激光原理习题

第一章：激光的基本原理
1. 为使He-Ne激光器的相干长度达到1km,它的单色性/ o应是多少？
2. 设一对激光能级为E2和E i(f i=f2)，相应的频率为v(波长为)，能级上的粒子数密
度分别为n2和n i，求：
(a) 当v=3000MHz，T=300K 时，n2/n1=?
(b) 当=i m，T=300K 时，n2/n i=?
(c) 当=1 m，n2/n i=0.1 时，温度T=?
3. 设一对激光能级为E2和E1(f1=f2),相应的频率为(波长为入)，能级上的粒子数密度分别为n1和n2,求
(a)当尸3000Mhz,T=300K 时,n2/n1=?
(b)当/=1um,T=300K 时，,n亦1=?
(c)当?=1um, ,n2/n1=0.1 时，温度T=?
4. 在红宝石Q 调制激光器中，有可能将几乎全部Cr+3离子激发到激光上能级并产生激光巨脉冲。

设红宝石棒直径1cm，长度7.5cm,Cr+3离子浓度为2X 1019cm-3, 巨型脉冲宽度为10ns,求输出激光的最大能量和脉冲功率。

5. 试证明，由于自发辐射，原子在E2能级的平均寿命t s=1/A21。

6. 某一分子的能级E4 到三个较低能级E1,E2 和E3 的自发跃迁几率分别是
A43=5*107S-1,A42=1*107S-1和A41=3*107S-1,试求该分子能级的自发辐射寿命T。

若T=5*107S-1 , T=6*10-9S,T=1*10-8S在对E4连续激发并达到稳态时，试求相应能级上的粒子数比值n1/n4, n2/n4,n3/n4,并回答这时在哪两个能级间实现了集居数反转。

7. 证明当每个膜内的平均光子数(光子简并度)大于 1 时，辐射光中受激辐射占
优势。

8. (1) 一质地均匀的材料对光的吸收系数为0.01mm-1，光通过10cm长的该材料后，出射光强为入射光强的百分之几？( 2)一光束通过长度为1m 的均匀激励的工作物质，如果出射光强是入射光强的两倍，试求该物质的增益系数。

第二章：开放式光腔与高斯光束
1. 试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。

2．试求平凹，双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。

3. 激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m 的凸面镜和曲率半径为2m 的凹面镜组成，工作物质长0.5m,其折射率为1.52,求腔长L在什么范围内是稳定腔。

4. 图2.1所示三镜环形腔，已知I,试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R 在什么范围内该腔是稳定腔。

图示环形腔为非共轴球面镜腔。

在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式(2.2.7)中的f=(Rcos®/2,
对于在与此垂直的平面内传输的弧失光线，f=R/(2cos氛B为光轴与球面镜法线的夹角。

5. 有一方形孔径共焦氦氖激光器，腔长
L=30cm，方形孔边长d=2a=0.12cm,
2=632.8nm,镜的反射率为r i=1,r2=0.96,其他损耗以每程0.003估计。

此激光器能否单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择TEM 00，小孔的边长应为多大？试根据图 2.2.5作一大概的估计。

氦氖增益由公式e gI=1+3*10-4(I/d) 估算( I 为放电管长度)。

6•试求出方形镜共焦腔面上的TEM30模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？
7. 求圆形镜共焦腔TEM20和TEM02模在镜面上光斑的节线位置。

8. 今有一球面腔，R1=1.5m，R2=-1m, L=80cm。

试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。

9. 某二氧化碳激光器采用平—凹腔，L=50cm,R=2m,2a=1cm,2 =10.6um 试计算W S1,W S2,W0, Q和0,知0各为多少。

10. 试证明，在所有a2/L入相同而R不同的对称稳定球面腔中，共焦腔的衍射损耗最低。

这里L表示腔长，R=R I=R2为对称球面腔反射镜的曲率半径，a为镜的横向线度（半径）。

11. 今有一平面镜和一R=1m 的凹面镜，问：应如何构成一平—凹稳定腔以获得最小的基膜远场角；画出光束发散角与腔长L 的关系曲线。

12. 推导出平—凹稳定腔基模在镜面上光斑大小的表达式，做出:（1）当
R=100cm
时，w si,w s2随L而变化的曲线；（2）当L=100cm，时，w si,w s2随R而变化的曲
线。

13•某二氧化碳激光器，采用平-凹腔，凹面镜的R=2m，腔长L=1m。

试给出它所产生的高斯光束的束腰斑半径0的大小与位置、该高斯光束的 f 及0的大小。

14.某高斯光束束腰斑大小为w o=1.14cm，入=10.6u m。

求与束腰相距30cm，
10m,1000m远处的光斑半径w及波前曲率半径R。

15若已知某高斯光束之W0=0.3mm,入=632.8nm。

求束腰处的q参考值，与束腰相距30cm 处的q 参考值，以及在与束腰相距无限远处的q 值。

16•某高斯光束0=1.2mm, =10.6 m。

今用F=2cm的锗透镜来聚焦，当束腰与透镜的距离为10m、1m、10cm、0时求焦斑大小和位置，并分析所得的结果。

17. CO2激光器输出光入=10.6umw=3mm用一F=2cm的凸透镜聚焦，去欲得到
w'0=20um及2.5um时透镜应放在什么位置。

18. 如图2.2光学系统，入射光入=10.6um,求w"°及13
19某高斯光束0=1.2mm，=10.6 m。

今用一望远镜将其准直。

主镜用镀金反射
镜R=1m，口径为20cm；副镜为一锗透镜，F1=2.5cm，口径为1.5cm；高斯光束
束腰与透镜相距l=1m，如图2.3所示。

求该望远镜系统对高斯光束的准直倍率。

20. 激光器的谐振腔由两个相同的凹面镜组成，它出射波长为入的基模高斯光束，今给定功率计，卷尺以及半径为a的小孔光阑，试叙述测量该高斯光束共焦参数f的实验原理及步骤。

21. 已知一二氧化碳激光谐振腔由两个凹面镜构成，R i=1m,R2=2 m, L=0.5m。

如何选择高斯束腰斑的大小W0和位置才能使它成为该谐振腔中的自在现光束？
圏2.3
22. （1）用焦距为F的薄透镜对波长为、束腰半径为0的高斯光束进行变换，
并使变换后的高斯光束的腰斑半径0 0 （此称为高斯光束的聚焦），在F>f和
2
F<f （f —-）两种情况下，如何选择薄透镜到该高斯光束束腰的距离l ?（2）在聚焦过程中，如果薄透镜到高斯光束束腰的距离I不能改变，如何选择透镜的
焦距F?
23. 试由自在现变换的定义式（2.12.2）用q参数法来推导出自在现变换条件式（2.12.3）.
24. 试证明在一般稳定腔（R1,R2,L），其高斯模在腔镜面处的两个等相位面的曲率半径必分别等于各该镜面的曲率半径。

25. 试从式（2.14.12）导出（2.14.13），并证明对双凸腔B2-4C>0.
26. 试计算R1=1m,L=0.25m,a1=2.5cm,a2=1cm的虚共焦腔的E单程和E往返，若想保持a1不变并从凹面镜M1端单端输出，应如何选择a2?反之若想保持a2,不变并从凸面镜M2端单端输出，应如何选择a1?在这两种单端输出的条件下，E单程和E往返各为多大？题中a1为镜M1的横截面半径，R1为其曲率半径，a2,R2的意义类似。

第三章（对应教材第四章）：电磁场和物质的共振相互作用
1 •静止氖原子的3S2- 2P4谱线中心波长为632.8nm,设氖原子分别以0.1c、0.4c 和
0.8c的速度向着观察者运动，问其中表观中心波长分别变为多少？
2．在激光出现之前, Kr86低压放电灯是很好的单色光源。

如果忽略自然加宽和碰撞加宽，试估算在77K温度下它的605.7nm谱线的相干长度是多少，并与一个单色性/ =1 0-8的氦氖激光器比较。

3•考虑某二能级工作物质，E2能级自发辐射寿命为s,无辐射跃迁寿命为nr。

假定在t= 0时刻能级E2上的原子数密度为n2（0），工作物质的体积为V，自发辐射光的频率为，求：
（1）自发辐射光功率随时间t的变化规律；
（2）能级E2上的原子在其衰减过程中发出的自发辐射光子数；
（3）自发辐射光子数与初始时刻能级E2 上的粒子数之比2（2称为量子产额）。

4估算CO2气体在室温（300K）下的多普勒线宽？v和碰撞线宽系数a,并讨论在什么气压范围内从非均匀加宽过渡到均匀加宽。

5氦氖激光器有下列三种跃迁，即3S2-2P4的632.8nm, 2&-2P4的1.1523um,和
3S2-3P4的3.39um的跃迁。

求400K时它们的多普勒线宽，分别用GHz,um,cm-1
为单位表示。

由所得结果你能得到什么启示？
6. 考虑某二能级工作物质，E2能级自发辐射寿命为T,无辐射跃迁寿命为T。

假定在时刻t=0能级上E2的原子数密度为n2 （0）,工作物质的体积为V，自发辐射光的频率为v,求：
（1）自发辐射光功率随时间t 的变化规律
（2）能级E2上的原子在其衰减过程中发出的自发辐射光子数
（3）自发辐射光子数与初始时刻能级E2上的粒子数之比n （n称为量子产额）7．根据4.4 节所列红宝石的跃迁几率数据，估算W13 等于多少时红宝石对
=694.3nm的光是透明的。

（对红宝石，激光上、下能级的统计权重f1=f2=4，计算中可不计光的各种损耗。

）
8 设粒子数密度为n 的红宝石被一矩形脉冲激励光照射，其激励跃迁几率可表示为（如图 4.1 所示）
W13
W p 0 t t0 0 t t0
求激光上能级粒子数密度n 2（t ），并画出相应的波形。

9 •某种多普勒加宽气体吸收物质被置于光腔中，设吸收谱线对应的能级为 E 2 和E i （基态），中心频率为0。

如果光腔中存在频率为 的单模光波场，试定性画 出下列情况下基态粒子数按速度分布 n i （ z ）: (1)
0 ； (2)
1 0
2 D ;
(3) 0
10•试从爱因斯坦系数之间的关系说明下述概念，分配在一个模式中的自发辐射 跃迁几率等于在此模式中的一个光子引起的受激跃迁几率。

11短波长（真空紫外，软X 射线）谱线的主要加宽机构是自然加宽。

试证明峰 值吸收截面产為/2n
12. 已知红宝石的密度为3.98g/cm 3,其中Cr 2O 3所占比例为0.05%（质量比），在波 长694.3nm 附近的峰值吸收系数为0.4cm -1,试求其峰值吸收截面（T=300K ）。

13. 有光源一个，单色仪一台，光电倍增及其电源一套，微安表一块，圆柱形端
面抛光红宝石样品一块，红宝石中鉻离子数密度 n=1.9*1019/cm 3，694.3nm 荧光 线宽。

孑讦二彳③®11^可用实验测出红宝石的吸收截面，发射截面及荧光寿命， 试画出实验方块图，写出实验程序及计算公式。

14 •在均匀加宽工作物质中，频率为
1、强度为I 的强光的增益系数为 7 1 g H （ 1,i J ，g H （ 1,1 1关系曲线称作大信号增益曲线，求大信号增益曲线的 宽度。

15 .有频率为1、2的二强光入射，试求在均匀加宽情况下：
（1）频率为 的弱光的增益系数表达式；
W p
“ W l3(t)
图4.1
（2）频率为1的强光的增益系数表达式。

（设频率为1及2的光在介质内的平均强度为I 1、I 2）
16. 写出综合加宽线型函数表达式子（用误差函数表示）。

17. 激光上下能级的粒子数密度速率方程如式（4428）所示。

（1）试证明在稳态情况下，在均匀加宽介质（具有洛伦兹线型）中
n
n
121 21（1, 0）M
式中，[1主」（1 ）]，—， n0为小信号情况下的反转集居数密度。

f1 2 21
（2）写出中心频率处饱和光强Is的表达式。

（3）证明T/ T时，?门和I s可由式（4.5.13）及式（4.5.11）表示。

18. 已知某均匀加宽二能级（f2=f1）饱和吸收染料在其吸收谱线中心频率
v o=694.3nm处的吸收截面（=8.1*10-16cm-2，其上能级寿命T=22*10-12S,试求此染料的饱和光强I s。

19. 若红宝石被光泵激励，求激光能级跃迁的饱和光强。

20. 推导图4.2所示能级系统2->0跃迁的中心频率大信号吸收系数及饱和光强
I s。

假设该工作物质具有均匀加宽线型，吸收截面d32 已知k b T«hV10, T0VV T1
21. 用波长在589nm附近可调染料激光照射一含有13.3Pa钠及2.66*105Pa氦气的混合室，气室温度为230C，气室长度l=10cm，氦气与钠原子间的碰撞截面
Q=10-14cm2，钠蒸气的两个能级间的有关参量如下，
1 能级(32S i/2):E i=0,f i=2
2 能级(32P3/2):E2=16973cm-1,f2=4 A2i=6.3*107s-1
(1) 求跃迁1->2的有关线宽(碰撞加宽，自然加宽，多谱勒加宽)。

(2) 如果激光波长调到钠原子1->2跃迁中心波长，求小信号吸收系数。

(3) 在上述情况下，改变激光功率，试问激光光强I多大时气室的透过率t=0.5? 22. 设有两束频率分别为0和0，光强为I1和I2的强光沿相同方向
(图4.3 (a))或沿相反方向(图4.3 (b))通过中心频率为0的非均匀加宽增益介质，
I1>I2。

试分别画出两种情况下反转粒子数按速度分布曲线，并标出烧孔位
第四章(对应教材第五章)：激光振荡特性
1. 激光器的工作物质为，折射率为，谐振腔长L,谐振腔中除工作物质外的其余
部分折射率为，工作物质中光子数密度为N，试证明对频率为中心频率的光
dN l c
n 21cN — N
dt L L
其中L l (L l)。

2. 长度为10cm的红宝石棒置于长度为20cm的光谐振腔中，红宝石694.3nm的谱线的自发辐射寿命s 4X10-3S,均匀加宽线宽为2 X105MH Z，光腔单程损耗因子=0.2。

求中心频率阈值处值反转粒子数△ n t ；
3. 在一理想三能级系统如红宝石中，令泵浦激励几率在t=0瞬间达到一定值
W l3,W l3>(W l3)t (其中(W l3)t为长脉冲激励时的阀值泵源激励几率)。

经时间T后系统达到反转状态并产生振荡。

试求T —W l3/(W l3)t的函数关系，并画出归一化T/ T—W l3/(W l3)t的示意关系曲线。

(令n=1)
4 •脉冲掺钕钇石榴石激光器的两个反射镜透射率T1、T2分别为0和0.5。

工作
物质直径d=0.8cm,折射率=1.836,总量子效率为1,荧光线宽F=1.95X1011 Hz,自发辐射寿命S=2.3X 10-4 s。

假设光泵吸收带的平均波长P =0.8 m。

试估算此激光器在中心频率处所需吸收的阈值泵浦能量E pt。

5. 测出半导体激光器的一个解理端面不镀膜与镀全反射膜时的阀值电流分别为J1 与J2,试由此计算激光器的分布损耗系数 a (解里面的反射率r -0.33)
6. 某激光器工作物质的谱线线宽为50MHz，激励速率是中心频率处阀值激励速率
的二倍，欲使该激光器单纵模振荡，腔长L应为多少？
7. 如图5.1所示环形激光器中顺时针模式①+及逆时针模①-的频率为V A，输出光强为1+及I-
(1)如果环形激光器中充以单一氖同位素气体Ne20,其中心频率为V01,试画出
V A M V01及V A=V01时的增益曲线及反转粒子数密度的轴向速度分布曲线。

(2)当V A M V01时激光器可输出两束稳定的光，而当V A=V01时出现一束光变强，另一束光熄灭的现象，试解释其原因。

(3)环形激光器中充以适当比例的Ne20及Ne22的混合气体，当V A=V0时，并无上述一束光变强，另一束光变弱的现象，试说明其原因(图5.2为Ne20,Ne22及混合气体的增益曲线)，V01,V02及V0分别为Ne20,Ne22及混合气体增益曲线的中心频率, V02- V01 890MHz.
(4)为了使混合气体的增益曲线对称，两种氖同位素中哪一种应多一些。

图图5.2
8 •考虑氦氖激光器的632.8nm跃迁，其上能级3&的寿命2 2 x 10-8s,下能级2P4的寿命i 2x 10-8s,设管内气压p=266Pa：
（1）计算T=300k 时的多普勒线宽D；
（2）计算均匀线宽H及H / D；
（3）当腔内光强为（1）接近0；（2）10W/cm2时谐振腔需多长才能使烧孔重迭。

（计算所需参数可查阅附录一）
9. 某单模632.8nm氦氖激光器，腔长10cm，二反射镜的反射率分别为100%及98%,腔内损耗可忽略不计，稳态功率输出是0.5mW，输出光束半径为0.5mm
（粗略的将输出光束看成是横向均匀分布的）。

试求腔内光子数，并假设反转原子数在t0时刻突然从0增加到阀值的1.1倍，试粗略估算腔内光子数自1噪声光子/腔膜增至计算所得之稳态腔内光子数须经多长时间。

10. 腔内均匀加宽增益介质具有最佳增益系数g m 及中心频率处的饱和光强I SG，
同时腔内存在一均匀加宽吸收介质，其最大吸收系数为a m，中心频率处的饱和
光强为I Sa，假设二介质中心频率均为V0，a m>g m,|S a V| SG试问，（1）此激光器能否起振？
（2）如果瞬时输入一足够强的频率为V0的光信号，此激光器能否起振？写出其起振条件。

讨论在何种情况下能获得稳定振荡，并写出稳定振荡时的腔内光强。

11 •低增益均匀加宽单模激光器中，输出镜最佳透射率T m及阈值透射率T t可由实验测出，试求往返净损耗率a及中心频率小信号增益系数g m （假设振荡频率V=V0）。

12有一氪灯激励的连续工作掺钕钇铝石榴石激光器（如图5.3所示）。

由实验测出氪灯输出电功率的阈值P pt为2.2kW，斜效率s dP/dP p 0.024 （P为激光器输出功率，P P为氪灯输入电功率）。

掺钕钇铝石榴石棒内损耗系数a i=0.005cm'1o 试求：
（1）P P为10kW时激光器的输出功率；
（2）反射镜 1 换成平面镜时的斜效率（更换反射镜引起的衍射损耗变化忽略不计；假设激光器振荡于TEM00模）；
（3）图5.3所示激光器中T1改成0.1时的斜效率和P p=10kW时的输出功率。

13. 单模半导体激光二极管腔长为200um，激光线宽为1000MHz量级。

将此激光二极管与一相距10cm的平面发射镜组成一外腔半导体激光器，试粗略估算激光
线宽的量级n〜3.5（激光二极管有源区折射率）
T. “ 0 谚l 5m
£r — 50cm。