第五讲空间问题有限元分析

Q1e e 0 Q2 0 Q3e N8 M e Q24
简记为 ：
5
1
8
{u} = [N ] {Q e }
t
4
s
r
6 2
图（二）
7 3
三、单元刚度矩阵与等效节点载荷向量
x 0 0 [B ] = [ ] [N ] = y 0 z 0 0 N 1 z 0 0 0 y x
1 1 1 e b t t b b ve 1 1 1
写成高斯积分形式为
{P }= ∑∑∑ [N (r , s , t )] {F (r , s , t )}J (r , s , t ) h h h
n n n t e b i =1 j =1 k =1 i j k b i j k i j k i
j k
y N i z + r z r y N i z + s z s y N i z + t z t
(i = 1,2,3,L,8)
N i x N i = [J ] y N i z
(i = 1,2,3,L,8)
其中 ： x y z r r r x y z [J ] = 称jacobi矩阵 s s s x y z t t t 所以有 ： N i N i x r N i 1 N i (i = 1,2,3,L,8) = [J ] y s N i N i t z 实际应用时一般只计算上式的数值解 。
边界连续性讨论： 边界连续性讨论： 8节点单元为协调单元。
Hale Waihona Puke e Q24QQ3e
Q
e 19
e 21
8
e Q22 e Q20
e Q23
2)坐标变换 8 x = ∑ N i (r , s , t ) x i i =1 8 y = ∑ N i (r , s , t ) y i i =1 8 z = ∑ N i (r , s , t ) z i i =1
0
y
0
x z
0
0 N1 0
0 0 N1
N2 0 0
0 N2 0
0 0 N2
L L L
N8 0 0
0 N8 0
0 0 N8
N 1 x 0 0 = N 1 y 0 N 1 z
0 N1 y 0 N1 x N1 z 0
0 0 N 1 z 0 N 1 y N 1 x
N 2 x 0 0 N 2 x 0 N 2 z
0 N 2 y 0 N 2 x N 2 z 0
0 0 N 2 z 0 N 2 y N 2 x
LL LL LL LL LL
N 8 x 0 0 N 8 y 0
0 N 8 y 0 N 8 x N 8 z 0
N 8 LL z
0 0 N 8 z 0 N 8 y N 8 x
需要注意 N i (i = 1,2,3,L,8) 不是x、y的显式函数，需要用隐函数 求导的连锁规则：
N i N i x N i r = x r + y N i N i x N i = + x s y s N i = N i x + N i t x t y
写成矩阵形式有：
N i r N i s N i t
进一步写成数值积分形式为：
[K ] = ∑∑∑ [B(r , s , t )] [D] [B(r , s , t )] J (r , s , t ) h h h
n n n e T i =1 j =1 k =1 i j k i j k i j k i
j k
单元体力载荷向量可以表示为
{P }= ∫∫∫[N ] {F } dv = ∫ ∫ ∫ [N ] {F } J drdsdt
空间（三维） 第五讲 空间（三维）问题有限元分析 空间8节点等参单元单元 §5-1 空间 节点等参单元单元 一、形函数与坐标变换 1）形函数
e Q18
e 17
e Q15
5
1 6 N i = (1 + ri r ) (1 + s i s ) (1 + t i t ) 8 Q
e 16
e Q14
Q
e Q13
7
Q
2
e 6
1
e Q2
Q1e
e Q5
e Q12
e Q11
z
y
e Q9
Q
e 4
4
e Q10
x
图（一）
e Q7
Q8e
二、位移插值函数与几何矩阵
u ( x, y , x ) N 1 v ( x, y , x ) = 0 w( x, y, x ) 0 0 N1 0 0 0 N1 N2 0 0 0 N2 0 0 L N8 0 L 0 N2 L 0 0 N8 0
单元刚度矩阵可以表示为：
[K ] = ∫∫∫[B] [D] [B] dv = ∫∫∫[B] [D] [B] dxdydz
e T T ve ve
将上式中的 x, y , z 替换为 r , s, t 则有：
[K ] = ∫ ∫ ∫ [B] [D] [B] J drdsdt
1 1 1 e T 1 1 1