二次函数的图象与系数的关系例题加练习绝对经典
初三二次函数知识点和练习
二次函数的图象与解析式一、二次函数的图象1．二次函数图象与系数的关系 （1）a 决定抛物线的开口方向及开口大小 正负性决定开口方向，绝对值大小决定开口大小．a 越大，抛物线开口越小；温馨提示：几条抛物线的解析式中，若a 相等，则其形状相同，图象经过平移、中心对称（旋转180︒）a 不变．（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置（口诀：左同右异）（3）c 的大小决定抛物线与y 轴交点的位置（抛物线与y 轴的交点坐标为()0c ，） 2．二次函数的图形信息（1）根据抛物线的开口方向判断a 的正负性． （2）根据抛物线的对称轴判断2ba-的大小． （3）根据抛物线与y 轴的交点，判断c 的大小．（4）根据抛物线与x 轴有无交点，判断24b ac -的正负性．（5）根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于a b c ，，的等式． （6）根据抛物线的顶点，判断244ac b a-的大小2.二次函数图象的画法若是无图，建议画出图象然后根据图象来分析进行解答，数形结合是解答压轴题的终极方法，因为二次函数的图象能极大的方便做题，简易绘图法：根据以下五条就可以画图二次函数的简易图象 ①a 的正负性，看图形的开口方向是往上还是往下 ②c 的正负性，看图象与y 轴的交点是在正半轴还是负半轴 ③△的正负性，看图象与x 轴有无交点 ④对称轴的位置，看a 和b 的符号是否一致 压轴题绘图法：因为压轴题的作图需要精准，以帮助解答，所以需要画出带刻度的坐标系 ①利用对称轴公式，计算出对称轴，然后画出图形的对称轴②将对称轴代入解析式，算出顶点的纵坐标（若不为整数，则舍弃这一步） ③找出与y 轴交点，并利用对称轴画出对称点，④令0y =，算出与x 轴两个交点（若不为整数，则舍弃这一步） ⑤利用对称轴画出一条尽量对称且平滑的曲线三、二次函数的图象及性质1． 二次函数2y ax bx c =++0a ≠（）或2()y a x h k =-+（0a ≠）的性质（1）开口方向：00a a >⇔⎧⎨<⇔⎩向上向下（2）对称轴：2bx a=-（或x h =） （3）顶点坐标：24(,)24b ac b a a--（或(,)h k ）（4）最值：0a >时有最小值244ac b a -（或k ）（如图1）； 0a <时有最大值244ac b a-（或k ）（如图2）；⑸单调性：二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的变化情况（增减性） ①如图1所示，当0a >时，对称轴左侧2bx a<-，y 随着x 的增大而减小，在对称轴的右侧2bx a>-， y 随x 的增大而增大；②如图2所示，当0a >时，对称轴左侧2bx a<-， y 随着x 的增大而增大，在对称轴的右侧2b x a>-， y 随x 的增大而减小；⑹与坐标轴的交点：①与y 轴的交点：（0，C ）；②与x 轴的交点：使方程20ax bx c ++=（或2()0a x h k -+=）成立的x 值．考点一：根据二次函数的定义确定参数的值☞考点说明：根据二次函数的定义反求参数，一般情况下会结合在综合题中处，也有可能以填空题的形式出现，考察点在二次项系数不为零【例1】 函数()()2223ay a x a x a -=++-+．当______a =，它为二次函数；当____a =，它为一次函数．【例2】 若抛物线2(1)mmy m x -=-开口向下，则______m =考点二：二次函数的对称轴☞考点说明：在求二次函数的对称轴时，根据解析式的不同，求法也不尽相同，并不仅仅只有2bx a=-的这一种求法，需灵活掌握，一般情况下，以选择、填空出现的可能性较大。
二次函数的图像与系数的关系(初三数学最全整理)
二次函数图象与系数的关系二次函数的图象与二次函数的系数a 、b 、c 有内在联系。
由系数可以得出二次函数的大致图象，由图象可以得出二次函数系数的取值范围，以下是二次函数的系数和图象之间联系的一些归纳和总结！一、知识点1 二次函数的图像与系数的关系(1)a 的符号由 决定： ①开口向 ⇔ a 0；①开口向 ⇔ a 0.(2)b 的符号由 决定：① 在y 轴的 ⇔b a 、 ；① 在y 轴的 ⇔b a 、 ；① 是 ⇔b 0.(3)c 的符号由 决定：①点（0，c ）在y 轴正半轴 ⇔c 0；①点（0，c ）在原点 ⇔c 0；①点（0，c ）在y 轴负半轴 ⇔c 0.知识点2 二次函数与一元二次方程的关系[归纳概括]如果抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴有公共点，公共点的横坐标是0x ，那么当x= 时，函数的值是0，因此x= 就是方程02=++c bx ax 的一个根.[归纳概括]函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像与x 轴交点的个数(1)当042>-ac b 时，有 交点；(2)当042=-ac b 时，有 交点；(3)当042<-ac b 时，没有交点；二、例题讲解：例1 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像如图所示，试确定代数式①a ；②b ；③c ；④b 2-4ac ；⑤2a+b ；⑥a+b+c ；⑦a-b+c ；⑧4a+2b+c 的符号.练习1：根据图象填空：（1）a _____0；（2）b 0；（3）c 0;（4）ac b 42- 0 ； （5）2a b +______0；（6）0a b c ++⎽⎽⎽⎽ ； （7）0a b c -+⎽⎽⎽⎽；练习2：二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，对称轴是直线x ＝1．（1）试确定代数式的符号①abc ______0；②3a +c ______0；③（a +c ）2﹣b 2______0； ④b 2-4ac ______0 ⑤a +b +2c _____0（2）证明：a +b ≤m （am +b ）（m 为实数）．练习3.在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，证明： a ﹣b ≤m （am +b ）（m 为实数）；例2二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝2，（1）试确定代数式的符号4a +b 0；（2）9a +c 3b ；（2）证明：8a +7b +2c ＞0；（3）若点A （﹣3，y 1）、点B （﹣，y 2）、点C （，y 3）在该函数图象上，判断y 1，y 2，y 3的大小（4）若方程a （x +1）（x ﹣5）＝﹣3的两根为x 1和x 2，且x 1＜x 2，判断﹣1，5，x 1，x 2的大小变式1：利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式（1）方程02=++c bx ax 的根为___________；（2）方程23ax bx c ++=-的根为__________；（3）方程24ax bx c ++=-的根为__________；（4）不等式20ax bx c ++>的解集为 ；（5）不等式20ax bx c ++<的解集为 ；（6）若方程|ax 2+bx +c |＝1有四个根，则这四个根的和为 ，变式2.抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，与x 轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x ＝1．下列结论中：①方程ax 2+bx +c ＝3有两个不相等的实数根；②抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（﹣2，0）；③若点A （m ，n ）在该抛物线上，则am 2+bm +c ≤a +b +c ．其中正确的有变式3.（1）抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象全部在x 轴上方的条件是（2）抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象全部在x 轴下方的条件是 例3.如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0），顶点坐标（1，n ），与y 轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），（1）求代数式（a +c ）2﹣b 2的值（2）若方程|ax 2+bx +c |＝2有四个根，求这四个根的和（3）求a 的取值范围 （4）求b 的取值范围例4.在同一平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝ax 与二次函数y ＝ax 2+a 的图象可能是（ ） A ．B ．C ．D ． 三、课后作业1.如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于（﹣1，0），（3，0）两点，下列判断中，错误的是（）A．图象的对称轴是直线x＝1B．当x＞2时，y随x的增大而减小C．当﹣1＜x＜1时，y＜0D．一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1和32.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣3，0），顶点为P（﹣1，n）．下列结论错误的是（）A．abc＞0B．4ac﹣b2＜0C．3a+c＞0D．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1无实数根3.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论错误的是（）A．abc＞0B．b2＞4acC．4a+2b+c＞0D．2a+b＝04.在同一坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（）A．B．C．D．5.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示（1）.判断正误并说明理由：①abc＜0②b2﹣4ac＜0③2a＞b（2）证明：（a+c）2＜b26.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＜0；③﹣1＜a＜0；④b2+8a＞4ac；⑤a+c＜1．其中正确的是7.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝，且经过点（2，0）．下列说法：①﹣2b+c＝0；；②4a+2b+c＜0；③若（0，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1＝y2；④b+c＞m（am+b）+c（其中m≠）．其中正确的是8．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为（2，1），与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，有下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③c﹣4a＝1；④b2＞4ac；⑤am2+bm+c≤1（m为任意实数）．其中正确的是9.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（2，0），且对称轴为直线x＝，求证：无论a，b，c取何值，抛物线一定经过（，0）10.已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2＝0无实数根；③a﹣b+c≥0；④的最小值为3．其中，正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个。
中考数学总复习《二次函数图像与系数的关系》练习题及答案
中考数学总复习《二次函数图像与系数的关系》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a-b+c＞1；③abc＞0；④4a-2b+c＜0；⑤c-a＞1其中所有正确结论的序号是()A．①②B．①③④C．①②③⑤D．①②③④⑤2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（）A．ac＞0B．b＞0C．a+c＜0D．a+b+c＝03．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(﹣1，0)，其部分图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②3a+c=0；③当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；④方程ax2+bx+c﹣3=0有两个不相等的实数根；⑤点(﹣2，y1)，(2，y2)都在抛物线上，则有y1＜0＜y2．其中结论正确的个数是()．A．1个B．2个C．3个D．4个4．在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B(0，3)，则a的取值范围是（）A．a＜0B．－3＜a＜0C．a<−32D．−92<a<−325．在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是A．B．C．D．6．已知b＜0时，二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，a的值等于()A．－2B．－1C．1D．27．对于二次函数y=﹣（x+1）2﹣3，下列结论正确的是（）A．函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣3）B．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大C．当x=﹣1时，y有最小值为﹣3D．图象的对称轴是直线x=18．二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：x…-5-4-3-2-10…y…40-2-204…A．抛物线的开口向下B．当时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是D．抛物线的对称轴是直线9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．当x≥1时，y随x的增大而增大C．c＜0D．当﹣1＜x＜3时，y＞010．如图，在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+2(a≠0)与y=−ax2−2x(a≠0)的图象可能是（）．A．B．C．D．11．已知二次函数y=﹣（x+k）2+h，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是（）A．k≥﹣2B．k≤﹣2C．k≥2D．k≤212．已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则下列答案正确的是（）A．a＞0，b＞0，c＞0，△＜0B．a＜0，b＞0，c＜0，△＞0C．a＞0，b＜0，c＜0，△＞0D．a＜0，b＜0，c＞0，△＜0二、填空题13．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图（虚线部分为对称轴），给出以下6个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a＜3b；⑤x＜1时，y随x的增大而增大；⑥a+b＜m（am+b）（m为实数且m≠1）其中正确的结论有（填上所有正确结论的序号）14．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则由此可得a0，b0，c 0.（填“<”或“>”）15．老师给出一个二次函数，甲，乙，丙三位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第一、二、四象限；乙：当x＜2时，y随x的增大而减小．丙：函数的图象与坐标轴只有两个交点．已知这三位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数．16．如果抛物线y＝（m﹣1）x2有最低点，那么m的取值范围为．17．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．对于下列命题：①b-2a=0；②abc＜0；③a-2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有。
初中数学《二次函数图像与系数的六种关系》含解析
二次函数图像与系数的六种关系题型01a与图像的关系【典例分析】1(23-24九年级上·河北保定·期末)二次函数y=ax2的图象如图所示，则a的值可能为()A.2B.0C.-1D.-2【答案】A【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象的开口方向求解即可．【详解】解：由图象知，二次函数y=ax2的图象开口向上，则a>0，故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意，故选：A2(2024九年级·全国·专题练习)在同一个平面直角坐标系中，二次函数y1=a1x2，y2=a2x2，y3=a3x2的图象如图所示，则a1，a2，a3的大小关系为．【答案】a3>a2>a1#a1<a2<a3【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线的开口方向和开口大小由a的值决定的，a 越大，开口越小，掌握抛物线的开口方向和开口大小由a的值决定是解题的关键．【详解】解：由抛物线开口方向可知，a1、a2、a3为正数，又由开口大小可得，a3>a2>a1，故答案为：a3>a2>a13(23-24九年级上·福建厦门·阶段练习)已知y=k+2x k2+k-4是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大．求k的值，并画出它的图象；【答案】k=-3【分析】根据二次函数定义以及当x<0时，y随x的增大而增大．可得出函数解析式，再描点画图即可；【详解】解：由y=k+2x k2+k-4是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大，得k2+k-4=2，k+2<0解得：k=-3或k=2(舍去)；二次函数的解析式为y=-x2，如图所示：【变式演练】1(23-24九年级上·山东青岛·阶段练习)图中与抛物线y=13x2，y=2x2，y=-13x2，y=-2x2，的图象对应的是()A.①②④③B.②①④③C.①②③④D.②①③④【答案】B【分析】本题考查了二次函数的图象．抛物线的形状与a和a 有关，根据a 的大小即可确定抛物线的开口的宽窄．【详解】解：∵①②开口向上，则a>0，∵②的开口最宽，∴y=13x2是②，y=2x2是①，∵③④开口向下，则a<0，∵④的开口最宽，∴y=-13x2是④，y=-2x2是③，综上，依次②①④③，故选：B2(23-24九年级上·吉林松原·阶段练习)二次函数y=k+2x2的图象如图所示，则k的取值范围是．【答案】k>-2【分析】由图示知，该抛物线的开口方向向上，则系数k+2>0，据此易求k的取值范围．【详解】解：如图，抛物线的开口方向向上，则k+2>0，解得k>-2．故答案为：k>-2．【点睛】本题考查了二次函数的图象．二次函数y=ax2的系数a为正数时，抛物线开口向上；a为负数时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，抛物线开口越小3(24-25九年级上·全国·假期作业)已知函数y=(m+3)x m2+3m-2是关于x的二次函数．(1)求m的值；(2)当m为何值时，该函数图像的开口向下？(3)当m为何值时，该函数有最小值？(4)试说明函数的增减性．【答案】(1)m=-4或m=1(2)当m=-4时，该函数图像的开口向下(3)当m=1时，原函数有最小值(4)见解析【分析】(1)由二次函数的定义可得m2+3m-2=2m+3≠0故可求m的值．(2)图像的开口向下，则m+3<0，结合(1)中的结果，即可得m的值；(3)函数有最小值，则m+3>0，结合(1)中的结果，即可得m的值；；(4)根据(1)中求得的m的值，先求出抛物线的解析式，函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定．【详解】(1)根据题意，得m2+3m-2=2 m+3≠0，解得m1=-4,m2=1 m≠-3，∴当m=-4或m=1时，原函数为二次函数．(2)∵图像开口向下，∴m+3<0，∴m<-3，∴m=-4，∴当m=-4时，该函数图像的开口向下．(3)∵函数有最小值，∴m+3>0，则m>-3，∴m=1，∴当m=1时，原函数有最小值．(4)当m=-4时，此函数为y=-x2，开口向下，对称轴为y轴，当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小；当m=1时，此函数为y=4x2，开口向上，对称轴为y轴，当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数的增减性．二次函数的最值是顶点的纵坐标，当a>0时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当a<0时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值．考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察．题型02b与图像的关系【典例分析】1(21-22九年级上·安徽合肥·开学考试)已知二次函数y=-x2+2m-1x-3，当x>1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是()A.m<32B.m≤32C.m≤12D.m<-12【答案】B【分析】本题主要考查二次函数图象对称轴，增减性，解一元一次不等式的问题，根据题意可得二次函数图象的对称轴为x=2m-22，结合函数图象的增减性可得2m-12≤1，由此即可求解，掌握二次函数图象的性质，解不等式的方法是解题的关键．【详解】解：二次函数y=-x2+2m-3x-3中，a=-1<0，b=2m-1，c=-3，∴图象开口向下，对称轴为x=-2m-12×-1=2m-12，∵当x>1时，y随x的增大而减小，∴2m-12≤1，解得，m≤3 2，故选：B2(2023·九年级上·西藏日喀则·)已知抛物线γ=x²+mx的对称轴为直线x=2．则m的值是() A.-4 B.1 C.4 D.-1【答案】A【分析】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质，对于二次函数y=ax2+bx+c，其对称轴为直线x=-b2a，据此即可求解．【详解】解：由题意得：抛物线γ=x²+mx的对称轴为直线：x=-b2a=-m2×1=-m2，∴-m2=2解得：m=-4故选：A3(23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习)抛物线y=-x2+2ax+3的对称轴位于y轴的右侧，与x轴交于点A，B(点B在点A的右边)，且AB=4．(1)此抛物线的顶点坐标为．(2)当-1≤x≤m时，-5≤y≤4，则m的值为．【答案】1,44【分析】(1)令y=0，则x2-2ax-3=0．设A x1,0，B x2,0，则x1+x2=2a，x1x2=-3．根据AB=4，得出x2-x1=4，结合完全平方公式得出x2-x12=x1+x22-4x1x2=16，求出a的值，即可求解；(2)根据二次函数的性质可得当x=1时，y取得最大值4．求出当x=-1时，y=0>-5，且-5≤y≤4，得出m>1，则当x=m时，y=-5，即可求解．【详解】解：(1)令y=0，则-x2+2ax+3=0，即x2-2ax-3=0．设A x1,0，B x2,0，则x1+x2=2a，x1x2=-3．∵AB=4，∴x2-x1=4，∴x2-x12=x1+x22-4x1x2=16，∴4a2+12=16，∴a=±1．∵抛物线的对称轴位于y轴的右侧，即a=1，∴y=-x2+2x+3=-x-12+4，∴抛物线的顶点坐标为1,4．(2)∵y=-x2+2x+3=-x-12+4，∴当x=1时，y取得最大值4．∵当x=-1时，y=0>-5，且-5≤y≤4，∴m>1，∴当x=m时，y=-5，∴-m2+2m+3=-5，∴m=4或m=2(舍去)．故答案为：1,4，4．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数与x轴交点坐标的求法，将二次函数表达式化为顶点式的方法和步骤，以及二次函数的增减性【变式演练】1(22-23九年级上·福建厦门·期中)已知抛物线y=-x2+6-2mx-3的对称轴在y轴的右侧，当x >2时，y的值随着x值的增大而减小，则m的取值范围是()A.m≥1B.m<3C.-3<m≤1D.1≤m<3【答案】D【分析】先得出抛物线对称轴为直线x=3-m，根据抛物线y=-x2+6-2mx-3的对称轴在y轴的右侧，可得m<3，根据当x>2时，y的值随着x值的增大而减小，得出m≥1，即可求解．【详解】解：∵抛物线y=-x2+6-2mx-3的对称轴在y轴的右侧，∴x=-b2a =6-2m2=3-m>0，解得：m<3，又∵a=1<0，抛物线开口向下，当x>2时，y的值随着x值的增大而减小，则3-m≤2，解得：m≥1，综上所述，1≤m<3，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键2(23-24九年级上·重庆合川·期末)关于x的二次函数y=x2+a-1x-1在y轴的右侧，y随x的增大而增大，且使得关于y的分式方程a-12-y+1y-2=2有非负数解的所有整数a的值之和．【答案】19【分析】本题主要考查了二次函数的性质、分式方程的解以及解一元一次不等式，依据题意，解分式方程可先确定出a的取值范围，再由二次函数的性质可确定出a的范围，从而可确定出a的取值，可求得答案．【详解】解分式方程a-12-y+1y-2=2可得y=6-a2，∵关于y的分式方程a-12-y +1y-2=2有非负数解，∴y=6-a2≥0且y=6-a2≠2，∴a≤6且a≠2，∵y=x2+a-1x-1，∴抛物线开口向上，对称轴为x=1-a2，∴当x>1-a2，时，y随x的增大而增大．∵在x>0时，y随x的增大而增大，≤0，解得a≥1．∴1-a2综上1≤a≤6且a≠2，∴满足条件的整数a的值为1，3，4，5，6．∴所有满足条件的整数a的值之和是1+3+4+5+6=19．故答案为：19．3(23-24九年级上·浙江宁波·期末)如图，已知二次函数y=x2+ax+2的图象经过点E1,5．(1)求a的值和图象的顶点坐标．(2)若点F m,n在该二次函数图象上．①当m=-2时，求n的值．②若n≤2，请根据图象直接写出m的取值范围．【答案】(1)a=2；-1,1(2)①n=2；②-2≤m≤0【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键．(1)把点E(1,5)代入y=x2+ax+2中，即可求出a；(2)①把m=-2代入解析式即可求n的值；②由n≤2，在此范围内求m即可．【详解】(1)把点E(1,5)代入y=x2+ax+2中，∴a=2，∴y=x2+2x+2=(x+1)2+1，∴顶点坐标为(-1,1)；(2)①把m=-2代入n=m2+2m+2=(m+1)2+1，可得：n=2，②∵n≤2，对称轴为x=-1，∴-2≤m≤0．【典例分析】1(23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习)关于二次函数y=x2-6x+5下列说法中错误的是()A.用配方法可化成y=x-32-4 B.将它的图象向下平移5个单位，会经过原点C.函数有最小值，最小值为5D.当x<3时，y随x的增大而减小【答案】C【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象和几何变换，掌握二次函数的图象与坐标轴交点的求法是解题的关键．运用配方法把一般式化为顶点式，由二次函数的顶点式可判断其开口方向、对称轴、顶点坐标；令x=0可求得与y轴的交点坐标；则可得出答案．【详解】解：y=x2-6x+5=x-32-4，故A正确，不符合题意；2-9+5=x-3∴其对称轴为直线x=3，开口向上，顶点坐标为3，-4，∴函数有最小值，最小值为-4，当x<3时，y随x的增大而减小，故C错误，符合题意，D正确，不符合题意；令x=0可得y=5，∴与y轴的交点坐标为0，5，∴将它的图象向下平移5个单位，会经过原点，故B正确，不符合题意；故选：C2(2023·九年级上·上海杨浦·)将抛物线y=x2-2x+3向下平移m个单位后，它的顶点恰好落在x轴上，那么m=．【答案】2【分析】将抛物线解析式改为顶点式，即可求出平移后的解析式，进而可求出平移后的顶点坐标，最后根据它的顶点恰好落在x轴上，即顶点的纵坐标为0，可求出答案．【详解】解：∵y=x2-2x+3=(x-1)2+2，∴该抛物线向下平移m个单位后的解析式为y=(x-1)2+2-m，∴此时顶点坐标为(1，2-m)．∵此时它的顶点恰好落在x轴上，∴2-m=0，解得：m=2．故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的图象和性质．掌握二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”是解题关键3(23-24九年级上·四川泸州·期中)写出抛物线y=-2x2-4x+5的开口方向、对称轴及顶点坐标，并指出抛物线y=-2x2-4x+5可由抛物线y=-2x2怎样平移得到．【答案】抛物线y=-2x2-4x+5开口向下，对称轴为x=-1，顶点坐标为-1,7，抛物线y=-2x2-4x+5可由y=-2x2向上平移7个单位长度，向左平移1个单位长度得到．【分析】本题考查的知识点是二次函数的图像与性质、二次函数图像的平移，解题关键是理解抛物线y=ax2+bx+c的性质及掌握抛物线平移规律．先将抛物线y=-2x2-4x+5经配方转换为y=-2x+12+7，即可直接根据表达式判断抛物线开口方向、对称轴和顶点坐标；另根据抛物线平移规律“上加下减，左加右减”即可得出y=-2x2到y=-2x2-4x+5=-2x+12+7的平移过程．【详解】解：依题得抛物线y=-2x2-4x+5=-2x+12+7，则可根据抛物线性质得：抛物线y=-2x2-4x+5开口向下，对称轴为x=-1，顶点坐标为-1,7，∵根据抛物线平移规律“上加下减，左加右减”，∴y=-2x2-4x+5=-2x+12+7可由y=-2x2向上平移7个单位长度，向左平移1个单位长度得到【变式演练】1(23-24九年级上·安徽合肥·期末)若将抛物线y=ax2(a>0)向右平移h(h>0)个单位，得到抛物线y=ax2+bx+c，则函数y=bx+c的图象可能是()A. B.C. D.【答案】C【分析】本题主要考查了二次函数及一次函数的图象，熟练掌握图象与系数的关系是关键．先根据题意判断 b<0,c>0，再判断经过的象限．【详解】∵将抛物线y=ax2(a>0)向右平移h(h>0)个单位，得到抛物线y=ax2+bx+c，∴y=ax2+bx+c对称轴在y轴的右侧，且交于y轴的正半轴，∴b<0,c>0，∴y=bx+c的图象过第一、二、四象限．故选：C2(22-23九年级上·浙江宁波·期末)将抛物线y=x2+3x-6向上平移m个单位后，得到的图象不经过第四象限，则m的值可能是()A.1B.3C.5D.7【答案】D【分析】根据将抛物线y=x2+3x-6向上平移m个单位后，得到的图象不经过第四象限可知-6+m≥0，即可得出结果．【详解】解：∵将抛物线y=x2+3x-6向上平移m个单位后，得到的图象不经过第四象限，∴-6+m≥0，∴m≥6，∴m的值可能是7，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键3(21-22九年级上·广东中山·阶段练习)已知二次函数y=x2-2x-3．(1)请写出函数图象顶点坐标和对称轴∶(2)当函数值y为正数时，自变量x的取值范围∶(3)将该函数图象向右平移1个单位，再向上平移4个单位后，求所得图象的函数表达式．【答案】(1)1,-4，直线x=1(2)x<-1或x>3(3)y=x-22【分析】本题考查了二次函数的顶点式，对称轴，平移，不等式解集的确定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．(1)化成顶点式，确定对称轴和顶点坐标即可．(2)求得x2-2x-3=0的两个根，进而即可求解．(3)根据右减上加的平移规律，即可求解．【详解】(1)∵y=x2-2x-3=x-12-4．∴对称轴为直线x=1，顶点为1,-4．(2)根据题意，得x2-2x-3=0，解得x1=-1,x2=3，∵y=x2-2x-3=x-12-4开口向上，故当x<-1或x>3时，y>0．(3)∵y=x2-2x-3=x-12-4．平移后的解析式为y=x-1-122-4+4即y=x-2题型04a，b与图像的关系【典例分析】1(23-24九年级上·浙江金华·期末)已知二次函数y=-mx2+2mx+4m>0，点经过点A-2,y1 B1,y2，那么y1，y2，y3的大小关系为()，点C3,y3A.y1<y2<y3B.y1<y3<y2C.y2<y3<y1D.y3<y1<y2【答案】B【分析】本题考查利用二次函数性质比较函数值大小，涉及二次函数图像与性质、比较二次函数值大小等知识，根据二次函数图像与性质，利用图像上点到对称轴距离比较函数值大小即可得到答案，熟练掌握利用距离比较二次函数值大小的方法是解决问题的关键．【详解】解：由二次函数y=-mx2+2mx+4m>0可知抛物线开口向下，对称轴为x=-2m-2m=1，∴抛物线上点到对称轴距离越近，函数值y越大，∵二次函数y=-mx2+2mx+4m>0经过点A-2,y1，点B1,y2，点C3,y3，∴三个点A、B、C到对称轴的距离为3、0、2，∴y1<y3<y2，故选：B．2(23-24九年级上·广东广州·期中)若点A-134,y1B-1,y2，C53,y3为二次函数y=-ax2-4ax+5a<0图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是．【答案】y3>y1>y2【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据题意得抛物线开口向上，对称轴为直线x=-2，则点A-134,y1关于直线x=-2的对称点54,y1在抛物线y=-ax2-4ax+5a<0上，根据二次函数的性质即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．【详解】解：∵y=-ax2-4ax+5a<0，∴-a>0，对称轴为直线x=--4a2×-a=-2，∴抛物线开口向上，∴点A-134,y1关于直线x=-2的对称点54,y1在抛物线y=-ax2-4ax+5a<0上，∵-2<-1<54<53，∴y3>y1>y2，故答案为：y3>y1>y23(23-24九年级上·云南昆明·阶段练习)已知关于x的二次函数y=mx2+3m+1x+3．(1)求证：不论m为任何实数，方程mx2+3m+1x+3=0总有实数根；(2)若抛物线与x轴交于两个不同的整数点，m为正整数，点P x1,y1与Q x1+n,y2在抛物线上(点P, Q不重合)，且y1=y2，求代数式4x21+12x1n+5n2+16n+8的值．【答案】(1)证明见解析；(2)24【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的图象与性质等知识；(1)用根的判别式可以直接证明；(2)令y=0，方程可以化为mx+1x+3=0，解得x=-3或x=-1m，又m为正整数，可以求解m的值，进而可求出函数解析式；点P、Q在抛物线上，且y1=y2，可将x1、x1+n代入解析式联立方程，用含n的式子表示出x1，然后带入代数式化简求解即可．【详解】(1)解：由题意可知m≠0，∵Δ=b2-4ac=(3m+1)2-4m×3=(3m-1)2≥0∴此方程总有实数根；综上，不论m为任何实数时，方程总有实数根．(2)解：令y=0，则有mx+1x+3=0解得：x1=-3，x2=-1 m，因为抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，所以m=1，所以抛物线为y=x2+4x+3．∵点P、Q在抛物线上，且y1=y2，∴x12+4x1+3=(x1+n)2+2(x1+n)+3∴2x1n+n2+4n=0即：n(2x1+n+4)=0，∵P、Q不重合，∴n≠0，∴2x1=-n-4∴4x12+12x1n+5n2+16n+8=(2x1)2+2x1∙6n+5n2+16n+8=(n+4)2+6n(-n-4)+5n2+16n+8=24所以代数式 4x21+12x1n+5n2+16n+8的值为24【变式演练】1(23-24九年级上·浙江杭州·期末)已知关于x的二次函数y=ax2-4ax a>0．若P m,n和Q5,b是抛物线上的两点，且n>b，则m的取值范围为()A.m<-1B.m>5C.m<-1或m>5D.-1<m<5【答案】C【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由抛物线的解析式可知开口方向和对称轴为直线x=2，根据函数的对称性和增减性即可求解；熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键．【详解】解：∵二次函数y=ax2-4ax a>0．∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=--4a2a=2，∵P m,n和Q5,b是抛物线上的两点，∴当n=b时，m=-1，∵抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大，∴n>b时，m的取值范围为m<-1或m>5；故选：C．2(23-24九年级上·浙江杭州·期末)已知二次函数y=ax2-4ax+2(a为常数，且a≠0) (1)若函数图象过点1,0，求a的值；(2)当2≤x≤5时，函数的最大值为M，最小值为N，若M-N=18，求a的值．【答案】(1)a=2 3(2)a=±2【分析】本题考查了求二次函数的表达式、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．(1)将点1,0的坐标代入表达式求解即可；(2)分类讨论a的正负，结合对称轴和图象的增减性即可得出答案．【详解】(1)解：函数图象过点1,0得a-4a+2=0解得：a=2 3(2)由y=ax2-4ax+2可知对称轴为直线x=2①当a>0时，开口方向向上，当2≤x≤5时当x=2时取最小值，当x=5时取最大值∴M=5a+2，N=-4a+2∵M-N=5a+2--4a+2=9a=18解得a=2，满足题意．②当a<0时，开口方向向下，当2≤x≤5时当x=2时取最大值，当x=5时取最小值∴M=-4a+2，N=5a+2∴M-N=-4a+2-5a+2=-9a=18解得a=-2 满足题意．综上所述：a=±2．3(23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习)如图所示，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)经过点A(-1，0)，点B(4，0)，与y轴交于点C，连接AC，BC．点M是线段OB上不与点O、B重合的点，过点M作DM⊥x 轴，交抛物线于点D，交BC于点E．(1)求抛物线的表达式；(2)过点D作DF⊥BC，垂足为点F．设M点的坐标为M(m，0)，请用含m的代数式表示线段DF的长，并求出当m为何值时DF有最大值，最大值是多少？【答案】(1)抛物线的表达式为：y=-x2+3x+4(2)当m=2时，DF有最大值为22【分析】(1)利用待定系数法求函数解析式．(2)先求出B,C所在直线解析式可得∠OBC=∠OCB=45°，通过DF=22DE可表示DF长度的代数式，再配方求解即可．【详解】(1)把点A(-1，0)，点B(4，0)分别代入y=ax2+bx+4a≠0中，得：a-b+4=016a+4b+4=0解得：a=-1 b=3∴抛物线的表达式为：y=-x2+3x+4．(2)把x=0代入y=-x2+3x+4中，得：y=4∴C0,4设BC所在直线解析式为y=kx+b,把B4,0,C0,4代入y=kx+b中，得：0=4k+b 4=b解得k=-1 b=4∴y=-x+4设M m,0,则D(m,-m2+3m+4)，E m,-m+4∴DE=-m2+3m+4+m-4=-m2+4m ∵OB=OC=4,OC⊥OB∴∠OBC=∠OCB=45°∵DM⊥x轴∴∠DEF=∠BEM=45°又∵DF⊥BC∴DF=22DE=22-m2+4m=-22(m-2)2+22∵-22<0∴当m=2时，DF有最大值为22．【点睛】本题考查二次函数与图形的结合，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法求代数式的最值题型05a，c与图像的关系【典例分析】1(23-24九年级上·广东梅州·期末)如图所示是二次函数y=ax2-x+a2-1的图象，则a的值是()A.a=-1B.a=12C.a=1D.a=1或a=-1【答案】C【分析】此题考查了二次函数的图象．由图象得，此二次函数过原点0,0，把点0,0代入函数解析式得a2 -1=0，解得a的值．【详解】解：由图象得，此二次函数过原点0,0，把点0,0代入函数解析式得a2-1=0，解得a=±1；又因为此二次函数的开口向上，所以a>0；所以a=1．故选：C．2(23-24九年级上·浙江丽水·期末)已知二次函数y=ax²+2x+c a≠0的图象如图所示．(1)写出c的值；(2)求出函数的表达式．【答案】(1)3(2)y=-x²+2x+3【分析】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，综合利用已知条件求出抛物线的解析式是解题的关键．(1)将点0,3即可求出c；代入y=ax²+2x+c a≠0(2)把点A3,0即可求出函数表达式．代入y=ax²+2x+3a≠0【详解】(1)解：∵二次函数y=ax²+2x+c a≠0；的图象经过点0,3∴将点0,3得；代入y=ax²+2x+c a≠0c=3．(2)解：设函数的表达式为y=ax²+2x+3a≠0；∵函数图象经过点A3,0；∴把点A3,0得；代入y=ax²+2x+3a≠0a=-1；∴函数的表达式为：y=-x²+2x+33(23-24九年级上·广东广州·阶段练习)如图，二次函数y=ax2-2x+c的图象与x轴交于点A-3,0和点B，点y轴交于点C0,3．(1)求二次函数的解析式；(2)求B点坐标，并结合图象写出y<0时，x的取值范围；【答案】(1)y=-x2-2x+3；(2)B1,0，x<-3或x>1．【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．(1)利用待定系数解答，即可求解；(2)根据当y=0时，-x2-2x+3=0，求出点B1,0，进而根据图象可得出答案．【详解】(1)解：∵二次函数y=ax2-2x+c的图象经过点A-3,0，C0,3，∴9a+6+c=0 c=3，解得：a=-1 c=3，∴该二次函数的解析式为y=-x2-2x+3；(2)解：由(1)可知，二次函数的解析式为y=-x2-2x+3，当y=0时，-x2-2x+3=0，解得x1=1，x2=-3，∴B1,0，根据图象可知，当y<0时，x的取值范围为x<-3或x>1【变式演练】1(23-24九年级上·广西崇左·期末)已知二次函数y=m+2x2+m2-9有最大值，且图象经过原点，则m的值为()A.±3B.3C.-3D.±4.5【答案】C【分析】本题考查二次函数的基本性质，根据二次函数有最大值得出m<-2，根据二次函数图象经过原点得出m=±3，即可得出答案，掌握二次函数的性质是解题的关键．【详解】解：∵二次函数的解析式为：y=m+2x2+m2-9有最大值，∴m+2<0，∴m<-2，∵二次函数y=m+2x2+m2-9的图象经过原点，∴m2-9=0，∴m=-3或m=3，∵m<-2，∴m=-3．故选：C2(20-21九年级上·全国·单元测试)如图所示，抛物线y=ax2-x+c的图象经过A-1,0、B0,-2两点．1 求此抛物线的解析式；2 求此抛物线的顶点坐标和对称轴；3 观察图象，求出当x取何值时，y>0？【答案】1 y=x2-x-2；2 抛物线的对称轴是直线x=12；顶点坐标是12,-94；3当x取x<-1或x>2时，y>0．【分析】(1)把A点和B点坐标代入y=ax2-x+c得到关于a、c的方程组，然后解方程组求出a、c即可得到抛物线解析式；(2)把一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解；(3)先通过解方程x2-x-2=0 得到抛物线y=x2-x-2与x轴的另一个交点的坐标为2,0．然后写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的取值范围即可．【详解】1 ∵二次函数y=ax2-x+c的图象经过A-1,0、B0,-2，∴a+1+c=0c=-2，解得a=1c=-2∴此二次函数的解析式是y=x2-x-2；2 ∵y=x2-x-2=x-122-94，∴抛物线的对称轴是直线x=12；顶点坐标是12,-94 ；3 当y=0时，x2-x-2=0，解得x1=-1，x2=2，即抛物线y=x2-x-2与x轴的另一个交点的坐标为2,0．所以当x取x<-1或x>2时，y>0．【点睛】待定系数法求二次函数解析式, 二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系等，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键3(23-24九年级上·江苏扬州·期末)如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A1，0，B-2，3(1)求a+b的值；(2)用无刻度直尺画出抛物线的对称轴l；(用虚线表示画图过程，实线表示画图结果)(3)结合图象，直接写出当y≤3时，x的取值范围是．【答案】(1)a+b=-3(2)见解析(3)x≤-2或x≥0【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．(1)利用待定系数法求解即可；(2)根据二次函数图象的对称性可得出抛物线的对称轴；(3)观察函数图象，结合方程，即可得出结论．【详解】(1)解：将A1，0，B-2，3代入二次函数y=ax2+bx+3得：a+b+3=0 4a-2b+3=3，解得：a=-1 b=-2，∴a+b=-1+-2=-3；(2)解：如图，直线l为所求对称轴，，由(1)得二次函数的解析式为y=-x2-2x+3=-x+12+4，∴可以得出顶点坐标为-1，4，对称轴为直线x=-1；(3)解：令y=3，则-x2-2x+3=3，解得：x=0或x=-2，结合图象得：x≤-2或x≥0时，y≤3，故答案为：x≤-2或x≥0题型06a，b，c与图像的关系【典例分析】1(23-24九年级上·山东济南·期末)二次函数y=ax2+bx+c a≠0的图像如图所示，则下列结论中：①abc<0；②2a-b=0；③当-2<x<3时，y<0；④当x≥1时，y随x的增大而减小，正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】A【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，二次函数的性质．根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图像确定y<0时，x的范围，根据二次函数的性质确定增减性．掌握二次函数的图像和性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．【详解】解：①∵二次函数的图像开口向上，∴a>0，∵二次函数图像的对称轴在y轴的右侧，∴-b>0，2a∴b<0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c<0，∴abc>0，故结论①不正确；②∵a>0，b<0，∴2a-b>0，故结论②不正确；③∵二次函数的图像开口向上，对称轴为：x=1，该图像与x轴的位于对称轴左边的交点的坐标为-2,0，∴该图像与x轴的位于对称轴右边的交点的坐标为4,0，∴当-2<x<4时，y<0，∴当-2<x<3时，y<0，故结论③正确；④∵二次函数的图像开口向上，对称轴为：x=1，∴当x≥1时，y随x的增大而增大，故结论④不正确，∴正确的个数是1个．故选：A2(23-24九年级上·湖北随州·期末)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示抛物线的顶点坐标是1,1在该抛物线上，则am2+bm ，有下列结论①a>0；②b2-4ac>0；③4a+b=1；④若点A m,n+c≥a+b+c．其中正确的结论是．【答案】①③④【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，开口方向判断①，与x轴的交点个数，判断②，特殊点判断③，最值判断④．【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴a>0；故①正确；∵抛物线与x轴没有交点，∴b2-4ac<0；故②错误；∵顶点坐标为1,1，，图象过3,3∴a+b+c=1,9a+3b+c=3，两式相减，得：8a+2b=2，∴4a+b=1；故③正确；∵当x=1时y=a+b+c=1值最小，∴am2+bm+c≥a+b+c，故④正确；故答案为：①③④3(23-24九年级上·河南洛阳·期末)已知二次函数y=ax2+2ax-m．(1)当a=1时，二次函数y=ax2+2ax-m的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；(2)若二次函数y=ax2+2ax-m的部分图象如图所示，①求二次函数y=ax2+2ax-m图象的对称轴；②求关于x的一元二次方程ax2+2ax-m=0的解．【答案】(1)m>-1(2)①直线x=-1；②x1=1，x2=-3【分析】(1)将a=1代入二次函数y=ax2+2ax-m中，然后根据当a=1时，二次函数y=ax2+2ax-m的图象与x轴有两个交点，可知 22-4×1×-m>0，然后即可求得m的取值范围；(2)①将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴；②根据图象与x轴的一个交点和二次函数的性质，可以写出该函数图象与x轴的另一个交点，然后即可写出关于x的一元二次方程ax2+2ax-m=0的解；本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合熟练掌握以上知识的应用．【详解】(1)当 a=1时，y=ax2+2ax-m，∵当a=1时，二次函数y=ax²+2ax-m的图象与x轴有两个交点，∴22-4×1×-m>0，解得m>-1；(2)①∵y=ax2+2ax-m=a x+12-a-m，∴二次函数y=ax2+2ax-m的图象的对称轴是直线x=-1；②由图象可知：二次函数y=ax2+2ax-m的图象与x轴交于点(1,0),由①知，该函数的对称轴为直线x=-1，∴该函数与x轴的另一个交点为-3,0，∴关于x的一元二次方程ax2+2ax-m=0的解是x1=1，x2=-3【变式演练】1(23-24九年级上·云南昭通·阶段练习)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的是()A.b<0B.当x>0时，y>0C.a-3=cD.2a+b=0【答案】D【分析】本题考查抛物线与坐标轴的交点、二次函数的性质．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据函数图象的开口方向，对称轴，与y轴的交点位置，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：由图象可得，A．该函数图象的开口向下，∴a<0，∵对称轴位于y轴右侧，∴-b>0，2a∴b>0，故此选项不符合题意；B．由图象可得：当x>0时，y不一定大于0，故此选项不符合题意；C．该函数图象与y轴交于正半轴，∴c>0，而a<0，∴a-c<0，∴a-c=3错误，即a-3=c错误；故此选项不符合题意；D．该函数的对称轴为直线x=1，=1，∴x=-b2a∴b=-2a，即2a+b=0，故选项符合题意．故选：D2(23-24九年级上·宁夏吴忠·阶段练习)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①ac<0；②a+b=0；③a+b+c>0；④b2-4ac<0．其中正确的是．(填序号)。
二次函数的图像与系数a、b、c的关系经典习题
A B CD yOx yO x yO x yO x yO x 一、二次函数图像与系数a 、b 、c 、关系1、二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠０）的图象如图2所示，则点c M b a ⎛⎫⎪⎝⎭，在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 2、如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的大致图象为（ ）3、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）A 、240b ac ->B 、0a >C 、0c >D 、02ba-< 4、二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图3所示，则下列关于a ，b ，c 间关系的判断正确的是（ ） A 、ab ＜0 B 、bc ＜0 C 、a +b +c ＞0 D 、a -b +c ＜05、 二次函数c bx ax y ++=2，图象如图所示，则反比例函数xab y =的图象的两个分支分别在第 象限。
6、已知反比例函数xky =的图象如图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为( )7、二次函数y=ax 2与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ）8、函数y=ax 2＋bx ＋c 和y=ax ＋b 在同一坐标系中，如图所示，则正确的是（ ）9、在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2＋（a ＋c ）x ＋c 与一次函数y=ax ＋c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）10、二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）11、在同一坐标系中，函数y=ax 2＋bx 与y=xb的图象大致是图中的（ ）12、已知a ＜0，b ＞0，c ＞0，那么抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 13、已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图1所示，则a ，b ，c 满足（ ）A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0D ．a ＞0，b ＜0，c ＞014、二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠０）的图象如图2所示，则点c M b a ⎛⎫⎪⎝⎭，在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15、已知二次函数2y ax bx c =++（其中000a b c >><，，），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧．以上说法正确的个数为（ ）A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、⊿的符号的判定例1、下图中⊿0<的是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） （图3）练习：不论x 为何值,函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的值恒大于0的条件是( )A.a>0,△>0;B.a>0, △<0;C.a<0, △<0;D.a<0, △<0 三、含a 、b 的代数式符号的判定例1、抛物线y=x 2+2x-4的对称轴是直线（ ）.A.x=-2B.x=2C.x=-1D.x=1Oy x Oy x y x O y x O ..C A y xOy–1 3 3O xP1 -1O x =1yxy–1 3 3O xP 1 练习：二次函数)1)(3(2-+-=x x y 的图象的对称轴是直线________________．例2、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图3所示，则①20a b +>②20a b +<③02ba-<④20a b -<⑤20a b ->中正确的有________________________.(请写出序号即可)图4 图5练习：1、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，则下列说法不正确的是（ ） A ．240b ac ->B ．0a >C ．0c >D ．02ba-< 例1、如图5，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则cb a +-的值为 （ ）A. 0 B. －1 C. 1 D. 2练习：已知a －b ＋c=0 9a ＋3b ＋c=0,则二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点可能在（ ） （A ）第一或第二象限； （B ）第三或第四象限；（C ）第一或第四象限； （D ）第二或第三象限例2已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，那么下列判断正确的是（ ）(A)abc ＞0 （B ）ac b 42-＞0(C)2a+b ＞0 （D ）c b a +-24＜0练习：1、已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列4个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④240b ac ->；其中正确的结论有（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2、抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图6，OA=OC ，则（ ）（A ） ac+1=b; （B ） ab+1=c; （C ）bc+1=a; （D ）以上都不是图4 图5 图6图2y 0 1x-1 图1O xy-11作业：1、若二次函数c bx ax y ++=2中，a ＜0，b ＞0，c ＜0，042>-ac b ，则此二次函数图像不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2、当a>0, b<0,c>0时,下列图象有可能是抛物线y=ax 2+bx+c 的是（ ）3、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1所示，则下列结论中，正确的个数是（ ）①0<++c b a ；②0>+-c b a ；③0>abc ；④a b 2= （A ）4（B ）3（C ）2 （D ）14、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示，那么下列判断不正确的是（ ） (A)abc ＞0； （B ）ac b 42-＞0；(C)2a+b ＞0； （D ）c b a +-24＜05、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则 abc ，ac b 42-，b a +2，c b a ++这四个式子中， 值为正数的有（ ）A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个6、二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图3所示，则下列关于a ，b ，c 间关系的判断正确的是（ ） A ．ab ＜0 B ．bc ＜0 C ．a +b +c ＞0 D ．a -b +c ＜07、(2008年安徽省)如图为二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象，在下列说法中：① ac ＜0； ②方程ax 2＋bx ＋c=0的根是x 1= －1, x 2= 3 ② a ＋b ＋c ＞0 ④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大。
中考数学专项复习《二次函数图像与系数的关系》练习题及答案
中考数学专项复习《二次函数图像与系数的关系》练习题及答案一、单选题1．如图，是抛物线y=ax2+bx+c的图象，根据图象信息分析下列结论：①2a+b=0；②abc>0；③b2−4ac>0；④4a+2b+c<0.其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④2．已知反比例函数y＝ab x的图象如图所示，则二次函数y =a x 2－2x和一次函数y＝bx+a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．3．二次函数y=(x−1m)(mx−4m)（其中m＞0），下列说法正确的()A．当x＞2时，都有y随着x的增大而增大B．当x＜3时，都有y随着x的增大而减小C．若当x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则n≤2+ 12m D．若当x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则n≥ 12m 4．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①a<0；②ax2+bx+c=0的两个根是x1=-2，x2=4；③9a+c>0；④b:c=1：4，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，抛物线y1= 12(x+12)+1与y2=a(x-4)2-3交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：①a=23；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x>1时，y1>y2. 其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．抛物线y=ax2+bx+c的图象经过原点和第一、二、三象限，那么下列结论成立的是（）A．a＞0，b＞0，c=0 B．a＞0，b＜0，c=0C．a＜0，b＞0，c=0 D．a＜0，b＜0，c=07．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论不正确的是（）A．a＜0B．c＞0C．a+b+c＞0D．b2﹣4ac＞08．已知函数y=ax2+bx+c，当y>0时−12＜x＜13，则函数y=cx2−bx+a的图象可能是下图中的（）A．B．C．D．9．下列函数中，当x＜0时，函数值y随x的增大而增大的有（）个．①y=x；②y=-2x+1；③y=-1x；④y=3x2．A．1个B．2个C．3个D．4个10．已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），其部分图象如图所示，给出下列四个结论：①a＜0；②b2﹣4ac＞0；③2a﹣b=0；④若点P（x0，y0）在抛物线上，则ax02+bx0+c≤a﹣b+c．其中结论正确的是（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．下列关于抛物线y=x2+4x−5的说法正确的是（）①开口方向向上；②对称轴是直线x=−4；③当x<−2时，y随x的增大而减小；④当x<−5或x>1时，y>0.A．①③B．①④C．①③④D．①②③④12．已知抛物线y=ax2+3x+(a−2)，a是常数且a<0，下列选项中可能是它大致图像的是（）A．B．C．D．二、填空题13．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②若点C的坐标为（1，4），则△ABC的面积可以等于4；③M（x1，y1），N （x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1＋x2＞2，则y1＜y2；④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2＋bx＋c＋1＝0的两根为﹣1，3，其中正确结论的序号为.14．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0）．有下列结论：①图象的对称轴为直线：x＝1；②a：b：c＝﹣1：2：3；③若0＜x＜4，则5a＜y＜﹣3a；④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个根分别为﹣1和13，其中正确的结论有（填序号）．15．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a 、b、c为常数）中的x与y的部分对应值如下表：x－103my n33n时，则下列结论一定正确的是（填序号即可）①m=4；②abc<0；③x=3是方程αx2+bx+c=0的一个根；④不等式ax2+bx+c−3>0的解集为0<x<3.16．已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是．17．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①a<0，c>0，b<0 ；②b2-4ac>0；③a+b>am2+bm(m为实数)；④b+2a=0；⑤-a+c>0 正确的有。
二次函数系数a、b、c与图像的关系专项练习
二次函数系数a 、b 、c 与图像的关系专项练习知识要点二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0．（2）b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．（3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0．（4）b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b 2-4ac ＜0．（5）当x=1时，可确定a+b+c 的符号，当x=-1时，可确定a-b+c 的符号．（6）由对称轴公式x=，可确定2a+b 的符号．一．选择题（共9小题）1．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a ；④am 2+bm+a ＞0（m ≠﹣1）．其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c ＜0；②a ﹣b+c ＜0；③b+2a ＜0；④abc ＞0．其中所有正确结论的序号是（）A ．③④B ．②③C ．①④D ．①②③3．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①a ＜0；②c ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④＜0中，正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图，有以下结论：①b 2﹣4c ＜0；②c ﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：①abc ＜0；②2a ﹣b=0；③4a+2b+c ＜0；④若（﹣5，y 1），（2，y 2）是抛物线上的两点，则y 1＞y 2．其中说法正确的是（）A ．①②B ．②③C ．②③④D ．①②④6．如图，二次函数y=x 2+（2﹣m ）x+m ﹣3的图象交y 轴于负半轴，对称轴在y 轴的右侧，则m 的取值范围是（）A ．m ＞2B ．m ＜3C ．m ＞3D ．2＜m ＜37．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （﹣1，0），顶点坐标为（1，n ），与y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：①当x ＞3时，y ＜0；②3a+b ＞0；③﹣1≤a ≤﹣；④≤n ≤4．其中正确的是（）A ．①②B ．③④C ．①③D ．①③④9．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）的图象与x 轴交于点（﹣1，0），（x 1，0），且1＜x 1＜2，下列结论正确的个数为（）①b ＜0；②c ＜0；③a+c ＜0；④4a ﹣2b+c ＞0．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10、已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A 、a ＞0 B 、b ＜0 C 、c ＜0 D 、a+b+c ＞011、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b 2＞4ac ；②abc ＞0；③2a+b=0；④a+b+c ＞0；⑤a-b+c ＜0，则正确的结论是（）A 、①②③④B 、②④⑤C 、②③④D 、①④⑤12、如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（12，1），下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac-b 2=4a ；④a+b+c ＜0．其中正确结论的个数是（）A 、1B 、2C 、3D 、4答案一．选择题（共9小题）1．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a ；④am 2+bm+a＞0（m ≠﹣1）．其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：抛物线与y 轴交于原点，c=0，（故①正确）；该抛物线的对称轴是：，直线x=﹣1，（故②正确）；当x=1时，y=a+b+c∵对称轴是直线x=﹣1，∴﹣b/2a=﹣1，b=2a ，又∵c=0，∴y=3a ，（故③错误）；x=m 对应的函数值为y=am 2+bm+c ，x=﹣1对应的函数值为y=a ﹣b+c ，又∵x=﹣1时函数取得最小值，∴a ﹣b+c ＜am 2+bm+c ，即a ﹣b ＜am 2+bm ，∵b=2a ，∴am 2+bm+a ＞0（m ≠﹣1）．（故④正确）．故选：C ．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．2．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c ＜0；②a ﹣b+c ＜0；③b+2a ＜0；④abc ＞0．其中所有正确结论的序号是（）A ．③④B ．②③C ．①④D ．①②③考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①当x=1时，y=a+b+c=0，故①错误；②当x=﹣1时，图象与x 轴交点负半轴明显大于﹣1，∴y=a ﹣b+c ＜0，故②正确；③由抛物线的开口向下知a ＜0，∵对称轴为0＜x=﹣＜1，∴2a+b ＜0，故③正确；④对称轴为x=﹣＞0，a＜0∴a、b异号，即b＞0，由图知抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0 ∴abc＜0，故④错误；∴正确结论的序号为②③．故选：B．点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=﹣判断符号；（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；（4）当x=1时，可以确定y=a+b+c的值；当x=﹣1时，可以确定y=a﹣b+c的值．3．二次函数y=ax 2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解解：①∵图象开口向下，∴a＜0；故本选项正确；答：②∵该二次函数的图象与y轴交于正半轴，∴c＞0；故本选项正确；③∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不相同交点，∴根的判别式△=b2﹣4ac＞0；故本选项正确；④∵对称轴x=﹣＞0，∴＜0；故本选项正确；综上所述，正确的结论有4个．故选D．点评：本题主要考查了二次函数的图象和性质，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定，做题时要注意数形结合思想的运用，同学们加强训练即可掌握，属于基础题．4．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下结论：①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x=﹣1时，y=1﹣b+c＞0；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．解答：解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4ac＜0；故①正确；当x=﹣1时，y=1﹣b+c＞0，故②错误；∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0；。
二次函数的图像与系数a,b,c之间的关系(解析版)
专题03 二次函数图像与系数之间关系类型一、判断图像位置关系例1.如图，一次函数1y x =与二次函数22y x bx c =++的图像相交于P 、Q 两点，则函数()21y x b x c =+-+的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【详解】解： 由2y =x 2+bx +c 图象可知，对称轴x =2b -＞0，0c <， 0b ∴<，抛物线21y x b x c =+-+（）与y 轴的交点在x 轴下方，故选项B ，C 错误， 抛物线21y x b x c =+-+（）的对称轴为1122b b x --=-=，∴102b -＞， ∴抛物线y =x 2+（b -1）x +c 的对称轴在y 轴的右侧，故选项D 错误，故选：A ．【变式训练1】二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数y ax b =-+的图象大致是( )．A ．B ．C ．D ．【答案】C【详解】解：观察二次函数2y ax bx c =++的图象得：0,02b a a<-<， ∴0b <，0a ->，∴一次函数y ax b =-+的图象经过第一、三、四象限．故选：C【变式训练2】在同一平面直角坐标系中，函数()20y ax bx a =+≠与y ax b =+的图象可能是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【详解】解：函数()20y ax bx a =+≠经过原点（0，0），则B 错误；当a <0时，y ax b =+经过二、四象限，则D 错误；当02b a->时，b >0， y ax b =+经过一、二、四象限，则C 错误； 当a >0，02b a ->时，b <0， y ax b =+经过一、三、四象限，则A 符合题意． 故选：A ．【变式训练3】在同一平面直角坐标系中，函数2y ax bx =+与y ＝ax ＋b 的图象不可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】解：当a >0，b >0时，y =ax 2+bx 的开口上，与x 轴的一个交点在x 轴的负半轴，y =ax +b 经过第一、二、三象限，且两函数图象交于x 的负半轴，无选项符合； 当a >0，b <0时，y =ax 2+bx 的开口向上，与x 轴的一个交点在x 轴的正半轴，y =ax +b 经过第一、三、四象限，且两函数图象交于x 的正半轴，故选项A 正确，不符合题意题意； 当a <0，b >0时，y =ax 2+bx 的开口向下，与x 轴的一个交点在x 轴的正半轴，y =ax +b经过第一、二、四象限，且两函数图象交于x 的正半轴，C 选项正确，不符合题意；当a <0，b <0时，y =ax 2+bx 的开口向下，与x 轴的一个交点在x 轴的负半轴，y =ax +b 经过第二、三、四象限，B 选项正确，不符合题意；只有选项D 的两图象的交点不经过x 轴， 故选D.【变式训练4】如图，一次函数1y x =与二次函数22y ax bx c =++的图像相交于P ，Q 两点，则函数()21y ax b x c =+-+的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】∴一次函数1y x =与二次函数22y ax bx c =++的图像相交于P ，Q 两点， ∴一元二次方程()210ax b x c +-+=有两个不相等的实数根，∴函数()21y ax b x c =+-+与x 轴有两个交点， 由题意可知：02b a ->，0a >，∴110222b b a a a --=-+>， ∴函数()21y ax b x c =+-+的对称轴102b x a -=->，∴选项D 符合条件． 故选D ．类型二、根据图像判断a ，b ，c 之间关系例1．二次函数()20y ax bx c a =-+≠的图象如图所示，下列选项错误的是（ ）A ．0ac <B ．1x >时，y 随x 的增大而增大C ．0a b c ++>D ．方程20ax bx c ++=的根是11x =-，23x =【答案】C 【详解】A.由二次函数的图象开口向上可得a >0，由抛物线与y 轴交于x 轴下方可得c <0，所以ac <0，正确；B.由a >0，对称轴为x =1，可知x >1时，y 随x 的增大而增大，正确；C.把x =1代入()20y ax bx c a =-+≠得，y =a +b +c ，由函数图象可以看出x =1时二次函数的值为负，错误；D.由二次函数的图象与x 轴交点的横坐标是-1或3，可知方程20ax bx c ++=的根是121,3x x =-=，正确． 故选：C ．例2．如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）经过点()2,0，且对称轴为直线12x =，有下列结论：①0abc >；②0a b +>；③4330a b c ++<；④无论a ，b ，c 取何值，抛物线一定经过,02c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；⑤2440am bm b +-≥；⑥一元二次方程21ax bx c ++=有两个不相等的实数根，其中正确结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】D 【详解】解：①∴抛物线图象开口朝上，0a > ，∴抛物线对称轴为直线12x =，∴122b a -=， ∴0b a =-<，即0a b +=，故②错误；∴抛物线图象与y 轴交点位于x 轴下方，∴c <0，0abc ∴>，故①正确；③2y ax bx c =++经过()2,0，420a b c ∴++=又由①得c <0，0b <，4330a b c ∴++<，故③正确；④根据抛物线的对称性，得到2x =与1x =-时的函数值相等，∴当1x =-时0y =，即0a b c -+= a b =-，20a c ∴+=即12c a =-，∴2y ax bx c =++经过,02c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即经过(1,0)-，故④正确； ⑤当12x =时，1142y a b c =++，当x m =时，2y am bm c =++， 0a >，∴函数有最小值1142a b c ++，∴21142am bm c a b c ++≥++， ∴2442am bm a b +≥+，∴2440am bm b +-≥，故⑤正确；⑥方程21ax bx c ++=的解即为抛物线2y ax bx c =++与直线1y =的交点的横坐标，结合函数图象可知，抛物线2y ax bx c =++与直线1y =有两个不同的交点，即方程21ax bx c ++=有两个不相等的实数根，故⑥正确；综上所述：①③④⑤⑥正确．故选D ．【变式训练1】如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分与x 轴的一个交点坐标为()1,0，对称轴为1x =-，结合图象给出下列结论：①0a b c ++=；②20a b c -+<；③关于x 的一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两根分别为-3和1；④若点()14,y -，()22,y -，()33,y 均在二次函数图象上，则123y y y <<；⑤()a b m am b -<+（m 为任意实数）．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分与x 轴的一个交点坐标为()1,0， ∴当x =1时，0a b c ++=，故结论①正确；根据函数图像可知，当10x y =-<，，即0a b c -+<，对称轴为1x =-，即12b a-=-， 根据抛物线开口向上，得0a ＞，∴20b a =＞，∴0a b c b -+-<，即20a b c -+<，故结论②正确； 根据抛物线与x 轴的一个交点为()1,0，对称轴为1x =-可知：抛物线与x 轴的另一个交点为(-3，0)， ∴关于x 的一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两根分别为-3和1，故结论③正确；根据函数图像可知：213y y y <<，故结论④错误；当x m =时，2()y am bm c m am b c =++=++，∴当1m =-时，()a b c m am b c -+=++，即()a b m am b -=+，故结论⑤错误，综上：①②③正确，故选：C ．【变式训练2】二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，有以下结论：①3a －b ＝0；②240b ac ->；③520a b c -+>；④430b c +>，其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【详解】解：由图象可知a ＜0，c ＞0，对称轴为32x =-，∴322b x a=-=-，∴3b a =，①正确； ∴函数图象与x 轴有两个不同的交点，∴240b ac ∆=-＞，②正确；当1x =-时，0a b c -+＞，当3x =-时，930a b c -+＞，∴10420a b c -+＞，∴520a b c -+＞，③正确；由对称性可知1x =时对应的y 值与4x =-时对应的y 值相等，∴当1x =时，0a b c ++＜，∴3b a =，∴433333330b c b b c b a c a b c +=++=++=++（）＜，∴430b c +＜，④错误；故选：C ．【变式训练3】抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）如图所示，下列结论中：①20a b +=；②0a b c -+>；③当1x ≠时，2a b ax bx +>+；④24ac b <．正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【详解】解：从图象上可以看出二次函数的对称轴是直线x =1．∴12b a -=．∴2a b =-．∴20a b +=．故①符合题意．从图象上可以看出当x =-1时，二次函数的图象在x 轴下方．∴当x =-1时，y <0即()()2110a b c a b c ⨯-+⨯-+=-+<．故②不符合题意．从图象上可以看出当x =1时，二次函数取得最大值．∴当1x ≠时，2211ax bx c a b c a b c ++<⨯+⨯+=++．∴2ax bx a b +<+．故③符合题意．从图象上可以看出二次函数图象与x 轴有两个交点．∴240b ac ->．∴24b ac >．故④符合题意．故①③④共3个符合题意．故选：C ．【变式训练4】已知二次函数y =ax 2−4ax −5a +1(a >0)下列结论正确的是（ ）①已知点M (4，y 1)，点N (−2，y 2)在二次函数的图象上，则y 1>y 2；②该图象一定过定点（5，1）和（－1，1）；③直线y =x −1与抛物线y =ax 2−4ax −5a +1一定存在两个交点；④当−3≤x ≤1时，y 的最小值是a ，则a =110 A ．①④B ．②③C ．②④D ．①②③④ 【答案】B【详解】解：二次函数y =ax 2−4ax −5a +1(a >0)，开口向上，且对称轴为x =-42a a-=2， ①点N (−2，y 2)关于对称轴对称的点为(6，y 2) ，∴a >0，∴y 随x 的增加而增加，∴4<6，∴y 1<y 2；故①错误；②当y =1时，ax 2−4ax −5a +1=1，即x 2−4x −5=0，解得：x =5或x =-1，该图象一定过定点（5，1）和（-1，1）；故②正确；③由题意得方程：ax 2−4ax −5a +1= x −1，整理得：ax 2−(4a +1)x −5a +2=0，()()241452a a a =+--+=16a 2+8a +1+20a 2-8a =36a 2+1>0， 直线y =x −1与抛物线y =ax 2−4ax −5a +1一定存在两个交点；故③正确；④当−3≤x ≤1时，y 随x 的增加而减少，∴当x =1时，y 有最小值为a ，即a −4a −5a +1=a ，解得：a =19，故④错误；综上，正确的有②③，故选：B ．【变式训练5】抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2x =-．抛物线与x 轴的一个交点在点()4,0-和点(3,0)-之间，其部分图象如图所示，下列结论：①40a b -=；②3c a ≤；③关于x 的方程22ax bx c ++=有两个不相等实数根；④若()15,y -，()22,y 是抛物线上的两点，则12y y <；⑤224b b ac +>．正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【详解】解：∴抛物线的对称轴为直线x =-2b a =-2， ∴4a -b =0，所以①正确；∴与x 轴的一个交点在（-3，0）和（-4，0）之间，∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（-1，0）和（0，0）之间，∴x =-1时，y ＞0，且b =4a ，即a -b +c =a -4a +c =-3a +c ＞0，∴c ＞3a ，所以②错误；∴抛物线与x 轴有两个交点，且顶点为（-2，3），∴抛物线与直线y =2有两个交点，∴关于x 的方程ax 2+bx +c =2有两个不相等实数根，所以③正确；∴抛物线的对称轴为直线x =-2b a =-2，∴22(5)2-----＜， ∴a ＜0，∴12y y ＞所以④错误；∴抛物线的顶点坐标为（-2，3），∴2434ac b a-=，∴b 2+12a =4ac ， ∴4a -b =0，∴b =4a ，∴b 2+3b =4ac ，∴a ＜0，∴b =4a ＜0，∴b 2+2b ＞4ac ，所以⑤正确；∴正确的为①③⑤．故选：C【变式训练6】如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =，与x 轴的一个交点坐标为()1,0-，其部分图象如图所示，下列结论：①24ac b <，②30a c ->，③方程20ax bx c ++=的两个根是11x =-，23x =，④当0y >时，x 的取值范围是13x ，其中正确的有（ ）A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．①②④【答案】C 【详解】解：∴抛物线的对称轴为直线1x =，，与x 轴的一个交点坐标为()1,0-，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()3,0，12b a-=， ∴2b a =-，2=40b ac ∆->，即24ac b <，故①正确；∴抛物线开口向下，与y 轴交于y 轴正半轴，∴00a c <>，，∴30a <，∴30a c -<，故②错误；∴抛物线与x 轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），∴方程20ax bx c ++=的两个根是11x =-，23x =，故③正确；由函数图象可知当0y >时，x 的取值范围是13x ，故④正确； 故选C ．11。
二次函数——系数与图像的关系(含答案)
系数与图像的关系
1.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=﹣1，给出下列结果①b 2＞4ac；②abc ＞0；③2a +b=0；④a+b+c＞0；⑤a﹣b+c＜0，则正确的结论是
A、①②③④
B、②④⑤
C、②③④
D、①④⑤
2.已知二次函数y=ax 2+bx+c（a，b，c 为常数，a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0，②b 2﹣4ac＜0，③a﹣b+c＞0，④4a﹣2b+c＜0，其中正确结论的个数是
A、1
B、2
C、3
D、4
3.抛物线y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是
A、b 2﹣4ac＜0
B、abc＜0
C、
D、a﹣b+c＜0
12b a -<
-
4.已知：二次函数的图象如图所示，下列结论中：①；② ；③（的实数）；④；⑤.其中正确的项是 A．①⑤ B．①②⑤ C．②⑤ D．①③④
5.（黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西3分）已知二次函数）的图象如图所示，现有下列结论：
①2－4＞0 ②＞0 ③＞0 ④＞0 ⑤9+3+＜0，则其中结论正确的个数是 A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
()20y ax bx c a =++≠0abc ＞20a b +＜()a bm m am b ++＜1m ≠()2
2a c <b +1a ＞()20y ax bx c a =++≠b a c a b c a b c。
2024成都中考数学第一轮专题复习之二次函数图象与系数a,b,c的关系 知识精练(含答案)
2024成都中考数学第一轮专题复习之第三章微专题二次函数图象与系数a ，b ，c 的关系1.(2023贵州)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则点P (a ，b )所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限第1题图2.如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴相交于A (－1，0)，B 两点，对称轴是直线x ＝1，下列说法正确的是()第2题图A.a >0B.b >0C.点B 的坐标为(4，0)D.当x >－1时，y 的值随x 值的增大而增大3.(2023日照)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)a ＋b >0＋b <0，已知点(－3，m )，(2，n )，(4，t )在该抛物线上，则m ，n ，t 的大小关系为()A.t <n <mB.m <t <nC.n <t <mD.n <m <t 4.(2023凉山州)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是()第4题图A.abc<0B.4a－2b＋c<0C.3a＋c＝0D.am2＋bm＋a≤0(m为实数)5.(2023恩施州改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，与x轴的交点为(x1，0)，(x2，0)，其中一个交点为位于(2，0)，(3，0)两点之间．下列结论正确的是()A.2a＋b>0B.bc<0c D.－3<x1·x2<0C.a>－13第5题图6.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象关于直线x＝1对称，与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，若－2<x1<－1，则下列结论正确的是()第6题图A.3a＋2b>0B.b2<a＋c＋4acC.a>b>cD.a(m＋1)(m－1)<b(1－m)7.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示．下列结论正确的是()第7题图A.10a＋3b＋c>0B.a＋b>am2＋bmC.3a＋c<0D.若ax21＋bx1＝ax22＋bx2且x1≠x2，则x1＋x2＝4参考答案与解析1.D【解析】由二次函数的图象开口方向向上，对称轴在y轴的右侧，知a＞0，x＝－b2a ＞0，∴b＜0，∴P(a，b)在第四象限．2.B【解析】A.由图可知：抛物线开口向下，a＜0，故选项A错误，不符合题意；B.∵抛物线开口向下，∴a＜0.∵抛物线的对称轴是直线x＝－b2a＝1，∴b＝－2a＞0，故选项B正确，符合题意；C.由A(－1，0)，抛物线的对称轴是直线x＝1可知，点B的坐标为(3，0)，故选项C错误，不符合题意；D.∵抛物线的对称轴是直线x＝1，开口向下，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，x＜1时，y随x的增大而增大，故选项D错误，不符合题意，故选B.3.C【解析】∵当x＝0时，y＝ax2＋bx＝0，∴抛物线恒过(0，0)a＋b>0＋b<0，∴9a＋3b>0，∴当x＝3时，y＝ax2＋bx＝9a＋3b>0，当x＝1时，y＝ax2＋bx＝a＋b<0，∴抛物线开口向上，∴抛物线的对称轴在直线x＝12与x＝32之间．∵点(－3，m)到对称轴的距离在72到92之间，点(2，n)到对称轴的距离在12到32之间，点(4，t)到对称轴距离在52到72之间，∴n＜t＜m.4.C【解析】∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，∴a＞0，c＜0.∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴－b2a＝1，∴b＝－2a＜0，∴abc＞0，故A选项错误，不符合题意；∵当x＝4时，y＞0，抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＝－2时，y＞0，∴4a－2b＋c＞0，故B 选项错误，不符合题意；∵当x＝3时，y＝0，抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＝－1时，y＝0，∴a－b＋c＝0，又∵b＝－2a，∴3a＋c＝0，故C选项正确，符合题意；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，且抛物线开口向上，∴抛物线的最小值为a＋b＋c＝a－2a＋c＝－a＋c，∴am2＋bm＋c≥－a＋c，∴am2＋bm＋a≥0，故D选项错误，不符合题意．5.D【解析】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，∴－b2a＝1，∴b＝－2a，∴2a＋b＝0，故A错误；∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，b＝－2a＞0，c＞0，∴bc＞0，故B错误；∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，x＝3时y＜0，∴x＝－1时，y＜0，即a－b＋c＜0，∴a－(－2a)＋c＜0，∴a＜－13c，故C错误；∵抛物线与x轴的交点为(x1，0)，(x2，0)，∴x1，x2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，由函数图象与x轴交点可知－1＜x1＜0，2＜x2＜3，∴－3＜x1·x2＜0，故D正确．6.C【解析】∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象关于直线x＝1对称，∴其对称轴为直线x＝1，即－b2a＝1，∴b＝－2a，∴3a＋2b＝3a－4a＝－a.由图象可知该抛物线开口向上，∴a＞0，∴3a＋2b＝－a＜0，故A错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2－4ac＞0.由图象结合题意可知当x＝－1时，y＜0，∴a－b＋c＜0，∴a＋c＜b.∵a＞0，∴b＝－2a＜0，∴a＋c＜0，∴b2－4ac＞a＋c，即b2＞a＋c＋4ac，故B错误；∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，∴a＞0，c＜0，∴a＞c，由②可知a－b＋c＜0，b＝－2a，∴3a＋c＜0，∴c＜－3a，∴b＞c，∴a＞b＞c，故C正确；由图象可知当x＝1时，y有最小值，且为a ＋b＋c.∵a(m＋1)·(m－1)－b(1－m)＝am2＋bm－a－b＝am2＋bm＋c－(a＋b＋c)，又∵对于任意实数m，都有y m≥y＝a＋b＋c，∴am2＋bm＋c－(a＋b＋c)≥0，即a(m＋1)(m－1)－b(1－m)≥0，∴a(m＋1)(m－1)≥b(1－m)，故D错误．7.C【解析】∵对称轴是直线x＝1，与x轴交点在(3，0)左边，∴9a＋3b＋c＜0，∵图象开口向下，∴a＜0，∴10a＋3b＋c＜0，故A错误；∵对称轴是直线x＝1，图象开口向下，∴x＝1时，函数最大值是a＋b＋c，∴m为任意实数时a＋b＋c≥am2＋bm＋c，∴a＋b≥am2＋bm，故B错误；∵对称轴是直线x＝1，∴－b2a＝1，b＝－2a.由图可知抛物线与x轴交点在(3，0)左边，∴由对称得另一个交点在(－1，0)右边，得a－b＋c＜0，∴3a＋c＜0，故C正确；∵ax21＋bx1＝ax22＋bx2，∴ax21＋bx1－ax22－bx2＝0，∴a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(x1－x2)＝0，∴(x1－x2)[a(x1＋x2)＋b]＝0.∵x1≠x2，∴a(x1＋x2)＋b＝0，∴x1＋x2＝－ba.∵b＝－2a，∴x1＋x2＝2，故D错误．。
九年级上数学专题复习二：二次函数图象与系数的关系(含答案)
专题复习二 二次函数图象与系数的关系(1)系数a 决定抛物线的开口方向和大小，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下.(2)对称轴在y 轴的左侧，a ，b 同号；对称轴在y 轴的右侧，a ，b 异号.(3)c>0时，图象与y 轴交点在x 轴上方；c=0时，图象过原点；c<0时，图象与y 轴交点在x 轴下方.(4)b 2-4ac 的符号决定抛物线与坐标轴的交点个数.1.已知二次函数y=ax 2+bx 的图象如图所示，那么a ，b 的符号为(C ).A.a ＞0，b ＞0B.a ＜0，b ＞0C.a ＞0，b ＜0D.a ＜0，b ＜0(第1题) (第2题) (第5题)2.如图所示为二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，对称轴是直线x=1，则下列结论错误的是(D ).A.c ＞0B.2a+b=0C.b 2-4ac ＞0D.a-b+c ＞03.二次函数y=ax 2-a 与反比例函数y=xa (a ≠0)在同一平面直角坐标系中可能的图象为(A ).A. B. C. D.4.二次函数y=x 2+bx+c ，若b+c=0，则它的图象一定过点(D ).A.(-1，-1)B.(1，-1)C.(-1，1)D.(1，1)5.抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D(-1，2)，与x 轴的一个交点A 在(-3，0)和(-2，0)之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①b 2-4ac ＜0；②a+b+c ＜0；③c-a=2；④方程ax 2+bx+c-2=0有两个相等的实数根．其中正确的结论有(C ).A.1个B.2个C.3个D.4个6.已知抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴的交点都在原点的右侧，则点M(a ，c)在第 三 象限.7.如图所示为二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A(-3，0)，对称轴为直线x=-1，给出以下结论：（第7题）①abc ＜0；②b 2-4ac ＞0；③4b+c ＜0；④若B （-25，y 1），C （-21，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＞y 2； ⑤当-3≤x ≤1时，y ≥0.其中正确的结论有 ②③⑤ (填序号).8.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下，顶点落在第二象限．(1)试确定a ，b ，b 2-4ac 的符号，并简述理由．(2)若此二次函数的图象经过原点，且顶点在直线x+y=0上，顶点与原点的距离为32，求抛物线的二次函数的表达式．【答案】(1)∵抛物线开口向下，∴a ＜0.∵顶点在第二象限，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-044022ab ac a b ，∴b ＜0，b 2-4ac ＞0.(2)由题意可得c=0，此时顶点坐标为（-a b 2，-a b 42）.∵顶点在直线x+y=0上，∴-a b 2-a b 42=0. ∴b=-2.此时顶点坐标为（a 1，-a 1）.∴21a +21a =(32)2.∴a=-31或a=31 (舍去).∴抛物线的函数表达式为y=-31x 2-2x. 9.已知函数y=x 2-2mx 的顶点为点D.(1)求点D 的坐标(用含m 的代数式表示).(2)求函数y=x 2-2mx 的图象与x 轴的交点坐标.(3)若函数y=x 2-2mx 的图象在直线y=m 的上方，求m 的取值范围.【答案】(1)y=x 2-2mx=(x-m)2-m 2，∴顶点D(m ，-m 2).(2)令y=0，得x 2-2mx=0，解得x 1=0，x 2=2m.∴函数的图象与x 轴的交点坐标为(0，0)，(2m ，0).(3)∵函数y=x 2-2mx 的图象在直线y=m 的上方，∴顶点D 在直线y=m 的上方.∴-m 2＞m ，即m 2+m ＜0.∴m 的取值范围是-1＜m ＜0.10.已知抛物线y=ax 2+3x+(a-2)，a 是常数且a ＜0，下列选项中，可能是它大致图象的是(B).A.B.C.D.11.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论：①4ac-b 2＜0；②4a+c ＜2b ；③3b+2c ＜0；④m(am+b)+b ＜a(m ≠-1).其中正确的结论有(B ).A.4个B.3个C.2个D.1个(第11题) (第12题) （第14题）(第15题)12.函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，则下列结论：①b 2-4c ＜0；②c-b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+(b-1)x+c ＜0．其中正确结论的个数为(C ).A.1B.2C.3D.413.二次函数y=ax 2+bx+1(a ≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(-1，0).设t=a+b+1，则t 的取值范围是 0＜t ＜2 ．14.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则a b 的值为 -2 ，a c 的取值范围是 -8＜ac ＜-3 . 【解析】∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴x=-a b 2=1，即a b =-2.由图象知当x=-2时，y ＞0，即4a-2b+c ＞0①，当x=-1时，y ＜0，即a-b+c ＜0②，将b=-2a 代入①②，得c ＞-8a ，c ＜-3a. 又∵a ＞0，∴-8＜ca ＜-3.15.如图所示为抛物线y=ax 2+bx+c 的图象，A ，B ，C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则a ，b 之间满足的关系式为 a-b+1=0 ．(第16题)16.如图所示为二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象.(1)判断a ，b ，c 及b 2-4ac 的符号．(2)若OA=OB ，求证：ac+b+1=0．【答案】(1)a>0,b<0,c<0,b 2-4ac>0.(2)∵OA=OB ，且OB=|c|=-c ，∴ax 2+bx+c=0有一根为x=c.∴ac 2+bc+c=0.∴ac+b+1=0.17.对于二次函数y=ax 2+bx+c ，如果当x 取任意整数时，函数值y 都是整数，那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线(例如：y=x 2+2x+2)．(1)请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的函数表达式： y=21x 2+21x .(不必证明) (2)请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于21的整点抛物线？若存在，请写出其中一条抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=21x 2+21x (2)假设存在符合条件的抛物线，则对于抛物线y=ax 2+bx+c ，当x=0时，y=c;当x=1时,y=a+b+c. 由整点抛物线定义知：c 为整数，a+b+c 为整数，∴a+b 必为整数.又当x=2时，y=4a+2b+c=2a+2（a+b ）+c 是整数，∴2a 必为整数.∴|a|≥21.∴不存在二次项系数的绝对值小于21的整点抛物线.（第18题）18.【攀枝花】二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则下列命题中，正确的是(D ).A.a ＞b ＞cB.一次函数y=ax+c 的图象不经过第四象限C.m(am+b)+b ＜a(m 是任意实数)D.3b+2c ＞0【解析】由二次函数的图象可知a ＞0，c ＜0；由x=-1得-ab 2=-1，故b ＞0，b=2a ，则b ＞a ＞c ，故A 错误.∵a ＞0，c ＜0，∴一次函数y=ax+c 的图象经过第一、三、四象限，故B 错误.当x=-1时，y 最小，即a-b+c 最小，故a-b+c ＜am 2+bm+c ，即m(am+b)+b ＞a ，故C 错误. 由图象可知当x=1时y ＞0,即a+b+c ＞0，∵b=2a ，∴a=21b.∴21b+b+c ＞0.∴3b+2c ＞0，故D 正确.故选D.19.【杭州】在平面直角坐标系中，设二次函数y 1=(x+a)(x-a-1)，其中a ≠0.(1)若函数y 1的图象经过点(1，-2)，求函数y 1的表达式.(2)若一次函数y 2=ax+b 的图象与y 1的图象经过x 轴上同一点，探究实数a ，b 满足的表达式.(3)已知点P(x 0，m)和点Q(1，n)在函数y 1的图象上，若m ＜n ，求x 0的取值范围.【答案】(1)函数y 1的图象经过点(1，-2)，得(a+1)(-a)=-2，解得a 1=-2，a 2=1.当a1=-2时，y1=(x-2)(x+2-1)=x 2-x-2；当a2=1时，y1=(x+1)(x-2)=x 2-x-2.综上所述，函数y1的表达式为y=x 2-x-2.(2)当y=0时，(x+a)(x-a-1)=0，解得x 1=-a ，x 2=a+1.∴y 1的图象与x 轴的交点是(-a ，0)，(a+1，0).当y2=ax+b 经过(-a ，0)时，-a 2+b=0，即b=a 2；当y2=ax+b 经过(a+1，0)时，a 2+a+b=0，即b=-a 2-a.(3)由题意知，函数y 1的对称轴为直线x=21.当点P 在对称轴的左侧(含顶点)时，y 随x 的增大而减小，(1，n)与(0，n)关于对称轴对称，由m ＜n ，得0＜x 0≤21；当点P 在对称轴的右侧时，y 随x 的增大而增大，由m ＜n ，得21＜x 0＜1.综上所述，m ＜n ，所求x 0的取值范围0＜x 0＜1.20.如图所示，二次函数y=ax 2+2ax-3a(a ≠0)图象的顶点为H ，与x 轴交于A ，B 两点(点B 在点A 右侧)，点H ，B 关于直线l:y=33x+3对称．(1)求A ，B 两点坐标，并证明点A 在直线l 上.(2)求二次函数的表达式.(3)过点B 作直线BK ∥AH 交直线l 于点K,M,N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点，连结HN,NM,MK ，求HN+NM+MK 的最小值．(第20题)图1图2（第20题答图）【答案】(1)由题意得ax 2+2ax-3a=0(a ≠0)，解得x 1=-3,x 2=1.∴点A 的坐标为(-3,0),点B 的坐标为(1,0).∵直线y=33x+3,当x=-3时,y=33×(-3)+ 3=0,∴点A 在直线l 上.(2)∵点H ，B 关于过点A 的直线y=33x+3对称,∴AH=AB=4.∵AH=BH ，∴△ABH 为正三角形.如答图1所示，过顶点H 作HC ⊥AB 于点C ，则AC=21AB=2,HC=23,∴顶点H(-1,23)，代入二次函数表达式,解得a=-23.∴二次函数表达式为y=-23x 2-3x+233. (3)易求得直线AH 的函数表达式为y=3x+33，直线BK 的函数表达式为y=3x-3.由⎪⎩⎪⎨⎧-=+=33333x y x y ,解得⎩⎨⎧==323y x ,即K(3,23).∴BK=4.∵点H ，B 关于直线AK 对称,∴HN+MN 的最小值是MB.如答图2所示，过点K 作直线AH 的对称点Q,连结QK,交直线AH 于点E ，则QM=MK,QE=EK=KD=23,则QK=43,AE ⊥QK.∴BM+MK 的最小值是BQ,即BQ 的长是HN+NM+MK 的最小值.∵BK ∥AH,∴∠BKQ=∠HEQ=90°.由勾股定理可求得QB=8.∴HN+NM+MK 和的最小值为8.。
二次函数图象与系数之间的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象与各项系数之间的关系一、知识梳理1、二次项系数a：①a＞0时，抛物线开口向上；a＜0时，抛物线开口向下。
②|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。
2、一次项系数b：a,b共同决定了抛物线对称轴的位置，“左同右异”。
3、常数项c：决定抛物线与y轴交点的位置4、△= b2-4ac>0方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点；△= b2-4ac=0方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根函数y=ax2+bx+c与x轴只有一个交点；△= b2-4ac<0方程ax2+bx+c=0没有实数根函数y=ax2+bx+c与x轴没有交点；5、抛物线的特殊位置与系数的关系：（1）顶点在x轴上：b²-4ac=0；（2）顶点在y轴上：b=0；（3）顶点在原点：b=c=0；（4）抛物线经过原点：c=0.6、特殊代数式：二、典型例题例1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，现有下列结论：①b2－4ac＞0；②abc＞0；③a-b+c＞0；④9a＋3b＋c＜0；⑤2a+b=0，⑥3a+c<0，⑦8a+c>0；⑧am2＋bm>a+b(m≠1).则其中结论正确的是( )例2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，现有下列结论：①；②；③；④当x<0时，y随x增大而增大；则其中结论正确的是( )例3.当b<0时，一次函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（）x变式练习1、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①②当x=1时，函数有最大值。
③当x=-1或x=3时，函数y的值都等于0. ④4a+2b+c<0其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4（第1题）（第2题）（第3题）2、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列4个结论：①ab c>0；②b<a+c；③4a+2b+c >0；④b2-4ac>0；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）A、abc＞0；B、b2-4ac>0；C、2a+b＞0；D、4a+2b+c＜04、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中，正确的个数是（）①a+b+c<0；②a-b+c>0；③abc>0；④b=2aA、4B、3C、2D、15、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c其中a,b,c满足a+b+c=3和9a+3b+c=3，则该二次函数图象的对称轴是直线．6、已知y=ax2+bx+c中a<0，b>0，c<0，△<0，函数的图象经过象限。
二次函数图象与系数的关系(压轴题专项讲练)(解析版)—2024-2025学年九年级数学上册(浙教版)
二次函数图象与系数的关系数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
一、二次函数图象与系数的关系对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a 与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置．【典例1】如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点B (4,0)，则下列结论中：①abc>0②4a+b>0；③M(x1,y1)与N(x2,y2)是抛物线上两点，若0<x1<x2，则y1>y2；④若抛物线的对称轴是直线x=3，m为任意实数，则a(m―3)(m+3)<b(3―m)；⑤AB≥3，则4b+3c>0，正确的个数是（）A．5B．4C．3D．2本题考查了二次函数的图象和性质．根据图象可知，a<0，c<0，b>0，即可判断①结论；根据图象可得对称轴在直线x=2右侧，即―b2a>2，即可判断②结论；根据二次函数的增减性，即可判断③结论；根据对称轴，得出b=―6a，再利用作差法，即可判断④结论；根据抛物线与x轴的交点B(4,0)，整理得出a =―4b+c 16，再根据AB ≥3，得到y =a +b +c ≥0，进而得出4b +5c ≥0，再结合c <0，即可判断⑤结论．根据图象得出二次函数表达式各系数符号是解题关键．解：∵抛物线开口线下，与y 轴交于负半轴，∴a <0，c <0，∵对称轴在x 轴正半轴，∴a 、b 异号，∴b >0，∴abc >0，①结论正确；∵抛物线与x 轴正半轴交于A 、B 两点，且点B (4,0)，∴对称轴在直线x =2右侧，即―b 2a >2，∴2―<0，∴4a+b2a <0，∵a <0，∴4a +b >0，②结论正确；M (x 1,y 1)与N (x 2,y 2)是抛物线上两点，且0<x 1<x 2，∵0<x <―b 2a 时，y 随x 的增大而增大；x >―b2a 时，y 随x 的增大而减小；∴无法判断y 1和y 2的大小，③结论错误；∵抛物线的对称轴是直线x =3，∴―b 2a =3，即b =―6a ，∴ a (m ―3)(m +3)―b (3―m )=a (m ―3)(m +3)+6a (3―m )=a (m ―3)(m +3―6)=a (m ―3)2，∵a <0，(m ―3)≥0，∴a (m ―3)2≤0，∴ a (m ―3)(m +3)≤b (3―m )，④结论正确；∵抛物线与x 轴正半轴交于A 、B 两点，且点B (4,0)，∴当x =4时，y =16a +4b +c =0，∴a =―4b+c 16，∵AB ≥3，∴点A 的横坐标0<x A ≤1，∴当x =1时，y =a +b +c ≥0；∴―4b+c 16+b +c ≥0，整理得：4b +5c ≥0，∴4b +3c ≥―2c ，∵c <0，∴2c >0，∴4b +3c >0，⑤结论正确；∴正确的结论有①②④⑤，共4个，故选：B ．1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象关于直线x =―1对称，与x 轴的一个交点在原点和(1,0)之间，下列结论错误的是（ ）A ．abc <0B ．b =2aC ．4a ―2b +c >0D ．a ―b ≤m (am +b )（m 为任意实数）【思路点拨】本题考查二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．根据抛物线开口向上，对称轴，与y 轴交点位置，即可判断选项A ；根据抛物线对称轴即可判断选项B ；根据“对称轴为直线x =―1，0<x 1<1”可判断选项C ； 当x =―1时，y =ax 2+bx +c =a ―b +c 为最小值，据此可判断选项D．【解题过程】解：A．∵抛物线开口向上，∴a>0，∵对称轴为直线x=―1，=―1，∴―b2a∴b=2a>0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c<0，∴abc<0，原题结论正确，故此选项不符合题意；B．∵对称轴为直线x=―1，=―1，∴―b2a∴b=2a，故选项正确，不符合题意；C．∵对称轴为直线x=―1，0<x2<1，∴―3<x1<―2，∴当x=―2时，y=4a―2b+c<0原题结论错误，故此选项符合题意；D．当x=―1时，y=ax2+bx+c=a―b+c为最小值，∴a―b+c≤am2+bm+c，∴a―b≤am2+bm，∴a―b≤m(am+b)，原题结论正确，故此选项不符合题意．故选：C．2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，对称轴为直线x=―1，则下列结论中：>0②am2+bm≤a―b（m为任意实数）③3a+c<1①bc④若M(x1,y)、N(x2,y)是抛物线上不同的两个点，则x1+x2≤―3．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得a<0，b=2a<0即可判断①，x=―1时，函数值最大，即可判断②，根据x=1时，y<0，即可判断③，根据对称性可得x1+x2=―2即可判段④，即可求解．【解题过程】解：∵二次函数图象开口向下∴a<0∵对称轴为直线x=―1，=―1∴x=―b2a∴b=2a<0∵抛物线与y轴交于正半轴，则c>0<0，故①错误，∴bc∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=―1,∴当x=―1时，y取得最大值，最大值为a―b+c∴am2+bm+c≤a―b+c（m为任意实数）即am2+bm≤a―b，故②正确；∵x=1时，y<0即a+b+c<0∵b=2a∴a+2a+c<0即3a+c<0∴3a+c<1，故③正确；∵M(x1,y)、N(x2,y)是抛物线上不同的两个点，∴M,N关于x=―1对称，∴x1+x22=―1即x1+x2=―2故④不正确正确的有②③故选：B3．（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B，对称轴为直线x=1，下列四个结论：①bc<0；②3a+2c<0；③ax2+bx≥a+b；④若―2<c<―1，则―83<a+b+c<―43，其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4【思路点拨】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，求出c=―3a，进一步得到1 3<a<23，又根据b=―2a得到a+b+c=a―2a―3a=―4a，即可判断④.【解题过程】解：①∵函数图象开口方向向上，∴a>0；∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴b<0，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c<0，∴bc>0，故①错误；②∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B，对称轴为直线x=1，∴―b2a=1，∵b=―2a，∴x=―1时，y=0，∴a―b+c=0，∴3a+c=0，∴3a+2c<0，故②正确；③∵对称轴为直线x=1，a>0，∴y=a+b+c最小值，ax2+bx+c≥a+b+c，∴ax2+bx≥a+b，故③正确；④∵―2<c<―1，∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得x1x2=(―1)×3=―3=ca，∴c=―3a，∴―2<―3a<―1，∴13<a<23，∵b=―2a，∴a+b+c=a―2a―3a=―4a，∴―83<a+b+c<―43，故④正确；综上所述，正确的有②③④，故选：C4．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点1，1，m，0，3，0，若c<0，则下列结论中错误的是（）A．ab<0B．4ac―b2<4aC．3a+b<0D．点2+m，1必在该抛物线上【思路点拨】根据抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右边，可得a<0，c<0，b>0，即可判断A；将抛物线化为顶点式，由顶点在第一象限得到4ac―b24a>1，结合a<0即可判断B；由点3，0在抛物线上得到3a+b=―c3，再由c<0即可判断C；由抛物线的对称性即可判断D．【解题过程】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右边，∴a<0，c<0，―b2a>0，∴b>0，∴ab<0，故A正确，不符合题意；∵y=ax2+bx+c=a x++4ac―b24a ，抛物线的顶点在第一象限，经过点1，1，对称轴为直线x=m+32>1，∴4ac―b24a>1，∵a<0，∴4ac―b2<4a，故B正确，不符合题意；∵抛物线y=ax2+bx+c经过点3，0，∴9a+3b+c=0，∴3a+b=―c3，∵c<0，∴―c3>0，∴3a+b=―c3>0，故C错误，符合题意；∵抛物线y=ax2+bx+c经过点1，1，m，0，3，0，∴对称轴为直线x=m+32，∵1+2+m2=m+32，∴1，1和2+m，1关于对称轴对称，∴点2+m，1必在该抛物线上，故D正确，不符合题意；故选：C．5．（23-24九年级上·河南周口·期末）抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是直线x=1．下列结论：①abc>0；②2a+b=0；③4a―2b+c=0；④方程ax²+bx+c=2有两个不相等的实数根；⑤若点A(m,n)在该抛物线上，则am²+bm+c≤a+b+c．其中正确的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【思路点拨】由开口方向及与y轴的交点可判断，a<0，c>0，再根据“左同右异”的方法可判断b的符号，从而可判断可判断②；由图象得x2=4和对称轴可求x1=―2，可得抛物线与x的另一个交点为①；由对称轴x=―b2a(―2,0)，代入即可判断③；设y1=2，则图象为过(0,2)且垂直于y轴的一条直线，并且与抛物线有两个交点，=a+b+c，即可判断⑤．可判断④；当x=1时，y最大【解题过程】解：由图得：a<0，c>0，∵对称轴在y轴右侧，∴b>0，∴abc<0，故①错误；∵抛物线的对称轴是直线x=1，∴―b=1，2a∴2a+b=0，故②正确；由图象得x 2=4，∴1―x 1=4―1解得：x 1=―2，∴抛物线与x 的另一个交点为(―2,0)，∴a ×(―2)2+(―2)b +c =0，即：4a ―2b +c =0，故③正确；设y 1=2，则图象为过(0,2)且垂直于y 轴的一条直线，与抛物线有两个交点，∴方程ax²+bx +c =2有两个不相等的实数根；故④正确；∵抛物线的对称轴是直线x =1，且a <0，∴当x =1时，y 最大=a +b +c ，∴ am²+bm +c ≤a +b +c ，故⑤正确；综上所述：正确的有②③④⑤，共4个；故选：C ．6．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图是二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)图象的一部分，对称轴为x =12，且经过点(2,0)．下列说法：①abc <0；②―2b +c =0；③4a +2b +c <0；④若―52,y 1y 2是抛物线上的两点，则y 1<y 2；⑤14b >m (am +b )（其中m ≠12），其中说法正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①②④⑤D ．②③④⑤【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．利用抛物线的开口方向、对称轴和与y轴的交点位置来判定①，利用抛物线与x轴的两个交点的坐标、结合一元二次方程根与系数的关系来判定②，把点(2,0)代入二次函数的解析式来判定③，观察图象可得：距离对称轴越近的点的纵坐标越大，据此判定④，根据二次函数的最大值判定⑤．【解题过程】解：∵抛物线开口向下，∴a<0，抛物线对称轴为x=―b2a =12，∴b=―a>0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，∴abc<0，所以①正确；对称轴为x=12，且经过点(2,0)，抛物线与x轴的另一个交点为(―1,0)，∴一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为2和―1，∴2×(―1)=ca，整理，得c=―2a，∴―2b+c=2a+(―2a)=0，所以②正确；抛物线经过(2,0)，∴当x=2时，y=0，∴4a+2b+c=0，所以③错误；∵a<0，∴距离对称轴越近的点的纵坐标越大，∵1 2―(―52)>52―12，∴y1<y2所以④正确；∵对称轴为x =12，∴当x =12时，y 有最大值，y 的最大值=14a +12b +c ，∴当x =m ≠12时，14a +12b +c >am 2+bm +c ，整理，得14a +12b >am 2+bm =m(am +b)，∵b =―a ，即a =―b ，∴14a +12b =―14b +12b =14b ，即14b >m (am +b )，所以⑤正确．其中说法正确的是①②④⑤．故选：C ．7．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于两点(x 1,0)、(2,0)，其中0＜x 1＜1．下列四个结论：①abc <0；②a +b +c >0；③2a ―c >0；④点(―2,y 1)，(4,y 2)都在抛物线上，则有y 1>y 2；⑤不等式ax 2+bx +c <―c x 1x +c 的解集为0＜x ＜x 1．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【思路点拨】本题考查了抛物线图像综合，根据抛物线开口向上，a ＞0；对称轴在原点的右边，―b 2a ＞0，得到b ＜0，c ＞0，判断abc <0；结合图像，a +b +c ＜0；根据对称轴，增减性，数形结合思想计算判断即可．【解题过程】解：∵抛物线开口向上，∴a ＞0；∵对称轴在原点的右边，―b 2a ＞0，∴b ＜0，∵抛物线与y 轴交点位于坐标轴上，∴c ＞0，∴abc <0；故①正确；结合图像，a +b +c ＜0；故②错误；∵抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于两点(x 1,0)、(2,0)，其中0＜x 1＜1．∴1＜x 1+22＜32，4a +2b +c =0，∴1＜―b 2a ＜32，2b =―c ―4a ，∴―3a ＜b ＜―2a ，2b =―c ―4a ，∴2b ＞―6a ，b +2a ＜0，∴―4a ―c ＞―6a ，∴2a ―c >0，故③正确；∵点(―2,y 1)，(4,y 2)∴y 1=4a ―2b +c,y 2=16a +4b +c ，∴y 1―y 2=4a ―2b +c ―(16a +4b +c )=―6(2a +b )，∵b +2a ＜0，∴―6(2a +b )＞0∴y 1>y 2；故④正确；设直线y =―cx 1x +c ，根据题意，直线经过点(x 1,0)和(0,c )，故直线y =―c x 1x +c 与y =ax 2+bx +c 的交点为点(x 1,0)和(0,c )，画草图如下，x+c的解集为0＜x＜x1．故不等式ax2+bx+c<―c x1故⑤正确；故选D．8．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像的一部分如图所示，该函数图像经过点(5，0)，对称轴为直线x=2．对于下列结论：①b>0；②a+c<b；③多项式ax2+bx+c 可因式分解为(x+1)(x―5)；④无论m为何值时，代数式am2+bm―4a―2b的值一定不大于0．其中正确个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】=2可得抛物线与x轴的另一个交先根据图像的开口方向和对称轴可判断①；由抛物线的对称轴为x=x1+x22点为(―1,0)，由此可判断②；根据抛物线与x轴的两个交点坐标可判断③；根据函数的对称轴为x=2可知x=2时y有最大值，由此可判断④．本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图像和系数的关系．【解题过程】解：∵抛物线开口向下，∴a<0，>0，∵对称轴为直线x=―b2a∴b>0，∴结论①正确；∵抛物线与x轴的一个交点为(5，0)，且对称轴为直线x=2，由5+x 22=2，得x 2=―1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为(―1,0)，即当x =―1时，y =0，∴a ―b +c =0，∴a +c =b ，∴结论②错误；∵抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的两个交点为(―1,0)，(5，0)，∴多项式ax 2+bx +c 可因式分解为a(x +1)(x ―5)，∴结论③错误；∵对称轴为直线x =2，且函数开口向下，∴当x =2时，y 有最大值，由y =ax 2+bx +c 得，x =2时，y =4a +2b +c ，x =m 时，y =am 2+bm +c ，∴无论m 为何值时，am 2+bm +c ≤4a +2b +c ，∴am 2+bm ―4a ―2b ≤0∴结论④正确；综上：正确的有①④．故选：B9．（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）如图，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点A (―1,0)，顶点坐标为(1,n )，与y 轴的交点在(0,2)、(0,3)之间（包含端点）．正确结论的个数是（ ）①当x >3时，y <0；②3a +b >0；③―1≤a ≤―23；④83≤n ≤4．A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数的关系；二次函数与一元二次方程的关系；熟练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解题的关键．①根据题意可得抛物线的对称轴为直线x=1，得到另一个交点坐标，结合函数图象即可对于①作出判断；②根据抛物线开口方向得出a<0，由对称轴x=―b求得b与a的关系，代入3a+b，即可判定3a+b的符2a，号；③根据二次函数与x轴的交点坐标即为对应一元二次方程的解，结合一元二次方程两根之积x1⋅x2=ca 得到c与a的关系，然后根据c的取值范围，利用不等式的性质来求a的取值范围；④把顶点坐标代入函数解c，根据c的取值范围，利用不等式的性质来求得n的取值范围．析式得到n=a+b+c=43【解题过程】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(1,n)，∴对称轴直线是x=1，∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(―1,0)，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0)，∴根据图象可得，当x>3时，y<0；故①正确；②a<0；=1，∵对称轴x=―b2a∴b=―2a；∴3a+b=3a―2a=a<0，即3a+b<0；故②错误；③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是(―1,0)，(3,0)，即方程ax2+bx+c=0的解是x1=―1和x2=3，∴x1⋅x2=―1×3=―3，=―3，即ca；则a=―c3∵抛物线与y轴的交点在(0,2)、(0,3)之间（包含端点），∴2≤c≤3，∴―1≤―c3≤―23；即―1≤a≤―23；故③正确；④∵a=―c3；b=―2a∴b=―2a=23c，∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(1,n)，即n=a+b+c=43c∵2≤c≤3，∴8 3≤43c≤4，即83≤n≤4；故④正确；综上所述，正确的说法有①③④．故选：C．10．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与x轴负半轴交于―12,0，对称轴为直线x=1．有以下结论∶①abc<0；②3a+c>0；③若点(―3,y1)，(3,y2)，(0,y3)均在函数图象上，则y1>y3>y2；④若方程a(2x+1)(2x―5)=1的两根为x1、x2，且x1<x2则x1<―1 2<52<x2；⑤点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得，则a的范围为a≥23．其中结论正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】本题考查二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．【解题过程】解：∵对称轴为直线x =1，函数图象与x 轴负半轴交于 ―12,0，∴x =―b 2a =1，∴b =―2a ，由图象可知 a >0，c <0，∴b =―2a <0，∴abc >0，故①错误；由图可知，当x =―1时，y =a ―b +c >0 ，∴a +2a +c >0，即3a +c >0，故②正确；∵点(―3,y 1)，(3,y 2)，(0,y 3)均在函数图象上，对称轴为直线x =1，开口向上，∴|―3―1|>|3―1|>|0―1|，则 y 1>y 2>y 3，故③错误；由抛物线对称性可知，抛物线与x ,0，∴抛物线解析式为：y =a x令a x ―=14，则a (2x +1)(2x ―5)=1，如图，作y =14，由图形可知x 1<―12<52<x 2 ，故④正确；由题意可知：M ，N 到对称轴的距离为32，当抛物线的顶点到x 轴的距离不小于 32时，在x 轴下方的抛物线上存在点P ，使得PM ⊥PN ，即4ac―b 24a ≤―32，∵y =a x =ax 2―2ax ―54a ，∴c =―54a ，b =―2a ，≤―32，解得：a ≥23，故⑤正确，综上可知②④⑤正确，共3个，故选：C ．11．（23-24九年级下·山东烟台·期中）已知二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点(―2,0)，顶点坐标为―12,m ．对于下列结论：①abc <0；②a +b +c =0；③若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ―3=0无实数根，则m <3；④am 2+bm <14(a ―2b )）（其中m ≠―12）﹔⑤若A (x 1,y 1)和B (x 2,y 2)均在该函数图象上，且x 1>x 2>1，则y 1>y 2．其中正确结论有（ ）A ．②③④B ．②③⑤C ．②③D ．④⑤【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与直线交点问题，掌握二次函数图象与系数关系，二次根据抛物线与x 轴的一个交点(―2,0)以及其对称轴，求出抛物线与x 轴的另一个交点(1,0)，利用待定系数法求函数解析式，再根据抛物线开口朝下，可得a <0，进而可得b <0，c >0，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可．【解题过程】解：∵抛物线开口方向向下，∴a <0，∵抛物线的对称轴为直线x =―12，∴―b 2a =―12∴b =a <0∵抛物线与抛物线与轴交点在正半轴上，∴c >0，∴abc >0，故①错误；∵抛物线的对称轴为直线x =―12，且抛物线与x 轴的一个交点坐标为(―2,0)，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(1,0)，把(1,0)代入y =ax 2+bx +c(a ≠0)，可得：a +b +c =0，故②正确；∵关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ―3=0无实数根，∴二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象与直线y =3无交点，∵抛物线的顶点坐标为―12,m ，抛物线开口方向向下，∴m <3，故③正确；∵am 2+bm =am 2+am =a m +―14a ，14(a ―2b)=14(a ―2a)=―14a ，∴am 2+bm ―14(a ―2b)=a(m +12)2，又∵a <0，m ≠―12，∴a m <0，即am 2+bm <14(a ―2b)（其中m ≠―12)，故④正确；∵抛物线的对称轴为直线x =―12，且抛物线开口朝下，∴可知二次函数，在x >―12时，y 随x 的增大而减小，∵x 1>x 2>1>―12，∴y 1<y 2，故⑤错误，正确的有②③④，故选：A ．12．（2024·四川达州·三模）如图，函数y =ax 2+bx +c 的图象过点(―1,0)和(m,0)，请思考下列判断：①abc <0；②4a +c <2b ；③b c +1m =1；④am 2+(2a +b )m +b +c <0；⑤|am +a |=确的结论有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．5【思路点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系①利用图象信息即可判断；②根据x =―2时，y <0即可判断；③根据m 是方程ax 2+bx +c =0的根，结合两根之积―m = c a ，即可判断；④根据两根之和―1+m =― b a ，可得ma =a ―b ，可得am 2+(2a +b)m +b +c =2a ―b <0；⑤根据抛物线与x 轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断．【解题过程】解：∵抛物线开口向下，∴a <0，∵抛物线交y 轴于正半轴，∴c >0，∵― b 2a >0，∴b >0，∴abc <0，故①正确，∵x =―2时，y <0，∴4a ―2b +c <0，即4a +c <2b ，故②正确，∵ y =ax 2+bx +c 的图象过点(―1,0)和(m,0)，∴―1×m = c a ，am 2+bm +c =0，则am c =―1，∴ b c =0，∴ b c +1m =1，故③正确，∵―1+m =― ba ，∴―a +am =―b ，∵am2+(2a+b)m+b+c=am2+bm+c+2am+b=2a―2b+b=2a―b∵a<0，b>0∴2a―b<0，故④正确，对于ax2+bx+c=0，可得：x=由函数图象交点可知x=m或x=―1，∴m+1=，∴m+1=，∴|am+a|=⑤正确，故选：D．13．（23-24八年级下·云南·期末）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图，图象过点(―1,0)下列结论：①b2>4ac；②4a+b=0；③4a+c>2b；④―3b+c=0；⑤若顶点坐标为(2,4)，则方程ax2 +bx+c=5没有实数根．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【思路点拨】本题主要考查二次函数与系数a，b，c相关代数式的判断问题，会利用对称轴求b与a的关系，以及二次函数与方程之间的转换，掌握根的判别式的熟练运用，是解题的关键．由抛物线的开口方向判断a<0，将点(―1,0)代入y=ax2+bx+c(a≠0)，得a―b+c=0，由图象可得对称轴为x=2，可得b=―4a，代入上式可得c=―5a，再将五个结论分别分析即可由得到答案．【解题过程】解：将点(―1,0)代入y=ax2+bx+c(a≠0)，∵图象可得二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=2，开口向下，=2，a<0，∴―b2a即b=―4a>0，将b=―4a代入a―b+c=0，可得c=―5a>0．①∵b=―4a、c=―5a，∴b2=(―4a)2=16a2，4ac=4a×(―5a)=―20a2，∴16a2>―20a2，∴b2>4ac，故①正确．②∵b=―4a，∴4a+b=4a―4a=0，故②正确．③∵b=―4a、c=―5a，∴4a+c=4a―5a=―a，2b=―8a，∵a<0，∴―a<―8a，∴4a+c<2b，故③错误．④∵b=―4a、c=―5a，故―3b+c=―3×(―4a)―5a=12a―5a=7a，∵a<0，∴7a≠0，∴―3b+c≠0，故④错误．⑤将(2,4)代入y=ax2+bx+c(a≠0)，即4a+2b+c=4，再将b=―4a、c=―5a代入上式，化简可得a=―2，∴b=―4a=8，c=―5a=10，将a=―2，b=8，c=10，代入则方程ax2+bx+c=5中，即―2x2+8x+5=0，根据根的判别式Δ=82―4×(―2)×5=104>0，可得方程ax2+bx+c=5没有两个不相同的实数根，故⑤错误．综上作述，正确的结论有两个，故选A．14．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）抛物线y=ax2+bx+c经过点(―1,0)，与y轴的交点在(0,―2)与(0,―3)之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：①a+b+c<0；②若点M(0.5,y1)、N(2.5,y2)在图象上，则y1<y2；③若m为任意实数，则a(m2―4)+b(m―2)≥0；④―24≤5 (a+b+c)<―16．其中正确结论的序号为．【思路点拨】本题考查二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征逐一判断即可，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质．【解题过程】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴相交于点A(―1,0)，对称轴为直线x=2，∴二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)x轴相交于点A(―1,0),(5,0)，∵二次函数与y轴的交点B(0,―2)与(0,―3)之间（不包括这两点），大致图象如图：当x=1时，y=a+b+c<0，故结论①正确；∵二次函数的对称轴为直线x=2，且a>0,2―0.5=1.5,2.5―2=0.5，∴y1>y2，故结论②不正确；∵x=2时，函数有最小值，∴am2+bm+c≥4a+2b+c（m为任意实数），∴a(m2―4)+b(m―2)≥0，故结论③正确；∵―b2a=2，∴b=―4a，∵一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为―1和5，∴―1×5=ca，∴c=―5a，∵―3<c<―2，∴2 5<a<35，∴当x=1时，y=a+b+c=―8a，―245<―8a<―165，∴―24<5(a+b+c)<―16，故结论④正确；故答案为：①③④．15．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点A(―2023,n)，B(2024,n)，M(―1,0)，且交y轴的正半轴于点N，下列结论：①abc<0；②4a+2b+c=0；③若直线y=ax+d与抛物线只有一个公共点T(x T,y T)，则x T=1；④抛物线上的两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，P在Q的左边，若x1+x2>2，则y1<y2；⑤b2―4ac<―4a，请将所有正确的序号填在横线上．【思路点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系及二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，抛物线的对称性等知识点，根据二次函数的图象进行逐项分析即可，灵活运用有关知识来分析是解题的关键．【解题过程】解：∵图象过点A(―2023,n)，B(2024,n)，M(―1,0)，∴抛物线对称轴为直线x=12，a―b+c=0，∴与x轴交于点(2,0)，即有4a+2b+c=0，故②正确；∵交y轴的正半轴于点N，∴抛物线开口向下，∴a<0，c>0，b>0，则abc<0，故①正确；由抛物线对称轴为直线x=12，∴―b2a =12，则b=―a，∴代入a―b+c=0得：c=―2a，∴抛物线y=ax2―ax―2a，直线y=ax+d与抛物线只有一个公共点T(x T,y T)，∴ax2―ax―2a=ax+d，整理得：ax2―2ax―2a―d=0∴(―2a)2―4a(―2a―d)=0，解得：d=―3a，∴直线y=ax―3a，代入得：x=1，∴x T=1，故③正确；∵抛物线上的两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，∴y1=ax12―ax1―2a，y2=ax22―ax2―2a，∴y1―y2=a(x1+x2)(x1―x2)―a(x1―x2)=a(x1―x2)(x1+x2―1)，∵x1<x2，a<0，x1+x2>2，即y1―y2>0，∴y1>y2，故④错误；∵b2―4ac=(―a)2―4a×(―2a)=a2+8a2=9a2>0，∴b2―4ac<―4a错误，∴①②③正确；故答案为：①②③．16．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图像与x轴交于不同两点，与y轴的交点在y轴正半轴，它的对称轴为直线x=1．有以下结论：①abc<0，②a+c>0，③抛物线上有两点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，若x1<1<x2，且x1+x2>2，则y1>y2，④设x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根，若am2+bm+c=p，则p(m―x1)(m―x2)≤0．其中正确的结论是（填入正确结论的序号）．【思路点拨】由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判断b与0的关系，可判断①；通过取特殊值可判断②；根据抛物线的增减性可判断③；根据抛物线与x轴交点情况分三种情况进行讨论，可判断④．【解题过程】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图像与y轴的交点在y轴正半轴，∴c>0，∵对称轴为直线x=1，=1，即b=―2a，∴―b2a∵a<0，∴b>0，∴abc<0，故结论①正确；当x=1+y=a(12―2a(1++c=a+c，即当x=1(a+c)与0的大小关系，故结论②错误；∵a<0，∴二次函数y=ax2+bx+c的图像开口向下，∴抛物线上的点离对称轴越远其函数值就越小，∵点P(x1,y1)和Q(x2,y2)在抛物线上，且x1<1<x2，x1+x2>2，∴x2―1>1―x1，即x2到1的距离大于x1到1的距离，∴y1>y2，故结论③正确；∵二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图像与x轴交于不同两点，设左边交点的横坐标为x1，右边交点的横坐标为x2，即x1<x2，如图所示，若m<x1，则p<0，m―x1<0，m―x2<0，∴p(m―x1)(m―x2)<0，若x1≤m<x2，则p≥0，m―x1≥0，m―x2<0，∴p(m―x1)(m―x2)≤0，若m≥x2，则p≤0，m―x1>0，m―x2≥0，∴p(m―x1)(m―x2)≤0，综上所述，p(m―x1)(m―x2)≤0，故结论④正确，∴正确的结论是①③④．故答案为：①③④．17．（23-24九年级上·山东威海·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc>0；②9a+6b+c=0，③(4a+c)2<4b2；④方程cx2+bx+a=0的解为x1=1,x2=―1；3⑤a+b>m(am+b)(m≠1)．其中正确的结论有（填序号）．【思路点拨】本题考查的是二次函数的图象与性质，各项系数的符号与解析式的关系，根据图象先判断a<0，c>0，b>0，再结合函数的对称轴，最值，与坐标轴的交点，逐一分析判断即可．【解题过程】解：由图象可知：a<0，c>0，>0，∵―b2a∴b>0，∴abc<0，故①错误；=1，∵对称轴为x=―b2a∴b=―2a，∵a<0，c>0，∴9a+6b+c=9a―12a+c=c―3a>0，故②错误，∵抛物线与x轴的交点在―1与0之间，对称轴为x=1，另一个交点在2与3之间，∴当x=―2时，y=4a―2b+c<0，当x=2时，y=4a+2b+c>0，∴(4a―2b+c)(4a+2b+c)<0，∴(4a+c)2―4b2<0，∴(4a +c )2<4b 2，故③符合题意；∵二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)当x =1时，有最大值，∴a +b +c >0，若方程cx 2+bx +a =0的解为x 1=1，则a +b +c =0，∴④错误；当x =1时，y 的值最大．此时，y =a +b +c ，而当x =m (m ≠1)时，y =am 2+bm +c ，∴a +b +c >am 2+bm +c ，∴a +b >am 2+bm ，即a +b >m (am +b )，故⑤正确；综上：正确的有③⑤，故答案为：③⑤．18．（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点(―2,0)，对称轴为直线x =―12．对于下列结论：①abc <0；②b 2―4ac >0；③a +b +c =0；④am 2+bm <14(a ―2b)（其中m ≠―12）；⑤若A (x 1,y 1)和B (x 2,y 2)均在该函数图象上，且x 1>x 2>1，则y 1>y 2．其中正确结论有 ．（填写序号）【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质．根据抛物线与x 轴的一个交点(―2,0)以及其对称轴，求出抛物线与x 轴的另一个交点(1,0)，利用待定系数法得到b =a,c =―2a ，再根据抛物线开口朝下，可得a <0，进而可得b <0，c >0，即可得到③正确，①错误，根据抛物线与与x 轴两个交点可以判断出②正确，根据am 2+bm =a (m +12)2―14a ，14(a ―2b)=―14a ，a <0，m ≠―12，可以得到a(m +12)2<0，从而得到④正确；根据抛物线的对称性和增减性可以判断出⑤错误，问题得解．【解题过程】解：∵抛物线的对称轴为直线x =―12，且抛物线与x 轴的一个交点坐标为(―2,0)，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(1,0)，把(―2，0)，(1，0)代入y =ax 2+bx +c(a ≠0)，可得：4a ―2b +c =0a +b +c =0 ，解得b =a c =―2a ，∴a +b +c =a +a ―2a =0，故③正确；∵抛物线开口方向向下，∴a <0，∴b =a <0，c =―2a >0，∴abc >0，故①错误；∵抛物线与x 轴两个交点，∴当y =0时，方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根，∴b 2―4ac >0，故②正确；∵am 2+bm =am 2+am =a(m +12)2―14a ，14(a ―2b)=14(a ―2a)=―14a ，∴am 2+bm ―14(a ―2b)=a(m +12)2，又∵a <0，m ≠―12，∴a(m +12)2<0，即am 2+bm <14(a ―2b)（其中m ≠―12)，故④正确；∵抛物线的对称轴为直线x =―12，且抛物线开口朝下，∴可知二次函数，在x >―12时，y 随x 的增大而减小，∵x 1>x 2>1>―12，∴y 1<y 2，故⑤错误，正确的有②③④，共3个，故答案为：②③④．19．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点A 的坐标为―13,n ，与x 轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc>0；②5b+2c<0；③若抛物线经过点(―6,y1),(5,y2)，则y1> y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=4无实数根，则n<4．其中正确结论是（请填写序号）．【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；②利用抛物线的对称轴求出a=32b，根据图象可得当x=1时，y=a+b+c<0，即可判断；③利用抛物线的对称轴，设(―6,y1),(5,y2)两点横坐标与对称轴的距离为d1，d2，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；④根据图象即可判断．【解题过程】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为―13,n，∴―b2a =―13，∴b 2a =13>0，即ab>0，由图可知，抛物线开口方向向下，即a<0，∴b<0，当x=0时，y=c>0，∴abc>0，故①正确，符合题意；②∵直线x=―13是抛物线的对称轴，∴―b2a =―13，∴b 2a =13>0，∴a=32b由图象可得：当x=1时，y=a+b+c<0，b+c<0，即5b+2c<0，故②正确，符合题意；∴52是抛物线的对称轴，③∵直线x=―13设(―6,y1),(5,y2)两点横坐标与对称轴的距离为d1，d2，则d1=|―6―=173，d2=|5――=163，∴d2<d1，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，∴y1<y2，故③错误，不符合题意；④如图，∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=4无实数根，∴n<4，故④正确，符合题意．故答案为：①②④20．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，c<0)经过(1,1)，(m,0)，>1；③当n=3时，若点(2,t)在该抛物线上，则(n,0)三点，且n≥3．下列四个结论：①b<0；②4ac―b24at>1；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根，则0<m≤1，其中正确的是3(填序号即可)．【思路点拨】①根据图象经过1，1，c<0，且抛物线与x轴的一个交点一定在3，0或3，0的右侧，判断出抛物线的开口向下，即a<0，再把1，1代入y=ax2+bx+c得a+b+c=1，即可判断①错误；>1，根②先得出抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，得出抛物线的顶点在点1，1的右侧，得出4ac―b24a据4a<0，利用不等式的性质即可得出4ac―b2<4a,即可判断②正确；③先得出抛物线对称轴在直线x=1.5的右侧，得出1，1到对称轴的距离大于2，t到对称轴的距离，根据a<0，抛物线开口向下，距离抛物线的对称轴越近的函数值越大，即可得出③正确；④根据方程有两个相等的实数解，得出Δ=(b―1)2―4ac=0，把1，1代入y=ax2+bx+c得a+b+c=1，即1―b=a+c，求出a=c，根据根与系数的关系得出mn=ca =1，即n=1m，根据n≥3，得出1m≥3，求出m的取值范围，即可判断④正确．【解题过程】解：①图象经过1，1，c<0，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x 轴的交点都在1，0的左侧，∵(n,0)中n≥3，∴抛物线与x轴的一个交点一定在(3,0)或(3,0)的右侧，∴抛物线的开口一定向下，即a<0，把1，1代入y=ax2+bx+c得：a+b+c=1，即b=1―a―c=1―(a+c),∵a<0，c<0，∴a+c<0,∴b>0，故①错误；②∵a<0，b>0，c<0，ca>0，∴方程ax2+bx+c=0的两个根的积大于0，即mn>0，∵n≥3，∴m>0，∴m+n2>1.5，即抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，∴抛物线的顶点在点1，1的上方或者右上方，。
二次函数的图象与系数的关系例题加练习绝对经典
二次函数的图象与系数的关系(例题加练习绝对经典)y xO函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象特征与a 、b 、c 的关系 1、对于c bx ax y ++=2的图象特征与a 、b 、c 正负的关系为： ①抛物线开口由a 定，开口方向：0>a ，开口向上；0<a ，开口向下； 开口大小：a 越大，开口越小.②对称轴位置a 、b 定，左同右异，b 为0时对称轴是y 轴； ③与y 轴的交点位置由c 定，上正下负，c 为0时过原点.例1：已知抛物线c bx ax y ++=2的图象如图所示，则a 、b 、c 的符号为 Ａ.0,0,0>>>c b a B.0,0,0=>>c b aC.0,0,0=<>c b aD.0,0,0<<>c b a2、抛物线与x 轴的交点个数与ac b 42-有关系，①当042>-ac b 时，抛物线与x 轴有两个交点； ②当042=-ac b 时，抛物线与x 轴有一个交点； ③当042<-ac b 时，抛物线与x 轴没有交点.3、抛物线对称轴的位置与ab2-有关系。
对称轴与x 轴的交点横坐标等于ab2-.（“b a 与”的代数式多由此得到） 例2：(2008 四川巴中) 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）A ．240b ac ->B ．0a >C ．0c >D ．02ba-< 4、抛物线经过的特殊点与c b a 、、三者的关系式有关。
判断时可将特殊点的 坐标带入函数关系式，（例如c bx ax y ++=2的图象经过（1,0），可以得到 0=c b a ++）常考的有六个，即抛物线过（-3,0）（-2,0）（-1,0）（1,0）（2,0）（3,0） 5、对于单独c b c a 与，或与的关系式的确定应该结合前边“3”和“4”一同 分析解决.:例3： (2009 湖北黄石) 已知二次函数2y ax bx c =++的 图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<； ②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<； ⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①② B ． ①③④ C ．①②③⑤ D ．①②③④⑤例4： (2009 湖北鄂州) 已知二次函数2y ax bx c =++则下列5个代数式：4222ac a b c a b c a b ab ++-++-，，，，， 其值大于0的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5.例5： (2008 湖北鄂州) 小明从图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->， 你认为其中正确信息的个数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 练习：1. (2008 四川乐山) 已知二次函数2y ax bx c =++令|42||||2||2|M a b c a b c a b a b =-++++-++-，则（ A ．0M > B ．0M < C ．0M = D ．M 的符号不能确定2.(2007 四川南充) 如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象 的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ． 其中正确结论是（ ）． （A ）②④ （B ）①④ （C ）②③ （D ）①③3.(2010 天津) 已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->；②abc >③80a c +>；④930a b c ++<（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4二次函数图像与系数的关系1、已知二次函数2y axbx c=++的图象如图所示，则abc， 24bac-， 2a b +，a b c ++这四个式子中，值为正数的有（ ）个2、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0；②a ＋b ＋c ＝2；21>a ③；④b ＜1．其中正确的结论是( )Oy x1-13、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论①abc<0，②b2-4ac>0，③2a+b>0，④a+b+c<0，⑤ax2+bx+c=-2的解为x=-0，其中正确的有( )A．2 B．3 C．4 D．54、二次函数c+=2的图象如图所示，则y+axbxa 0，b 0，c 0，b2-4ac 0，a＋b＋c 0，a－b＋c 0；5、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示,下列五个代数式ab、ac、a-b+c、b2- 4ac、2a+b 中,值大于0的个数为( )A.5 B.4 C.3 D.2 图16、已知y=ax 2+bx+c 的图象如下，则：a 0,b 0,c0,a+b+c_______0，a-b+c__________0。
二次函数系数a、b、c与图像的关系 精选练习题
二次函数系数a 、b 、c 与图像的关系知识要点二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0． （2）b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．（3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0．（4）b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b 2-4ac ＜0．（5）当x=1时，可确定a+b+c 的符号，当x=-1时，可确定a-b+c 的符号． （6）由对称轴公式x=，可确定2a+b 的符号．一．选择题（共9小题）1．（2014•威海）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图，则下列说法： ①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a ；④am 2+bm+a ＞0（m ≠﹣1）． 其中正确的个数是（ ）（a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c ＜0；②a ﹣b+c ＜0；③b+2a ＜0；④abc ＞0．其中所有正确结论的序号是（ ）如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论： ①a ＜0；②c ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④＜0中，正确的结论有（ ）图象如图，有以下结论：①b 2﹣4c ＜0；②c ﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．其中正确结论的个数为（ ）象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：①abc ＜0；②2a ﹣b=0；③4a+2b+c ＜0；④若（﹣5，y 1），（2，y 2）是抛物线上的两点，则y 1＞y 2． 其中说法正确的是（ ）的图象交y 轴于负半轴，对称轴在y 轴的右侧，则m 的取值范围是（ ）的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0． 其中正确结论的个数是（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个2x 轴交于点A （﹣1，0），顶点坐标为（1，n ），与 y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：①当x ＞3时，y ＜0；②3a+b ＞0；③﹣1≤a ≤﹣；④≤n ≤4．其中正确的是（ ） A ． ①② B ． ③④ C ． ①③ D ．①③④ 2交于点（﹣1，0），（x 1，0），且1＜x 1＜2，下列结论正确的个数为（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 10、（2011•重庆）已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ） A 、a ＞0 B 、b ＜0 C 、c ＜0 D 、a+b+c ＞0 11、（2011•雅安）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b 2＞4ac ；②abc ＞0；③2a+b=0；④a+b+c ＞0；⑤a-b+c ＜0，则正确的结论是（ ）A 、①②③④B 、②④⑤C 、②③④D 、①④⑤12、（2011•孝感）如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（ 12，1），下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac-b 2=4a ；④a+b+c ＜0．其中正确结论的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4答案一．选择题（共9小题）1．（2014•威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a ＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（）该抛物线的对称轴是：2．（2014•仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（）论进行判断．③由抛物线的开口向下知a＜0，∵对称轴为0＜x=﹣＜1，﹣3．（2014•南阳二模）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①a ＜0；②c ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④＜0中，正确的结论有（ ）﹣＜4．（2014•襄城区模拟）函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图，有以下结论：①b 2﹣4c ＜0；②c ﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．其中正确结论的个数为（ ）5．（2014•宜城市模拟）如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：①abc ＜0；②2a ﹣b=0；③4a+2b+c ＜0；④若（﹣5，y 1），（2，y 2）是抛物线上的两点，则y 1＞y 2． 其中说法正确的是（ ）∵抛物线对称轴为直线x=﹣=﹣1，6．（2014•莆田质检）如图，二次函数y=x 2+（2﹣m ）x+m ﹣3的图象交y轴于负半轴，对称轴在y 轴的右侧，则m 的取值范围是（ ）x=7．（2014•玉林一模）如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0． 其中正确结论的个数是（ ）x=8．（2014•乐山市中区模拟）如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （﹣1，0），顶点坐标为（1，n ），与 y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论： ①当x ＞3时，y ＜0；②3a+b ＞0；③﹣1≤a ≤﹣；④≤n ≤4． 其中正确的是（ ）根据两根之积a=n=a+b+c=9．（2014•齐齐哈尔二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，下列结论正确的个数为（）x=即：﹣=．∴﹣1≤≤，即﹣1≤a≤．，∴b=﹣2a=，n=a+b+c=c≤≤4，≤n≤4．。
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二次函数图像与系数关系一．选择题（共9小题）1．（2013•义乌市）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中，正确的是（）=，然后根据n=a+b+c=c=1．﹣﹣﹣﹣，﹣2a=n=a+b+c=≤≤2．（2013•烟台）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）=3．（2013•十堰）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是（）＞4．（2012•沙坪坝区模拟）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（）﹣5．（2013•鄂州）小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤．你认为其中正确信息的个数有（）=，∴b=时，a b+c﹣﹣，则6．（2013•德州）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为（）7．（2012•天门）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（），结合图象与＞=18．已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b≠m （am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1，其中正确的是（）＞﹣判断符号；9．（2013•莒南县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（）=1b，则﹣b=1b，则﹣b，二．填空题（共1小题）10．（2013•柳林县一模）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示．对于下列说法：①abc＜0；②当﹣1＜x＜3时，y＞0；③3a+c＜0；④a﹣b+c＜0，其中正确的是①③④（把正确的序号都填上）．，即﹣①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜﹣；④3|a|+|c|＜2|b|．其中正确的结论是①③④（写出你认为正确的所有结论序号）．＞x﹣轴交点的横坐标分别为﹣b=x x，符合＞，资料赠送以下资料《二次函数的应用》中考题集锦10题已知抛物线222(0)y x mx m m =+-≠．（1）求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）过点(0)P n ，作y 轴的垂线交该抛物线于点A 和点B （点A 在点P 的左边），是否存在实数m n ，，使得2AP PB =？若存在，则求出m n ，满足的条件；若不存在，请说明理由．答案：解：（1）证法1：22229224m y x mx m x m ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当0m ≠时，抛物线顶点的纵坐标为2904m -<， ∴顶点总在x 轴的下方．而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（或者，当0m ≠时，抛物线与y 轴的交点2(02)m -，在x 轴下方，而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．）证法2 ：22241(2)9m m m ∆=-⨯⨯-=，当0m ≠时，290m >，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（2）存在实数m n ，，使得2AP PB =．设点B 的坐标为()t n ，，由2AP PB =知，①当点B 在点P 的右边时，0t >，点A 的坐标为(2)t n -，，2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即294n m >-．且(2)t t m +-=-（I ），2(2)t t m n -=--（II ）由（I ）得，t m =，即0m >．将t m =代入（II ）得，0n =．∴当0m >且0n =时，有2AP PB =．②当点B 在点P 的左边时，0t <，点A 的坐标为(2)t n ，， 且2t t ，是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根．2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即 294n m >-．且2t t m +=-（I ），222t t m n =--（II ）由（I ）得，3mt =-，即0m >． 将3m t =-代入（II ）得，2209n m =-且满足294n m >-．∴当0m >且2209n m =-时，有2AP PB =第11题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间t （秒）间的关系式为210S t t =+，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（ ）Ａ．24米 Ｂ．12米Ｃ．米 Ｄ．6米答案：Ｂ第12题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．（2）求出图（2）中表示的种植成本单价z （元）与上市时间t （天）（0t >）的函数关系式； )图(1)图(2)天)答案：解：（1）依题意，可建立的函数关系式为：2160(0120)380(120150)220(150180)5t t y t t t ⎧-+<<⎪⎪=<⎨⎪⎪+⎩，，． ≤ ≤≤ （2）由题目已知条件可设2(110)20z a t =-+． 图象过点85(60)3，，2851(60110)203300a a ∴=-+∴=．． 21(110)20300z t ∴=-+ (0)t >． （3）设纯收益单价为W 元，则W =销售单价-成本单价． 故22221160(110)20(0120)3300180(110)20(120150)3002120(110)20(150180)5300t t t W t t t t t ⎧-+---<<⎪⎪⎪=---<⎨⎪⎪+---⎪⎩，，． ≤ ≤≤ 化简得2221(10)100(0120)3001(110)60(120150)3001(170)56(150180)300t t W t t t t ⎧--+<<⎪⎪⎪=-+<⎨⎪⎪--+⎪⎩，，． ≤ ≤≤①当21(10)100(0120)300W t t =--+<<时，有10t =时，W 最大，最大值为100； ②当21(110)60(120150)300W t t =--+<≤时，由图象知，有120t =时，W 最大，最大值为2593； ③当21(170)56(150180)300W t t =--+≤≤时，有170t =时，W 最大，最大值为56．综上所述，在10t =时，纯收益单价有最大值，最大值为100元．第13题如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取5=）答案：解：（1）（3分）如图，设第一次落地时， 抛物线的表达式为2(6)4y a x =-+． 由已知：当0x =时1y =． 即1136412a a =+∴=-，． ∴表达式为21(6)412y x =--+．（或21112y x x =-++）（2）（3分）令210(6)4012y x =--+=，．212(6)4861360x x x ∴-===-<．≈，（舍去）． ∴足球第一次落地距守门员约13米．（3）（4分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD根据题意：CD EF =（即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位）212(6)412x ∴=--+解得1266x x =-=+1210CD x x ∴=-=． 1361017BD ∴=-+=（米）． 解法二：令21(6)4012x --+=．解得16x =-（舍），2613x =+．∴点C 坐标为（13，0）．设抛物线CND 为21()212y x k =--+．将C 点坐标代入得：21(13)2012k --+=．解得：11313k =-<（舍去），2667518k =+++=．1令210(18)212y x ==--+，0．118x =-，21823x =+． 23617BD ∴=-=（米）． 解法三：由解法二知，18k =， 所以2(1813)10CD =-=， 所以(136)1017BD =-+=． 答：他应再向前跑17米．第14题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元． （1）基地的菜农共修建大棚x （公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y （万元），写出y 关于x 的函数关系式．（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可）（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．答案：（1）()227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+． （2）当20.9 4.55x x -+=时，即2945500x x -+=，153x =，2103x =从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建53公顷大棚． （3）设3年内每年的平均收益为Z （万元）()()2227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+（10分）不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益． ②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．③当20.3 6.30x x -+=时，10x =，221x =．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说其中一条即可）第15题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件．（1）求出月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （2）求出月销售利润z （万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（3）请你通过（2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润答案：略．第16题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么？（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？答案：（1）由题意可知抛物线经过点()()()024682A P B ，，，，，设抛物线的方程为2y ax bx c =++ 将A P D ，，三点的坐标代入抛物线方程． 解得抛物线方程为21224y x x =-++ （2）令4y =，则有212244x x -++=解得1244x x =+=-212x x -=>∴货车可以通过．（3）由（2）可知21122x x -=>∴货车可以通过．第17题如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，线段10EF =．在EF 上取一点M ，分别以EM MF ，为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ．令MN x =，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？答案：解：矩形MFGN ∽矩形ABCD ，MN MFB A D E MF2MF x ∴=．102EM EF MF x ∴=-=-． (102)S x x ∴=-2210x x =-+ 2525222x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴当52x =时，S 有最大值为252．第18题某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润A y （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：A y kx =，并且当投资5万元时，可获利润2万元．信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润B y （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：2B y ax bx =+，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式； （2）如果企业同时对A B ，两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？答案：解：（1）当5x =时，12250.4y k k ===，，， 0.4A y x ∴=，当2x =时， 2.4B y =；当4x =时， 3.2B y =．2.4423.2164a ba b =+⎧∴⎨=+⎩解得0.21.6a b =-⎧⎨=⎩∴20.2 1.6B y x x =-+．（2）设投资B 种商品x 万元，则投资A 种商品(10)x -万元，获得利润W 万元，根据题意可得220.2 1.60.4(10)0.2 1.24W x x x x x =-++-=-++ 20.2(3) 5.8W x ∴=--+当投资B 种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元，所以投资A 种商品7万元，B 种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5.8万元．第19题如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m ，（1）直接写出图（2）中点135B B B ，，的坐标； （2）求图（2）中抛物线的函数表达式； （3）求图（1）中支柱2244A B A B ，的长度．答案：（1）1(30)B -，0，3(030)B ，，5(300)B ，； （2）设抛物线的表达式为(30)(30)y a x x =-+，把3(030)B ，代入得(030)(030)30y a =-+=． 130a =-∴． ∵所求抛物线的表达式为：1(30)(30)30y x x =--+． （3）4B ∵点的横坐标为15， 4B ∴的纵坐标4145(1530)(1530)302y =--+=． 3350A B =∵，拱高为30，∴立柱44458520(m)22A B =+=． 由对称性知：224485(m)2A B A B ==。
二次函数——图像与系数之间的关系(含答案)
二次函数——图像与系数之间的关系姓名：___________一、单选题1．抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（-1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b=0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a=；其中正确的有（）个．A．4B．3C．2D．12．二次函数的部分图象如图，则下列说法：①对称轴是直线x＝－1；②c＝3：③ab＞0；④当x＜1时，y＞0；⑤方程的根是和，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个3．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论①6a﹣b＝0；②abc＞0；③若点M（﹣2，m）与点N（﹣5，n）为抛物线上两点，则m＞n；④ax2+bx+c≥﹣6；⑤关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1．其中正确结论有（）A．5B．4C．3D．24．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于（-1，0），（3，0）两点，则下列说法：①abc＜0；②a-b+c=0；③2a+b=0；④2a+c＞0；⑤若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）为抛物线上三点，且-1＜x1＜x2＜1，x3＞3，则y2＜y1＜y3，其中正确的结论是（）A．B．C．D．5．二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论个数是A．1个B．2 个C．3 个D．4 个6．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③2a﹣b＝0；④abc＞0，其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．如图是二次函数(a、b、c是常数，a≠0)图象的一部分，与x轴的交点A在点(2，0)和(3，0)之间，对称轴是x=1.对于下列说法：①当时，；②；③；④3a+c>0，其中正确的是( )A．①③B．①④C．②③D．②④8．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的相交情况，关于下列结论：①方程ax2+bx＝0的两个根为x1＝0，x2＝﹣4；②b﹣4a＝0；③9a+3b+c＜0；其中正确的结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．如图，小明从二次函数y＝ax2+bx+c图象中看出这样四条结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的是（）A．①②④B．②④C．①②③D．①②③④10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），且满足4a+2b+c＞0，有下列结论：①a+b＞0；②﹣a+b+c＞0；③b2﹣2ac＞5a2．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．311．二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A．B．C．D．12．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＜0；③4a+c＞2b；④（a+c）2＞b2；⑤x（ax+b）⩽a﹣b，其中正确结论的是（）A．①③④B．②③④C．①③⑤D．③④⑤13．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，下列结论中，正确的结论的个数有（）①a+b+c＞0 ②a﹣b+c＞0 ③abc＜0 ④b+2a=0 ⑤△＞0．A．5个B．4个C．3个D．2个14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B(4，0)，抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E现有下列结论：①b2﹣4a＜0；②b＞0；③5a+b＜0；④AD+CE＝4．其中正确结论个数为( )A．4B．3C．2D．115．已知二次函数y=ax2+bx+c(d≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．abc<0B．2a+b<0C．b2-4ac<0D．a+b+c<016．如图所示的是二次函数（为常数，且）的图象，其对称轴为直线，且经过点（0,1），则下列结论错误的是（）A．B．C．D．17．如图，下面是二次函数图象的一部分，则下列结论中：①；②；③方程有两个不等的实数根；④．正确的个数是（）A．1B．2C．3D．418．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1．有下列结论：①b2=4ac ②abc＞0 ③a＞c ④4a+c＞2b．其中结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个19．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①2a+b=0；②abc＜0；③b2﹣4ac＞0；④8a+c＞0．其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个20．如图，二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论的个数是（）A．3B．2C．1D．021．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程ax2+bx+c ＝0的根是x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＜0；④当x＞1时，y随x的增大而减小；⑤2a﹣b ＝0；⑥b2﹣4ac＞0．下列结论一定成立的是（）A．①②④⑥B．①②③⑥C．②③④⑤⑥D．①②③④22．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①a，b同号；②当x＝1和x＝3时，函数值相等；③4a+b＝0；④当﹣1＜x＜5时，y＜0．其中正确的有（）A．①②B．②③C．①③④D．②③④23．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜时，y随x 的增大而减小；⑥a+b+c＞0；⑦方程ax2+bx+c＝﹣4有实数解，正确的有（）A．3个B．4个C．5个D．6个24．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）A．ac＞0B．当x＞1时，y随x的增大而增大C．2a+b＝1D．方程ax2+bx+c＝0有一个根是x＝325．抛物线y=ax2+bx+c的图角如图，则下列结论：①abc> ；②a+b+c= ；③a<；④b> .其中正确的结论是（）A．①②B．②③C．②④D．③④26．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c –m=0有两个实数根，下列结论：①b2-4ac＞0；②abc＞0；③a b+c ；④，其中正确的个数有( )A．1B．2C．3D．427．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法：①2a+b=0；②当-1≤x≤3时，y＜0；③若（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2；④9a+3b+c=0，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①④D．②③④28．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4ac﹣b2＞0；④2a+b=0，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个29．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与直线y=-x相交于A，B两点，则下列说法正确的是（）A．ac<0，(b+1)2-4ac<0B．ac<0，(b+1)2-4ac>0C．ac>0，(b+1)2-4ac<0D．ac>0，(b+1)2-4ac>030．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列式子中①abc<0；②0<b<-2a；③；④a+b+c<0成立的个数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个31．二次函数y=ax2+bx+c 部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．当x＞2 时，y随x 的增大而增大C．不等式ax2+bx+c＞0 的解集是﹣1＜x＜5D．a﹣b+c＞032．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③ ＞2；④当x＞0时，y随x的增大而减小．正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．433．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣5，0），对称轴为直线x=﹣2，给出四个结论：①b2＞4ac；②4a+b=0；③函数图象与x轴的另一个交点为（2，0）；④若点（﹣4，y1）、（﹣1，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2．其中正确结论是（）A．②④B．①④C．①③D．②③34．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1．有以下结论：①abc ＞0②4ac＜b2③2a+b＝0④a﹣b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个35．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2；④0＜b＜1，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个36．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，下列结论：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0；④a-b+c＞0．其中正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个37．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确结论的个数是（）.。
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二次函数的图象与系数的关系(例题加练习绝对经典)
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
y x
O
函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象特征与a 、b 、c 的关系 1、对于c bx ax y ++=2的图象特征与a 、b 、c 正负的关系为： ①抛物线开口由a 定，
开口方向：0>a ，开口向上；0<a ，开口向下； 开口大小：a 越大，开口越小.
②对称轴位置a 、b 定，左同右异，b 为0时对称轴是y 轴； ③与y 轴的交点位置由c 定，上正下负，c 为0时过原点.
例1：已知抛物线c bx ax y ++=2的图象如图所示，则a 、b 、c 的符号为 Ａ.0,0,0>>>c b a B.0,0,0=>>c b a
C.0,0,0=<>c b a
D.0,0,0<<>c b a
2、抛物线与x 轴的交点个数与ac b 42-有关系，
①当042>-ac b 时，抛物线与x 轴有两个交点； ②当042=-ac b 时，抛物线与x 轴有一个交点； ③当042<-ac b 时，抛物线与x 轴没有交点.
3、抛物线对称轴的位置与a
b
2-
有关系。
对称轴与x 轴的交点横坐标等于a
b
2-
.（“b a 与”的代数式多由此得到） 例2：(2008 四川巴中) 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的
图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A ．240b ac ->
B ．0a >
C ．0c >
D ．02b
a
-< 4、抛物线经过的特殊点与c b a 、、三者的关系式有关。
判断时可将特殊点的 坐标带入函数关系式，（例如c bx ax y ++=2的图象经过（1,0），可以得到 0=c b a ++）
2- 1- 0
1 2 y
x
13
x =
1 --x
y
O x y O A 常考的有六个，即抛物线过（-3,0）（-2,0）（-1,0）（1,0）（2,0）（3,0） 5、对于单独c b c a 与，或与的关系式的确定应该结合前边“3”和“4”一同 分析解决.
:例3： (2009 湖北黄石) 已知二次函数2
y ax bx c =++的 图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<； ②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<； ⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①② B ． ①③④ C ．①②③⑤ D ．①②③④⑤
例4： (2009 湖北鄂州) 已知二次函数2
y ax bx c =++的图象如图， 则下列5个代数式：4222ac a b c a b c a b a b ++-++-，，，，， 其值大于0的个数为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
.例5： (2008 湖北鄂州) 小明从图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，
观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >； ③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->， 你认为其中正确信息的个数有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个 练习：
1. (2008 四川乐山) 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示， 令|42||||2||2|M a b c a b c a b a b =-++++-++-，则（ ） A ．0M > B ．0M < C ．0M = D ．M 的符号不能确定
2.(2007 四川南充) 如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象 的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四 个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ． 其中正确结论是（ ）． （A ）②④ （B ）①④ （C ）②③ （D ）①③
3.(2010 天津) 已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的
图象如图所示，有下列结论：①2
40b ac ->；②0abc >；
③80a c +>；④930a b c ++<．其中，正确结论的个数是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
1
1
1-
O x
y
y x O
1
1
y
x
O
1x =1
-2-
二次函数图像与系数的关系
1、已知二次函数2
y ax bx c
=++的图象如图所示，则abc，24
b ac
-，2a b
+，a b c
++
这四个式子中，值为正数的有（）个
2、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a
＋b＋c＝2；
2
1
>
a
③；④b＜1．其中正确的结论是( )
3、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论①abc<0，②b2-4ac>0，③2a+b>0，
④a+b+c<0，
⑤ax2+bx+c=-2的解为x=-0，其中正确的有( )A．2 B．3 C．4
D．5
4、二次函数c
bx
ax
y+
+
=2的图象如图所示，则 a 0， b 0， c 0，b2-4ac 0，
a＋b＋c 0，a－b＋c 0；
5、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示,下列五个代数式ab、ac、a-b+c、b2- 4ac、2a+b中,值大于0
的个数为( )A.5 B.4 C.3 D.2
O
y
x
1
-1
6、已知y=ax 2+bx+c 的图象如下，则：a 0,b 0,c 0,a+b+c_______0，a-b+c__________0。
2a+b________0 , b 2-4ac 0.
7、已知二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：
0ac >①；②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④
0a b c -+<，其中正确的个数A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个
8、y=ax 2+bx+c 的图象如图，OA=OC ，则（ ）
（A ） ac+1=b; B 、a ＞0,bc ＞0 C 、2
4b ac -＞0 D 、a+b+c ＜0
9、抛物线y =ax 2+bx +c 的图角如图3，则下列结论：①abc >0；②a +b +c =2；③a >
2
1
；④b <1．其中正确的结论是（ ）（A ）①② （B ）②③ （C ）②④ （D ）③④
图1
x y O
1
C A y x
O
10、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图3所示,那么abc, b 2-4ac, 2a+b, a+b+c 这
四个代数式中,值为正数的有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
-1
1
x
y
O。