数形结合在小学数学教学中的应用（样例5）

数形结合在小学数学教学中的应用（样例5）
第一篇：数形结合在小学数学教学中的应用
数学思想方法对研究和应用数学具有指导意义，学生一旦掌握终生受益。

数形结合是小学数学中常用的一种数学思想方法，“数”和“形”是小学数学教学的研究对象，也是贯穿小学数学教材的两条主线。

小学生思维以具体形象思维为主，逐步向抽象逻辑思维过渡，且人脑有两个半球，左脑偏重于抽象逻辑思维，右脑则偏重于形象思维，只有两脑同时并用和开发，才能更好的促进学生思维的发展。

这说明数形结合在小学数学教学中的重要性。

“数形结合” 就是根据数量与图形之间的对应关系，把抽象的数学语言与直观的图形相结合，使抽象思维和形象思维相结合，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要的数学思想，也是一种常用的数学方法。

数形结合包括“以形助数”和“以数辅形” 两个方面。

巧妙地应用数形结合思想解题，往往会使抽象问题直观化、复杂问题简单化，达到优化解题途径的目的。

从“数” 的严谨性和“形” 的直观性两方面思考问题，拓展了解题思路，可起到事半功倍的效果。

我们很欣喜地看到新的人教版教材越来越重视体现数形结合的思想方法，不仅教材中更多地体现数形结合的图片和思考过程，还在新教材六年级上册最后一单元编排了“数与形”，较集中地出现数形结合的例题。

但在实际教学中，我们还是发现有些老师在数形结合的教学中存在着一些缺失，主要反映在以下几个方面：
首先，部分教师对数形结合思想方法在教学中的作用认识不到位，重视的程度不够。

没有充分挖掘教材中的思想方法，合理地教学。

特别是小学高年级，虽然教材呈现的图片资料没有低中年级丰富，但实际上更需要教师去分析教材，寻求数形结合的点，帮助学生更好地理解数学。

因为尽管这时的孩子抽象思维有所发展，但由于知识的难度系数增加，很大程度上还要靠形象思维来帮助理解。

例如六年级的分数应用题，无论是新课的教学还是课后的拓展提升，我们都要强调和培养学生通过画线段图的方式来理解数量关系。

但部分教师只是在新
课教学时草草做了一下示范，他们更重视通过重点句画标数量关系，再套用数量关系解题。

如求比较量就用单位“1”的量乘对应的分率，反之求单位“1”的量就用比较量除以对应的分率等等。

但这种方法学生是无法真正理解题意的，一旦题目复杂些时，出错是在所难免的。

其次，部分教师在数形结合教学中只重视教师的教，忽略了学生自觉运用数形结合习惯的培养。

有的教师他知道数形结合的重要性，在教学中他也努力去呈现这个过程，学生也理解了。

但等到学生自己做题时，却不会做了。

归根究底是学生没有自觉运用的意识，忘记了要用这种方法去解题。

在小学阶段，数形结合的方法的形成和运用只是刚刚起步，小学生数形结合的意识需要教师有意识地去培养，并帮助学生养成自觉的思维习惯。

在教学中，除了教师的示范外，还要引导学生动手摆一摆、画一画，更要让学生明白，遇到难题时，数形结合是一种重要的解题方法。

当这种运用意识累积到一定程度时，习惯就自觉形成了。

第三，部分教师过度“重形”，阻碍学生思维的发展。

与对“形”的忽略相比，还有一种是对形的过度重视。

不管是什么样的题目都要求学生必须摆实物、画示意图、线段图。

事实上，形只是数的辅助，在新授课时，我们有必要要求学生通过数形结合的方法理解题意，找到解题方法。

但随着知识的掌握，学生解题熟练度的增强，有的学生并不需要借助这种外在形式，他已经可以直接在头脑中形成表象。

也就是说，这时数形结合是在头脑中完成的。

那我们就不要求他一定要把这个图画出来。

数形结合就是解决问题的一种手段，我们的最终目的是发展学生的抽象思维。

只要学生在遇到难题时有运用数形结合的意识，能运用这种方法解题就可以了。

过分强调“形”反而使学生无法摆脱形象思维，阻碍学生思维的发展。

那么在小学数学教学中，哪些地方需要数形结合，如何更好地运用数形结合的方法来为教学服务呢？
一、数形结合帮助学生理解算理。

小学数学内容中，有相当部分的内容是计算问题。

算理是计算教学的难点，学生只有真正理解算理，知道为什么要这样做，才能掌握算法。

因此，如何让学生更好地理解算理是每个老师在计算教学中要
特别考虑的问题。

算理是抽象的、难理解的，如何把它简单的呈现出来，数形结合很重要。

例如分数乘分数这节课，如何让学生理解用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母呢？教学×时可以让学生用一张纸表示1公顷，先涂出这张纸的，再把这张纸的平均分成5份，涂出其中的一份，这样就是公顷的了。

通过引导学生观察，把一张纸平均分成2份，再把每一份再平均分成5份，这样就把一张纸平均分成了（2×5）份，其中的一份就是。

教学×时，也同样结合图形进行教学，最后再引导学生归纳出计算法则。

这样让学生亲身经历、体验“数形结合”的过程，有了表象的支撑，学生才能更加有效地理解算理。

二、数形结合帮助学生理解抽象的数量关系。

数形结合应贯穿整个小学阶段所有解决问题的教学。

从一年级的求比多比少问题、二年级的倍数问题到中高年级的和倍、差倍、相遇、追及、分数、比例问题，包括数学广角里面的植树问题、包容问题、鸡兔同笼问题等等都应充分运用数形结合，把抽象的数量关系，通过示意图、线段图、集合图、列表等方式表示出来。

使较复杂的数量关系简单明了，丰富学生的表象，引发联想，启发思维，拓宽思路。

通过数形结合，呈现较为具体直观的数学符号，有利于分析题中的数量关系，迅速找到解决问题的方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。

案例1：“鸡兔同笼”的内容，在二年级有，五年级也有。

如何让只有二年级的孩子们理解“鸡兔同笼”的问题呢？这里运用到的一个基本的学习方法就是让学生们动笔画一画，用一个简单的圆形来代替动物的头，用竖线来表示动物的脚，在画的过程中发现多了或少了可以马上就改。

比如：鸡兔同笼，有6个头，20只脚，鸡兔各有多少只？
这样，可以直观的看到有2只鸡，4只兔。

大多学生对这类题目的第一个感觉是难，通过“数形结合”的思想化抽象为直观，感觉就是有趣了。

小学低年级学生主要是凭借事物的具体形象来进行直观思维活动的，但小学应用题所明确的数量关系通常需要通过抽象思维来理解，这是在小学应用题教学中存在的突出矛盾，如把应用题中抽象的数量
关系用恰当的、形象的图形表示出来，就可较好地解决这一矛盾。

三、数形结合帮助学生理解抽象的几何问题。

数形结合能够帮助小学生建立初步的几何知识体系，发展空间观念。

几何直观在教学中有着非常重要的作用。

课程标准指出：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。

借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。

几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。

徐利治说：几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。

特别是小学六年级的立体图形的教学中有些题目的题意比较抽象，部分学生理解有障碍。

如果能够运用数形结合的方法加以分析，则可起到化难为易的效果，再难的题目也能迎刃而解。

例如：
例:明明做了这样一面小旗，如图，以BC为轴旋转一周形成一个圆柱，红色部分与绿色部分的体积比是（）。

这样的一道题错误率是70%-80%，为什么错误率会这么高呢？因为大部分的学生只看到：在长方形里，红色部分和绿色部分的面积是相等的，所以认为旋转后的体积也是相等的。

如果学生有数形结合的意识，能够把旋转后的图形画一画，就不会出现这种情况了。

通过画图，学生可以看到整个图形旋转后是一个圆柱，其中绿色部分是一个与圆柱等底等高的圆锥，它的体积是整个圆柱的，那么剩下的红色部分的体积应是整个圆柱的,红色部分与绿色部分的体积比应是2:1。

在几何教学中，如果教师能充分利用学生形象思维的特点，用“形”解释、演示，帮助理解抽象的“数”，激发学生的再造性想象，激活学生的解题思路，让学生在潜移默化中悟出画图的方法，感受到数与形结合的优点，养成根据题意画图帮助理解的习惯，从而提高学生数形转化的能力，实现形象思维和抽象思维互补互助，相辅相成，就能为学生长远的学习奠定好的学习方法。

四、数形结合，帮助学生初步感知函数思想。

小学数学中虽然没有学习函数，但已经开始渗透函数思想。

例如
在学习用数对表示位置时，将“座位”平面图形抽象为比较形象的“直角坐标系”，建立“数对”与平面上“点”之间的一一对应关系。

在此过程中，学生初步体验到，有了坐标后，整个平面就结构化了，可以用一对有顺序的数来确定平面上的一个点。

有了对直角坐标系的初步认识，学生在学习“正、反比例关系”时，就可以把具有这种关系的两个量在直角坐标系中“表示”出来，实际上就是正比例函数、反比例函数的图象，借助于形象的图象，来深入理解抽象的函数关系，例如，直观感知两个量的相依相存关系，当成正比例关系时，一个量增加另一个量也随着增加，并且是线性增加；当成反比例关系时，一个量增加，另一个量反而减少，根据图象可以直观地看出两个量变化的极限状态，一个量趋于无穷，另一个量趋于零。

总之，在小学数学教学中，数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生顺利地、高效率地学好数学知识，更用于学生学习兴趣的培养、智力的开发、能力的增强，为学生今后的数学学习打下坚实的基础。

第二篇：数形结合在小学教学中的应用范文
“数形结合”思想在小学数学教学中的渗透与应用
数学思想有许多，数形结合思想就是其中一种重要的思想。

“数”和“形”是紧密联系的。

我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。

新课标的修订，从原来的“双基”拓展到“四基”，即增加了基本思想、基本活动经验。

知识和技能是数学的“双基”，而数学思想方法则是数学的灵魂。

以数与形相结合的原则进行教学，这就要求我们切实掌握数形结合的思想方法，以数形相结合的观点钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数形结合思想方法渗透的各种因素,都要考虑如何结合具体内容进行数形结合思想方法渗透。

小学数学中虽然不像初中数学那样,将数形结合的思想系统化, 但作为学习数学的启蒙和基础阶段，数形结合的思想已经渐渐渗透其中，为更好的学习数与代数、空间与图形两方面的知识做铺垫，同时也在培养抽象思维，解决实际问
题方面起了较大的作用。

一、运用图形，建立表象，理解本质
在低年级教学中学生都是从直观、形象的图形开始入门学习数学。

从人类发展史来看，具体的事物是出现在抽象的文字、符号之前的，人类一开始用小石子、贝壳、木棍、骨头记事，慢慢的发展成为用形象的符号记事，最后才有了数字。

这个过程和小学生学习数学的阶段和过程有着很大的相似之处。

一年级的小学生学习数学，也是从具体的物体开始认数，很多知识都是从具体形象逐步向抽象逻辑思维过渡，但这时的逻辑思维是初步的，且在很大程度上仍具有具体形象性。

如小学应用题中常常涉及到“求一个数的几倍是多少”，学生最难理解的是“倍”的概念，如何把“倍”的数学概念深入浅出地教授给学生，使他们能对“倍”有自己的理解，并内化称自己的东西？我认为用图形演示的方法是最简单又最有效的方法。

就利用书上的主题图。

在第一行排出3根一组的红色小棒，再在第二行排出3根一组的绿色的小棒，第二行一共排4组绿色小棒。

结合演示，让学生观察比较第一行和第二行小棒的数量特征，通过教师启发，学生小组合作讨论和交流，使学生清晰地认识到：绿色小棒与红色小木棒比较，红色小棒是1个3根，绿色小棒是4个3根；把一个3根当作一份，则红色小棒是1份，而绿色小棒就有4份。

用数学语言：绿色小棒与红色小棒比，把红色小棒当作1倍，绿色小棒的根数就是红色小棒的4倍。

这样，从演示图形中让学生看到从“个数”到“份数”，再引出倍数，很快就触及了概念的本质。

这方面的例子很多，如低年级开始学习认数、学习加减法、乘除法，到中年级的分数的初步认识、高年级的认识负数等都是以具体的事物或图形为依据，学生根据已有的生活经验，在具体的表象中抽象出数，算理等等。

在小学中高年级的教学中，我们要注重运用直观图形，巧妙地把数和形结合起来，把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念。

例如：如，教学“体积”概念。

教师可以借助形象物体设问，引导学生分析比较。

首先观察物体，初步感知。

让学生观察一块橡皮和
铅笔盒，提问：哪个大，哪个小？又出示一个魔方和一个骰子，提问：那个大，那个小？通过观察物体，让学生对物体的大小有个感性认识。

接着在一个盛有半杯水的玻璃杯里慢慢加入一块石头，学生可以观察到，随着石头的投入，杯中的水位不断上升。

问：玻璃杯里的水位为什么会上升？学生从这一具体事例中获得了物体占有空间的表象。

在教师的引导下，对“为什么玻璃杯里的水位会随着石头放入而升高”这一问题进行深入讨论，通过讨论交流学生能够很自然地领悟“物体所占空间的大小叫体积”
这一概念。

为了进一步使概念在应用中得到巩固，继续在盛满水的玻璃杯里放石子，学生观察到水溢了出来，教师启发学生：从观察到的现象中你们发现了什么问题？学生思考后提出：杯里溢出的水的多少与放进去的石子有什么关系？经过讨论得出：从杯里溢出水的体积等于石子的体积。

至此，学生不仅认识了概念，而且能够应用概念。

在利用实物创设问题情境时，教师要特别注意数与形的有机结合，以问题引导学生观察，不仅要用诱导性问题，更要用一些启发性问题，激疑性问题，让学生在观察中发现问题，自己提出问题和解决问题。

教师除了提供充分的形象感性材料让学生形成鲜明的表象外，还必须在此基础上，引导学生分析和比较，及时抽象出概念的本质属性，使学生在主动参与中完成概念的建构。

二、画出图形，表达数量，揭示本质小学生由于生活经历少，常常不能借生活经验把实际问题转化为数学问题，从而来理解数学概念。

因此教师要根据教学内容的实际情况，引导学生利用直尺、三角板和圆规等作图工具画出已学过的图形，通过动手作图，帮助学生建立表象，从画图体验中领悟概念。

通过作图观察、比较分析，可以发展学生的空间观念，培养学生分析、综合、抽象、概括的能力。

例如，在教学“学校六月份用水210吨，比五月份节约了。

五月份用水多少吨？”这一例题时，笔者没有急着和学生一起画线段图，而是让学生在认真读题和初步思考后汇报算式并说明列式的理由。

这样做的目的有：一，注重学生的直觉思维，学生的直觉思维是学生真实水平的体现，根据学生的回答教师可以随时调整教学方案；二，在没有教师的
任何提示下，学生的汇报与交流是学生逻辑思维水平发展的重要手段；三，当学生交流出现矛盾时，迫使学生产生验证的需要。

当学生有需要时，教师就要及时引导学生画线，当线段图完成的时候，学生的争论也就戛然而止了。

因为有了线段图的合理支撑，学生对210÷ 这一算式已坚信不疑了。

可见，通过画线段图即数形结合的方法能有效将题目中抽象的数量关系直观形象地表示出来，从而降低解题难度。

而根据学生的实际情况适当采取先数后形的策略，可以使学生的学习主动性大大增强，同时使学生的逻辑思维能力不断得到锻炼。

三、数形结合，为建立函数思想打好基础。

在实际教学中，数和形往往是紧密结合在一起，相互并存的。

因此，在实际教学中教师要把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，使数与形相得益彰。

用形的直观来分析数据中的关系,体现了数形结合思想方法的优点,在数学整个发展过程中,人们也总是利用数形结合或数形的转化来研究数学问题，可见数形结合思想的重要性。

小学数学中虽然没有学习函数，但还是慢慢的开始渗透函数的思想。

总之，在小学数学教学中，数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生顺利地、高效率地学好数学知识，更用于学生学习兴趣的培养、智力的开发、能力的增强，为学生今后的数学学习打下坚实的基础。

参考文献：
第三篇：数形结合在中学数学教学中的应用
安阳师范学院
数形结合在中学数学教学中的应用
甘世军
(安阳师范学院数学与统计学院河南安阳 455002)
摘要：数形结合是数学教学中的一种非常重要的思想方法，“数”与“形”按照一定条件相互转化.本文通过图形对于解决函数的最值、
不等式、轨迹等问题来掌握数形结合方法,有助于增强学生的数学素养,提高学生分析问题解决问题的能力,对于培养学生的创新意识具有促进作用.关键词：数形结合;方法;数学教学;应用
引言：数与形是现实世界中客观事物的抽象和反映,是数学的基石.在数学教学过程中,处处渗透着数形结合的思想．从数和形两个侧面对问题进行分析,以培养学生思维的深刻性与批判性，构成了数学教学的主要任务.以数助形、以形助数、数形互助，构成了数形结合的基本途径． 1 与函数有关的问题
函数的图像及性质常常是解决问题的突破口,函数的图象是函数解析式的“形”的表象,它以图形的方式来刻划函数中变量之间的变化关系.通过函数的图象研究函数的性质,是中学阶段学习函数理论的重要方法，既有助于理解和记忆函数的性质,也有助于应用函数的性质分析问题和解决问题.例1 实系数方程x2+ax+2b=0的一根在(0,1)之间,另一根在(1,2)之间,求范围.分析若直接利用求根公式或根与系数的关系,则步履维艰;若把数的关系转化为图
⎧f(0)>0,⎧b>0,⎪⎪像,则条件便转化到图像上.令f(x)= x2+ax+2b,可得⎨f(1)<0, 即⎨1+a+2b<0，⎪2+a+b>0.⎪f(2)>0,⎩⎩b-2a-1的第1页安阳师范学院
图1 图2 它是(a,b)所要满足的条件,用图像表示点(a,b)的区域为△ABC的内部,可理解的几何意义为过点(a,b)与(1,2)的直线的斜率,显然有
14b-2a-1=kAD<
b-2a-1
x1A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解若直观通过解方程来求其实根的个数,则比较麻烦．可在同一直角坐标系中画出
第2页
安阳师范学院
函数y=以方程1x1x和y= x2-2x+1的图像,通过观察可知,这两个函数的图像有且只有一个交点,所=x2-2x+1只有一个实根,应选A.2 与
不等式有关的问题
不等式所涉及到的复杂变换技巧和过于形式化的知识特点,使不等式的学习便得抽象和难于理解．如果方程或不等式两边的表达式有明显的几何意义,或通过某种方式可以与图形建立联系,可将方程或不等式所表达的抽象数量关系转化为图形的位置或度量关系加以解决，使得原问题直观且易于理解，从而所讨论问题得到解决．
设f1(x)和f2(x)是[a,b]上的连续函数,以曲线y= f2(x)为下界,以曲线y= f2(x)为上界,以平行于y轴的直线x=a为左界,以平行于y轴的直线x=b为右界所围成的图形是一个点的集合.如果图形不包括界线在内,那么这个点集可以用下列不等式描述：a
安阳师范学院
图5
我们把形如a0.解点（x,y）满足不等式的充分必要条件是y-x+1和2x-y-3有同符号的值.因此设y-x+1>0的区域为M, y-x+1<0的区域为M';2x-y-3>0的区域为N, 2x-y-3<0的区域为N'．
则（y-x+1）(2x-y-3)>0⇔(x,y)∈(M I N)Y(M'I N'),从原不等式的区域(下图)可Y知,所求解为: E=
{(x,y)|-
∞
1}
{(x,y)|2
图6
第4页
安阳师范学院
例 5 已知正数a、b、c、x、y、z,且满足条件a+x=b+y=c+z=k>0 求证：ay+bz+cx
如图,作边长为k的正三角形ABC,在其三边上分别取P、Q、R,使AP=a,CR=b,BQ=c．则BP=x,AR=y,CQ=z,S∆APR=S∆ABC=1212aysin60︒，S∆PBQ= 12cxsin60︒，S∆CRQ=
12bzsin60︒，k2sin60︒．显然有：S∆APR+ S∆PBQ +S∆CRQ
x2-103x+80+x2+103x+80=20.分析要解这个方程,按一般解法,就是先化简,经过两次平方后脱去根号,再求解.但过程非常繁冗,容易出错,因此不是个好解法.观察一下这个方程的形式,就会联想到椭圆第一定义的数学表达式,配方后再令(x-53)+y225=y
2,即可得+(x+53)+y22=20,且20>10 3.由椭圆第一定义可知,点(x,y)的轨迹为一个以(-53,0)、(53,0)为焦点、长轴为20的椭圆.这样的话,解原方程就等价于已知椭圆上点的纵坐标去求它的横坐标，因此问题得以简洁明快地解决.第5页
安阳师范学院
解原方程⇔(x-53)+y222+2(x+53)+y22=20 22⎧⎪(x-53)+y+⇔⎨2⎪⎩y=5(x+53)+y =20
2⎧x2y22+=1yx⎪⇔⎨100⇔+=1.2510025⎪y2=5⎩故原方程的解为x=±45.3 与抛物线有关的问题
抛物线是平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹.这一定点叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线.利用图像常能找到解决与抛物线有关问题便捷的解题途径.在数学课堂教学中,掌握圆锥曲线的图像是很重要的内容,它直观反映了曲线的特点灵活应用图像解题是一种很重要的方法,它不但可以使问题得到简化,还能提高学习效率．
例7 已知抛物线C:y2=2x-1即定点A(2,0),试问:是否存在过A点的直线L,使得能在抛物线上找到不同的两点关于直线L对称?若存在,请求出直线L的斜率的范围；不存在,请说明理由.解设直线L的方程为y=k(x-2).当k=0时,显然成立.当k≠0时,设抛物线上关于直线L对称的两点为:P(x1,y2)、Q(x1,y2),PQ的中点为R(x0,y0).由y12=2x1-1,y2=2x2-1,两式相减,得y0=-k.又因直线L过点R,所以y0=k(x0-2),得x0=1.2如图,过R作x轴的平行线交抛物线于N,则yN=-k,得xN=k2k2+12,结合图像易知xN< x0,即+12<1,得-1
安阳师范学院
图8 4 与轨迹有关的问题。