产销不平衡的运输问题

解: 本题产量为25，销量为29，是销大于产问题
虚设一个产地 A3，由于并没有生产，所以
运价为零，得运输模型.
如果各销地不满足时，单位缺货费为 4，3，7，
则运输模型为
Bj Ai
B1
B2
B3
ai
A1
10
425
A2
15
638
bj
8 7 14
Bj Ai
B1
B2
B3
ai
A1
10
425
A2
15
638
A3 04 03 07
运输问题
这里，松弛变量 x m+1,j 可以视 为从产地 A m+1 运往销地 B j 的运
输量，由于实际并不运送，它们的 运费为
c m+1,j = 0 j = 1,2,…,n。于是，
这个运输问题就转化成了一个产销 平衡的问题。
运输问题
例:某公司从两个产地A1、A2将物品 运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产
B1
B2 Bn
B 产量 n1
A x x c11
c12
1 11 12
x x a c1n
0
1n 1n1 1
A x x c21
c22
2 21 22
x x a c2n
0
2n 2n1 2
A x x cm1
cm 2
m m1 m2
b b 销量
1
2
x x a cmn
0
mn mn1 m
bn bn1
运输问题
例:某公司从两个产地A1、A2将物品 运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产
4、当所有产地产量和销地销量均为整数值，运输问题的最优解也为整数值。 5、如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别加上一个常数k，
最优调运方案将不会发生变化。 6、如果…...分别乘上一个常k,…...不会发生变化。
运输问题
感谢下 载
ci n+1=0 i= 1,2,…,m。
于是，这个运输问题就转化成了一个 产销平衡的问题。
运输问题
原产大于销平衡问题的数学模型
mn
min z
cij xij
i 1 j 1
n
xij ai , i 1,2,, m
j 1
m
xij
b j , j 1,2,, n
i1 xij
0, i 1,2,, m j 1,2,n
量、各销地的销量和各产地运往各销地 每件物品的运费如下表所示，问：应如 何调运可使总运输费用最小？
运输问题
解：增加一个虚设的产地运输费用为0
运输问题
举例
产销不平衡运输问题举例
设有A、B、C三个化肥厂供应1、2、3、4四个地 区的农用化肥。假设效果相同，有关数据如下表
1
2
3
4 产量
A
16
13
22
17
M
0
M
0
50
30
20
70
30 10 50
210
210
运输问题
➢ 最低要求必须满足，因此把相应的虚设产地运费取M ，而最高要求与最低要 求的差允许按需要安排，因此把相应的虚设产地运费取为 0 。对应 4”的 销量50 是考虑问题本身适当取的数据，根据产销平衡要求确定 D的产量为 50。
运输问题
Ex. 2 已知运输问题由表给出，试建立运输模型 .
产大于销
销大于产
运输问题
一、产销不平衡的运输问题
（Ⅰ）若总产量大于总销量，即
m
n
ai b j
i 1
j 1
令假象销地的销量为：
m
n
bn1
ai
bj
i 1
j 1
运输问题
这里，松弛变量 xi n+1 可以视为 从产地 A i 运往销地 Bn+1 的运输量，
由于实际并不运送，它们的运费为
运输问题
几点说明：
当检验数为的负的变量超过两个，选择最小者对应的变量换入； 在最优解的表中，若有检验数=0，则该运输问题有无穷多最优解； 迭代过程中，若某一格填数时需同时划去一行和一列，此时出现退化。
为保证m+n-1个非空格，需在上述的行或列中填入数字0。
运输问题
产销不平衡的运输问题
实际问题中产销往往是不平衡的， 就需要把产销不平衡的问题转化成 产销平衡问题。
4
bj
8 7 14
运输问题
运输问题 讨论
一、概念题（判断）
1、运输问题是一种LP问题，其求解结果有四种情况。 2、在运输问题中，只要给出一组含（m+n-1）个非零的
，且满足
就可以作为一个初始基可行解。
xij
n
m
xij ai , xij bj
j 1
i 1
运输问题
3、按最小元素法（或伏格尔法）给出的初始基可行解，从每一空格出发可 以找出而且仅能找出唯一的闭回路。
运输问题
第三步：解的调整
调整位置（2，4）非空，回路角上的格至少为空，且保证数字 的非负性。
A1
B1
4
B2（12+2）B103 4
B（4-2）产量 6 11 16
A2 8 2 10 2 3 -1 9 10
A3
8 1（4-25） 11 8（+62）22
销量 8 14 12 14 48
运输问题
调整后的解为：
有无穷多
B1 最B 优解2 B3 B4 产量 A1 0 4 2 12 12 4 4 11 16 A2 8 2 2 10 1 3 2 9 10 A3 9 8 14 5 12 11 8 6 22 销量 8 14 12 14 48
ij 0, 此时的解为最优解。
z 8 2 145 12 4 411 29 8 6 244 246 2
销量
80
140
1210
0
1460
48
运输问题
例1用伏格尔法得到的初始基可行解
B1 B2 B3 B4 产量
A1
4 12 12 4 4 11 16
A2 A3
销量
82
10
3 2 9 10
8 14 5 11用最8 小6元素22法
求出的目标函
8 14 12 数z1=4246 48
目标函数一值般说z 来1，2 伏4 格 4尔法11得 8出 2 的初始解2的 9质量14最 5好，8 常6用 来244 作为运输问题最优解的近似解。
表上调整（闭回路调整）
（5）重复（2）、（3）直至求出最优
解。
（运输问题必有最优解）
运输问题
举例说明表上作业法
例1、某部门三个工厂生产同一产品的产量、
四个销售点的销量及单位运价如下 表：
B1 B2 B3 B4 产量
A1
4 12
4 11 16
A2
2 10
3 9 10
A3
8
5 11 6 22
销量 8 14 12 14 48
运输问题
修改后产大于销平衡问题的数学模型
m n1
min z
cij xij
i 1 j 1
n 1
xij ai , i 1,2,, m
j 1
m
xij
b j , j 1,2,, n, n 1
i 1
xij
0, i 1,2,, m j 1,2,n, n 1
运输问题
注决最策意变后：量 一用列最表x示的小由ij 零元运素到 价法最求A的后i物初品考始数B量虑调。i 。运方案时，
运输问题
表上作业法是单纯形法在求解运输问题的一种简便方法。 单纯形法与表上作业法的关系：
（1）找出初始基可行解
（2）求各非基变量的检验数 表上给出m+n-1个数字格
（3）判断是否最优解 计算表中空格检验数
检验是否所有检验数非负
运输问题
是
？ 最优解
停止
否
换基：
（4）确定换入变量和换出变量找出新 的基可行解。
运输问题
第一步：确定初始基可行解 ——最小元素法、
伏格尔法
最小元素法思路：
从单价中最小运价确定供 应量，逐步次小，直至得到m+n-1个数 字格。
运输问题
最小元素法举例
B1 B2 B3 B4 产量
A1
4 12 10 4 6 11 166 0
A2 8 2 10 2 3 9 102 0
A3
8 14 5 11 8 6 228 0
50
B
14 13 19 15 60
C
19 20 23
50
最低需要 量
30
70
0
10
最高需要 量50来自7030 不限
运输问题
根据题意，作出产销平衡运价表：
A B C D 销量
1’ 1”
2
3 4’ 4”
产量
16
16
13 22 17 17
50
14
14
13 19 15 15
60
19
19
20
23 M
M
50
M
0
量、各销地的销量和各产地运往各销地 每件物品的运费如下表所示，问：应如 何调运可使总运输费用最小？
运输问题
解：增加一个虚设的销地运输费用为0
运输问题
一、产销不平衡的运输问题
（Ⅱ）若总产量小于总销量，即
m
n
ai b j
i 1
j 1
令假象产地的销量为：
n
m
am1
bj
ai
j 1
i 1
仿照上述类似处理。
第四章 运输问题
4.1 运输问题 4.2 运输问题的表上作业法 4.3 运输问题的进一步讨论
产销平衡问题的数学模型
mn
min z
cij xij
i 1 j 1
n
xij ai , i 1,2,, m
j 1
m
xij
b j , j 1,2,, n
i1 xij
0, i 1,2,, m j 1,2,n