中考数学第十一单元四边形课标解读典例诠释复习1

第十一单元四边形
第一节多边形与平行四边形
课标解读
知识要点
1.多边形的内角和与外角和
(1)n边形内角和为；多边形外角和为 .
(2)如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加，外角和 .
2.正多边形
定义：各个角，各条边的多边形叫做正多边形.
对称性：正多边形都是对称图形，边数为偶数的正多边形也是对称图形.
3.平行四边形
(1)定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
(2)性质：
①平行四边形的对边；
②平行四边形的对角，邻角；
③平行四边形的对角线；
(3)平行四边形的对称性：，是它的对称中心；
(4)平行四边形的面积：；同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积．
(5)平行四边形的判定方法
①两组对边分别的四边形是平行四边形(定义)；
②两组对边分别的四边形是平行四边形；
③一组对边的四边形是平行四边形；
④对角线的四边形是平行四边形.
典例诠释
考点一多边形的内角和与外角和
例1 正十边形的每个外角等于( )
A．18°B．36°C．45°D．60°
【答案】 B
【名师点评】根据正多边形的每一个外角等于多边形的外角和除以边数，计算即可得解．例2 (2016·丰台一模)如图1-11-1，在同一平面内，将边长相等的正三角形、正五边形的一边重合，则∠1= °.
图1-11-1
【答案】 48
【名师点评】此题先要求出正五边形的每个内角度数(利用多边形的内角和或外角和来求，外角和比较简单，学生应掌握)，从而问题得解.
例3 (2016·燕山一模)如图1-11-2，一个正n边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角是40°，那么n＝．
图1-11-2
【答案】 9
考点二平行四边形性质与判定的综合应用，四边形的计算
例4 (2016·平谷一模)如图1-11-3，ABCD中点E是BC边的一点，将边AD延长至点F，使∠AFC=∠DEC，连接CF，DE．
(1)求证：四边形DECF是平行四边形；
(2)若AB=13，DF=14，tan A=，求CF的长．
图1-11-3
(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠ADE=∠DEC．
∵∠AFC=∠DEC，∴∠AFC=∠ADE，
∴DE∥FC．∴四边形DECF是平行四边形．
(2)【解】如图1-11-4,过点D作DH⊥BC于点H，
图1-11-4
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD=∠A，AB=CD=13.
∵ tan A=，AB=13，∴DH=12，CH=5．
∵DF=14，∴CE=14，∴EH=9．
∴ED==15，∴CF=DE=15．
【名师点评】 (1)考查平行四边形的性质和判定，易知AF∥BC，结合条件∠AFC= ∠DEC，可以推导出∠AFC+∠EDF=180°(也可以用内错角和同位角)，从而得到DE∥FC，问题得证，此问解答方法不唯一.
(2)将分散的条件集中到一个三角形里，如△DCF中(或△DEC中)，出现了∠A的正切值，考虑要构造直角三角形，故可以过D点作BC的垂线，从而问题得解.
基础精练
1.(2016·大兴一模)若正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数为( )
【答案】 C
2.(2016·东城一模)已知一个正多边形的每个外角都等于72°，则这个正多边形的边数是 .
【答案】 5
3.(2016·延庆一模)如图1-11-5，AB∥DC，要使四边形ABCD是平行四边形，还需补充一个
．．条件： .
图1-11-5
【答案】AD∥BC或AB=DC或∠A+∠B=180°等
4.(2016·海淀一模)如图1-11-6，在ABCD中，AB=3，BC=5，∠ABC的平分线交AD于点E，则DE的长为( )
图1-11-6
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】 D
5.(2014·河南)如图1-11-7，ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC.若AB=4,AC=6,则BD的长是( )
图1-11-7
【答案】 C
6.(2014·昆明)如图1-11-8，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
图1-11-8
∥CD，AD∥BC=OC，OB=OD
=BC，AB∥CD=CD，AD=BC
【答案】 C
7.(2014·十堰)如图1-11-9，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD 于点E，则△CDE的周长是( )
图1-11-9
【答案】 B
8.(2014·临沂)如图1-11-10，在ABCD中，BC=10，sin B=，AC=BC，则ABCD的面积是 .
图1-11-10
【答案】 18
9.(2014·自贡)一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则它的边数是 . 【答案】 7
10.(2016·海淀二模)如图1-11-11，边长相等的正方形、正六边形的一边重合，则∠1的度数为( )
图1-11-11
°°°°
【答案】 C
11.(2016·西城二模)有一张直角三角形纸片，记作△ABC，其中∠B=90°．按如图1-11-12方式剪去它的一个角(虚线部分)，在剩下的四边形ADEC中，若∠1=165°，则∠2的度数为．
图1-11-12
【答案】105°
12.(2016·通州二模)在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图1-11-13，线段AB，BC，求作：平行四边形ABCD.
图1-11-13
小明的作法如下：
如图1-11-14：(1)以点C为圆心，AB长为半径画弧；
(2)以点A为圆心，BC长为半径画弧；
(3)两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD为所求作平行四边形.
图1-11-14
老师说：“小明的作法正确.”
请回答：小明的作图依据是 .
【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形
13.(2016·房山一模)如图1-11-15，在ABCD中，E为BC中点，过点E作EG⊥AB于G，连接DG，延长DC，交GE的延长线于点H.已知BC＝10,∠GDH=45°，DG=8.求CD的长.
图1-11-15
【解】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD.
∵EG⊥AB于点G，
∴∠BGE=∠EHC=90°.
在△DHG中，∠GHD=90°，∠GDH=45°，DG=8，
∴DH=GH=8．
∵E为BC中点，BC=10，∴BE=EC=5．
∵∠BEG=∠CEH，∴△BEG≌△CEH,
∴GE=HE=GH=4．
在△EHC中，∠H=90°，CE=5，EH=4，
∴CH=3，∴CD=5.
14.(2016·怀柔一模)如图1-11-16，在△ABC中，D为AB边上一点，F为AC的中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE．
(1)求证：四边形ADCE为平行四边形;
(2)若EF=2，∠FCD=30°，∠AED=45°，求DC的长．
图1-11-16
(1)【证明】∵CE∥AB，∴∠DAF=∠ECF.
∵F为AC的中点,∴AF=CF.
在△DAF和△ECF中,
∴△DAF≌△ECF，∴AD=CE．
∵CE∥AB，∴四边形ADCE为平行四边形．
(2)【解】如图1-11-17,作FH⊥DC于点H．
图1-11-17
∵四边形ADCE为平行四边形,∴AE∥DC，DF=EF=2，
∴∠FDC=∠AED=45°．
在Rt△DFH中，∠DHF=90°，DF=2，∠FDC=45°，
∴ sin∠FDC==，得FH=2，tan∠FDC==1，得DH=2．
在Rt△CFH中，∠FHC=90°，FH=2，∠FCD=30°，∴FC=4．
由勾股定理，得HC=2．∴DC=DH+HC=2+2．
15.(2016·昌平二模)在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=4．以OB为边，在△OAB 外作等边△OBC，E是OC上的一点．
(1)如图1-11-18，当点E是OC的中点时，求证：四边形ABCE是平行四边形；
(2)如图1-11-19，点F是BC上的一点，将四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，求OE的长．
图1-11-18 图1-11-19
(1)【证明】如图1-11-18，∵△OBC为等边三角形，∴OC=OB，∠COB=60°.
∵点E是OC的中点,∴EC=OC=OB.
在△OAB中，∠OAB=90°，∵∠AOB=30°，∴AB=OB,∠COA=90°.
∴CE=AB，∠COA+∠OAB=180°，∴CE∥AB,∴四边形ABCE是平行四边形.
(2)【解】如图1-11-19，∵四边形ABCO折叠，点C与点A重合，折痕为EF，
∴△CEF≌△AEF,∴EC=EA.
∵OB=4,∴OC=BC=4.
在△OAB中，∠OAB=90°，
∵∠AOB=30°，∴OA=2.
在Rt△OAE中，由(1)知：∠EOA=90°，
设OE=x，∵ ,∴ +,解得x=,∴OE=.
16.(2016·西城一模)有这样一个问题：如图1-11-20，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究筝形的性质与判定方法．
小南根据学习四边形的经验，对筝形的性质和判定方法进行了探究．
下面是小南的探究过程：
图1-11-20
(1)由筝形的定义可知，筝形的边的性质是：筝形的两组邻边分别相等，关于筝形的角的性质，通过测量，折纸的方法，猜想：筝形有一组对角相等，请将下面证明此猜想的过程补充完整.
已知：如图1-11-20，在筝形ABCD中，AB=AD，CB=CD
求证：．
证明：
由以上证明可得，筝形的角的性质是：筝形有一组对角相等．
(2)连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质：筝形的一条对角线平分另一条对角线．结合图形，写出筝形的其他性质(一条即可)：
.
(3)筝形的定义是判定一个四边形为筝形的方法之一．试判断命题“一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是筝形”是否成立，如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个反例，画出图形，并加以说明．
【解】 (1)已知：如图1-11-21，筝形ABCD中，AB=AD，CB=CD.
求证：∠B=∠D.
图1-11-21
【证明】连接AC.如图1-11-21，
在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC,∴∠B=∠D.
(2)筝形的其他性质：
①筝形的两条对角线互相垂直，
②筝形的一条对角线平分一组对角，
③筝形是轴对称图形，
……
(写出一条即可)
(3)不成立.反例如图1-11-22所示.
图1-11-22
在平行四边形ABCD中，AB≠AD.对角线AC，BD相交于点O，由平行四边形性质可知此图形满足∠ABC=∠平分BD.但是该四边形不是筝形.(答案不唯一)
17.(2014·浙江嘉兴)我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
(1)已知：如图1-11-23，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度数．
图1-11-23
(2)在探究“等对角四边形”性质时：
①小红画了一个“等对角四边形”ABCD(如图1-11-24)，其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论；
图1-11-24
②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．
(3)已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线AC的长．
【解】 (1)∵等对角四边形ABCD中，∠A≠∠C，∴∠D=∠B=80°，
∴∠C=360°－70°－80°－80°=130°.
(2)①如图1-11-25，连接BD.
图1-11-25
∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB.
∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC－∠ABD=∠ADC－∠ADB，
∴∠CBD=∠CDB，∴CB=CD，
②不正确.
反例：如图1-11-26，∠A=∠C=90°，AB=AD.但CB≠CD.
图1-11-26 图1-11-27
(3)①如图1-11-27，当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E.
∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，
∴AE=10，∴DE=AE－AD=10－4=6.
∵∠EDC=90°，∠E=30°，∴CD=2，
∴AC===2，
②如图1-11-28，当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
图1-11-28
∵DE⊥AB，∠DAB=60°,AD=4，∴AE=2，DE=2，
∴BE=AB－AE=5－2=3.
∵四边形BFDE是矩形，∴DF=BE=3，BF=DE=2.
∵∠BCD=60°，∴CF=，
∴BC=CF+BF=+2=3，∴AC===2.
18.(2016·东城一模)在课外活动中，我们要研究一种四边形——筝形的性质.
定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形(如图1-11-29①).
小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究.
①②
图1-11-29
下面是小聪的探究过程，请补充完整：
(1)根据筝形的定义，写出一种你学过的四边形满足筝形的定义的是；
(2)通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对筝形性质的猜想，并选取其中的一条猜想进行证明；
(3)如图1-11-29②，在筝形ABCD中，AB=4，BC=2，∠ABC=120°，求筝形ABCD的面积. 【解】 (1)菱形(正方形).
(2)它是一个轴对称图形；一组对角相等；一条对角线所在的直线垂直平分另一条对角线.(写
出其中的两条就行)
已知：筝形ABCD.
求证：∠B=∠D.
证明:连接AC,如图1-11-30.
图1-11-30
∵AB=AD,CB=CD,AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，∴∠B=∠D.
(3)过点C作CE⊥AB交AB的延长线于E.
∵∠ABC=120°，∴∠EBC=60°.
又∵BC=2，∴BE=1，CE=.
∴=2××AB·CE=2××4×=4.
真题演练
1.(2016·北京)内角和为540°的多边形是( )
A B C D
【答案】 C
2.如图1-11-31，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E.求证：DA=DE.
图1-11-31
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，∴AB∥DE，∴∠AED=∠BAE.
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD，
∴∠EAD=∠AED，∴DA=DE.
3.(2015·北京)图1-11-32是由射线AB，BC，CD，DE组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+ ∠4+∠5= ．
图1-11-32
【答案】360°
第二节特殊的平行四边形
课标解读
知识要点
1.矩形
(1)定义：有一个角是直角的叫做矩形．
(2)性质：
①具有平行四边形的所有性质; ②对角线 ;③四个角都是直角.
(3)矩形的对称性：既是中心对称图形又是轴对称图形，它有对称轴．
(4)矩形的面积： .
(5)矩形的判定方法
①的平行四边形；②对角线的平行四边形；③有三个角是直角的四边形．
图1-11-33
2.菱形
(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
(2)性质：
①具有平行四边形的一切性质;②都相等;
③两条对角线，并且 .
(3)菱形的对称性：既是中心对称图形又是轴对称图形，其对称轴为对角线所在的直线．
(4)菱形的面积:
方法1：= ; 方法2：= .
(5)菱形的判定方法：
①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等的四边形．
图1-11-34
3.正方形
(1)定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
拓展: 正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．
(2)性质：
①边——四条边都相等，邻边垂直，对边平行;
②角——四个角都是直角;
③对角线——相等;互相垂直平分；每一条对角线平分一组对角．
(3)正方形的对称性：是轴对称图形，有___条对称轴；又是中心对称图形，对称中心就是两条对角线的交点．
(4)正方形的面积:
方法1：= ; 方法2：= .
(5)正方形的判定方法：
①根据定义；
②有一组邻边相等的矩形是正方形；
③有一个角是直角的菱形是正方形.
图1-11-35
典例诠释
考点一特殊平行四边形的对称性
例1 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A.等边三角形
B.平行四边形
C.梯形
D.矩形
【答案】 D
【点评】本题主要考查中心对称图形与轴对称图形的概念，找轴对称图形的关键是寻找对
称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；找中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
例2 (2016·房山一模)有五张形状、大小、质地都相同的卡片，这些卡片上面分别画有下列图形：①正方形；②等边三角形；③平行四边形；④等腰三角形；⑤圆.
将卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，抽出的纸片正面图形是轴对称图形，但不是中心对称图形的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】 B
【名师点评】准确理解轴对称图形和中心对称图形的概念和性质，注意②不是中心对称图形，③不是轴对称图形.
考点二运用特殊平行四边形性质进行简单计算
例3 如图1-11-36,菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝ .
图1-11-36
【答案】
【名师点评】此题考查菱形的性质、勾股定理、“双垂直”的基本图形，学生要熟练掌握，求OH的长可利用“等面积法”求解.学生最好能记住“双垂直图形”中的四个常见等积式. 考点三特殊平行四边形性质与判定的综合应用
例4 (2016·东城一模)如图1-11-37，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E(尺规作图的痕迹保留在图中了)，连接EF．
图1-11-37
(1)求证：四边形ABEF为菱形；
(2)AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．
【证明】由尺规作∠BAD的平分线的过程可知，AB=AF，且∠BAE=∠FAE.
又∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠FAE=∠AEB.
∴∠BAE=∠AEB.∴AB=BE.∴BE=FA.
∴四边形ABEF为平行四边形.∴四边形ABEF为菱形.
(2)【解】∵四边形ABEF为菱形，∴AE⊥BF，OB=BF=3，AE=2AO.
在Rt△AOB中，AO==4.∴AE=2AO=8.
【名师点评】此题结合尺规作图，考查了菱形的判定和性质，准确记忆和应用菱形的判定和性质是关键.
考点四利用特殊平行四边形性质简拼图形
例5 问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1-11-38，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形．
图1-11-38
小东同学的做法是：设新正方形的边长为x(x>0). 依题意，割补前后图形面积相等, 有=5, 解得x=．由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图1-11-39所示的分割线，拼出如图1-11-40所示的新正方形．
图1-11-39 图1-11-40
请你参考小东同学的做法，解决如下问题：
(1) 如图1-11-41是由边长为1的5个小正方形组成，请你通过分割，把它拼成一个正方形(在图1-11-41上画出分割线，并在图1-11-41的右侧画出拼成的正方形简图)；
(2)如图1-11-42，是由边长分别为a和b的两个正方形组成，请你通过分割，把它拼成一个正方形(在图1-11-42上画出分割线，并在图1-11-42的右侧画出拼成的正方形简图).
图1-11-41 图1-11-42
【答案】如图1-11-43所示.
图1-11-43
【名师点评】分割图形和图形的重新组合问题由于解题策略多样，方法多样，剪裁线的不定性，使得组合图形变得多姿多彩，对于图形面积的思考是解题关键.
基础精练
1.(2016·顺义二模)四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如图1-11-44所示的四个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张卡片，则抽出的卡片上的图形是轴对称图形的概率为( )
图1-11-44
A. B. C.
【答案】 A
2.(2016·平谷二模)如图1-11-45，已知：矩形ABCD中对角线AC，BD交于点O，E是AD中点，连接OE.若OE=3，AD=8，则对角线AC的长为( )
图1-11-45
【答案】 D
3.(2016·昌平二模)为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具(如图1-11-46中左图)：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C、B与D两点之间分别
用一根橡皮筋拉直固定. 课上，李老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC(如图1-11-46中右图). 观察所得到的四边形，下列判断正确的是
图1-11-46
A．∠BCA＝45°B．BD的长度变小C．AC＝BD D．AC⊥BD
【答案】 C
4.(2016·石景山一模)如图1-11-47，方格纸中有一四边形ABCD(A，B，C，D四点均为格点)，若方格纸中每个小正方形的边长为1，则该四边形的面积为 .
图1-11-47
【答案】 12
5.(2014·西城一模)如图1-11-48，菱形ABCD中，∠DAB=60°，DF⊥AB于点E，且DF=DC，连接FC，则∠ACF的度数为度.
图1-11-48
【答案】 15
6.(2014·房山一模)如图1-11-49,在边长为9的正方形ABCD中, F为AB上一点,连接CF.过点F作FE⊥CF,交AD于点E，若AF＝3,则AE等于( )
图1-11-49
【答案】 C
7.(2014·大兴一模)若菱形两条对角线的长分别为10 cm和24 cm，则这个菱形的周长为( )
cm cm cm cm
【答案】 D
8.(2014·大兴一模)已知正方形ABCD的边长为2，E为BC边的延长线上一点，CE＝2，连接AE与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为 .
【答案】
9.(2014·海淀二模)已知一个菱形的周长是20 cm，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是( )
【答案】 B
10.(2014·珠海)边长为3 cm的菱形的周长是( )
cm cm cm cm
【答案】 C
11.(2014·娄底)如图1-11-50，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是(添加一个条件即可)．
图1-11-50
【答案】AC=BD
12.(2014·陕西)如图1-11-51，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为( )
图1-11-51
B. C.
【答案】 C
13.(2014·淄博)如图1-11-52，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点C，则矩形的一边AB的长度为( )
图1-11-52
B. C.
【答案】 C
14.(2014·兰州)下列命题中正确的是( )
A．有一组邻边相等的四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线垂直的平行四边形是正方形D．一组对边平行的四边形是平行四边形
【答案】 B
15.(2014·吉林)如图1-11-53，四边形ABCD、AEFG是正方形，点E、G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC，交BC于点H.若AB=4，AE=1，则BH的长为( )
图1-11-53
【答案】 C
16.(2014·青岛)如图1-11-54，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，若AB＝6，BC＝9，则BF的长为( )
图1-11-54
【答案】 A
17.(2016·房山二模)已知，如图1-11-55，四边形ABCD是平行四边形，延长边AB到点E，使BE＝AB，连接DE、BD和EC，设DE交BC于点O，∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
图1-11-55
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥CD，∠A＝∠BCD.
∵BE=AB，∴BE∥CD，BE=DC.
∴四边形BECD为平行四边形．∴OD=DE，OC=BC.
又∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD＋∠ODC，
∴∠OCD＝∠ODC，∴OC＝OD.∴DE=BC.
∴平行四边形BECD为矩形．
18.(2016·丰台一模)如图1-11-56，在ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，AE与BF相交于点O，连接EF．
(1)求证：四边形ABEF是菱形；
(2)若AE=6，BF=8，CE=3，求ABCD的面积．
图1-11-56
(1)【证明】在ABCD中，
∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB.
∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE=∠BAE.
∴∠BAE=∠BEA.∴AB=BE.
同理可得AB=AF.∴AF=BE.
∴四边形ABEF是平行四边形.
∴ABEF是菱形.
(2)【解】如图1-11-57，过F作FG⊥BC于G.
图1-11-57
∵ABEF是菱形，AE=6，BF=8，
∴AE⊥BF，OE=AE=3，OB=BF=4.∴BE==5.
∵ =AE·BF=BE·FG,
∴FG=，∴ =BC·FG=.
19. (2016·海淀一模)如图1-11-58，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作AC 的平行线交DC的延长线于点E.
(1)求证：BD=BE；
(2)若BE=10，CE=6，连接OE，求tan∠OED的值.
图1-11-58
(1)【证明】∵四边形ABCD为矩形，
∴AC＝BD,AB∥DC.
∵AC∥BE，∴四边形ABEC为平行四边形.
∴AC=BE，∴BD=BE.
(2)【解】如图1-11-59，过点O作OF⊥CD于点F.
图1-11-59
∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD=90°.
∵BE=BD=10，∴CD=CE=6.
同理，可得CF=DF=CD=3，∴EF=9.
在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC=8.
∵OB=OD，∴OF为△BCD的中位线.∴OF=BC=4.
∴在Rt△OEF中，tan∠OED==.
20.(2016·海淀二模)如图1-11-60，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，过点D作DE⊥BC于E，过点C作AB的平行线与DE的延长线交于点F，连接BF，AE．
(1)求证：四边形BDCF为菱形；
(2)若四边形BDCF的面积为24，tan∠EAC=，求CF的长.
图1-11-60
(1)【证明】∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC．
∵DE⊥BC，
∴AC∥DE．
又∵CF∥AD，
∴四边形ACFD为平行四边形，∴AD=CF.
∵CD为AB边上的中线，
∴AD=BD，∴BD=CF.
∴四边形BDCF为平行四边形.
∵DE⊥BC，∴四边形BDCF为菱形.
(2)【解】在Rt△ACE中，
∵ tan∠EAC==，
∴设CE=2x,AC=DF=3x.
∵菱形BDCF的面积为24，
∴DF·BC=24,∴DF·EC=24,
∴ 3x·2x=24,∴ =2,=－2(舍去).
∴CE＝4，EF＝DF＝3，∴CF=5.
21.(2016·门头沟一模)如图1-11-61，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，过E作EF⊥AD于F，连接BF交AE于P，连接PD．
图1-11-61
(1)求证：四边形ABEF是正方形；
(2)如果AB=4，AD=7，求tan∠ADP的值．
(1)【证明】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠FAB=∠ABE=90°，AF∥BE．
又∵EF⊥AD，
∴∠FAB=∠ABE=∠AFE=90°,
∴四边形ABEF是矩形．
又∵AE平分∠BAD，AF∥BE，
∴∠FAE=∠BAE=∠AEB，∴AB=BE．
∴四边形ABEF是正方形．
(2)【解】如图1-11-62，过点P作PH⊥AD于H．
图1-11-62
∵四边形ABEF是正方形，
∴BP=PF，BA⊥AD，∠PAF=45°．
∴AB∥PH．
∵AB=4，∴AH=PH=2．
∵AD=7，∴DH=AD－AH=7－2=5．
在Rt△PHD中，∠PHD=90°,
∴ tan∠ADP==．
22.(2016·石景山一模)如图1-11-63，在△ABC中，∠ABC=90°，过点B作AC的平行线交∠CAB的平分线于点D，过点D作AB的平行线交AC于点E，交BC于点F，连接BE，交AD
于点G．
(1)求证：四边形ABDE是菱形；
(2)若BD=14，cos∠GBH=，求GH的长．
图1-11-63
(1)【证明】∵AC∥BD，AB∥ED，
∴四边形ABDE是平行四边形．
∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD．
∵AC∥BD，∴∠CAD=∠ADB．
∴∠BAD=∠ADB，∴AB=BD．
∴四边形ABDE是菱形．
(2)【解】∵∠ABC=90°，
∴∠GBH+∠ABG=90°．
∵AD⊥BE，
∴∠GAB+∠ABG=90°,
∴∠GAB=∠GBH,
∵ cos∠GBH=，
∴ cos∠GAB=．
∴ ==．
∵四边形ABDE是菱形，BD=14,
∴AB=BD=14,
∴AH=16，AG=,
∴GH=AH－AG=.
23.(2016·石景山二模)如图1-11-64，CD垂直平分AB于点D，连接CA，CB，将BC沿BA 的方向平移，得到线段DE，交AC于点O，连接EA，EC．
图1-11-64
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
(2)若CD=1，AD=2，求sin∠COD的值．
(1)【证明】由已知得BD∥CE，BD=CE．
∵CD垂直平分AB，
∴AD=BD，∠CDA=90°．
∴AD∥CE，AD=CE．
∴四边形ADCE是平行四边形．
∴平行四边形ADCE是矩形．
(2)【解】如图1-11-65，过D作DF⊥AC于F，
图1-11-65
在Rt△ADC中，∠CDA=90°，
∵CD=1，AD=2，
由勾股定理可得AC=．
∵O为AC中点，∴OD=．
∵AC·DF=AD·DC，∴DF=．
在Rt△ODF中，∠OFD=90°，
∴ sin∠COD==.
24.(2016·东城二模)如图1-11-66，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，
另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的等腰三角形．(要求：画出三个
．．大小不同，符合题意的等腰三角形，只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)
图1-11-66
【解】满足条件的所有图形如图1-11-67所示：
①②③④⑤
图1-11-67
25.(2016·石景山二模)阅读下面材料：
小骏遇到这样一个问题：画一个和已知矩形ABCD面积相等的正方形．
小骏发现：如图1-11-68，延长AD到E，使得DE=CD，以AE为直径作半圆，过点D作AE的垂线，交半圆于点F，以DF为边作正方形DFGH，则正方形DFGH即为所求．
请回答：AD，CD和DF的数量关系为 .
图1-11-68
参考小骏思考问题的方法，解决问题：
画一个和已知ABCD面积相等的正方形，并写出画图的简要步骤．
【解】 =AD·CD.
解决问题：
方法一：过点A作AM⊥BC于点M，延长AD到E，
使得DE=AM，以AE为直径作半圆，过点D作AE的垂线，交半圆于点F，以DF为边作正方形DFGH，正方形DFGH即为所求．如图1-11-69.
图1-11-69
方法二：如图1-11-70，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC交BC延长线于点N，将平行四边形转化为等面积矩形后同小骏的画法．
图1-11-70
真题演练
1.(2015·北京)如图1-11-71，在ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF，BF.
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB.
图1-11-71
【证明】 (1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB,即DF∥BE.
又∵DF=BE,∴四边形DEBF为平行四边形.
又∵DE⊥AB,即∠DEB=90°,
∴四边形BFDE为矩形.
(2)∵四边形BFDE为矩形，∴∠BFD=90°.
∵∠BFC+∠BFD=180°,∴∠BFC=90°.
在Rt△BFC中，∵CF=3,BF=4,
∴BC===5.
∴AD=BC=5.
∵DF=5,∴AD=DF=5,∴∠DAF=∠DFA.
∵∠DFA=∠FAB,∴∠DAF=∠FAB,
即AF平分∠DAB.
2.(2014·北京)如图1-11-72，在ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD.
(1)求证：四边形ABEF是菱形；
(2)若AB=4,AD=6,∠ABC=60°，求tan∠ADP的值.
图1-11-72
(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,∴∠FAE=∠AEB.
∵AE平分∠BAD,∴∠FAE=∠BAE,
∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE.
同理可得AF=AB.∴AF=BE.
∵AD∥BC,∴四边形ABEF是平行四边形.
又∵AB=BE，∴平行四边形ABEF是菱形.
(2)【解】如图1-11-73，作PH⊥AD于H.
图1-11-73
∵四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABE是等边三角形.
∴∠PAH=60°，
∴PA=AE=AB=2.
在Rt△PAH中，PH=2sin 60°=，AH=2cos 60°=1,
∴DH=AD－AH=6－1=5.
∴ tan∠ADP==.
3.(2013·北京)如图1-11-74，在ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连接DE，CF.
(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；
(2)若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长.
图1-11-74
(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,AD=BC.
∵F是AD的中点，∴FD=AD.
∵CE=BC,∴FD=CE.
∵FD∥CE,∴四边形CEDF是平行四边形.
(2)【解】如图1-11-75，过点D作DG⊥CE于点G.
图1-11-75
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD,CD=AB=4,
BC=AD=6.∴∠1=∠B=60°.
在Rt△DGC中，∠DGC=90°,
∴CG=CD·cos∠1=2,DG=CD·sin∠1=2.
∵CE=BC=3,∴GE=1.
在Rt△DGE中，∠DGE=90°,
∴DE==.
4.(2013·北京)如图1-11-76，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，
AD=12，则四边形ABOM的周长为 .
图1-11-76
【答案】 20。