江苏省扬州市2018—2019学年高一第一学期期末检测试题数学(精品Word版,含答案解析)

2018—2019学年度第一学期期末检测试题
高一数学
2019．1
全卷满分150分，考试时间120分钟
1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效．
一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合，集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
已知集合A,B，取交集即可得到答案.
【详解】集合，集合，
则
故选:B
【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.
2.的值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用诱导公式和的三角函数值即可得到结果.
【详解】,
故选：A.
【点睛】本题考查诱导公式和特殊角的三角函数值，属于基础题.
3.已知幂函数的图象经过点，则=（）
A. B. C. D. -
【答案】C
【解析】
【分析】
将点代入中，可得幂函数解析式，从而得到f(4)的值.
【详解】幂函数的图象经过点,
则=，得到，即f(x)=,
则f(4)=,
故选：C.
【点睛】本题考查幂函数的定义与应用，属于基础题.
4.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝|x|为偶函数，不符合题意；
对于B，y＝tan x，是正切函数，在其定义域上不是增函数，不符合题意；
对于C，，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；
对于D，y＝x3，为幂函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性．5.设向量，且，则（）
A. 3
B. -2
C. 1或-2
D. 1或3
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出的坐标，根据即可得出=0，进行数量积的坐标运算即可求出m的值．
【详解】；
∵；
∴=m(m+1)-2=0；
解得m＝1或﹣2．
故选：C．
【点睛】本题考查向量坐标的加法和数量积运算，考查向量垂直的充要条件，属于常考题．
6.为了得到函数的图象，只需将的的图象上每一点（）．
A. 向左平移个单位长度
B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度
【答案】B
【解析】
这是同名函数的平移变换，，根据左加右减，得到要将函数向左平移个单位长度．
故答案选B．
7.的值为（）
A. -1
B.
C. 3
D. -5
【答案】A
【解析】
【分析】
进行对数式、分数指数幂和根式的运算即可．
【详解】原式＝lg2+lg5﹣2﹣2+2＝lg10﹣2＝1﹣2＝﹣1．
故选：A．
【点睛】本题考查对数式，根式和分数指数幂的运算，考查学生计算能力，属于基础题．
8.如果点位于第四象限，那么角所在的象限是（）．
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】B
【解析】
∵点位于第四象限，∴，
∴角所在的象限是第二象限．
故选：B．
9.若函数的定义域为，值域为，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
画出函数f（x）的图像，由定义域为，值域为，观察图像即可得到|b﹣a|的最小值．
【详解】根据题意，画出函数f(x)图像，
令可得x=或x=4，定义域为，值域为，
由图象可知，定义域的最大区间[,4]，最小区间是[,1]，
则的最小值为1-=
故选：A.
【点睛】本题考查对数函数的图象与性质，其中分析出满足条件的a，b的值，
是解答的关键．
10.已知函数，其中为非空集合，且满足，则下列结论中一定正确的是（）
A. 函数一定存在最大值
B. 函数一定存在最小值
C. 函数一定不存在最大值
D. 函数一定不存在最小值
【答案】C
【解析】
【分析】
分别根据幂函数和二次函数的图象和性质，结合条件M∪N＝R，讨论M，N，即可得到结论．
【详解】∵函数，其中M，N为非空集合，且满足M∪N＝R，
∴由y＝x3的值域为（﹣∞，+∞），
y＝x2的值域为[0，+∞），且M∪N＝R，
若M＝（0，+∞），N＝（﹣∞，0]，则f（x）的最小值为0，故D错；
若M＝（﹣∞，0），N＝[0，+∞），则f（x）无最小值，故B错；
由M∪N＝R，可得图象无限上升，则f（x）无最大值．
故选：C．
【点睛】本题考查函数最值的存在，注意幂函数和二次函数的图象和性质，考查分析推理能力．
二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分）
11.若扇形的圆心角为（弧度），弧长为（单位：），则扇形面积为_____（单位：）．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用扇形的面积公式即可求解．
【详解】设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，
则由l＝rα，可得：2π＝r•，可得：r＝6，
扇形的面积为S＝lr＝＝6π
故答案为：6π．
【点睛】本题考查扇形的面积公式，正确掌握扇形的面积公式以及弧长公式是关键，属于基础题．12.函数定义域为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
写出使函数有意义的不等式组，计算即可得答案.
【详解】要使函数有意义，
只需即,
所以函数定义域为
故答案为：
【点睛】本题考查定义域的求解，需掌握：①分式分母不为0，②偶次根式被开方数大于等于0，③对数的真数大于0.
13.若函数（其中）的部分图象如图所示，则函数的解析式
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
观察图像可得A,由周期可得值，再将特殊点代入解析式结合的范围可得值，从而得到函数解析式.
【详解】由图可知：A＝2，，
∴T＝π，ω＝＝2，f(x)=2sin(2x+
代入点（，0）得0＝sin（2×+φ），
∴φ+＝π+2kπ，k∈Z，φ＝+2kπ
∵，∴φ＝，
∴y＝2sin（2x+），
故答案为：
【点睛】本题考查由y＝A sin（ωx+φ）的部分图象确定解析式，已知函数
f（x）＝A sin（ωx+φ）+B的图象求解析式(1). (2)由函数的周期T 求.(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ.
14.如图，在半径为（单位：）的半圆形（为圆心）铁皮上截取一块矩形材料，其顶点在直径上，顶点在圆周上，则矩形面积的最大值为____（单位：）.
【答案】
【解析】
【分析】
设BC=x,连结OC，求出OB，得到矩形面积表达式，然后利用基本不等式求出函数的最值即可．
【详解】设BC=x,连结OC，得OB=，所以AB＝2，
所以矩形面积S＝2，x∈（0，4）,
S＝2．
即x2＝16﹣x2，即x＝2时取等号，此时y max＝16
故答案为：16
【点睛】本题考查函数解析式的求法，考查利用基本不等式求函数最值问题，
考查计算能力．
15.如图，在平行四边形中，点是边上的中点，点是边上靠近的三等分点．若，
，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
用表示，解出，然后利用向量的模的公式计算即可得到的值.
【详解】
,
则，则
故答案为：
【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，考查数量积的计算方法和向量的模的求法，属于基础题.
16.已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是_________．
【答案】或
【解析】
【分析】
由题意可得f（x），g（x）的图象均过（-1，1），分别讨论a＞0，a＜0时，f（x）＞g（x）的整数解情况，解不等式即可得到所求范围．
【详解】由函数可得f（x），g（x）的图象均过（-1，1），且f（x）的对称轴为x＝，
当a＞0时，对称轴大于0，由题意可得f（x）＞g（x）恰有0,1两个整数解，
可得，即有，解得
当a＜0时，对称轴小于0，由题意可得f（x）＞g（x）恰有-3，﹣2两个整数解，
可得，即有,解得，
综上可得a的范围是或
故答案为：或．
【点睛】本题考查函数方程的转化思想，考查分类讨论思想方法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知全集.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】
(1)当a=2时，求出集合A,B和，然后取并集和交集即可得到答案;(2)由，可得，结合子集概念即可得到答案.
【详解】，
（1）当时，，
所以，
所以
（2）因为，所以，
所以
【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查集合间关系,子集的应用，属于简单题.
18.已知向量，，
（1）若，求的值；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
(1)利用两个向量平行的充要条件可得然后代入所求的式子化简即可得答案；（2）利用两个向量的数量积坐标公式可得，将平方再利用x的范围开方即可得到结果.
【详解】解：（1）因为，，，
所以，即，
显然，否则若，则，与矛盾，
所以
（2）因为，，
所以即
所以
因为，所以，又，所以，所以，
所以
【点睛】本题考查两个向量平行的充要条件和两个向量数量积的坐标公式，考查和关系的应用，属于基础题.
19.已知,其中.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）利用同角三角函数基本关系式以及两角和与差的三角函数转化求解即可．（2）利用正切的两角和的三角函数，结合角的范围，求解角的大小即可．
【详解】解：（1）因为，，所以
所以
所以，
（2）
因为，，所以，
因为，，所以，
所以
所以
【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的化简求值，是基本知识的考查．
20.已知函数，
（1）求函数的最小正周期及对称中心；
（2）求函数在上的单调增区间.
【答案】（1）最小正周期；对称中心为（2）单增区间是[]，
【解析】
【分析】
（1）利用正余弦的二倍角公式和辅助角公式将函数解析式进行化简，然后利用正弦函数的周期公式和对称中心公式可得答案；（2）先利用正弦函数的单调性写出函数f(x)在R上得单调区间，再由x∈[0，π]，对k取值，即可求得函数在[0，π]上单增区间．
【详解】解：（1）
所以，该函数的最小正周期；
令，则，
所以对称中心为
（2）令则
当时，由，解得；
当时，由，解得
所以，函数在上的单增区间是[]，
【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，三角函数单调区间的求法，属于基础题．
21.已知函数是定义在R上的奇函数，
（1）求实数的值；
（2）如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）1（2）
【解析】
【分析】
(1)利用函数为奇函数的定义即可得到m值；（2）先判断出函数f(x)在R上单调递增，利用奇偶性和单调性将不等式转为恒成立，然后变量分离，转为求函数最值问题，最后解不等式即可得a的范围.
【详解】解：（1）方法1：因为是定义在R上的奇函数，
所以，即，
即，即
方法2：因为是定义在R上的奇函数，所以，即，
即，检验符合要求．
（2），
任取，则，
因为，所以，所以，
所以函数在R上是增函数．
注：此处交代单调性即可，可不证明
因为，且是奇函数
所以，
因为在R上单调递增，所以，
即对任意都成立，
由于=，其中，
所以，即最小值为3
所以，
即，解得，
故，即.
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，考查不等式恒成立问题，常用方法为利用变量分离转为函数最值问题，考查学生的计算能力和转化能力,属于中档题.
22.已知二次函数满足下列3个条件: ①的图象过坐标原点；②对于任意都有
；③对于任意都有,
（1）求函数的解析式；
（2）令，（其中为参数）
①求函数的单调区间；
②设，函数在区间上既有最大值又有最小值，请写出实数的取值范围．（用表示出范围即可，不需要过程）
【答案】（1）（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）利用f（0）＝0求出c．通过函数的对称轴，得到a＝-b，通过恒成立可得a值，从而得函数f（x）
的表达式；（2）①先去掉绝对值符号得到函数g（x）的表达式，然后通过讨论对称轴与4m的关系结合二次函数图像的性质可得到单调区间；②结合①中的单调区间即可写出p,q的范围.
【详解】解：（1）因为，所以.
因为对于任意R都有，
所以对称轴为，即，即，所以，
又因为，所以对于任意都成立，
所以,即，所以．
所以．
（2）①，
当时，
若，即，则在上递减，在上递增，
若，即，则在上递增，
当时，，
若，即，则在上递增，在上递减，
若，即，则在上递增，
综上得：
当时，的增区间为，，减区间为；
当时，的增区间为，，减区间为；
当时，的增区间为
②
【点睛】本题考查二次函数图像的性质，考查含绝对值的函数的单调性和最值问题，考查分类讨论思想和分析推理能力，综合性较强.。