解密06 机械能及其守恒定律-备战2019年高考物理之高频考点解密

p 2k k p
k2k1k cos cos =12ΔW Fl W P Fv t E mgh E mv
E E E W E E E θα
=====+=-=⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎧⎧⎪
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎩⎩⎧⎨做功的两个要素
公式：功正功和负功功的计算
公式：基本概念功率额定功率和实际功率机重力势能：势能械弹性势能能
机械能动能：及其机械能：守
恒定律
动能定理恒力做功、变力做功适用条件直线运动、曲线运动
基本规律k1p1k2p2
k p
p
ΔΔΔΔΔΔΔΔA B G E E E E E E E E E E E E +=+=-=-=-→=-⎧⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪
⎪⎪⎪⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪
⎧⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎩
⎪
⎩增减机械能守恒定律守恒条件：只有重力或系统内弹力做功能量守恒定律：重力做功与重力势能变化的关系
考点1动能定理及其应用
一、动能
1．定义：物体由于运动而具有的能。

2．表达式：E k=1
2
mv2，v是瞬时速度，动能的单位是焦耳（J）。

3．特点：动能是标量，是状态量。

4．对动能的理解：
（1）相对性：选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不同，一般以地面为参考系。

（2）状态量：动能是表征物体运动状态的物理量，与物体的运动状态（或某一时刻的速度）相对应。

（3）标量性：只有大小，没有方向；只有正值，没有负值。

（4）动能变化量：物体动能的变化是末动能与初动能之差，即，若ΔE k>0，表
示物体的动能增加；若ΔE k<0，表示物体的动能减少。

（2）动能定理的表达式为标量式，不能在同一个方向上列多个动能定理方程。

二、动能定理
1．推导过程：设某物体的质量为m，在与运动方向相同的恒力F作用下，发生一段位移l，速度由v1增大到v2，如图所示。

2．内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化，这个结论叫做动能定理。

3．表达式：W=E k2－E k1=1
2
mv22－
1
2
mv12。

说明：
①式中W为合外力的功，它等于各力做功的代数和。

②如果合外力做正功，物体的动能增大；如果合外力做负功，物体的动能减少。

4．适用范围。

动能定理的研究对象一般为单一物体，或者可以看成单一物体的物体系。

动能定理即适用于直线运动，也适用于曲线运动；即适用于恒力做功，也适用于变力做功。

力可以是各种性质的力，既可以是同时
作用，也可以分段作用。

5．物理意义
（1）动能定理实际上是一个质点的功能关系，即合外力对物体所做的功是物体动能变化的量度，动能变化的大小由合外力对物体所做的功的多少来决定。

（2）动能定理实质上说明了功和能之间的密切关系，即做功的过程也就是能量转化的过程。

6．应用动能定理解题的方法技巧
（1）对物体进行正确的受力分析，要考虑物体所受的所有外力，包括重力。

（2）有些力在物体运动的全过程中不是始终存在的，若物体运动的全过程包含几个不同的物理过程，物体的运动状态、受力等情况均可能发生变化，则在考虑外力做功时，必须根据不同情况分别对待。

（3）若物体运动的全过程包含几个不同的物理过程，解题时可以分段考虑，也可以全过程为一整体，利用动能定理解题，用后者往往更为简捷。

三、动能定理的应用
1．应用动能定理的流程
2．应用动能定理的注意事项
（1）动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系。

（2）应用动能定理的关键在于分析研究对象的受力情况及运动情况，可以画出运动过程的草图，借助草图理解物理过程之间的关系。

（3）当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；当所求解的问题不涉及中间的速度时，也可以全过程应用动能定理，这样更简捷。

（4）列动能定理方程时，必须明确各力做功的正、负，确实难以判断的先假定为正功，最后根据结果加以检验。

3．应用动能定理求解物体运动的总路程
对于物体往复运动的情况，物体所受的滑动摩擦力、空气阻力等大小不变，方向发生变化，但在每一段上这类力均做负功，而且这类力所做的功等于力和路程的乘积，与位移无关。

如果已知物体运动过程初、末状态的动能，则可利用动能定理求解物体运动的总路程。

4．应用动能定理解决相关联物体的运动问题
对于用绳子连接的物体，在处理时要注意物体的速度与绳子的速度的关系，需要弄清合运动和分运动的关系，能够合理利用运动的合成与分解的知识确定物体运动的速度。

5．动能定理的图象问题
（1）解决物理图象问题的基本步骤
①观察题目给出的图象，弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量及图线所代表的物理意义。

②根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式。

③将推导出的物理规律与数学上与之对应的标准函数关系式相比，找出图线的斜率、截距、图线的交点、图线下的面积所对应的物理意义，分析解答问题。

（2）四类图线与坐标轴所围面积的含义
①v-t图线：由公式x=vt可知，v-t图线与横坐标轴围成的面积表示物体的位移。

②a-t图线：由公式Δv=at可知，a-t图线与横坐标轴围成的面积表示物体速度的变化量。

③F-s图线：由公式W=Fs可知，F-s图线与横坐标轴围成的面积表示力所做的功。

④P-t图线：由公式W=Pt可知，P-t图线与横坐标轴围成的面积表示力所做的功。

6．应用动能定理解决平抛运动、圆周运动问题
（1）平抛运动和圆周运动都属于曲线运动，若只涉及位移和速度而不涉及时间，应优先考虑用动能定理列式求解。

（2018·河南省焦作市）如图所示，粗糙水平桌面BC左侧固定一个光滑的1
4
圆弧轨道AB，圆弧底端与
水平桌面平滑连接，BC右侧固定着光滑的半圆弧轨道DEF，直径DF处于竖直方向，最高点F位于水平桌面末端C点上方位置且高度差可忽略不计，底端与地面平滑连接。

已知两个圆弧轨道的半径与水平桌面的长度均为R，重力加速度为g，现有一个质量为m的小球（可视为质点）从左侧圆弧轨道的A点由静止释放。

（1）为使小球可以沿半圆弧轨道DEF内侧做圆周运动，小球与水平桌面间的动摩擦因数应满足什么条件；
（2）在小球与水平桌面间的动摩擦因数满足（1）的条件下，小球经过半圆弧轨道最低点D和最右侧E 点时对轨道的压力之差为多大。

【参考答案】（1）
1
2
μ≤（2）3mg
【试题解析】（1）为使小球能够沿半圆弧轨道DEF 内侧运动，设小球通过F 点时的速度最小值为1v ，
此时重力提供向心力，由向心力公式得：2
1v mg m R
= 小球从A 点运动到C 的过程中，由动能定理得：
联立解得12
μ=
故小球与水平桌而问的动摩擦因数应满足：12
μ≤ （2）在满足1
2
μ≤
的条件下，小球沿半圆弧轨道内侧做圆周运动，设经过E 点时的速度为2v ，轨道支持力为2F ，经过最低点D 时的速度为3v ，轨道支持力为3F ，则在E 、D 两点由向心力公式可得
1．（2018·黑龙江省双鸭山市第一中学）一小物体冲上一个固定的粗糙斜面，经过斜面上A 、B 两点到达斜面的最高点后返回时，又通过了A 、B 两点，如图所示，对于物体上滑时由A 到B 和下滑时由B 到A 的过程中，其动能的增量的大小分别为ΔE k1和ΔE k2，机械能的增量的大小分别是ΔE 1和ΔE 2，则以下大小关系正确的是
A ．ΔE k1>ΔE k2 ΔE 1>ΔE 2
B ．ΔE k1>ΔE k2 ΔE 1<ΔE 2
C．ΔE k1>ΔE k2ΔE1=ΔE2D．ΔE k1<ΔE k2ΔE1=ΔE2
【答案】C
2．如图甲所示，在倾角为30°的足够长的光滑斜面AB的A处连接一粗糙水平面OA，OA长为4 m。

有一质量为m的滑块，从O处由静止开始受一水平向右的力F作用。

F只在水平面上按图乙所示的规律变化。

滑块与OA间的动摩擦因数μ=0.25，g取10 m/s2，试求：
（1）滑块运动到A处时的速度大小；
（2）不计滑块在A处的速率变化，滑块冲上斜面AB的长度是多少？
【答案】（1）m/s （2）5 m
【解析】（1）由题图乙知，在前2 m内，F1=2mg，做正功，在第3 m内，F2=–0.5mg，做负功，在第4 m 内，F3=0，滑动摩擦力F f=–μmg=–0.25mg，始终做负功，对于滑块在OA上运动的全过程，由动能定理
得：F1x1+F2x2+F f x=1
2
mv–0
即2mg×2–0.5mg×1–0.25mg×4=1
2
mv A2
解得v A m/s
（2）对于滑块冲上斜面的过程，由动能定理得
–mgL sin 30°=0–1
2
mv A2，
解得：L=5 m
所以滑块冲上AB的长度为L=5 m
考点2机械能及其守恒定律的应用
1．推导
物体沿光滑斜面从A滑到B。

（1）由动能定理：W G=E k2–E k1。

（2）由重力做功与重力势能的关系：W G=E p1–E p2。

结论：初机械能等于末机械能E p1+E k1=E p2+E k2。

2．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。

3．表达式：E p1+E k1=E p2+E k2，即E1=E2。

4．守衡条件：只有重力或弹力做功。

5．守恒条件的几层含义的理解
（1）物体只受重力，只发生动能和重力势能的相互转化，如自由落体运动、抛体运动等。

（2）只有弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化。

如在光滑水平面上运动的物体碰到一个弹簧，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒。

（3）物体既受重力，又受弹力，重力和弹力都做功，发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化。

如自由下落的物体落到竖直的弹簧上和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒。

注意：
从能量观点看：只有动能和势能的相互转化，无其他形式能量（如内能）之间的转化，则系统机械能守恒。

从做功观点看：只有重力和系统内的弹力做功。

6．机械能守恒的判断
（1）利用机械能的定义判断（直接判断）：若物体的动能、势能均不变，则机械能不变。

若一个物体的动能不变、重力势能变化，或重力势能不变、动能变化或动能和重力势能同时增加（减小），其机械能一定变化。

（2）用做功判断：若物体或系统只有重力（或弹簧的弹力）做功，虽受其他力，但其他力不做功，机
械能守恒。

（3）用能量转化来判断：若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体或系统的机械能守恒。

（4）对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统的机械能将有损失。

7．机械能守恒定律的三种表达形式及应用
（1）守恒观点
①表达式：E k1+E p1=E k2+E p2或E1=E2。

②意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能。

③注意问题：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面。

（2）转化观点
①表达式：ΔE k=–ΔE p。

②意义：系统的机械能守恒时，系统增加（或减少）的动能等于系统减少（或增加）的势能。

（3）转移观点
①表达式：ΔE A增=ΔE B减。

②意义：若系统由A、B两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A部分机械能的增加量等于B部分机械能的减少量。

8．机械能守恒定律的应用技巧
（1）机械能守恒是有条件的，应用时首先判断研究对象在所研究的过程中是否满足机械能守恒的条件，然后再确定是否可以用机械能守恒定律。

（2）如果系统（除地球外）只有一个物体，用守恒观点列方程较方便；对于由两个或两个以上的物体组成的系统，用转化或转移的观点列方程较为简便。

9．多个物体应用机械能守恒定律解题应注意的问题
（1）对多个物体组成的系统要注意判断物体运动的过程中，系统的机械能是否守恒。

（2）注意寻找连接各物体间的速度关系的连接物，如绳子、杆或者其他物体，然后在寻找几个物体间的速度关系和位移关系。

（3）列机械能守恒方程时，一般选用ΔE A增=ΔE B减的形式。

10．用机械能守恒定律解决非质点问题
在应用机械能守恒定律解决实际问题时，经常会遇到“铁链”、“水柱”等类的物体，其在运动过程中，重心位置往往发生变化，形状也会发生变化，因此此类物体不再看作质点，物体虽然不看作质点来处理，但是因为只有重力做功，物体整体的机械能还是守恒的。

一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分重心的位置，根据初、末状态物体重力势能的变化来列式求解。

（2018·浙江省温州市十五校联合体）如图所示是某公园中的一项游乐设施，它由弯曲轨道AB、竖直圆轨道BC以及水平轨道BD组成，各轨道平滑连接．其中圆轨道BC半径R=1.0 m，水平轨道BD长L=5.0 m，BD段对小车产生的摩擦阻力为车重的0.3倍，其余部分摩擦不计，质量为2.0 kg的小车(可视为质点)从P 点以初速度v0=2 m/s 沿着弯曲轨道AB向下滑动，恰好滑过圆轨道最高点，然后从D点飞入水池中，空气阻力不计，取g=10 m/s2，求：
（1）P点离水平轨道的高度H；
（2）小车运动到圆轨道最低点时对轨道的压力；
（3）在水池中放入安全气垫MN(气垫厚度不计)，气垫上表面到水平轨道BD的竖直高度h=1.25 m，气垫的左右两端M、N到D点的水平距离分别为2.0 m，3.0 m，要使小车能安全落到气垫上，则小车静止释放点距水平轨道的高度H′应满足什么条件？
【参考答案】（1）2.3 m （2）112 N （3）
（3）对小车从静止释放点到D点的过程由动能定理：
从D 点到气垫上的运动过程只受重力作用，做平抛运动，
212
h gt =
D x v t =
而
解得：
1．（2018·河南省驻马店市）如图所示，半径为R 的四分之一光滑圆弧槽固定在小车上，槽两端等高。

有一质量为m 的小球在圈弧槽中最低点相对圆弧槽静止，小球和小车起以大小为0v 的速度沿水平面向右匀速运动，当小车遇到障碍物时突然停止不动。

小球可视为质点。

不计空气阻力，重加速度为g ，求：
（1）小车停止瞬间，小球对圆弧槽最低点的压力大小；
（2）小车停止后，小球相对圆弧槽最低点上升的最大高度可能值。

【答案】（1）20
m g R v ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭ （2）2
02v g ，
求出
2
2
v h
g
2．下图为某小型企业的一道工序示意图，图中一楼为原料车间，二楼为生产车间。

为了节约能源，技术人员设计了一个滑轮装置用来运送原料和成品，在二楼生产的成品装入A箱，在一楼将原料装入B箱，而后由静止释放A箱，若A箱与成品的总质量为M=20 kg，B箱与原料的总质量为m=10 kg，这样在A箱下落的同时会将B箱拉到二楼生产车间，当B箱到达二楼平台时可被工人接住，若B箱到达二楼平台时没有被工人接住的话，它可以继续上升h=1 m速度才能减小到零。

不计绳与滑轮间的摩擦及空气阻力，重力加速度g=10 m/s2，求：
（1）一楼与二楼的高度差H；
（2）在A、B箱同时运动的过程中绳对B箱的拉力大小。

【答案】（1）3m（2）400
N 3
考点3功能关系、能量守恒定律
一、功能关系
1．能的概念：一个物体能够对外做功，我们就说这个物体具有能量。

2．规律：各种不同形式的能之间可以相互转化，而且在转化的过程中能量守恒。

3．功能关系
（1）功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化。

（2）做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量的转化必须通过做功来实现。

（3）W其他=ΔE，该式的物理含义是除重力、系统内弹力以外，其他所有外力对物体所做的功等于物体机械能的变化，即功能原理。

要注意的是物体的内能（所有分子热运动的动能和分子势能的总和）、电视能不属于机械能。

4．几种常见的功能关系及其表达式
1．内容：能量既不会消灭，也不会创生，它只会从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到另一个物体，而在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变。

2．表达式：ΔE减=ΔE增。

3．意义：能量守恒定律是最基本、最普通、最重要的自然规律之一，它揭示了自然界中各种运动形式不仅具有多样性，而且具有统一性。

它指出了能量既不会无中生有，也不会凭空消失，只能在一定条件下转化或转移。

4．对能量守恒定律的理解
（1）某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且增加量和减少量一定相等。

（2）某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且增加量和减少量一定相等。

5．应用能量守恒定律的解题步骤
（1）选取研究对象和研究过程，了解对应的受力情况和运动情况。

（2）分析有哪些力做功，相应的有多少形式的能参与了转化，如动能、势能（包括重力势能、弹性势能、电势能）、内能等。

（3）明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式。

三、摩擦力做功的特点及应用
1．静摩擦力做功的特点
（1）静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。

（2）相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零。

（3）静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不会转化为内能。

2．滑动摩擦力做功的特点
（1）滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。

（2）相互间存在滑动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功将产生两种可能的效果：
①机械能全部转化为内能；
②有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分转化为内能。

（3）摩擦生热的计算：Q=fs相对。

其中s相对为相互摩擦的两个物体间的相对位移。

3．传送带模型问题的分析流程
（2018·江苏省扬州市）如图所示，水平转台上有一个质量为m 的物块，用长为2L 的轻质细绳将物块连接在转轴上，细绳与竖直转轴的夹角θ=30°，此时细绳伸直但无张力，物块与转台间动摩擦因数为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

物块随转台由静止开始缓慢加速转动，重力加速度为g ，求：
（1）当转台角速度ω1为多大时，细绳开始有张力出现； （2）当转台角速度ω2为多大时，转台对物块支持力为零；
（3）转台从静止开始加速到角速度3ω=
【参考答案】（1）1ω=
（2）2
ω= （3）
代入数据得：60α=︒
转台对物块做的功等于物块动能增加量与重力势能增加量的总和即：
代入数据得：
1．（2018·重庆市第一中学）如图所示，竖直平面内轨道ABCD的质量M=0.4 kg，放在光滑水平面上，其中AB段是半径R=0.4 m的光滑1/4圆弧，在B点与水平轨道BD相切，水平轨道的BC段粗糙，动摩擦因数μ=0.4，长L=3.5 m，C点右侧轨道光滑，轨道的右端连一轻弹簧。

现有一质量m=0.1 kg的小物体(可视为质点)在距A点高为H=3.6 m处由静止自由落下，恰沿A点滑入圆弧轨道(g=10 m/s²)。

下列说法正确的是
A．最终m一定静止在M的BC某一位置上
B．小物体第一次沿轨道返回到A点时将做斜抛运动
C．M在水平面上运动的最大速率2.0 m/s
D．小物体第一次沿轨道返回到A点时的速度大小4 m/s
【答案】ACD
水平方向动量守恒，以初速度的方向为正方向；由动量守恒定律可得：m Mv mv ，由机械能守恒得：
，解得：，故选项C 正确。

2．如图所示，质量为M 、长度为l 的小车静止在光滑的水平面上。

质量为m 的小物块放在小车的最左端。

现在一水平恒力F 作用在小物块上，使小物块从静止开始做匀加速直线运动，小物块和小车之间的摩擦力为f 。

经过时间t ，小车运动的位移为s ，小物块刚好滑到小车的最右端
3．（2018·新课标全国III 卷）地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送至地面。

某竖井中矿车提升的速度大小v 随时间t 的变化关系如图所示，其中图线①②分别描述两次不同的提升过程，它们变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同，提升的质量相等。

不考虑摩擦阻力和空气阻力。

对于第①次和第②次提升过程
A ．矿车上升所用的时间之比为4:5
B ．电机的最大牵引力之比为2:1
C ．电机输出的最大功率之比为2:1
D ．电机所做的功之比为4:5 【答案】AC
4．（2017·江苏卷）一小物块沿斜面向上滑动，然后滑回到原处。

物块初动能为k0E ，与斜面间的动摩擦因数不变，则该过程中，物块的动能k E 与位移x 的关系图线是
A
B C D
【答案】C
【解析】向上滑动的过程中，根据动能定理有
，当E k =0时
，同理，下滑过程中，由动能定理有，
当x =0时，故选C 。

5．（2016·浙江卷）如图所示为一滑草场。

某条滑道由上下两段高均为h ，与水平面倾角分别为45°和37°的滑道组成，滑草车与草地之间的动摩擦因数为μ。

质量为m 的载人滑草车从坡顶由静止开始自由下滑，经过上、下两段滑道后，最后恰好静止于滑道的底端（不计滑草车在两段滑道交接处的能量损失，
sin37=0.6o ，cos37=0.8o ）。

则
A ．动摩擦因数6
7
μ=
B C ．载人滑草车克服摩擦力做功为mgh D ．载人滑草车在下段滑道上的加速度大小为35
g 【答案】AB
6．（2018·江苏卷）如图所示，钉子A、B相距5l，处于同一高度．细线的一端系有质量为M的小物块，另一端绕过A固定于B。

质量为m的小球固定在细线上C点，B、C间的线长为3l。

用手竖直向下拉住小球，使小球和物块都静止，此时BC与水平方向的夹角为53°。

松手后，小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为零，然后向下运动。

忽略一切摩擦，重力加速度为g，取sin 53°=0.8，cos 53°=0.6。

求：
（1）小球受到手的拉力大小F；
（2）物块和小球的质量之比M:m；
（3）小球向下运动到最低点时，物块M所受的拉力大小T。

【答案】（1）（2）
6
5
M
m
（3）（）
7．（2017·江苏卷）如图所示，两个半圆柱A 、B 紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C ，三者半径均为R 。

C 的质量为m ，A 、B 的质量都为
2
m
，与地面的动摩擦因数均为μ。

现用水平向右的力拉A ，使A 缓慢移动，直至C 恰好降到地面。

整个过程中B 保持静止。

设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g 。

求：
（1）未拉A 时，C 受到B 作用力的大小F ； （2）动摩擦因数的最小值μmin ；
（3）A 移动的整个过程中，拉力做的功W 。

【答案】（1）F =
（2）min μ= （3）。