源】2.5直
§2.5 直线与圆锥曲线一、基础过关1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝12．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1，F 是其右焦点，过F 的直线l 只与双曲线的右支有唯一的交点，则直线l 的斜率等于 ( )A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．±23．双曲线y 2b 2－x 2a 2＝1 (a ，b >0)的一条渐近线与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)交于点M 、N ，则|MN |等于( )A ．a ＋bB.2aC.2(a 2＋b 2)D.2(a 2－b 2)D 4．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|AB |＝________.5．过点P (0,1)且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程为__________________．二、能力提升6．已知m ，n 为两个不相等的非零实数，则方程mx －y ＋n ＝0与nx 2＋my 2＝mn 所表示的曲线可能是 ( )7．已知M (a,2)是抛物线y 2＝2x 上的一定点，直线MP 、MQ 的倾斜角之和为π，且分别与抛物线交于P 、Q 两点，则直线PQ 的斜率为 ( )A ．－14B ．－12 C.14 D.12案而有机会就会让孩子参加海外游学的网友不足8．对于抛物线C ：y 2＝4x ，我们称满足y 20<4x 0的点M (x 0，y 0)在抛物线的内部，若点M (x 0，y 0)在抛物线的内部，则直线l ：y 0y ＝2(x ＋x 0)与C( )A ．恰有一个公共点B ．恰有两个公共点C ．可能有一个公共点也可能有两个公共点D ．没有公共点9．若倾斜角为π4的直线交椭圆x 24＋y 2＝1于A ，B 两点，则线段AB 的中点的轨迹方程是________________________________________________________________________．10．在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离．11．已知直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线y 2＝－x 交于A 、B 两点，O 为坐标原点．(1)若△OAB 的面积为10，求k 的值；(2)求证：以弦AB 为直径的圆必过原点.12．已知抛物线y 2＝－4x 的焦点为F ，其准线与x 轴交于点M ，过点M 作斜率为k (k ≠0)的直线l ，与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中点为P ，AB 的垂直平分线与x 轴交于点E (x 0,0)．(1)求k 的取值范围；(2)求证：x 0<－3；(3)△PEF 能否成为以EF 为底的等腰三角形？若能，求出此时的k 值；若不能，请说明理由．三、探究与拓展13．已知双曲线方程为2x 2－y 2＝2.过定点Q (1,1)能否作直线l ，使l 与此双曲线相交于Q 1，Q 2两点，且Q 是弦Q 1Q 2的中点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．答案1．D 2．C 3．C4．85．x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1 6．C 7．B 8．D9．x ＋4y ＝0 ⎝⎛⎭⎫－455<x <45510．解 设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝32x ＋m ，代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0，Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0⇒m 2＝16⇒m ＝±4，故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4，显然y ＝32x －4距l 最近d ＝|16－8|32＋(－2)2＝813＝81313，切点为P ⎝⎛⎭⎫32，－74.11．(1)解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，原点O 到直线AB 的距离为d ，联立得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x ＋1)y 2＝－x ，化简整理得k 2x 2＋(2k 2＋1)x ＋k 2＝0，由题意知k ≠0，由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－2k 2＋1k 2，x 1x 2＝1.由弦长公式，得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·1k 4＋4k 2，由点到直线距离公式d ＝|k |1＋k 2，得S △OAB ＝12|AB |·d ＝121k 2＋4＝10，解得k ＝±16. (2)证明 ∵k OA ＝y 1x 1，k OB ＝y 2x 2，∴k OA ·k OB ＝y 1y 2x 1x 2.∵y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，∴x 1x 2＝(y 1y 2)2，∴k OA ·k OB ＝1y 1y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)y 2＝－x，得ky 2＋y －k ＝0，∴y 1y 2＝－1，即k OA ·k OB ＝－1，∴OA ⊥OB ，∴以弦AB 为直径的圆必过原点．12．(1)解 由y 2＝－4x 可得准线方程为x ＝1，∴M (1,0)．设l 的方程为y ＝k (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝－4x ，得k 2x 2－2(k 2－2)x ＋k 2＝0.∵A 、B 存在，∴Δ＝4(k 2－2)2－4k 4>0，∴－1<k <1.又k ≠0，∴k ∈(－1,0)∪(0,1)．(2)证明 设P (x 3，y 3)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，可得x 3＝x 1＋x 22＝k 2－2k2，y 3＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－1＝－2k k 2＝－2k .即y ＋2k ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k 2－2k 2.令y ＝0，x 0＝－2k2－1，∵k 2∈(0,1)，∴x 0<－3.(3)解 假设存在以EF 为底的等腰△PEF ，∴点P 在线段EF 的垂直平分线上，∴2x 3＝－1＋⎝⎛⎭⎫－1－2k 2，∴2·k 2－2k 2＝－2－2k 2，解得k ＝±22，∴△PEF 可以成为以EF 为底的等腰三角形，此时k 值为±22.13．解 假设这样的直线l 存在，设Q 1(x 1，y 1)，Q 2(x 2，y 2)，则有x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝1.∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，且⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 21－y 21＝2，2x 22－y 22＝2两式相减，得(2x 21－2x 22)－(y 21－y 22)＝0，∴2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，∴2(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0.若直线Q 1Q 2⊥Ox ，则线段Q 1Q 2的中点不可能是点Q (1,1)，所以直线Q 1Q 2有斜率，于是k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2.∴直线Q 1Q 2的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，2x 2－y 2＝2 得2x 2－(2x －1)2＝2，即2x 2－4x ＋3＝0，∴Δ＝16－24<0.这就是说，直线l 与双曲线没有公共点，因此这样的直线不存在．。
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2【配套备课资源】第一章 1.2.2(三)
研一研· 问题探究、课堂更高效
1.2.2(三)
问题 3 如何画两个平行平面？
答
本 课 时 栏 目 开 关
在画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行
四边形的相邻两边分别画成平行线．
小结 两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：
(1)两个平面平行——没有公共点； (2)两个平面相交——有一条公共直线．
又因 l∥α，m∥α，l∩m＝P，所以 β∥α.
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
1.2.2(三)
3．已知 A、B 是平面 α 外的两点，则过 A、B 与 α 平行的平 面有______个． 0或1
本 课 时 栏 目 开 关
解析 当直线 AB 与平面 α 相交时，不存在过 A、B 与平 面 α 平行的平面；
则平面 ACD 与平面 α，β 分别相交于直线 AD， BG.平面 DCF 与平面 β， 分别相交于直线 GE， γ CF. 因为 α∥β，β∥γ.
所以 BG∥AD，GE∥CF. AB DG DG DE 于是，得BC＝GC ，GC ＝ EF . AB DE 所以BC＝ EF .
研一研· 问题探究、课堂更高效
本 课 时 栏 目 开 关
线 a 与直线 b 具有怎样的位置关系？
答 平行或异面
研一研· 问题探究、课堂更高效
1.2.2(三)
探究点二 平面与平面平行的判定 问题 1 生活中有没有平面与平面平行的例子呢？
答 教室的天花板与地面给人平行的感觉，前后两块黑板
本 课 时 栏 目 开 关
也是平行的．
问题 2
填一填· 知识要点、记下疑难点
1.2.2(三)
1．平行平面：如果两个平面 没有公共点 ，那么这两个平面叫 做平行平面. 记作 α∥β. 本 课 2．面面平行的判定定理：如果一个平面内有 两条相交直线 平 时 栏 行于另一个平面，那么这两个平面平行． 目 开 3．判定定理的推论： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行 关 于另一个平面内的 两条直线 ，那么这两个平面平行． 4．面面平行的性质定理：(1)如果两个平面平行，那么其中一 个平面内的 任意直线 均平行于另一个平面．(2)如果两个平 行平面同时和第三个平面相交，那么它们的 交线 平行．
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修2-1【配套备课资源】第一章章末
章末复习课
1．已知 a，b，c∈R，命题“若 a＋b＋c＝3，则 a2＋b2＋c2≥3”
的否命题是
(A)
本 A．若 a＋b＋c≠3，则 a2＋b2＋c2<3
专 题
B．若 a＋b＋c＝3，则 a2＋b2＋c2<3
栏 目
C．若 a＋b＋c≠3，则 a2＋b2＋c2≥3
开 关
D．若 a2＋b2＋c2≥3，则 a＋b＋c＝3
或 q；②p 且 q；③非 p；④非 q 中真命题的个数为 ( C )
本 A．0 B．1 C．2 D．3
专 题 栏
解析 命题 p 中的集合为{1，－1，12，－12}，只有 4 个元素，故
目 开
p 为真命题；q 中的两个集合不相等，故 q 为假命题，因此新命
关 题①④为真．
试一试·双基题目、基础更牢固
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0 或 a＝2.
∴当命题 q 为真命题时，a＝0 或 a＝2.
∴命题“p 或 q”为真命题时，|a|≤2.
本 专
∵命题“p 或 q”为假命题，∴a>2 或 a<－2.
题 栏
即 a 的取值范围为{a|a>2 或 a<－2}.
目
开
关
练一练·当堂检测、目标达成落实处
行判断．
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章末复习课
解 (1)在△ABC 中，綈 q：sin A＝12，綈 p：∠A＝30°.
本 专
∵在△ABC 中，sin A＝12，则∠A＝30°或∠A＝150°，
题 栏
∴綈 q⇒/ 綈 p，而綈 p⇒綈 q，∴綈 q 是綈 p 的必要不充分条
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2【配套备课资源】第一章 1.1.3
边的腰所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯 形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体(如图)．
研一研· 问题探究、课堂更高效
1.1.3
问题 2
类比棱柱、棱锥、棱台中的底面、侧面、侧棱、高
这些概念，在圆柱、圆锥、圆台中相应的有关概念是如何
本 课 时 栏 目 开 关
即球心到这个截面的距离为 24 cm.
1.1.3
1． 圆柱的平行于轴线的截面是一个以上、 下底面圆的弦和母 线组成的矩形．
本 课 时 栏 目 开 关
2． 圆锥的过顶点且与底面相交的截面是一个由两条母线和底 面圆的弦组成的等腰三角形；圆锥的母线 l、高 h 和底面 圆的半径 R 的关系为 l2＝h2＋R2. 3．圆台的母线 l、高 h 和上下两底面圆的半径 r、R 组成一 个直角梯形，圆台的有关计算问题，常归结为解这个直角 梯形．“还台为锥”也是解决圆台问题的主要方法． 4．球面与球体是有区别的．球面仅仅指球的表面，而球体不 仅包括球的表面，也包括球面所包围的空间．
本 课 时 栏 目 开 关
是 16 cm，求圆台的母线长．
解 设圆台的母线为 l， 截得圆台的上、 下底面半径分别为 r,4r.
16－l r 根据相似三角形的性质得， ＝ ，解得 l＝12. 16 4r 所以，圆台的母线长为 12 cm.
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1.1.3
探究点二 球的结构特征 问题 1
本 课 时 栏 目 开 关
举世闻名的比萨斜塔是意大利的一个著名景点．它的构造 从外形上看是由八个圆柱组合成的一个组合体，我们周围 的很多建筑物和它一样，也都是由一些简单几何体组合而 成的组合体．本节我们就来学习旋转体与简单组合体的结 构特征．
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2【配套备课资源】第一章 1.1.7
1 1 1 ＝3Sh＋3( S＋ S′)h S′＝3h(S＋ SS′＋S′)．
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1.1.7
问题 8 由台体的体积公式，你能得出圆台的体积公式吗？ 1 1 2 答 V 圆台＝ (S′＋ S′S＋S)h＝ π(r ＋rR＋R2) (r、R 分别 3 3
本 课 时 栏 目 开 关
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
1.1.7
2．把球的表面积扩大到原来的 2 倍，那么体积扩大到原来的 ( B ) A．2 倍
本 课 时 栏 目 开 关
B．2 2倍
C． 2倍
D． 2倍
3
解析 由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的 2倍，
则体积扩大到原来的 2 2倍．
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
何表示？
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1.1.7
问题 4
观察下面的图，用同样大小的三个三棱锥能拼成一
个三棱柱，说明了什么问题？
本 课 时 栏 目 开 关
答
说明三棱锥的体积是等底面积、等高的三棱柱体积的
三分之一．
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1.1.7
问题 5 由问题 4，你能得到锥体体积的计算公式吗？
为圆台上底、下底的半径)
问题 9 如何求球的体积呢？
答 应用圆柱和圆锥的体积公式， 根据祖暅原理可以得到球 4 3 的体积公式：V 球＝3πR .其中 R 为球的半径．
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1.1.7
问题 10 柱体、锥体、台体的体积公式间有怎样的关系？
答
本 课 时 栏 目 开 关
研一研· 问题探究、课堂更高效
本 课 时 栏 目 开 关
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2【配套备课资源】第一章 1.1.4
(4)成图．顺次连接 A′，B′，C′，D′(去掉辅助线，将被 遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．
研一研· 问题探究、课堂更高效
1.1.4
探究点三 中心投影 问题 1
1.1.4
3．画水平放置的正三角形的直观图.
解 画法按如下步骤完成：第一步：在已知的正三角形 ABC 中，取 AB 所在的直线为 x 轴，取对称轴 CO 为 y 轴．画对
本 课 时 栏 目 开 关
应的 x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45° .
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
1.1.4
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1.1.4
问题 7 如何画出圆柱、圆锥的直观图？
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答 在立体几何中，通常用正等测画法画圆的直观图，圆的 直观图是椭圆． 由于画圆的直观图比较复杂， 在实际操作中， 通常使用不同尺寸的椭圆模板．会画圆的直观图，就能画出 圆柱、圆锥的直观图．
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1.1.4
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物体与灯泡的距离发生变化时，影子的大小会有什么不 同？
答 在投影面上形成的影子形状与原物体相似， 大小比物体 大．当物体离灯泡越近，在投影面上的影子越大.
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1.1.4
1．当图形中的直线或线段不平行于投射线时，关于平行投影
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答 (1)直线和线段的平行投影仍是直线和线段；
(2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线；
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修2-1【配套备课资源】3.2.2
3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示一、基础过关1．若平面α、β的法向量分别为u ＝(2，－3,5)，v ＝(－3，1，－4)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥βC ．α、β相交但不垂直D ．以上均不正确 2．若直线l 的一个方向向量为a ＝(2,5,7)，平面α的一个法向量为u ＝(1,1，－1)，则( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．A 、C 都有可能3．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( ) A ．(1，－1,1)B.⎝⎛⎭⎫1，3，32C.⎝⎛⎭⎫1，－3，32 D.⎝⎛⎭⎫－1，3，－32 4．若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，n 1＝(1,2，x )，n 2＝(x ，x ＋1，x )，则x 的值为( ) A ．1或2B ．－1或－2C ．－1D ．－25．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k 等于( )A ．2B ．－4C ．4D ．－26．已知A (1,0,0)、B (0,1,0)、C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( ) A.⎝⎛⎭⎫33，33，－33 B.⎝⎛⎭⎫33，－33，33 C.⎝⎛⎭⎫－33，33，33 D.⎝⎛⎭⎫－33，－33，－33 7．已知平面α和平面β的法向量分别为a ＝(1,1,2)，b ＝(x ，－2，3)，且α⊥β，则x ＝________.8．下列命题中：①若u ，v 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔u·v ＝0；②若u 是平面α的法向量且向量a 与α共面，则u·a ＝0；③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．正确的命题序号是________．9．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量； ④AP →∥BD →.其中正确的是________．(填序号)二、能力提升10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，试在棱BB1上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1.11.如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：平面DEA⊥平面ECA.12.如图，在四棱锥P—ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，AD＝233AB，E是PC的中点．证明：PD⊥平面ABE.三、探究与拓展13.如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，AB＝AD＝2CD，侧面P AD⊥底面ABCD，且△P AD 为等腰直角三角形，∠APD＝90°，M为AP的中点．求证：DM∥平面PCB.答案1．C 2．D 3．B 4．B 5．C 6．D7．－48．①②③9．①②③10．解 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，设正方体的棱长为2，则E (2,1,0)，F (1,2,0)，D 1(0,0,2)，B 1(2,2,2)．设M (2,2，m )，则EF →＝(－1,1,0)，B 1E →＝(0，－1，－2)，D 1M →＝(2,2，m －2)．∵D 1M ⊥平面EFB 1，∴D 1M ⊥EF ，D 1M ⊥B 1E ，∴D 1M →·EF →＝0且D 1M →·B 1E →＝0，于是⎩⎪⎨⎪⎧ －2＋2＝0，－2－2(m －2)＝0，∴m ＝1， 故取B 1B 的中点为M 就能满足D 1M ⊥平面EFB 1.11．证明 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，不妨设CA ＝2，则CE ＝2，BD ＝1，C (0,0,0)，A (3，1,0)，B (0,2,0)，E (0,0,2)，D (0,2,1)．所以EA →＝(3，1，－2)，CE →＝(0,0,2)，ED →＝(0,2，－1)．分别设面CEA 与面DEA 的法向量是n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·EA →＝0，n 1·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＋y 1－2z 1＝0，2z 1＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＝－3x 1，z 1＝0.⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·EA →＝0，n 2·ED →＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋y 2－2z 2＝0，2y 2－z 2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3y 2，z 2＝2y 2. 不妨取n 1＝(1，－3，0)，n 2＝(3，1,2)，因为n 1·n 2＝0，所以两个法向量相互垂直．所以平面DEA ⊥平面ECA .12．证明 ∵P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，∴AB 、AD 、AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝BC ＝1，则P (0,0,1)、A (0,0,0)、B (1,0,0)、D ⎝⎛⎭⎫0，233，0. ∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 为正三角形．∴C ⎝⎛⎭⎫12，32，0，E ⎝⎛⎭⎫14，34，12. ∴AB →＝(1,0,0)，AE →＝⎝⎛⎭⎫14，34，12， ∴设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－3)．∵PD →＝⎝⎛⎭⎫0，233，－1，显然PD →＝33n ，∴PD →∥n ， ∴PD →⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE .13．证明 取AD 的中点G ，连接PG ，GB .∵侧面P AD ⊥底面ABCD .∵PG ⊥AD ，∴PG ⊥底面ABCD ，∴PG ⊥BG .又∵BG ⊥AD ，∴直线DA 、GB 、GP 两两互相垂直，故可以分别以直线DA ，GB ，GP 为x 轴、y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz ，设PG ＝a ，C (x ，y ，z )，则可求得P (0,0，a )，A (a,0,0)，B (0，3a,0)，D (－a,0,0)，则GP →＝(0,0，a )，AB →＝(－a ，3a,0)，PB →＝(0，3a ，－a )． ∵AB ＝2DC ，且AB ∥CD ，∴AB →＝2DC →，即(－a ，3a,0)＝2[(x ，y ，z )－(－a,0,0)]．∴(x ，y ，z )＝⎝⎛⎭⎫－32a ，32a ，0，即C ⎝⎛⎭⎫－32a ，32a ，0. ∴BC →＝⎝⎛⎭⎫－32a ，－32a ，0. 设n ＝(x 0，y 0，z 0)是平面PBC 的法向量，则n ·BC →＝0且n ·PB →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －32ax 0－32ay 0＝03ay 0－az 0＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－33y 0，z 0＝3y 0，取y 0＝3，得n ＝(－1，3，3)．∵点M 是AP 的中点，∴M ⎝⎛⎭⎫a 2，0，a 2， ∴DM →＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，a 2－(－a,0,0)＝⎝⎛⎭⎫32a ，0，a 2. DM →·n ＝⎝⎛⎭⎫32a ，0，a 2·(－1，3，3)＝0，∴DM →⊥n . ∵DM ⊄平面PCB ，∴DM ∥平面PCB .。
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1.1.4投影与直观图
一、基础过关
1．下列结论：
①角的水平放置的直观图一定是角；
②相等的角在直观图中仍然相等；
③相等的线段在直观图中仍然相等；
④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．
其中正确的有() A．①②B．①④
C．③④D．①③④
2．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于() A．45°B．135°
C．90°D．45°或135°
3．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是()
4．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的()
5．利用斜二测画法得到：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形．
以上结论中，正确的是______________．(填序号)
6． 水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，
B ′
C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为____________． 7．如图是一梯形OABC 的直观图，其直观图面积为S .求梯形OABC 的
面积．
8． 试画出底面边长为1.2 cm ，高为1.5 cm 的正四棱锥的直观图． 二、能力提升
9． 如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm ，它是水平放置的一个
平面图形的直观图，则原图的周长是
( )
A ．8 cm
B ．6 cm
C ．2(1＋3) cm
D ．2(1＋2) cm
10．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，
则该平面图形的面积等于
( )
A.12＋2
2
B ．1＋
22
C ．1＋ 2
D ．2＋ 2
11．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO ，它在直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为________．
12．如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4 cm ，CD ＝2 cm ，∠DAB ＝30°，AD ＝3 cm ，
试画出它的直观图．
三、探究与拓展
13．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A ′B ′C ′D ′，
如图，其中的对角线A ′C ′在水平位置，已知该正方形是某个四 边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求 出其面积．
答案
1．B 2.D 3.C 4.C 5．①② 6.52
7．解 设O ′C ′＝h ，则原梯形是一个直角梯形且高为2h . 过C ′作C ′D ′⊥O ′A ′于D ′， 则C ′D ′＝
22
h . 由题意知1
2C ′D ′(C ′B ′＋O ′A ′)＝S .
即
2
4
h (C ′B ′＋O ′A ′)＝S . 又原直角梯形面积为S ′＝12·2h (C ′B ′＋O ′A ′)＝h (C ′B ′＋O ′A ′)＝4S
2＝22S .
所以梯形OABC 的面积为22S .
8．解 (1)画轴．画出Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴， 使∠xOy ＝45°(或135°)，∠xOz ＝90°， 如图(1)
(2)画底面．以O 为中心，在xOy 平面内画出正方形直观图ABCD ，使AB ＝1.2 cm 、AD ＝0.6 cm.
(3)画顶点．在Oz 轴上截取OP ，使OP ＝1.5 cm.
(4)成图．顺次连接P A 、PB 、PC 、PD ，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图(2)． 9．A 10．D 11.
2
2
12．解 画法：步骤：
(1)如图a 所示，在梯形ABCD 中， 以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点， 建立平面直角坐标系xOy .如图b 所示，
画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.
(2)在图a 中，过D 点作DE ⊥x 轴，垂足为E .在图b 中， 在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm ， A ′E ′＝AE ＝3
2
3≈2.598 cm ；
过点E ′作E ′D ′∥y ′轴，使E ′D ′＝12ED ＝12×3
2＝0.75 cm ，
再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴，且使D ′C ′＝DC ＝2 cm.
(3)连接A ′D ′、B ′C ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图c 所示，则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．
13．解 四边形ABCD 的真实图形如图所示，
∵A ′C ′在水平位置，A ′B ′C ′D ′为正方形， ∴∠D ′A ′C ′＝∠A ′C ′B ′＝45°， ∴在原四边形ABCD 中， DA ⊥AC ，AC ⊥BC ， ∵DA ＝2D ′A ′＝2， AC ＝A ′C ′＝2， ∴S 四边形ABCD ＝AC ·AD ＝2 2.。