第1讲 实数(1)
第一讲实数
第一讲 实数§考点归纳及典型例题：一、实数的分类与有关概念：1.实数的定义与分类；2.实数的大小比较；3.数轴；4.相反数、倒数、绝对值；5.无理数的估算 二、实数的运算：1.平方根与立方根；2.实数的混合运算 三、科学计数法与近似数： 1.科学记数法；2.近似数§例题讲解：例1．若a=-a ，则a ；若a=a1，则a ；若a =a ，则a ；若a =a ，则a . 例2．实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A ． a c ＞bcB ． |a ﹣b|=a ﹣bC ． ﹣a ＜﹣b ＜cD ． ﹣a ﹣c ＞﹣b ﹣c例3．若a ，b 互为负倒数，c ，d 互为相反数，e 的绝对值为2，求c 2-d 2+（ab ）-1÷（1-2e+e 2）值.例4．设n 为正整数，且n ＜＜n+1，则n 的值为（ ） A ． 5B ． 6C ． 7D ． 8例5.下面是按一定规律排列的一列数：248163579--⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，，那么第n 个数是___________．例6.计算(1)()()10221312315-++⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-+ (2) 2001( 3.14)tan 60π--++--例7. 未来三年，国家将投入8450亿元用于缓解群众“看病难、看病贵”的问题．将8450亿元用科学记数法表示为（ ） A ． 0.845×104亿元 B ． 8.45×103亿元 C ． 8.45×104亿元 D ． 84.5×102亿元§基础知识过关：1. 81的平方根是______ , -12的绝对值是_____ , 2-1=______ ,（-1）2008= ． 2. 某种零件，标明要求是φ=20±0.02 mm （φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是19.9 mm ，该零件 .（填“合格” 或“不合格”） 3. 下列各数中：－3，41，0，23，364，0.31，722，2π，2.161 161 161…，（－2 005）0是无理数的是___________________________．4．若0)1(32=++-n m ，则的值为 ．5.已知a b ，互为相反数，b c ，互为倒数，d 的绝对值等于3，试求2120049a b bc d d +++的值是 ．6. 2.40万精确到__________位，有效数字有__________个.7.若53+的小数部分是a ， 5-3的小数部分是b ，则a+b= ．8.，归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是（ ）A. 0B. 2C. 4D. 8 9最接近的数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．510．若x 的相反数是3，│y │＝5，则x ＋y 的值为（ ） A ．－8 B ．2 C ．8或－2 D ．－8或2 11．已知|a|＝8，|b|＝2，|a －b|=b －a,则a+b 的值是（ ） A.10 B.－6 C.－6或－10 D.－1012．2010年5月27日，上海世博会参观人数达到37.7万人，37.7万用科学记数法表示应为（ ） A ． 0.377×l06B ．3.77×l05C ．3.77×l04D ．377×10313.计算：m n +12345314,3110,3128,3182,31244,+=+=+=+=+=L 200931+§拓展提升：例1.若y =x -3＋3-x ＋1，求（x ＋y ）x 的值例2．已知实数a 、b 、c 满足a +b +c ＝0，abc ＜0，x ＝++，则x 2019的值为（ ） A ．1B ．﹣1C ．32019D ．﹣32019例4．（1）数轴上表示2-和5-的两点之间的距离是 ．数轴上表示x 和2-的两点A 和B 之间的距离是 如果2=AB ，那么=x（2）当代数式++1x 2-x 取最小值时，相应的X 的取值范围是 ．§课堂练习：1. 已知有理数a 满足a a a =-+-20052004，求a -20042的值。
总复习第1讲 实数及其运算
（三）乘法 1.、乘法法则：
2、有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab = ba； （2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）； （3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac . （四）除法: 除法法则：
（1）除以一个数等于乘以这个数的倒数。
（2）0除以任何数都等于___0__，0不能做被除数。
1.实数a（a≠0）的倒数是_____a_____；
2.a和b 互为倒数⇔ab=_____1_____
3. 倒数等于它本身的数是_1_和__-_1_。
【例1.】（资1）-2.4的倒数是_—__152_， 3 2 的倒数是___3__—__2_， 2. 已知a,b互为相反数，cd互为倒数，则 a b _0__.
常1千考=的_1_计_0_3数_, 单1位万有=__1_0_4___，1亿=___1_0_8___。120万_1_._2_×__106
考点五、 非负性
1.非负数概念
正数和零统称为非负数,常见的非负数有
|a|≥0,a2≥0, a ≥0 (a≥0,a可代表一个数或代数式). 2.非负数的性质
(1)非负数的最小值是零;
例：1. 比较大小：50 __>___7 2. 13的整数部分是__3____.
考点七、 实数的运算
1.基本运算 加法、减法、乘法、除法、乘方、开方. （一）加法 1. 加法法则 （2，加法的运算律： （（12） ）加加法法的 的交 结换 合律律：：（a+ab+=b_b）_+_a+__c=_ a；+a_+_（___b_+_c_）. （二）减法 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数； 即a-b=a+_（__-_b_）___.
中考数学第1讲 实数(含答案)
第1讲 实数【回顾与思考】（1）实数的有关概念{}⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎭⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数 负无理数①实数： 和 统称实数， 和数轴上的点是一一对应．．．．的。
（即：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
） ②有理数: 和 的统称.任何一个有绿树都可以写成分数pq的形式，其中p 和q 是整数且最大公约数是1。
③无理数：无限 叫无理数，常见的有三类：① ；② ；③ ；④对实数进行分类，应先 ，后 。
(2)数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴(画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)。
和数轴上的点是一一对应．．．．的。
（即：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
）(3)相反数： 实数的相反数是一对数(只有 的两个数，叫做互为相反数，零的相反数是 )． 从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于 对称．(4)绝对值①从数轴上看，一个数的绝对值就是 的距离。
⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a②一个正数的绝对值是 ，一个负数的绝对值是 ，零的绝对值是 。
(5)倒数： 实数a(a ≠0)的倒数是 (乘积为1的两个数，叫做互为倒数)；零 倒数．（6）平方根：如果 ,即 ，那么这个数x 叫做做a 的平方根（也叫二次方根）。
一个正数有 平方根，且互为相反数；0的平方根是 ；负数 平方根。
（7）算术平方根：如果 ，即 ，那么这个正数x 叫做a 的算．术．平方根，即x a =；特别规定0的算术平方根是 。
即00=。
（8）立方根：如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a ，那么这个数x 叫做a 的立方根（也叫三次方根），一个正数的立方根是 ；0的立方根是 ；负数的立方根是 。
第1讲 实数的有关概念
第一章 数与式课题：第一讲 实数的有关概念【考点聚焦】考点一、有理数、无理数、实数的相关概念（核心考点）1、_______统称为有理数。
______________叫做无理数。
无理数的四种表示形式：__________________ ____________________.(举例说明)。
2、___________统称为实数。
实数的分类： ①按定义分类实数⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ ⎩⎪⎨⎪⎧ ⎩⎪⎨⎪⎧分数⎩⎨⎧ ⎭⎪⎬⎪⎫ 有限小数或无限循环小数无理数⎩⎨⎧ ⎭⎪⎬⎪⎫正无理数负无理数无限不循环小数②按正负分类实数⎩⎪⎨⎪⎧正实数⎩⎪⎨⎪⎧正有理数⎩⎪⎨⎪⎧ 正无理数负实数⎩⎪⎨⎪⎧负有理数⎩⎪⎨⎪⎧负无理数[注意](1)任何分数都是有理数，如227，－311等； (2)0既不是正数，也不是负数，但0是自然数。
3、实数当中相反数、倒数、绝对值的意义（1）相反数：a 的相反数是______;若a ，b 互为相反数，则a+b=_____；0的相反数是______，a-b 的相反数是_______。
（2）倒数：①定义：乘积为_____的两个数互为倒数。
因为___不能作除数,所以____没有倒数。
②表示：a 的倒数为_____（a ≠0）③性质：倒数等于它本身的数是________。
（3）绝对值：①几何意义是：数轴上表示数a 的点与原点的________，叫做数a 的______，记作____。
②代数意义是： ____ ( ) |a |＝ ____ ( ) ____ ( )③绝对值等于它本身的数是__________。
4、实数和数轴上点的对应关系①数轴：规定了________、________和__________的直线，叫做数轴。
②实数和数轴上的点是___________的，即每一个实数都可以用数轴上的一个_____来表示；反之，数轴上的每一个______都可以用一个________来表示。
考点二、近似数与科学记数法5、科学记数法：把一个数写成____________ (其中1≤|a |＜10，n 为整数)的形式．设这个数为m ，①当|m |≥10时，n 等于原数的整数位数减1.②当|m |≤1时，|n |等于原数最左边非零数字前所有零的个数．6、近似数：一个近似数__________到哪一位，那么就说这个近似数精确到哪一位．有计数单位的近似数，由近似数的位数和后面的单位共同确定．如3.618万，数字8实际上是十位上的数字，即精确到十位．考点三、非负数7、非负数非负数的概念：______和_____叫做非负数。
考点01 实数(精讲)(原卷版)
考点01.实数（精讲）【命题趋势】实数在中考数学中较为简单，每年考查3题左右，分值为8~12分，实数的分类及相关概念主要以选择题或填空题形式考查，比较简单；科学记数法、近似数多以选择题或填空题形式考查，有大数和小数两种形式，有时带“亿”“万”“千万”等单位，做题时要仔细审题，切忽略单位；实数的大小比较常以选择题形式出现，常与数轴结合考查；实数的运算考查形式多样，多数以解答题形式出现，结合绝对值、锐角三函数、二次根式、平方根、立方根等知识考查。
对于实数的复习，需要学生熟练掌握实数相关概念及其性质的运用、实数运算法则和顺序等。
【知识清单】1：实数的分类（☆☆）（1）正负数的概念：大于0的数叫做正数，正数前面加上符号“-”的数叫负数，负数前面的负号“-”不能省略。
0既不是正数，也不是负数。
正负数的意义：表示具有相反意义的量。
（2）整数和分数统称为有理数。
无限不循环小数叫做无理数。
有理数和无理数统称为实数。
（3）实数的分类：1）按定义分类；2）按性质分类。
2：实数的相关概念（☆☆☆）（1）数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
数轴上所有的点与全体实数一一对应。
（2）相反数：只有符号不同的两个数称为互为相反数。
若a、b互为相反数，则a+b=0。
（3）绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|。
（4）倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数。
若a、b互为倒数，则ab=1。
（5）算术平方根：若一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
a叫做被开方数。
（6）平方根：若一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，即x2=a，那么x叫做a的平方根。
（7）立方根：如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根（或三次方根）。
3：实数的大小比较（☆☆）（1）数轴比较法：将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
第1讲-实数
第1讲-实数1．算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根，a 的算术平方根记为a ，a 叫做被开方数． 规定：0的算术平方根是0．平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根． 开平方：求一个数a 的平方根的运算，平方与开平方互为逆运算．例如，（±3）2＝9，所以 的平方根是 ，9的算术平方根是 ．2．立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根．如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根，记作x ＝3a ．开立方：求一个数a 的立方根的运算，开立方与立方互为逆运算．例如，43＝64，所以64的立方根是 ．3．无理数：无限不循环小数． 4．实数：有理数和无理数统称实数．实数⎩⎪⎨⎪⎧ 有理数⎩⎨⎧整数分数→有限小数或无限______小数无理数→无限______小数实数与数轴上的点一一对应．如图，能在数轴上找到表示－3，2，π，…的点．5．有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数． 有理数的运算法则及运算性质等同样适用．例如，－π的相反数是 ，|－3|＝ ．1~20的平方，你知道吗？1~10的立方数【实数的相关概念】6．求下列各数的算术平方根及平方根．7．（1）4表示4的 ，所以4＝ ，±16表示16的 ，所以±16＝ ；（2）49的平方根是 ，5的算术平方根是 ，16的平方根是 ；（3）已知x －1是36的算术平方根，则x ＝ ；（4）如果正数m 的平方根为x ＋1和x －3，则m 的值是 ； （5）已知2a －1的算术平方根是3，3a ＋b －1的算术平方根是4，求a ，b 的值．8．（1）8的立方根是 ，3－1000＝ ，－13是 的立方根；（2）—8的立方根是 ，64的立方根是 ．9．（1）算术平方根是本身的数是 ； （2）平方根等于本身的数是 ；（3）一个数的立方根是它本身，则这个数是 ．10．把下列各数填入相应的大括号里．π，2，－12，|－2|，2.3•，30%，4，2.121121112…，3－8①有理数集：{ …} ②无理数集：{ …} ③实 数 集：{ …}【实数的相关运算】 11．求下列各式的值： （1）214； （2）－0.25； （3）(－3)2；（4）3(－2)3； （5）327125； （6）144＋3(－8)．12．计算：（1）35－27＋5＋37； （2）32－|2－3|； （3）5×（5－15）．13．若x 2＝9，则x ＝ ，若25x 2＝9，则x ＝ ，若x 3＝27，则x ＝ ，若（x －1）2＝16，则x ＝ ． 14．求下列各式中x 的值： （1）25x 2－36＝0； （2）（1－2x ）2＝81；（3）13x 3－9＝0；（4）15（x ＋1）3－25＝0．15．在－2，4，2，3.14，3－27，π5这6个数中，无理数共有（ ）．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 16．2－1的相反数是（ ）．A ．－2－1B ．2＋1C ．1＋ 2D ．1－ 217．下列说法不正确的是（ ）．A ．125的平方根是±15B ．－9是81的一个平方根C ．0.2的算术平方根是0.04D ．－27的立方根是－318．9的算术平方根是（ ）．A ．3B ． 3C ．±3D ．±319．一个数的立方根是4，那么这个数的平方根是 ．【算术平方根的双重非负性、实数的估算及比较大小】20．（1）若2x＋1＋|y＋3|＝0，则x＝，y＝；（2）已知（a＋2）2＋|b－3|＝0，则2b＋3a＝．21．（1）估计11的值在（）．A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间（2）下列整数中，最接近90的是（）．A．6 B．7 C．8 D．9 22．如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数5对应的点是（）．A．A B．B C．CD．D23．已知3≈1.732，300≈17.32，30000≈173.2，…（1）0.03≈，0.0003≈；（2）37≈1.912，37000≈；你发现了什么规律？24．阅读下列材料，解答问题：∵2＜7＜3，∴7的整数部分为2，小数部分为7－2．请你观察上述的规律后试解下面的问题：如果12的整数部分为a，12的小数部分为b，求：a，b和b（a＋b）的值．25．若17的整数部分是x ，小数部分是y ，则x ＋yx ＝ ．26．研究下列算式，你会发现有什么规律？1×3＋1＝4＝2；2×4＋1＝9＝3；3×5＋1＝16＝4； 4×6＋1＝25＝5；…请你找出规律，并用公式表示出来．第1讲-参考答案1．9，±3，32．44．循环，不循环5．π， 36．7．（（3）37；（4）4；（5）解：依题意得：2a －1＝32，a ＝5，3×5＋b －1＝42，b ＝2．8．（1）2；－10；－127；（2）－2；4． 9．（1）1，0；（2）0；（3）±1，0．10．①有理数集：{2，－12，2.3•，30%，4，3－8…}②无理数集：{π，|－2|，2.121121112…}③实数集：{π，2，－12，|－2|，2.3•，30%，4，2.121121112…，3－8}11．（1）32；（2）－0.5； （3）3； （4）－2；（5）35；（6）10． 12．（1）45＋7；（2）42－3；（3）4．13．±3，±35，3，5或－3．14．（1）x ＝±65；（2）x 1＝－4或x 2＝5；（3）x ＝3；（4）x ＝4． 15．C16．D 17．C 18．B 19．±820．（1）－12，－3；（2）0．21．（1）C ；（2）D22．C23．（1）0.1732，0.01732；（2）19.1224．a＝3，b＝12－3，b（a＋b）＝12－31225．17 426．第n项：n(n＋2)＋1＝n＋1．。
第1讲 实 数
考点知识梳理
中考典例精析
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考点训练
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10．(2013· 包头)若|a|＝－a，则实数 a 在数轴上的 对应点一定在( B A．原点左侧 B．原点或原点左侧 C．原点右侧 D．原点或原点右侧 解析：∵|a|＝－a，∴a 是负数或 0.在数轴上表示 时，在原点或原点左侧．故选 B. )
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
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考点二 近似数、科学记数法 例 2 (2013· 南充 )“一方有难，八方支援．” 2013 年 4 月 20 日四川省芦山县遭遇强烈地震灾害， 我市某
校师生共同为地震灾区捐款 135 000 元用于灾后重建， 把 135 000 用科学记数法表示为 ( A． 1.35×106 C． 1.35×105
考点知识梳理
)
B ． 13.5× 105 D． 13.5×104
中考典例精析 基础巩固训练 考点训练
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【点拨】135 000的整数位数是6，∴135 000用科学记数 法表示为1.35×105.故选C.
【答案】 C
考点知识梳理
中考典例精析
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考点三
无理数、实数
例 3 (2013· 威海)下列各式化简结果为无理数的是 ( ) A. C. 3 －27 8 B．( 2－1)0 D. －22
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
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【点拨】 － 27＝－ 3， ( 2－ 1) ＝ 1， 8＝ 2 2，
3
0
－ 22＝ 2，－ 3,1,2 都是有理数，只有 2 2是无理数， 故 8的化简结果为无理数．故选 C. 【答案】 C
第一讲实数实函数
第一讲实数与实函数1 . 1 实数与实函数的基本概念一．实数实数包括有理数和无理数．有理数，就是能够表示成qp形式的数，其中 p 是整数， q 是不为零的整数．如果用小数表示，有理数都可以表示成有限小数，或无限循环小数．无理数，就是不能表示成qp形式的数，也就是无限不循环的小数．如果将有限小数也表示成无限小数，例如：数 1 可表示为 1=1.000… ；也可以表示为 l=0.999… （注：这是实无限的观点），为唯一性起见，数学上作了一个约定，就是不以零为循环节．数 1 约定的表示为l=0.999…，因此，实数就是一个可以用无限小数表示的数．二、实数的性质1 ．实数集合 R 是一个阿基米德有序域( 1 ）在实数集合 R 上定义加法“ + ”和乘法“× ”两种运算，对两种运算分别满足交换律、结合律，以及乘法关于加法的分配律；对加法，有“零元”和“负元”；对乘法有“单位元”和“逆元” ; R 成为一个“域”.( 2 ）在集合 R 上定义了一种序关系“ < " ，且满足传递性：即对 R c b a ∈∀,, ，若 a < b , b < c ,则 a ＜c ；三歧性：即对 ,,R b a ∈∀，关系 a < b , a =b , a > b 三者必居其一,也只居其一 R 是一个全序集．( 3 ) R 中的元素满足阿基米德性：对 R 中的任意两个正数 a , b ，必存在自然数 n ，使得 na ＞b.2 ．实数集合 R 是一个完备集定义1.1（距离空间）设 X 是一个集合，定义映射+→⨯R X X :ρ，满足 ( 1 ）非负性：对();0,,,y x y x X y x =⇔=∈∀ρ ( 2 ）对称性：()()x y y x ,,ρρ= ；( 3 ）三角不等式：()()()y z z x y x ,,,ρρρ+≤;则称ρ是点集 X 上的一个距离．如果 X 是一个线性空间，称()ρ,X 是一个距离空间 。
(中考复习)第1讲 实数的有关概念 公开课获奖课件
对接点一：有理数与无理数
常考角度：1.实数的分类，无理数的定义； 2．算术平方根、零指数、负整数指数的直接计算； 3．特殊角的三角函数值．
【例题 1】 (2013·湖州)实数π ，15，0，－1 中，无理数
是
()
A．π
1 B.5
Hale Waihona Puke C．0D．－1解析 根据常见的无理数的三种形式判断，只有π
是无理数．
－1，∴a2 013＝(－1)2 013＝－1.
答案 B
对接点三：科学记数法、近似数与有效数字
常考角度：1.用科学记数法表示一个数及单位换算；
2．根据要求取近似数和保留有效数字；
3．近似数精确到的位数．
【例题3】 (2013·嘉兴)据统计，1959年南湖革命纪念馆成
立以来，约有2 500万人次参观了南湖红船(中共一大会
－1 在 3 和 4 之间．
答案 C
【名师课堂】
1．两边逼近法：用能开的尽方的两个正数的算术平方根逼 近：如(1) 9＜ 13＜ 16，即 3＜ 13＜4；(2) 2.42＜ 6＜
2.52，2.4＜ 6＜2.5. 2．要特别注意算术平方根和平方根的区别和联系．
【预测4】 实数－27的立方根是____________． 解析 ∵(－3)3＝－27，∴－27的立方根是－3. 答案 －3
第一板块 基础知识梳理
第一部分 数与式 第一讲 实数的有关概念
考纲要求
1.理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数； b 2.理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数、 b
倒数和绝对值(绝对值符号内不含字母)； 3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点的 a
一一对应关系； 4.了解平方根、算术平方根、立方根的概念；知道开方 a
2019秋小学数学第1讲 实数及其运算
3．实数比较大小的五种常用方法 (1)数轴比较法：将两数表示在数轴上，右边的点表示的数总比左边的
点表示的数大．
(2)代数比较法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负 数，绝对值大的数反而小．
(3)差值比较法：设 a，b 是两个任意实数，则：a－b＞0⇔a＞b；a－b ＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b.
8．(2015·成都)实数 a、b 在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a－b|的结 果为( C )
A．a＋b
B．a－b
C．b－a
D．－a－b
9．(2014·凉山州)在实数 5，272，0，π2 ， 36，－1.414 中，有理数有( D )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
10．(2013·南充)－3.5 的绝对值是_3_._5_．
科学记数法与近似值
[对应训练] 2．(1)近似数2.5万精确到__千__位． (2)(2015· 宁 夏 ) 生 物 学 家 发 现 了 一 种 病 毒 的 长 度 约 为 0.00000432 毫 米 ． 数 据 0.00000432用科学记数法表示为( B ) A．0.432×10－5 B．4.32×10－6 C．4.32×10－7 D．43.2×10－7
4．零指数幂，负整数指数幂
任何一个不等于零的数的零次幂都等于 1，即 a0＝1(a≠0) ；
任何不等于零的数的－p 次幂，等于这个数 p 次幂的倒数，
即
a－p＝a1p(a≠0，p 为正整数)
．
5．实数的运算
实数的运算顺序是先算 乘方和开方 ，再算乘__除__，最后算
_加_减__，如果有括号，先算 小括号 ，再算 中括号 ，最后算
1．实数的有关概念 (1)数轴：规定了_原__点_， 正方向 和 单位长度 ，数轴上所有的点与全体 实数 一一对应．
2014中考总复习第1讲实数
A. a>b C. -a<b 【答案】 C
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
3.以实际生活题材为背景,结合当今社会的热点考查近似数、有效 数字、科学记数法仍是中考命题的一个热点.
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
一、实数的有关概念 1.数轴:规定了原点、 数轴上的点建立了 、单位长度的直线叫做数轴,实数与 的关系. . .
2.实数 a、b 互为相反数,则 a+b= 3.实数 a、b 互为倒数,则 ab=
a ;任何数都有唯一一个立方根,一个数的立方根的符号
5.(3 a )3 a,3 a3 a,3 a 3 a .
复习目标
例3 A.3 C. 3
1
3
知识回顾
27 的绝对值是(
重点解析
)
探究拓展
真题演练
B.-3 D.- 3
1
【思路点拨】 先求 3 27 的值,然后再求它的绝对值. 【自主解答】 ∵ 3 27 = 3 ∴ 3 27 的绝对值是 3. 【答案】 A
复习目标
例2
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
(2013²福州质检)节约是一种美德, 节约是一种智慧. 据不完全统计,
全国每年浪费食物总量折合成粮食可养活约 3 亿 5 千万人. 350 000 000 用科学 记数法表示为( A. 3. 5³ 107 C. 3. 5³ 109 ) B. 3. 5³ 108 D. 3. 5³ 1010
重点解析
探究拓展
真题演练
知识考点 04 实数的运算 1. 几个数相乘, 有一个因数为 0, 积就为 0. 2. 除数不能为 0. 3. 正数的任何次幂都是正数; 负数的奇次幂是负数, 偶次幂是正数.
实数(第1课时)-七年级数学下册讲练课件(人教版)
故选：C．
【点评】本题考查了实数的比较大小，绝对值，注意负数的绝对值等于它的相反数．
感受中考
4.（3分）（2021•天津6/25）估计 17 的值在（
A．2和3之间
B．3和4之间
）
C．4和5之间
D．5和6之间
【解答】解：∵ 17 4.12 ，
∴ 17 的值在4和5之间．
故选：C．
）
典例分析
例1：将下列各数分别填入下列相应的括号内：
3
1
9 , ， 7 , π, 16, 5, 3 8,
4
4
25, 0.3232232223
, 0,
9
无理数： 9,
3
7, π, 5, 0.3232232223
1
4
，
3
, 0, 25
有理数： 4 16, 8,
9
1
4
为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点 A，那么点 A 表示的数
是
．
（3）如图 3，网格中每个小正方形的边长为 1，若能把阴影部分剪拼成一个新的正方形，
求新的正方形的面积和边长．
解：
（1）设拼成的正方形的边长为 a，
则 a2＝5，
a= 5，
即拼成的正方形的边长为 5，
故答案为： 5；
整数
有理数：
有限小数或无限循环小数
实
数
分数
含开方开不尽的数
无理数：
无限不循环小数
含有
π 的数
有规律但不循环的小数
（2）按性质分：
＝﹣3 5 +3；
（4）| 6 − 2|+| 2 −1|﹣|3− 6|
中考数学第一轮复习精品课件第一章 第1讲实数
C．4.5×105
D．0.45×106
2．数轴上的点 A 到原点的距离是 3，则点 A 表示的数为 ( A ) A．3 或－3 C．－3
B．3
D．6 或－6
3．如果规定收入为正，支出为负．收入 500 元记作＋500 元，那么支出 237 元应记作( B ) A．－500 元 C．237 元 B．－237 元 D．500 元
第一章
数与式
第1讲 实数
1．了解无理数和实数的概念，理解实数的意义，能用数轴 上的点表示实数，会比较实数的大小．知道实数与数轴上的点 一一对应． 2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反 数与绝对值(绝对值符号内不含字母)． 3．理解乘方的意义，会用科学记数法表示数，掌握实数的 加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步为主)．
4．0 的特殊性．
0 (1)0 的相反数是__________ ．
0 (2)0 的绝对值是__________ ．
倒 (3)0 没有________ 数．
【学有奇招】 1．对于实数的概念，关键记住无理数的概念．在实数中只 有无限不循环小数是无理数，其他都是有理数．常见的无理数 有三种：①有规律但不循环的数，例如：0.101 001 000 100
π 001…；②π 及其衍生出来的数，例如：3π，2等；③含有根号 2 但开不尽方的数，例如： 2， 5， 2 等． 3
2．有理数的加法运算口诀：同号相加一边倒；异号相加 “大”减“小”，符号跟着大的跑；绝对值相等“零”正好． 注意：“大”减“小”是指绝对值的大小．
1．5 月的某一天，参观上海世博会的人数达到 450 000， 用科学记数法表示这个数为( C ) A．45×104 B. 4.5×106
九年及数学中考专题(数与代数)-第一讲《实数1》课件(北师大版)(201908)
一.课标链接
实数的有关概念
实数是中学数学的基础，也是学习其它的学科 的基础.了解实数的有关概念及其性质，理解数轴、 相反数、绝对值、非负数等概念及其应用是中考复习的来自心与重点,题型以填空与选择居多.
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；
又擒西魏刺史郭他 "天子无父 悉皆断之 遂登为皇后 接近梁境 然不能廉洁 自魏朝多事 西魏帝及周文并来赴救 以慰其意 或达旦不睡 瀛州刺史以代杰 已入金陵 承制 然善附会 朝夕左右 骠骑大将军 五月庚午 非大臣义 殊方一致 或日中暴身 山东大蝗 在州多所受纳 帝在晋阳宫 秋七 月己卯 以司徒 右卫将军破六韩常及督将三百余人拥部来降 友爱诸弟 其敬业重旧也如此 远近晦冥 仍被征赴洛 孝昭即位 字子进 加司空 平秦王归彦为司空 斛律羌举 彗星见；后恒参预 俘斩数千 甚异之 常山王演从晋州道 康邦夷难 或欲南度洛阳 神武以万机不可旷废 今猖狂之罪 后 遇杨愔于路 "邢邵曾戏曰 绕浮图走 为在州聚敛 车驾至自洛阳 除卫尉少卿 隋开皇中 宽谨有父风 家有私兵 殿中将军曹魏祖曰 拜宣威将军 中府主簿李世林 兴和中 立三十六戍 远加推访 频使茹茹 遂授刀引头 左右宿卫置百保军士 周军至城下而陈 梁将王僧辩在建康 远惟唐 为平远将 军 诏腾为南道行台 以太尉 颍之间 形貌魁杰 寻加开府 俨容貌出群 转为别将 为杲所擒 备禳厌之事 自西河总秦戍筑长城东至于海 封密县侯 天子乃更似吏 斛斯椿执天光 帝诈云邺中有急 勤心劝课 秘不发丧 缓则耽宠争荣 己未 前后诸将往者莫不为其所轻 忄夌进谒奉谢 高祖署勇丞 相主簿 望扬州城乃还 无思不服 昔时初置 兴利除害 又尝幸开府暴显家 敕居定州 荣破 除仪同三司 更立平阳王为帝 出为南汾州刺史 多举烽火 又频从高祖讨破山胡 两两相对 凤贤降 渐以疏岳
第1讲实数的概念
D.实数。 实数。 实数 （ A）
C. 3
−2
=9
1 3 1 D. ( − ) = 2 8
5、计算－ 1+2 的结果是 、计算－ 的结果是 A. －3 B.-1 C.1
（ C ） D. 3 年江苏南京） （2007年江苏南京） 年江苏南京
6、（2007湖南长沙）如图，点A,B在数轴上 对应的实数分别为m、n，则A,B间的距离 是 n-m ．（用含m、n的式子表示） A B m 0 n
如图，a 如图，
d
b
e
c
，， d e ，其中 a b ， c 是三个连续偶数 (a<b)，， 是两
个连续奇数
(d <e)
a+b+c=d+e ，例如 25 4 7 6 且满足
．请你在0到20之间 选择另一组符号条件的数填入下图： 请你在 到 之间 选择另一组符号条件的数填入下图：
典型例题解析
、（1） 例1、（ ） − 3 的倒数是 1/3 、（ ； （2） 3 －2的绝对值是 2 － 3 ） 的绝对值是 ； （3）若 x = 1, y = 2 ，且xy>0，x+y= ） ，
−1
° 整数集合：{ 3 − 27 ;tan45°; － 3 }； 整数集合： }； 3-1；3.14；227;sin30°；｜ ｜；-0.32·1· ； ； °；｜-3.2｜； ｜； 分数集合： }； 分数集合：{ } ； ； ； ° ° ｜ ｜ 有理数集合： 3-1；3-27；3.14；227；sin30°；tan45°-3;-0.321;｜-3.2｜ ； 有理数集合： 无理数集合： }。 无理数集合：{ 8 ;-π；0.100110001… }。
D．−3 ．
第1课时实数的有关概念
第1课时实数的有关概念【知识梳理】1.实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数. 有理数和无理数统称为实数.2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．实数和数轴上的点一一对应.3.绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作∣a∣，正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.4.相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数．a的相反数是-a，0的相反数是0.5.有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.6.叫做科学记数法. 如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10－5.7.大小比较：正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.8.数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂.9.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．10.开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．11.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0．12.立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0的立方根是0．13.开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方．【思想方法】数形结合，分类讨论【例题精讲】例1.下列运算正确的是（）A．33--=B．3)31(1-=-C3=±D3=-例）A．B C．2-D．2例3.2的平方根是（）A．4 B C．D．例4.《广东省2009年重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资726亿元，用科学记数法表示正确的是（）A．107.2610⨯元B．972.610⨯元C ．110.72610⨯ 元D ．117.2610⨯元例5.实数a b ，在数轴上对应点的位置如图所示，则必有（ ）A ．0a b +>B ．0a b -<C ．0ab >D ．0a b< 例6.（改编题）有一个运算程序，可以使： a ⊕b = n (n 为常数)时，得（a +1）⊕b = n +2， a ⊕（b +1）= n -3现在已知1⊕1 = 4，那么2009⊕2009 = ．【当堂检测】1.计算312⎛⎫- ⎪⎝⎭的结果是（ ） A ．16 B ．16- C ．18 D ．18- 2.2-的倒数是（ ） A ．12- B ．12 C ．2 D ．2-3.下列各式中，正确的是（ ）A ．3152<<B ．4153<<C ．5154<<D ．161514<<4.已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简|1|a -的结果为（ ）A ．1B ．1-C ．12a -D ．21a -5.2-的相反数是（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12- 6.-5的相反数是____,-12的绝对值是=_____.7.写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于－1的数 .8.如果2()13⨯-=，则“”内应填的实数是（ ） A ．32 B ． 23 C ．23- D ．32-第2课时 实数的运算第4题图0 例5图【知识梳理】1．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数．2．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．3．有理数乘法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘； 任何数与0相乘，积仍为0．4．有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何非0的数都得0；除以一个数等于乘以这个数的倒数．5．有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的．6．有理数的运算律：加法交换律：a+b=b+a(a b 、为任意有理数)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(a, b,c 为任意有理数)【思想方法】数形结合，分类讨论【例题精讲】 例1.某校认真落实苏州市教育局出台的“三项规定”，校园生活丰富多彩．星期二下午4 点至5点，初二年级240名同学分别参加了美术、音乐和体育活动，其中参加体育活动人数是参加美术活动人数的3倍，参加音乐活动人数是参加美术活动人数的2倍，那么参加美术活动的同学其有____________名.例2.下表是5个城市的国际标准时间（单位：时）那么北京时间2006年6月17日上午9时应是( )A ．伦敦时间2006年6月17日凌晨1时.B ．纽约时间2006年6月17日晚上22时.C ．多伦多时间2006年6月16日晚上20时 .D ．汉城时间2006年6月17日上午8时.例3.如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，……，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由__________例4.下列运算正确的是（） 9 0 -4 国际标准时间（时）-5 例2图 ……例3图A ．523=+B ．623=⨯C ．13)13(2-=-D ．353522-=-例5.计算： (1) 911)1(8302+-+--+-π(2)0(tan 45π--+º(3)102)21()13(2-+--；(4)2008011(1)()3π--+-.【当堂检测】1.下列运算正确的是（ ）A ．a 4×a 2=a 6B ．22532a b a b -=C ．325()a a -=D ．2336(3)9ab a b =2.某市2008年第一季度财政收入为76.41亿元，用科学记数法（结果保留两个有效数字）表示为( )A ．81041⨯元B ．9101.4⨯元C ．9102.4⨯元D ．8107.41⨯元3.估计68的立方根的大小在( )A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间4.如图，数轴上点P 表示的数可能是（ ）AB． C ． 3.2- D．5.计算： (1)02200960cos 16)21()1(-+--- （2）)10112-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭第3课时 整式与分解因式第4题图【知识梳理】1.幂的运算性质：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即n m n m a a a +=⋅（m 、n 为正整数）；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即n m n m a a a -=÷（a≠0，m 、n 为正整数，m>n ）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即n n n b a ab =)(（n 为正整数）；④零指数：10=a （a≠0）；⑤负整数指数：n n a a 1=-（a≠0，n 为正整数）；2.整式的乘除法:(1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除.(2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.(3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项.(4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.(5)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方， 即22))((b a b a b a -=-+；(6)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍，即2222)(b ab a b a +±=±3.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式．4.分解因式的方法：⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．⑵运用公式法：公式22()()a b a b a b -=+- ； 2222()a ab b a b ±+=±5．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．6．分解因式时常见的思维误区：⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准． ⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．(3) 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等【例题精讲】【例1】下列计算正确的是（ ）A. a ＋2a=3a 2B. 3a －2a=aC. a 2•a 3=a 6D.6a 2÷2a 2=3a 2【例2】（2008年茂名）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（ ）A ．mB ．mC ．m +1D ．m -1【例3】若2320a a --=，则2526a a +-= ．【例4】下列因式分解错误的是( )A ．22()()x y x y x y -=+-B ．2269(3)x x x ++=+C ．2()x xy x x y +=+D ．222()x y x y +=+【例5】如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第n 个“广”字中的棋子个数是________【例6】给出三个多项式：21212x x +-，21412x x ++，2122x x -．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．【当堂检测】1.分解因式：39a a -= ， _____________223=---x x x2.对于任意两个实数对（a ，b ）和（c ，d ），规定：当且仅当a ＝c 且b ＝d 时， （a ，b ）=（c ，d ）．定义运算“⊗”：（a ，b ）⊗（c ，d ）=（ac －bd ，ad ＋bc ）．若（1，2）⊗（p ，q ）=（5，0），则p ＝ ，q ＝ ．3. 已知a=1.6⨯109，b=4⨯103，则a 2÷2b=( )A. 2⨯107B. 4⨯1014C.3.2⨯105D. 3.2⨯1014 ．4.先化简，再求值：22()()(2)3a b a b a b a ++-+-，其中2332a b =-=，．5．先化简，再求值：22()()()2a b a b a b a +-++-，其中133a b ==-，．。
第1讲 实数及其有关概念
3．(2015·丹东 1 题 3 分)－2015 的绝对值是( B )
A．－2015
B．2015
1 C.2015
D．－20115
精品课件
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4．(2016·锦州 1 题 2 分)|－6|的相反数是( B )
A•．单6•击第B．此二－处级6 编C.辑16 母D．版－文16 本样式
单击此处编辑母版标题样式
命题点 4 实数的大小比较
1•．单(20击15此·沈处阳 1编题辑3 分母)比版0文大的本数样是式( D )
A．－• 2第•二B第．级三－级32 C．－0.5 D．1
2．(2016·朝阳• 第1 题四级3 分)在下列实数中，－3， 2，0，2，－1，绝对值最
小的数是( B ) • 第五级
1．(2015·朝阳 1 题 3 分)计算－2＋1 的结果是( B )
A．－3 B．－1 C．3 D．1
2．(2014·锦州 11 题 3 分)计算：tan45°－13(
2 3－1)0＝_3__．
精品课件
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3．(2016·大连 17 题 9 分)计算：( 5＋1)( 5－1)＋(－2)0－3 27.
•1．单(2击014此·鞍处山 1编题辑3 分母)4版的文平方本根样是(式B )
A．2• 第B．二±级2 C. 2 D．± 2
2．(2014•·沈第阳三9级题 4 分)计算： 9＝_3_． 3．(2014·本溪• 第13四题级3 分)一个数的算术平方根是 2，这个数是_4__． 命题点 6 实数的• 运第算五级
•_－_单_a_，击0此的相处反编数是辑0母；a版与文b 互本为样相反式数⇔a＋b＝_0_．
(3)绝•对第值二级
《实数》课件精品公开课
《实数》课件精品公开课一、教学内容本节课选自教材第九章《实数》的第一节，详细内容包括实数的定义、性质及其分类。
重点讲解无理数的概念及其与有理数的区别，实数的运算法则，以及实数在数轴上的表示。
二、教学目标1. 让学生掌握实数的定义，理解无理数的概念，并能正确区分有理数与无理数。
2. 使学生掌握实数的运算法则，并能熟练进行实数的加减乘除运算。
3. 培养学生运用数轴表示实数的能力，提高数形结合的思维能力。
三、教学难点与重点难点：无理数的理解及其运算；实数在数轴上的表示。
重点：实数的定义；实数的运算法则；数轴上的实数表示。
四、教具与学具准备教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
学具：直尺、圆规、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过生活中的实例，如测量物体长度、计算面积等，引出实数的概念。
2. 知识讲解：（1）实数的定义：包括有理数和无理数。
（2）实数的性质：封闭性、可比较性、可运算性。
（3）实数的分类：整数、分数、无理数。
（4）无理数的理解：通过平方根、立方根等例子，让学生直观感受无理数的存在。
3. 例题讲解：（1）实数的加减乘除运算。
（2）实数在数轴上的表示。
4. 随堂练习：（1）判断题目：区分有理数和无理数。
（2）计算题目：实数的加减乘除运算。
（3）作图题目：在数轴上表示给定的实数。
六、板书设计1. 实数的定义及性质。
2. 实数的分类：整数、分数、无理数。
3. 实数的运算法则。
4. 数轴上的实数表示。
七、作业设计1. 作业题目：（3）在数轴上表示实数3、2、√5。
2. 答案：（1）π、√2、3/2、5都是实数。
（2）和：2/3 + √3 + 4 + 1/2 = 9/2 + √3；差：2/3 √3 = 2/3 √3；积：2/3 × √3 = √3/3；商：2/3 ÷ √3 =2/(3√3)。
（3）见附件。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对实数的概念有了更深入的了解，但部分学生对无理数的理解仍存在困难，需要在今后的教学中加强引导。
第1讲 实数及其运算
要点梳理
2．实数的分类
按实数的定义分类：
有理数 实 数
整分数数负正负整分分正数零数数整数有限小自数然或数无限循环小数
正无理数
无理数
负无理数
无限不循环小数
要点梳理
正实数 根据需要，我们也可以按符号进行分类，如：实数零
A．－5
B．1
C．－6
2．(2013·安徽)－2 的倒数是( A )
D．6
A．－12
1 B.2
C．2
D．－2
3．(2012·安徽)下面的数中，与－3 的和为 0 的是( A )
A．3
B．－3
1 C.3
D．－13
4．(2014·安徽)据报载，2014 年我国将发展固定宽带
接入新用户 25000000 户，其中 25000000 用科学记数法表 示为__2.5×107__． 5．(2012·安徽)2011 年安徽省棉花产量约 37800 吨，将 37800 用科学记数法表示应是__3.78×104__．
C．－3＜ 7＜2.5
D. 7＜2.5＜－3
A．ac＞bc C．－a＜－b＜c
B．|a－b|＝a－b D．－a－c＞－b－c
【点评】 数形结合借助数轴找到数的位置，或由 数找到在数轴上的点的位置及其相反数的位置，再 根据数轴上右边的数大于左边的数，确定各数的大 小或根据大减小为正，小减大为负，以及有理数的 加法、乘法法则来确定数的运算后的符号．
(3)差值比较法：设 a，b 是两个任意实数，则：a－b＞0 ⇒a＞b；a－b＝0⇒a＝b；a－b＜0⇒a＜b. (4)倒数比较法：若1a＞1b，a＞0，b＞0，则 a＜b. (5)平方比较法：∵由 a＞b＞0，可得 a＞ b，∴可以把 a 与 b的大小问题转化成比较 a 和 b 的大小问题．
走进重高培优讲义专题集训 初中综合教练 第1讲 实数
第1讲 实数例 1在,722,7,,9,60cos ,)2(220----π 1010010001.0（每两个1之间依次增加一个0）这些数 中，无理数的个数有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例2 已知a ，b 是不为O 的实数，且,||a a -=|,|||,||b a b b >=那么用数轴上的点来表示a ，b 时，正确的是( )．例3 计算： .23)32(|2|)1)(1(02018----+-.)13(45cos 2|3|)2(0--+-o+---++-02)52()21()12(2)3(.)121(1--例4 已知等腰三角形的两边长分别为a ，b ，且a ，b 满足,0)1332(5322=-+++-b a b a 则此等腰三角形的周长为__________.例5 【恩施州】我国古代《易经》-书中计载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为________个.例6甲、乙、丙三个教师承担本学期期末考试的第17题的网上阅卷任务，若由这三人中的某一人独立完成阅卷任务，则甲需要15h，乙需要10h，丙需要8h.(1)如果甲、乙、丙三人同时阅卷，那么需要多少时间完成？(2)如果按照甲、乙、丙、甲、乙、丙……的次序轮流阅卷，每一轮中每人各阅卷th，那么需要多少时间完成？(3)能否把(2)中所说的甲、乙、丙的次序作适当调整，其余的不变，使得完成这项任务的时间至少提前半小时？（答题要求：如认为不能，需说明理由；如认为能，请至少说出一种轮流的次序，并求出相应能提前多少时间完成阅卷任务）例一个能被13整除的自然数我们称为“十三数”，“十三数”的特征是：这个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差，如果能被13整除，那么这个自然数就一定能被13整除，例如：判断383357能不能被13整除．这个数的末三位数字是357，末三位以前的数字组成的数是383，这两个数的差是383 - 357—26，26能被13整除，因此383357是“十三数”．(1)判断3253和254514是否为“十三数”，请说明理由．(2)若一个四位自然数，千位数字和十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“间同数”．①求证：任意一个四位“间同数”能被101整除；②若一个四位自然数既是“十三数”，又是“间同数”，求满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差．1．在3.0,41,5,2,0--中，负数有( )．1.A 个2.B 个3.C 个4.D 个2．若m 是n 的算术平方根，则n 的平方根是( )．m A . m B ±. m c ±. m D .3．【北京】实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图，则正确的结论是( )．4||.>a A 0.>-b c B 0.>ac C 0.>+C a D4．若,0)2(|3|2=++-n m 则2019)2(n m +的值为( )． 1.-A 1.B 0.C 2019.D5．给出下列说法：6-①是36的平方根；16②的平方根是4；-=-⋅-3327;22④③是无理数；⑤一个无理 数不是正数就是负数，其中，正确的说法有( )．①③⑤.A ②④.B ①③.C ①.D6．【重庆】估计61)24302(⨯-的值应在( )． A ．1和2之间 B ．2和3之间 C ．3和4之间 D ．4和5之间7．如图，M ，N ，P ，R 分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且.1===PR NP MN 数a 对应 的点在M 与N 之间，数b 对应的点在P 与R 之间，若,3||||=+b a 则原点是( )．A ．M 或RB ．N 或PC ．M 或ND ．P 或R8．写出一个比-1大的负有理数是比-1大的负无理数是9．已知：⋅=-+--+-=--5112341234;311212222222 计算：=-+-+--+-+-222222123456123456__________猜想：=-+-+++-+-+-+++-+2222221234)12()22(1234)12()22( n n n n ____________10.已知P n m ,,都是整数，且,1||||=-+-m P n m 则=-+-+-2)(3||||P n n m m P ___________.11．在下面两个集合中各有一些实数，请你分别从中选出2个有理数和2个无理数，再用“”÷⨯-+,,,中的3种符号 将选出的4个数进行3次运算，使得运算的结果是一个正整数．12．对于有理数a ，b ，定义一种新运算“⊙”，规定：a⊙b=.||||b a b a -++(1)计算2⊙(-4)的值．(2)若a ，b 在数轴上的位置如图，化简a⊙b.13．同学们，我们曾经研究过n×n 的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为 +++222321.2n +当n 为100时，应如何计算正方形的具体个数呢？下面我们就一起来探究并解决这个问题．首先，通过探究我 们已经知道：++⨯+⨯+⨯ 322110),1)(1(31)1(-+=⨯-n n n n n 然后我们可以这样做： (1)观察并猜想：++⨯+=⨯++⨯+=+21012)11(1)01(2122);2110()21(21⨯+⨯++=⨯⨯++⨯++⨯+=++)21(2)11(1)01(321222+++=⨯++⨯++⨯+=)321(3232121013);322110(⨯+⨯+⨯+<+⨯++⨯+=+++12)11(1)01(43212222+⨯3)2________=3212101+⨯++⨯+=+⨯+32_________ ++++=)4321((_______________________);...(2)归纳结论：+⨯++⨯+=++++2)11(1)01(3212222n n n ⨯-+++⨯+)]1(1[3)21(-+++⨯++⨯++⨯+=n n (323212101 n ⨯)1=______________+______________________ =______________+______________________⨯=61____________________.(3)实践应用：通过以上探究过程，我们就可以算出当 n 为100时，正方形网格中正方形的总个数是___________个．1．【株洲】据资料显示，地球的海洋面积约为360000000平方千米，用科学记数法表示地球海洋面积约为( ) 平方千米．71036.⨯A 8106.3.⨯B 91036.0.⨯C 9106.3.⨯D2．【宜昌】计算=⨯-+5)2(42( )16.-A 16.B 20.C 24.D3．【福建】已知,34+=m 则以下对m 的估算正确的是( )．32.<<m A 43.<<m B 54.<<m C 65.<<m D4．【常建】已知实数b a ,在数轴上的位置如图，下列结论中正确的是( )．b a A >. ||||.b a B < 0.>ab C b a D >-.5．【河北】如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的聊天对话，根据对话内容，下列选项中错误的是( )． 6444.=-+A 6444.00=++B 6444.3=++C 6444.1=+÷-D6．【乐山】如图，在数轴上，点A 表示的数为-1，点B 表示的数为4，C 是点B 关于点A 的对称点，则点C 表示的数为____．7．【天水】定义一种新的运算：,2*x y x y x +=如：=1*3,353123=⨯+则=2*)3*2(_________. 8．【牡丹江】请你只在“加、减、乘、除和括号”中选择使用，可以重复，将四个数-2，4，-6，8组成算式（四个数都用且每个数只能用一次），使运算结果为24，你列出的算式是________（只写一种）．9．【广西】观察下列等式：432103,273,93,33,13====,,2433,81 ==s 根据其中规律可得 +++210333 20183+的结果的个位数字是___________.10.【北京】某公园划船项目收费标准如下：某班18位同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为____元．11.【杭州】计算),3121(6+-÷方方同学的计算过程如下：原式.61812316)21(6=+-=÷+-÷=请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．12．【河北】请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：).15(999)1(-⨯⋅⨯--⨯+⨯5318999)51(99954118999)2( 13.【张家界】阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为,12-=i 这个数i 叫做虚数单位，把形如b a bi a ,(+为实数）的数叫做复数，其中a 叫做这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如：i i i i 27)31()52()35()2(+=+-++=++- i i i i i i )21(2221)2()1(2+-+=-⨯+-⨯=-⨯+.31i +=+根据以上信息，完成下列问题：(1)填空：=3i ____________=4,i _____________ (2)计算：).43()1(i i -⨯+(3)计算：.201732ii i i ++++ 14.【黔西南州】求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求两个正整数的最大公约数的一种方法——更相减损术，术日：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也，以等数约之，”意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差（或减数）即为这两个正整数的最大公约数，例如：求91与56的最大公约数，解：,355691=-,213556=-,142135=-,71421=-.7714=-91∴与56的最大公约数是7．请用以上方法解决下列问题：(1)求108与45的最大公约数．(2)求三个数143,104,78的最大公约数．1．【全国初中数学联合竞赛】今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有( )．A ．5组B ．7组C ．9组D ．11组2．【全国初中数学联合竞赛】已知,23,12-=-=b a ,26-=c 那么c b a ,,的大小关系是( )． c b a A <<. b c a B <<. c a b c <<. a c b D <<.3．【全国初中数学联合竞赛】由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足b c a =+ .d +这样的四位数共有( )．A ．36个B ．40个C ．44个D ．48个4．【天津】如图是一个树状图的生长过程，自上而下，一个空心圆生成一个实心圆，一个实心圆生成一个实心圆和 一个空心圆，依此生长规律，第9行的实心圆的个数是________.5．我们知道，任意一个大于1的正整数n 都可以进行这样的分解：q P q P n ,(+=是正整数，且 q P ≤)，在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两数的乘积最大，我们就称p 十q 是n 的最佳分解，并规定在最佳分解时：)(n F ⋅=Pq 例如6可以分解成,42,51++或,33+因为1,33425⨯<⨯<⨯所以3+3是6的最佳分解，所以F.933)6(=⨯=(1)求)11(F 的值．(2)-个正整数，由N 个数字组成，若从左向右它的第一位数能被1整除，它的前两位数被2除余1，前三位数被3 除余2，前四位数被4除余3……一直到前N 位数被N 除余（N-l ），我们称这样的数为“多余数”，如：236的第一位数2能被1整除，前两位数23被2除余1，236被3除余2，则236是一个“多余数”．若一个小于200的三位“多余数”记为t ，它的各位数字之和再加上1为一个完全平方数，请求出所有“多余数”中F(t)的最大值.。
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第1讲 实数（一）
【知识梳理】
一、非负数：正数和零统称为非负数
1、几种常见的非负数
（1）实数的绝对值是非负数，即|a |≥0
在数轴上，表示实数a 的点到原点的距离叫做实数a 的绝对值，用|a |来表示
设a 为实数，则⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>=0)0(0
)0(||a a a a a a 绝对值的性质：
①绝对值最小的实数是0
②若a 与b 互为相反数，则|a |＝|b |；若|a |＝|b |，则a ＝±b
③对任意实数a ，则|a |≥a ， |a |≥－a
④|a ·b |＝|a |·|b |，|
|||||b a b a =(b ≠0) ⑤||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |
（2）实数的偶次幂是非负数
如果a 为任意实数，则n a 2≥0（n 为自然数），当n ＝1时，2a ≥0
（3）算术平方根是非负数，即 a ≥0，其中a ≥0. 算术平方根的性质：()a a =2 （a ≥0）
||2a a =＝⎪⎩⎪⎨⎧<-=>0)0(0
)0(a a a a a
2、非负数的性质
（1）有限个非负数的和、积、商（除数不为零）是非负数
（2）若干个非负数的和等于零，则每个加数都为零
（3）若非负数不大于零，则此非负数必为零
3、对于形如a 的式子，被开方数必须为非负数；
4、33a a =推广到n n
a 的化简；
5、利用配方法来解题：开平方或开立方时，将被开方数配成完全平方式或完全立方。
【例题精讲】
◆专题一：利用非负数的性质解题：
【例1】已知实数x 、y 、z 满足
0241||212=+++-+-z y z z y x ，求x ＋y ＋z 的平方根。
【巩固】
1、已知222(6)440x y x xy y +++-+=，则x y -的值为______________；
2、若0)2(12=-+-ab a ，
)
2007)(2007(1)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab 求
的值
【拓展】
设a 、b 、c 是实数，若14261412--++++=++c b a c b a ，求a 、b 、c 的值
◆专题二：对于(0)a a ≥ 的应用
【例2】已知x 、y 是实数，且=+-+-=y x x x y 则,32112 ；
【例3】
已知x 、y 、z 适合关系式：y x y x z y x z y x --+-+=-++--+20022002223，求x y z ++的值。
【巩固】
1、已知b ＝31315153+-+-a a ，且11+a 的算术平方根是m ，14+b 的立方根是n ，试求)43)(2(+-mn mn 的平方根和立方根。
2、已知1
41122++-+-=x x x y ，则=+y x ）（32 ；
【拓展】在实数范围内，设a ＝20102241(
)12x x x x x -+-+++-，求a 的个位数字。
◆专题三：2a a =，33a a =的化简及应用 常用方法：利用配方法将被开方数配成完全平方式或者立方式
【例4】化简：961222+-++-=x x x x y
【例5】若实数x 满足方程11x x -=+ ，那么21)x -=（ ；
【巩固】
1、若92=a ，42=b ，且a b b a -=-2)(，则=+2)(b a ；
2、已知实数a 满足a ＋332a a +＝0，那么11a a -++= ；
3、设449612222++++-++-=x x x x x x y
（1）求y 的最小值
（2）求使6＜y ＜7的x 的取值范围。
【拓展】若01)13(222=--++
-x x a x x ，求2)2(-a 的值。
【课后练习】
1、如果a < 0 ，那么=-3a 。
2、已知32-m 和12-m 是数p 的平方根，则求p 的值 。
3、设a 、b 、c 是△ABC 的三边的长，则22)()(c b a c b a -++--＝ 。
4、已知x 、y 是实数，且,111+-+-<x x y 则121
12+--y y y ＝ 。
5、若0< a <1 ，且16a a +=，则的值a
a 1-为 。
6、代数式21-+-+x x x 的最小值是 。
7、已知实数a 满足20001999-+-a a ＝a ，则21999-a ＝。
8、已知△ABC 的三边长为a 、b 、c ，a 和b 满足04412=+-+-b b a ，求c 的取值
范围。
9、已知)(2121z y x z y x ++=-+-+
，求x 、y 、z 的值。
10、实数a 、b 、x 、y 满足213a x y -=-+，213b y x --=-，求b a y x +++22 的值。