新人教版九年级数学上册：《配方法》教学案

配方法
课题
§2．2．3 配方法(三)
教学目标
(一)教学知识点
1．利用方程解决实际问题．
2．训练用配方法解题的技能．
(二)能力训练要求
1．经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，增强学生的数学应用意识和能力．
2．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．
3．进一步训练利用配方法解题的技能．
(三)情感与价值观要求
通过学生创设解决问题的方案，来培养其数学的应用意识和能力，进而拓宽他们的思维空间，来激发其学习的主动积极性．
教学重点
利用方程解决实际问题
教学难点
对于开放性问题的解决，即如何设计方案
教学方法
分组讨论法
教具准备
投影片二张
第一张：练习(记作投影片§2．2．3 A)
第二张：实际问题(记作投影片§2．2．3 B)
教学过程
Ⅰ．巧设情景问题，引入新课
[师]通过上两节课的研究，我们会用配方法来解数字系数的一元二次方程．下面我们通
过练习来复习巩固一元二次方程的解法．(出示投影片§2．2．3 A)
用配方法解下列一元二次方程：
(1)x 2+6x+8＝0；
(2)x 2-8x+15＝0；
(3)x 2-3x-7＝0；
(4)3x 2-8x+4＝0；
(5)6x 2-11x-10＝0；
(6)2x 2+21x-11＝0．
[师]我们分组来做，第一、三、五组的同学做方程(1)、(3)、(5)，第二、四、六组的同学做方程(2)、(4)、(6)．
[师]各组做完了没有?
[生齐声]做完了．
[师]好，我们来交叉改一下，看看哪位同学批改得仔细，哪位同学的方程解得全对．
[生甲]我改的是××同学的，他做的是方程(1)、(3)、(5)，方程(1)解对了，答案是x 1＝-2，x 2＝-4．解方程(3)时，在配方的时候，他配错了，即
x 2-3x-7＝0，
x 2-3x ＝7，
x 2-3x+32＝7+32 应为(-2
3)2． [师]很好，这里一次项-3x 的系数-3是奇数，所以应在方程两边各加上(-3)的一半的平方，那方程(3)的正确答案是多少呢?
[生乙]方程(3)的解为x 1＝
2373,23732-=+x . [师]好，继续．
[生丙]方程(5)的二次项系数不为1，所以首先应把方程化为二次项系数是1的形式，然后再应用配方进行求解．××同学解的对，其解为x 1＝25，x 2＝-2
3． [生丁]××同学做的是方程(2)、(4)、(6)．他解的完全正确，即
方程(2)的解：x 1＝5，x 2=3，
方程(4)的解：x 1＝2，x 2＝2
3，
方程(6)的解：x l =2
1，x 2＝-11． [师]利用配方法求解方程时，一定要注意：
①方程的二次项系数不为1时，首先应把它化为二次项系数是1的形式，这是利用配方法求解方程的前提．
②配方法中方程的两边都加上一次项系数一半的平方的前提是方程的二次项系数为1． 另外，大家在利用配方法求解方程时，要有一定的技能．这就需要大家不仅要多练，而且还要动脑．尤其是在解决实际问题中．
这节课我们就来解决一个实际问题．
Ⅱ．讲授新课
[师]看大屏幕．(出示投影片§ 2．2．3B)在一块长16 m ，宽12 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，你能给出设计方案吗?
[师]大家仔细看题，弄清题意后，分组进行讨论，设计具体方案，并说说你的想法．
[生甲]我们组
的设计方案如右图
所示，其中花园四
周是小路，它们的
宽度都相等．
这样设计既美观又大方，通过列方程、解方程，可以得到小路的宽度为2 m 或12 m ．
[师]噢，同学们来想一想，甲组的设计符合要求吗?如果符合，请说明是如何列方程，又如何求解方程的；如果不符合，请说明理由．
[生乙]甲组的设计符合要求．
我们可以假设小路的宽度为x m ，则根据题意，可得方程 (16-2x)(12-2x)=
21×16×12， 也就是x 2-14x-24＝0．
然后利用配方法来求解这个方程，即
x 2
-14x+24＝0，
x 2-14x ＝-24，
x 2-14x+72=-24+72，
(x-7)2＝25，
x-7=±5，
即x-7=5，x-7＝-5．
∴x 1=12．x 2=2．
因此，小路的宽度为2 m 或12 m ．
由以上所述知：甲组的设计方案符合要求．
[生丙]不对，因为荒地的宽度是12 m ，所以小路的宽度绝对不能为12 m ．因此甲组设计的方案不太准确，应更正为：花园四周的小路的宽度只能是2 m ．
[师]大家来作判断，谁说的合乎实际?
[生齐声]丙同学说得有理．
[师]好，一般地来说：在解一元一次方程时，只要题目、方程及解法正确，那么得出的根便是所列方程的根，一般也就是所解应用题的解，而一元二次方程有两个根，这些根虽然满足所列的一元二次方程，但未必符合实际问题．因此，解完一元二次方程之后，不要急于下结论，而要按题意来检验这些根是不是实际问题的解．这一点，丙同学做得很好，大家要学习他从多方面考虑问题．接下来，我们来看其他组设计的方案．
[生丁]我们组
的设计方案如右图．
我们是以矩形
的四个顶点为圆心，
以约5．5 m 长为半
径画了四个相同的扇形，则矩形除四个相同的扇形以外的地方就可作为花园的场地．
因为四个相同的扇形拼凑在一起正好是一个圆，即四个相同扇形的面积之和恰为一个圆的面积，假设其半径为x m ，根据题意，可得
πx 2＝2
1×12×16． 解得x=± 96≈±5．5．
因为半径为正数，所以x ＝-5．5应舍去．因此，由以上所述可知，我们组设计的方案符合要求．
[生戊]由丁同
学组的启发，我又
设计了一个方案，
如右图．
以矩形的对角
线的交点为圆心，以5．5 m 长为半径在矩形中间画一个圆，这个圆也可作为花园的场地．
[生己]老师，我也设计了一个方案，图形与戊同学的一样，他是把圆作为花园的场地,而我是把圆以外的荒地作为花园的场地，圆内以备盖房子．
[师]同学们设计的方案都很好，并能触类旁通，真棒．其他组怎么样?
[生庚]我们组
设计的方案如右图．
顺次连结矩形
各边的中点，所
得到的四边形即
是作为花园的场
地．
因为矩形的四个顶点处的直角三角形都全等，每个直角三角形的面积是24 m 2(即
21×6×8)，所以四个直角三角形的面积之和为96 m 2，则剩下的面积也正好是96 m 2，即等于矩形
面积的一半．因此这个设计方案也符合要求．
[生辛]我们组设计的方案如下图．
图中的阴影部分可作为建花园的场所．
因为阴影部分的面积为96 m 2，正好是矩形面积的一半，所以这个设计也符合要求．
[生丑]我们组
设计的方案如右图．
图中的阴影部
分可作为建花园的
场地．
经计算，它符合要求．
[生癸]我们组的设计方案如下图．
图中的阴影部分是作为建花园的场地．
[师]噢，同学们能帮癸组求出图中的x 吗?
[生]能，根据题意，可得方程
2×
2
1 (16-x)(12-x) ＝21×16×12， 即x 2
-28x+96＝0，
x 2-28x ＝-96，
x 2-28x+142＝-96+142，
(x-14)2＝100，
x-14＝±10．
∴x 1＝24，x 2＝4．
因为矩形的长为16 m ，所以x 1＝24不符合题意．因此图中的x 只能为4 m.
[师]同学们真棒，通过大家的努力，设计了这么多在矩形荒地上建花园的方案． 接下来，我们再来看一个设计方案．
Ⅲ．课堂练习
(一)课本P 55随堂练习 1
1．小颖的设计方案如图所示，你能帮助她求出图中的x 吗?
解：根据题意，得 (16-x)(12-x)=
21×16×12， 即x 2-28x+96=0．
解这个方程，得
x 1=4，x 2＝24(舍去)．
所以x=4．
(二)看课本P 53～P 54，然后小结．
Ⅳ．课时小结
本节课我们通过列方程解决实际问题，进一步了解了一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，并且知道在解决实际问题时，要根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．
另外，还应注意用配方法解题的技能．
Ⅴ．课后作业
(一)课本P 55习题2．5 1、2
(二)1．预习内容：P 56～P 57
2．预习提纲
如何推导一元二次方程的求根公式．
Ⅵ．活动与探究
汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素，在一个限速40千米／时以内的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场测得甲车的刹车距离为12米，乙车的刹车距离超过10米，但小于12米，查有关资料知，甲种车的刹车距离S 甲(米)与车速x(千米／时)之间有下列关系：S 甲＝0．1x+0．01x 2
；乙种车的刹车
距离S 乙(米)与车速x(千米／时)的关系如下图所示．
请你就两车的速度方面分析相碰的原因．
[过程]通过对本题的研究、探讨，让学生体会数学与现实生活紧密相连． 由甲车的刹车距离和车速的关系式S 甲＝0．1x+0．01x 2
，又S 甲＝12，从而可求得甲 车速度，对乙车而言，从图象上知刹车距离与车速是成正比例函数关系，因而可设为x 乙＝kx ，又其过点(60，15)，从而得到k 值，由10<s 乙<12，可得乙车车速，进而可确定事故的原因．
[结果]
解：对于甲车：
∵甲车刹车距离为12米，根据题意，得
12＝0．1x+0．01x 2．
解这个方程，得x 1＝30或x 2＝-40(舍去)，
即甲车的车速为30千米／时，不超过限速．
对于乙车：
由图象知，其关系是一个正比例函数，设
此函数为x 乙＝kx
∵经过点(60，15)，∴15＝60k ， ∴k ＝
41，即此函数解析式为S 乙=4
1x 根据题意，得10<41x<12． ∴40<x<48．
∴乙车超过限速40千米／时的规定．
∴就速度方面分析，两车相碰的原因在于乙车超速行驶．
板书设计
§2．2．3 配方法(三) 一、实际问题的设计方案：
设计方案一：
设计方案二：
设计方案三：
设计方案四：
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业。