2023中考数学复习：几何最值问题

证明:如图2,在ON上任意取一点T,在OM上任意取一点R,连
接FR,BR,RT,ET,AT,
∵A,E关于ON对称,∴AC=EC,同理BD=FD,FR=BR,AT=ET,
∴AC+CD+DB=EC+CD+FD=EF,AT+TR+BR=ET+TR+FR.
∵ET+TR+FR>EF,
∴AC+CD+DB<AT+TR+BR,
的压轴题,发展了学生的几何直观和推理能力的核心素养.
专题四 几何最值问题
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方法点拨
此类问题的解答,关键是要掌握每种模型的特征、辅助线的作法及解
题原理,能在实际问题中发现模型、建构模型,并依据模型解答问题,解
决实际问题.
专题四 几何最值问题
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解题技巧
主要是利用重要的基本事实或者定理,如两点之间线段最短、三角形
动点,设AP=x,PB+PE=y,当点P从A向点C运动时,y与x的函数关系如图
②所示,其中点M是函数图象的最低点,则点M的坐标是( )
A.(4 2,3 5)
B.(2 2,3 5)
C.(3 5,2 2)
D.(3 5,4 2)
例题 4
4
5
6
专题四 几何最值问题— 两点之间线段最短问题
模型二
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两定一动（“胡不归”问题）
模 型 解 读
“胡不归”问题即点P在直线BM上运动的“PA+k•PB(0<k<1)”型
最值问题.如图①,已知sin∠MBN=k,点P为∠MBN其中一边BM上
的一个动点,点A在射线BM,BN的同侧,连接AP,则当“PA+k•PB”的
值最小时,P点的位置如何确定?
例题 3
3
返回类型清单
返回类型清单
模 型 解 读
(1)作点A关于直线的对称点A',连接PA',则PA'=PA,所以PA+PB=
PA'+PB.
(2)当A',P,B三点共线的时候,PA'+PB=A'B,此时为最小值(两点之间
线段最短).
例题 4
4
5
6
专题四 几何最值问题— 两点之间线段最短问题
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例题4
(教材改编题)如图,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的
D.2.4≤x≤5
思路指导
利用垂线段最短,确定点C到AB的最短距离为2.4,最长为AC长度4,所
以选C.
例题 1
1
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当堂检测
1.如图,AD是△ABC的高,BD=3,AD=DC=4,点P是边AB上一动点,点P
从点B出发,沿BA匀速运动,点P运动到点A时,停止运动.求运动过程
中,点P与点C之间的最短距离.
返回类型清单
当堂检测
4.(2022•贵州遵义)在等边三角形ABC中,AD是BC边上的高,E为AC
的中点,P为AD上一动点,若AD=12,则PC+PE的最小值为( )
A.12
B.10
C.8
D.6
例题 4
4
5
6
返回类型清单
专题四 几何最值问题— 两点之间线段最短问题
当堂检测
5.如图,在△ABC中,AB=AC,分别以点A,B为圆心,以适当的长为半径作
M,N,P″共线时,△PMN周长最小.
例题 5
7
8
9
专题四 几何最值问题— 两点之间线段最短问题
返回类型清单
例题5
(教材改编题)如图,点P是∠AOB内任意一点,∠AOB=30°,OP=8,
点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,则△PMN周长的最小
值为

.
思路指导
设点P关于OA的对称点为C,关于OB的对称点为D,当点M,N在CD上
当P',M,N,Q'共线时,四边形PMNQ的周长最小.
例题 6
10
专题四 几何最值问题— 两点之间线段最短问题
返回类型清单
例题6
在某一地方,有条小河和草地,一天某牧民的计划是从A处的牧
场牵着一只马到草地牧马,再到小河饮马,你能为他设计一条最
短的路线吗?(在N上任意一点即可牧马,M上任意一点即可饮马)
例题 1
1
返回类型清单
解：如图,作CH⊥AB于H,
∵AD⊥CB,AD=CD=4,BD=3,
∴AB= (BD2 +AD2 )= 3 2 +4 2 =5.
1
1
∵S△ABC=2·BC·AD=2·AB·CH,
4×7 28
∴CH= 5 = 5 .
28
根据垂线段最短可知,当点P与H重合时,CP的值最小,最小值为 .
即可.
例题 3
3
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模 型 解 读
1
特殊情况:当求PA+ PB的最小值时,题干中∠MBN的度数一般为
2
2
30°;当求PA+ PB的最小值时,题干中∠MBN的度数一般为45°;
2
3
当求PA+ PB的最小值时,题干中∠MBN的度数一般为60°.
2
例题 3
3
返回类型清单
例题3
(教材改编题)如图,菱形ABCD的边长为3,∠ABC=60°,P是对角线
一定两动，点到点最值问题
模 型 解 读
一定点两动点,转化成点与点距离最值问题
在OA,OB上分别取点M,N,使得△PMN周长最小.
例题 5
7
8
9
专题四 几何最值问题— 两点之间线段最短问题
返回类型清单
模 型 解 读
此处M,N均为折点,分别作点P关于OA(折点M所在直线),OB(折点N
所在直线)的对称点,化折线段PM+MN+NP为P'M+MN+P″N,当P',
几何最值问题
类型清单
类型一
垂线段最短问题
类型二
两点之间线段最短问题
类型三
点圆求最值问题
类型四
线圆求最值问题
专题四 几何最值问题
返回类型清单
题型讲解
几何最值问题是中考的热点问题（每年必考）,题型丰富,变化灵活,综
合性强,考查的知识点众多,涉及数形结合、转化等多种数学思想,考查
了学生的添加辅助线,依题画图,建构知识体系等能力,一般都是各题型
三边、两边之差小于第三边、点到直线之间垂线段最短,解决此类最值
问题.
专题四 几何最值问题— 两点之间线段最短问题
模型一
返回类型清单
两定一动，点到点最值问题
模 型 解 读
两定点一动点,转化成点与点距离最值问题
如图,在直线上找一点P使得PA+PB最小.
例题 4
4
5
6
专题四 几何最值问题— 两点之间线段最短问题
模型三 两定两动，点到点最值问题
模 型 解 读
两定点两动点,转化成点与点距离最值问题
在OA,OB上分别取点M,N使得四边形PMNQ的周长最小.
例题 6
10
专题四 几何最值问题— 两点之间线段最短问题
返回类型清单
模 型 解 读
考虑PQ是条定线段,故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可,类似地,分
别作点P,Q关于OA,OB对称,化折线段PM+MN+NQ为P'M+MN+NQ',
两条中线,P是AD上一个动点,则下列线段的长度等于PB+
PE最小值的是( )
A.BD
B.CE
C.BC
D.AD
思路指导
连接PC,只要证明PB=PC,即可推出PB+PE=PC+PE,由PE+PC≥CE,推出
P,C,E共线时,PB+PE的值最小,最小值为CE的长度.
例题 4
4
5
6
专题四 几何最值问题— 两点之间线段最短问题
两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等,以及可
以转化为一次函数和二次函数利用其性质来求最值.
专题四 几何最值问题— 垂线段最短问题
类型一
模型一
返回类型清单
垂线段最短问题
一动一定
模 型 解 读
如图,已知直线l外一定点A和直线l上一动点B,
求A,B之间距离的最小值,通常过点A作直线l的
垂线AB,利用垂线段最短解决问题,即连接直线
外一点和直线上各点的所有线段中,垂线段最短.
例题 1
1
返回类型清单
例题1
核心素养·模型观念 （教材改编题）如图,在Rt△ABC
中,∠ACB=90°,BC=3,AB=5,点D是AB上的动点（点D可与点A,B
重合）,若CD=x,则x的取值范围是（ C ）
A.2.4≤x≤3
B.2.4≤x<4
C.2.4≤x≤4
例题 6
10
专题四 几何最值问题— 两点之间线段最短问题
返回类型清单
例题5
思路指导
A,B是两个定点,把点A关于ON对称得到对称点E,点B关于OM对称
得到对称点F,连接EF交ON于C,交OM于点D,则AC-CD-DB即为最
短路线.
例题 6
10
专题四 几何最值问题— 点圆求最值问题
返回类型清单
解：沿AC-CD-DB路线走是最短的路线,如图1:
知△BCE是等腰直角三角形,进而可求出CE的长.
例题 2
2
返回类型清单
当堂检测
2.如图,菱形ABCD的边长为3,∠ABC=60°,I是DA的三等分点,点
E,F分别是AB,BD上的动点.在求EF+FI的最小值时,小明作辅助线
的方法是:过点I作BC的垂线.
例题 2
2
返回类型清单
(1)他这样做的依据是 直线外一点与直线上各点的连线中,垂线段最短 .
即沿AC-CD-DB路线走是最短的路线
例题 6
10
专题四 几何最值问题— 两点之间线段最短问题
返回类型清单
当堂检测
10.如图所示,抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0),点C(0,3),且OB=OC.
2
返回类型清单
例题2
（教材改编题）如图,在锐角△ABC中,BC=4 2,
∠ABC=45°,BD平分∠ABC,M,N分别是BD,BC上
的动点,则CM+MN的最小值是
4
.
思路指导
作点C关于BD的对称点E,即过点C作CE⊥AB于点E,交BD于点M',过点M'
作M'N'⊥BC,则CE即为CM+MN的最小值,再根据BC=4 2,∠ABC=45°,可
3

3
BD上的一个动点,则 BP+PC的最小值是 2
.

思路指导
1
过点P作PE⊥AB,则PE= BP,把求两条线段之和的最小值问题,转化
2
为E,C两点之间的距离,根据垂线段最短即可求解.
例题 3
3
返回类型清单
当堂检测
3.(2022•河北模拟节选)在等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D,AB=2.
(1)如图①,E为AD的中点,则点E到AB的距离为
模 型 解 读
分析:本模型的关键在于如何确定“k•PB”的大小,如图②,过点P作
PQ⊥BN于点Q,则k•PB=PB•sin∠MBN=PQ,∴求“PA+k•PB”的最
小值转化为求“PA+PQ”的最小值问题,即当A,P,Q三点共线时
“PA+k•PB”的值最小(如图③),此时AQ⊥BN,利用垂线段最短求解
返回类型清单
当堂检测
9.如图,OB是一条河流,OC是一片菜田,张大伯每天从家(A点处)去河
处流边挑水,然后把水挑到菜田处,最后回到家中.请你帮他设计一条
路线,使张大伯每天行走的路线最短.下列四个方案中你认为符合要
求的是( )
例题 5
7
8
9
专题四 几何最值问题— 两点之间线段最短问题
返回类型清单
5
例题 1
1
返回类型清单
模型二 两动一定
模 型 解 读
点P是∠AOB的内部一定点,在OA上找一点M,在OB上找一点N,使
得PN+MN最小.要PN+MN最小,设法将PN,MN转化在同一条直线
上,想到作点P关于OB的对称点P',即求P'N+MN的最小值,因此只要
P'M⊥OA,利用垂线段最短即可求解.
例题 2
3
4
1
(2)如图②,M为AD上一动点,则 AM+MC的最小值为
2
;
3
.
例题 3
3
专题四 几何最值问题— 两点之间线段最短问题
类型二
返回类型清单
两点之间线段最短问题
题型讲解
利用两点之间线段最短求最值问题的解法主要是通过轴对称,将与定点
相关的线段进行变化,将问题转化为定点到定点的距离问题或定点到定
直线的距离问题,然后通过两点之间线段最短、三角形两边之和大于第
例题 5
7
8
9
专题四 几何最值问题— 两点之间线段最短问题
返回类型清单
当堂检测
8.如图,点P是∠AOB内任意一点,且∠AOB=35°,点M和点N分别是射
线OA和射线OB上的动点,当△PMN周长取最小值时,则∠MPN的度数
为( )
A.145°
B.110°
C.100°
D.70°
例题 5
7
8
9
专题四 几何最值问题— 两点之间线段最短问题
(2)求EF+FI的最小值.
解： 如图,过点I作BC的垂线,垂足为G.
∵四边形ABCD为菱形,
∴AB与CB关于线段BD对称,EF+FI的最小值为
IG的长.
∵菱形ABCD的边长为3,∠ABC=60°,AD∥BC,
3 3
∴IG=AB·sin∠ABC=3·sin 60°=
.
2
例题 2
2
返回类型清单
模型三
时,△PMN的周长最小,据此求解即可.
例题 5
7
8
9
返回类型清单
专题四 几何最值问题— 两点之间线段最短问题
当堂检测
7.如图,在锐角三角形ABC中,BC=4,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,交AC于
点D,M,N分别是BD,BC上的动点,则CM+MN的最小值是( )D.4
弧,两弧分别交于E,F,作直线EF,D为BC的中点,M为直线EF上任意一
点.若BC=4,△ABC面积为10,则BM+MD长度的最小值为( )
5
A.
2
B.3
C.4
D.5
例题 4
4
5
6
返回类型清单
专题四 几何最值问题— 两点之间线段最短问题
当堂检测
6.如图①,正方形ABCD中,点E是BC的中点,点P是对角线AC上的一个