高三数学一轮复习课时作业 (36)空间几何体的结构特征及三视图和直观图 理 新人教B版

[时间：45分钟分值：100分]
基础热身
1．有一个几何体的三视图如图K36－1所示，这个几何体应是一个 ( )
图K36－1
A．棱台 B．棱锥 C．棱柱 D．都不对
2．如图K36－2所示几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )
图K36－2
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
3．如图K36－3，直观图所表示的平面图形是( )
图K36－3
A．正三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
4．已知三棱锥的俯视图与左视图如图K36－4，俯视图是边长为2的正三角形，左视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的主视图可能为( )
能力提升
5．将正三棱柱截去三个角(如图K36－6①所示A、B、C分别是△GHI三边的中点)得到的几何体如图K36－6②，则该几何体按图②所示方向的左视图为( )
6．[2011·浙江卷] 若某几何体的三视图如图K36－8所示，则这个几何体的直观图可以是( )
图K36－8
图K36－9
7．[2011·江西卷] 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图K36－10所示，则该几何体的侧视图为( )
图K36－10
图K36－11
8．某几何体的三视图如图K36－12所示，那么这个几何体是( )
－12
A．三棱锥 B．四棱锥
C．四棱台 D．三棱台
9．某几何体的一条棱长为m，在该几何体的主视图中，这条棱的投影是长为7的线段，在该几何体的左视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为6和5的线段，则m的值为( )
A．3 B．2 3 C．4 D．2 5
10．如果一个几何体的三视图如图K36－13所示，其中主视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的左视图的面积为________．
图K36－13
11．[2011·潍坊二模] 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于________．
12．[2011·惠州模拟] 已知一几何体的三视图如图K36－14，主视图和左视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是(写出所有正确结论的序号)________．
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；
④每个面都是直角三角形的四面体．
图K36－14
13．一个几何体的主视图和左视图如图K36－15所示，其中主视图的底边长为1，左视图的底边长为3、高为2，则这个空间几何体俯视图的面积是________．
图K36－15
14．(10分)已知，如图K36－16是一个空间几何体的三视图．
(1)该空间几何体是如何构成的？
(2)画出该几何体的直观图；
(3)求该几何体的表面积和体积．
图K36－16
15．(13分)有一块多边形菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图K36－17所示)，∠A′B′C′＝45°，D′C′⊥A′D′，A′B′＝A′D′＝1 m，若平均每1 m2菜地所产生的经济效益是300元，则这块菜地所产生的总经济效益是多少元？(精确到1元)
图K36－17
难点突破
16．(12分)一个几何体的三视图如图K36－18所示，其中主视图和左视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形．
(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；
(2)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1?如何组拼？试证明你的结论；
(3)在(2)的情形下，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点为E, 求平面AB1E与平面ABC所成锐二面角的余弦值．
图K36－18
课时作业 (三十六)
【基础热身】
1．A [解析] 根据三视图，这个空间几何体是棱台．
2．D [解析] 正方体的三个视图都相同，而三棱台的三个视图各不相同，正确答案为
D.
3．D [解析] A ′C ′，B ′C ′在直观图中分别与y ′轴，x ′轴平行，则在原图中AC ，BC 分别与y 轴，x 轴平行，所以AC 与BC 垂直．
4．C [解析] 空间几何体的主视图和左视图的“高平齐”，故主视图的高一定是2，主视图和俯视图“长对正”，故主视图的底面边长为2，根据左视图中的直角说明这个空间几何体最前面的面垂直于底面，这个面遮住了后面的一个侧棱，综合这些可知，这个空间几何体的主视图可能是C.
【能力提升】
5．A [解析] 截前的左视图是一个矩形，截后改变的只是B ，C ，F 方向上的．
6．B [解析] 由主视图可排除A ，C ；由左视图可判断该几何体的直观图是B.
7．D [解析] 被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为正方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(正方形)的两条边重合，另一条为正方体的体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图及对角线方向，只有选项D 符合．
8．B [解析] 由所给三视图与直观图的关系，可以判定对应的几何体为如图所示的四棱锥，且PA ⊥面ABCD ，AB ⊥BC ，BC ∥
.
9．A [解析]
a 2＋c 2＝7，
b 2＋
c 2＝6，a 2＋b 2＝ 5
⇒a 2＋b 2＋c 2＝9，所以对角线的长为a 2＋b 2＋c 2＝3.
∴选A.
10.32
[解析] 根据三视图的信息可以知道相应的空间几何体是一个正六棱锥，结合数据可知其底面正六边形的边长为1，棱锥的高为h ＝ 3.由于三视图中“宽相等”，那么左视图中的三角形的底边边长与俯视图中正六边形的高相等，可得其长度为3，则该几何体
的左视图的面积为S
＝12×3×3＝32
. 11．22a 2
[解析] 一个平面图形的面积S 与它的直观图的面积S ′之间的关系是S ′＝24S ，而直观图面积S ′＝a 2.所以原平面四边形的面积为a 2
2
4
＝22a 2. 12．①③④ [解析] 当选择的四个点为A 、B 、C 、D
当选择B 、A 、B 1、C 时，可知③正确；
当选择A 、B 、D 、D 1时，可知④正确．
13．3 [解析] 其俯视图如图．俯视图是一个
边长分别为1,3的矩形，故其面积为3.
14．[解答] (1)这个空间几何体的下半部分是一个底面各边长为2，高为1的长方体，上半部分是一个底面各边长为2，高为1的正四棱锥．
(2)按照斜二测画法可以得到其直观图，如图．
(3)由题意可知，该几何体′B ′C ′D ′与正四棱锥P －A ′B ′C ′D ′构成的简单几何体．
由图易得：AB ＝AD ＝2，AA ′＝1，PO ′＝1，取A ′B ′中点Q ，连接PQ ，从而PQ ＝PO ′2＋O ′Q 2＝12＋12＝2，所以该几何体表面积
S ＝12
(A ′B ′＋B ′C ′＋C ′D ′＋D ′A ′)PQ ＋(A ′B ′＋B ′C ′＋C ′D ′＋D ′A ′)AA ′＋AB ·AD ＝42＋12.
体积V ＝2×2×1＋13×2×2×1＝163
. 15．[解答] 在直观图中，过A ′点作A ′E ⊥B ′C ′，垂足为E ，则在Rt △A ′B ′E 中，
A ′
B ′＝1 m ，∠A ′B ′E ＝45°，∴B ′E ＝22
m. 而四边形A ′EC ′D ′为矩形，A ′D ′＝1 m ，
∴B ′C ′＝B ′E ＋EC ′＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫22＋1m. 由此可还原图形，如图所示，在原图形中，AD ＝1 m ，AB ＝2 m ，BC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1m ，且AD ∥BC ，AB ⊥BC ，
∴这块菜地的面积为
S ＝12(AD ＋BC )·AB ＝12×1＋1＋22×2＝⎝
⎛⎭⎪⎫2＋22(m 2)， 0.707)＝812.1≈812(元)．
【难点突破】
16．[解答] (1)该几何体的直观图如图(1)所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.
其中底面ABCD 是边长为6的正方形，高为CC 1＝6，故所求体积是V ＝13
×62×6＝72. (2)依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，故用3个这样的四棱锥可以拼成一
个棱长为6的正方体，
其拼法如图(2)所示.
证明：∵面ABCD 、面ABB 1A 1、面AA 1D 1D 为全等的正方形，于是 VC 1－ABCD ＝VC 1－ABB 1A 1＝VC 1－AA 1D 1D ，故所拼图形成立．
(3)设B 1E ，BC 的延长线交于点G ，连接GA ，在底面ABC 内作BH ⊥AG ，垂足为H ，连接HB 1，如图(2)，则B 1H ⊥AG ，故∠B 1HB 为平面AB 1E 与平面ABC 所成锐二面角或其补角的平面角.
在Rt △ABG 中，AG ＝180，则BH ＝6×12
180＝12
5，B 1H ＝ BH 2 ＋ BB 21 ＝ 18
5，
cos ∠B 1HB ＝HB HB 1＝2
3
.
故平面AB 1E 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为2
3.。