直线的点斜式方程 课件(共24张PPT)-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

( x, y) 满足的关系式？
如图，设 P( x ，y) 是直线 l 上不同于点 P0 的任意一点，因为直线 l 的斜
率为 k，由斜率公式得 k
y y0
，即 y y0 k ( x x0 ) .
x x0
由上述推导过程可知：
（1）直线 l 上每一个点的坐标(x，y)都满足关系式 y y0 k ( x x0 ) ；
4
4
8
−1=
( − 2)
15
的 2 倍，则直线 l 的点斜式方程为__________________.
解析：由 y
1
3
1
1
3
x ，得斜率为 ，设直线 y x 的倾斜角为 ，直线 l
4
4
4
4
4
的倾斜角为 ，斜率为 k，则 tan
1
2 tan
8
， k tan tan 2
轴上的截距.这样，方程 y kx b 由直线的斜率 k 与它在 y 轴上的
截距 b 确定，我们把方程 y kx b 叫做直线的斜截式方程，简称
斜截式.其中，k 是直线的斜率，b 是直线在 y 轴上的截距.
思考：方程 y kx b 与我们学过的一次函数表达式类似.我
们知道，一次函数的图象是一条直线，你如何从直线方程的角度
3
直线的点斜式方程和斜截式方程.
对于直线 l1 : y k1 x b1 ，
l2 : y k2 x b2 ，
l1
l2 k1 k2 ，且 b1 b2 ；
l1 l2 k1k2 1 .
1. 已知直线的方程为 y 2 x 1，则( C )
A.该直线过点 1, 2 ，斜率为 1
（1） l1
l2 的条件是什么？（2） l1 l2 的条件是什么？
（1）若 l1
解：
l2 ，则 k1 k2 ，此时 l1 ，l2 与 y 轴的交点不同，
即 b1 b2 ；反之，若 k1 k2 ，且 b1 b2 ，则 l1
l2 .
（2）若 l1 l2 ，则 k1k2 1 ；反之，若 k1k2 1 ，则 l1 l2 .
认识一次函数 y kx b ？你能说出一次函数 y 2 x 1， y 3x
及 y x 3 图象的特点吗？
对于 y kx b ，当 k 0 时， y kx b 表示 y 是 x 的一次函数；
当 k 0 时， y b 是一个常数函数.k 表示直线的斜率，b 表示直线
4) ，
过 P0 ， P1 两点的直线即为所求，如图所示.
下面来看点斜式的一种特殊情形：如果斜率为 k 的直线 l 过点
P0 (0 ，
b) ，这时 P0 是直线 l 与 y 轴的交点，代入直线的点斜式方程，
得 y b k ( x 0) ，即 y kx b .
我们把直线 l 与 y 轴的交点 (0 ，b) 的纵坐标 b 叫做直线 l 在 y
对于 D 选项，由 l1 得 a 0, b 0 ，而由 l2 得 a 0, b 0 .故选 D.
3. 已知直线 l 过点 3,0 ，且与直线 y 1 2 x 垂直，则直线 l 的方程
为( B )
1
A. y ( x 3)
2
1
B. y ( x 3)
B.该直线过点 1, 2 ，斜率为 1
C.该直线过点 1, 2 斜率为 1
D.该直线过点 1, 2 ，斜率为 1
解析：直线的方程可化为点斜式 y (2) [ x (1)] ，
故直线过点 (1, 2) ，斜率为 1 .
2. 直线 l1 : y ax b 与直线 l2 : y bx a(ab 0) 在同一平面直角坐标系内的
（2）坐标满足关系式 y y0 k ( x x0 ) 的每一个点都在直线 l 上.
若点 P1 ( x1 ，y1 ) 的坐标 x1 ，y1 满足关系式 y y0 k ( x x0 ) ，则
y1 y0 k ( x1 x0 ) .
当 x1 x0 时， y1 y0 ，这时点 P1 与 P0 重合，显然有点 P1 在直线 l 上；
k 确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.
思考：
（1）当直线 l 的倾斜角为 0°时，直线 l 的方程是什么？
（2）当直线 l 的倾斜角为 90°时，直线 l 的方程是什么？
如下图，当直线 l 的倾斜角为 0°时， tan0 0 ，即 k 0 ，这时
直线 l 与 x 轴平行或重合，直线 l 的方程是 y y0 0 ，即 y y0 .
如下图，当直线 l 的倾斜角为 90°时，由于 tan90 无意义，直线
没有斜率，这时直线 l 与 y 轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表
示.又因为这时直线 l 上每一点的横坐标都等于 x0 ，所以它的方程是
x x0 0 ，即 x x0 .
例 1 直线 l 经过点 P0 (2 ，
2
1
C. y ( x 3)
2
1
D. y ( x 3)
2
1
解析：因为直线 y 1 2 x 的斜率为 2，所以直线 l 的斜率为 .又直线 l
2
过点 3,0 ，故所求直线的方程为 y
1
x 3 ，选 B.
2
1
3
4. 已知直线 l 过点 P(2,1) ，且直线 l 的倾斜角为直线 y x 的倾斜角
3) ，且倾斜角 45 ，求直线 l 的点斜式
方程，并画出直线 l.
解：直线 l 经过点 P0 (2 ，
3) ，斜率 k tan 45 1 ，
代入点斜式方程得 y 3 x 2 .
画图时，只需再找出直线 l 上的另一点 P1 ( x1 ，y1 ) ，
例如，取 x1 1 ，则 y1 4 ，得点 P1 的坐标为 (1，
在 y 轴上的截距.
y 2 x 1表示斜率为 2，在 y 轴上的截距为-1 的直线； y 3x
表示斜率为 3，在 y 轴上的截距为 0 的直线； y x 3 表示斜率为
-1，在 y 轴上的截距为 3 的直线.
例 2 已知直线 l1 : y k1 x b1 ，
l2 : y k2 x b2 ，试讨论：
直线 l 上；直线 l 上任意一点的坐标一定满足关系式 y y0 k ( x x0 ) .
我们把方程 y y0 k ( x x0 ) 称为过点 P0 ( x0 ，y0 ) ，斜率为 k 的直线 l 的
方程.
方程 y y0 k ( x x0 ) 由直线上一个定点 ( x0 ，y0 ) 及该直线的斜率
图象只可能是( D )
A.
B.
C.
D.
解析：对于 A 选项，由 l1 得 a 0, b 0 ，而由 l2 得 a 0, b 0 ，矛盾；
对于 B 选项，由 l1 得 a 0, b 0 ，而由 l2 得 a 0, b 0 ，矛盾；
对于 C 选项，由 l1 得 a 0, b 0 ，而由 l2 得 a 0, b 0 ，矛盾；
.

2
1 tan 15
4
又直线 l 过点 P(2,1) ，所以直线 l 的点斜式方程为 y 1
8
( x 2) .
15
5. 已知点 A 3,3 和直线 l : y
3
5
x .
4
2
（1）求过点 A 且与直线 l 平行的直线的点斜式方程；
（2）求过点 A 且与直线 l 垂直的直线的点斜式方程.
第二章 直线和圆的方程
2.2 直线的方程
2.2.1 直线的点斜式方程
问题1：确定一条直线需要什么条件？
给定一点和直线的斜率（或倾斜角），就能唯一确定一条直线.
问题 2：在平面直角坐标系中，直线 l 经过点 p0 ( x0 , y0 ) ，且斜率为 k.
怎样用直线上的已知点 p0 ( x0 , y0 ) 和斜率 k 表示出该直线上所有点的坐标
y1 y0
当 x1 x0 时，有 k
，这表明过点 P1 ， P0 的直线 l1 的斜率为 k.
x1 x0
因为直线 l， l1 的斜率都为 k，且都过点 P0 ，所以它们重合.所以，点 P1 在
直线 l 上.
由（1）（2）可得：坐标满足关系式 y y0 k ( x x0 ) 的点一定在
解析：
（1）因为直线 l 的方程为 y
3
5
3
x ，所以该直线的斜率 k ，
4
2
4
3
所以过点 A 3,3 且与直线 l 平行的直线的点斜式方程为 y 3 ( x 3) .
4
4
（2）易知与直线 l 垂直的直线的斜率为 ，所以过点 A 3,3 且与直线
3
4
l 垂直的直线的点斜式方程为 y 3 ( x 3) .