第2讲整式
第一部分 第一章 第2讲 整式(3～8分)
2．整式的乘法 (1)单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单 项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式． (2)单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝___m__a_＋__m__b_＋__m_c________________. (3)多项式与多项式相乘：(a＋b)(m＋n)＝___a_m_＋__a_n_＋__b_m__＋__b_n_________. (4)乘法公式 ①平方差公式：(a＋b)(a－b)＝__a_2－__b_2___. ②完全平方公式：(a±b)2＝___a_2±__2_a_b_＋__b_2 ___.
4．(2018·洛阳二模)下列计算结果正确的是( D ) A．(－a3)2＝a9 B．a2·a3＝a6 C．(－12)－1－22＝－2 D．(cos 30°－12)0＝1
5．(2018·安阳二模)下列计算中，正确的是( D ) A．a2＋a2＝a4 B．(2a)3＝6a3 C．(a－b)2＝a2－b2 D．(－a2)3＝－a6
D．b＝22.1%×2a
【解析】 根据“现期量＝基期量＋增长量，增长量＝基期量×增长率”，可知 2017 年我省有效发明专利数为 a＋22.1%a＝(1＋22.1%)a(万件)，2018 年我省有效发 明专利数为(1＋22.1%)·(1＋22.1%)a(万件)，即 b＝(1＋22.1%)2a(万件)，故选 B．
第2讲 整式(3～8分)
考点一 整式的相关概念 1．单项式：表示数或字母的积的式子叫做单项式．单独的一个数或一个字母也 是单项式． (1)单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． (2)一个单项式中，所有字母的指数的___和______叫做这个单项式的次数．
2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．其中，每个单项式叫做多项式的项， 不 含 字 母 的 项 叫 做 __常__数__项___ ． 多 项 式 中 ， 次 数 最 高 项 的 次 数 叫 做 这 个 多 项 式 的 __次__数_____．
高中第一章数与式第2讲整式
（a≠0）．
二、整式运算
1． 整式的加减运算．
（1）同类项： 所含 未知数 相同，并且 相同未知数的指数
也相同的项． （2）整式的加减运算：先去括号，再合并 同类项．
（3）去括号法则：
① 若括号外是正因数，则括号里的各项都 不变号 ；
② 若括号外是负因数，则括号里的各项都 变号 ．
2． 整式的乘除运算． （1）单项式×单项式： ① 系数相乘 ；② 同底数幂相乘； ③ 单独一个字母的照抄 ． （2）单项式×多项式： ① 单项式乘多项式的每一项；积相加． （3）多项式×多项式： ①一个多项式的每一项分别乘以另一个；多项式的每一项 ②积相加．
2．去、添括号：去括号、添括号，关键看符号，括 号前面是正号，去、添括号不变号，括号前面是 负号，去、添括号都 变号．
课堂精讲
考点1：整式的有关概念 例1．（2014 ·凉山）如果单项式－x a+1y3与
y b x 2是同类项，那么a、b的值分别
为 a = 1，b =．3
【举一反三】
1．（2014·毕节）若与－2a m b 4与5a n+2 b 2 m+n可以 合并成一项，则m n 的值是（D ）
= 1－2a
例4．已知当x = 1时，2a x2 + bx的值为3，则当x = 2
时，a x2 + bx的值为 6 ．
【举一反三】4.（2014·淄博）当x = 1时，代数 式ax3－3bx+4的值是7，则当x =－1时，这个代 数式的值是（C ） A．7 B．3 C．1 D．－7
5.（2014·泉州）先化简，再求值： （a+2）2+a（a－4），其中a = 3 ．
（4）单项式÷单项式： ①系数相除；②同底数幂相除； ③只在被除式里出现的字母照抄．
第02讲 整式的乘除法(知识解读+真题演练+课后巩固)(原卷版)
第02讲整式的乘除法1.掌握单项式乘（或除以）单项式，多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算．2.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活的运用运算律进行混合运算。
知识点1：单项式乘单项式单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．知识点2：单项式乘多项式单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．知识点3：多项式乘多项式多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．知识点4：单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．知识点5：多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．【题型1单项式乘单项式】【典例1】（2023春•青龙县期末）计算2x2y•xy2的结果是．【变式1-1】（2023•长岭县模拟）计算（2x）2（﹣3xy2）＝．【变式1-2】（2023春•永定区期末）计算：2（a2）3•（﹣3a2b）＝．【变式1-3】（2023春•新城区校级期末）＝．【题型2单项式乘多项式】【典例2】（2023春•秦都区期中）计算：3a（2a2﹣4a）﹣2a2（3a+4）．【变式2-1】（2023春•青秀区期中）化简：x+2x（x+1）﹣3x（2x﹣5）．【变式2-2】（2022春•槐荫区期末）计算：﹣3a（2a﹣4b+2）+6a．【变式2-3】（2022春•平桂区期中）计算：m（m3+m2）﹣m3（m﹣3）．【题型3多项式乘多项式】【典例3】（2022秋•惠阳区校级月考）计算：（1）（x﹣3）（x2+4）；（2）（3x2﹣y）（x+2y）．【变式3-1】（2022秋•兴城市期末）计算：（2a﹣3b）（2a2+6ab+5b2）．【变式3-2】（2022秋•南宫市期末）计算：（x﹣2）（x﹣5）﹣x2．【变式3-3】（2023春•沙坪坝区校级期末）计算：（1）（2x2）3﹣6x3（x3+2x2+x）．（2）（2x﹣1）（x+4）+（2x+3）（x﹣5）．【题型4多项式乘多项式-不存在某项问题】【典例4】（2023春•昭平县期末）已知（x2+mx﹣3）（2x+n）的展开式中不含x2项，常数项是﹣6．（1）求m，n的值．（2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【变式4-1】（2023春•巨野县期末）（1）若（x2+mx+n）（x2﹣3x+1）的展开式中不含x2和x3项，求m、n的值．（2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【变式4-2】（2023春•温江区校级期中）若（x+m）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x项，x2项的系数为﹣1，求n m的值．【变式4-3】（2023春•茶陵县期中）若的积中不含x项与x2项．（1）求p、q的值；（2）求代数式p2022q2023的值．【题型5多项式乘多项式的实际应用】【典例5】（2022秋•松原期末）如图，某小区有一块长为（2a+3b）米，宽为（3a+2b）米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，将阴影部分进行绿化．（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积S；（2）若a＝2，b＝4，求出此时绿化的总面积S．【变式5-1】（2023春•绥德县期末）如图，在某高铁站广场前有一块长为2a+b，宽为a+b的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道．（1）求该长方形空地的面积；（用代数式表示）（2）求这两个长方形喷泉池的总面积；（用代数式表示）（3）当a＝200，b＝100时，求这两个长方形喷泉池的总面积．【变式5-2】（2022秋•晋江市期末）甲、乙两个长方形的边长如图所示，其面积分别记为S1，S2．（1）请通过计算比较S1与S2的大小；（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长的和，设该正方形的面积为S3，试说明代数式S3﹣2（S1+S2）的值是一个常数．【变式5-3】（2023春•张店区期中）某学校准备在一块长为（3a+2b）米，宽为（2a+b）米的长方形空地上修建一块长为（a+2b）米，宽为（3a﹣b）米的长方形草坪，四周铺设地砖（阴影部分），（1）求铺设地砖的面积；（用含a、b的式子表示，结果化为最简）（2）若a＝3，b＝4，铺设地砖的成本为50元/平方米，则完成铺设地砖需要多少元？【典例6】（2022秋•西湖区校级期末）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）由图2可得等式：．（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．【变式6-1】（2023春•龙泉驿区期末）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，若干张边长为a的正方形A纸片，边长为b的正方形B纸片，长和宽分别为a与b的长方形C纸片（如图1）．（1）小李同学拼成一个宽为（a+b），长为（a+2b）的长方形（如图2），并用不同的方法计算面积，从而得出相应的等式：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2（答案直接填写到横线上）；（2）如果用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+3b）的大长方形，求需要A，B，C三种纸片各多少张；（3）利用上述方法，画出面积为2a2+5ab+2b2的长方形，并求出此长方形的周长（用含a，b的代数式表示）．【变式6-2】（2021秋•罗庄区期末）我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就能用图1或图2等图形的面积表示：（1）请你写出图3所表示的一个等式：．（2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2．【题型6单项式除法运算】【典例7】（2023•青岛）计算：8x3y÷（2x）2＝．【变式7-1】（2022秋•柳州期末）计算4x2y÷2xy＝【变式7-2】（2023春•威宁县期末）计算：﹣28a3÷7a＝．【变式7-3】（2023秋•鲤城区校级月考）计算：6a2b÷2ab＝．【变式7-4】（2023•城阳区三模）＝．【题型7多项式除法运算】【典例8】（2023•丰城市校级开学）先化简，再求值：（12a3﹣6a2+3a）÷3a，其中a＝﹣1．【变式8-1】（2023春•济南期中）计算：（ab3﹣2a2b2+ab）÷ab．【变式8-2】（2023春•莲湖区期中）计算：（15x4y2﹣12x2y3﹣3x2）÷（﹣3x2）．【变式8-3】（2023春•西安月考）计算：ab（2a3b2c﹣6ab3c2）÷（﹣2ab2c）．1．（2023•随州）设有边长分别为a和b（a＞b）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为（）A．6B．7C．8D．9 2．（2023•金昌）计算：a（a+2）﹣2a＝（）A．2B．a2C．a2+2a D．a2﹣2a 3．（2021•兰州）计算：2a（a2+2b）＝（）A．a3+4ab B．2a3+2ab C．2a+4ab D．2a3+4ab 4．（2020•兰州）化简：a（a﹣2）+4a＝（）A．a2+2a B．a2+6a C．a2﹣6a D．a2+4a﹣2 5．（2021•凉山州）阅读以下材料：苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log39可以转化为指数式32＝9．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a（M•N）＝log a M+log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：设log a M＝m，log a N＝n，则M＝a m，N＝a n，∴M•N＝a m•a n＝a m+n，由对数的定义得m+n＝log a（M•N）．又∵m+n＝log a M+log a N，∴log a（M•N）＝log a M+log a N．根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：（1）填空：①log232＝，②log327＝，③log71＝；（2）求证：log a＝log a M﹣log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；（3）拓展运用：计算log5125+log56﹣log530．1．（2023春•市南区校级期中）小明有足够多的如图所示的正方形卡片A，B和长方形卡片C，如果他要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，共需要C类卡片（）A．3张B．4张C．5张D．6张2．（2022秋•新抚区期末）如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为4a2b，则图2中纸盒底部长方形的周长为（）A．4ab B．8ab C．4a+b D．8a+2b 3．（2023春•裕华区期中）化简x（x﹣2）+4x的结果是（）A．x2+6x B．x2﹣2x C．x2﹣6x D．x2+2x 4．（2023春•平湖市期中）计算（a+3b）（a+2b）的结果是（）A．a2+5ab+5b2B．a2+5ab+6b2C．a2+5b2D．a2+6b2 5．（2023春•临清市期末）若（x2﹣px+q）（x﹣3）展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（）A．p＝3q B．p+3q＝0C．q+3p＝0D．q＝3p 6．（2023春•承德县期末）若（x﹣3）（x+n）＝x2+mx﹣21，则m，n的值分别是（）A．4，﹣3B．﹣7，4C．﹣5，18D．4，7 7．（2023春•包河区期中）若关于x的多项式（x2+ax）（x﹣2）展开合并后不含x2项，则a的值是（）A．2B．C．0D．﹣2 8．（2023春•漳浦县期中）已知（x﹣1）（x﹣2）＝x2+mx+n，则m+n的值为（）A．﹣1B．﹣5C．5D．1 9．（2023春•潍坊期中）计算下列各题：（1）x2•（﹣2xy2）3；（2）（2m+1）•．10．（2022秋•河北区期末）计算：（1）a•a5+（a3）2﹣（2a2）3；（2）（2x+1）（x﹣2）．11．（2022秋•天河区期末）计算：（2x+1）（x﹣3）12．（2022春•临湘市校级月考）计算：（1）（﹣2a2b）3+8（a2）2•（﹣a2）•（﹣b）3；（2）（x﹣1）（x2+x+1）．13．（2022秋•昌吉市校级期末）如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．（1）试用含a、b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？（2）若a＝10，b＝8，且每平方米造价为100元，求出绿化需要多少费用？14．（2022秋•衡南县期中）若（x2+mx）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x2和x3项，求m和n的值．15．（2022春•揭东区期末）如图1，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建一横一竖，宽度均为b米的通道．（1）通道的面积共有多少平方米？（2）剩余草坪的面积是多少平方米？（3）若修两横一竖，宽度均为b米的通道（如图2），已知a＝2b，剩余草坪的面积是216平方米，求通道的宽度是多少米？16．（2023•桃城区校级模拟）甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为S1，S2．（1）填空：S1﹣S2＝（用含m的代数式表示）；（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和．①设该正方形的边长为x，求x的值（用含m的代数式表示）；②设该正方形的面积为S3，试探究：S3与2（S1+S2）的差是否是常数？若是常数，求出这个常数，若不是常数，请说明理由．。
中考数学专题训练第2讲整式(知识点梳理)
整式知识点梳理考点01 代数式1.代数式的概念：用运算符号把数和字母连接而成的式子叫作代数式。
单独一个数或一个字母也是代数式.运算符号是指加、减、乘、除、乘方等。
2.代数式的书写规则：（1）含有乘法运算的代数式的书写规则：字母与字母相乘，乘号一般可以省略不写，字母的排列顺序不变.数字与字母相乘，乘号一般也可以省略，但数字一定要写在字母的前面，且当数字是带分数时，必须写成假分数的形式.数字与数字相乘，乘号不能省略.带括号的式子与字母的地位相同。
（2）含有除法运算的代数式的书写规则：当代数式中含有除法运算时，一般不用“÷”，而改用分数线.因为分数线具有括号的作用，所以分数线又称括线。
（3）含有单位名称的代数式的书写规则：若代数式是和或差的形式，如需注明单位，则必须用括号把整个式子括起来后再写单位.若代数式是积或商的形式，则无需加括号，直接在代数式后面写出单位即可。
3.代数式的值（1）代数式的值：一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中指明的运算计算出的结果，叫作代数式的值。
（2）求代数式的值的步骤：第1步：代入，用具体数值代替代数式里的字母.第2步：计算，按照代数式里指明的运算，计算出结果。
（3）求代数式的值时要注意：一个代数式中的同一个字母，只能用同一个数值去代替.如果代数式里省略了乘号，那么字母用数值代替时要添上乘号，代入负数和分数时要加括号.代入数值时，不能改变原式中的运算符号及数字。
(4)运算时，要注意运算顺序。
（先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的要求先算括号里面的）考点02 单项式和多项式一、单项式1.单项式的概念：如3、a 、xy 、ab 31-等这些代数式都是数字、字母、数字与字母的积、字母与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。
2.单项式中不能含有加减法运算，但可以含有除法运算。
3.单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数，确定单项式的系数的注意事项：（1）确定单项式的系数时，最好现将单项式写成数与字母的乘积的形式，在确定系数.（2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数.（3）当一个单项式的系数是1或-1时，1通常省略不写，负数做系数应包括前面的符号.（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数。
第2讲 整式及因式分解(精练)(解析版)
第2讲整式及因式分解(精练)(解析版)A基础训练B能力提升A基础训练一、单选题1.(2022•山东枣庄•中考真题)下列运算正确的是()A. 3屋一次=3 B. a3-ra2=a C. ( - 3ab2) 2= - 6a2h4 D. (a+h) 2=a2+ab+b2【答案】B【详解】A、3/-。
2=2〃2,故A错误，不符合题意；B、a3-ra2=ch故B正确，符合题意；C、( - 3ab2) 2 = 9612b4,故c错误，不符合题意；D、(6f+Z?) 2 = a2+2ah+h29故D不正确，不符合题意；故选：B.2.(2022•江苏泰州,中考真题)下列计算正确的是()A. 3ab + 2ab = 5ab B. 5y2 -2y2 = 3C. 7a + a = 7。
2D. /rTn — Imn2 = —mn2【答案】A【详解】解：A、3ab+lab - 5ab,故选项正确，符合题意；B、5/-2/=3/,故选项错误，不符合题意；C、Ja + a = Sa,故选项错误，不符合题意；D、和22不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；故选：A.3.(2022•广西河池・中考真题)多项式/一以+ 4因式分解的结果是()A. x (% - 4) +4 B. (x+2) (x- 2) C. (x+2) 2D. (%- 2) 2【答案】D【详解】解：d-4x+4 = (%-2)2.故选：D.4.(2022・湖南永州•中考真题)下列因式分解正确的是()A. 6+冲= i(x+y) + lB. 3Q +3Z?=3(Q+Z7)C. Q?+4Q +4=S+4『D. a2 -^b = a(a+b)【答案】B【详解】解：A、ax+ay=a(x+y),故选项计算错误;B、3a+3b=3(a+b)9选项计算正确;C> (a+b)2=a2^2ab+b2,故原选项错误；D、由A项解答可得a2-9b2=(a+3b)(a-3b),故原选项正确；故选D.2.(2022,江苏・顾山中学九年级阶段练习)直角三角形两直角边是方程％2一8%+ 14 = 0的两根，则它的斜边为()A. 8B. 7C. 6D. 2、/7【答案】C【详解】解：设直角三角形的斜边为J两直角边分别为〃与b,・・・直角三角形两直角边是方程8x + 14 = 0的两根，:,a + b = S,勿? = 14,根据勾股定理可得：=/+/=(〃 +与2—2^ = 64-28 = 36,• • c = 6 ♦故选：C.3.(2022・全国•七年级课时练习)若4 = /—2xy, 3 = J孙+ /，则A-23为()A. 3x2-2y2 -5xy^B. x2-2y2 -3xyC. —5xy — 2 y ~D . 3x~ + 2y~【答案】B【详解】解：A = £-2盯，8 = J孙+ y2,A — 2B = x~-2xy _ 2 _xy+y~] = x2 _2xy _ xy _ 2^~ =—2y——3xy ,故选：B.4.(2022 ・全国•八年级课时练习)对于多项式(1) d-y2；(2)-x2-y2； (3) 4x2-y ； (4)—4 + d中，能用平方差公式分解的是()A. (1) (2) B. (1) (3) C. (1) (4)D. (2) (4)【答案】C【详解】解：・・・平方差公式必须只有两项，并且是两个数平方差的形式，(1)—— y2两平方项符号相反，可以利用平方差公式；(2)-%2 - ,两平方项符号相同，不能运用平方差公式；(3)4/—y虽然是两项，并且是差的形式，但不是平方差的形式；(4)-4 + X2,两平方项符号相反，可以利用平方差公式.所以(1) (4)能用平方差公式分解.故选：C.5.(2022•辽宁•沈阳市南昌初级中学(沈阳市第二十三中学)八年级期中)小军是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：％-V, a—b, c , /_)/,《J工+了，分别对应下列六个字：抗，胜，必、，利，我，疫.现将y2户阳/_力因式分解，结果呈现的密码信息可能是() A.抗疫胜利B.抗疫必胜C.我必胜利D.我必抗疫【答案】B【详解】解：原式=(/一》2)(女—秘) = C(Q_〃)(X+・・・x-y, a-b,c, /_y2, 0 ,x+y,分别对应下列六个字：抗，胜，必，利，我，疫. 对应抗，x+y对应疫，。
第二讲_整式
3 针对训练 2 1: 计算( 2x) ÷ x的结果正确的是(
)
( A) 8x2 ( B) 6x2 ( C) 8x3 ( D) 6x3 解析: 原式= 8x3÷ x= 8x2, 故选 A. 针对训练 2 2: ( 2011 年成都)下列计算正确的是( ( A) x+x=x2 ( B) x· x= 2x
• 例1，下列各式子中，是单项式的有___①、 ②、④、⑦ • ___________（填序号
多项式的项数与次数
• • • （1）多项式的次数不是所有项的次数的和，而是它的最高次项次数； （2）多项式的每一项都包含它前面的符号； （3）再强调一次， “π”当作数字，而不是字母
• （4）一个多项式的次数最高项的次数是几，就说这个多项式是几次多 项式。 • （5）.在多项式中，每个单项式都是这个多项式的项，每一项都有系 数，但对整个多项式来说，没有系数的概念，只有次数的概念。
• 【例1】若单项式-5x3ym的次数是9，求m 的值. • 【思路点拨】根据单项式次数的定义得到 关于m的一元一次方程，解方程得m的值. • 【自主解答】根据题意，得m+3=9, • 解得m=6.
• 3.(2010· 肇庆中考)观察下列单项式：a,2a2,4a3,-8a4, • 16a5,…按此规律第n个单项式是_____.(n 是正整数) • 【解析】由题意知第n项的系数为(1)n+12n-1, • 第n项a的次数为n, • 所以第n个单项式是(-1)n+12n-1an. • 答案：(-1)n+12n-1an
同类项
1，同类项的判定与合并同类项的法则： 例1 判断下列各式是否是同类项？
(1)2a b 与2 x y
2 3
2 3
数与式-第2讲：整式
1、几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项．2、注意负数的乘方，若为偶数次方则为正数，奇数次方则为负数．即“奇负偶正”．例如：22()n n a a -=；2+121()n n a a +-=-．3应用公式的注意事项（1）完全平方公式的变换222()2a b a b ab +=+-222()+2a b a b ab +=-22()()+4a b a b ab +=-（2）分解因式时，特别是高次平方差公式要注意分解完全．例：44222222()()()()()a b a b a b a b a b a b -=-+=+-+（3）当平方差公式前含有系数时，要记得把系数写成平方数再用公式．例：22222516(5)(4)(54)(54)a b a b a b a b -=-=+-【方法技巧】 第二节 整式【知识梳理】（4）平方差公式一定是两个数平方异号才能用；完全平方公式一定要两个平方项同号才能用。
例：2222)()a ab b a b --=-+（-；2222)()a ab b a b +-=--（-；2222()()2)a b a b a ab b --=+=++（；22222()()()2)a b a b b a a ab b -+=-=-=-+（考点一：整式的基本概念例1、单项式﹣3πxy 2z 3的系数和次数分别是（ ）A ．﹣π，5B ．﹣1，6C ．﹣3π，6D ．﹣3，7变式1、单项式3x 2y 2的（ ）A ．系数是0，次数是4B ．系数是﹣1，次数是2C ．系数是3，次数是4D ．系数是﹣1，次数是3例2、下列各式中，是二次三项式的是（ ）A ．B ．32+3+1C ．32+a+abD ．x 2+y 2+x ﹣y变式1、下列关于多项式5ab 2﹣2a 2bc ﹣1的说法中，正确的是（ ）A ．它的常数项是1B ．它是四次两项式C ．它的最高次项是﹣2a 2bcD ．它是三次三项式例2、多项式的各项分别是（ ）A ．B ．C ．D ．变式1、多项式3x 2﹣2x ﹣1的各项分别是（ ）A ．3x 2，2x ，1B ．3x 2，﹣2x ，1C ．﹣3x 2，2x ，﹣1D ．3x 2，﹣2x ，﹣1考点二：幂的运算性质例1、（1）计算a 3•a 2正确的是（ ）A ．aB ．a 5C ．a 6D ．a 9 【考点突破】（2）下列计算正确的是（）A．a2•a3=a6B．（ab）2=a2b2C．（a2）3=a5D．a2+2a2=3a4（3）计算：a3÷a2=．（4）下列运算中，正确的是（）A．x•x3=x3B．（x2）3=x5C．x6÷x2=x4D．（x﹣y）2=x2+y2变式1、（1）化简（﹣x）3（﹣x）2，结果正确的是（）A．﹣x6B．x6C．x5D．﹣x5（2）下列运算正确的是（）A．（a﹣3）2=a2﹣9B．a2•a4=a8C．=±3D．=﹣2（3）（﹣a5）2+（﹣a2）5的结果是（）A．0B．﹣2a7C．2a10D．﹣2a10（4）计算：a8÷a4=．例2、已知2a=5，2b=3，求2a+b+3的值．变式1、（1）已知2m=3，4n=5，则23m+2n的值为（）A．45B．135C．225D．675（2）已知x m=5，x n=7，求x2m+n的值．（3）若2•8n•16n=222，求n的值．考点三：整式的运算例1、计算6a2﹣5a+3与5a2+2a﹣1的差，结果正确的是（）A．a2﹣3a+4B．a2﹣3a+2C．a2﹣7a+2D．a2﹣7a+4变式1、化简2（a﹣b）﹣（3a+b）的结果是（）A．﹣a﹣2b B．﹣a﹣3b C．﹣a﹣b D．﹣a﹣5b变式2、若代数式2x3﹣8x2+x﹣1与代数式3x3+2mx2﹣5x+3的和不含x2项，则m等于（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4例2、（1）计算：（﹣8ab）（）=．（2）计算；（3）（2x﹣y）（x+y）．变式1：（1）计算：（﹣3a2b）•（ab2）3=．（2）．（3）计算：（3a+2）×（a﹣4）例3、（1）计算8x8÷（﹣2x2）的结果是（）A．﹣4x2B．﹣4x4C．﹣4x6D．4x6（2）化简：（8a2b﹣4ab2）÷（﹣4ab）变式1、（1）计算：（6x3﹣9x2+3x）÷3x．（2）（﹣4a3﹣7a3b2+12a2b）÷（﹣2a）2．例4、化简：（x+5）（2x﹣3）﹣2x（x2﹣2x+3）变式1、化简：（x+5）（2x﹣3）﹣2x（x2﹣2x+3）例5、代数式y2+2y+7的值是6，则4y2+8y﹣5的值是（）A．9B．﹣9C．18D．﹣18变式1、已知代数式x+2y的值是3，则代数式2x+4y+1的值是（）A．1B．4C．7D．不能确定变式2、已知3﹣x+2y=0，则3x﹣6y+9的值是（）A．3B．9C．18D．27变式3、已知a2﹣2b=1，则代数式2a2﹣4b﹣3的值是（）A．1B．﹣1C．5D．﹣5例6、若x2﹣x﹣2=0，则（2x+3）（2x﹣5）+2=．变式1、已知4x=3y，求代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2的值．考点四：乘法公式与因式分解例1、利用图中图形面积关系可以解释的公式是（）A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．（a+b）（a2﹣ab+b3）=a3+b3例2、已知x+y=5，xy=6，则x2+y2的值是（）A．1B．13C．17D．25变式1、计算：已知：a+b=3，ab=1，则a2+b2=．例3、如果x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值为（）A．3B．6C．±3D．±6变式1：在多项式x2+9中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是（）A．x B．3x C．6x D．9x例5、若x﹣=1，则x2+的值是（）A．3B．2C．1D．4变式1、若x2+3x﹣1=0，则的值为（）A．4B．7C．11D．﹣4例6、如图（一），在边长为a的正方形中，挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪成一个矩形（如图（二）），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2变式1、如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图1），把余下的部分拼成一个梯形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A．a2﹣b2=（2a+2b）（a﹣b）B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．（a+b）2=a2+2ab+b2D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2例7、计算（x﹣3y）（x+3y）的结果是（）A．x2﹣3y2B．x2﹣6y2C．x2﹣9y2D．2x2﹣6y2解：（x﹣3y）（x+3y）=x2﹣（3y）2=x2﹣9y2，故选C．变式1：下列算式能用平方差公式计算的是（）A．（2a+b）（2b﹣a）B．C．（3x﹣y）（﹣3x+y）D．（﹣m﹣n）（﹣m+n）例8、因式分解：x2﹣3x=x（x﹣3）．变式1、分解因式：2a2+ab=．例9、（1）分解因式：x2﹣9=．x2﹣6x+9=．x2﹣4x+4=．4x2﹣4xy+y2=．8a3﹣8a2+2a=．例10、若x2+px+q=（x+1）（x﹣2），则p=，q=．变式1、若x2﹣3x﹣10=（x+a）（x+b），则a=2或﹣5，b=﹣5或2．变式2、（1）分解因式：x2﹣2x﹣15=．（2）分解因式：2x2+x﹣6=．例11、多项式2x2﹣xy﹣15y2的一个因式为（）A．2x﹣5y B．x﹣3y C．x+3y D．x﹣5y变式1、若将多项式x2﹣mx+6因式分解得（x+3）（x+n），则m n=．【分层训练】<A组>1．下列运算正确的是（）A．（ab）2=ab2B．3a+2a2=5a2C．2（a+b）=2a+b D．a•a=a22.已知a+b=3，ab=﹣2，则a2+b2的值是．3．计算：（﹣2xy2）3=．4、①（2a﹣b）2=①（﹣12x5y3）÷（﹣3xy2）=．5、把多项式a2﹣4a分解因式为．6、把多项式ax2﹣2ax+a分解因式的结果是．7、已知x2+x﹣5=0，求代数式（x﹣1）2﹣x（x﹣3）+（x+2）（x﹣2）的值．8、已知x2﹣5x=3，求（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2+1的值．9、已知x2+4x﹣5=0，求代数式2（x+1）（x﹣1）﹣（x﹣2）2的值．10、如果m2﹣m=1，求代数式（m﹣1）2+（m+1）（m﹣1）+2015的值．11、已知x2﹣5x﹣4=0，求代数式（x+2）（x﹣2）﹣（2x﹣1）（x﹣2）的值．<B组>1、已知实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（）A．12B．20C．28D．362、设a2+2a﹣1=0，b4﹣2b2﹣1=0，且1﹣ab2≠0，则=．3、若m2=n+2，n2=m+2（m≠n），则m3﹣2mn+n3的值为﹣2．4、阅读下列文字与例题将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）=m（a+b）+n（a+b）=（a+b）（m+n）（2）x2﹣y2﹣2y﹣1=x2﹣（y2+2y+1）=x2﹣（y+1）2=（x+y+1）（x﹣y﹣1）试用上述方法分解因式a2+2ab+ac+bc+b2=．5、观察并验证下列等式：13+23=（1+2）2=9，13+23+33=（1+2+3）2=36，13+23+33+43=（1+2+3+4）2=100，（1）续写等式：13+23+33+43+53=；（写出最后结果）（2）我们已经知道1+2+3+…+n=n（n+1），根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：13+23+33+…+（n﹣1）3+n3=；（结果用因式乘积表示）（3）利用（2）中得到的结论计算：①33+63+93+…+573+603①13+33+53+…+（2n﹣1）3（4）试对（2）中得到的结论进行证明．参考答案【考点突破】考点一：整式的基本概念例1、解：根据单项式系数、次数的定义，单项式﹣3πxy2z3的系数和次数分别是﹣3π，6．故选C．变式1.解：单项式3x2y2的系数是3，次数是4．故选C．例2、解：A、a2+﹣3是分式，故选项错误；B、32+3+1是常数项，可以合并，故选项错误；C、32+a+ab是二次三项式，故选项正确；D、x2+y2+x﹣y是二次四项式，故选项错误．故选C．变式1、解：5ab2﹣2a2bc﹣1的次数为4，项数为3，常数项为﹣1，最高次数项为﹣2a2bc故选（C）例2、解：﹣x2﹣x﹣1的各项分别是：﹣x2，﹣x，﹣1，故选B．变式1、解：多项式3x2﹣2x﹣1的各项分别是：3x2，﹣2x，﹣1．故选D．考点二：幂的运算性质例1、（1）解：a3•a2=a3+2=a5．故选B．（2）解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A错误；B、积的乘方等于乘方的积，故B正确；C、幂的乘方底数不变指数相乘，故C错误；D、合并同类项系数相加字母及指数不变，故D错误；故选：B．（3）解：a3÷a2=a．故答案是：a．（4）解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A错误；B、幂的乘方底数不变指数相乘，故B错误；C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C正确；D、差的平方等于平方和减积的二倍，故D错误；故选：C．变式1、（1）解：（﹣x）3（﹣x）2=（﹣x）3+2=﹣x5．故选D．（2）解：A、（a﹣3）2=a2﹣6a+9，故错误；B、a2•a4=a6，故错误；C、=3，故错误；D、=﹣2，故正确，故选D．（3）解：（﹣a5）2+（﹣a2）5=a10﹣a10=0．故选：A．（4）解：a8÷a4=a4；故答案为：a4．例2、解：2a+b+3=2a•2b•23=5×3×8=120．变式1、（1）解：原式=（2m）3•（22）n=33•5=135．故选B．（2）解：∵x m=5，x n=7，∴x2m+n=x m•x m•x n=5×5×7=175．（3）解：2•8n•16n，=2×23n×24n，=27n+1，∵2•8n•16n=222，∴7n+1=22，解得n=3．考点三：整式的运算例1、解：（6a2﹣5a+3 ）﹣（5a2+2a﹣1）=6a2﹣5a+3﹣5a2﹣2a+1=a2﹣7a+4．故选D．变式1、解：原式=2a﹣2b﹣3a﹣b=﹣a﹣3b，故选B变式2、解：2x3﹣8x2+x﹣1+3x3+2mx2﹣5x+3=5x3+（2m﹣8）x2﹣4x+2，又两式之和不含平方项，故可得：2m﹣8=0，m=4．故选C．例2、（1）解：（﹣8ab）（）=﹣8×a3b2=﹣6a3b2．故答案为：﹣6a3b2．（2）解：=，=；（3）解：（2x﹣y）（x+y）=x2+xy﹣y2．变式1：（1）解：原式=（﹣3a2b）•a3b6=﹣3a5b7．故答案是：﹣3a5b7．（2）解：=，=﹣x3y+（﹣6xy）﹣（﹣2x）=﹣x3y﹣6xy+2x．（3）解：（3a+2）×（a﹣4）=3a2﹣12a+2a﹣8=3a2﹣10a﹣8；故答案为：3a2﹣10a﹣8．例3、解：（1）8x8÷（﹣2x2），=[8÷（﹣2）]（x8÷x2），=﹣4x6．故选C．（2）（8a2b﹣4ab2）÷（﹣4ab）=﹣2a+b．变式1、解：（1）（6x3﹣9x2+3x）÷3x=6x3÷3x﹣9x2÷3x+3x÷3x=2x2﹣3x+1．（2）（﹣4a3﹣7a3b2+12a2b）÷（﹣2a）2=（﹣4a3﹣7a3b2+12a2b）÷4a2=﹣a﹣ab2+3b．例4、解：（x+5）（2x﹣3）﹣2x（x2﹣2x+3）=2x2﹣3x+10x﹣15﹣2x3+4x2﹣6x=﹣2x3+6x2+x﹣15．变式1、解：（x+5）（2x﹣3）﹣2x（x2﹣2x+3）=2x2﹣3x+10x﹣15﹣2x3+4x2﹣6x=﹣2x3+6x2+x﹣15．例5、解：∵代数式y2+2y+7的值是6；∴y2+2y+7=6；∴y2+2y=﹣1；∴4y2+8y﹣5=4（y2+2y）﹣5=4×（﹣1）﹣5=﹣9．故选B．变式1、解：∵x+2y=3，∴2x+4y+1=2（x+2y）+1=2×3+1，=6+1，=7．故选C．变式2、解：∵3﹣x+2y=0，∴3x﹣6y=9，∴3x﹣6y+9=18，故选C．变式3、解：∵a2﹣2b=1，∴2a2﹣4b=2．∴原式=2﹣3=﹣1．故选：B．例6、解：∵x2﹣x﹣2=0，即x2﹣x=2，∴原式=4x2﹣4x﹣15+2=4（x2﹣x）﹣13=8﹣13=﹣5．故答案为：﹣5变式1、解：（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2=x2﹣4xy+4y2﹣（x2﹣y2）﹣2y2=﹣4xy+3y2 =﹣y（4x﹣3y）．∵4x=3y，∴原式=0．考点四：乘法公式与因式分解例1、解：∵图中正方形的面积可表示为：a2+2ab+b2，也可表示为：（a+b）2，∴（a+b）2=a2+2ab+b2．故选A．例2、解：将x+y=5两边平方得：（x+y）2=x2+2xy+y2=25，将xy=6代入得：x2+12+y2=25，则x2+y2=13．故选B．变式1、解：∵a+b=3，ab=1，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=32﹣2=9﹣2=7．故答案为：7例3、解：∵（x±3）2=x2±6x+9，∴在x2+mx+9中，m=±6．故选D．变式1：解：①x2若为平方项，则加上的项是：±2x×3=±6x；②若x2为乘积二倍项，则加上的项是：（）2=，③若加上后是单项式的平方，则加上的项是：﹣x2或﹣9．故为：6x或﹣6x或或﹣x2或﹣9．故选：C．变式2、解：根据题意，原式是一个完全平方式，∵64y2=（±8y）2，∴原式可化成=（x±8y）2，展开可得x2±16xy+64y2，∴kxy=±16xy，∴k=±16．故选：D．例5、解：当x﹣=1时，x2+===12+2=3．故答案为：A．变式1、解：∵x2+3x﹣1=0，∴x﹣=﹣3，两边平方．得x2+﹣2=9，∴x2+=11，故选C．例6、解：由题可得：a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）．故选：A．变式1、解：图1中，阴影部分的面积=a2﹣b2，根据图1可得，图2中梯形的高为（a﹣b），因此图2中阴影部分的面积=（2a+2b）（a﹣b），根据两个图形中阴影部分的面积相等可得a2﹣b2=（2a+2b）（a﹣b）．故选A．例7、解：（x﹣3y）（x+3y）=x2﹣（3y）2=x2﹣9y2，故选C．变式1：解：A、（2a+b）（2b﹣a）=ab﹣2a2+2b2不符合平方差公式的形式，故错误；B、原式=﹣（+1）（+1）=（+1）2不符合平方差公式的形式，故错误；C、原式=﹣（3x﹣y）（3x﹣y）=（3x﹣y）2不符合平方差公式的形式，故错误；D、原式=﹣（n+m）（n﹣m）=﹣（n2﹣m2）=﹣n2+m2符合平方差公式的形式，故正确．故选D．例8、解：x2﹣3x=x（x﹣3）．故答案为：x（x﹣3）变式1、解：2a2+ab=a（2a+b）．故答案为：a（2a+b）．变式2、解：原式=（b+c）（2a﹣3），故答案为：（b+c）（2a﹣3）．例9、解：x2﹣6x+9=（x﹣3）2．x2﹣9=（x+3）（x﹣3）．x2﹣4x+4=（x﹣2）2．4x2﹣4xy+y2，=（2x）2﹣2×2x•y+y2，=（2x﹣y）2．2a（2a﹣1）2例10、解：∵右边=x2﹣2x+x﹣2=x2﹣x﹣2，∴p=﹣1，q=﹣2．故答案为：﹣1，﹣2．变式1、解：∵（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab=x2﹣3x﹣10，∴a+b=﹣3，ab=﹣10，解得a=2，b=﹣5或a=﹣5，b=2．故答案为：2或﹣5，﹣5或2．变式2、（1）解：原式=（x﹣5）（x+3）．故答案为：（x﹣5）（x+3）．（2）解：原式=（2x﹣3）（x+2）．故答案为：（2x﹣3）（x+2）例11、解：2x2﹣xy﹣15y2=（2x+5y）（x﹣3y）．故选：B．变式1、解：x2﹣mx+6=（x+3）（x+n）=x2+（n+3）x+3n，可得﹣m=n+3，3n=6，解得：m=﹣5，n=2，则原式=25．故答案为：25．【分层训练】<A组>1、解：A、（ab）2=a2b2，故此选项错误；B、3a+2a2无法计算，故此选项错误；C、2（a+b）=2a+2b，故此选项错误；D、a•a=a2，故此选项正确；故选：D．2、解：①a+b=3，ab=﹣2，①a2+b2=（a+b）2﹣2ab，=32﹣2×（﹣2），=9+4，=13．故答案为：13．3、解：（﹣2xy2）3，=（﹣2）3x3（y2）3，=﹣8x3y6．故填﹣8x3y6．4、解：①（2a﹣b）2=4a2+b2﹣4ab；故答案为：4a2+b2﹣4ab；①（﹣12x5y3）÷（﹣3xy2）=4x4y．故答案为：4x4y．5、解：原式=a（a﹣4）．故答案为：a（a﹣4）．6、解：原式=a（x2﹣2x+1）=a（x﹣1）2．故答案为：a（x﹣1）27、解：（x﹣1）2﹣x（x﹣3）+（x+2）（x﹣2）=x2﹣2x+1﹣x2+3x+x2﹣4=x2+x﹣3，∵x2+x﹣5=0，∴x2+x=5，∴原式=5﹣3=2．8、解：（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2+1=2x2﹣x﹣2x+1﹣（x2+2x+1）+1=2x2﹣x﹣2x+1﹣x2﹣2x﹣1+1=x2﹣5x+1，∵x2﹣5x=3，∴原式=3+1=4．9、解：∵x2+4x﹣5=0，即x2+4x=5，∴原式=2x2﹣2﹣x2+4x﹣4=x2+4x﹣6=5﹣6=﹣1．10、解：原式=m2﹣2m+1+m2﹣1+2015=2m2﹣2m+2015=2（m2﹣m）+2015∵m2﹣m=1，∴原式=2017．11．解：（x+2）（x﹣2）﹣（2x﹣1）（x﹣2）=x2﹣4﹣（2x2﹣5x+2）=x2﹣4﹣2x2+5x﹣2=﹣x2+5x﹣6，∵x2﹣5x﹣4=0，∴x2﹣5x=4，∴原式=﹣（x2﹣5x）﹣6=﹣4﹣6=﹣10<B组>1、解：①实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，①（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2=5（x2+y2+z2）﹣4（xy+yz+xz）=20﹣2[（x+y+z）2﹣（x2+y2+z2）]=28﹣2（x+y+z）2≤28①当x+y+z=0时（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是28．故选C．2、解：①a2+2a﹣1=0，b4﹣2b2﹣1=0，①（a2+2a﹣1）﹣（b4﹣2b2﹣1）=0，化简之后得到：（a+b2）（a﹣b2+2）=0，若a﹣b2+2=0，即b2=a+2，则1﹣ab2=1﹣a（a+2）=1﹣a2﹣2a=﹣（a2+2a﹣1），①a2+2a﹣1=0，①﹣（a2+2a﹣1）=0，与题设矛盾①a﹣b2+2≠0，①a+b2=0，即b2=﹣a，①==﹣=﹣（）5=﹣25=﹣32．故答案为﹣32．解法二：①a2+2a﹣1=0，①a≠0，①两边都除以﹣a2，得﹣﹣1=0又①1﹣ab2≠0，①b2≠而已知b4﹣2b2﹣1=0，①和b2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个不等实根①+b2=2，×b2==﹣1，①（ab2+b2﹣3a+1）÷a=b2+﹣3+=（b2+）+﹣3=2﹣1﹣3=﹣2，①原式=（﹣2）5=﹣32．3、解：①m2=n+2，n2=m+2（m≠n），①m2﹣n2=n﹣m，①m≠n，①m+n=﹣1，①原式=m（n+2）﹣2mn+n（m+2）=mn+2m﹣2mn+mn+2n=2（m+n）=﹣2．故答案为﹣2．4、解：原式=（a2+2ab+b2）+（ac+bc）=（a+b）2+c（a+b）=（a+b）（a+b+c）．故答案为（a+b）（a+b+c）．5、解：（1）（1+2+3+4+5）2=225（2）原式=[n（n+1）]2=n2（n+1）2（3）①原式=（3×1）3+（3×2）3+（3×3）3+…+（3×20）3 =27×13+27×23+27×33+…+27×203=27（13+23+33+ (203)=27××202×212=27×44100=1190700①原式=[13+23+33+…+（2n）3]﹣[23+43+63+…+（2n）3]=（2n）2（2n+1）2﹣8（13+23+33…+n3）=×4n2（2n+1）2﹣8××n2×（n+1）2=n2（2n+1）2﹣2n2（n+1）2=n2（2n2﹣1）=2n4﹣n2（4）①（n+1）3=n3+3n2+3n+1①（n+1）3﹣n3=3n2+3n+1①n3﹣（n﹣1）3=3（n﹣1）2+3（n﹣1）+1…①33﹣23=3×22+3×2+1，①23﹣13=3×12+3×1+1上述n个等式相加，得（n+1）3﹣13=3（12+22+…+n2）+3（1+2+…+n）+n①3（12+22+…+n2）=（n+1）3﹣1﹣3（1+2+…+n）﹣n=（n+1）3﹣3×﹣（n+1）=（n+1）[（n+1）2﹣n﹣1]=（n+1）（n2+n）①12+22+…+n2=n（n+1）（2n+1）①（n+1）4=n4+4n3+6n2+4n+1，①（n+1）4﹣n4=4n3+6n2+4n+1，①n4﹣（n﹣1）4=4（n﹣1）3+6（n﹣1）2+4（n﹣1）+1，…34﹣24=4×23+6×22+4×2+124﹣14=4×13+6×12+4×1+1上述n个等式相加，得（n+1）4﹣n4=4（13+23+…+n3）+6（12+22+…+n2）+4（1+2+…+n）+n，①4（13+23+…+n3）=（n+1）4﹣1﹣6（12+22+…+n2）﹣4（1+2+…+n）﹣n =（n+1）4﹣6×n（n+1）（2n+1）﹣4×﹣（n+1）=（n+1）[（n+1）3﹣n（2n+1）﹣2n﹣1]=（n+1）（n3+n2）①13+23+…+n3=n2（n+1）2故答案为（1）225；（2）n2（n+1）2。
七年级数学-第02讲 整式的乘法(解析版)
2021-2022学年七年级数学【赢在寒假】同步精讲精练系列第1章整式的乘除第02讲整式的乘法【考点梳理】考点1：单项式、多项式及整式的概念1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。
如：bc a 22-的系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。
2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。
如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。
3、整式：单项式和多项式统称整式。
注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。
也不是单项式和多项式。
4、多项式按字母的升（降）幂排列：如：1223223--+-y xy y x x 按x 的升幂排列：3223221x y x xy y +-+--按x 的降幂排列：1223223--+-y xy y x x 按y 的升幂排列：3223221yy x xy x --++-按y 的降幂排列：1223223-++--x xy y x y 考点2：单项式及多项式的乘法法则1、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
注意：①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。
②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。
③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
如：=∙-xy z y x 32322.单项式乘以多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)注意：①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
第2讲 整式与因式分解(讲解版)
第2讲整式与因式分解一、知识梳理整式的有关概念单项式定义：数与字母的积的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式单项式次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数单项式系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数多项式定义：几个单项式的和叫做多项式多项式次数：一个多项式中，次数最高的项_的次数，叫做这个多项式的次数整式：单项式和多项式统称整式同类项、合并同类项同类项概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项合并同类项概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变整式的运算整式的加减实质就是去括号后合并同类项．一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，再合并同类项幂的运算：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 即：a m·a n＝_a m+n_________(m，n都是整数)幂的乘方，底数不变，指数相乘. 即：(a m)n＝__a mn ______(m，n都是整数)积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．即：(ab)n＝__a n b n_______(n为整数)同底数幂相除，底数不变，指数相减. 即：a m÷a n＝___a m-n_______(a≠0，m、n都为整数)整式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即m(a＋b＋c)= am+bm+cm多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(m＋n)(a＋b)= ma+mb+na+nb整式的除法：单项式除以单项式，系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加乘法公式：平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2-b2完全平方公式：(a±b)2＝_a2±2ab+b2常用恒等变换：(1)a2＋b2＝(a+b)2-2ab＝(a-b)2+2ab(2)(a－b)2＝(a＋b)2-4ab因式分解的相关概念及分解基本方法公因式定义：一个多项式各项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式提取公因式法定义：一般地，如果多项式的各项都有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式的乘积形式，即ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)运用公式法：平方差公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)完全平方公式a2＋2ab＋b2＝(a+b)2，a2－2ab＋b2＝(a-b)2二次三项式x2+(p+q)x+pq=（x+p）（x+q）二、题型、技巧归纳考点一整式的有关概念1、如果□×3ab=3a2b，则□内应填的代数式是（C）A.abB.3abC.aD.3a技巧归纳：注意单项式次数、单项式系数2、在下列代数式中，次数为3的单项式是( A)A．xy2 B．x3－y3C．x3y D．3xy技巧归纳：由单项式次数的概念可知次数考点二同类项、合并同类项3、如果单项式12x a y2与13x3y b是同类项，那么a，b的值分别为( D)A．2，2 B．－3，2 C．2，3 D．3，2技巧归纳：(1)同类项必须符合两个条件：第一所含字母相同，第二相同字母的指数相同，两者缺一不可．(2)根据同类项概念——相同字母的指数相同列方程(组)是解此类题的一般方法．考点三整式的运算4、下列运算中，正确的是( B )A．a2·a3＝a6 B．a3÷a2＝a C．(a3)2＝a9 D．a2＋a2＝ a5技巧归纳：(1)进行整式的运算时，一要注意合理选择幂的运算法则，二要注意结果的符号． (2)不要把同底数幂的乘法和整式的加减法混淆 (3)单项式的除法关键：注意区别“系数相除”与“同底数幂相除”的含义，一定不能把同底数幂的指数相除．5、先化简，再求值：(2x＋3)(2x－3)－4x(x－1)＋(x－2)2，其中x＝－√3=4x2-9-4x2+4x+x2-4x+4= x2-5当x＝－√3时，原式=-2技巧归纳：整式的运算顺序是：先计算乘除，再做整式的加减，整式加减的实质就是合并同类项，其中能运用乘法公式计算的应采用乘法公式进行计算．考点四因式分解的相关概念及分解基本方法6、分解因式(x－1)2－2(x－1)＋1的结果是( D)A．(x－1)(x－2) B. x2 C．(x＋1)2 D. (x－2)2技巧归纳：(1)因式分解时有公因式的要先提取公因式，再考虑是否应用公式法或其他方法继续分解．(2)提公因式时，若括号内合并的项有公因式应再次提取；注意符号的变换(3)应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式和完全平方式及其特点．(4)因式分解要分解到每一个多项式不能再分解为止．7、①是一个长为2m，宽为2n(m>n)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图3－1②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是( )A．2mn B．(m＋n)2 C．(m－n)2 D．m2－n2技巧归纳： (1)通过拼图的方法可验证平方差公式和完全平方公式，关键要能准确计算阴影部分的面积．(2)利用因式分解进行计算与化简，先把要求的代数式进行因式分解，再代入已知条件计算．三、随堂检测 1、把分解因式，结果是（ B ） A ． B ．C ．D ．2、若(2x)n－81＝(4x 2＋9)(2x ＋3)(2x －3)，则n 的值是( B ) A ．2B ．43、多项式x 2＋y 2、－x 2＋y 2、－x 2－y 2、、2x 2－12y 2中， 能在有理数范围内用平方差公式分解的有（ B ） y 2－x 2（y －x ）3＋（x －y ）=（y －x ）3-（y －x ）=（y －x ）[(y －x)2-1]=(y-x)( y －x-1)( y －x+1) 2x 2－12y 2=2(x 2-14 y 2)=2(x+12y)(x-12y)A．3个B．4个C．5个D．6个4、能被下列数整除的是（ C ）(-8)2008[(-8)+1]= (-8)2008(-7) A．3 B．5 C．7 D．95、若m、n互为相反数，则5m＋5n－5＝___-5_______．6、当x=90.28时，8.37x+5.63x－4x=902.8 _____.7、3a2b-3ab+6b=( 3b )(a2-a+2)8、多项式24ab2－32a2b提出公因式是8ab.9、已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝3求：(1)ab的值；(2)a2＋b2的值．a2＋2ab＋b2=7①a2－2ab＋b2=3②第2讲：当堂检测一、夯实基础1．计算（直接写出结果）①a·a3=②(b3)4=③(2ab)3=④3x2y·（−2x3y2) =2．计算：(−a2)3+(−a3)2＝．3．计算：(−2xy2)2⋅3x2y⋅(−x3y4)＝．4．4n⋅8n⋅16n=218，求n＝．5．若x3y m−1⋅x m+n⋅y2n+2=x9y9,则4m−3m=_____.二、能力提升6．若(x+k)(x−5)的积中不含有x的一次项，则k的值是（）A．0 B．5 C．－5 D．－5或57．若x2+mx−15=(x+3)(x+n)，则m的值为（）A．－5 B．5 C．－2 D．28．若2x=4y−1，27y=3x+1，则x−y等于（）A．－5 B．－3 C．－1 D．19．如果a=255，b=344，c=433，那么（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a三、课外拓展,mn=2,求a2⋅(a m)n的值.10．①已知a=12②若x2n=2,求(−3x3n)2−4(−x2)2n的值11．若2x+5y−3=0，求4x⋅32y的值．四、中考链接12．（龙口）先化简，再求值：（每小题5分，共10分）（1）x（x-1）+2x（x+1）－（3x-1）（2x-5），其中x=2．（2）−m2⋅(−m)4⋅(−m)3，其中m =−213、（延庆）已知，求下列各式的值：（1）；（2）．14、（鞍山）已知：，.求：（1）；（2）.15、计算：；。
第2讲 整式及其运算
【点评】
(1)幂的运算法则是进行整式乘除法的基础
，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用
法则；(2)在运算的过程中，一定要注意指数、系数和
符号的处理．
3．(1)(2014·新疆)下列各式计算正确的是( D ) A．a2＋2a3＝3a5 C．a6÷a2＝a3 B．(a2)3＝a5 D．a· a2＝a3
A．－2
B．0
C．2
4xy－3y
D．4
．
(3)计算：3(2xy－y)－2xy＝
【点评】
整式的加减，实质上就是合并同类项，
有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就
是最后的结果．
1．(1)(2014· 威海)下列运算正确的是( C ) A．2x ÷x ＝2x C．3x2＋2x2＝5x2
2 2
1 2 3 1 6 3 B．(－2a b) ＝－6a b D ．(x－3)3＝x3－9
乘法公式 【例5】 (2013·义乌)如图①，从边长为a的正方形 纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段
AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形
．
(1)设图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分 面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1和S2； (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．
要点梳理 7．乘法公式
2－b2 ( a ＋ b )( a － b ) ＝ a (1)平方差公式：
；
．
(2)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2
要点梳理 8．整式除法 单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别 相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的 字母，连同它的指数作为商的一个因式．多项式 除以单项式，将这个多项式的每一项分别除以这 个单项式，然后把所得的商相加．
整式、分式、二次根式
第二讲 整式、分式一、课标下复习指南 (一)代数式1．代数式用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式．单独一个数或表示数的字母也叫做代数式．2．求代数式的值用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算计算出结果，叫做求代数式的值． 3．代数式的分类(二)整式1．整式的有关概念(1)单项式及有关概念由数字和字母的积组成的代数式叫单项式，单独的一个数和单独的一个字母也叫单项式．单项式的数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数．(2)多项式及有关概念几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数叫多项式的次数．(3)同类项的概念 多项式中，所含字母相同，相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．两个常数项也是同类项．2．整式的运算(1)整式的加减 ①合并同类项把多项式中的同类项合并成一项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变，叫做合并同类项．②添(去)括号法则如果括号前面是正号，括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括号里的各项都改变符号．③整式的加减几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号，合并同类项．(2)整数指数幂及其运算性质①整数指数幂正整数指数幂：⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅==),2(),1(为正整数个n n a a a a n aa n n零指数幂：10=a (a ≠0)．负整数指数幂：n n aa 1=-(a ≠0，n 为正整数)． ②整数指数幂的运算性质(以下四式中m ，n 都是整数) a m ·a n ＝a m ＋n ： (a m )n ＝a mn ；(ab )m ＝a m ·b m ． a m ÷a n ＝a m －n(a ≠0)． (3)整式的乘法①单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘；对于只在一个单项式里含的字母，连同它的指数作为积的一个因式．②单项式乘以多项式，根据分配律用这个单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．③多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．④乘法公式：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2； (a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2；常用的几个乘法公式的变形：a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(a －b )2＋2ab ；(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ．(4)整式的除法(结果为整式的)①单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，只在被除式里含有的字母，连同它的指数也作为商的一个因式．②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．3．因式分解的概念 (1)因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解． 在因式分解时，应注意：①在指定数(有理数、实数)的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，若题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内因式分解．②因式分解后，如果有相同的因式，应写成幂的形式，并且要把各个因式化简，同时，每个因式的首项不含负号．③多项式的因式分解是多项式乘法的逆变形． (2)因式分解的方法 ①提公因式法：ma ＋mb ＋mc ＝m (a ＋b ＋c )． ②运用公式法： a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )； a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2：*③十字相乘法：x 2＋(a ＋b )x ＋ab ＝(x ＋a )(x ＋b )．④用一元二次方程求根公式分解二次三项式的方法：ax 2＋bx ＋c ＝a (x －x 1)(x －x 2)．(当b 2－4ac ≥0时，,2421a acb b x -+-=)2422aac b b x ---=(3)因式分解的步骤①多项式的各项有公因式时，应先提取公因式； ②考虑所给多项式是否能用乘法公式分解；③对于二次三项式，可先尝试用十字相乘法分解；④检查每一个因式是否都已分解彻底，是否符合要求．必要时，可用多项式的乘法运算从结果逆推回去，以检验因式分解所得结果是否正确． 4．分式(1)分式的有关概念①分式：若A 和B 均为整式(其中B 中含有字母)，则形如BA的式子叫做分式． 注意 对于一个分式BA，字母的取值必须使分母B 的值不为零． ②最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式． 注意 关于分式概念的应用，一般有以下几种： 分式有意义⇔分母≠0； 分式无意义⇔分母＝0；分式值为0⇔⎩⎨⎧≠=.0,0分母分子分式值为1⇔⎩⎨⎧==.0,分母分母分子分式值为正⇔分子、分母同号． 分式值为负⇔分子、分母异号．(2)分式的基本性质分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．M B MA MB M A B A ÷÷=⨯⨯=(其中M 是不等于零的整式)． (3)分式的运算①加减法：bd bc ad d c b a ±=±．特别地，当b ＝d 时，b c a b c b a ±=±． ②乘法：⋅=bdacd c b a . ③除法：bcadc d b a d c b a ==÷.(此法则将分式的除法转化为乘法)． ④乘方：n nn b a ba =)((n 为正整数)．二、例题分析例1 下列运算中，计算结果正确的个数是( )．(1)a 4·a 3＝a 12；(2)a 6÷a 3＝a 2；(3)a 5＋a 5＝a 10；(4)(a 3)2＝a 9；(5)(－ab 2)2＝ab 4；(6)⋅=-22212x x A ．无 B ．1个 C ．2个 D ．3个 解 A ．说明 整数指数幂的运算性质是整式运算的基础，容易混淆．其原因是做题时不按性质做，而是跟着感觉走，必须培养良好的做题习惯．例2 如果关于x ，y 的单项式2ax my 与5bx 2m －3y 是同类项，(1)求(9m －28)2009的值；(2)若2ax m y ＋5bx 2m －3y ＝0，并且xy ≠0，求(2a ＋5b )2009的值． 解 ∵2ax m y 与5bx 2m －3y 是同类项， ∴2m －3＝m ．解得m ＝3． (1)(9m －28)2009＝(9×3－28)2009＝－1．(2)∵m ＝3，且2ax my ＋5bx 2m －3y ＝0， ∴2ax 3y ＋5bx 3y ＝0，即(2a ＋5b )x 3y ＝0． 又∵xy ≠0，∴2a ＋5b ＝0． ∴(2a ＋5b )2009＝02009＝0．说明 此题考查了同类项的概念，要注意同类项与单项式的系数无关．在合并同类项时，只要将它们的系数合并，而字母及字母的指数不变．例3 计算： (1);)3()41(212335a b a b a -⋅-÷ (2)(3xy 3－9x 4y 2)÷3xy －(x 2－2xy )·4x 2．解 (1)原式＝23359)41(21a b a b a ⋅-÷.189)4(21242335b a a ba b a -=⋅-⨯=(2)原式＝y 2－3x 3y －4x 4＋8x 3y＝y 2＋5x 3y －4x 4．说明 正确运用幂的运算法则是进行幂的运算的关键．单项式相乘除时，要注意运算顺序，先做乘方，然后按从左到右的顺序做乘除法．例4 计算：(1)8x 2－(x －2)(3x ＋1)－2(x ＋1)(x －5)； (2)(a ＋b －1)(a －b ＋1)－a 2＋(b ＋2)2． 解 (1)原式＝8x 2－(3x 2－5x －2)－2(x 2－4x －5) ＝8x 2－3x 2＋5x ＋2－2x 2＋8x ＋10 ＝3x 2＋13x ＋12．(2)原式＝[a ＋(b －1)][a －(b －1)]－a 2＋(b ＋2)2 ＝a 2－(b －1)2－a 2＋(b ＋2)2＝(b ＋2)2－(b －1)2＝(b ＋2＋b －1)(b ＋2－b ＋1) ＝(2b ＋1)×3＝6b ＋3．说明 在整式运算中，要注意：(1)灵活运用运算律、运算法则和乘法公式，寻找合理、简捷的运算途径；(2)利用乘法公式进行计算时，要分析式子的特点，正确选择公式，尤其要注意公式中字母的顺序及符号；(3)当几个多项式乘积前面出现负号时，处理负号的方法是可将负号视为(－1)先与其中的一个因式相乘，或将负号后面的多项式结合在一起先相乘，然后利用去括号法则去括号．例5 把下列各式分解因式：(1)6(a －b )2＋8a (b －a )； (2)(x ＋y )2－4(x ＋y )＋4； (3)16x 2－(x 2＋4)2； (4).4412+-x 解 (1)原式＝6(a －b )2－8a (a －b ) ＝2(a －b )[3(a －b )－4a ] ＝2(a －b )(3a －3b －4a ) ＝－2(a －b )(a ＋3b )．(2)原式＝[(x ＋y )－2]2＝(x ＋y －2)2． (3)原式＝(4x )2－(x 2＋4)2 ＝[4x ＋(x 2＋4)][4x －(x 2＋4)] ＝－(x 2＋4x ＋4)(x 2－4x ＋4) ＝－(x ＋2)2(x －2)2．(4)原式)16(412--=x).4)(4(41-+-=x x说明 (1)分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止(每个因式分别整理、化简后，一般要按降幂排列)；(2)如果多项式最高次项的系数是负数，一般要提出负号，使括号内该项的系数是正数；(3)遇到有多项式乘方时，应注意下面的规律：(b －a )2k ＝(a －b )2k ；(b －a )2k ＋1＝－(a －b )2k ＋1(k 为整数)．(4)注意换元思想在因式分解中的应用：将题目中相同的代数式看成一个整体去提取公因式、运用乘法公式或进行十字相乘．例6 (1)当x 取何值时，分式6532+--x x x 无意义?(2)当x 取何值时，分式12922---x x x 有意义?值为零?解 (1)要使分式无意义，只需x 2－5x ＋6＝0．解得x 1＝2，x 2＝3．∴当x ＝2或x ＝3时，分式无意义．(2)要使分式有意义，只要使x 2－x －12≠0，解得x ≠－3且x ≠4． ∴当x ≠－3且x ≠4时，分式有意义．要使分式的值为零，只⎪⎩⎪⎨⎧=/--=-.012,0922x x x解得⎩⎨⎧≠-=/-==.43,33x x x x 且或∴当x ＝3时，分式的值等于零．说明 (1)确定分式有无意义时，一定要对原分式进行讨论，而不能讨论化简后的分式；(2)只有当字母的取值使分子的值等于零且分母的值不等于零时，分式的值才等于零；(3)注意准确使用“或”和“且”字．例7 计算： (1)2121111x x x ++++-； (2)⋅--++--÷++-+296.4144222222x x x x x x x x x x 解 (1)原式212)1)(1(11x x x x x +++--++=)1)(1()1(2)1(21212222222x x x x x x +--++=++-= 414x-=． (2)原式.1)2)(2(.)2()2)(1(2--+++-=x x x x x x ⋅+++=++=-++1961)3()2)(1()3(222x x x x x x x x说明 对异分母的分式相加减时，一般先通分，变为同分母的分式，然后再加减．对于某些具体的分式运算也可以采取一些特殊的方法，如(1)题采用逐步合并的方法．对于分子、分母都是多项式的分式进行乘除运算时，一定要先将每个多项式分解因式，然后将除法统一为乘法，最后再进行约分，如(2)题．对于运算结果，一般的，二次的多项式应乘开．例8 已知12-=a ，化简求值：⋅+-÷++--+-24)44122(22a a a a a a a a解法一 原式42])2(1)2(2[2-+⨯+--+-=a a a a a a a 41)212(-⨯+---=a a a a a ⋅+=-⨯+-=)2(141)2(4a a a a a a .122,12+=+∴-=a a ∴原式.1)12)(12(1=+-=解法二 由12-=a ，得21=+a ，平方，移项，可得a 2＋2a ＝1．∴将原式化简为aa 212+后，立即得其值为1． 例9 已知x ＋y ＝－4，xy ＝－12，求+++11x y 11++y x 的值． 解 原式)1)(1()1()1(22+++++=y x x y＝1121222++++++++y x xy x x y y1)(2)(22)(2++++++-+=y x xy y x xy y x 将x ＋y ＝－4，xy ＝－12代入上式，∴原式⋅-=+--+-⨯++-=153414122)4(224)4(2说明 求代数式的值的问题，一般先将所求代数式进行化简，然后利用已知条件求值．在使用条件时有三种方式：(1)将已知条件直接代入计算；(2)将已知条件变形后再代入计算；(3)将已知条件整体代入再计算求值．例10 已知321=+xx ，求441x x +的值．解 2)1(122244-+=+xx x x2]2)32[(2]2)1[(2222--=--+=xx＝102－2＝98．说明 此题是反复运用完全平方公式把所求代数式变形，使问题得解． 三、课标下新题展示例11 在解题目“当x ＝1949时，求代数式x x x x x x x 122444.222-+-÷-+-＋1的值．”时，聪聪认为x 只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同结果．你认为他说得有道理吗?请说明理由．解 聪聪说得有道理．∵原式11)2(2.)2)(2()2(2+--+-+-=xx x x x x x ,1111=+-=xx ∴只要使原式有意义，无论x 取何值，原式的值都相同，为常数1．例12 某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第＝分钟收费a (a ＜8)元，之后的每＝分钟收费b 元．如果某人打该长途电话被收费8元钱，则此人打长途电话的时间是( )．A ．ba-8分钟 B ．b a +8分钟 C ．bba +-8分钟D ．bba --8分钟解 C ．说明 用代数式表示实际问题中的数量关系，是一类常见的考题．二次根式一、课标下复习指南 (一)二次根式的有关概念 1．二次根式形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式． 2．最简二次根式(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式． (二)二次根式的主要性质1．)0(≥a a 是一个非负数； 2．);0()(2≥=a a a 3．⎩⎨⎧<-≥==);0(),0(||2a a a a a a4．);0,0(≥≥⋅=b a b a ab5．);0,0(>≥=b a ba ba6．若a ＞b ≥0，则.b a > (三)二次根式的运算1．二次根式的加减二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．2．二次根式的乘除二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变． *3．分母有理化把分母中的根号化去，分式值不变，叫做分母有理化．常用的二次根式的有理化因式： (1)a 与a 互为有理化因式；(2)b a +与b a -，一般的，b c a +与b c a -互为有理化因式；(3)b a +与b a -，一般的，b d a c +与b d a c -互为有理化因式． 二、例题分析例1 当x 为何值时，下列代数式有意义? .1)2(;322)1(232x x x x x -+----解 (1)欲使3222---x x x 有意义，只要使⎩⎨⎧=/--≥-.032,022x x x 即⎩⎨⎧≠-=/≥.31,2x x x 且 解得x ≥2且x ≠3． ∴当x ≥2且x ≠3时，3222---x x x 有意义．(2)欲使231x x -+-有意义，只要使－x 2≥0，解得x ＝0． ∴当x ＝0时，231x x -+-有意义．说明 代数式有意义的条件：分式有意义的条件是分式的分母不为零；二次根式有意义的条件是被开方数为非负数；由实际意义得到的代数式还要符合实际意义．例2 化简：(1);14962123xx x x x -+ *(2)已知1＜x ＜2，化简122+-x x .442x x +-+ 解 (1)原式x x x x x x 4221-+=x x 23-=(2)∵1＜x ＜2，∴x －1＞0，2－x ＞0． 224412x x x x +-++-∴22)2()1(x x -+-=＝|x －1|＋|2－x |＝(x －1)＋(2－x )＝1．说明 (1)二次根式的化简要考虑最简二次根式的两个条件，根号内是多项式时，要考虑是否是完全平方式；(2)化简2a 时，要考虑字母a 的取值范围；(3)在二次根式运算中，根号外的因式可以平方后作为被开方数的因式移进根号内，从而使运算简化．例3 计算：(1);22)8321464(÷+- (2)+⋅-+-5()625()2332(202.)6219 解 (1)原式22)262264(÷+-=.232+=(2)原式＝5)(625[()1861212(-++-62561230)625()]6219-+-=-⋅+.61435-=说明 整式和分式的运算性质在二次根式的运算中同样适用，乘法公式、分配律、约分等都有可能简化运算过程，要根据式子的结构特征灵活使用．例4 已知xy ＝3，求yxyx y x+的值． 分析 因为xy ＝3，所以x ，y 同正或同负，要分情况讨论． 解 当x ＞0，y ＞0时， 原式.322==+=xy xy xy 当x ＜0，y ＜0时，原式.322-=-=--=xy xy xy 综上可知，原式.32±= 三、课标下新题展示例5 若n 20是整数，则满足条件的最小正数n 为( )． A ．2B ．3C ．4D ．5解 D ．说明 对于二次根式的性质：||);0()(22a a a a a =≥=，会有多种形式进行考查，要熟练掌握．例6 对正实数a ，b ，定义,*b a ab b a +-=若4*x ＝44，则x 的值是______． 解 依题意，得.4444=+-x x 整理，得.484=+x x 变形，得.4912)(2=++x x.49)1(2=+∴x71=+∴x 或,71-=+x 6=x 或8-=x (舍)． ∴x ＝36．经检验，x ＝36是原方程的解． ∴x 的值是36．说明 此题考查了阅读理解能力、完全平方公式、二次根式的性质、配方法解方程，是一道代数综合题，要求每个基本知识点都熟练掌握．四、课标考试达标题(一)选择题1．下列各式中正确的是( )． A ．－2(a －b )＝－2a －b B ．(－x )2÷x 3＝xC ．xyz ÷(x ＋y ＋z )＝yz ＋xz ＋xyD ．(－m －n )(m －n )＝n 2－m 2 2．下列等式中不成立的是( )．A ．y x y x y x -=--22 B ．y x yx y xy x -=-+-222 C ．y x yxyx xy -=-2 D ．xyx y y x x y 22-=-3．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．．．．．，如a ＋b ＋c 就是完全对称式．下列三个代数式：①(a －b )2；②ab ＋bc ＋ca ；③a 2b ＋b 2c ＋c 2a ．其中是完全对称式的是( )． A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 4．用配方法将代数式a 2＋4a －5变形，结果正确的是( )． A ．(a ＋2)2－1B ．(a ＋2)2－5C ．(a ＋2)2＋4 D ．(a ＋2)2－95．已知411=-b a ，则ab b a b ab a 7222+---的值等于( )．A ．6B ．－6C ．152D ．72-(二)填空题6．某公司2009年5月份的纯利润是a 万元，如果每个月纯利润的增长率都是x ，那么预计7月份的纯利润将达到______万元(用代数式表示)． 7．多项式9x 2＋1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是______ (填上一个正确的即可)．8．若2x＝3，4y＝5，则2x －2y的值为______． 9．观察下面的单项式：x ，－2x 2，4x 3，－8x 4，…根据你发现的规律，写出第7个式子是______．10．已知),3,2,1()1(12=+=n n a n ， b 1＝2(1－a 1)，b 2＝2(1－a 1)(1－a 2)，…，b n ＝2(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，则通过计算推测出b n 的表达式为b n ＝______．(用含n 的代数式表示) (三)解答题 11．求63)(41)(21ba b a b a b a --++++-的值，其中|a －1|＝－(b ＋2)2．12．在实数范围内分解因式：(1)4x 4－1；(2)x 2＋2x －5．13．观察下列等式：,322322,211211-=⨯-=⨯＝.,433433 -=⨯(1)猜想并写出第n 个等式；(2)证明你写出的等式的正确性．14．按下列程序计算，把答案填写在表格内，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律?(1)填写表内空格：(2)发现的规律是：(3)用简要的过程证明你发现的规律．(一)选择题1．在根式⑤④③②①;2;15;;5223ab a a -2;12a a ⑥中，最简二次根式是( )．A ．②③⑤B ．②③⑥C ．②③④⑥D ．①③⑤⑥2．如果最简根式ab b -3和22+-a b 是同类二次根式，那么a 、b 的值分别是( )．A ．a ＝0，b ＝2B ．a ＝2，b ＝0C ．a ＝－1，b ＝1D ．a ＝1，b ＝－23．下列各式中，运算正确的是( )． A ．553322=+ B ．236=÷ C ．632=D ．12233=-(二)填空题4．当x 满足______条件时，32++-x x在实数范围内有意义． 5．若式子|2|)1(2-+-x x 化简的结果为2x －3，则x 的取值范围是______． 6．已知x 为整数，且满足32≤≤-x ，则x ＝______．7．观察下列各式：=+=+412,312311514513,413=+…请你将发现的规律用含自然数n 的等式表示出来______．(n ≥1)(三)解答题 8．计算：.)2(xy yxxyxy ⋅+-9．化简：.)23(36329180-++--10．先化简，再求值：423)225(--÷---a a a a ，其中.33-=a。
第一轮 第一单元 第一章 第2讲 整式
知识梳理
1．代数式：用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或字 母连接而成的式子叫做代数式．
2．单项式：由数或字母的________组成的代数式叫做单项式，单 项式中的________叫做这个单项式的系数；单项式中的所有字 母的________，叫做这个单项式的次数，如：－9x2y3 的系数 是－9，次数是 5.
3．多项式：几个单项式的________叫做多项式，在多项式中，每 个 单 项 式 叫 做 多 项 式 的 ________ ， 其 中 次 数 最 高 的 项 的 ________ 叫 做 这 个 多 项 式 的 次 数 ， 不 含 字 母 的 项 叫 做 ________，如：多项式－2x2＋4x－1 有________项，它们分别 是________，其中－1 是常数项，这个多项式是二次三项式．
A．－8x2 B．8x2 C．－16x2 D．16x2
3．(2017 广东)下列运算正确的是( )
A．a＋2a＝3a2
B．a3·a2＝a5
C．(a4)2＝a6
D．a4＋a2＝a4
4．(2016 广东)已知方程 x－2y＋3＝8，则整式 x－2y 的值为( ) A．5 B．10 C．12 D．15
5．(2016 广东)先化简，再求值：a＋a 3·a2＋66a＋9＋2aa2－－96，其中 a ＝ 3－1.
典型错题及分析
例 1 (2017 北京)如果 a2＋2a－1＝0，那么代数式a－a4·a－a22的 值是( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【易错点分析】本题考察整体代入法，由题目条件 a2＋2a－1 ＝0，可能会有部分同学通过解方程去计算 a 值，再代入求值， 导致计算量较大，出现错误．本题代数式括号内通分后分子为 a2－4，可根据平方差公式因式分解为a＋2a－2，最后化简的 结果为 a2＋2a，用整体代入法更快解决，因此本题正确答案选 C.
第一章 第2讲 整 式-学习文档
第2讲 整 式一、选择题1．(2019·桂林)用代数式表示：a 的2倍与3的和，下列表示正确的是( B )A ．2a －3B ．2a ＋3C ．2(a －3)D ．2(a ＋3)2．(2019·河北)用一根长为a (单位：cm)的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按图的方式向外等距扩1(单位：cm)得到新的正方形，则这根铁丝需增加( B )A ．4 cmB ．8 cmC ．(a ＋4) cmD ．(a ＋8) cm3．(2019·枣庄)如图，将边长为3a 的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．若拿掉边长2b 的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为( A )A ．3a ＋2bB ．3a ＋4bC ．6a ＋2bD ．6a ＋4b4．(2019·荆州)下列代数式中，整式为( A )A ．x ＋1B.1x ＋1C. x 2＋1D.x ＋1x 5．(2019·遵义)下列运算正确的是( C )A ．(－a 2)3＝－a 5B ．a 3·a 5＝a 15C ．(－a 2b 3)2＝a 4b 6D ．3a 2－2a 2＝16．(2019·南京)计算a 3·(a 3)2的结果是( B )A．a8B．a9C．a11D．a187．(2019·黔南州)下列运算正确的是(A)A．3a2－2a2＝a2B．－(2a)2＝－2a2C．(a＋b)2＝a2＋b2D．－2(a－1)＝－2a＋18．(2019·安徽)下列分解因式正确的是(C)A．－x2＋4x＝－x(x＋4)B．x2＋xy＋x＝x(x＋y)C．x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2D．x2－4x＋4＝(x＋2)(x－2)二、填空题9．(2019·吉林)买单价3元的圆珠笔m支，应付3m元．10．(2019·恩施州)因式分解：8a3－2ab2＝2a(2a＋b)(2a－b).11．(2019·河北)若a，b互为相反数，则a2－b2＝0.12．(2019·岳阳)已知a2＋2a＝1，则3(a2＋2a)＋2的值为5.13．(2019·吉林)若a＋b＝4，ab＝1，则a2b＋ab2＝4.14．(2019·菏泽)若a＋b＝2，ab＝－3，则代数式a3b＋2a2b2＋ab3的值为－12.三、解答题15．(2019·重庆A)计算：a(a＋2b)－(a＋b)(a－b)．解：原式＝a2＋2ab－a2＋b2＝2ab＋b2.一、选择题1．(2019·河北)若2n ＋2n ＋2n ＋2n ＝2，则n 的值为( A )A ．－1B ．－2C ．0 D.142．(2019·重庆)按如图所示的运算程序，能使输出的结果为12的是( C )A ．x ＝3，y ＝3B ．x ＝－4，y ＝－2C ．x ＝2，y ＝4D ．x ＝4，y ＝23．(2019·绵阳)将全体正奇数排成一个三角形数阵13 57 9 1113 15 17 1921 23 25 27 29按照以上排列的规律，第25行第20个数是( A )A ．639B ．637C ．635D ．633 二、填空题4．(2019·大庆)若2x ＝5，2y ＝3，则22x ＋y ＝ 75 .5．(2019·白银)如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x 的值为625，则第2 018次输出的结果为 1 .6．(2019·安徽)观察以下等式：第1个等式：11＋02＋11×02＝1，第2个等式：12＋13＋12×13＝1，第3个等式：13＋24＋13×24＝1，第4个等式：14＋35＋14×35＝1，第5个等式：15＋46＋15×46＝1，按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式： 16＋57＋16×57＝1 ；(2)写出你猜想的第n 个等式： 1n ＋n －1n ＋1＋1n ×n －1n ＋1＝1 .(用含n 的等式表示)三、解答题7．(2019·宜昌)先化简，再求值：x (x ＋1)＋(2＋x )(2－x )，其中x ＝6－4.解：原式＝x 2＋x ＋4－x 2＝x ＋4.当x ＝6－4时，原式＝6－4＋4＝ 6.8．(2019·河北)嘉淇准备完成题目： 化简：( x 2＋6x ＋8)－(6x ＋5x 2＋2)．，发现系数“ ”印刷不清楚．(1)他把系数“ ”猜成3，请你化简：(3x 2＋6x ＋8)－(6x ＋5x 2＋2)；(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”请你通过计算说明原题中“ ”是几？解：(1)由题意，得(3x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)＝3x2＋6x＋8－6x－5x2－2＝－2x2＋6；(2)设“”是a，则原式＝(ax2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)＝ax2＋6x＋8－6x－5x2－2＝(a－5)x2＋6.∵标准答案的结果是常数，∴a－5＝0，解得a＝5.。
中考数学总复习 第2讲 整式及因式分解二次函数(基础讲
第2讲整式及因式分解考标要求考查角度1.明确字母表示数的真实内涵及其规范的书写格式，能用代数式探索有关的规律．2．会用语言文字叙述代数式的意义，同时掌握求代数式的值的方法．3．理解同类项的概念，掌握合并同类项的法则和去括号的法则以及乘法公式，能准确地进行整式的加、减、乘、除、乘方等混合运算．4．能对多项式进行因式分解.整式作为初中数学的基础内容之一，在中考试题中多以填空题和选择题的形式命题，重点考查其基本概念及运算法则，同时也会设计一些新颖的探索与数、式有关的规律性问题.知识梳理一、整式的有关概念1．整式整式是单项式与__________的统称．2．单项式单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的________因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的____叫做单项式的次数．3．多项式几个单项式的______叫做多项式；多项式中，每一个________叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中__________项的次数就是这个多项式的次数．二、整数指数幂的运算正整数指数幂的运算法则：a m·a n＝______，(a m)n＝______，(ab)n＝a n b n，a ma n＝a m－n(m，n是正整数)．三、同类项与合并同类项1．同类项所含字母相同，并且相同字母的______也分别相同的项叫做同类项．2．合并同类项把多项式中的同类项合并成一项叫做____________，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的______，字母和字母的指数不变．四、求代数式的值1．代数式的值一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果就叫做代数式的值．2．求代数式的值的基本步骤(1)代入：一般情况下，先对代数式进行化简，再将数值代入；(2)计算：按代数式指明的运算关系计算出结果．五、整式的运算1．整式的加减(1)整式的加减实质就是合并同类项；(2)整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要______．2．整式的乘除(1)整式的乘法．①单项式与单项式相乘：把______、__________分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．②单项式与多项式相乘：m (a ＋b ＋c )＝ma ＋mb ＋mc ．③多项式与多项式相乘：(m ＋n )(a ＋b )＝ma ＋mb ＋na ＋nB ． (2)整式的除法．①单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的______作为商的一个因式．②多项式除以单项式：(a ＋b )÷m ＝a ÷m ＋b ÷m . 3．乘法公式(1)平方差公式：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2；(2)完全平方公式：(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2. 六、因式分解1．因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的____的形式，叫做多项式的因式分解． 2．因式分解的方法 (1)提公因式法．公因式的确定：第一，确定系数(取各项整数系数的最大公约数)；第二，确定字母或因式底数(取各项的相同字母)；第三，确定字母或因式的指数(取各相同字母的最低次幂)．(2)运用公式法．①运用平方差公式：a 2－b 2＝__________.②运用完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝________. 3．因式分解的一般步骤一提(提取公因式法)；二套(套公式法)．一直分解到不能分解为止． 自主测试1．(2012福建福州)下列计算正确的是( )A ．a ＋a ＝2aB ．b 3·b 3＝2b 3C ．a 3÷a ＝a 3D ．(a 5)2＝a 72．下列各式中，与x 2y 是同类项的是( )A ．xy 2B ．2xyC ．－x 2yD ．3x 2y 23．(2012四川绵阳)图(1)是一个长为2m ，宽为2n (m ＞n )的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图(2)那样拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是( )A ．2mnB ．(m ＋n )2C ．(m －n )2D ．m 2－n 24．(2012四川宜宾)分解因式：3m 2－6mn ＋3n 2＝__________.5．单项式－3π5m 2n 的系数是______，次数是______．考点一、整数指数幂的运算【例1】 (2012湖南郴州)下列计算正确的是( )A ．a 2·a 3＝a 6B ．a ＋a ＝a 2C ．(a 2)3＝a 6D ．a 8÷a 2＝a 4解析：A 项是同底数幂的乘法，a 2·a 3＝a 2＋3＝a 5，故A 项错误；B 项是整式的加减运算，a ＋a ＝2a ，故B 项错误；C 项是幂的乘方，(a 2)3＝a 2×3＝a 6，故C 项正确；D 项是同底数幂的除法，a 8÷a 2＝a 8－2＝a 6，故D 项错误．答案：C方法总结 幂的运算问题除了注意底数不变外，还要弄清幂与幂之间的运算是乘、除还是乘方，以便确定结果的指数是相加、相减还是相乘．触类旁通1下列运算中，正确的是( )A ．x 3·x 2＝x 5B ．x ＋x 2＝x3C ．2x 3÷x 2＝xD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23＝x 32考点二、同类项与合并同类项【例2】 单项式－13x a ＋b y a －1与3x 2y 是同类项，则a －b 的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．1解析：本题主要考查了同类项的概念及方程组的解法，由－13x a ＋b y a －1与3x 2y 是同类项，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，a －1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝0.所以a －b ＝2－0＝2. 答案：A方法总结 1.同类项必须具备以下两个条件：(1)所含字母相同；(2)相同字母的指数分别相同．二者必须同时具备，缺一不可；2．同类项与项的系数无关，与项中字母的排列顺序无关，如xy 2与－y 2x 也是同类项． 3．根据同类项概念，相同字母的指数相同，列方程(组)是解此类题的一般方法．触类旁通2如果3x 2n －1y m 与－5x m y 3是同类项，则m 和n 的取值是( ) A ．3和－2 B ．－3和2 C ．3和2 D ．－3和－2 考点三、整式的运算【例3】 先化简，再求值：(a ＋b )(a －b )＋(a ＋b )2－2a 2，其中a ＝3，b ＝－13.解：(a ＋b )(a －b )＋(a ＋b )2－2a 2＝a 2－b 2＋a 2＋2ab ＋b 2－2a 2＝2ab ，当a ＝3，b ＝－13时，2ab ＝2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－2. 方法总结 整式的乘法法则和除法法则是整式运算的依据，必须在理解的基础上加强记忆，并在运算时灵活运用法则进行计算．使用乘法公式时，要认清公式中a ，b 所表示的两个数及公式的结构特征，注意套用公式．触类旁通3 已知2x －1＝3，求代数式(x －3)2＋2x (3＋x )－7的值． 考点四、因式分解【例4】 (2012湖南常德)分解因式：m 2－n 2＝__________. 答案：(m ＋n )(m －n )方法总结 (1)因式分解时有公因式的要先提取公因式，再考虑是否应用公式法或其他方法继续分解．(2)提取公因式时，若括号内合并的项有公因式，应再次提取；注意符号的变换y －x ＝－(x －y )，(y －x )2＝(x －y )2.(3)应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式和完全平方公式及其特点． (4)因式分解要分解到每一个多项式不能分解为止．1．(2012湖南常德)下列运算中，结果正确的是( )A ．a 3·a 4＝a 12B ．a 10÷a 2＝a 5C ．a 2＋a 3＝a 5D ．4a －a ＝3a 2．(2012湖南益阳)下列计算正确的是( )A ．2a ＋3b ＝5abB ．(x ＋2)2＝x 2＋4C ．(ab 3)2＝ab 6D ．(－1)0＝13．(2012湖南湘潭)因式分解：m 2－mn ＝__________.4．(2012湖南益阳)写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式：__________.5．(2012湖南怀化)当x ＝1，y ＝15时，3x (2x ＋y )－2x (x －y )＝__________.6．(2012湖南株洲)一组数据为：x ，－2x 2,4x 3，－8x 4，…观察其规律，推断第n 个数据应为__________．1．将代数式x 2＋4x －1化成(x ＋p )2＋q 的形式为( )A ．(x －2)2＋3B ．(x ＋2)2－4C ．(x ＋2)2－5D ．(x ＋2)2＋42．如图所示，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a ＞b )，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式( )A ．(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2B ．(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2C ．a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )D ．(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 23．多项式__________与m 2＋m －2的和是m 2－2m .4．若3x m ＋5y 2与x 3y n 的和是单项式，则n m＝__________.5．若m －n ＝2，m ＋n ＝5，则m 2－n 2的值为__________．6．若2x ＝3,4y ＝5，则2x －2y的值为__________．7．给出3个整式：x 2,2x ＋1，x 2－2x .(1)从上面3个整式中，选择你喜欢的两个整式进行加法运算，若结果能因式分解，请将其因式分解；(2)从上面3个整式中，任意选择两个整式进行加法运算，其结果能因式分解的概率是多少？参考答案 【知识梳理】一、1.多项式 2.数字 和 3．和 单项式 次数最高二、a m ＋n a mn三、1.指数 2.合并同类项 系数 五、1.(2)变号2．(1)①系数 同底数幂 (2)①指数 六、1.积2．(2)①(a ＋b )(a －b ) ②(a ±b )2导学必备知识 自主测试1．A a ＋a ＝2a ，A 项正确；b 3·b 3＝b 6，B 项错误；a 3÷a ＝a 2，C 项错误；(a 5)2＝a 10，D 项错误．2．C 只有C 选项中相同字母的指数与x 2y 分别相同．3．C 因为长方形的长为2m ，宽为2n (m ＞n )，则小长方形的长为m ，宽为n ，小正方形的边长为(m －n )，所以面积是(m －n )2.4．3(m －n )2 原式＝3(m 2－2mn ＋n 2)＝3(m －n )2.5．－3π53探究考点方法触类旁通1.A A 项是同底数幂相乘，x 3·x 2＝x3＋2＝x 5，B 项中的两项不是同类项，不能合并，C 项是单项式相除，2x 3÷x 2＝(2÷1)x 3－2＝2x ，D 项⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23＝x 323＝x38.触类旁通 2.C 此题考查同类项概念和二元一次方程组的解法，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2n －1＝m ，m ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2. 触类旁通3.分析：本题需先把2x －1＝3进行整理，得出x 的值，把代数式进行化简，再把x 的值代入即可求出结果．解：由2x －1＝3得x ＝2，又(x －3)2＋2x (3＋x )－7＝x 2－6x ＋9＋6x ＋2x 2－7＝3x 2＋2，∴当x ＝2时，原式＝14.品鉴经典考题1．D a 3·a 4＝a 7，所以A 项不正确；a 10÷a 2＝a 8，所以B 项不正确；a 2与a 3不是同类项，不能合并，所以C 项不正确；4a －a ＝3a ，D 项正确．2．D 2a 与3b 不能合并，A 项不正确；(x ＋2)2＝x 2＋4x ＋4，B 项不正确；(ab 3)2＝a 2b 6，C 项不正确；由任何一个不等于零的数的零次幂等于1，知D 项正确．3．m (m －n ) m 2－mn ＝m (m －n )．4．答案不唯一，如x 2－1.5．5 3x (2x ＋y )－2x (x －y )＝6x 2＋3xy －2x 2＋2xy ＝4x 2＋5xy .当x ＝1，y ＝15时，原式＝4×12＋5×1×15＝4＋1＝5.6．(－2)n －1x n x 的系数为1＝(－2)1－1，次数为1；－2x 2的系数为－2＝(－2)2－1，次数为2；4x 3的系数为4＝(－2)3－1，次数为3；－8x 4的系数为－8＝(－2)4－1，次数为4；….所以第n 个数据的系数为(－2)n －1，次数为n ，即(－2)n －1x n.研习预测试题1．C x 2＋4x －1＝(x 2＋4x ＋4)－4－1＝(x ＋2)2－5.2．C 因为第一个图是一个大的正方形挖去了一个小的正方形，其面积表达式为a 2－b 2.第二个图是一个梯形，下底为2a ，上底为2b ，高为(a －b )，其面积为12(2a ＋2b )(a －b )＝(a＋b )(a －b )，所以两个图验证了公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )．3．2－3m 由题意得此多项式为(m 2－2m )－(m 2＋m －2)＝m 2－2m －m 2－m ＋2＝2－3m . 4.14 由题意得m ＋5＝3，n ＝2，所以m ＝－2，所以n m ＝2－2＝122＝14. 5．10 m 2－n 2＝(m ＋n )(m －n )＝5×2＝10. 6.35 2x －2y ＝2x ÷22y ＝2x ÷4y ＝3÷5＝35. 7．解：(1)x 2＋(2x ＋1)＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2或x 2＋(x 2－2x )＝2x 2－2x ＝2x (x －1)或(2x＋1)＋(x 2－2x )＝2x ＋1＋x 2－2x ＝x 2＋1.(2)由(1)可知，概率为23.。
第2讲 整式及其运算
7．幂的运算法则(m，n都是整数，a≠0，b≠0)
8．整式乘法
9．乘法公式
(1)平方差公式： (2)完全平方公式： (a＋b)(a－b)＝a2－b2 ； ．
(a±b)2＝a2±2ab＋b2
10．整式除法
1．法则公式的逆向运用
法则公式既可正向运用，也可逆向运用．当直接计算有较大困难时，考虑逆向运 用，可起到化难为易的功效． 2．整式运算中的整体思想 在进行整式运算或求代数式值时，若将注意力和着眼点放在问题的整体结构上， 把一些紧密联系的代数式作为一个整体来处理．借助“整体思想”，可以拓宽解题 思路，收到事半功倍之效．整体思想最典型的是应用于乘法公式中，公式中的字母 a和b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式，如(x－2y＋z)(x＋2y－z)＝[x－(2y －z)][x＋(2y－z)]＝x2－(2y－z)2＝x2－4y2＋4yz－z2.
22a4b2；⑤(m－n)6÷(n－m)3＝(m－n)6－3＝(m－n)3. 剖析 幂的四种运算(同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除)是学 习整式乘除的基础，对幂运算的性质理解不深刻，记忆不牢固，往往会出现这样或 那样的错误．针对具体问题要分清问题所对应的基本形式，以便合理运用法则，对 符号的处理，应特别引起重视．
【点评】 (1) 直接利用完全平方公式以及平方差公式分别计算得出结果；
(2) 注意公式的变式及整体代入的思想．
[对应训练] －3． 4．(1)(2016·衡阳)已知a＋b＝3，a－b＝－1，则a2－b2的值为____ 1 ． (2)(2016·南充)如果x2＋mx＋1＝(x＋n)2，且m＞0，则n的值是____
1．(2016·呼和浩特)某企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了10%， 5月份比4月份增加了15%，则5月份的产值是( C )
第2讲 整式
（） ２ 括号外 的因式是 负数 ， 去括 号后式 子各项 的 ．
， ｎ一 （ 一 ｃ ６ ＋ ） 一
露
Ａ． ｍ ２
．
Ｂ． ２ 一 ｍ Ｃ ｎ ２
例 １ 化 简 ＋ 一 （ 研一 的 结 果 为 （ ）
反 之 也 成立 ．
（０ ８ 咸 宁） ２０ ，
３ 整式加减 ： ． 几个 整式 相加减 ， 常用括 号把 每 通
一
项， 即把它们的系数
和 部分不变．
作为新 的 系数 ， 而
２ 去括 号 和 添括 号 法 则 ．
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（） １ 括号外的因式是 正数 ， 去括 号后式 子各 项 的 符 号与原括 号内式子相应各项 的 符号与原括号 内式子相应各项的
即 日＋ （ 一 ｆ ６ ＋ ） 一
项 式 中 的 是
④乘法公式 ： （Ｉ） 平方 差公 式 ：口 ）ｎ ） （ ＋６ （ 一６ 一 ； Ⅱ） （ 完全平 方公 式 ：口 ） 一 （ ±６ ．
的积 的式子 叫做
； 单
⑤单项式相除 ， 把
它 的
与同底数幂分别
叫做 这个 单 项 式 系数 ； 有 字 母 的 所
作为商 的因式 ， 于只在被 除式 里有 的字母 ， 连同 对 则 作为商的一个 因式． ⑥多项式除以单项式 ， 先把这个多项式 的
叫做这个单项式 的次数． 单独 的一个数或 字母也
．
— —
（） ３ 几个 做多项式 的 最 高的项 的 （） ４
（） 含 ５所
， 叫做多项式 ， 中每个单项式 叫 其 ， 不含 字母 的项 叫做 ， 就是这个多项式 的 与 统称整式．
第02讲 整式(单项式与多项式)(9类热点题型讲练)(解析版)--初中数学北师大版7年级上册
第02讲整式(单项式与多项式)1.掌握单项式、多项式、整式的概念；2.掌握单项式的系数与次数和多项式的项数、系数与次数；3.掌握单项式的规律题的方法；4.掌握多项式的升幂、降幂排列方法.知识点01单项式的概念如mn 2-，23xy π，0，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．【注意】（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：2mn 可以写成mn 21。
但若分母中含有字母，如x1就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．知识点02单项式的系数与次数1.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数.2.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；（2）不能将数字的指数一同计算．知识点03多项式1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．2.多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．【注意】（1）多项式的每一项包括它前面的符号．（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：1-xx是一个三项式．22+33.多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．【注意】（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．知识点04整式单项式与多项式统称为整式．【注意】（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立．（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．题型01单项式的判断题型02单项式的系数、次数题型03写出满足某些特征的单项式题型04单项式规律题题型05多项式的判断题型06多项式的项、项数或次数【典例6】（2023秋·江苏·七年级专题练习）对于多项式256x x --，下列说法正确的是（）A ．它是三次三项式B ．它的常数项是6C ．它的一次项系数是5-D ．它的二次项系数是2【答案】C【分析】分别判断多项式的项数、次数、常数项，各项的次数和系数后，即可得到答案．【详解】解：A 、它是二次三项式，故选项错误；B 、它的常数项是6-，故选项错误；C 、它的一次项系数是5-，故选项正确；D 、它的二次项系数是1，故选项错误；故选：C ．【点睛】此题考查了多项式，熟练掌握多项式项数、次数、常数项，各项的次数和系数是解题的关键．题型07多项式系数、指数中字母求值的值是（题型08将多项式按某个字母升幂(降幂)排列题型09整式的判断一、单选题可发现含x 的项次数为从1开始的自然数，常数项为从1开始的自然数的平方，奇数项系数为负，偶数项系数为正，∴第n 个式子为()21nn x n +-⋅，故答案为：()21nn x n +-⋅．【点睛】本题考查了多项式的规律，解题的关键是从式子的各个部分出发寻找规律．三、解答题综上：a b +的值为11；（3）是，理由如下：∵项式4mx ny -是关于x ，y 的“青一多项式”，∴47m n k -=（k 为整数），∴47n m k =-，∴2323(47)14217(23)m n m m k m k m k +=+-=-=-，∴23m n +是7的整数倍，∴多项式23mx ny +也是关于x ，y 的“青一多项式”．【点睛】本题考查了多项式的系数，整倍数的分析，读懂题意，理解题目所给出的定义进行解答是关键．。
第02讲整式的加减(原卷版)
第02讲整式的加减1.同类项的概念：所含相同，相同字母的也相同的几项叫做同类项。
特别提示：①同类项中所含的字母可以看成是数，字母以及式子。
②同类项的两个相同与两个无关：即字母与相同字母的次数必须相同，与系数以及字母的顺序无关。
③同类项还可以描述为“可以合并”、“和或差仍为单项式”。
题型考点：①同类项的判断。
②根据同类项的定义求值。
【即学即练1】1．下列式子为同类项的是（）A．abc与ab B．xy与﹣xy C．3xy2与4x2y D．3x与3x2【即学即练2】2．单项式﹣x3y a与6x b y4是同类项，则a+b等于（）A．﹣7B．7C．﹣5D．5【即学即练3】3．下列各式中，能与3a2b3合并同类项的是（）A．2b2a3B．﹣3m2n3C．D．3a2b5【即学即练4】4．若单项式﹣x m+2y5与单项式6y2n﹣1x3的和仍为单项式，则2m ﹣n的值为（）A．6B．1C．3D．﹣1知识点02 合并同类项1.合并同类项的定义：把几个同类项合并为的运算叫做合并同类项。
2. 合并同类项的法则：一相加，两不变：即把同类项的 相加， 不变。
注意：只有同类项才能进行合并。
题型考点：合并同类项。
【即学即练1】5．计算x 2y ﹣3x 2y 的结果是（ ）A ．﹣2B ．﹣2x 2yC ．﹣x 2yD ．﹣2xy 2【即学即练2】6．化简：﹣6ab +ba +8ab 的结果是（ ）A ．2abB ．3C ．﹣3abD ．3ab知识点03 加括号与去括号1. 加括号：若加的括号前是“－”，则写进括号里的每一项均要 。
若加的括号前是“＋”，则只需把每一项照写。
即：-=-+-a d c b a （ ）；+=-+-a d c b a （ ）；2. 去括号：若括号前是“－”，则去掉“－”和括号，括号里每一项均要 ，若括号前是“＋”，则去掉“＋” 和括号，括号里的每一项照写。
即()=+--d c b a ； ()=+-+d c b a ；题型考点：①加括号与去括号。
第2讲 整 式
4．若整式 x2＋ky2(k 为不等于零的常数)能在有理数范围内因 式分解，则 k 的值可以是 (答案不唯一) (写出一个即可)．
5．已知 a＋b＝3，ab＝2，求代数式 a3b＋2a2b2＋ab3 的值．
复习一
幂的运算
同底数幂的乘法：am·an＝ am＋n (m，n 都是正整数)；
同底数幂的除法： am÷an＝ am－n (a≠0，m，n 都是正整数)；
幂的乘方：(am)n＝ amn (m，n 都是正整数)；
积的乘方：(ab)n＝ anbn (n 是正整数)．
0 次幂、负整数指数幂
若 a≠0，则 a0＝
1
；若 a≠0，p 为正整数，则 a－p＝
1 ap
．
复习一
1．计算(－a3)2 结果正确的是( )
A． a5
B．－ a5
C．－ a6
D． a6
2．下列运算正确的是( A． (a2)m＝ a2m C． a3· a－ 5＝ a－ 15
) B． (2a)3＝ 2a3 D． a3÷ a－ 5＝ a－ 2
复习二
3．整式的除法 (1)单项式除以单项 式：把系数与同底 数幂分别相除作 为商的 因式 ，对于只 在被除式里 含有的字母 ，则连同 它的指数作 为商的 一个因式； (2)多项 式除以单项式：用符号表示为 (am＋ bm＋ cm )÷m＝ a＋b＋c ． 4．乘法公式 (1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝ a2－b2 ； (2)完全平方公式：(a±b)2＝ a2±2ab＋b2 ．
复习二
1.指出下列单项式的系数和次数。 (1) –xy3 （2）3πab （3）-22y （4）5
2.指出下列多项式是几次几项式。 （1）a2-2a3b+b （2）a2-2ab+b2 （3）a2-2+ab2
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学
运算 同底数 幂相乘 同底数 幂相除 积的乘方 法则 am· an= ________(m,n为正整数)
am-n am÷an= ______( a≠0，m，n为正整 数) am+n
amn m，n为正整数) 幂的乘方 (am)n= ______(
(ab)n=
b n ) = a
nbn a ______(n为正整数)
商的乘方 (
bn _____( a≠0，n为正整数) an
学
1. 定义：把一个多项式化为几个整式的乘积的
形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因
式分解. 2. 因式分解的基本方法 (1)提公因式法：ma+mb+mc=
m(a+b+c) __________.
系数：取各项整数系数的最大公约数 指数：取各项相同字母的最低次数
公因式的确定 字母：取各项相同的字母
学
用
类型一 代数式求值
2 2 2005 若a -3b=5,则6b-2a +2015=_ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_____.
用
D
展
1 2
1 2
展
x(x+1)(x－1)
(a-1)2
(m+n)(x-y)
展
-13x8
展
测试
《互动中考》第10页： 双基训练1——10题
课堂小结
1、整式的考点 2、注意事项
学 用
考点二 整式的运算
1. 整式的加减法运算
指数 也 (1)同类项：所含字母相同，并且相同字母的______ 相同的项叫做同类项.常数项也是同类项. (2)合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做 合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同 不变 类项的系数的___ 和 ，字母连同它的指数_______.
第 2 讲 整式
2016
学 展 用
学
考点梳理考点一 整式的有关概念
1. 单项式：表示数或字母的积的式子叫做单项式．单独的
一个数或一个字母也是单项式．
(1)单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数； (2)一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式
的次数．
2. 多项式：几个单项式的和叫做多项式．其中，每个单项 式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．多项式 里，次数最高项的次数叫做这个多项式的次数． 3. 整式：单项式与多项式统称为整式.
学
(3)去括号法则：括号前是“-”号，去括号时 括号里的各项都改变符号；括号前是“+”号，
去括号时括号里的各项不改变符号.
(4)整式加减的运算法则：几个整式相加减， 如果有括号，就先去括号，然后再
合并同类项 ___________.
学
乘
3. 整式的乘法运算
单项式与 把它们的系数、同底数幂分别相乘，
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2； a2-2ab+b2 (a-b)2= ___________
学
单项式
除以单 项式
把系数与同底数幂分别相除作为商的因
式，对于只在被除式里含有的字母，则 连同它的指数作为商的一个因式 先把这个多项式的每一项除以这个单项 式，再把所得的商相加
多项式
除以单
项式
单项式相 对于只在一个单项式里含有的字母，
则连同它的指数作为积的一个因式
单项式与 用单项式去乘多项式的每一项，再
多项式相 把所得的积相加，即m(a+b+c)= 乘
ma+mb+mc ____________
学
多项式与多 项式相乘 先用一个多项式的每一项去乘另一个多 项式的每一项，再把所得的积相加，即 ma+mb+na+nb (m+n)(a+b)= _______________ 平方差公式：(a+b)(a-b)= 乘法公式 a2-b2 ______