概率练习2013.5.5
概率习题集详细答案
第一章 随机事件及其概率 习题1-1 随机事件及其运算1.写出下列随机试验的样本空间.(1)同时抛两枚硬币，观察正面朝上的次数； 解 {}10,1,2Ω=(2)同时掷两枚骰子，观察两枚骰子出现的点数之和； 解 {}22,3,,12Ω=(3)生产产品直到得到10件正品为止，记录生产产品的总件数； 解 {}310,11,Ω=(4)在某十字路口上，一小时内通过的机动车辆数. 解 {}40,1,2,Ω=2.设,,A B C 为3个随机事件，试用,,A B C 的运算表示下列事件. (1) ,A B 都发生而C 不发生；ABC(2),A B 至少有一个发生而C 不发生；()A B C (3),,A B C 都发生或都不发生； ()()ABC ABC (4) ,,A B C 恰有两个发生； ABC ABC ABC (5) ,,A B C 至少有两个发生. AB AC BC 3.请用语言描述下列事件的对立事件： (1)A 表示“抛两枚硬币，都出现正面”； 解 A 表示“抛两枚硬币，至少出现一个反面”； (2)B 表示“生产4个零件，至少有一个合格”； 解 B 表示“生产4个零件，全都不合格”.4.从一批灯泡中任取4个进行检验，设i A 表示“第i 个灯泡的使用寿命在800小时（含800小时）以上”.试用语言描述下列随机事件： (1) 1234A A A A ； (2) 1234A A A A ；解 (1)表示4个灯泡中至少有一个灯泡的使用寿命在800小时以上.（2）表示第1、第4两个灯泡的使用寿命在800小时以上，而第2、第4两个灯泡的使用寿命不足800小时.5设Ω为随机试验的样本空间，,A B 为随机事件，且{}05x x Ω=≤≤，{}12A x x =≤≤，{}02B x x =≤≤.试求：,,,A B AB B A A - .解 利用集合的运算性质可得{}02A B x x =≤≤ ； {}12AB x x =≤≤{}01B A x x -=≤<； {}0125A x x x =≤<<≤或习题1-2 随机事件的频率与概率古典概型与几何概型1.设()()()0.7,0.6,0.3P A P B P A B ==-=，求()()(),,P AB P A B P AB . 解 由于()()()0.3P A B P A P AB -=-=，而()0.7P A =，则()0.4P AB =所以 ()()10.6P AB P AB =-= ； ()()()()0.9P A B P A P B P AB =+-=()()()10.1P AB P A B P A B ==-=2.设事件,A B 及和事件A B 的概率分别为0.4,0.3和0.6，试求()P AB 解()()()()()()()P AB P A P AB P A P A P B P A B =-=-+-⎡⎤⎣⎦()()0.60.30.3P A B P B =-=-=3.已知()()()()()()11,,14,112,036P A P B P C P AC P BC P AB ======，求:(1),,A B C 至少有一个发生的概率；(2),,A B C 全不发生的概率.解 因为AB ABC ⊂，所以有()()0=≤AB P ABC P ， 所以,,A B C 至少有一个发生的概率()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+12701211210416131=+---++=. ,,A B C 全不发生的概率()()()75111212P ABC P A B C P A B C ==-=-=4.将3个球随机地投入4个盒子中，求下列事件的概率：(1)A 表示“任取3个盒子中各有一个球”； (2)B 表示“任取1个盒子中有3个球”.解 (1)基本事件总数3464n ==,A 包含的基本事件数343!24A r C =⋅=，()243648A r P A n ===. (2) 基本事件总数3464n ==,B 包含的基本事件数144B r C ==，()416416B r P B n===5.从0,1,…,9中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：(1)3个数字中不含0与5的概率；(2)3个数字中不含0或5的概率.解 设A 表示“3个数字中不含0与5”; B 表示“3个数字中不含0或5”.基本事件总数310n C =,其中A 包含的基本事件数38A r C =,则()38310715C P A C ==;B 包含的基本事件数333998B r C C C =+-,()339831021415C C P A C -==6.袋中有7个球，其中红球5个，白球2个，从袋中取球两次，每次随机地取一个球，取后不放回，求：(1)第一次取到白球、第二次取到红球的概率； (2)两次取得一红球一白球的概率.解 设A 表示“第一次取到白球，第二次取到红球”， 设B 表示“第一次取到白球，第二次取到红球”.(1)基本事件总数7642n =⨯=,A 包含的基本事件数2510A r =⨯=， 于是 ()1054221A r P A n ===. (2)基本事件总数7642n =⨯=,“两次取得一红球一白球”有两种情形：其一，第一次取得红球第二次取得白球，有52⨯种取法；其二，第一次取得白球，第二次 取得红球，有25⨯种取法，于是B 包含的基本事件数522520B r =⨯+⨯=， 故 ()20104221B r P B n === 7.10把钥匙中有3把能打开门，现任取2把，求能打开门的概率.解 设A 表示“任取2把能打开门”，基本事件总数210n C =，A 包含的基本的事件数为112373A r C C C =+，则()122373210815A C C C r P A n C +===习题1-3 条件概率1.设()0.5P A =，()0.3P AB =，求()P B A .解 由()()10.5P A P A =-=，()()()0.3P AB P A P AB =-=，得()0.2P AB =，则()()()0.20.40.5P AB P B A P A ===2.设()13P A =，()14P B A =，()13P A B =，求()()()()()()()()B A P B P AB P AB P 43,2,1. 解 ()()()1113412P AB P A P B A ==⨯=，()()121112111=-=-=AB P AB P由 ()()()13P AB P A B P B ==，得()14P B =，则()()()()()()()()[]()3241112141311111=-⎪⎭⎫⎝⎛-+-=--+-=-⋃==B P AB P B P A P B P B A P B P B A P B A P 3.100件同类型产品中有85件一等品，10件二等品和5件次品，求从中任取一件非次品的条件下，产品为一等品的概率.解 设A 表示“任取一件为非次品”，B 表示“任取一件为一等品” 由题意得：()()0.95,0.85,P A P B B A ==⊂， ()()()()()0.85170.9519P AB P B P B A P A P A ====4.用3台机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分别为0.5,0.3,0.2，各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94,0.9,0.95，求全部产品中的合格率.解 设i A 表示“从全部产品中任取一件为第台i 机床生产”（1,2,3i =），B 表示“从全部产品中任取一件是合格品”，则()()()1230.5,0.3,0.2P A P A P A ===，()10.94P B A =，()20.9P B A =，()30.95P B A =，由全概率公式得，()()()30.50.940.30.90.20.950.93i i i P B P A P B A ==⨯+⨯+⨯=∑5.某工厂中，三台机器分别生产某种产品总数的25%,35%,40%，它们生产的产品中分别有5%,4%,2%的次品，将这些产品混在一起，现随机地取一产品，问它是次品的概率是多少？又问这一次品是由三台机器中的哪台机器生产的概率最大？解设1A 表示“任取一件产品为第i 台机器生产”（1,2,3i =），B 表示“任取一件产品，它是次品”，则()()()12325%,35%,40%P A P A P A ===，()15%P B A =，()24%P B A =，()32%P B A =，由全概率公式得()()()325%5%35%4%40%2%0.0345i i i P B P A P B A ==⨯+⨯+⨯=∑再由贝叶斯公式得 ()()()()11125%5%0.36230.0345P A P B A P A B p B ⨯==≈()()()()22235%4%0.40580.0345P A P B A P A B p B ⨯==≈，()()()()33340%2%0.23190.0345P A P B A P A B p B ⨯==≈所以这一次品是由第二台机器生产的概率最大.习题1-4 事件的独立性 1.设()()0.4,0.7P A P A B == ，在下列条件下分别求()P B . (1)A 与B 互不相容；(2)A 与B 相互独立；(3)A B ⊂. 解 (1)由于A 与B 互不相容，所以()()()P A B P A P B =+ ， 则()()()0.3P B P A B P A =-= .（2）设A 与B 相互独立，则()()()P AB P A P B =，()()()()P A B P A P B P AB =+-()()()()0.7P A P B P A P B =+-=，又()0.4P A =，即得()0.5P B =.（3）由于A B ⊂， A B B = ，即()()0.7P B P A B ==2.甲、乙两人独立地各向同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.7，求目标被击中的概率.若已知目标被击中，求它是甲射中的概率.解 设1A 表示“甲命中目标”，2A 表示“乙命中目标”，B 表示“目标被命中”，所求概率为()P B 和()1P A B .已知()()120.6,0.7P A P A ==，1A 与2A 相互独立，12B A A = ，则()()()()()()2212120.60.70.420.88P B P A A P A P A P A P A ==+-=+-= .()()()()()111150.681822P A B P A P A B P B P B ===≈ 3.设事件A 与B 相互独立，且事件A 发生B 不发生与事件B 发生A 不发生的概率都为41， 求()A P解 由题意，()()B A P B A P = 因为A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B 也相互独立()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()B P A P B P A P B P B P A P A P B P A P B P A P B P A P B P A P B A P B A P =⇒-=--=-==11()()()()()()()()()21412=⇒=-=-==A P A P A P B P A P A P B P A P B A P 4.有一题，甲、乙、丙三人独立解出的概率分别为111,,534，问解出此题的概率是多少？解 设1A 表示“甲独立解出此题”，2A 表示“乙独立解出此题”，3A 表示“丙独立解出此题”，B 表示“此题被解出”. ()()()()12312312311P B P A A A P A A A P A A A ==-=-()()()1234233115345P A P A P A =-=-⋅⋅=.5.进行一系列独立试验，每次试验成功的概率为p ，求：（1）第k 次才成功的概率；（2）n次试验中恰有k 次成功的概率.（1）{}()()()()()()11211211k k k k k P k P A A A A P A P A P A P A p p ---===- 第次才成功. (2) {}()()1n kk k n n P n k P k C p p -==-次试验恰有次成功习题1-5 第一章习题课1. 设41)(=A P ，52)(=B P ，在下列情况下，求概率)(B A P . （1）A 、B 互不相容 （2）B A ⊂ （3）A 与B 独立 （4）81)(=AB P 解：由分析知（1）52)()(==B P B A P (2) 2034152)()()(=-=-=A P B P B A P(3)1035243)()()(=⨯==B P A P B A P (4) 40118152)()()(=-=-=AB P B P B A P2.设()()P AB P AB =，且()P A p =，求()P B .解 ()()()()()()11P AB P A B P A B P A P B P AB ==-=-+-⎡⎤⎣⎦ 又因为()()P AB P AB =，所以有()()11P B P A p =-=- 3.从4双不同的手套中任取4只，求下列事件的概率，(1)4只没有成对； (2)4只恰好为2双.解 从4双(8只)中任取4只,共有4870n C ==种,设A 表示“取到的4只没有成对”,则B 表示“取到的4只恰好为2双”,则A 的基本事件数为1111222216C C C C ⋅⋅⋅=,B 的基本事件数为624=C()11112222481687035C C C C P A C ===. ()3534824==C C B P4.有10件产品，其中8件正品，2件次品，现从中无放回地任取两次，求在第二次取得是正品条件下，第一次取得也是正品的概率.解：用A 表示“第一次取得是正品”，A 表示“第一次取到是次品”，用B 表示“第二次取得正品”所求问题为()B A P由题意知 ()()()98,97,541918191711018======C C A B P C C A B P C C A P由全概率公式()()()()()()()5498519754=⨯+⨯=+=+=B A P A P B A P A P B A P AB P B P由贝叶斯公式()()()()()()97549754=⨯===B P A B P A P B P AB P B A P5.有两批相同的产品，第一批产品共14件，其中2件次品，装在第一个箱中，第二批产品共有10件，其中1件次品，装在第二个箱子，从第一个箱中任取一件放入第二箱中，求再 从第二箱中任取一件为次品的概率.解 设1A 表示“从第一箱放入第二箱是次品”，2A 表示“从第一箱放入第二箱是正品”B 表示“从第二箱任取一件为次品”，由题意知：()()76,711141122114121====C C A P C C A P()(),111,112111112111121====C C A B P C C A B P由全概率公式()()()()()77811176112712211=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P6.从学校乘汽车到火车站的途中有5个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，求从学校乘汽车到火车站遇到两次红灯的概率. 解：在各交通岗遇到红灯是独立的，故可以看成5重贝努里试验，4.0=p 用A 表示“从学校乘汽车到火车站遇到两次红灯”()()()3456.04.014.03225=-=C A P第二章 随机变量及其分布 习题2-1 随机变量及其分布函数 离散型随机变量的概率分布1. 已知随机变量X 只能取-1, 0, 1, 2这四个值，相应的概率依次为1357,,,24816c c c c ，确定常数c ，解由归1167854321=+++c c c c ，1637=c . 2.已知离散型随机变量X 的分布函数为()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤≤≤<≤--<=3,131,8.010,6.001,3.01,0x x x x x x F ，求X 的概率分布.解 ()x F 的跳跃点分别为3,1,0,1-，对应的跳跃高度分别为2.0,2.0,3.0,3.0 故X 的概率分布为10130.30.30.20.2X p -3．已知随机变量X 的概率分布为且()432=≥X P ，求未知参数θ及X 的分布函数. 解：由归一性知，()(),111222=-+-+θθθθ且()012≥-θθ{}{}{}()()431123222=-+-==+==≥θθθX P X P X P ， 解得 21,21-==θθ（舍去) X 的分布函为()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=3,132,4321,411,0x x x x x F 4. 5件同类型的产品中有2件次品，3件正品，有放回的每次取一个，共取2次，求2次中取到次品的次数X 的概率分布. 解：X 的所有可能取值为2,1,0339{0}5525P X ==⨯=，233212{1}555525P X ==⨯+⨯=，224{2}5525P X ==⨯=，列表如下，0129124252525PX()()22123211X P --θθθθ5. 某电话交换台的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求： （1）每分钟恰有8次呼唤的概率；（2）每分钟的呼唤次数超过10次的概率.解 设X 表示每分钟收到的呼唤次数，则~(4)X P ，（1）448944{8}{8}{9}0.298!!∞∞--====≥-≥=-=∑∑k k k k P X P X P X e e k k （2）4114{10}0.0028!k k P X e k ∞-=>==∑ 习题2-2 连续型随机变量及其概率分布1．设随机变量X 的概率密度为cos ,,()20,k x x f x π⎧≤⎪=⎨⎪⎩其它.求（1）系数k ；（2）{0}P x π<<；（3）X 的分布函数()F x .解（1）由()cos 1ππ+∞2-∞-2==⎰⎰f x dx k x dx ，得12k =； （2）2011{0}cos 22P x x dx ππ<<==⎰； （3）0,,21()=(sin 1),,2221,.2x F x x x x ππππ⎧<⎪⎪⎪+-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩2. 设随机变量X 的分布函数为0,0,(),01,1, 1.x F x k x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩求（1）系数k ；（2）{00.25}P X ≤≤；（3）X 的概率密度()f x .解 （1）连续型随机变量的分布函数是处处连续的，(),lim lim 11k x k x F x x ==++→→(),1lim 1=-→x F x 即()()1lim lim 11===-+→→k x F x F x x ；（2）()()1{00.25}0.2500.2502P X F F ≤≤=-=-=；（3）()()1,01,()20,x f x F x x⎧<<⎪'==⎨⎪⎩其它.3. 设随机变量~[2,5]X U ，求（1）{23}P X <≤；（2）{4}P X ≥；（3）{13}P X <≤.解 （1）321{23}523P X -<≤==-；（2）541{4}523P X -≥==-；（3）321{13}523P X -<≤==-. 4. 设~(1,16)X N -，求（1）{ 2.44}P X <；（2）{ 1.5}P X >-；（3）{4}P X <； （4）{52}P X -<<.（1） 2.441{ 2.44}()(0.86)0.80514P X +<=Φ=Φ=； （2）()1.51{ 1.5}1( 1.5)1()10.125(0.125)0.54784P X P X -+>-=-≤-=-Φ=-Φ-=Φ=；（3）{4}{44}(1.25)(0.75)(1.25)(0.75)10.6678P X P X <=-<<=Φ-Φ-=Φ+Φ-=； （4）2151{52}(0.75)(1)0.614744P X +-+⎛⎫⎛⎫-<<=Φ-Φ=Φ-Φ-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.5.设顾客在某银行窗口等待服务的时间X （单位：min ）具有概率密度51,0,()50,0.xe xf x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩某顾客在窗口等待服务，若超过10 min ，他就离开.（1）求该顾客未等到服务而离开窗口的概率；（2）若该顾客一个月内要去银行5次，用Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数，求{1}P Y ≥.解（1）251{10}510x p P X e dx e -+∞-=>==⎰； （2）2~(5,)Y B e -，20255{1}1{0}1()(1)0.5167P Y Y C e e --≥=-==--≈.习题2-3 随机变量函数的分布1.设随机变量X 的分布律为210111116434X P--求 2YX =+及21Z X =-的分布律.012311116434Y P；301111623Z P-2. 设随机变量X 的分布律为02111244X Pππ求 cos Y X =的分布律.101111244Y P-3. 设随机变量X 服从参数为2的指数分布，求3Y X =的概率密度.解：X 的密度函数为()⎩⎨⎧≤≥=-0,00,22x x e x f x ，3Y X =在[)+∞,0内单调函数，反函数为()3y y h =在[)+∞,0内单调函数，导数()3231-='y y h ，值域为[)+∞,0()()132232,0,0,()30,00,0.y X Y f h y h y y y e y f y y y --⎧⎧'⋅≥⎡⎤≥⎪⎪⎣⎦==⎨⎨<⎪⎪⎩<⎩4. 设随机变量~[0,1]X U ，求XY e =及ln Z X =-的概率密度.解：X 的密度函数为()⎩⎨⎧≤≤=others x x f ,010,1x e y =在[]1,0是单调函数，反函数为()y y h ln =在[]e ,1是单调函数，导数为()yy h 1='，值域为[]e ,1，则Y 的密度函数为()()1,1,,1()0,0,.X Y y e f h y h y y e y f y ⎧⎧'≤≤⋅≤≤⎡⎤⎪⎪⎣⎦==⎨⎨⎪⎪⎩⎩其他其它xz ln -=在()1,0是单调函数，反函数为()z e z h -=在[)+∞,0是单调函数，导数为()z e z h --='，()(),0,0,,0,()0,0.0,00,0.z z X Z f h z h z z e z e z f z z --⎧⎧'≥-≥⎡⎤⎧≥⎪⎪⎣⎦==⎨⎨⎨<<<⎪⎩⎪⎩⎩z z =5. 设随机变量()~0,1X N ，求Y X =的概率密度. 解：X 的概率密度函数为()()+∞<<∞-=-x e x f x X 2221π,0≥=X Y先求Y 的分布函数()y F Y ，当0≤y 时，(){}0=≤=y Y P y F Y ；当0>y 时，(){}{}{}()()y F y F y X y P y X P y Y P y F X X Y --=≤≤-=≤=≤=， 于是Y X =的概率密度为()()()()222222111,0,0()220,00,02,0,0,0.y y X X Y Y y f y f y y e e y f y F y y y e y y ---⎧--⋅->⎧+>⎪⎪'===⎨⎨≤⎪⎩⎪≤⎩⎧>⎪=⎨⎪≤⎩πππ习题2-4 第二章习题课1.选择题（1）设()x f 1为()1,0N 的概率密度，()x f 2为[]3,1-U 的概率密度，若()()()⎩⎨⎧>≤=0,0,21x x bf x x af x f 为概率密度()0,0>>b a ，则b a ,满足___. （A ） (A) 432=+b a (B) 324a b += (C) 1=+b a (D) 2=+b a（2）设随机变量()~2,X B p ，随机变量()p B Y ,3~，若()951=≥X P ，则()=≥1Y P .（A ） (A)1927 (B) 89 (C) 1627(D)19（3）设随机变量~[2,4]X U ，则{34}___P X <<=.（A ）(A) {2.25 3.25}P X << (B) {1.5 2.5}P X << (C) {3.5 4.5}P X << (D) {4.5 5.5}P X <<（4）设随机变量X 的概率密度为2(1)81()22x f x e π+-=，则~___X .（B ）(A) (1,2)N - (B) (1,4)N - (C) (1,8)N - (D)(1,16)N -2.填空题 2λ=（1）设X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，且1{0}{2}2P X P X ===，则__λ=. 解：{} ,2,1,0,!===-k e k k X P k λλ1{0}{2}2P X P X ===2281!221!0220=⇒=⇒⨯=⇒--λλλλλλe e（2）设随机变量X 的概率密度为2,10,()0,10.ax f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩ 则常数__.a =10a =解：由归一性，()11010lim 10102==⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==+∞→+∞∞+∞+∞-⎰⎰a a x a x a dx x a dx x f x 10=a（3）设随机变量~(2,4)X N ，则{2}___.P X ≤=0.5 解：{}()5.00222222=Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=≤X P X P（4）设随机变量X 的分布函数为()x F ，则随机变量13+=X Y 的分布函数()=y G . 解：(){}{}⎪⎭⎫⎝⎛-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤=≤+=≤=313113y F y X P y X P y Y P y G 3.袋中有2个白球3个黑球，现从袋中随机地抽取2个球，以X 表示取到的白球个数，求X 的分布律.解：X的所有取值为2,1,0{}{}{}1013,1061,103025222513122523=========C C X P C C C X P C C X P012361101010XP4. 设连续型随机变量X 的分布函数为(1),0,(),01,1, 1.x x Ae x F x B x Ae x --⎧<⎪=≤<⎨⎪-≥⎩（习题B 第十题）求：（1）,A B 的值；（2）X 的概率密度；（3）1{}3P X >.解 （1）由于连续型随机变量的分布函数()F x 为连续函数，因此考查()F x 在0,1x x ==两点的连续性，有0lim ()lim xx x F x Ae A --→→==，00lim ()lim x x F x B B ++→→==，得A B =； 又11lim ()lim x x F x B B --→→==,(1)11lim ()lim(1)1x x x F x Ae A ++--→→=-=-,得1B A =-；则12A B ==于是(1)1,0,21(),01,211, 1.2xx e x F x x ex --⎧<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩（2）(1)1,0,2()()0,01,1, 1.2xx e x f x F x x e x --⎧<⎪⎪'==≤<⎨⎪⎪≥⎩ （3）11111{}1{}1()133322P X P X F >=-≤=-=-= 或(1)113111{}()322x P X f x dx e dx +∞+∞-->===⎰⎰. 5. 设随机变量[]6,0~U X ，求方程04522=-++X Xt t 有实根的概率.解：X 的概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=othersx x f ,060,61使方程04522=-++X Xt t 有实根，0≥∆()()()()(),0414454454222≥--=+-=--=∆X X X X X X即4≥X 或1≤X方程有实根的概率为{}{}216161141064=+=≤+≥⎰⎰dx dx X P X P第三章 多维随机变量及其分布 习题3-1 二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量1. 袋中有1个红球，2个黑球与3个白球，现有放回地从袋中去两次，每次取一球以Y X ,分别表示从袋中两次取球所得的红、黑球个数，(1)求二维随机变量()Y X ,的联合概率分布律；(2)求{}1,2≤≤Y X P .解：X 的可能取值为0,1,2，Y 的可能取值为0,1,2{}{}{}9162622,0,31263621,0,4163630,0=⨯====⨯⨯====⨯===Y X P Y X P Y x P{}{}{}02,1,91262611,1,61263610,1====⨯⨯====⨯⨯===Y X P Y X P Y X P .{}{}{}02,2,01,2,36161610,2=======⨯===Y X P Y X P Y X P联合分布律为{}{}{}{}{}{}{}984161361319100,00,10,21,01,11,21,2=+++++===+==+==+==+==+===≤≤Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X PXX012111046361110391292. 2. 盒中有2个红球，1个白球和2个黑球，从中取2个，设,X Y 分别为取出的红球数和白球数，求二维随机变量(,)X Y 的联合分布律及边缘分布律. 解：X 的可能取值为0,1,2，Y 的可能取值为0,1{}{}{},520,1,511,0,1011,02512122512112522============C C C Y X P C C C Y X P C C Y X P{}{}{}01,2,1010,2,511,12512251112===========Y X P C C Y X P C C C Y X P0131101051032115551120101032155i jp p ⋅⋅3. 已知{}{}2121====X P X P ，当事件{}k X =发生时()2,1=k ，⎪⎭⎫ ⎝⎛=31,~k B k X Y ，求二维随机变量()Y X ,的联合概率分布律.解 当1=k 时，{}{}31323111,3232311001112001=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎪⎭⎫ ⎝⎛===C X Y P C X Y P则有{}{}{}3132211010,1=⨯=======X Y P X P Y X P {}{}{}6131211111,1=⨯=======X Y P X P Y X P当2=k 时{}{}94323121,9432312011122002=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛===C X Y P C X Y P{}913122222=⎪⎭⎫ ⎝⎛===C X Y P 则有{}{}{}9294212020,2=⨯=======X Y P X P Y X P {}{}{}9294212121,2=⨯=======X Y P X P Y X P{}{}{}18191212222,2=⨯=======X Y P X P Y X PYX()Y X ,的联合分布律为18192922061311210习题3-2 二维连续型随机变量的分布1. 设随机变量(,)X Y 的概率密度为()()⎩⎨⎧≤≤≤≤--=其它,042,20,6,y x y x k y x f （1）确定常数k ；（2）求{}3,1<<Y X P ；（3）求{4}P X Y +≤；(4)求{}5.1≤X P . 解：(1)由归一性()()dx y xy y k dxdy y x k dx dxdy y x f ⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--==∞+∞-∞+∞-242242202166,1 ()[]81862620220=⇒=-=-=⎰k k x x k dx x k （2）{}()()836816813.1103213=--=--=<<⎰⎰⎰⎰∞-∞-dxdy y x dxdy y x Y X P （3）{}()()⎰⎰⎰⎰=--=--=≤∞-+∞∞-5.10425.132276816815.1dy y x dx dxdy y x X P2. 设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由2,1y x x ==及0y =所围成的区域，求：（1）(,)X Y 的联合概率密度；（2）1{0,01}2P X Y <<<<. 解 （1）1,01,02(,)0,.x y x f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它；（2）1114{0,01}214P X Y <<<<==.3. 设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为21,01,02,(,)30,x xy x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.求：（1）关于X 和Y 的边缘概率密度；（2）{1}P X Y +≥.XY解 当01x ≤≤时，222012()(,)()233X f x f x y dy x xy dy x x +∞-∞==+=+⎰⎰；当0x <或1x >时，()(,)00X f x f x y dy dy +∞+∞-∞-∞===⎰⎰，则 222,01,()30X x x x f x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩，其它.， 同理，11,02,()360+Y y y f y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩，其它.（2）12201165{1}()372xP X Y dx x xy dy -+≥=+=⎰⎰. 习题3-3 随机变量的独立性1. 设随机变量(,)X Y 的联合分布律为23111191821139αβ问：当,αβ取何值时，X 和Y 相互独立.解 若X 和Y 相互独立，则 {1,3}{1}{3}P X Y P X P Y ====⋅=，即 11111=()()18918189α+++，16=α.由概率的规范性，得 1111191839+++++=αβ，则29=β.2. 已知二维随机变量(,)X Y 的联合分布律为已知随机事件{}0=X 与{}1=+Y X 相互独立，求常数b a ,. 解：由归一性得 5.011.04.0=+⇒=+++b a b a （1）{}{}{}a Y X P Y X P X P +===+====4.01,00,00， {}{}{},0,11,01b a Y X P Y X P Y X P +===+====+ {}{}{}{},1,010a y X P Y X X P =====+⋂=X Y XY0100.410.1a b根据题意得{}{}{}{}{}1010=+⨯===+⋂=Y X P X P Y X X P 即 ()()b a a a +⨯+=4.0 （2） 由(1),(2)两式解得 1.0,4.0==b a 3. 二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为8,01,(,)0,xy x y f x y <<<⎧=⎨⎩其它.判断X 和Y 是否相互独立. 解 当01x <<时，13()(,)844X xf x f x y dy xydy x x +∞-∞===-⎰⎰，则 344,01,()0.X x x x f x ⎧-<<=⎨⎩，其它，当01y <<时，20()(,)84yY f y f x y dx xydx y +∞-∞===⎰⎰，则 24,01,()0,.Y y y f y ⎧<<=⎨⎩其它，(,)()()X Y f x y f x f y ≠⋅ ，∴X 和Y 不相互独立4. 设随机变量X 和Y 相互独立且服从相同的分布，其概率密度为2,01,()0,x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它.求{1}P X Y +≤.解 由题意得()Y X ,的联合密度函为()()()⎩⎨⎧≤≤==其他,010,4,x xy y f x f y x f Y X11011{1}(,)46xx y P XY f x y dxdy dx xydy -+≤+≤===⎰⎰⎰⎰.习题3-4 两个随机变量的函数的分布1. 设随机变量X 和Y 相互独立，分布律分别为010.60.4X P1010.20.30.5Y P-求1Z X Y =+，2Z XY =和3min(,)Z X Y =的分布律.Y解 (,)X Y 的边缘分布和联合分布表为10100.120.180.30.610.080.120.20.40.20.30.51-，从而 110120.120.260.420.2Z P-21010.080.720.2Z P - 31010.20.60.2Z P-2. 二维随机变量(,)X Y 的联合分布律为0100.10.310.30.3求 X Y +和XY 的分布律.解0120.10.60.3X YP+ 010.70.3XY P3. 设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从区间[0,1]上的均匀分布，求1{}2P X Y +≤.解 因为X 和Y 相互独立，则()Y X ,的联合密度函数为()()()⎩⎨⎧≤≤≤≤==其他,000,10,1,y x y f x f y x f Y X 111222000111{}1228x P X Y dx dy x dx -⎛⎫+≤==-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰4. 设随机变量X 和Y 相互独立且服从相同的分布，其概率密度为2,01,()0,x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它.求{1}P X Y +≤.解：X 和Y 相互独立，则Y X +也服从正态分布，则()34,1~N Y X Z +={}()2101341134111=Φ-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-+-=≥+Y X P Y X P XYX习题3-5 第三章习题课1.填空题（1）设~(1,2),~(1,3)X N Y N -，且X 与Y 相互独立，则2~___X Y +.（2）已知二维随机变量(,)X Y 服从区域:01,02G x y ≤≤≤≤上的均匀分布，则{1,P X ≤1}___Y ≤=.122. 设(,)X Y 的概率密度为1124,0,0,(,)230,.xy x y f x y ⎧≤≤≥≤⎪=⎨⎪⎩其它 判断X 与Y 是否相互独立？解 当102x ≤≤时，1123300()24124X f x xy dy xy x ===⎰当0x <或12x >时，()0X f x = 则X 的概率密度为 14,0,()20,.X x x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它；当103y ≤≤时，1122200()24126Y f y xy dx yxy ===⎰当0y <或13y >时，()0Y f y =， 则Y 的概率密度为 16,0,()30,.Y y y f y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它显然，(,)()()X Y f x y f x f y =，X 与Y 相互独立.3. 盒中有2个红球3个白球，从中每次取一球，连续取两次，有放回，记,X Y 分别表示第一次与第二次取出的红球个数，求(,)X Y 的联合分布律与边缘分布律. 解 339{0,0}5525P X Y ===⋅=，326{0,1}5525P X Y ===⋅=，236{1,0}5525P X Y ===⋅=，224{1,1}5525P X Y ===⋅=， 则(,)X Y 的联合分布律与边缘分布律为196302525564212525532155i jp p ⋅⋅4. 设(,)X Y 的分布律为35111155131510q p-1- 问,p q 为何值时X 与Y 相互独立？解：要使X 与Y 相互独立，则需{}{}{}515,1=-===-=Y P X P Y X P⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⇒103515115151q 152=⇒q ，{}{}{}515,1=====Y P X P Y X P 1011035110351103=⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⇒p p 容易验证当152.101==q p 时，对Y X ,的所有取值都有..j i ij p p p ⋅=成立。
概率练习题(含答案)
概率练习题（含答案）1 解答题有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用（x，y）表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点数.试写出：（1）试验的基本事件；（2）事件“出现点数之和大于3”；（3）事件“出现点数相等”.答案（1）这个试验的基本事件为：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）（2）事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）（3）事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）2 单选题“概率”的英文单词是“Probability”，如果在组成该单词的所有字母中任意取出一个字母，则取到字母“b”的概率是1. A.2. B.3. C.4. D.1答案C解析分析：先数出单词的所有字母数，再让字母“b”的个数除以所有字母的总个数即为所求的概率．解答：“Probability”中共11个字母，其中共2个“b”，任意取出一个字母，有11种情况可能出现，取到字母“b”的可能性有两种，故其概率是；故选C．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m 种结果，那么事件A的概率P（A）=．3 解答题一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球.现从口袋中每次任取一球，每次取出不放回，连续取两次.问：（1）取出的两只球都是白球的概率是多少？（2）取出的两只球至少有一个白球的概率是多少？答案（1）取出的两只球都是白球的概率为3/10；（2）以取出的两只球中至少有一个白球的概率为9/10。
概率练习题_概率自测题第五章
第五章一、填空题1． 0.7， 0.3；2．α31=+β ，92， 91；3． ⎩⎨⎧∈=.,0,),(,6),(其它G y x y x f ；4．二维正态分布； 二、选择题1． C 2． B 3． C 三、计算题1．由题设可知},{j Y i X ==的取值情况为4,3,2,1=i ，i j ≤。
有},{j Y i X P ==}|{}{i X j Y P i X P ==⋅==i141⋅=，4,3,2,1=i ，i j ≤。
),(Y X 的联合分布律为X 的边缘分布律为Y 的边缘分布律为2． 解：⑴ ),(Y X 的所有可能取值为)2,0(，)3,0(，)1,1(，)2,1(，)0,2(，)1,2(。
由题意有}2,0{==Y X P 310112702C C C C ⨯⨯=12021=，}3,0{==Y X P 310013702C C C C ⨯⨯=12035=， }1,1{==Y X P 310111712C C C C ⨯⨯=12014=，}2,1{==Y X P 310012712C C C C ⨯⨯=12042=， }0,2{==Y X P 310110722C C C C ⨯⨯=1201=，}1,2{==Y X P 310011722C C C C ⨯⨯=1207=， 则),(Y X 的联合分布律为⑵由题意知故X故Y 的边缘分布律为⑶取),(Y X 的可能取值)2,0(，由于}2{}0{)2,0(==≠==Y P X P Y X P ，所以X 与Y 不独立.3． 解：⑴ 先求关于X 的边缘密度函数)(x f X ⎰∞+∞-=dy y x f ),(⎪⎩⎪⎨⎧<<-==⎰.,0,10,44831其它x x x xydy x即)(x f X ⎩⎨⎧<<-=.,0,10,443其它x x x .再求关于Y 的边缘密度函数)(y f Y ⎰∞+∞-=dx y x f ),(⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰.,0,10,4830其它y y xydx y即)(y f Y ⎩⎨⎧<<=.,0,10,43其它y y⑵}1{≤+Y X P ⎰⎰-=2101]8[x xdx xydy 61=⑶当10,0<<<<y y x 时，≠),(y x f )(x f X )(y f Y ，故X 与Y 不独立. 4．解 ⑴ 由1),(=⎰⎰∞+∞-∞+∞-dxdy y x f 可得=⎰⎰∞+∞++-0)43(][dy dx ke y x =⎰⎰∞+∞+--043dy e dx e k y x 112=k，故12=k ； ⑵}20,10{≤≤≤≤Y X P ⎰⎰+-=120)43(]12[dx dy e y x==⎰⎰--124312dy e dx ey x)1)(1(83----e e 。
概率统计中的条件概率计算练习题
概率统计中的条件概率计算练习题在概率统计中，条件概率是指在已知事件B发生的情况下，事件A 发生的概率。
通过条件概率的计算，我们可以进一步了解事件之间的关联性，并应用于实际问题的解决中。
以下是一些条件概率计算的练习题，通过解答这些题目，能够帮助我们更好地理解条件概率的概念和计算方法。
练习题1：某学校有500名学生，其中300人喜欢足球，200人喜欢篮球，100人既喜欢足球又喜欢篮球。
现从中随机选取一名学生，求该学生既喜欢足球又喜欢篮球的概率。
解答1：设事件A为选中的学生喜欢足球，事件B为选中的学生喜欢篮球。
根据题目可知，P(A)=300/500=0.6，P(B)=200/500=0.4，P(A∩B)=100/500=0.2。
根据条件概率的计算公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)= 0.2 / 0.4= 0.5所以，选中的学生既喜欢足球又喜欢篮球的概率为0.5。
练习题2：一批产品有100个，其中有20个次品。
现从中连续取出5个产品进行检验，若发现有次品，则不放回，再取下一个，求连续取出的5个产品中有3个次品的概率。
解答2：设事件A为连续取出的5个产品中有3个次品，事件B为取出的第一个产品是次品。
根据题目可知，P(B)=20/100=0.2，因为已经取出了第一个次品，所以还剩下19个次品和99个正品。
因此，P(A|B)的计算可采用超几何分布的方法：P(A|B) = (C(19,2) * C(99,3)) / C(118, 5)其中C(m,n)表示从m个物体中选取n个物体的组合数，计算得到：P(A|B) ≈ 0.236练习题3：某班级有60%的男生和40%的女生，男生中50%擅长数学，女生中40%擅长数学。
现从班级中随机选取一名学生，求选中的学生擅长数学的概率。
解答3：设事件A为选中的学生擅长数学，事件B为选中的学生为男生。
根据题目可知，P(B)=0.6，P(A|B)=0.5，P(A|B')=0.4，其中B'表示事件B 的补事件，即选中的学生为女生。
概率练习册含答案
一、判断题（本大题共 5 题，每题 2 分，共 10 分）1.设A 为任一随机事件，则P(A)=1－P(A ) ( √ )2.设随机事件A 与B 相互独立，则A 与B 也相互独立 ( √ )3.设X ，Y 为随机变量，则E(XY)=E(X)E(Y) ( × )4.设随机变量X 与Y 的相关系数ρXY =0，则X 与Y 相互独立 ( × )5.设X 1，X 2，…X n 是总体X 的样本则X =1∑=ni iX1是总体期望μ无偏估计 ( √ )二、填空题（本大题共5题，每题 3 分，共15 分）1. 设P(A)=0.2,P(B)=0.5,P(AB)=0.05,则P(A ︱B)=0.1； P(B ︱A)=0.252. 设X ～N(30, 5)，则 D(2X+3)= 203. 设X ～P(λ)，E （X ）=2，则λ= 24. 设总体X ～N(0,1), X 1，X 2，…,X 10是X 的样本,则统计量2χ=∑=1012i i X ～2(10)χ5.设X 1，X 2，…X n 是总体X 的样本，则总体方差σ2的矩估计是()2211ni i B X Xn ==-∑三、单项选择题（本大题共 5分，每题3 分，共 15 分）1．设A ，B 为随机事件，则B A =（ B ）A ． AB ； B 。
A B ；C 。
AB ；D 。
A ∪B ；2．函数f(x)=1,0,a xb b a ì＃ïí-ïî其它是（ C ）的分布密度函数A. 指数分布 ；B. 二项分布 ；C.均匀分布；D. 普阿松分布 ；3．在n 次独立重复试验中，P(A)= p, P(A )=q, 则事件A 发生k 次的概率是（ C ）A. p k； B .p k qn －k； C. C n k p k qn －k； D. q k pn －k；4. 设X 1,X 2,X 3是总体X ～N(μ,σ2)的样本,μ未知,σ2已知, 则下列( D)不是统计量A. X ；B. X 12+X 22+X 32； C. X 1X 2X 3+σ ； D. μ+ X 1/X 2；5. 若假设检验0H 为原假设,则下列说法正确的是( B )A.0H 为真时接收0H 是犯取伪错误 ；B. 0H 为真时拒绝0H 是犯弃真错误；C.0H 为假时接收0H 是犯弃真错误；D. 0H 为假时拒绝0H 是犯取伪错误 四、计算题（本大题共 4 题，每题 10分，共 40 分）1.设两台车床生产相同的零件，第一台的生产能力是第二台的2倍，且第一台的优质品率为0.6，第二台的优质品率为0.9, 现从混装的零件箱中任意抽取一个零件，求该零件是优质品的概率。
概率计算练习题
概率计算练习题一、基础练习题1. 某班级共有50名学生，其中35人会弹钢琴，25人会拉小提琴，15人既会弹钢琴也会拉小提琴。
现从该班级中随机选择一名学生，求该学生既不会弹钢琴也不会拉小提琴的概率。
2. 有一批产品，其中20%是次品。
从中随机抽取3个产品，求恰好有一个是次品的概率。
3. 一批产品中有30%的次品。
从中随机抽取5个产品，求至少有一个是次品的概率。
4. 一批产品中40%的产品是甲品质，30%是乙品质，30%是丙品质。
甲品质产品被使用后有4%的概率出现故障，乙品质产品故障的概率为7%，丙品质产品故障的概率为15%。
现从该批产品中随机选择一件，求其出现故障的概率。
5. 一批产品中有20%的次品。
从中抽取10个产品，求抽出的产品中次品数大于等于2的概率。
二、进阶练习题1. 某班级共有80名学生，其中40人学习钢琴，30人学习小提琴，20人学习吉他。
已知学习钢琴和学习小提琴的学生共有15人，学习小提琴和学习吉他的学生共有10人，学习钢琴和学习吉他的学生共有5人，共有3人同时学习钢琴、小提琴和吉他。
现从该班级中随机选择一名学生，求该学生学习吉他的概率。
2. 一批产品中有30%的次品，已知次品中有20%是甲类次品，60%是乙类次品，20%是丙类次品。
从该批产品中随机抽取一件，若抽到的是次品，请依次求此产品为甲类次品、乙类次品、丙类次品的概率。
3. 一家快餐店的产品销售情况统计如下：25%的顾客购买汉堡，30%的顾客购买薯条，40%的顾客购买汽水。
已知购买汉堡和薯条的顾客占总顾客数的20%，购买薯条和汽水的顾客占总顾客数的15%，购买汉堡和汽水的顾客占总顾客数的10%，同时购买汉堡、薯条和汽水的顾客占总顾客数的5%。
现在从该快餐店中随机选择一位顾客，求该顾客购买汽水的概率。
4. 一篮子中有红、蓝、绿三种颜色的球，比例为5:4:1。
从篮子中随机抽取5个球，求抽取的球中至少有两个是红球的概率。
5. 某城市每天发生车辆事故的概率为0.03。
(完整版)概率练习题(含答案)
概率练习题（含答案）1 解答题有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用（x，y）表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y 表示第2颗正四面体玩具出现的点数.试写出：（1）试验的基本事件；（2）事件“出现点数之和大于3”；（3）事件“出现点数相等”.答案（1）这个试验的基本事件为：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）（2）事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）（3）事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）2 单选题“概率”的英文单词是“Probability”，如果在组成该单词的所有字母中任意取出一个字母，则取到字母“b”的概率是1. A.2. B.3. C.4. D.1答案C解析分析：先数出单词的所有字母数，再让字母“b”的个数除以所有字母的总个数即为所求的概率．解答：“Probability”中共11个字母，其中共2个“b”，任意取出一个字母，有11种情况可能出现，取到字母“b”的可能性有两种，故其概率是；故选C．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．3 解答题一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球.现从口袋中每次任取一球，每次取出不放回，连续取两次.问：（1）取出的两只球都是白球的概率是多少？（2）取出的两只球至少有一个白球的概率是多少？答案（1）取出的两只球都是白球的概率为3/10；（2）以取出的两只球中至少有一个白球的概率为9/10。
概率计算练习题
概率计算练习题概率是数学中一门重要的分支，它研究的是随机事件的发生可能性。
在现实生活中，我们经常需要根据已知的信息来计算某个事件发生的概率。
下面，我们将通过一些实际的练习题来加深对概率计算的理解。
1. 某班级有30名学生，其中15名男生和15名女生。
如果随机抽取两名学生，他们都是女生的概率是多少？解析：首先，我们需要计算女生的总数和总人数。
女生的总数是15名，总人数是30名。
那么第一次抽到女生的概率是15/30。
在第一次抽到女生的前提下，第二次抽到女生的概率是14/29。
因此，两次都抽到女生的概率是(15/30) * (14/29) =7/29。
2. 一副标准扑克牌中，红桃和方块的牌各有26张。
如果从中随机抽取两张牌，第一张是红桃，第二张是方块的概率是多少？解析：总共有52张牌，第一次抽到红桃的概率是26/52。
在第一次抽到红桃的前提下，第二次抽到方块的概率是26/51。
因此，第一张是红桃，第二张是方块的概率是(26/52) * (26/51) = 13/102。
3. 甲、乙、丙三个人分别有一颗红、一颗白、一颗黑的球，他们按照以下规则进行游戏：每个人从自己的球中随机抽取一颗，然后将抽到的球放回，再进行下一轮。
游戏进行了三轮，每轮都抽到红球的概率是多少？解析：在每一轮中，每个人抽到红球的概率都是1/3。
因此，三轮都抽到红球的概率是(1/3) * (1/3) * (1/3) = 1/27。
4. 一家电子产品公司生产手机，其中10%的手机存在质量问题。
如果从中随机抽取5部手机，其中至少有一部存在质量问题的概率是多少？解析：首先，我们计算没有手机存在质量问题的概率。
没有手机存在质量问题的概率是90%。
那么从中随机抽取5部手机，都没有质量问题的概率是(90%)^5。
因此，至少有一部手机存在质量问题的概率是1 - (90%)^5。
通过以上的练习题，我们可以看到概率计算的过程其实并不复杂。
关键是要理清题目中给出的条件，并根据条件进行计算。
高中概率基础练习题及讲解
高中概率基础练习题及讲解1. 题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取2个球，求至少有1个红球的概率。
解答：首先，我们可以计算出所有可能的抽取组合。
总共有8个球，抽取2个球的组合数为 C(8, 2) = 28。
接下来，我们找出没有红球的组合，即全部抽取蓝球的组合数，C(3, 2) = 3。
因此，至少有1个红球的概率为 1 - 抽取蓝球组合的概率，即 1 - 3/28 = 25/28。
2. 题目：一个班级有40名学生，其中20名男生和20名女生。
随机选择4名学生，求至少有1名女生的概率。
解答：我们首先计算所有可能的组合数，即 C(40, 4)。
然后，我们找出没有女生的组合，即全部选择男生的组合数，C(20, 4)。
至少有1名女生的概率为 1 - 没有女生的组合数除以总组合数，即 1 - C(20, 4) / C(40, 4)。
3. 题目：抛掷一枚均匀的硬币3次，求至少出现1次正面的概率。
解答：抛掷硬币3次，每次出现正面或反面的概率都是1/2。
我们先计算出没有出现正面的情况，即3次都是反面的概率，为 (1/2)^3 = 1/8。
至少出现1次正面的概率为 1 - 没有正面的概率，即 1 -1/8 = 7/8。
4. 题目：一个班级有30名学生，随机选择5名学生参加比赛，求至少有1名来自数学小组的学生被选中的概率，假设数学小组有10名学生。
解答：我们首先计算所有可能的组合数，即 C(30, 5)。
然后，我们找出没有数学小组学生被选中的组合数，即从20名非数学小组学生中选择5名学生的组合数，C(20, 5)。
至少有1名数学小组学生被选中的概率为 1 - 没有数学小组学生的组合数除以总组合数，即 1 -C(20, 5) / C(30, 5)。
5. 题目：一个盒子里有10个灯泡，其中3个是坏的，7个是好的。
随机抽取2个灯泡，求至少有1个是好的灯泡的概率。
解答：我们首先计算所有可能的抽取组合，即 C(10, 2)。
概率的练习题
概率的练习题概率是数学中的一个分支，用于研究事件发生的可能性。
在现实生活中，我们经常遇到需要计算概率的情况，这些情况往往涉及到随机事件的发生。
本文将通过一些练习题来帮助读者加深对概率的理解和应用。
练习题一：抛硬币假设有一枚均匀的硬币，抛掷结果只有两种可能：正面或反面。
现在，我们进行一系列的抛硬币实验，请回答以下问题：1. 抛掷一次硬币，正反面出现的概率各是多少？2. 抛掷两次硬币，正正面出现的概率是多少？3. 抛掷三次硬币，至少出现一次正面的概率是多少？4. 抛掷四次硬币，正面出现次数等于反面出现次数的概率是多少？练习题二：扑克牌扑克牌是一种常见的玩具牌类游戏，在游戏中常常需要计算牌的概率。
请回答以下问题：1. 从一副标准的扑克牌（52张牌，不包括大小王）中，抽一张牌，这张牌是黑桃的概率是多少？2. 从一副标准的扑克牌中，抽取两张牌，其中至少一张是红心的概率是多少？3. 从一副标准的扑克牌中，连续抽取三张牌，三张牌的花色全部相同的概率是多少？4. 从一副标准的扑克牌中，连续抽取五张牌，其中四张牌的点数相同，剩下一张点数不同的概率是多少？练习题三：篮球比赛在一场篮球比赛中，队伍A和队伍B进行对抗。
现在，根据两队的历史表现和球场状态，我们假设队伍A和队伍B获胜的概率分别为0.6和0.4。
请回答以下问题：1. 队伍A连胜两场的概率是多少？2. 队伍A和队伍B轮流获胜，直到其中一队获得三次胜利的概率是多少？3. 如果比赛进行到平局，需要额外进行两场比赛来分胜负。
在这种情况下，队伍A获胜的概率是多少？4. 比赛进行到第四场时，队伍A已经连续获胜三场。
在这种情况下，队伍A连续获胜四场的概率是多少？以上是关于概率的一些练习题，通过解答这些问题，读者可以巩固对概率的理解，并将其应用于实际问题中。
概率的计算可以帮助我们预测事件的发生可能性，对决策和分析具有重要意义。
希望读者通过这些练习题，能够更加熟练地运用概率的概念和方法。
概率的加法定理应用练习题
概率的加法定理应用练习题一、题目简述本文将通过一系列练习题来帮助读者巩固概率的加法定理的应用。
每道题目都将提供详细的解题步骤和答案解析，以帮助读者加深对此概念的理解。
二、练习题题目1：假设有一个袋子，里面有3个红色球和5个蓝色球。
从袋子中随机抽取一个球，求抽到红色球或者蓝色球的概率。
解题步骤：1. 计算红色球的概率：红色球的数量为3个，总球的数量为8个，因此红色球的概率为3/8；2. 计算蓝色球的概率：蓝色球的数量为5个，总球的数量为8个，因此蓝色球的概率为5/8；3. 根据概率的加法定理，抽到红色球或者蓝色球的概率等于红色球的概率加上蓝色球的概率，即为3/8 + 5/8 = 8/8 = 1。
答案解析：抽到红色球或者蓝色球的概率为1，即100%。
题目2：甲、乙、丙三位同学参加一次抽奖活动，各自独立抽取一个球，球的颜色有红、黄、蓝三种可能性。
已知甲抽到红色球的概率为1/4，乙抽到红色球的概率为1/3，丙抽到红色球的概率为1/6。
求至少有一个同学抽到红色球的概率。
解题步骤：1. 计算甲、乙、丙都没有抽到红色球的概率：甲没有抽到红色球的概率为1 - 1/4 = 3/4，乙没有抽到红色球的概率为1 - 1/3 = 2/3，丙没有抽到红色球的概率为1 - 1/6 = 5/6；2. 根据概率的加法定理，至少有一个同学抽到红色球的概率 = 1 - 甲、乙、丙都没有抽到红色球的概率 = 1 - (3/4) * (2/3) * (5/6)。
答案解析：至少有一个同学抽到红色球的概率为1 - (3/4) * (2/3) * (5/6) = 91/144。
题目3：某电商平台推出了多个优惠活动，一个顾客可以同时参加两个活动A和B的其中一个。
已知活动A的参与率为0.6，活动B的参与率为0.7，两个活动同时参与的概率为0.4。
求一个顾客至少参与一个活动的概率。
解题步骤：1. 计算不参与活动A的概率：不参与活动A的概率为1 - 0.6 = 0.4；2. 计算不参与活动B的概率：不参与活动B的概率为1 - 0.7 = 0.3；3. 计算既不参与活动A，也不参与活动B的概率：既不参与活动A，也不参与活动B的概率为 (1 - 0.6) * (1 - 0.7) = 0.4 * 0.3 = 0.12；4. 根据概率的加法定理，至少参与一个活动的概率 = 1 - 既不参与活动A，也不参与活动B的概率。
概率练习
1.袋子里有１个红球、３个白球和５个黄球，每一个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，则
Ｐ(摸到红球)= Ｐ(摸到白球)= Ｐ(摸到黄球)=
2．中国象棋红方棋子按兵种不同分布如下：1个帅，5个兵，“士、象、马、车、炮”各2个，将所有棋子反面朝上放在棋盘中，任取一个不是兵和帅的概率是( )
A .116
B .516
C .38
D .58
3．冰柜中装有4瓶饮料、5瓶特种可乐、12瓶普通可乐、9瓶桔子水、6瓶啤酒，其中可乐是含有咖啡因的饮料，那么从冰柜中随机取一瓶饮料，该饮料含有咖啡因的概率是( )
A .536
B .38
C .1536
D .1736
4．从8，12，18，32中随机抽取一个，与2是同类二次根式的概率为__ _．
5、彩票有100张，分别标有1，2，3，…100的号码，只有摸中的号码是7的倍数的彩券才有奖，小明随机地摸出一张，那么他中奖的概率是多少？
6、一张圆桌旁有4个座位，A 先坐在如图所示的位置上，B 、C 、D 随机地坐到其它三个座位上，求A 与B 不相邻而坐的概率.
7、 把一幅普通扑克牌中的 13 张黑桃牌洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，求下列事件的概率：
（1）抽出的牌是黑桃 6；
（2）抽出的牌是黑桃 10；
（3）抽出的牌带有人像；
（4）抽出的牌上的数小于 5；
（5）抽出的牌的花色是黑桃．
8.如图是一个抽奖转盘，转盘分成10个相同的扇形，指针固定，转动转盘后点击抽奖停止，某个扇形会停在指针所指的位置，（指针指向交线时当作指向右边的扇形）
求下列事件的概率。
（1）中一等奖；
（2）中三等奖；
（3）中奖；
（4）没有中奖。
A。
小学五年级简单概率运算练习题
小学五年级简单概率运算练习题【一】小寒同学班里有20个男生和15个女生，假设班里的学生同等概率随机选取一个，求以下概率：1. 选择的学生是男生。
2. 选择的学生是女生。
3. 选择的学生是男生或女生。
4. 选择的学生既是男生又是女生。
5. 选择的学生既不是男生也不是女生。
【二】小明有一副有52张牌的扑克牌，其中有4种花色：红心、方块、梅花和黑桃，每种花色有13张牌，分别是A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q和K。
小明将牌洗好后随机摸一张，求以下概率：1. 摸到的牌是红心。
2. 摸到的牌是方块或梅花。
3. 摸到的牌是红心和方块。
4. 摸到的牌不是黑桃。
5. 摸到的牌是A或K。
【三】小华有一盒装有10个不同颜色的糖果，其中3个是红色、2个是黄色、2个是蓝色、2个是绿色和1个是橙色。
小华闭上眼睛，从盒子里随机摸一个糖果，求以下概率：1. 摸到的糖果是红色。
2. 摸到的糖果是黄色或蓝色。
3. 摸到的糖果不是绿色。
4. 依次摸两次，两次摸到的糖果颜色不同。
【四】小李有一个有10个乒乓球的袋子，其中有4个红色球、3个蓝色球和3个绿色球。
小李将球袋晃匀后从中随机抓一个球，再将抓出的球放回袋中，再次晃匀后再次抓一个球，求以下概率：1. 第一次抓出的球是红色。
2. 第一次和第二次抓出的球颜色都是蓝色。
3. 第一次和第二次抓出的球颜色不同。
4. 第一次和第二次抓出的球都不是红色。
【五】小明要从26个英文字母中随机选3个字母，求以下概率：1. 选到的3个字母都是元音字母。
2. 选到的3个字母中至少有一个是元音字母。
3. 选到的3个字母都是辅音字母。
【六】小红要从1至100的自然数中随机选取一个数，求以下概率：1. 选取的数是5的倍数。
2. 选取的数是素数。
3. 选取的数是奇数。
4. 选取的数是偶数或大于50的数。
【七】有一瓶装有60颗糖果，其中有25颗巧克力糖、20颗薄荷糖和15颗水果糖。
小华从瓶子中不放回地随机摸取3颗糖果，求以下概率：1. 摸到的3颗糖果都是巧克力糖。
概率练习题
概率练习题一、基本概念1. 设试验E的结果有n种，分别是A1, A2, , An，且P(Ai) > 0 (i=1,2,,n)。
若A1, A2, , An两两互斥，且A1∪A2∪∪An=S，则称{A1, A2, , An}为E的一个______。
2. 在一个袋子里有5个红球，3个蓝球，2个绿球，随机取出一个球，求取到红球的概率。
3. 事件A的概率为0.3，事件B的概率为0.4，已知A与B互斥，求P(A∪B)的值。
4. 设事件A的概率为P(A)，非A的概率为P(非A)，则P(A)与P(非A)的和等于______。
二、条件概率与独立性1. 设事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.4，已知P(A∩B)=0.2，求P(B|A)。
2. 从一副52张的扑克牌中随机抽取4张牌，求抽到的四张牌都是红桃的概率。
3. 事件A与事件B相互独立，P(A)=0.5，P(B)=0.3，求P(A∩B)。
4. 设事件A与事件B互斥，且P(A)=0.4，P(B)=0.5，求P(A|B)的值。
三、随机变量及其分布1. 设随机变量X服从二项分布，即X～B(n, p)，其中n=10，p=0.4，求P(X=3)。
2. 随机变量X的分布列为：X 1 2 3P(X) 0.2 0.5 0.3求E(X)。
3. 设随机变量X服从正态分布，即X～N(μ, σ^2)，已知μ=50，σ=5，求P(45<X<55)。
4. 随机变量Y服从指数分布，即Y～E(λ)，已知λ=0.5，求P(Y>2)。
四、大数定律与中心极限定理1. 抛掷一枚公平的硬币1000次，求正面朝上的频率接近于______。
2. 一批产品的合格率为0.9，从这批产品中随机抽取100件，求不合格产品数量的期望值。
3. 设随机变量X1, X2, , Xn独立同分布，且E(Xi)=μ，D(Xi)=σ^2，根据中心极限定理，当n足够大时，随机变量Y=(X1+X2++Xn)/n的分布近似于______。
小学一年级概率的应用练习题
小学一年级概率的应用练习题题目1：
小明有3个红色和5个蓝色的小球，他随机选一个球，那么选到红色球的概率是多少？
题目2：
小华有一包糖果，里面有4个巧克力糖和6个水果糖。
小华闭上眼睛连续取4颗糖果，那么他取到4颗巧克力糖的概率是多少？
题目3：
小明和小红玩掷骰子游戏，他们各自掷一次。
如果小明和小红掷出的点数的和是7，那么小明胜出；如果和是8，那么小红胜出；其它情况为平局。
请问小明胜出的概率是多少？
题目4：
小华和小明玩抽签游戏，有5个抽签袋，里面分别放有编号为1-5的球。
他们各自抽一次。
如果他们抽到的编号相同，那么小明胜出；如果他们抽到的编号不同，那么小华胜出。
请问小明胜出的概率是多少？
题目5：
小明家有6只红色袜子和4只蓝色袜子，他在黑暗中随机选一只袜子。
如果选到红色袜子，那么小明得到1块钱；如果选到蓝色袜子，那么小明得到2块钱。
小明期望得到的钱数是多少？
题目6：
小华有一个骰子，上面分别有1、2、3、4、5、6这6个数字。
他
连续掷两次骰子，两次掷出的点数的和为7的概率是多少？
题目7：
小华家有15只苹果，其中5只是坏的。
小华将一个苹果放入袋子中，然后又将另一个苹果放入袋子中，最后从袋子中随机取一只苹果。
如果取到的苹果是坏的，那么小华失去1块钱；如果取到的苹果是好的，那么小华得到2块钱。
小华玩这个游戏的期望盈利是多少？。
概率习题(总)
第一章1. 设S为样本空间，A,B,C是任意的三个随机事件，根据概率的性质，则（1）P(A)=＿＿＿＿＿＿＿；(2)P(B-A)=P(B A)=＿＿＿＿＿＿＿；(3)P(AUBUC)= ＿＿＿＿＿；2. 设A,B,C是三个随机事件，试以A，B，C的运算来表示下列事件：（1）仅有A发生＿＿＿＿＿＿＿；（2）A，B，C中至少有一个发生＿＿＿＿＿＿＿；（3）A，B，C中恰有一个发生＿＿＿＿＿＿＿；（4）A，B，C中最多有一个发生＿＿＿＿＿＿＿；（5）A，B，C都不发生＿＿＿＿＿＿＿；（6）A不发生，B，C中至少有一个发生＿＿＿＿＿＿＿；3. A,B,C是三个随机事件，且p(A)=p(B)=p(C)=1/4, P(AC)=1/8;P(AB)=P(BC)=0,则A，B，C中至少有一个发生的概率为: ＿＿＿＿＿＿＿；A，B，C中都发生的概率为: ＿＿＿＿＿＿＿；A，B，C都不发生的概率为: ＿＿＿＿＿＿＿；1、设袋中有4只白球, 2只红球, (1) 无放回随机地抽取两次, 每次取一球, 求在两次抽取中至多抽到一个红球的概率? (2) 若无放回的抽取3次, 每次抽取一球, 求(a) 第一次是白球的情况下, 第二次与第三次均是白球的概率? (b) 第一次与第二次均是白球的情况下, 第三次是白球的概率?2、一盒子装有4 只产品,其中有3 只一等品,1只二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品” ,事件B 为“第二次取到的是一等品”,试求条件概率P(B|A).3、某地有甲、乙两河流，雨季，甲、乙两河流泛滥的概率分别为0.2和0.3，甲泛滥引起乙泛滥的概率为0.4，求：（1）雨季，此地区至少有一条河流泛滥的概率；（2）乙泛滥引起甲泛滥的概率。
4、某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是多少?5、设一仓库中有10 箱同种规格的产品, 其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱, 3箱, 2 箱,三厂产品的废品率依次为0.1, 0.2, 0.3 从这10箱产品中任取一箱, 再从这箱中任取一件产品,求取得的正品概率.6、对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为98%，而当机器发生某种故障时，其合格率为55%。
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有两盒卡片，一个盒子装有4张，分别标有数字1、1、2、3，另一个盒子也装有4张，分别标有数字2、2、3、4. 现从两个盒子中各取一张卡片.（1）求取出的两张卡片上的数字为相邻整数的概率；（2）记ξ为所取两张卡片上的数字之和，求ξ的分布列和数学期望. 17．（本小题满分14分）解：（1）从两个盒子中各取一张卡片共有161414=C C 种取法，取出的两个数字恰为相邻整数的情况有8种，所以取出的两张卡片上的数字为相邻整数的概率为21168==P . （4分） （2）由题意可知ξ的可能取值为3，4，5，6，7. （6分）4116)3(1212===c c P ξ，4116)4(1212=+==c c P ξ，165161)5(1212=++==c c P ξ，811611)6(=+==ξP ，161)7(==ξP . 所以ξ的分布列为：（11分）ξ的数学期望为5.416178161655414413=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE . （14分）17．（本小题满分14分）某单位有8名员工，其中有5名员工曾经参加过一种或几种技能培训，另外3名员工没有参加过任何技能培训，现要从8名员工中任选3人参加一种新的技能培训.（1）求恰好选到1名曾经参加过技能培训的员工的概率；（2）这次培训结束后，仍然没有参加过任何技能培训的员工人数ξ是一个随机变量，求ξ的分布列和数学期望.解：（1）恰好选到1名已参加过其它技能培训的员工的概率为5615382315==C C C P . （5分）（2）随机变量ξ可能取值为：0，1，2，3. （6分）561)0(3833===C C P ξ；5615)1(382315===C C C P ξ； 2815)2(381325===C C C P ξ；285)3(3835===C C P ξ. 所以随机变量ξ的分布列是（10分）随机变量ξ的数学期望为56105285328152561515610=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE . （14分）17.(14分)学校游园活动有这样一个项目：甲箱子里装3个白球，2个黑球；乙箱子里装2个白球，2个黑球，从这两个箱子里分别摸出一球，如果他们都是白球则获奖. （１）设“获奖”为事件A ,求事件A 发生的概率；（２）设从两个箱子里分别摸出一球，其中白球的个数为ξ，求ξ的数学期望.17．（本小题满分12分）甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为12，乙，丙做对的概率分别为m ，n (m ＞n )，且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：(1) 求至少有一位学生做对该题的概率； （2) 求m ，n 的值； （3) 求ξ的数学期望.17．（本小题满分12分）（本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）解：设“甲做对”为事件A ，“乙做对”为事件B ，“丙做对”为事件C ，由题意知， ()()()12P A P B m P C n ,,===. ……………1分（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0ξ=”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是()1310144P ξ-==-=. …………3分（2）由题意知()()()()1101124PP ABC m n ξ===--=， ……………4分 ()()113224P P ABC mn ξ====， ……………5分整理得 112mn =，712m n +=.由mn >，解得13m =，14n =. ……………7分（3）由题意知()()()()1a PP ABC P ABC P ABC ξ===++()()()()11111111122224m n m n m n =--+-+-=， ………9分(2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==14， ……………10分∴ξ的数学期望为0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+==1312. …………12分课标理数15.K6[2011·浙江卷] 某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.课标理数15.K6[2011·浙江卷] 53【解析】 ∵P ()X ＝0＝⎝⎛⎭⎫1－23(1－p )2＝112，∴p ＝12. ∴P ()X ＝1＝23×⎝⎛⎭⎫122＋13×⎝⎛⎭⎫122×2＝13，P ()X ＝2＝23×⎝⎛⎭⎫122×2＋13×⎝⎛⎭⎫122＝512，P ()X ＝3＝23×⎝⎛⎭⎫122＝16，∴E ()X ＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.17．(本小题满分12分) 在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目。
已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙，情况如下表：科目甲 科目乙 总计 第一小组 1 5 6 第二小组 2 4 6 总计3912现从第一小组、第二小组中各任选2人分析选课情况. （1）求选出的4 人均选科目乙的概率；（2）设ξ为选出的4个人中选科目甲的人数，求ξ的分布列和数学期望． 17. （本小题满分12分） 解：（1）设“从第一小组选出的2人选科目乙”为事件A ，“从第二小组选出的2人选科目乙””为事件B .由于事 件A 、B 相互独立，且25262()3C P A C ==, 24262()5C P B C ==.………………………………4分 所以选出的4人均选科目乙的概率为224()()()3515P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=…………………………… 6分（2）设ξ可能的取值为0,1,2,3.得4(0)15P ξ==, 21112524542222666622(1)45C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=,15226611(3)45C P C C ξ==⋅=， 2(2)1(0)(1)(3)9P P P P ξξξξ==-=-=-==… 9分ξ的分布列为∴ξ的数学期望42221012311545945E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= …………12分 序号均为偶数”.由等可能性事件的概率计算公式得()()76112723=-=-=C C A P A P .…………4分(2)ξ的可能取值为5,4,3,2,1,0,…………5分(),726027===C P ξ (),2155127===C P ξ (),2144227===C P ξ (),2133327===C P ξ (),2122427===C P ξ ().2111527===C P ξ…………8分从而ξ的分布列为所以,3521152124213321422151720=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE . …………12分17. 解：（1）B 分店销售量为200件、300件、400件的频率分别为13，12和16………3分（2）A 分店销售量为200件、300件的频率均为12， ……………4分ξ的可能值为400，500，600，700，且 (5)分P （ξ=400）=111236⨯=， P （ξ=500）=11115223212⨯+⨯=， P （ξ=600）=1111126223⨯+⨯=， P （ξ=700）=1112612⨯=， ………9分 ξ的分布列为 (10)分E ξ=400⨯16+500⨯512+600⨯13+700⨯112=16003（元） …………………12分课标理数16.K2，K6[2011·天津卷] 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球．这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)(1)求在1次游戏中，(i)摸出3个白球的概率； (ii)获奖的概率；(2)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E (X )． 课标理数16.K2，K6[2011·天津卷] 【解答】 (1)(i)设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i ＝0,1,2,3)，则P (A 3)＝C 23C 25·C 12C 23＝15.(ii)设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B ＝A 2∪A 3，又P (A 2)＝C 23C 25·C 22C 23＋C 13C 12C 25·C 12C 23＝12，且A 2，A 3互斥，所以P (B )＝P (A 2)＋P (A 3)＝12＋15＝710.(2)由题意可知X 的所有可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－7102＝9100， P (X ＝1)＝C 12710⎝⎛⎭⎫1－710＝2150，P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎫7102＝49100. 所以X 的分布列是X,0,1,2P ,9100,2150,49100X 的数学期望E (X )＝0×9100＋1×2150＋2×49100＝75.课标理数18.K9[2011·山东卷] 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘，已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6，0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ. 课标理数18.K9[2011·山东卷] 【解答】 (1)设甲胜A 为事件D ，乙胜B 为事件E ，丙胜C 为事件F ，则D ，E ，F 分别表示事件甲不胜A 、事件乙不胜B 、事件丙不胜C . 因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5. 红队至少两人获胜的事件有：DE F ，D E F ，D EF ，DEF . 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立， 因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5 ＝0.55.(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知D E F 、D E F 、D E F 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立．因此P (ξ＝0)＝P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＝0.1. P (ξ＝1)＝P (D E F )＋P (D E F )＋P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5 ＝0.35.P (ξ＝3)＝P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＝0.15. 由对立事件的概率公式得P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝0.4. 所以ξ的分布列为：ξ,0,1,2,3P ,0.1,0.35,0.4,0.15因此Eξ＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6.7.（湖北理7）如图，用K 、1A 、2A 三类不同的元件连接成一个系统。