高等数学线性代数极大线性无关组的性质于应用教学ppt(3)

向量组 B :1, ,m ,m1 也线性相关.反言之,
若向量组B 线性无关,则向量组A也线性无关 .
证
1,2 ,
,
线性相关,
m
存在不全为0的数x1, x2 , , xm,使
x11 x22 xmm =0,
从而存在不全为0的数x1, x2, , xm,0,使
x11 x22 xmm +0m+1=0.
ann xn 0,
a11 a12
a1n
当 a21 a22
a2n 0, 方程组(1)只有零解.
an1 an2
ann
定理2
向量组 1, 2, , m (m 2)线性相关
1, 2,
,
中至少有一个向量可
m
由其余向量线性表示.
证明 充分性
设 a1 , a2 ,, am 中有一个向量（比如 am）
能由其余向量线性表示. 即有
向量组线性表示.
例4 将向量 (1, 0, 4)T 用向量组1 (0,1,1)T ,
2 (1, 0,1)T ,3 (1,1, 0)T 线性表出.
解 设x11 x22 x33 , 即
0x1 1x2 1x1 0x2
1x3 1x3
1, 0,
1x1 1x2 0x3 4,
解得x1
l11 l22 lmm ,
(k1 l1)1 (k2 l2 )2 (km lm )m 0,
1,2 ,
,
线性无关,
m
表示式唯一. Page56 例6； Page57. 例8； Page59. 例9
四、小结
１. 线性组合与线性表示的概念；
２. 线性相关与线性无关的概念；（重点）
３. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 两个定理．（难点）
因k1 , k2 ,, km 中至少有一个不为0，
不妨设 k1 0,则有
1
k2 k1
2
k3 k1
3
km k1
m
.
即 1 能由其余向量线性表示.
定理2也可叙述为：
向量组 1, 2, , m (m 2)线性无关
1, 2,
,
中任何一个向量都不
m
可由其余向量线性表示.
定理3 若向量组 A：1,2, ,m 线性相关,则
1．集合V 对于加法及乘数两种运算封闭指
若 V , V , 则 V ; 若 V , R, 则 V .
2．n 维向量的集合是一个向量空间,记作Rn.
例1 3 维向量的全体R3 ,是一个向量空间.
因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量, 数
乘3维向量仍然是3维向量，它们都属于R3 .
例2 称1 (1, 0, , 0),2 (0,1, , 0), , n (0, , 0,1)为n维单位坐标向量组， 求a11 a22 an n.
例1 任意一个n维向量 (a1, a2 , , an )都能由
n维单位坐标向量组
1 (1, 0, , 0),2 (0,1, , 0), ,n (0, , 0,1)
线性表示,即 a11 a12 ann.
例2 零向量可由任何同维的向量组线性表出．
例3 向量组1, 2, …, m中任一向量都可由这个
一、线性组合
定义5 给定n维向量组1,2,
如果存在一组数x1, x2 , , xs使
x11 x22
,s和向量 , xss ,
则称向量为向量组1,2, ,s的一个线性组合, 或称向量能由向量组1,2 , ,s线性表示
(or线性表出).
即线性方程组 x11 x22 xss 有解.
说明 一个向量组若有线性相关的部分组，则 该向量组线性相关. 反之，若一个向量组线性无关，则它的任何 部分组都线性无关.
“部分相关，则整体相关.”
“整体无关，则部分无关.”
定理4 设向量组A :1,2 , ,m线性无关,而向量
组B :1, ,m, 线性相关,则向量 必能由向量
组A线性表示, 且表示式是唯一的.
解 a11 a12 ann
a1(1, 0, , 0) a2 (0,1, , 0) an (0, 0, ,1)
(a1, 0, , 0) (0, a2, 0, , 0) (0, , 0, an )
(a1, a2 , , an ).
四、小结
１．n 维向量的概念； ２．向量的线性运算； ３．向量空间的概念。
a1n a2n
am1 am2 amj amn
即A (1, 2, , n ).
向量组 1, 2 , , n称为A的列向量组.
类似地,
矩阵A
(aij
) mn
又有m个n维行向量
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
A ai1
ai2
ain
am1 am2 amn
证 1,2 , ,m,线性相关,
存在不全为0的数k1, k2 , , km,k,使
k11 k22 kmm k =0. (1)
若k 0,则(1)式变为 k11 k22 kmm =0.
从而1,2 ,
,
线性相关,与已知条件矛盾.
m
k 0, 于是
下证的表示式是唯一的.
设 k11 k22 kmm,
3.含零向量的向量组必线性相关；
4.两个非零向量 , 线性相关
它们的对应分量成比例.
特别在R3中：
(1)线性相关 0; (2), 线性相关 平行于
它们的对应分量成比例.
(3), ,线性相关 , , 共面 , , 0.
例5 证
例6
已知向量组 1, 2, 3 线性无关 , 1 1 2,
称为n维行向量，其中ai称为该向量的
第i个分量.
常用小写的希腊字母, , 表示向量.
a1
类似地,称
=
ห้องสมุดไป่ตู้a2
为n维列向量.
an
向量、向量组与矩阵
若干个同维数的列(或行)向量所组成的集合 叫做向量组．
例如 矩阵A (aij)mn有n个m维列向量
a11
A
a21
a12 a22
a1 j a2 j
向量组的等价具有性质 : 1)反身性 ( A) ( A); 2)对称性 若( A) (B),则(B) ( A); 3)传递性 若( A) (B), (B) (C),则( A) (C).
二、向量组的线性相关性
定义7 给定n维向量组1,2, ,s ,如果存
在一组不全为零的数x1, x2, , xs使
向量组的线性相关性
1.1 n 维向量及其运算 1.2 线性相关性 1.3 极大线性无关组
返回
1.1 n 维向量及其运算
一、n维向量的概念 二、向量的线性运算 三、向量空间的概念
返回
一、 n 维向量的概念
n 个数 a1, a2 , , an 组成的有序数组
(a1, a2 , , an )
线性表示,且s t,则1,2,
,
必线性相关；
s
例如,若向量组1,2,3可由向量组1, 2线性表示, 即, j k1 j 1 k2 j 2 ( j 1, 2,3),
下面只需证:存在不全为0的数x1, x2, x3,使得
1
即A
2
.
m
向量组 1, 2, , m称为A的行向量组.
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量组1, 2, , m
构成一个n m矩阵
m个n维行向量所组成 的向量组 1, 2 , , m ,构成 一个m n矩阵
二、 向量的线性运算
设n维 (a1, a2, , an ), (b1, b2,
1.3 极大线性无关组
一、极大线性无关组 二、向量组的秩的性质 三、向量组的秩与矩阵的秩 四、小结
返回
例 1 =(1,0,1), 2 =(1,-1,1), 3 =(2,0,2) . 1, 2, 3 线性相关. 1, 2 线性无关； 2, 3 线性无关.
最大线性无关组
一、极大线性无关组
定义8 设向量组(A) :1,2,
,
线性无关定义为:
s
对任何一组不全为零的数x1, x2, , xs,必有
x11 x22 xss 0,
亦即,若x11 x22 xss 0,则必有
x1 x2 xs 0.
注意：
1.对于任一向量组, 不是线 性相关,就是线性 无关；
2.一个向量线性相关(无关) 0( 0);
(1)向量相等： ai bi ;
零向量： 0 (0,0, ,0).
, bn ), k为实数,
负向量： (a1, a2, , an ).
(2)向量加法： (a1 b1, a2 b2 , , an bn ); (3)数乘向量：k (ka1, ka2 , , kan ).
向量的线性运算满足的运算律：
,
的一个部分组
s
i1,i2 , ,ir满足 : (1)i1,i2 , ,ir线性无关; (2) j ( A), j都可由i1,i2 ,
,ir线性表示,
or(2) j ( A),i1,i2 ,
,
ir
,
线性相关,
j
则称i1,i2, ,ir是( A)的一个极大线性无关组.
数r称为此向量组的秩,记为R(1,2, ,s ).
5 2
,
x2
3 2
,
x3
5 2
,
5 2
1
3 2
2
5 2
3.
定义6 设有两个n维向量组
( A) : 1,2, ,s , (B) : 1, 2, , t .
如果( A)组中每一个向量i (i 1, 2, , s)
都能由向量组( B)线性表示, 则称 向量组( A)可以由向量组(B)线性表示.
如果两个向量组( A), (B)可以互相线性表示, 则称向量组(A)与向量组(B)等价,记为(A) (B).
注：由零向量构成的向量组的秩规定为零.
注： (1) 极大线性无关组一般不唯一，但秩是唯一的；
(2) 一线性无关向量组的极大线性无关组就是 它本身；
(3) 向量组的任一极大线性无关组与该向量组 等价；
(4) 向量组的所有极大线性无关组等价．
定理5
如果向量组1,2, ,s可由向量组1, 2, , t
思考题
若一个本科学生大学阶段共修36门课程,为 了描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一 个向量来表示，这个向量是几维的？
思考题解答
答 36维的．如果我们还需要考察其它指标， 比如平均成绩、总学分等，维数还将增加．
1.2 向量组的线性相关性
一、线性组合 二、线性相关性的概念 三、线性相关性的判定 四、小结
因
1，
2，
线性无关，故有
3
x1 x3 0,
x1 x2 0,
x2 x3 0.
由于此方程组的系数行列式 1 01 1 1 0 20 011
故方程组只有零解 x1 x2 x3 1, 2, 3线性无关.
0, 所以向量组
三、线性相关性的判定
定理1
设有n个n维向量i (ai1, ai2 , , ain )(i 1, 2,
(1) ;
(2)( ) ( );
(3) 0 ;
(4) () 0;
(5)1 ; (6)k(l) l(k) (kl);
(7)k( ) k k; (8)(k l) k l.
三、向量空间的概念
定义4 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合V非空，
且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合 V为向量空间． 说明
am 11 2 2 m1 m1
故 11 22 m1 m1 1am 0
因 1 , 2 ,, m1 , 1 这 m 个数不全为0，
故 1 ,2 ,,m线性相关.
必要性 设 1 ,2 ,,m 线性相关，
则有不全为0的数 k1 , k2 ,, km , 使
k11 k22 kmm 0.
x11 x22 xss 0, 则称向量组1,2 , ,s线性相关;
否则称它们线性无关.
不存在不全为零的数x1, x2, , xs使
x11 x22 xss 0,
不存在不全为零的数x1, x2, , xs使
x11 x22 xss 0,
等价地,向量组1 , 2 ,
2 2 3, 3 3 1,试证: 1, 2 , 3线性无关.
证 设有x1, x2 , x3使x1 1 x2 2 x3 3 0,
即 x（1 1 2） x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0, 亦即（ x1 x3 )1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0,
则向量组1
,
，
2
,n线性无关
由1,
，
2
,n构成的n阶行列式
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n 0.
, n)，
an1 an2
ann
x11 x22 xnn 0,
a11x1 a21x2 a12 x1 a22 x2 a1n x1 a2n x2
an1xn 0, an2xn 0, (1)