6.4.2 探索三角形相似的条件(二)(课件)九年级数学下册(苏科版)

在△ADE和△A’B’C’中，
A
= ’’
= ’’ ，
= ’’
∴△ADE∽△A’B’C’（SSS），
又∵△ABC∽△ADE，
∴△ABC∽△A’B’C’。
D
B
A’
E
C B’
C’
02
判定定理（三）
判定定理（二）
知识精讲
由此，我们得到利用三边判定两个三角形相似的方法~
定义法
证明相似的方法
证明全等的方法
1、相似定义
1、全等定义
2、“两角”定理
判定定理法 3、“两边一夹角”定理
4、“三边”定理
2、AAS
3、ASA
4、SAS
5、SSS
6、HL
判定定理
使用条件
“两角”定理
题目中只有角相等的条件，或此类条件较多时
“两边一夹角”定理
题目条件既涉及线段长度（或线段比例），又涉及角相等（注
∴ = = ，

∴△ABC～△DEF。
03
【方法总结】
典例精析
判定定理
使用条件
“两角”定理
题目中只有角相等的条件，或此类条件较多时
“两边一夹角”定理
“三边”定理
题目条件既涉及线段长度（或线段比例），又涉
及角相等（注意：公共角、对顶角）
题目中只有线段长度（或线段比例）条件，或此
类条件较多时
教学目标
01
掌握相似三角形的判定定理（二），能运用此定理证明两个
三角形相似
02
掌握相似三角形的判定定理（三），能运用此定理证明两个
三角形相似，同时注意区分三种判定定理使用的条件
相似三角形的判定
定理（二）
01
情境引入
【思考】类比判定三角形全等的方法“SAS”，我们能不能通过两
边和夹角来判断两个三角形相似呢?
相交于一点。你能运用相似形的有关知识证实这个结论吗?
【分析】如图，△ABC的两条中线，BE、CF交于
点G，只要再证明点G在另一条中线上，即可说明
三角形的三条中线相交于一点。
03
知识精讲
典例精析
解：如图，△ABC的两条中线，BE、CF交于点G，
由例3、(1)可得：△BCG∽△EFG，
∴GB:GE=BC:EF=2:1；
意：公共角、对顶角）
“三边”定理
题目中只有线段长度（或线段比例）条件，或此类条件较多时
课后总结
三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心。


三角形的重心与一边中点的连线的长度是对应中线的长度的 。

符号语言：如图，∵点G是△ABC的重心，
∴GA:GD=GB:GE=GC:GF=2:1，



GD= AD，GE= BD，GF= CF，






AG= AD，BG= BD，CG= CF。



判定定理（二）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
课后总结
判定定理（三）：三边成比例的两个三角形相似。

在△ADE和△A’B’C’中，
A
= ’’
∠ = ∠’ ，
= ’’
∴△ADE∽△A’B’C’（SAS），
又∵△ABC∽△ADE，
∴△ABC∽△A’B’C’。
D
B
A’
E
C B’
C’
02
判定定理（二）
知识精讲
由此，我们得到利用两边一夹角判定两个三角形相似的方法~
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
如图，AD是△ABC的另一条中线，设AD、BE交于
点G’，连接DE，
同理可得：△ABG’∽△DEG’，
∴G’B:G’E=AB:DE=2:1，
∴点G’与点G重合，
∴三角形的三条中线相交于一点。
03
知识精讲
典例精析
三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心。

三角形的重心与一边中点的连线的长度是对应中线的长度的 。
如图，已知： ’ ’ = ’ ’ = ’ ’ ，求证：△ABC∽△A’B’C’。

A
A’
B
C B’
C’
01
情境引入

如图，已知： ’ ’ = ’ ’ = ’ ’ ，求证：△ABC∽△A’B’C’。

【证明】如图，在△ABC的边AB上截取AD=A’B’，作DE∥BC交
注意：
符号语言：
相等的角必须是对
应两边的夹角
A

如图，∵ ’ ’ = ’ ’ ，∠A=∠A’，

∴△ABC∽△A’B’C’。
A’
B
C B’
C’
知识精讲
02

：对于△ABC和△A’B’C’， ’ ’ = ’ ’ ，∠B=∠B’，这两个三角

形一定相似吗？试着画画看。
A
∴△CBD∽△CAB，


∴ = ，即 = ，


∴CD=1，
∴BD= + = ；
03
知识精讲
典例精析
例2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AC上，
(1)已知：AC=4，BC=2，∠CBD=∠A，求BD的长；
(2)取AB，BD的中点E，F，连接CE，EF，FC，求证：
求证：GB:GE=2:1。
(1)证明：如图，连接EF，
∵△ABC的两条中线，BE、CF交于点G，

∴EF= BC，EF∥BC，

∴∠BCG=∠EFG，
∵∠BGC=∠EGF，
∴△BCG∽△EFG，
∴GB:GE=BC:EF=2:1。
03
知识精讲
典例精析
例3、(2)在七年级，我们通过观察、操作，发现三角形的三条中线
A
AC于E，连接DE，
∵DE∥Байду номын сангаасC，
∴△ABC∽△ADE（预备定理），

∴ = ，


∵ ’ ’ = ’ ’ ，且AD=A’B’，

∴AE=A’C’，
D
B
A’
E
C B’
C’
01
情境引入


如图，已知： ’ ’ = ’ ’ ，∠A=∠A’，求证：△ABC∽△A’B’C’。
∵∠AEF=∠CEA，
∴△AEF∽△CEA。
03
知识精讲
典例精析
例3、如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，
连接EF、ED、DF，DE交AF于点G，且AE2=EG·ED，求证：
DE⊥EF。
证明：∵AE2=EG·ED，
∵AF⊥BC，

∴ = ，

∴∠AFB=90°，
DE⊥EF。
∵∠AGD=∠EGF，
∴∠DAG=∠FEG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∴∠DAG=∠AFB=90°，
∴∠FEG=90°，即DE⊥EF。
相似三角形的判定
定理（三）
01
情境引入
【思考】类比判定三角形全等的方法“SSS”，我们能不能通过三边
来判断两个三角形相似呢?
【问题建模】

比例式，故此处应用“两角”定理证相似，
再借助相似求线段长。
03
知识精讲
典例精析
例2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AC上，
(1)已知：AC=4，BC=2，∠CBD=∠A，求BD的长；
(2)取AB，BD的中点E，F，连接CE，EF，FC，求证：
△CEF∽△BAD。
(1)解：∵∠CBD=∠A，∠BCD=∠ACB，
A’
B
C B’
C’’
C’
①如图，△ABC∽△A’B’C’；
②如图，以A’为圆心，A’C’为半径画弧，与B’C’交于点C’’，
△ABC与△A’B’C’’不相似。
02
知识精讲
【总结】两边成比例，但对应相等的一组角不是夹角时，两个
三角形不一定相似。
【再次强调】
无论是证明相似or证明全等，用“两边一夹角”定理时，必须时
△CEF∽△BAD。
(2)证明：∵E、F分别是Rt△ABC、Rt△BCD斜边上的中点，


∴CF= BD，EC= AB，


又∵E、F分别为是AB、BD的中点，

∴ = = = ，


∴EF= AD，

∴△CEF∽△BAD。
03
知识精讲
典例精析
例3、(1)如图，△ABC的两条中线，BE、CF交于点G，FE//BC，
判定定理法 3、“两边一夹角”定理
4、“三边”定理
03
知识精讲
典例精析
例1、如图，△ABC和△DEF三边长已知，求证△ABC～△DEF。
【证明】由题意可得：
. .
= = ， = = ， = = ，
. .

03
知识精讲
典例精析
例2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AC上，
(1)已知：AC=4，BC=2，∠CBD=∠A，求BD的长；
(2)取AB，BD的中点E，F，连接CE，EF，FC，求证：
△CEF∽△BAD。
【分析】(1)虽然题目条件既涉及线段长度，
又涉及角相等，但是两条线段长构建不了
三边成比例的两个三角形相似。
符号语言：
A

如图，∵ ’ ’ = ’ ’ = ’ ’ ，

∴△ABC∽△A’B’C’。
A’
B
C B’
C’
02
【方法总结】
知识精讲
定义法
证明相似的方法
证明全等的方法
1、相似定义
1、全等定义
2、AAS
3、ASA
4、SAS
5、SSS
6、HL
2、“两角”定理
A
AC于E，连接DE，
∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE（预备定理），

∴ = = ，


∵ ’ ’ = ’ ’ = ’ ’ ，且AD=A’B’，

∴DE=B’C’，EA=C’A’，
D
B
A’
E
C B’
C’
01
情境引入

如图，已知： ’ ’ = ’ ’ = ’ ’ ，求证：△ABC∽△A’B’C’。
多要构建比例式
03
知识精讲
典例精析
例2、(2)在Rt△ABC中，∠B=90°，若AB=BE=EF=FC=2，求证：
△AEF∽△CEA。
证明：∵∠B=90°，AB=BE=EF=FC=2，
∴AE= + =2 ，
∴AE:EF=2 :2= ，CE：AE=4:2 = ，
∴AE:EF=CE:AE，
【问题建模】

如图，已知： ’ ’ = ’ ’ ，∠A=∠A’，求证：△ABC∽△A’B’C’。

A
A’
B
C B’
C’
01
情境引入


如图，已知： ’ ’ = ’ ’ ，∠A=∠A’，求证：△ABC∽△A’B’C’。

【证明】如图，在△ABC的边AB上截取AD=A’B’，作DE∥BC交
典例精析
例2、(1)如图所示，点D是△ABC的AB边上一点，且AD=1，BD=2，
AC= ，求证：△ACD∽△ABC。
证明：∵AD=1，BD=2，AC= ，


∴ = = ， = ，




∴ = ，

∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC。
注意：
当边长条件较多时，
△CEF∽△BAD。
【分析】(2)题目中线段长度（或线段比例）
条件较多时，应用“三边”定理证相似。
03
知识精讲
典例精析
例2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AC上，
(1)已知：AC=4，BC=2，∠CBD=∠A，求BD的长；
(2)取AB，BD的中点E，F，连接CE，EF，FC，求证：
∵∠AEG=∠DEA，
∴△AEG∽△DEA，
∴∠EAG=∠EDA，
∵点E是AB的中点，
∴AE=FE，
∴∠EAF=∠EFA，
∴∠ADG=∠EFG，
03
知识精讲
典例精析
例3、如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，
连接EF、ED、DF，DE交AF于点G，且AE2=EG·ED，求证：
刻警惕：相等的角必须是对应两边的夹角。
03
知识精讲
典例精析
例1、已知：如图，AD·AB=AE·AC，求证：△ADC∽△AEB。
注意：
证明：∵AD·AB=AE·AC，

∴ = ，

要将其转化为比例式
∵∠A=∠A，
∴△ADC∽△AEB。
注意：
“∠A=∠A”为题目的
隐藏条件
03
知识精讲