高考数学文一轮分层演练：第9章平面解析几何第5讲第1课时(1)

[学生用书P264(单独成册)]

一、选择题

1．椭圆x 2m ＋y 2

4＝1的焦距为2，则m 的值是( )

A ．6或9

B ．5

C ．1或9

D ．3或5

解析：选D ．由题意，得c ＝1， 当椭圆的焦点在x 轴上时， 由m －4＝1，解得m ＝5； 当椭圆的点在y 轴上时， 由4－m ＝1，解得m ＝3， 所以m 的值是3或5，故选D ．

2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为1

2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半

径的圆与直线x －y ＋6＝0相切，则椭圆C 的方程为( )

A ．x 28＋y 2

6＝1

B ．x 212＋y 2

9＝1

C ．x 24＋y 2

3

＝1

D ．x 26＋y 2

4＝1

解析：选C ．由题意知e ＝c a ＝12，所以e 2

＝c 2a 2＝a 2－b 2

a 2＝14，即a 2＝43

b 2．以原点为圆心，

椭圆的短半轴长为半径的圆的方程为x 2＋y 2＝b 2，由题意可知b ＝6

2

＝3，所以a 2＝4，b 2＝3．故椭圆C 的方程为x 24＋y 2

3

＝1，故选C ．

3．设椭圆x 24＋y 2

3＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2是直角三角形，则△PF 1F 2

的面积为( )

A ．3

B ．3或3

2

C ．32

D ．6或3

解析：选C ．由已知a ＝2，b ＝3，c ＝1，则点P 为短轴顶点(0，3)时，∠F 1PF 2＝π

3，

△PF 1F 2是正三角形，若△PF 1F 2是直角三角形，则直角顶点不可能是点P ，只能是焦点F 1(或

F 2)为直角顶点，此时|PF 1|＝b 2a ＝32⎝⎛⎭⎫或|PF 2|＝b 2a ，S △PF 1F 2

＝12·b 2a ·2c ＝b 2c a ＝3

2

．故选C ．

4．已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A 为右顶点，P 是椭圆上一点，PF ⊥x 轴，

|PF |＝1

4

|AF |，则该椭圆的离心率是( )

A ．14

B ．34

C ．12

D ．

32

解析：选B ．由题可知点P 的横坐标是－c ，代入椭圆方程，有c 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2

a ．又

|PF |＝14|AF |，即b 2a ＝14(a ＋c )，化简得4c 2＋ac －3a 2＝0，即4e 2＋e －3＝0，解得e ＝3

4或e ＝－

1(舍去)．

5．如图，椭圆x 2a 2＋y 2

2＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 点在椭圆上，若 |PF 1|＝4，

∠F 1PF 2＝120°，则a 的值为( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

解析：选B ．b 2＝2，c ＝a 2－2，故|F 1F 2|＝2a 2－2，又|PF 1|＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 2|＝2a －4，由余弦定理得cos 120°＝42＋（2a －4）2－（2a 2－2）22×4×（2a －4）＝－12，化简得8a ＝24，

即a ＝3，故选B ．

6．过椭圆x 25＋y 2

4＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标

原点，则△OAB 的面积为( )

A ．43

B ．53

C ．54

D ．103

解析：选B ．由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1，0)，则直线AB 的方程为y ＝2x －2．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2

5＋y 2

4＝1，y ＝2x －2，解得交点A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎫53，43，所以S △OAB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪－2－43＝5

3

，故选B ．

二、填空题

7．已知方程x 22－k ＋y 2

2k －1

＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________．

解析：因为方程x 22－k ＋y 2

2k －1

＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则由⎩⎪⎨⎪⎧2－k >0，

2k －1>0，2k －1>2－k

得⎩

⎪⎨⎪⎧k <2，

k >12，

k >1，

故k 的取值范围为(1，2)．

答案：(1，2)

8．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1

相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．

解析：设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝|C 1C 2|， 所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆， 且2a ＝16，2c ＝8，

故所求的轨迹方程为x 264＋y 2

48＝1．

答案：x 264＋y 2

48

＝1

9．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶3，则椭圆C 的方程是__________________．

解析：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)．

由题意知⎩⎪⎨⎪

⎧a 2＝b 2＋c 2

，

a ∶

b ＝2∶3，解得a 2＝16，b 2＝12.

c ＝2，

所以椭圆C 的方程为x 216＋y 2

12＝1．

答案：x 216＋y 2

12

＝1

10．如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝1

2，F ，A 分别是椭圆的一个焦点

和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·P A →

的最大值为________．

解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2，