2020年重庆市巴蜀中学高一(下)期中数学试卷

期中数学试卷
题号一二三总分
得分
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知非零实数a＞b，则下列说法一定正确的是（）
A. a2＞b2
B. |a|＞|b|
C.
D. a•c2≥b•c2
2.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是（）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
3.如图：在平行四边形ABCD中，已知，，则
=（）
A. B. C. D.
4.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若向量，
，且，则角C=（）
A. B. C. D.
5.在数列{a n}中：已知a1=1，a n-a n-1=n（n≥2），则数列{a n}的通项公式为（）
A. B.
C. D.
6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，出行健步
不为难，次日脚疼减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”
其大意为：“有一人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚疼每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人最后一天走了（）
A. 6里
B. 12里
C. 24里
D. 36里
7.下列式子的最小值等于4的是（）
A. B. 其中
C. e x+4e-x（x∈R）
D.
8.已知向量，，若，则向量在向量方向上的投影等
于（）
A. B. C. D.
9.等差数列{a n}的公差为d，关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0，9]，则使数列
{a n}的前n项和S n最大的正整数n的值是（）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
10.在R上定义运算a※b=（a+1）b，若存在x∈[1，2]使不等式（m-x）※（m+x）＜4，
成立，则实数m的取值范围为（）
A. （-3，2）
B. （-1，2）
C. （-2，2）
D. （1，2）
11.在△ABC中，已知AB=2，AC=4，若点G、W分别为△ABC的重心和外心，则
=（）
A. 4
B. 6
C. 10
D. 14
12.在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c（a＞b＞c），已知不等式
恒成立，则当实数t取得最大值T时，T cos B的取值范围是（）
A. B. C. D. （2，4）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，已知a=，b=，A=，则
B=______；S△ABC=______．
14.已知向量、满足：，，，则与的夹角的余弦值为______．
15.如图：为了测量河对岸的塔高AB，可以选与塔底B在同一水平
面内的两个测点C与D，现测得CD=200米，且在点C和D测
得塔顶A的仰角分别为45°和30°，又∠CBD=30°，则塔高
AB=______米．
16.在数列{a n}中：已知a1=1，n2a n-S n=n2a n-1-S n-1（n≥2，n∈N*），记b n=，T n为数列
{b n}的前n项和，则T2021=______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知函数f（x）=x2-4x+5（x∈R）．
（1）求关于x的不等式f（x）＜2的解集；
（2）若不等式f（x）＞|m-3|对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
18.已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且a2=4，S4=20．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若{b n}为等比数列，且b1=a1，b4=a8，求数列{b n}的前n项和T n．
19.如图：在平面四边形ABCD中，已知∠B+∠D=π，且
AD=CD=7，AB=5，BC=3．
（1）求角D的大小；
（2）求四边形ABCD的面积．
20.已知{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，满足，且b1=4，
2a2=a1+4．
（1）分别求数列{a n}和{b n}的通项公式．
（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和S n．
21.已知向量，（其中ω＞0），设函数
，且函数f（x）的最小正周期为π．
（1）将函数f（x）的表达式化成f（x）=k sin（mx+φ）+n（其中k、m、n为常数）的形式；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若，且，又，，成等差数列，求△ABC的内切圆的面积．
22.设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且对任意n∈N+恒有
成立；数列{b n}满足：b1=1，且
．
（1）求a1、a2的值及数列{a n}的通项公式；
（2）①记c n=b2n-1+2，证明数列{c n}为等比数列；
②若数列{b n}的前n项和为T n，求T2019的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由非零实数a＞b，取a=1，b=-1，则可排除ABC．
故选：D．
取a=1，b=-1，则可排除ABC，从而得到正确选项．
本题考查了不等式的基本性质，利用特殊值法可排除错误选项，属基础题．
2.【答案】B
【解析】解：A：由于为零向量，不能作为平面内的所有向量的基底；
B：-1×5-2×7≠0，即与不共线，可以作为平面内的所有向量的基底；
C：因为3×10-6×5=0，则，不能作为平面内的所有向量的基底；
D：因为=0，则，不能作为平面内的所有向量的基底；
故选：B．
由于向量基底的条件：不共线的非零向量，然后结合向量平行的坐标表示检验各选项．本题主要考查了向量基地的条件的判断，属于基础试题．
3.【答案】D
【解析】解：==．
故选：D．
由向量加法的三角形法则可得，=，代入可求．
本题主要考查了向量加法的三角形法则的简单应用，属于基础试题．
4.【答案】C
【解析】解：由向量，，且，
所以（a+c）（a-c）-b（a-b）=0，
即a2+b2-c2=ab，
所以cos C===，
又C∈（0，π），
所以C=．
故选：C．
根据平面向量的共线定理和余弦定理求出cos C和角C的值．
本题考查了平面向量的共线定理和余弦定理的应用问题，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：在数列{a n}中：由a1=1，a n-a n-1=n（n≥2），
得a n=（a n-a n-1）+（a n-1-a n-2）+（a n-2-a n-3）+…+（a2-a1）+a1
=n+（n-1）+（n-2）+…+1=．
∴数列{a n}的通项公式为．
故选：C．
由已知直接利用累加法求数列{a n}的通项公式．
本题考查数列递推式，训练了利用累加法求数列的通项公式，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比q=的等比数列，
由S6=378，得S6==378，
解得：a1=192，
∴a6=192×=6，
故选：A．
由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由
等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程．
本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．
7.【答案】C
【解析】解：A：当a＜0时，a+没有最小值，不符合题意；
B：由x可得sin x∈（0，1），故sin x+＞4，没有最小值，不符合题意；
因为e x＞0，则e x+4e-x=4，当且仅当e x=4e-x即x=ln2时取等号，此时取得最小值4，符合题意；
D：因为，
所以==＞，没有最小值，不符合．
故选：C．
由已知结合基本不等式，检验不等式的应用条件：一正，二定，三相等是否满足，即可求解．
本题考查了基本不等式的性质，使用时注意“一正二定三相等”的法则，属于基础题．8.【答案】A
【解析】解：因为，，
∴=-2+λ⇒λ=-3；
∴=（1，-3）；
∴向量在向量方向上的投影为：||cos＜，＞===-；
故选：A．
先根据数量积求出λ，再根据投影定义求解即可．
本题主要考查向量的数量积以及投影，本题解题的关键是看清是哪一个向量在哪一个向量上的投影，不要弄错公式．
9.【答案】B
【解析】解：∵关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0，9]，
∴0，9分别是一元二次方程dx2+2a1x≥0的两个实数根，且d＜0．
∴-=9，可得：2a1+9d=0，
∴．
∴a n=a1+（n-1）d=d，
可得：a5=-＞0，＜0．．
∴使数列{a n}的前n项和S n最大的正整数n的值是5．
故选：B．
关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0，9]，可得：0，9分别是一元二次方程dx2+2a1x≥0的两个实数根，且d＜0．可得-=9，．于是a n=d，即可判断出结论．
本题考查了等差数列的通项公式、一元二次方程及其一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了新定义与不等式和函数的应用问题，是中档题．
由题意把不等式化为（m-x+1）（m+x）＜4，分离出m和x，利用函数的最值求关于m 的不等式的解集即可．
【解答】
解：由题意知，不等式（m-x）※（m+x）＜4，
可化为（m-x+1）（m+x）＜4，
即m2+m-4＜x2-x；
设f（x）=x2-x，x∈[1，2]，
则f（x）的最大值是f（2）=4-2=2；
令m2+m-4＜2，
即m2+m-6＜0，
解得-3＜m＜2，
∴实数m的取值范围是（-3，2）．
故选A．
11.【答案】C
【解析】解：如图：
因为G为△ABC的重心，
连接AG，延长交BC于D，D为BC的中点．
则==（+）；
∵W分别为△ABC的外心；
∴•=0；
∴=（+）•=•=×（+）•（-）=×（-）=×（42-22）=10．
故选：C．
运用三角形的重心和外心的性质和向量的三角形法则及向量的中点表示，以及向量的数量积的几何意义和向量的平方即为模的平方，即可化简求得．
本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形的重心和外心的性质及向量中点的向量表示，考查运算能力，属于中档题．
12.【答案】B
【解析】解：由不等式得
，
又a＞b＞c，即，
∴，当且仅当“，即a+c=2b”时取等号，
∴t≤2+2=4，故T=4，
∴=，
又在锐角三角形中a＞b＞c，故b2+c2＞a2，又a+c=2b，
∴，
∴，令，
则，
又在上单调递减，
∴，即．
故选：B．
由不得，再运用基本不等式可求得T=4，然后再用余弦定理表示出T cos B，在锐角三角形中，求出的范围，再利用函数的性质求
得所求取值范围．
本题考查余弦定理在解三角形中的运用，同时也考查了不等式的恒成立问题，双勾函数的性质，基本不等式的运用等知识点，考查转化思想及函数思想，考查计算能力，属于较难题目．
13.【答案】；
【解析】解：在△ABC中，由正弦定理得：⇒sin B=
∵a＞b，∴A＞B，∴，
sin C=sin（B+A）=sin B cos A+cos B sin A=
S△ABC==
故答案为：，
在△ABC中，由正弦定理得sin B=，可得A，
再求出sin C，即S△ABC=．
本题考查了三角恒等变形，正弦定理，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：设与的夹角为θ，
因为向量、满足：，，，可得||==5；
所以：1×5×cosθ=12⇒cosθ=；
即与的夹角的余弦值为：；
故答案为：．
直接根据已知代入数量积即可求解．
本题主要考查数量积的应用，属于基础题目．
15.【答案】200
【解析】解：设AB=h，则BC=h，BD=h，
△BCD中，∠CBD=30°，CD=200m，
由余弦定理，可得40000=h2+3h2-2h•h•，
∴h=200，即AB=200米．
故答案为：200．
设AB=h，则BC=h，BD=h，△BCD中，由余弦定理，可得方程，即可求塔高AB．
本题考查利用数学知识解决实际问题，考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．16.【答案】
【解析】解：由题意，可知
∵当n≥2时，n2a n-S n=n2a n-1-S n-1，
∴n2a n-S n+S n-1=n2a n-1，即n2a n-a n=n2a n-1，
∴（n2-1）a n=n2a n-1．
∴当n≥2时，==．
∴=，=，=，…，=，=．
各项相乘，可得
••…•=••…•=．
∵a1=1，
∴a n=，n∈N*．
∴b n====2（-）．
∴T2021=b1+b2+…+b n
=2（1-）+2（-）+…+2（-）
=2（1-+-+…+-）
=2（1-）
=．
故答案为：．
本题先将题干中表达式进行转化得到=，根据递推公式的特点运用累乘法计
算出数列{a n}的通项公式，然后再计算出数列{b n}的通项公式，再运用裂项相消法计算出前2021项和T2021．
本题主要考查求数列递推公式求通项公式，以及运用裂项相消法求前n项和问题．考查了转化与化归思想，整体思想，累乘法，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．17.【答案】解：（1）由f（x）＜2可得x2-4x+5＜2，即（x-1）（x-3）＜0，解得1＜x ＜3，
故不等式的解集为（1，3）；
（2）f（x）=x2-4x+5=（x-2）2+1≥1，当且仅当x=2时取等号，
∵不等式f（x）＞|m-3|对任意x∈R恒成立，
∴|m-3|＜1，
即-1＜m-3＜1，
∴2＜m＜4，
故m的取值范围为（-2，4）．
【解析】（1）由题意可得（x-1）（x-3）＜0，解得即可，
（2）先求出f（x）的最小值，则可得|m-3|＜1，解得即可．
本题主要考查绝对值不等式的解法，考查了转化思想、数形结合思想，体现了转化的数学思想，属于中档题．
18.【答案】解：（1）由题意，可设等差数列{a n}的公差为d，则
，即，
解得．
∴a n=2+2（n-1）=2n，n∈N*．
（2）由（1）得，b1=a1=2，b4=a8=16．
设等比数列{b n}的公比为q，则
q3===8，即q=2．
∴T n===2n+1-2．
【解析】本题第（1）题先设等差数列{a n}的公差为d，然后根据已知条件可列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可得到数列{a n}的通项公式；
第（2）题先根据第（1）题数列{a n}的通项公式计算出b1，b4的值，再设等比数列{b n}的公比为q，根据等比数列的定义可计算出q的值，再根据等比数列的求和公式即可得到前n项和T n．
本题主要考查等差数列和等比数列的基础知识．考查了方程思想，定义法，逻辑思维能力和数学运算能力，本题属基础题．
19.【答案】解：（1）在△ACD中，由余弦定理有，AC2=AD2+CD2-2AD•CD•cos D，在△ABC中，由余弦定理有，AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos B，
∴49+49-2×7×7×cos D=25+9-2×5×3×cos（π-D），
∴128cos D=64，
∴，
又0＜D＜π，
∴；
（2）由（1）知，，
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC==．
【解析】（1）在△ACD及△ABC中分别运用余弦定理，进而建立方程，求得cos D，由此得解；
（2）直接根据三角形面积公式求解即可．
本题考查余弦定理以及三角形面积公式在解三角形中的运用，考查计算能力，属于基础题．
20.【答案】解：（1）由题意，可知
当n=1时，b1===4，解得a1=2．
∴2a2=a1+4=2+4=6，即a2=3．
设等差数列{a n}的公差为d，则d=a2-a1=3-2=1．
∴a n=2+1•（n-1）=n+1，n∈N*．
∴=2n（n+1）．
当n≥2时，b1•b2…b n-1=2（n-1）n．
两式相比，可得：
b n==22n=4n．
当n=1时，b1=4也满足上式．
∴b n=4n，n∈N*．
（2）由（1）知，c n=a n•b n=（n+1）•4n．
S n=c1+c2+…+c n=2•41+3•42+4•43+…+（n+1）•4n，
4S n=2•42+3•43+…+n•4n+（n+1）•4n+1，
两式相减，可得：
-3S n=2•41+42+43+…+4n-（n+1）•4n+1
=8+-（n+1）•4n+1
=-•4n+1+．
∴S n=（3n+2）•4n+1-8．
【解析】本题第（1）题将n=1代入题干表达式可计算出a1=2，然后计算出a2的值，可计算出公差，即可得到数列{a n}的通项公式．根据数列{a n}的通项公式可
=2n（n+1），类比可得b1•b2…b n-1=2（n-1）n．两式相比，进一步计
算可得数列{b n}的通项公式．
第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{c n}的通项公式，然后运用错位相减法计算出前n项和S n．
本题主要考查等差数列和等比数列求通项公式，以及运用错位相减法求前n项和；考查了转化与化归思想，方程思想，逻辑推理能力和数学运算能力，本题属中档题．21.【答案】解：（1）
=+•-2=sin2ωx+1+sinωx cosωx+-2=+sin2ωx-=sin 2ωx-cos2ωx=sin（2ωx-），
∵函数f（x）的最小正周期为π，
∴T==π，
∴ω=1，
∴f（x）=sin（2x-）
（2）∵，
∴sin B=，
∴cos B=±，
∵，
∴ac cos B=32，
∴cos B=，ac=40，
∵又，，成等差数列，
∴=+，
即5ac=8b（c cos A+a cos C），
∴5sin A sin C=8sin B（sin C cos A+sin A cos C）=8sin B sin（A+C）=8sin2B，
即5ac=8b2，
∴b=5，
由余弦定理可得b2=a2+c2-2ac cos B=（a+c）2-2ac-2ac cos B，
即25=（a+c）2-80-80×，
∴a+c=13，
∴S△ABC=ac sin B=×40×=12，
设内切圆的半径为r，则S△ABC=（a+b+c）r=9r，
∴9r=12，
∴r=
∴S=πr2=π．
【解析】（1）根据平面向量的数量积以及三角函数的化简可得f（x）=sin（2ωx-），
再根据周期求出ω，
（2）先求出sin B，根据同角的三角函数的关系，以及等差数列，正弦定理边角互化，三角形的面积公式，即可求出内切圆的半径，面积可得．
本题考查了三角函数的性质，正余弦定理解三角形，属于中档题．
22.【答案】解：（1）各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且对任意n∈N+恒有
成立；
当n=1时，，解得a1=1或a1=0（舍去）．
当n=2时，，解得a2=2．
猜想a n=n，则．
证明如下：①当n=1时，a1=1显然成立．
②假设n=k时，成立．
当n=k+1时，成立，
故
==
，
=，
=，
==，
所以a n=n．
（2）①数列{b n}满足：b1=1，且．
所以b2=（1+0）b1+1=2，
b3=（1+0）b2+0=4，
b4=（1+0）b3+1=5，
所以b2n+1=2b2n，b2n=b2n-1+1，
故b2n+1=2b2n-1+2．
整理得b2n+1+2=2（b2n-1+2），
所以（常数），
所以数列{b2n-1+2}是以2为公比的等比数列．
由于c n=b2n-1+2，即数列{c n}为等比数列．
则：，
整理得，
故：．
②T2019=（-2+3•20）+（-2+3•21）+（-2+3•22）+…+（-2+3•21009）+（-1+3•20）+（-1+3•21）+（-1+3•22）+…+（-1+3•21008）
=（-2）×1010+（-1）×1009+2×（3•20+3•21+3•22+…+3•21008）
=（-2）×
=-3035+9×21009．
【解析】（1）首先猜想数列的通项公式，进一步利用数学归纳法的应用求出结果．（2）①直接利用（1）的结论，进一步利用定义求出数列为等比数列，进一步求出数列的通项公式．
②利用①的结论，进一步利用分组法求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数学归纳法的应用，分组求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．。