北京工业大学《概率论与数理统计》课件 第8章 正态总体均值的假设检验
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● 建立一个假设：H0: μ =10。并且要经过样 本来检验该假设是否成立(其实为可以接受)。
在数理统计中，把 “ X 的均值 μ =10” 这样
的一个欲检验的假设称为 “原假设” 或 “零 假设”，记成 “ H0：μ =10”。这里的“H”是 从英文“ hypothesis ”的字头而来，“ 0 ” 是从 “null”或“zero” 含义而生。
该检验称为两样本 t 检验。
说明
上面，我们假定 12=22。当然，这是个 不得已而强加上去的条件。因为，如果不加 这个条件，就无法使用简单易行的 t 检验。
在实用中，只要我们有理由认为12和22 相差不是太大，就可使用上述方法。通常的 做法是：如果方差比检验未被拒绝(见下节)， 就认为12和22相差不是太大。
又如：考察一项新技术对提高产品质量是 否有效，就把新技术实施前后生产的产品质量
指标分别看成正态总体 N(1, 12)和 N(2, 22)。
这时，所考察的问题就归结为检验这两个正态
总体的均值 1和 2是否相等的问题。
设X1, X2, …, Xm与Y1, Y2, …, Yn 分别为抽
自正态总体 N(1, 12) 和N(2, 22) 的样本，记
的大小检验 H0 是否
成立。
合理的做法应该是：找出一个界限 c，
这里的问题是：如何确定常数 c 呢？ 细致地分析：根据定理 6.3.1，有
于是，当原假设 H0：μ =10 成立时，有
为确定常数 c，我们考虑一个很小的正数， 如 =0.05。当原假设H0：μ =10 成立时，有
于是，我们就得到如下检验准则:
即新技术或新配方对提高产品质量确实有效。
单边检验 H0: μ =μ0 ‹–› H1: μ >μ0
如果μ =μ0，即原假设成立，则
就
不应太大；反之，如果
过大，就认为
H0不成立，而 H1成立。
在2已知情况下，根据定理6.3.1，知：
当 H0 成立时，
在2未知情况下，当原假设成立时，有 由此可推出 所以，对给定的显著水平 α， H0的拒绝域为
例8.2.2 某厂生产一种工业用绳，其质量 指标是绳子所承受的最大拉力。假定该指标
服从正态分布。该厂原来生产的绳子平均最
大拉力μ0=15千克。现在采用了一种新的原材
料，厂方称这种原材料提高了绳子的质量，
也就是说绳子所承受的平均最大拉力 μ 比15
千克大了。为了检验该厂的结论是否真实， 从其新产品中随机抽取50件，测得它们所承
检验的显著性水平，简称水平。
犯第二类错误的概率的计算超出了课程 的学习范围。因此，不作讨论。
例8.1.1(续) 分析该例的显著性水平。
H0: μ =10，
现在我们来分析：取上述 c 后，如果 H0 是正确的，却被我们拒绝了。这时，犯第一 类错误的概率是多少呢？
分析 因为当 H0: μ =10成立时，有
可见：用该方法进行检验时，犯第一类
错误的概率等于 显著性水平 。
§8.2 正态总体均值的假设检验
8.2.1 单正态总体N( , 2)均值的检验
1. 双边检验 假设 2已知，根据上节中的例8.1.1，当
原假设 H0: μ=μ0 成立时，有
所以，对给定的显著水平 α，H0的拒绝域为
以上检验法称作 U 检验法。 在应用上，2未知的情况是常见的。此
(1) 双边检验 H0: 1= 2 ↔ H1: 1≠2 .
当 12 和 22 已知时，根据定理7.5.1，有
进一步，当 H0: 1=2为真时，
于是，显著性水平为α 的H0的拒绝域为
当 12=22 =2，2未知时，据定理7.5.1，有
进一步，当 H0: 1=2 成立时，有
从而，显著性水平为α 的H0的拒绝域为
1.76, 1.41, 1.87, 1.49, 1.67, 1.81. 假定这两组观测值分别抽自方差相同的两个正
态总体，试在显著性水平 =0.10下，检验病人
血液中药物的浓度是否显著的不同?
解 问题就是从总体 N(1, 2)和N(2, 2)
中分别抽取样本X1, X2,…, X8 和Y1, Y2,…, Y6， 样本均值和样本方差分别为：
受的最大拉力的平均值为15.8千克，样本标
准差S=0.5千克。取显著性水平 =0.01。问从
这些样本看：能否接受厂方的结论，即新的
原材料确实提高了绳子的质量。
解 问题归结为检验如下假设
H0: μ =15 ↔ H1: μ >15 (2未知).
于是，
从而，拒绝原假设，即认为新的原材料确实 提高了绳子所能承受的最大拉力。
《概率论与数理统计》
第八章 正态总体均值的假设检验
北京工业大学 第二十讲
第八章 假设检验
统计推断的另一种形式是假设检验。
所谓假设检验，就是根据样本的信息检 验总体的分布参数或分布形式是否具有某些 特征。例如，对一个正态总体，检验其均值
是否为某一给定的 (已知) 常数0，或检验其标
准差是否小于等于某一给定的 (已知) 常数0； 以及检验总体的分布是否为正态分布，是非 为指数分布，等等。
2. 单边检验 H0: μ =μ0 ‹–› H1: μ >μ0
上一段中，H0:μ=μ0‹–›H1: μ≠μ0 的对立 假设为 H1: μ≠μ0 , 称其为双边对立假设。
现在要处理的对立假设为 H1: μ >μ0, 称 为右边对立假设。
类似地，H0: μ=μ0 ‹–› H1: μ<μ0 中的对立 假设H1: μ<μ0，称其为左边对立假设。
§8.1 基本概念
参数检验 假设检验
非参数检验
在总体分布已知情形 下，检验未知参数的 某个假设是否接受。
研究总体分布未知情 形下的假设检验问题。
我们先通过一个例子，来引进假设检验 中的一些重要概念。
例8.1.1 某工厂生产10欧姆的电阻。根据 以往生产的电阻实际情况，可以认为: 电阻值
X服从正态分布N(, 0.12)。现在随机抽取10个
8.2.2 两个正态总体 N(1, 12) 和 N(2, 22)
均值的比较
在应用上，经常会遇到两个正态总体均 值的比较问题。
例如，比较甲、乙两厂生产的某种产品 的质量。将两厂生产的产品的质量指标分别
看成正态总体 N(1, 12) 和 N(2, 22)。比较它
们的产品质量指标的问题，就变为比较这两
个正态总体的均值 1和 2的问题。
故，接受原假设。即, 认为病人血液中药浓
度无显著差异。
(2) 单边检验 H0: 1≥2 ↔ H1: 1<2
与 (1) 的分析完全类似，可以得到: ● 在12和22已知情况下，H0的拒绝域为
● 在12与22未知，但二者相等情况下，H0的 拒绝域为
(3) 单边检验 H0: 1≤2 ↔ H1: 1＞2
发生，就认为 H0 不真，即认为 H0不成立。
IV. 两类错误与显著性水平
当我们检验一个假设 H0 时，有可能犯以 下两类错误之一：H0 是正确的，但被我们拒 绝了，这就犯了“弃真”的错误，即抛弃了 正确假设；H0 是不正确的，但被我们接受了， 这就犯了“取伪”的错误，即采用了伪假设。
因为检验统计量总是随机的，所以，我 们总是以一定的概率犯以上两类错误。
通常用 α 和 β记犯第一、第二类错误的概 率，即
在检验问题中，犯“弃真”和“取伪” 两类错误都总是不可避免的，并且减少犯第 一类错误的概率，就会增大犯第二类错误的 概率;反之亦所然以。，犯两类错误的概率不能同 时得到控制。
在统计学中，通常控制犯第一类错误的
概概率。一般事先选定一个数 (0< <1)，要 求犯第一类错误的概率不超过。称 为假设
为原假设H0 的拒绝域。
用以上检验准则处理问题， 所以，接受原假设 H0: μ =10。
III. 方法原理 因为，当原假设是 H0: μ =10 成立时，
所以，当 很小时，若 H0为真(正确),检验统
计量落入拒绝域是一小概率事件 (概率很小,
为 )。前面我们曾提到：“通常认为小概率
事件在一次试验中基本上不会发生”。 那么，如果小概率事件发生，即:
例8.2.3 假设有A、B两种药，试验者欲比 较服用2小时后它们在患者血液中的含量是否 一样。为此, 对药品A, 随机抽取8个病人服药， 服药2小时后, 测得8个病人血液中药物浓度 (用 适当的单位) 分别为:
1.23, 1.42, 1.41, 1.62, 1.55, 1.51, 1.60, 1.76. 对药品B, 随机抽取6个病人服药, 服药2小时后， 测得血液中药的浓度分别为:
与 (1) 的分析完全类似，可以得到: ● 在12和22已知情况下，H0的拒绝域为
● 在12与22未知，但二者相等情况下，H0的 拒绝域为
小结
本讲首先介绍假设检验的基本概念；然 后讨论正态总体均值的各种假设检验问题， 给出了检验的拒绝域及相关例题。
作业：p173，单 边对立假设，它们的检验称为单边检验。
单边假设检验有实用意义。例如，工厂生
产的产品的某项质量指标服从均值为μ0的正态
分布；采用新技术或新配方后，产品的质量指
标应该随之上升，服从均值为 的正态分布。 我们的问题就是检验 H0: =μ0，即新技术或新 配方对提高产品质量无效果，还是H1: >μ0，
时，和前面不同的是：常用样本方差S2代替 未知的2 ，这时
所以，对给定的显著水平 α，有
假设检验 H0的拒绝域为 此检验法称作 t 检验法。
例8.2.1(续例8.1.1) 假设2未知，检验
解 n=10, =0.05, 0=10， t10-1( /2)=t9(0.025)=2.2622，
所以，接受原假设 H0: μ =10.
电阻，测得它们的电阻值为
9.9, 10.1, 10.2, 9.7, 9.9, 9.9, 10.0, 10.5, 10.1, 10.2.
问，从样本来看，我们能否认为该厂生产的电
阻的平均值 =10欧姆?
I. 如何建立检验模型
● 确定总体：记 X为该厂生产电阻的测值，则
X～N(, 0.12)；
● 明确任务：通过样本推断(判断) “X的均值 μ 是否等于10欧姆”；
原假设的对立面是 “X的均值 μ ≠10”,称 为 “对立假设” 或 “备择假设”, 记成 “H1:
μ把≠原10假”。设和对立假设合写在一起，就是
II. 解决问题的思路
因样本均值是 μ 的一个很好的估计。所
以，当μ =10，即原假设 H0 成立时,
应比较小；如果该值过大, 想必 H0不成立。
于是，我们就用
在数理统计中，把 “ X 的均值 μ =10” 这样
的一个欲检验的假设称为 “原假设” 或 “零 假设”，记成 “ H0：μ =10”。这里的“H”是 从英文“ hypothesis ”的字头而来，“ 0 ” 是从 “null”或“zero” 含义而生。
该检验称为两样本 t 检验。
说明
上面，我们假定 12=22。当然，这是个 不得已而强加上去的条件。因为，如果不加 这个条件，就无法使用简单易行的 t 检验。
在实用中，只要我们有理由认为12和22 相差不是太大，就可使用上述方法。通常的 做法是：如果方差比检验未被拒绝(见下节)， 就认为12和22相差不是太大。
又如：考察一项新技术对提高产品质量是 否有效，就把新技术实施前后生产的产品质量
指标分别看成正态总体 N(1, 12)和 N(2, 22)。
这时，所考察的问题就归结为检验这两个正态
总体的均值 1和 2是否相等的问题。
设X1, X2, …, Xm与Y1, Y2, …, Yn 分别为抽
自正态总体 N(1, 12) 和N(2, 22) 的样本，记
的大小检验 H0 是否
成立。
合理的做法应该是：找出一个界限 c，
这里的问题是：如何确定常数 c 呢？ 细致地分析：根据定理 6.3.1，有
于是，当原假设 H0：μ =10 成立时，有
为确定常数 c，我们考虑一个很小的正数， 如 =0.05。当原假设H0：μ =10 成立时，有
于是，我们就得到如下检验准则:
即新技术或新配方对提高产品质量确实有效。
单边检验 H0: μ =μ0 ‹–› H1: μ >μ0
如果μ =μ0，即原假设成立，则
就
不应太大；反之，如果
过大，就认为
H0不成立，而 H1成立。
在2已知情况下，根据定理6.3.1，知：
当 H0 成立时，
在2未知情况下，当原假设成立时，有 由此可推出 所以，对给定的显著水平 α， H0的拒绝域为
例8.2.2 某厂生产一种工业用绳，其质量 指标是绳子所承受的最大拉力。假定该指标
服从正态分布。该厂原来生产的绳子平均最
大拉力μ0=15千克。现在采用了一种新的原材
料，厂方称这种原材料提高了绳子的质量，
也就是说绳子所承受的平均最大拉力 μ 比15
千克大了。为了检验该厂的结论是否真实， 从其新产品中随机抽取50件，测得它们所承
检验的显著性水平，简称水平。
犯第二类错误的概率的计算超出了课程 的学习范围。因此，不作讨论。
例8.1.1(续) 分析该例的显著性水平。
H0: μ =10，
现在我们来分析：取上述 c 后，如果 H0 是正确的，却被我们拒绝了。这时，犯第一 类错误的概率是多少呢？
分析 因为当 H0: μ =10成立时，有
可见：用该方法进行检验时，犯第一类
错误的概率等于 显著性水平 。
§8.2 正态总体均值的假设检验
8.2.1 单正态总体N( , 2)均值的检验
1. 双边检验 假设 2已知，根据上节中的例8.1.1，当
原假设 H0: μ=μ0 成立时，有
所以，对给定的显著水平 α，H0的拒绝域为
以上检验法称作 U 检验法。 在应用上，2未知的情况是常见的。此
(1) 双边检验 H0: 1= 2 ↔ H1: 1≠2 .
当 12 和 22 已知时，根据定理7.5.1，有
进一步，当 H0: 1=2为真时，
于是，显著性水平为α 的H0的拒绝域为
当 12=22 =2，2未知时，据定理7.5.1，有
进一步，当 H0: 1=2 成立时，有
从而，显著性水平为α 的H0的拒绝域为
1.76, 1.41, 1.87, 1.49, 1.67, 1.81. 假定这两组观测值分别抽自方差相同的两个正
态总体，试在显著性水平 =0.10下，检验病人
血液中药物的浓度是否显著的不同?
解 问题就是从总体 N(1, 2)和N(2, 2)
中分别抽取样本X1, X2,…, X8 和Y1, Y2,…, Y6， 样本均值和样本方差分别为：
受的最大拉力的平均值为15.8千克，样本标
准差S=0.5千克。取显著性水平 =0.01。问从
这些样本看：能否接受厂方的结论，即新的
原材料确实提高了绳子的质量。
解 问题归结为检验如下假设
H0: μ =15 ↔ H1: μ >15 (2未知).
于是，
从而，拒绝原假设，即认为新的原材料确实 提高了绳子所能承受的最大拉力。
《概率论与数理统计》
第八章 正态总体均值的假设检验
北京工业大学 第二十讲
第八章 假设检验
统计推断的另一种形式是假设检验。
所谓假设检验，就是根据样本的信息检 验总体的分布参数或分布形式是否具有某些 特征。例如，对一个正态总体，检验其均值
是否为某一给定的 (已知) 常数0，或检验其标
准差是否小于等于某一给定的 (已知) 常数0； 以及检验总体的分布是否为正态分布，是非 为指数分布，等等。
2. 单边检验 H0: μ =μ0 ‹–› H1: μ >μ0
上一段中，H0:μ=μ0‹–›H1: μ≠μ0 的对立 假设为 H1: μ≠μ0 , 称其为双边对立假设。
现在要处理的对立假设为 H1: μ >μ0, 称 为右边对立假设。
类似地，H0: μ=μ0 ‹–› H1: μ<μ0 中的对立 假设H1: μ<μ0，称其为左边对立假设。
§8.1 基本概念
参数检验 假设检验
非参数检验
在总体分布已知情形 下，检验未知参数的 某个假设是否接受。
研究总体分布未知情 形下的假设检验问题。
我们先通过一个例子，来引进假设检验 中的一些重要概念。
例8.1.1 某工厂生产10欧姆的电阻。根据 以往生产的电阻实际情况，可以认为: 电阻值
X服从正态分布N(, 0.12)。现在随机抽取10个
8.2.2 两个正态总体 N(1, 12) 和 N(2, 22)
均值的比较
在应用上，经常会遇到两个正态总体均 值的比较问题。
例如，比较甲、乙两厂生产的某种产品 的质量。将两厂生产的产品的质量指标分别
看成正态总体 N(1, 12) 和 N(2, 22)。比较它
们的产品质量指标的问题，就变为比较这两
个正态总体的均值 1和 2的问题。
故，接受原假设。即, 认为病人血液中药浓
度无显著差异。
(2) 单边检验 H0: 1≥2 ↔ H1: 1<2
与 (1) 的分析完全类似，可以得到: ● 在12和22已知情况下，H0的拒绝域为
● 在12与22未知，但二者相等情况下，H0的 拒绝域为
(3) 单边检验 H0: 1≤2 ↔ H1: 1＞2
发生，就认为 H0 不真，即认为 H0不成立。
IV. 两类错误与显著性水平
当我们检验一个假设 H0 时，有可能犯以 下两类错误之一：H0 是正确的，但被我们拒 绝了，这就犯了“弃真”的错误，即抛弃了 正确假设；H0 是不正确的，但被我们接受了， 这就犯了“取伪”的错误，即采用了伪假设。
因为检验统计量总是随机的，所以，我 们总是以一定的概率犯以上两类错误。
通常用 α 和 β记犯第一、第二类错误的概 率，即
在检验问题中，犯“弃真”和“取伪” 两类错误都总是不可避免的，并且减少犯第 一类错误的概率，就会增大犯第二类错误的 概率;反之亦所然以。，犯两类错误的概率不能同 时得到控制。
在统计学中，通常控制犯第一类错误的
概概率。一般事先选定一个数 (0< <1)，要 求犯第一类错误的概率不超过。称 为假设
为原假设H0 的拒绝域。
用以上检验准则处理问题， 所以，接受原假设 H0: μ =10。
III. 方法原理 因为，当原假设是 H0: μ =10 成立时，
所以，当 很小时，若 H0为真(正确),检验统
计量落入拒绝域是一小概率事件 (概率很小,
为 )。前面我们曾提到：“通常认为小概率
事件在一次试验中基本上不会发生”。 那么，如果小概率事件发生，即:
例8.2.3 假设有A、B两种药，试验者欲比 较服用2小时后它们在患者血液中的含量是否 一样。为此, 对药品A, 随机抽取8个病人服药， 服药2小时后, 测得8个病人血液中药物浓度 (用 适当的单位) 分别为:
1.23, 1.42, 1.41, 1.62, 1.55, 1.51, 1.60, 1.76. 对药品B, 随机抽取6个病人服药, 服药2小时后， 测得血液中药的浓度分别为:
与 (1) 的分析完全类似，可以得到: ● 在12和22已知情况下，H0的拒绝域为
● 在12与22未知，但二者相等情况下，H0的 拒绝域为
小结
本讲首先介绍假设检验的基本概念；然 后讨论正态总体均值的各种假设检验问题， 给出了检验的拒绝域及相关例题。
作业：p173，单 边对立假设，它们的检验称为单边检验。
单边假设检验有实用意义。例如，工厂生
产的产品的某项质量指标服从均值为μ0的正态
分布；采用新技术或新配方后，产品的质量指
标应该随之上升，服从均值为 的正态分布。 我们的问题就是检验 H0: =μ0，即新技术或新 配方对提高产品质量无效果，还是H1: >μ0，
时，和前面不同的是：常用样本方差S2代替 未知的2 ，这时
所以，对给定的显著水平 α，有
假设检验 H0的拒绝域为 此检验法称作 t 检验法。
例8.2.1(续例8.1.1) 假设2未知，检验
解 n=10, =0.05, 0=10， t10-1( /2)=t9(0.025)=2.2622，
所以，接受原假设 H0: μ =10.
电阻，测得它们的电阻值为
9.9, 10.1, 10.2, 9.7, 9.9, 9.9, 10.0, 10.5, 10.1, 10.2.
问，从样本来看，我们能否认为该厂生产的电
阻的平均值 =10欧姆?
I. 如何建立检验模型
● 确定总体：记 X为该厂生产电阻的测值，则
X～N(, 0.12)；
● 明确任务：通过样本推断(判断) “X的均值 μ 是否等于10欧姆”；
原假设的对立面是 “X的均值 μ ≠10”,称 为 “对立假设” 或 “备择假设”, 记成 “H1:
μ把≠原10假”。设和对立假设合写在一起，就是
II. 解决问题的思路
因样本均值是 μ 的一个很好的估计。所
以，当μ =10，即原假设 H0 成立时,
应比较小；如果该值过大, 想必 H0不成立。
于是，我们就用