新课标人教版高中数学必修三第一章 第三节《算法案例》第二课时秦九韶算法与进位制(共33张ppt)

所以 v0＝8， v1＝8×2＋5＝21，
v2＝21×2＋0＝42， v3＝42×2＋3＝87， v4＝87×2＋0＝174， v5＝174×2＋0＝348， v6＝348×2＋2＝698， v7＝698×2＋1＝1 397.
所以当 x＝2 时，f(x)＝1 397. 同理可求当 x＝－1 时，f(x)＝－1， 又因为 f(－1)f(2)＝－1 397<0， 则 f(x)在区间[－1，2]上有零点．
v0 1
v1 v0x 1 1 5 1 6
v2 v1x 1 6 5 1 31
v3 v2x 1 31 5 1 156 所以当x=5时， v4 v3x 1 156 5 1 781 多项式的值 v5 v4x 1 781 5 1 3906 为3906
a=rnrn-1…r1r0(2)
十进制化k进制的算法 思考1:根据上面的分析，将十进制数a化为二进制数的算 法步骤如何设计？
第一步，输入十进制数a的值.
第二步，求出a除以2所得的商q，余数r.
第三步，把所得的余数依次从右到左排列.
第四步，若q≠0，则a=q，返回第二步； 否则，输出全部余数r排列得到的二进制数.
求多项式 f (x) = 1+ 2x + 3x2 + 4x 3 + 5x 4 在x=a时的值.
3
例 3:利用秦九韶算法分别计算 f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1 在 x＝2 与 x＝－1 时的值，并判断 f(x)在区间[－1，2]上有没有零
点．
【解】 因为 f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1 ＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1， 且 x＝2，
开始
输入a，k 求a除以k的商q 求a除以k的余数r
把所得的余数依次从右到左排成一列
a=q
q=0？ 否 是
输出全部余数r排列得到的k进制数
结束
该程序框图对应的程序如何表述？
开始 输入a，k
求a除以k的商q
求a除以k的余数r
把所得的余数依次从右到左排列
a=q q=0？ 否
是 输出全部余数r排 列得到的k进制数
2. k进制数的表示方法
一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表
示为一串数字连写在一起的形式：anan－1an－2…a1a0(k)(an，an－1，…， a1，a0∈N，0＜an＜k，0≤an－1，…，a1，a0＜k)． 3. k进制数与10进制数的转化
①由k进制anan－1an－2…a1a0(k)转化为10进制数 anan－1an－2…a1a0(k) ＝an×kn＋an－1×kn－1＋an－2×kn－2＋…＋a1×k＋a0×k0； ②由10进制数转化为k进制数——除k取余法．
结束
INPUT “a,k=”
b=0 i=0 DO
q=a\k
r=a MOD k
b=b+r*10∧i i=i+1 a=q
a，k
LOOP UNTIL q=0 PRINT b END
例1 将十进制数458分别转化为四进制数和六进制数.
4 458 4 114 4 28
47 41
0
余数
2 2 0 3 1
6 458 6 76 6 12
思考2:上述化十进制数为二进制数的算法叫做除2取余法， 转化过程有些复杂，观察下面的算式你有什么发现吗？
89=2×(2×(2×(2×(2×(2×(2×0+1)+0)+1)+1)+0)+0）+1
=2×(2×(2×(2×(22+0×21+1)+1)+0)+0）+1
=2×(2×(2×(23+0×22+1×21+1)+0)+0）+1
5 191 5 38
57 51
0
余数
1 3 2 1
思考4: 若十进制数 a除以2所得的商是q0，余数是r0， 即a=2×q0+ r0；
q0除以2所得的商是q1，余数是r1，即q0=2×q1+ r1； …… qn-1除以2所得的商是0，余数是rn， 即qn-1= 2×0+rn， 那么十进制数a化为二进制数是什么数？
课堂探究：除k取余法
思考1:二进制数101101（2）化为十进制数是什么数？ 十进制数89化为二进制数是什么数？
101101（2）=25+23+22+1=45.
89=2×（2×（2×（2×（2×2+1）+1）+0）+0）+1 =1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20=1011001（2）.
比较上述两种方法，第二种乘法运算次数减少了，因而能 提高运算效率，对计算机来说，做一次乘法运算所用时间比作 一次加法运算要长得多，所以采用第二种做法，计算机能更快 得到结果。这就是我国南宋时期的数学家秦九韶在《数书九章》 中提出的算法----秦九韶算法
课堂探究 探究二：秦九韶算法及其应用 思考3 衡量一个算法是否优秀的重要参数是速度.把多项式f(x) ＝x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1变形为f(x)＝((((x＋1)x＋1)x＋1)x＋1)x＋ 1，然后求当x＝5时的值，为什么比常规逐项计算省时？
1.3 算法案例
第2课时 秦九韶算法与进位制
2019.11
课程标准
通过阅读中 国古代数学 中的算法案 例，体会中 国古代数学 对世界数学 发展的贡献
学习要求
数学素养
1.了解算法的含义，体会算法的思想
数学抽象
2.在分析案例的基础上了解算法的基本特
征
数学运算
3.理解秦九韶算法的计算过程，并了解它 逻辑推理
思考2 如果我们先计算 x2 ，然后再依次计算 x2 x, (x2 x) x, ((x2 x) x) x 的值，然后相加共做了多少乘法、加法次运算？
答案 4次乘法运算，5次加法运算
课堂探究
探究一：怎样求多项式 f (x) x5 x4 x3 x2 x 1当x 5 时的值呢？
思考4:利用后一种算法求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1 +…+a1x+a0的值，这个多项式应写成哪种形式？
f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+…+a2x+a1)x+a0 =((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 =… =(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.
WEND PRINT y
END
例1：已知一个5次多项式f (x) 4x5 2x4 3.5x3 2.6x2 1.7x 0.8 ，，
用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值呢。
解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f (x) ((((4x 2)x 3.5)x _ 2.6)x 1.7)x 0.8
4235261708fxxxxxx?????04v?10245222vvx??????322611355265649vvx??????4317564951728262vvx??????2135225351135vvx??????540828262508141302vvx??????所以当x5时多项式的值为141302例2阅读下列程序说明它解决的实际问题是什么
按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=5时的值：
v0 4
v1 v0x 2 4 5 2 22
v2 v1x 3.5 225 3.5 113.5
v3 v2x 2.6 113.5 5 2.6 564.9
v4 v3x 1.7 564.9 5 1.7 2826.2
答案 从里往外计算，充：怎样求多项式f (x) x5 x4 x3 x2 x 1当x 5 时的值呢？
解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f (x) ((((x 1)x 1)x 1)x 1)x 1
按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=5时的值：
利用除k取余法，将十进制数a化为k进制数b的算法步骤如何设计？
第一步，输入十进制数a和基数k的值. 第二步，求出a除以k所得的商q，余数r. 第三步，把所得的余数依次从右到左排成一列. 第四步，若q≠0，则a=q，返回第二步；否则，输出全部 余数r排列得到的k进制数.
将除k取余法的算法步骤用程序框图如何表示？
归纳小结
评价一个算法好坏的一个重要标志是运算的次数， 如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内 的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论算 法.在多项式求值的各种算法中，秦九韶算法是一 个优秀算法.
作业： P45练习：2. P48习题1.3A组：2.
阅读课本P40~45页完成下列问题：
1．进位制的概念 位制是人们为了_计__数__和__运__算_方便而约定的记 数系统，“满几进一”就是几__进__制_制，_几__进__制 的基数（基数都是大于1的整数）就是_几__． 常见的进位制有二进制，七进制（一周7天）、 十进制（我们最熟悉的进位制），十二进制（一 年12个月）及六十进制（一小时60分钟）．
最内层括号内 一次多项式的值，即v1＝ anx＋an -1 ， 然后由内向外逐 层计算一次多项式的值，即v2＝ v1x＋an－，2 v3＝v2x＋an－，3 … vn＝ vn－1x＋，a0
这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求 n个一次多项式 的值.
秦九韶算法的程序设计
用秦九韶算法求多项式的值，可以 用什么逻辑结构来构造算法？其算 法步骤如何设计？
2 89 2 44
余数 1
=…
2 22
0
=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20 =101101(2)
2 11
0
25
1
22
1
21
0
0
1
思考3:上述方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的 算法，称为除k取余法，那么十进制数191化为五进制数 是什么数？
191=1231（5）
62 0
余数
2 4 0 2
458=13022（4）=2042（6）
例2 将五进制数3241（5）转化为七进制数.
30241（5）=3×54+2×52+4×5+1=1946.
7 1946 7 278 7 39
思考5:对于f(x)=(…((anx+an-1)x+ an-2)x+…+a1)x+a0， 由内向外逐层计算一次多项式的值，其算法步骤如何？
第一步，计算v1=anx+an-1.
第二步，计算v2=v1x+an-2. 第三步，计算v3=v2x+an-3.
…
第n步，计算vn=vn-1x+a0.
思考6:上述求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值的 方法称为秦九韶算法，利用该算法求f(x0)的值，一共需 要多少次乘法运算，多少次加法运算？
提高计算效率的实质.
4理解进位制的概念，能进行不同进位制
间的转化.
课堂探究
探究一：怎样求多项式 f (x) x5 x4 x3 x2 x 1当x 5 时的值呢？
阅读课本P37~38页 思考1 按我们平时的求解方法，把x的值代入多项式，计算各项 的值，然后相加共做了多少乘法、加法次运算？ 答案 4+3+2+1=10次乘法运算，5次加法运算
第一步，输入多项式的次数n， 最高次项的系数an和x的值. 第二步，令v=an，i=n-1. 第三步，输入i次项的系数ai. 第四步，v=vx+ai，i=i-1. 第五步，判断i≥0是否成立.若是， 则返回第 二步；否则，输出 多项式的值v.
该算法的程序框图
开始
输入n，an，x的值 v=an i=n-1
i≥0？ 否
输出v
结束
i=i-1
v=vx+ai
输入ai 是
该程序框图对应的程序如何表述？
开始
输入n，an，x的值 v=an i=n-1
i=i-1
v=vx+ai
i≥0？
否 输出v
输入ai 是
结束
INPUT “n=”；n INPUT “an=”；a INPUT “x=”；x
v=an i=n-1
WHILE i>=0 INPUT “ai=”；b v=v*x+b i=i-1
n次乘法，n次加法
思考7:在秦九韶算法中，记v0=an，那么第k步的算式是什么？
vk=vk-1x+an-k (k=1，2，…，n)
秦九韶算法原理、程序框图及其相应程序
秦九韶算法的原理
把一个n次多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式： (…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，求多项式的值时，首先计算
v5 v4x 0.8 2826.2 5 0.8 14130.2
所以当x=5时，多项式的值为14130.2
例2 阅读下列程序，说明它解决的实际问题是什么？
INPUT “x=”；a n=0 y=0 WHLE n<5
y=y+(n+1)*a˄n n=n+1 WEND PRINT y END