高三数学第二轮专题复习(平面向量)

【例 4】 求向量 a =(1,2) 在向量 b =(2 ，－ 2)方向上的投影、
解： 设向量 a 与 b 的夹角 θ 、
有 cosθ = a b = 1 2 2 ( 2) =－ 10
ab
2
22
2
1 2 2 ( 2)
10
∴ a 在 b 方向上的投影 =｜ a ｜cosθ =
5 ×(－
10 )= －
2
10
2
【例 5】 已知△ ABC 的顶点分别为 A(2 ， 1)，B(3 ， 2)， C(－ 3，－ 1)，BC 边上的
高 AD ，求 AD 及点 D 的坐标、
解： 设点 D 的坐标为 (x,y) ∵ AD 是边 BC 上的高，
∴AD ⊥ BC ，∴ AD ⊥ BC
又∵ C、 B、 D 三点共线，
∴ BC ∥ BD
根据已知条件有： x21+y21≤ 1,x22+y22≤ 1
又因为｜ α v1 +β v2 ｜ = (αx1 βx2 ) 2 (αy1 βy 2 )2
=
α2
(
2
x1
2
y1 )
β2 ( x2 2
2
y2 ) 2αβ( x1 x2
y1 y2 )
其中 x1x2+y1y2≤ x12 y12
x22
y
2 2
≤1
2
2
｜ EF ｜ 2=( 2 λ － 1)2+( － 2 λ )2=λ2－ 2 λ+1
2
2
∴｜ PA ｜ 2=｜ EF ｜ 2,故 PA=EF
(2) PA · EF =( － 2 λ )( 2 λ－ 1)+(1 － 2 λ )( － 2 λ )=0
2
2
2
2
∴ PA ⊥ EF ∴ PA⊥ EF、
【例 11】 已知 a (1,0), b (2,1).
斜三角形，它是考查的重点。总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重
视应用。考查的重点是基础知识和基本技能。 四、复习建议
由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，
所以应用本章知识解决的问题也分为两类：
一类是根据向量的概念、 定理、 法则、公式对向量进行运算， 并能运用向量知识解决平面几
何中的一些计算和证明问题； 另一类是运用正、 余弦定理正确地解斜三角形， 并能应用解斜
则 A(0 ， 0)、B(2 ， 0)、 C(1， 1)、 D(0 ，1)
∴ BC =(－ 1,1), AC =(1,1)
BC · AC =－ 1× 1+1× 1=0
∴ BC⊥ AC 、 【例 9】 已知 A(0 ， a),B(0,b),(0 ＜ a＜ b)，在 x 轴的正半轴上求点 C，使∠ ACB 最
设 k a b =λ ( a 3b ),即 (k－ 2,－ 1)= λ (7,3),
∴ k 2 7λ 1 3λ
k1 3. 1
λ 3
故 k=
1 时 , 它们反向平行 . 3
【例 12】 已 知 | a | 2, | b | 1, a 与 b 的夹角为 π,若向量 2a
3
k.
解： a b
| a || b | cos π=2×1×1 =1.
③若 a =( x1,y1)、 b =(x2,y2 ),则 a · b =0 x1 x2+y1y2=0
④若 a =( x1,y1)、 b =(x2,y2 )，则 a ⊥ b x1x2+y1y2=0
A 、①②
B、②③
C 、③④
D 、①④
解： 根据向量数量积的坐标表示；若 a =(x1,y1), b =(x2,y2)，则 a · b =x1x2+y1y2，对照命
大，并求出最大值、 解，设 C(x,0)(x＞ 0)
则 CA =( －x,a), CB =( － x,b)
则 CA · CB =x2+ab、
CA CB
x2 ab
cos∠ ACB=
=
CA CB
x2 a2 x2 b2
令 t=x2+ab
故 cos∠ ACB=
1
ab(a
b) 2
1 t2
(a b) 2 1 1 t
当
1 =
1
即 t=2 ab 时， cos∠ACB 最大值为
2 ab 、
t 2ab
ab
当 C 的坐标为 ( ab ,0)时，∠ ACB 最大值为 arccos 2 ab 、
ab
【例 10】 如图，四边形 ABCD 是正方形， P 是对角线 BD 上的一点， PECF 是矩形， 用向量法证明 (1)PA=EF (2)PA⊥ EF
∴ cosθ = a b = 2 3 = 3
a b 22
2
【例 3】 已知 a =(2,1), b =(－ 1,3),若存在向量 c 使得： a · c =4, b · c = －9，试 求向量 c 的坐标、 解： 设 c =(x,y),则由 a · c =4 可得：
2x+y=4；又由 b · c =－ 9 可得：－ x+3 y=－ 9
在解决解斜三角形问题时， 一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用， 另一方面要
体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力。
五、典型例题
平面向量
【例 1】 在下列各命题中为真命题的是 ( )
①若 a =( x1,y1)、 b =(x2,y2 )，则 a · b =x1y1+x2 y2 ②若 A( x1,y1)、 B(x2,y2)，则｜ AB ｜ = (x1 x2 )2 ( y1 y 2 ) 2
解：
1
1
BE (BA BC), CF (CB CA)
2
2
1
2
BE CF ( BA BC AB AC BC CB CA)
4
11 2
2
21
2
2
2
21
2
2
2
[ ( BA BC AC ) ( AB AC BC ) BC
(CA CB BA )]
42
2
2
1
2
( AB
2
2
AC 5BC )
1 (b2
c2
5a 2 ) 0,
运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质 .
在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针
.本章考题大多数是课本的变
式题，即源于课本 .因此，掌握双基、精通课本是本章关键 .分析近几年来的高考试题，有关
平面向量部分突出考查了向量的基本运算。 对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等
交叉内容， 作为学习解析几何的基本工具， 在相关内容中会进行考查。 本章的另一部分是解
① 求 | a 3b |；
②当 k 为何实数时 ,k a b 与 a 3b 平行 , 平行时它们是同向还是反向？ 解：① a 3b = (1,0) + 3(2,1) = ( 7,3) , ∴ | a 3b |= 72 3 2 = 58 .
②k a b = k(1,0) － (2,1)=(k － 2,－ 1).
解： ∵｜ a ｜＝｜ b ｜ =1，
∴可设 a =(cosα ,sinα ), b =(cosβ ,sinβ )、
∵ a + b =(cosα +cosβ ,sinα+sinβ )=(1,0) ，
cos α cosβ 1 (1) sin α sin β 0 ( 2)
由 (1)得： cosα=1－ cosβ …… (3)
题(1) 的结论可知，它是一个假命题、 于是对照选择支的结论、可以排除 (A) 与 (D) ，而在 (B) 与 (C) 中均含有 (3) 、故不必对 (3)
进行判定，它一定是正确的、对命题 (2) 而言，它就是两点间距离公式，故它是真命题，这 样就以排除了 (C) ，应选择 (B) 、
说明： 对于命题 (3) 而言，由于 a · b =0
是一个真命题、
a=0或b=0或 a⊥b
x1x2 +y1y2=0，故它
而对于命题 (4) 来讲，a ⊥ b x1x2+y1y2=0、但反过来， 当 x1x2+y1y2=0 时，可以是 x1=y1=0，
即 a= 0，而我们的教科书并没有对零向量是否与其它向量垂直作出规定，因此
x1x2+y1y2=0 a ⊥ b )，所以命题 (4)是个假命题、
2x y 4
(1)
于是有：
x 3y 9 (2)
由 (1)+2(2) 得 7y=－ 14,∴ y=－ 2,将它代入 (1) 可得： x=3
∴ c =(3, － 2)、
说明： 已知两向量 a ， b 可以求出它们的数量积 a · b ，但是反过来，若已知向量 a 及
数量积 a · b ，却不能确定 b 、
1.以选择、 填空题型考查本章的基本概念和性质 度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题 .
.此类题一般难度不大， 用以解决有关长
2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题 常规题为主 .
.此类题综合性比较强， 难度大， 以解析几何中的
3.向量在空间中的应用（在 B 类教材中） .在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，
【例 2】 已知 a =(－ 3 ,－ 1), b =(1, 3 )，那么 a ， b 的夹角 θ =( )
A 、 30°
B、 60°
C 、 120 °
D、 150°
解： a · b =( － 3 ,－ 1)· (1， 3 )=－ 2 3
｜ a ｜= ( 3)2 ( 1) 2 =2
｜ b ｜= 12 ( 3) 2 =2
3
2

kb 与 a
b 垂直 , 求
∵ 2a kb 与 a b 垂直 ,
∴( 2a kb ) (a b) = 0 ,
∴2 a 2 2a b kab kb 2 0
k = － 5.
【例 13】 如果△ ABC
的三边
a、b、c 满足
b2
+
c
2
=
2
5 a ,BE、CF
分别为
AC 边与
AB
上的中线 , 求证： BE ⊥CF.
8
8
∴ BE ⊥ CF , 即 BE ⊥CF .
【例 14】 是否存在 4 个平面向量， 两两不共线， 其中任何两个向量之和均与其余两 个向量之和垂直 ? 解： 如图所示，在正△ ABC 中， O 为其内心， P 为圆周上一点，
由 (2)得： sinα =－ sinβ …… (4)
∴ cosα =1－ cosβ = 1 2
∴ sinα =±
3 ,sinβ =
3
2
2
a 1, 3
a 1, 3
22
22
或
b 1, 3 22
b 1, 3 22
【例 7】 对于向量的集合 A={ v =(x,y)｜ x2+y2≤1} 中的任意两个向量 v1 、v2 与两个 非负实数 α 、 β ；求证：向量 α v1 +β v2 的大小不超过 α +β、 证明： 设 v1 =(x1,y1 )， v2 =(x2,y2)
所以｜ α v1 +β v2 ｜≤ α2 β2 2αβ=｜ α +β ｜ =α +β
【例 8】
已知梯形
ABCD 中， AB ∥CD，∠ CDA= ∠ DAB=90 °,CD=DA=
1 AB 、
2
求证： AC ⊥ BC
证明： 以 A 为原点， AB 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系、如图，设 AD=1
证明： 建立如图所示坐标系，设正方形边长为 1，
｜ OP ｜ =λ ,则 A(0 ， 1)，P( 2 λ ， 2 λ )， E(1 ， 2 λ) ， F( 2 λ， 0)
2
2
2
2
∴ PA =( － 2 λ ,1－ 2 λ ), EF =( 2 λ － 1,－ 2 λ )
2
2
2
2
(1)｜ PA ｜ 2=(－ 2 λ )2+(1－ 2 λ )2=λ2－ 2 λ +1
高三数学第二轮专题复习 ---平面向量
一、本章知识结构：
二、高考要求
1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和
减法的运算法则及运算律。 3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共
线的充要条件。 4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的
三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。
在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确
地进行向量的各种运算， 进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向
量处理问题的优越性。 二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，
所以
要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。
坐标运算。 5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有
关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
6、掌握线段的定比分点和中点坐标公
式，并且能熟练运用；掌握平移公式。 7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角
形。 8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。 三、热点分析 对本章内容的考查主要分以下三类：
又 AD =( x－ 2,y－ 1), BC =(－ 6,－3)
BD =(x－ 3,y－ 2)
6(x 2) 3( y 1) 0 ∴
6(y 2) 3( x 3) 0
解方程组，得 x= 9 ,y= 7 55
∴点 D 的坐标为 ( 9 ， 7 )， AD 的坐标为 (－ 1 ， 2 )
55
55
【例 6】 设向量 a 、 b 满足：｜ a ｜＝｜ b ｜ =1，且 a + b =(1 ，0)，求 a ， b 、