《函数y=Asin(ωx+φ)(第一课时)》示范公开课教学课件【高中数学人教】
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答案：运动时间是ω＝1时运动时间的 1 倍； 2
对应的函数图象上的点K的坐标是 K (1 x，y) ． 2
新知探究
追问3 如上我们找到了两个函数图象上任意点的变化，那么如何从
函数y＝sin（x＋ π ）的图象得到函数y＝sin（2x＋ π）的图象？
6
6
函数y＝sin（2x＋ π ）图象是函数y＝sin（x＋ π ）图象上的所有点横
解答：（1）可以利用它们之间的关系进行研究；
新知探究
问题3 从解析式看，函数y＝sinx就是函数y＝Asin（ωx＋φ） 在A＝1，ω＝1，φ＝0时的特殊情形． （2）函数y＝Asin（ωx＋φ）中含有三个不同参数，类比以往研究函数 的经验，对于含有多个参数的函数，你认为应按怎样的思路进行研究？ 解答：（2）类比对二次函数y＝a（x－h）²＋k图象用“控制变量法”的 研究过程，具体的操作办法是：可以分别将其中的两个变量特殊化，研 究另一个变量对图象的影响，最后，综合分析由一个特别简单的二次函 数如何一步一步通过变换得到一个较复杂的二次函数图象的过程．
对应的函数y＝sin（x＋π ）图象 6
上的点G的坐标是多少？
在单位圆上，
如果以Q0为起点的动点到达圆周上点P的时间为x s，
那么以Q1为起点的动点相继到达点P的时间是（x－ 点G的坐标是（x－ π ，sin x）．
π 6
）s．
6
新知探究
追问3 如上我们找到了两个函数图象上任意点的变化，那么如何从 函数y＝sin x的图象得到函数y＝sin（x＋ π ）的图象？
归纳小结
问题6 通过这节课的学习，请你谈谈我们采用什么方法来研 究函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象？你获得了怎样的研究经验？ 特殊化，研究函数图象上任意一点的变化， 由此归纳出参数取某个具体值时对函数图象的变化． 再在此基础上归纳出参数变化对整个图象变化的影响． 类比研究，充分应用已有知识经验， 比如类比二次函数图象的研究得到本单元的研究思路， 又比如运用前一个问题的研究成果．
作业布置
尝试探究： （1）当参数A变化时，对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响； （2）从函数y＝sinx图象出发，通过图象变化得到函数
y＝Asin（ωx＋φ）的图象的过程与方法．
目标检测
1 已知函数y＝3sin x的图象为C．
（1）为了得到函数y＝3sin（x－ π ）的图象，只要把C上所有的点（ A ）
原来的3倍、（纵坐标不变）得到的．
新知探究
追问5 根据上面的研究，你能归纳出ω对函数y＝sin（ωx＋φ）图象 影响的一般化结论吗？
一般地，函数y＝sin（ωx＋φ）的周期是，把y＝sin（x＋φ）图象上所
有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的
1 ω
倍（纵坐标不变），就得到y＝sin（ωx＋φ）的图象．
追问6 前面采用了怎样的研究方法呢？
特殊化，画图、观察、猜想、验证，归纳出一般结论．
新知探究
问题5 观察当参数ω变化时对函数y＝sin（ωx＋φ）图象的 变换有什么影响？
追问1 结合筒车模型，ω的不同值表示什么含义？ ω的不同值表示动点的不同角速度．
新知探究
追问2 如图，不妨令ω＝2，那么以Q1为起点的动点P2，运动到点P， 它需要的时间是多少？对应的函数图象上的点K的坐标是多少？
新知探究
假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都作匀速圆周运 动．如果将这个桶车抽象成一个圆，水筒抽象成一个质点，你能用一 个合适的函数模型来刻画盛水筒距离水面的相对高度与时间的关系吗？
追问 与盛水筒运动相关的量有哪些？ 它们之间有怎样的关系？
新知探究
如图，相关的量有： 设水车半径为r，水车中心距水面的高度为h； 水车转动的角速度为ω； 初始位置所对应的角φ；时间t； 距离水面的相对高度H； 变量t与H之间的等量关系是： H＝rsin（ωx＋φ）＋h．
3
3
新知探究
追问5 根据上面的研究，你能归纳出φ对函数y＝sin（x＋φ）图象影 响的一般化结论吗？
一般地，当动点M的起始位置Q对应的角为φ时， 对应的函数是y＝sin（x＋φ）（φ≠0）， 把正弦曲线上所有点向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移|φ|个长度单 位就得到y＝sin（x＋φ）的图象．
新知探究
变化对函数图象的影响．
新知探究
问题3 从解析式看，函数y＝sinx就是函数y＝Asin（ωx＋φ） 在A＝1，ω＝1，φ＝0时的特殊情形． （1）能否借助我们熟悉的函数y＝sinx的图象与性质研究参数A，ω，φ 对函数y＝Asin（ωx＋φ）的影响呢？ （2）函数y＝Asin（ωx＋φ）中含有三个不同参数，类比以往研究函数 的经验，对于含有多个参数的函数，你认为应按怎样的思路进行研究？
6
y＝sin（x＋ π ）的图象可以看作是函数y＝sin x的图象上的所有点向左 6
平移 π 个单位后得到． 6
新知探究
追问4
如果起点Q0绕O1旋转
π ，π ， 63
π ，对应的函数图象如何变化呢？ 3
分别可以看作是函数y＝sinx的图象上的所有点向右平移
π ，向左平 6
移 π ，向右平移 π 个单位后得到．
y
P
ωt
P0
φ
x
O H
h
新知探究
问题2 我们从实际问题出发，抽象转化成一个数学问题， 并建立了一个新的函数．根据研究指数函数、对数函数等 函数的经验，你认为接下来应该研究什么？
类比之前对函数的研究方法，接下来我们应该研究函数的图象与性 质．有了图象之后可以使我们更好地把握这个函数的性质．
显然，这个函数由参数A，ω，φ所确定．因此关键是研究这些参数的
函数y=Asin(ωx+φ)
第一课时
整体感知
我们知道，单位圆上的点，以（1，0）为起点，以单位速度按逆时针 方向运动，其运动规律可用正弦函数加以刻画．对于一个一般的匀速 圆周运动可以用怎样的数学模型刻画呢？
新知探究
问题1 筒车是中国古代发明的一种灌溉工具，它省时、省力， 环保、经济，现代农村至今还在大量使用．明朝科学家徐光启 在《农政全书》中用图示描绘了人们利用筒车轮的圆周运动进 行灌溉的工作原理（用信息技术呈现筒车运动的实际情境）．
目标检测
2 已知函数 y 3sin(x π ) 的图象为C．为了得到函数 y 3sin(x π ) 的
5
2π
5
图象，只要把C上所有的点向___右____平移____5_____个单位长度．
敬请各位老师提出宝贵意见 ！
新知探究பைடு நூலகம்
问题4 观察当参数φ变化时，函数y＝sin（x＋φ）的图象有 什么影响？
追问1 φ的不同值表示什么含义？结合筒车说明． 在筒车例子中，φ的不同值表示是初始位置所对应的角不同．
新知探究
追问2
如图，如果在单位圆上将起点Q0绕O1旋转
π 6
到Q1，让动点P1
以Q1为起点，按照与P0一样的方式，运动到点P，需要多长时间？
6
6
坐标缩短为原来的 1 倍（纵坐标不变）得到的．
2
新知探究
追问4 如果令 1，3 ，1 ，对应的函数y＝sin（ωx＋ π ）图象如何
23
6
变化呢？
对应函数y＝sin（ωx＋
π 6
）图象可以分别看成是函数y＝sin（x＋
π 6
）
图象上的所有点横坐标伸长为原来的2倍、缩短为原来的
1 3
倍、伸长为
5 A．向右平行移动 π 个单位长度
5 B．向右平行移动 π 个单位长度
5 C．向右平行移动 π 个单位长度
5 D．向右平行移动 π 个单位长度
5
目标检测
1 已知函数y＝3sin x的图象为C．
（2）为了得到函数y＝3sin 2x的图象，只要把C上所有的点（ B ） A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标伸长到原来的 1 倍，纵坐标不变 2 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标伸长到原来的 1 倍，横坐标不变 2
对应的函数图象上的点K的坐标是 K (1 x，y) ． 2
新知探究
追问3 如上我们找到了两个函数图象上任意点的变化，那么如何从
函数y＝sin（x＋ π ）的图象得到函数y＝sin（2x＋ π）的图象？
6
6
函数y＝sin（2x＋ π ）图象是函数y＝sin（x＋ π ）图象上的所有点横
解答：（1）可以利用它们之间的关系进行研究；
新知探究
问题3 从解析式看，函数y＝sinx就是函数y＝Asin（ωx＋φ） 在A＝1，ω＝1，φ＝0时的特殊情形． （2）函数y＝Asin（ωx＋φ）中含有三个不同参数，类比以往研究函数 的经验，对于含有多个参数的函数，你认为应按怎样的思路进行研究？ 解答：（2）类比对二次函数y＝a（x－h）²＋k图象用“控制变量法”的 研究过程，具体的操作办法是：可以分别将其中的两个变量特殊化，研 究另一个变量对图象的影响，最后，综合分析由一个特别简单的二次函 数如何一步一步通过变换得到一个较复杂的二次函数图象的过程．
对应的函数y＝sin（x＋π ）图象 6
上的点G的坐标是多少？
在单位圆上，
如果以Q0为起点的动点到达圆周上点P的时间为x s，
那么以Q1为起点的动点相继到达点P的时间是（x－ 点G的坐标是（x－ π ，sin x）．
π 6
）s．
6
新知探究
追问3 如上我们找到了两个函数图象上任意点的变化，那么如何从 函数y＝sin x的图象得到函数y＝sin（x＋ π ）的图象？
归纳小结
问题6 通过这节课的学习，请你谈谈我们采用什么方法来研 究函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象？你获得了怎样的研究经验？ 特殊化，研究函数图象上任意一点的变化， 由此归纳出参数取某个具体值时对函数图象的变化． 再在此基础上归纳出参数变化对整个图象变化的影响． 类比研究，充分应用已有知识经验， 比如类比二次函数图象的研究得到本单元的研究思路， 又比如运用前一个问题的研究成果．
作业布置
尝试探究： （1）当参数A变化时，对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响； （2）从函数y＝sinx图象出发，通过图象变化得到函数
y＝Asin（ωx＋φ）的图象的过程与方法．
目标检测
1 已知函数y＝3sin x的图象为C．
（1）为了得到函数y＝3sin（x－ π ）的图象，只要把C上所有的点（ A ）
原来的3倍、（纵坐标不变）得到的．
新知探究
追问5 根据上面的研究，你能归纳出ω对函数y＝sin（ωx＋φ）图象 影响的一般化结论吗？
一般地，函数y＝sin（ωx＋φ）的周期是，把y＝sin（x＋φ）图象上所
有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的
1 ω
倍（纵坐标不变），就得到y＝sin（ωx＋φ）的图象．
追问6 前面采用了怎样的研究方法呢？
特殊化，画图、观察、猜想、验证，归纳出一般结论．
新知探究
问题5 观察当参数ω变化时对函数y＝sin（ωx＋φ）图象的 变换有什么影响？
追问1 结合筒车模型，ω的不同值表示什么含义？ ω的不同值表示动点的不同角速度．
新知探究
追问2 如图，不妨令ω＝2，那么以Q1为起点的动点P2，运动到点P， 它需要的时间是多少？对应的函数图象上的点K的坐标是多少？
新知探究
假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都作匀速圆周运 动．如果将这个桶车抽象成一个圆，水筒抽象成一个质点，你能用一 个合适的函数模型来刻画盛水筒距离水面的相对高度与时间的关系吗？
追问 与盛水筒运动相关的量有哪些？ 它们之间有怎样的关系？
新知探究
如图，相关的量有： 设水车半径为r，水车中心距水面的高度为h； 水车转动的角速度为ω； 初始位置所对应的角φ；时间t； 距离水面的相对高度H； 变量t与H之间的等量关系是： H＝rsin（ωx＋φ）＋h．
3
3
新知探究
追问5 根据上面的研究，你能归纳出φ对函数y＝sin（x＋φ）图象影 响的一般化结论吗？
一般地，当动点M的起始位置Q对应的角为φ时， 对应的函数是y＝sin（x＋φ）（φ≠0）， 把正弦曲线上所有点向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移|φ|个长度单 位就得到y＝sin（x＋φ）的图象．
新知探究
变化对函数图象的影响．
新知探究
问题3 从解析式看，函数y＝sinx就是函数y＝Asin（ωx＋φ） 在A＝1，ω＝1，φ＝0时的特殊情形． （1）能否借助我们熟悉的函数y＝sinx的图象与性质研究参数A，ω，φ 对函数y＝Asin（ωx＋φ）的影响呢？ （2）函数y＝Asin（ωx＋φ）中含有三个不同参数，类比以往研究函数 的经验，对于含有多个参数的函数，你认为应按怎样的思路进行研究？
6
y＝sin（x＋ π ）的图象可以看作是函数y＝sin x的图象上的所有点向左 6
平移 π 个单位后得到． 6
新知探究
追问4
如果起点Q0绕O1旋转
π ，π ， 63
π ，对应的函数图象如何变化呢？ 3
分别可以看作是函数y＝sinx的图象上的所有点向右平移
π ，向左平 6
移 π ，向右平移 π 个单位后得到．
y
P
ωt
P0
φ
x
O H
h
新知探究
问题2 我们从实际问题出发，抽象转化成一个数学问题， 并建立了一个新的函数．根据研究指数函数、对数函数等 函数的经验，你认为接下来应该研究什么？
类比之前对函数的研究方法，接下来我们应该研究函数的图象与性 质．有了图象之后可以使我们更好地把握这个函数的性质．
显然，这个函数由参数A，ω，φ所确定．因此关键是研究这些参数的
函数y=Asin(ωx+φ)
第一课时
整体感知
我们知道，单位圆上的点，以（1，0）为起点，以单位速度按逆时针 方向运动，其运动规律可用正弦函数加以刻画．对于一个一般的匀速 圆周运动可以用怎样的数学模型刻画呢？
新知探究
问题1 筒车是中国古代发明的一种灌溉工具，它省时、省力， 环保、经济，现代农村至今还在大量使用．明朝科学家徐光启 在《农政全书》中用图示描绘了人们利用筒车轮的圆周运动进 行灌溉的工作原理（用信息技术呈现筒车运动的实际情境）．
目标检测
2 已知函数 y 3sin(x π ) 的图象为C．为了得到函数 y 3sin(x π ) 的
5
2π
5
图象，只要把C上所有的点向___右____平移____5_____个单位长度．
敬请各位老师提出宝贵意见 ！
新知探究பைடு நூலகம்
问题4 观察当参数φ变化时，函数y＝sin（x＋φ）的图象有 什么影响？
追问1 φ的不同值表示什么含义？结合筒车说明． 在筒车例子中，φ的不同值表示是初始位置所对应的角不同．
新知探究
追问2
如图，如果在单位圆上将起点Q0绕O1旋转
π 6
到Q1，让动点P1
以Q1为起点，按照与P0一样的方式，运动到点P，需要多长时间？
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坐标缩短为原来的 1 倍（纵坐标不变）得到的．
2
新知探究
追问4 如果令 1，3 ，1 ，对应的函数y＝sin（ωx＋ π ）图象如何
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6
变化呢？
对应函数y＝sin（ωx＋
π 6
）图象可以分别看成是函数y＝sin（x＋
π 6
）
图象上的所有点横坐标伸长为原来的2倍、缩短为原来的
1 3
倍、伸长为
5 A．向右平行移动 π 个单位长度
5 B．向右平行移动 π 个单位长度
5 C．向右平行移动 π 个单位长度
5 D．向右平行移动 π 个单位长度
5
目标检测
1 已知函数y＝3sin x的图象为C．
（2）为了得到函数y＝3sin 2x的图象，只要把C上所有的点（ B ） A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标伸长到原来的 1 倍，纵坐标不变 2 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标伸长到原来的 1 倍，横坐标不变 2