65数列的综合应用

由题意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2，
解得d1=2,d2=-10.
∵等差数列{bn}的各项为正，∴d＞0,
∴d=2,b1=3,∴Tn=3n+
n(n 1) 2
×2=n2+2n.
探究提高 对等差、等比数列的综合问题的分析，
应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析
等差、等比数列项之间的关系.往往用到转化与化归
+2a1d+d2=
a
2 1
+4a1d,∴d=2a1=2.
∴S10=10a1+ 10
2
9
d=10+90=100.
4.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能
在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有
一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病
毒全部杀死至少需要
A.6秒
B.7秒
（ B）
C.8秒
3.数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、 不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大 了综合的力度.解决此类题目，必须对蕴藏在数列 概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它 在解题中的重大作用，常用的数学思想方法有： “函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、 “等价转换”等.

1 2

2(1)2 2
3(1)3 2

n(1)n. 2
两式相减得
12Tn
1(1)(1)2(1)n1n(1)n
22
2
2
2[1(1)n]n(1)n. T n4 2(1 2)n2 2n(1 2)n 14.
又∵Tn+1-Tn＞0,
∴Tn单调递增.∴Tn≥T2=2.
知能迁移3 某市2019年共有1万辆燃油型公交车, 有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车, 随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%, 试问:
(1)该市在2019年应该投入多少辆电力型公交车? (2)到哪一年底,电力型公交车的数量开始超过该 市公交车总量的1 ?(lg 657=2.82,lg 2=0.30, lg 3=0.48) 3 解 (1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成 等比数列{an},其中a1=128,q=1.5,则在2019年应该 投入的电力型公交车为a7=a1·q6=128×1.56 =1 458（辆）.
r (1
(1 r r)n
)n
1
a.
基础自测
1.数列{an}是公差不为0的等差数列且a7、a10、a15是
等比数列{bn}的连续三项，若等比数列{bn}的首项
b1=3,则b2等于
（ B）
A. 24
B.5
C.2
D.9
解析5 由条件知 a120 =a7·a15,
5
∴（a7+3d）2=a7×(a7+8d),
∴ aann 1a2 a(2 nn 1)22aa2n 2 n2a2 （n≥2）为定值.
∴{an}为等比数列.
5分
(2)解 bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2.
当a= 2 时，bn=(2n+2) ( 2 )2n+2=(n+1)2n+2. 7分
Sn=2·23+3·24+4·25+…+(n+1)·2n+2
(1)证明 Sna1(11qqn)a1[11(1)n] 1
(1)[1( )n](1)( )n1,
1
1
又an
a1(1)n1
( )n1, 1
Sn (1)an.
(2)解 f() 1 , b n 1 b n b n 1 1 . b 1 n b n 1 1 1 .
①
2Sn=2·24+3·25+4·26+…+n·2n+2+(n+1)·2n+3②
①-②得
-Sn=2·23+24+25+…+2n+2-(n+1)·2n+3
=16+ 24(12n1) -(n+1)·2n+3 1 2
=16+2n+3-24-n·2n+3-2n+3=-n·2n+3.
∴Sn=n·2n+3.
解 （1）由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1 (n≥2), 两式相减得an+1-an=2an,则an+1=3an (n≥2). 又a2=2S1+1=3,∴a2=3a1. 故{an}是首项为1，公比为3的等比数列，∴an=3n-1. （2）设{bn}的公差为d, 由T3=15,b1+b2+b3=15,可得b2=5, 故可设b1=5-d,b3=5+d,又a1=1,a2=3,a3=9,
∴7x- (120)7 =13 958,∴x=2000. 2
3.（2009·四川文，3）等差数列{an}的公差不为零，
首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的前
10项之和是
（ B）
A.90
B.100
C.145
D.190
解析 由题意知，（a1+d）2=a1(a1+4d),
即
a
2 1
故当n≥2时,2≤Tn<4.
题型三 数列的实际应用 【例3】假设某市2019年新建住房400万平方米，其
中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干 年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%. 另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上 一年增加50万平方米.那么，到哪一年底， （1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2019 年为累计的第一年）将首次不少于4 750万平方米？ （2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房 面 积 的 比 例 首 次 大 于 85% ？ （ 参 考 数 据 ： 1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)
12分
探究提数高列 与 函 数 的 综 合 问 题 主 要 有 以 下 两 类 ：
（1）已知函数条件，解决数列问题.此类问题一般
利用函数的性质、图象研究数列问题；（2）已知
数列条件，解决函数问题.解决此类问题一般要充分
利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.
知能迁移2 设等比数列{an}的前n项和Sn，首项a1=1,
（2）记Sn=a1+a2+…+an，
依据题意，得 Sn ＞ 1 ，
于是Sn=
128(1110.50n0)＞0 5S0n 00（3 辆），即1.5n＞657
11.5
32

两边取常用对数，则n·lg 1.5＞lg 657 , 32
即n＞ lg6575lg2 ≈7.3,又n∈N*，因此n≥8. lg3lg2
思维启迪 （1）要求学生会把实际问题转化为数学
问题:Sn=250n+n
(
n 2
1×) 50=25n2+225n≥4
750.
(2)an＞0.85bn,bn=400×1.08n-1.
解 （1）设中低价房的面积形成的数列为{an}，
由题意可知{an}是等差数列，
其中a1=250,d=50,
则an=250+(n-1)·50=50n+200
由题意可知an＞0.85bn, 即50n+200＞400·(1.08)n-1·0.85. 当n=5时，a5＜0.85b5, 当n=6时，a6＞0.85b6, 因此满足上述不等式的最小正整数n为6. 因此到2019年底，当年建造的中低价房的面积占该年
建造住房面积的比例首次大于85%.
探究提解高决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数 学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的 有关问题，这也是数学实际应用的具体体现.
①
由T3-S3=12得q2+q-d=4.
②
由①、②及q＞0解得q=2,d=2.
故所求的通项公式为an=2n-1,bn=3×2n-1.
题型二 数列与函数的综合应用
【例2】 （12分）已知f(x)=logax(a＞0且a≠1)，设 f(a1),f(a2),…,f(an) (n∈N*)是首项为4，公差为 2的等差数列.
2.数列应用题常见模型 (1)等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固 定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的 量就是公差. (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一 个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的 数就是公比.
(3)分期付款模型：设贷款总额为a，年利率为r,等
额还款数为b,分n期还完，则b=
的思想方法.
知能迁移1 （2009·全国Ⅰ文，17）设等差数列{an}
的前n项和为Sn,公比是正数的等比数列{bn}的前n项
和 为 Tn, 已 知 a1=1,b1=3,a3+b3=17,T3-S3=12, 求
{an},{bn}的通项公式.
解 设{an}的公差为d，{bn}的公比为q.
由a3+b3=17得1+2d+3q2=17,
（1）设a为常数，求证：{an}是等比数列； （2）若bn=anf(an),{bn}的前n项和是Sn,当a= 2 时,
求Sn. 思维启迪 利用函数的有关知识得出an的表达式， 再利用表达式解决其他问题.
（1）证明 f(an)=4+(n-1)×2=2n+2,
∵logaan=2n+2,
2分
∴an=a2n+2.
所以到2019年底，电力型公交车的数量开始超过该