八年级数学人教版上册第14章整式的乘除与因式分解14.2.2完全平方公式(第1课时图文详解)

八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
一位老人非常喜欢孩子．每当有孩子到他家做客时， 老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个 孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块塘，… （1）第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩
子多少块糖？ a2
（2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩
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(2)(-a2+b3)2 【解析】原式= (b3-a2)2
=b6-2 a2 b3+a4 ∵(a-b)2 =(b-a)2 ∴(-a2 +b3)2 = (a2 -b3)2
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【例2】运用完全平方公式计算:
(1) 1022;
(2) 992.
(2) (4x-3y)2 =16x2-24xy+9y2
(4)(-2m-1)2 =4m2+4m+1
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1.（日照·中考）由m（a+b+c）=ma+mb+mc，可得a+b)(a2－ ab+b2）=a3－a2b+ab2+a2b－ab2+b3=a3+b3，即（a+b)(a2－ab+b2） =a3+b3 ①.我们把等式①叫做多项式乘法的立方公式. 下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是( ) （A）（x+4y)(x2－4xy+16y2）=x3+64y3 （B）（2x+y)(4x2－2xy+y2）=8x3+y3 （C）（a+1)(a2＋a+1）=a3+1 （D） x3+27=（x+3)(x2－3x+9） 【解析选】C.根据乘法的立方公式（a+b）（a2－ab+b2）
子多少块糖？ b2
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（3）第三天这（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给
了这些孩子多少块糖？ （a+b）2
（4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的
糖果总数哪个多？多多少？ （a+b）2-（a2+b2）
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（a+b）2 -（a2+b2）
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（5）计算(a+b)2, (a-b)2. 【解析】(a+b)2=(a+b) (a+b) = a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2. (a-b)2 = (a-b) (a-b) = a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2八Βιβλιοθήκη 级上册第14章整式的乘除与因式分解
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
4.计算：(1)(x+2y)2 (2)(a+b+c) 2.
【解析】(1) (x+2y) (x+2y) = x2+2×x× 2y+(2y)2 = x2+4y2+4xy.
(2)(a+b+c)2 = [(a+b)+c]2 = (a+b)2+2(a+b)c+c2 = a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
=a3+b3．C中应为（a+1）（a2-a+1）=a3+1才正确.
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2.（宁波·中考）若x+y=3,xy=1,则 x2 y2 _____.
【解析】 x2 y 2 (x y)2 2xy 32 2 7
答案：7 3.（福州·中考）化简（x+1)2+2(1-x)-x2 【解析】原式=x2+2x+1+2-2x-x2=3.
我们上一节学习了平方差公式即(a+b)(a-b)=a2-b2， 现在遇到了两个数的和的平方，即(a+b)2，这是我们这 节课来研究的新问题．
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计算下列各式,你能发现什么规律? (1)(p+1)2 =(p+1)(p+1) = _p_2_+_2_p_+_1__; (2)(m+2)2= _m__2_+_4_m_+__4; (3)(p-1)2 = (p-1)(p-1)=_p__2-_2_p_+_1_; (4)(m-2)2 = _m__2_-4_m__+_4__.
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第14章 整式的乘除与因式分解
八年级上册
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14.2.2 完全平方公式
第1课时
b ab
b²
(a+b a a²)² ab
ab
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1.经历完全平方公式的推导过程、几何解释，进一步 发展符号感和推理能力． 2.理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进 行计算．
完全平方差公式：
b ab b²
a
a² ab
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
a2 2ab b2
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【例1】运用完全平方公式计算： (1)(x+2y)2
【解析】(x + 2y)2 = x2 +2•x •2y +(2y)2
(a + b)2 = a2 + 2 ab + b2 =x2 +4xy +4y2
完全平方公式:
(a+b)2= a2 + 2ab + b 2 (a-b)2= a2 - 2ab + b 2
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方 和，加上（或减去）它们的积的2倍.
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公式的特点：
1.积为二次三项式； 2.其中两项为两数的平方和；
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
【解析】(1) 1022 = (100 +2) 2 = 1002 +2×100×2 + 22 = 10 000 +400 +4 = 10 404
(2) 992 = (100 -1)2 = 1002 -2×100×1+12 = 10 000 - 200 + 1 = 9 801
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(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(x +y)2 =x2+2xy +y2
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2.运用完全平方公式计算: (1) (6a+5b)2 =36a2+60ab+25b2 (3) (2m-1)2 =4m2-4m+1 (5) 1032 =(100+3)2 =1002+2×100×3+32 =10000+600+9=10609
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通过本课时的学习，需要我们掌握：
完全平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方 和，加上（或减去）它们的积的2倍.
1.下面各式的计算结果是否正确？如果不正确，应当怎 样改正？ (1)(x+y)2=x2 +y2 错 (x +y)2 =x2+2xy +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2 错 (x -y)2 =x2 -2xy +y2
(3) (x -y)2 =x2+2xy +y2 错 (4) (x+y)2 =x2 +xy +y2 错
3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同.
首平方，尾平方，积的2倍在中央
4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
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完全平方和公式：
b ab b²
a a² ab
ab
(a b)2 a 2+2ab + b2
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