第5章 数列(王统增)

东莞市商业学校数学科组课 题：5.1 数列的一般概念（一）教学目的：⒈理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系.⒉了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项⒊对于比较简单的数列， 会根据其前几项写出它的个通项公式教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用，前n 项和与a n 的关系 教学难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式授课类型：复习课课时安排：2课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．函数的定义．如果A 、B 都是非空数集，那么A 到B 的映射B A f →:就叫做A 到B 的函数，记作：)(x f y =，其中.,B y A x ∈∈上述例子的共同特点是：⑴均是一列数；⑵有一定次序.从而引出数列及有关定义二、讲解新课：⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.东莞市商业学校数学科组⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“31”是这个数列的第“3”项，等等 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项 1 51413121 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：na n 1=来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系如：数列①：n a =n+3(1≤n ≤7)；数列③：n a n n (1011-=≥1）； 数列⑤：n n a )1(-=n ≥1）⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n . ⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.从映射、函数的观点来看，数列也可以看作是一个定义域为正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式.对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式画出其对应图象，下面同学们练习画数列①，②的图象，并总结其特点.在画图时，为方便起见，直角坐标系两条坐标轴上的单位长度可以不同. 数列①、②的图象分别如图1，图2所示.5．数列的图像都是一群孤立的点.6．数列有三种表示形式：列举法，通项公式法和图象法.7．有穷数列：项数有限的数列.例如，数列①是有穷数列.8．无穷数列：项数无限的数列.例如，数列②、③、④、⑤、⑥都是无穷数列.三、讲解范例：例1根据下面数列{}n a的通项公式，写出前5项：（1）nanna nnn⋅-=+=)1()2(;1分析：由通项公式定义可知，只要将通项公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项解：（1）;65;54;43;32;21.5,4,3,2,154321======aaaaan(2);5;4;3;2;21.5,4,3,2,154321-==-====aaaaan例2写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，3，5，7；（2）;515;414,313;2122222----（3）-211⨯，321⨯，-431⨯，541⨯.解：（1）项1=2³1-1 3=2³2-1 5=2³3-1 7=2³4-1↓↓↓↓序号 1 2 3 4即这个数列的前4项都是序号的2倍减去1，∴它的一个通项公式是：12-=nan；（2）序号：1 2 3 4↓↓↓↓项分母：2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1东莞市商业学校数学科组东莞市商业学校数学科组↓ ↓ ↓ ↓项分子： 22-1 32-1 42-1 52-1即这个数列的前4项的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，∴它的一个通项公式是： 1)1(2+-=n n n a n ； （3）序号 2111⨯-↓ 3213 ⨯-↓ 4313 ⨯-↓ 5414 ⨯-↓‖ ‖ ‖ ‖)11(11)1(1+⨯- )12(21)1(2+⨯- )13(31)1(3+⨯- )12(21)1(2+⨯- 这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是： )1(1)1(+-=n n a n n 四、课堂练习：课本P 112练习：P118 一、1—4.五、小结 本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式六、课后作业：课本P118 同步训练一5-10、二七、板书设计（略）八、课后记： 主要介绍数列的概念、分类，以及给出数列的两种方法关于数列的概念，先给出了一个描述性定义，尔后又在此基础上，给出了一个在映射、函数观点下的定义，指出：“从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值”这样就可以将数列与函数联系起来，不仅可以加深对数列概念的理解，而且有助于运用函数的观点去研究数列关于给出数列的两种方法，其中数列的通项公式，教材已明确指出它就是相应函数的解析式点破了这一点，数列与函数的内在联系揭示得就更加清楚此外，正如并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数) 本节课学生学习的兴趣较高，学生配合也在预期中，学生学习效果较好。

课 题：5.1 数列的概念（二）东莞市商业学校数学科组教学目的：1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项；3．理解数列的前n 项和与n a 的关系；4．会由数列的前n 项和公式求出其通项公式.教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项教学难点：理解递推公式与通项公式的关系授课类型：复习课课时安排：2课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：上节学习知识点如下⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.5．数列的图像都是一群孤立的点.6．数列有三种表示形式：列举法，通项公式法和图象法.7． 有穷数列：项数有限的数列.例如，数列①是有穷数列.8． 无穷数列：项数无限的数列.二、讲解新课：定义：1．递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公 式就叫做这个数列的递推公式说明：递推公式也是给出数列的一种方法东莞市商业学校数学科组如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89递推公式为：)83(,5,32121≤≤+===--n a a a a a n n n2．数列的前n 项和：数列{}n a 中，n a a a a ++++ 321称为数列{}n a 的前n 项和，记为n S . 1S 表示前1项之和：1S =1a2S 表示前2项之和：2S =21a a +……1-n S 表示前n-1项之和：1-n S =1321-++++n a a a an S 表示前n 项之和：n S =n a a a a ++++ 321.∴当n ≥1时n S 才有意义；当n-1≥1即n ≥2时1-n S 才有意义.3．n S 与n a 之间的关系：由n S 的定义可知，当n=1时，1S =1a ；当n ≥2时，n a =n S -1-n S ，即n a =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n. 说明：数列的前n 项和公式也是给出数列的一种方法.三、例题讲解例1已知数列{}n a 的第1项是1，以后的各项由公式111-+=n n a a 给出，写出这个数列的前5项 分析：题中已给出{}n a 的第1项即11=a ，递推公式：111-+=n n a a 解：据题意可知：3211,211,123121=+==+==a a a a a 58,3511534==+=a a a东莞市商业学校数学科组例2已知数列{}n a 中，n a a a a a n n n (3,2,12121--+===≥3），试写出数列的前4项解：由已知得233,73,2,123412321=+==+===a a a a a a a a 例3已知21=a ，n n a a 21=+ 写出前5项，并猜想n a ．法一：21=a 22222=⨯=a 323222=⨯=a ，观察可得 n n a 2= 法二：由n n a a 21=+ ∴12-=n n a a 即21=-n n a a ∴ 112322112------=⨯⨯⨯⨯n n n n n n n a a a a a a a a ∴ n n n a a 2211=⋅=-例4 已知数列{}n a 的前n 项和，求数列的通项公式：⑴ n S =n 2+2n ； ⑵ n S =n 2-2n-1.解：⑴①当n ≥2时，n a =n S -1-n S =(n 2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1；②当n=1时，1a =1S =12+2³1=3；③经检验，当n=1时，2n+1=2³1+1=3，∴n a =2n+1为所求.⑵①当n ≥2时，n a =n S -1-n S =(n 2-2n-1)-[(n-1)2+2(n-1)-1]=2n-3； ②当n=1时，1a =1S =12-2³1-1=-2；③经检验，当n=1时，2n-3=2³1-3=-1≠-2，∴n a =⎩⎨⎧≥-=-)2(32)1(2n n n 为所求. 四、练习：1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式东莞市商业学校数学科组(1) 1a ＝0, 1+n a ＝n a ＋(2n －1) (n ∈N)；(2) 1a ＝1, 1+n a ＝22+n n a a (n ∈N)； (3) 1a ＝3, 1+n a ＝3n a －2 (n ∈N).2． ．已知下列各数列{}n a 的前n 项和n S 的公式，求{}n a 的通项公式(1) n S ＝2n 2－3n; (2) n S ＝n3－2.五、小结 本节课学习了以下内容：1．递推公式及其用法；2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n 项）之间的关系.3．n S 的定义及与n a 之间的关系六、课后作业：课本P118 同步训练三1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项 1a =1, n a =1-n a +11-n a （n ≥2） 2．已知n S =an 2+bn+c ，求数列的通项公式七、板书设计（略）八、课后记：由于并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)，因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展递推是数学里的一个非常重要的概念和方法在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的，而且它也是获得一个数列的通项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递推公式，然后再根据它推得通项公式但是，这项内容也是极易膨胀的，例如研究用递推公式给出的数列的性质，从数列的递推公式推导通项公式等，这样就会加重学生负担在高一学习，我们必须牢牢把握教学要求，只要能初步体会一下用递推方法给出数列的思想，能根据递推公式写出一个数列的前几项就行了东莞市商业学校数学科组课 题：5.2.1 等差数列（一）教学目的：1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式；2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题 教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式教学难点：等差数列的性质授课类型：复习课课时安排：2课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法和前n 项和公式..这些方法从不同的角度反映数列的特点二、讲解新课：1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +，则此数列是等差数列，d 为公差 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得：d a a =-12即：d a a +=12d a a =-23即：d a d a a 2123+=+=d a a =-34即：d a d a a 3134+=+=……东莞市商业学校数学科组由此归纳等差数列的通项公式可得：d n a a n )1(1-+=∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项a 如数列①1，2，3，4，5，6； n n a n =⨯-+=1)1(1（1≤n ≤6） 数列②10，8，6，4，2，…； n n a n 212)2()1(10-=-⨯-+=（n ≥1） 数列③;,1,54;53,52;51 551)1(51n n a n =⨯-+=（n ≥1） 由上述关系还可得：d m a a m )1(1-+=即：d m a a m )1(1--=则：=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+-- 即的第二通项公式 =n a d m n a m )(-+ ∴ d=nm a a n m -- 如：d a d a d a d a a 43212345+=+=+=+=三、例题讲解例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？ 解：⑴由35285,81-=-=-==d an=20，得49)3()120(820-=-⨯-+=a⑵由4)5(9,51-=---=-=d a得数列通项公式为：)1(45---=n a n由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得)1(45401---=-n 成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项 例2 在等差数列{}n a 中，已知105=a ，3112=a ，求1a ,d ,n a a ,20东莞市商业学校数学科组解法一：∵105=a ，3112=a ，则⎩⎨⎧=+=+311110411d a d a ⇒⎩⎨⎧=-=321d a ∴53)1(1-=-+=n d n a a n5519120=+=d a a解法二：∵3710317512=⇒+=⇒+=d d d a a∴5581220=+=d a a 3)12(12-=-+=n d n a a n小结：第二通项公式 d m n a a m n )(-+=小结：①这就是第二通项公式的变形，②几何特征，直线的斜率例3 梯子最高一级宽33cm ，最低一级宽为110cm ，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度解：设{}n a 表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知：1a =33, 12a =110，n=12∴d a a )112(112-+=,即10=33+11d 解得：7=d因此，,61,54,47740,407335432===+==+=a a a a,103,96,89,82,75,6811109876======a a a a a a答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm ，47cm ，54cm ，61cm ，68cm ，75cm ，82cm ，89cm ，96cm ，103cm.例4 已知数列{n a }的通项公式q pn a n +=，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？分析：由等差数列的定义，要判定{}n a 是不是等差数列，只要看1--n n a a （n ≥2）是不是一个与n 无关的常数解：当n ≥2时, （取数列{}n a 中的任意相邻两项1-n a 与n a （n ≥2）） ])1([)(1q n p q pn a a n n +--+=--p q p pn q pn =+--+=)(为常数东莞市商业学校数学科组∴{n a }是等差数列，首项q p a +=1，公差为p注：①若p=0，则{n a }是公差为0的等差数列，即为常数列q ，q ，q ，… ②若p ≠0, 则{n a }是关于n 的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q 的图象上,一次项的系数是公差,直线在y 轴上的截距为q.③数列{n a }为等差数列的充要条件是其通项n a =pn+q (p 、q 是常数)第3通项公式④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个四、练习：1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.解：根据题意可知：1a =3,d =7－3=4.∴该数列的通项公式为：n a =3+（n －1）³4,即n a =4n －1（n ≥1,n ∈N *） ∴4a =4³4－1=15, 10a =4³10－1=39.评述：关键是求出通项公式.（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.解：根据题意可知：1a =10,d =8－10=－2.∴该数列的通项公式为：n a =10+（n －1）³（－2）,即：n a =－2n +12, ∴20a =－2³20+12=－28.评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数.解：根据题意可得：1a =2,d =9－2=7.东莞市商业学校数学科组∴此数列通项公式为：n a =2+（n －1）³7=7n －5.令7n －5=100,解得：n =15,∴100是这个数列的第15项.（4）－20是不是等差数列0，－321，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 解：由题意可知：1a =0,d =－321 ∴此数列的通项公式为：n a =－27n +27, 令－27n +27=－20,解得n =747 因为－27n +27=－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项. 2.在等差数列{n a }中，（1）已知4a =10,7a =19,求1a 与d ;（2）已知3a =9, 9a =3,求12a .解：（1）由题意得：⎩⎨⎧=+=+19610311d a d a , 解之得：⎩⎨⎧==311d a . （2）解法一：由题意可得：⎩⎨⎧=+=+389211d a d a , 解之得⎩⎨⎧-==1111d a ∴该数列的通项公式为：n a =11+（n －1）³（－1）=12－n ,∴12a =0 解法二：由已知得：9a =3a +6d ,即：3=9+6d ,∴d =－1又∵12a =9a +3d ,∴12a =3+3³（－1）=0.Ⅳ.课时小结五、小结 通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +）.其次，要会推导等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：=n a d m n a m )(-+和n a =pn+q (p 、q 是常数)的理解与应用.六、课后作业课本P123 同步训练一七、板书设计（略）八、课后记：本节是等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线)东莞市商业学校数学科组东莞市商业学校数学科组课 题：5.2.2 等差数列等差数列的性质教学目的：1.明确等差中项的概念.2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式.教学重点：等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题授课类型：复习课课时安排：2课时教学过程：一、复习引入首先回忆一下上节课所学主要内容：1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）2．等差数列的通项公式： d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+或n a =pn+q (p 、q 是常数))3．有几种方法可以计算公差d① d=n a －1-n a ② d =11--n a a n ③ d =m n a a m n -- 二、讲解新课：问题：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列数列，那么A 应满足什么条件？由定义得A-a =b -A ，即：2b a A +=反之，若2b a A +=，则A-a =b -A 由此可可得：,,2b a b a A ⇔+=成等差数列 也就是说，A =2b a +是a ,A ,b 成等差数列的充要条件 定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项 不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项如数列：1，3，5，7，9，11，13…中东莞市商业学校数学科组5是3和7的等差中项，1和9的等差中项9是7和11的等差中项，5和13的等差中项看来，73645142,a a a a a a a a +=++=+性质：在等差数列中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+即 m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )但通常 ①由q p n m a a a a +=+ 推不出m+n=p+q ，②n m n m a a a +=+三、例题讲解例1在等差数列{n a }中，若1a +6a =9, 4a =7, 求3a , 9a .分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……解：∵ {a n }是等差数列∴ 1a +6a =4a +3a =9⇒3a =9－4a =9－7=2∴ d=4a －3a =7－2=5∴ 9a =4a +(9－4)d=7+5*5=32 ∴ 3a =2, 9a =32例2 等差数列{n a }中，1a +3a +5a =－12, 且 1a ²3a ²5a =80. 求通项 n a 分析：要求通项，仍然是先求公差和其中至少一项的问题而已知两个条件均是三项复合关系式，欲求某项必须消元（项）或再弄一个等式出来解：1a +5a =23a⎩⎨⎧-=+-=⇒⎭⎬⎫=-=⇒-=⇒-=++82080412321a a a 515153133531a a a a a a a a a ⇒1a =－10, 5a =2 或 1a =2, 5a =－10东莞市商业学校数学科组∵ d=1515--a a ∴ d=3 或－3∴ n a =－10+3 (n －1) = 3n － 13 或 n a =2 －3 (n －1) = －3n+5例3在等差数列{n a }中, 已知3a ＋4a ＋5a ＋6a ＋7a ＝450, 求2a ＋8a 及前9项和9S .解：由等差中项公式：3a ＋7a ＝25a ， 4a ＋6a ＝25a由条件3a ＋4a ＋5a ＋6a ＋7a ＝450, 得55a ＝450, 5a ＝90,∴2a ＋8a ＝25a ＝180.9S ＝1a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＋6a ＋7a ＋8a ＋9a＝(1a ＋9a )＋(2a ＋8a )＋(3a ＋7a )＋(4a ＋6a )＋5a＝95a ＝810.四、练习：1.在等差数列{}n a 中，已知105=a ，3112=a ，求首项1a 与公差d2. 在等差数列{}n a 中, 若 65=a 158=a 求14a3.在等差数列{}n a 中若 30521=+++a a a ，801076=+++a a a ，求151211a a a +++五、小结 本节课学习了以下内容：1．,,2b a b a A ⇔+=成等差数列 2．在等差数列中， m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )东莞市商业学校数学科组六、课后作业：1.在等差数列{}n a 中，d 为公差，若+∈N q p n m ,,,且q p n m +=+求证：1︒ q p n m a a a a +=+ 2︒ d q p a a q p )(-+=2.在等差数列{}n a 中， 若a a =5 b a =10 求15a3.在等差数列{}n a 中，若m a a =+83 求 65a a +4.成等差数列的四个数之和为26,第二数和第三数之积为40,求这四个数．5在等差数列{}n a 中，若21512841=+---a a a a a 求8a ．解：∵124151a a a a +=+ ∴ 28-=a七、板书设计（略）八、课后记：本节是在学习等差数列的概念、通项公式的基础上，推导等差数列前n 项和的公式，并突出等差数列的一个重要的对称性质：与任一项前后等距离的两项的平均数都与该项相等，认识这一点对解决问题会带来一些方便东莞市商业学校数学科组课 题：5.2.3 等差数列的前n 项和教学目的：1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式.2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式教学难点：灵活应用求和公式解决问题授课类型：复习课课时安排：2课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：首先回忆一下上一节课所学主要内容：1.等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S += 2.等差数列的前n 项和公式2：2)1(1d n n na S n -+= 3.n )2d a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式 4.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1） 利用n a :当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值 当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值（2） 利用n S ：由n )2d a (n 2d S 12n -+=二次函数配方法求得最值时n 的值 二、例题讲解例1 .求集合M ={m |m =2n －1,n ∈N *,且m ＜60}的元素个数及这些元素的和. 解：由2n －1＜60,得n ＜261,又∵n ∈N * ∴满足不等式n ＜261的正整数一共有30个. 即 集合M 中一共有30个元素，可列为：1，3，5，7，9，…，59，组成一个以1a =1, 30a =59,n =30的等差数列.东莞市商业学校数学科组∵n S =2)(1n a a n +,∴30S =2)591(30+=900. 答案：集合M 中一共有30个元素，其和为900.例2.在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2，并求这些数的和分析：满足条件的数属于集合，M ={m |m =3n +2,m ＜100,m ∈N *}例3已知数列{},n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，求证：⑴6S ，12S -6S ，18S -12S 成等差数列；⑵设k k k k k S S S S S 232,,-- （+∈N k ）成等差数列证明：设{},n a 首项是1a ，公差为d则6543216a a a a a a S +++++=∵121110987612a a a a a a S S +++++=-)6()6()6()6()6()6(654321d a d a d a d a d a d a +++++++++++= dS d a a a a a a 3636)(6654321+=++++++=∵∴1817161514131218a a a a a a S S +++++=-)6()6()6()6()6()6(121110987d a d a d a d a d a d a +++++++++++=d a a a a a a 36)(121110987++++++=d S S 36)(612+-=12186126,,S S S S S --∴是以36d 为公差的等差数列 同理可得k k k k k S S S S S 232,,--是以2k d 为公差的等差数列.三、练习：1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.分析：将已知条件转化为数学语言，然后再解.2．两个数列1, 1x , 2x , ……,7x , 5和1, 1y , 2y , ……,6y , 5均成等差数东莞市商业学校数学科组 列公差分别是1d , 2d , 求21d d 与621721y y y x x x ++++++ 的值 3．在等差数列{n a }中, 4a ＝－15, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值四、小结 本节课学习了以下内容：{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，则k k k k k S S S S S 232,,-- （+∈N k ）仍成等差数列五、课后作业：1．一凸n 边形各内角的度数成等差数列，公差是10°,最小内角为100°,求边数n.2．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差d.3．两个等差数列，它们的前n 项和之比为1235-+n n , 求这两个数列的第九项的比 4．一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求它的前110项和 六、板书设计（略） 七、课后记：本节是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式，并能利用它求和解决数列和的最值问题等差数列求和公式的推导，采用了倒序相加法，思路的获得得益于等到差数列任意的第k 项与倒数第k 项的推导，使学生能掌握“倒序相加”数学方法东莞市商业学校数学科组 课 题：5.3.1等比数列（一）教学目的：1.掌握等比数列的定义.2.理解等比数列的通项公式及推导 教学重点：等比数列的定义及通项公式教学难点：灵活应用定义式及通项公式解决相关问题 授课类型：复习课 课时安排：2课时 教学过程：一、复习引入：首先回忆一下前几节课所学主要内容：1．等差数列的定义： n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +）2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+或n a =pn+q (p 、q 是常数)) 3．几种计算公差d 的方法：d=n a －1-n a =11--n a a n m n mn -4．等差中项：,,2b a ba A ⇔+=成等差数列 5．等差数列的性质： m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )6．数列的前n 项和n S ：2)(1n n a a n S +=，21na S n +=n )2da (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式 7．n S 是等差数列前n 项和，则k k k k k S S S S S 232,,-- 仍成等差数列前面我们已经研究了一类特殊的数列—等差数列，今天我们一起研究第二类新的数列——等比数列二、讲解新课：下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点? 1，2，4，8，16，…，263; ① 5，25，125，625，…； ②东莞市商业学校数学科组 1，－81,41,21-，…； ③ 对于数列①，n a =12-n ;1-n na a =2（n ≥2） 对于数列②，n a =n5 ;1-n na a =5（n ≥2） 对于数列③，n a =1)1(+-n ²121-n ；211-=-n n a a （n ≥2）共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1-n na a =q （q ≠0） 1︒“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) ｛n a ｝成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0 2︒ 隐含：任一项00≠≠q a n 且“n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件． 3︒ q= 1时，{a n }为常数2.等比数列的通项公式1: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n3.等比数列的通项公式2: )0(11≠⋅⋅=-q a q a a m m n 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 三、例题讲解例 求下列各等比数列的通项公式：1． 1a =-2, 3a =-8解：24213±=⇒=⇒=q q q a an n n n n n a a )2()2)(2(22)2(11-=--=-=-=∴--或东莞市商业学校数学科组2． 1a =5, 且21+n a =-3n a 解：111)23(5523-+-⨯=∴=-==n n n n a a a a q 又：3． 1a =5, 且11+=+n na a n n 解：nn a a a a a a n n a a n n n n 1,,32,211123121-===∴+=-+以上各式相乘得：na n a n 11==四、练习：1．求下面等比数列的第4项与第5项：（1）5，－15，45，……； （2）1.2，2.4，4.8，……；（3）22,1,2)4(;,83.21,32 ，…….解：（1）∵q =515-=－3, 1a =5 ∴n a =1a 1-n q =5²（－3）1-n ∴4a =5²（－3）3=－135，5a =5²（－3）4=405. （2）∵q =2.14.2=2, 1a =1.2 ∴n a =1a 1-n q =1.2³21-n ∴4a =1.2³23=9.6, 5a =1.2³24=19.2（3）∵q =32,4332211==÷a ∴n a =1a 1-n q =32³（43）1-n ∴4a =22³（43）3=329, 5a =32³（43）4=12827（4）∵q =1÷222=,1a =2 ∴n a =1a 1-n q =2²（21）1-n =2)2(1-n ∴4a =42)2(1,21)2(1352===a .东莞市商业学校数学科组 2.（1） 一个等比数列的第9项是94，公比是－31，求它的第1项. 解：由题意得9a =94,q =－31∵9a =1a q 8,∴94=1a （－31）8,∴1a =2916答：它的第1项为2916.（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项. 解：由已知得2a =10, 3a =20.在等比数列中 ∵223==a a q , ∴1a =qa 2=5, 4a =3a q =40. 答：它的第1项为5，第4项为40.五、小结 本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式．六、课后作业：P129同步训练一 七、板书设计（略）八、课后记：在等比数列也是一类重要的特殊数列，在讲等比数列的概念和通项公式时要突出它与指数函数的联系这不仅可加深对等比数列的认识，而且可以对处理某类问题的指数函数方法和等比数列方法进行比较，从而有利于对这些方法的掌握从全面提高学生的素质考虑。