同济高等数学第六版上册课件

u
( n)
= sin( x + n ⋅ ) 2
π
v' = 2x , v'' = 2 , v(n) = 0(n ≥ 3)
由莱布尼兹公式
0 1 2 y(10) = C10u(10)v(0) + C10u(9)v' + C10u(8)v'' 10 ⋅ 9 π π π 2 sin( x + 8 ⋅ ) = x sin( x + 10 ⋅ ) + 10 ⋅ 2 x sin( x + 9 ⋅ ) + 2 ⋅ 2 2 2 2
(cos x )
(n)
π
2
), L
= cos( x + n ⋅ ) 2
π
抽象函数求高阶导数 例5
2 ƒ(x)具有任意阶导数 且 f '( x ) = [ f ( x )] , 则当 是 具有任意阶导数, 则当n 具有任意阶导数
大于2的正整数时 求ƒ(x)的n 阶导数 f 大于 的正整数时, 的 的正整数时
解
因为 y = ln x + 3 + ln x − 1
（ 所以 y n ) = [ln x + 3 ]( n ) + [ln x − 1 ]( n )
= ( −1)( n−1)
( n − 1)! ( n − 1)! + ( −1)( n−1) ( x + 3)n ( x − 1)n
π (2) (sinkx) = k sin(kx + n⋅ ) 2 π ( n) n (3) (coskx) = k cos(kx + n⋅ ) 2
( n) n
(e x )( n) = e x
(4) ( xα )( n) = α (α -1)L(α - n +1) xα − n
(5) (ln x)
( n)
具有任意阶导数, 设ƒ(x)具有任意阶导数 且 f '( x ) = e − f ( x ) , f (0) = 1 , 则求 f ( n ) (0). 具有任意阶导数
解
f '( x ) = e − f ( x )
f "( x ) = −e − f ( x ) f '( x ) = −e −2 f ( x )
= − x2 sin x + 20cos x + 90sin x
解
设 u = e2x , v = x2, 则
, u(k) = 2k e2x ( k = 1, 2,L 20)
v′ = 2x ,
v′′ = 2,
, v(k) = 0 (k = 3,L 20)
代入莱布尼兹公式 , 得
y
(20)
20⋅19 18 2x 2 e ⋅2 = 2 e ⋅ x + 20⋅ 2 e ⋅ 2x + 2!
第三节 高阶导数
高阶导数的概念 高阶导数的求法举例
一、高阶导数的概念
函数 y =ƒ(x) 的导数 f '( x仍 x 是的函数. 若 f '( x ) 是的函数 在点 x ) 处仍可导, 处仍可导 则称 f '( x )在 x 处的导数为函数 y =ƒ(x) 在 x 处 的二阶导数 . 记为
y ′′ , f ′′( x ), d2y d dy ( ), = 2 dx dx dx d2 f . 2 dx
(4) (sin x )′ = cos x = sin( x +
π
2
)
(sin x ) ′′ = [sin ( x +
= cos( x +
π
2
)]′
π
2 )
π
2
) = sin( x + 2 ⋅
(sin x )′′′ = sin( x + 3 ⋅
π
(sin x )
同理可得
( n)
= sin( x + n ⋅ ) 2
故 f ( n ) ( x ) = n ![ f ( x )]n+1
已知 f ′′( x ) 存在，且 f ( x ) ≠ 0, y = ln[ f ( x )],
d2 y . 求 2 dx
解
dy f ′( x ) = dx f ( x)
d2y f ′′( x ) f ( x ) − [ f ′( x )]2 = 2 dx f 2( x)
20 2x 2 19 2x
3.间接法: .间接法: 利用已知的高阶导数公式, 通过四则运算, 利用已知的高阶导数公式, 通过四则运算, 变量代换等 方法, 求出n 阶导数. 常用高阶导数公式: 方法, 求出 阶导数. 常用高阶导数公式
(1) (a x )( n) = a x ⋅ lnna (a > 0)
(xα )( n) = α (α − 1)L(α − n + 1) xα −n
特别地
(xn )(n) = n! , (xn )(n+1) = 0
(2)
(a x )′ = a x ln a ,
(a x )′′ = a x ln 2 a ,L ,
(ax )(n) = ax lnn a
特别地
( e x )( n ) = e x
同理二阶导数的导数称为三阶导数. 同理二阶导数的导数称为三阶导数. 记为
y ′′′, f ′′′( x ), d3y , 3 dx d3 f dx 3
三阶导数的导数称为四阶导数. 三阶导数的导数称为四阶导数.记为
y(4),源自f(4)( x ),
d4y , 4 dx
d4 f dx 4
f ′( x + ∆ x ) − f ′( x ) 即 f ′′( x ) = lim ∆ x→0 ∆ x
n
= u, v
(0)
n( n − 1) ⋅ ⋅ ⋅ ( n − k + 1) . = v, C = k!
k n
莱布尼兹公式. 上述的乘积公式称为莱布尼兹公式 上述的乘积公式称为莱布尼兹公式
2 例6 设 y = x sin x , 求 y(10) .
解 令 u = sin x , v = x 2 , 则
二、高阶导数求法举例
1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数 1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 直接法 例1 求函数 y = 3 x 3 + 5 x 2 + 2 x + 6 的各阶导数： 的各阶导数：
解 y ' = 9 x 2 + 10 x + 2,
y " = 18 x + 10
(n) y "' = 18, y = 0 ( n ≥ 4)
例3 求下列函数的 n 阶导数： 阶导数： (1) y = x α (α ∈ R ) (2)y = a x (0 < a ≠ 1)
( 3 ) y = ln (1 + x )
解 (1) (xα )′ = α xα −1 ,
(4) y = sin x
(xα )′′ = α (α − 1) xα −2 ,L,
y '' = −
(4)
1 (3 ) y ' = ， 1+ x
2! y ''' = , 3 (1 + x )
1 , 2 (1 + x)
y
3! ,L , =− 4 (1 + x )
( y)
( n)
= (−1)
n −1
(n − 1)! (1 + x )n
= ( −1)
n −1
特别地
(ln x )
(n)
( n − 1)! xn
1 例7 求 函 数 y = 的n 阶导数. 2 1− x 1 1 1 1 ) = ( + 解 因为 y = 2 2 1− x 1+ x 1− x
得 ( y)
( n)
n! 1 (−1)n ] (n = 0,1, 2,L) = [ + n +1 n +1 2 (1 − x ) (1 + x )
求函数y = ln x 2 + 2 x − 3 的n 阶导数.
f '"( x ) = 2e −2 f ( x ) f '( x ) = 2e −3 f ( x ) f (4) ( x ) = −3 ⋅ 2e −3 f ( x ) f '( x ) = −3 ⋅ 2e −4 f ( x ) ,...,
故
所以
f ( n ) ( x ) = ( −1)n−1 ( n − 1)! e − nf ( x ) f ( n ) (0) = ( −1)n−1 ( n − 1)! e − n
= 23 3! f 4 ( x )
猜想 : f
(n)
( x ) = 2 n! f
n
n+1
( x ).
n = 1时成立(条件)；假设n成立, 对n + 1有 f ( n+1) ( x ) = [2n n! f n+1 ( x )]′ = 2n n!( n + 1) f n ( x ) f ′( x ) n +1 n+ 2 成立. = 2 ( n + 1)! f ( x ) 成立.
(n)
( x ).
【分析】注意对于抽象函数求高阶导数, 往采用递推法 分析】注意对于抽象函数求高阶导数 往采用递推法.
解
f '( x ) = [ f ( x )]2
f "( x ) = {[ f ( x )]2 }' = 2[ f ( x )] f '( x ) = 2[ f ( x )]3