人教版数学九年级上册：22.1.4 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式 (含答案)

第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
1．已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的解析式是( )
A ．y ＝2x 2＋x ＋2
B ．y ＝x 2＋3x ＋2
C ．y ＝x 2－2x ＋3
D ．y ＝x 2－3x ＋2
2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图22－1－27所示，那么这个函数的解析式为( )
图22－1－27
A ．y ＝13x 2＋2
3x ＋1
B ．y ＝13x 2＋2
3
x －1
C ．y ＝13x 2－2
3x －1
D ．y ＝13x 2－2
3
x ＋1
3．已知A (0，
3)，B (2，3)是抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 上两点，则该抛物线的顶点坐标是________． 4．已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (3，0)，B (2，－3)，C (0，－3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设D 是抛物线上一点，且点D 的横坐标为－2，求△AOD 的面积．
5．已知某二次函数的图象如图22－1－28所示，则这个二次函数的解析式为( )
图22－1－28
A ．y ＝2(x ＋1)2＋8
B ．y ＝18(x ＋1)2－8
C ．y ＝2
9(x －1)2＋8
D ．y ＝2(x －1)2－8
6．已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，－1)，那么这个二次函数的解析式可以是____________．(只需写一个)
7．已知一个二次函数的图象经过点(4，－3)，并且当x ＝3时，函数有最大值4，求该二次函数的解析式．
8．某抛物线的形状、开口方向与抛物线y ＝1
2x 2－4x ＋3相同，顶点坐标为(－2，1)，则该抛
物线的函数解析式为( )
A ．y ＝1
2(x －2)2＋1
B ．y ＝1
2(x ＋2)2－1
C ．y ＝1
2
(x ＋2)2＋1
D ．y ＝－1
2
(x ＋2)2＋1
9．若y ＝ax 2＋bx ＋c ，则由表格中信息可知y 与x 之间的函数解析式是( )
A.y ＝x 2－4x ＋3 B ．y ＝x 2－3x ＋4 C ．y ＝x 2－3x ＋3
D ．y ＝x 2－4x ＋8
10．某二次函数的图象如图22－1－29所示，则其解析式为________________．
图22－1－29
11．如果抛物线y ＝(k ＋1)x 2＋x －k 2＋2与y 轴的交点坐标为(0，1)，那么k 的值是__________． 12．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过原点及点(－2，－2)，且图象与x 轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的解析式为________________________． 13.已知抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过点(1，0)，(0，32
)．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)将抛物线y ＝－1
2x 2＋bx ＋c 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及
平移后抛物线的函数解析式．
14．[2019·永州] 如图22－1－30，已知抛物线经过A(－3，0)，B(0，3)两点，且其对称轴为直线x ＝－1.
(1)求此抛物线的函数解析式；
(2)若P 是抛物线上点A 与点B 之间的动点(不包括点A 与点B)，求△PAB 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．
图22－1－30
15．如图22－1－31，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为(3，0)，顶点C的坐标为(1，4)．
(1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
(2)P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长的最大值．
图22－1－31
16．抛物线C：y＝ax2＋bx经过A(－4，0)，B(－1，3)两点，求抛物线C的函数解析式．
17．已知抛物线经过A(－5，0)，B(0，5)两点，且其对称轴为直线x＝－2，求此抛物线的函数解析式．
答案
1．D [解析] 设函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝0，c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝1，b ＝－3，c ＝2.
∴该函数的解析式为y ＝x 2－3x ＋2.
2．C [解析] 根据图象可知抛物线经过点(－1，0)，(3，0)，(0，－1)，设这个二次函数的解析式是y ＝ax 2＋bx ＋c.
根据题意，得⎩⎪⎨⎪
⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1
3，b ＝－23，c ＝－1. 所以这个二次函数的解析式是y ＝13x 2－2
3x －1.故选C .
3．(1，4)
4．解：(1)把A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪
⎧9a ＋3b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝－3，c ＝－3，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.
则抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3.
(2)把x ＝－2代入抛物线的解析式，得y ＝5，即D(－2，5)． ∵A(3，0)，即OA ＝3，∴S △AOD ＝12×3×5＝152.
5．D [解析] 因为抛物线的顶点坐标是(1，－8)， 所以设抛物线的函数解析式是y ＝a(x －1)2－8. 因为点(3，0)在这个二次函数的图象上， 所以0＝a(3－1)2－8，解得a ＝2.
所以这个二次函数的解析式为y ＝2(x －1)2－8.
6．答案不唯一，如y ＝2x 2－1 [解析] ∵二次函数图象的顶点坐标为(0，－1)，∴设该二次函数的解析式为y ＝ax 2－1.
又∵二次函数的图象开口向上，∴a ＞0.
∴这个二次函数的解析式可以是y ＝2x 2－1(答案不唯一)．
7．解：∵当x ＝3时，函数有最大值4， ∴函数图象的顶点坐标为(3，4)． 故设此函数的解析式是y ＝a(x －3)2＋4.
再把(4，－3)代入函数解析式，得a×(4－3)2＋4＝－3，解得a ＝－7. 故二次函数的解析式是y ＝－7(x －3)2＋4， 即y ＝－7x 2＋42x －59.
8．C [解析] 已知抛物线的顶点坐标，可以设顶点式y ＝a(x ＋2)2＋1.又因为该抛物线的形状、开口方向与抛物线y ＝12x 2－4x ＋3相同，所以a ＝1
2，所以该抛物线的函数解析式是y
＝1
2
(x ＋2)2＋1. 9．A [解析] ∵当x ＝1时，ax 2＝1，∴a ＝1. 将(－1，8)，(0，3)分别代入y ＝x 2＋bx ＋c ，
得⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝8，c ＝3，解得⎩
⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3. ∴y 与x 之间的函数解析式是y ＝x 2－4x ＋3.故选A .
10．y ＝－x 2＋2x ＋3 [解析] 由图象可知，抛物线的对称轴是直线x ＝1，与y 轴交于点(0，3)，与x 轴交于点(－1，0)，设其解析式为y ＝ax 2
＋bx ＋c ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b
2a
＝1，c ＝3，
a －
b ＋
c ＝0，解得⎩⎪
⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝3.
故二次函数的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.
11．1 [解析] ∵抛物线y ＝(k ＋1)x 2＋x －k 2＋2与y 轴的交点坐标为(0，1)， ∴－k 2＋2＝1.解得k ＝±1. 又∵k ＋1≠0，∴k ＝1.故答案为1. 12．y ＝12x 2＋2x 或y ＝－16x 2＋23
x
[解析] ∵二次函数图象与x 轴的另一个交点到原点的距离为4， ∴这个交点坐标为(－4，0)或(4，0)， ①若这个交点坐标为(－4，0)，
则⎩⎪⎨⎪
⎧c ＝0，
4a －2b ＋c ＝－2，16a －4b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1
2
，b ＝2，c ＝0，
∴该二次函数的解析式为y ＝1
2x 2＋2x ；
②若这个交点坐标为(4，0)， 则⎩⎪⎨⎪
⎧c ＝0，4a －2b ＋c ＝－2，16a ＋4b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1
6，b ＝23，c ＝0，
∴该二次函数的解析式为y ＝－16x 2＋2
3
x.
故这个二次函数的解析式为y ＝12x 2＋2x 或y ＝－16x 2＋2
3
x.
13．解：(1)把(1，0)，(0，3
2)代入抛物线的解析式得⎩⎨⎧－1
2＋b ＋c ＝0，c ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝32.
则抛物线的函数解析式为y ＝－12x 2－x ＋3
2.
(2)y ＝－12x 2－x ＋32＝－1
2
(x ＋1)2＋2，
可将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，其顶点恰好落在原点(平移方法不唯一)，平移后抛物线的函数解析式为y ＝－1
2
x 2.
14．解：(1)∵抛物线的对称轴是直线x ＝－1且经过点A(－3，0)， ∴抛物线还经过点(1，0)．
设抛物线的函数解析式为y ＝a(x －1)(x ＋3)． 把B(0，3)代入，得3＝－3a.解得a ＝－1.
∴抛物线的函数解析式为y ＝－(x －1)(x ＋3)＝－x 2－2x ＋3. (2)设直线AB 的函数解析式为y ＝kx ＋b. ∵A(－3，0)，B(0，3)，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝0，b ＝3，解得{k ＝1，b ＝3. ∴直线AB 的函数解析式为y ＝x ＋3.
过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，交直线AB 于点M. 设P(x ，－x 2－2x ＋3)，则M(x ，x ＋3)， ∴PM ＝－x 2－2x ＋3－(x ＋3)＝－x 2－3x.
∴S △PAB ＝12(－x 2－3x)×3＝－32(x ＋32)2＋27
8
.
∴当x ＝－32时，S △PAB 有最大值，为278，此时y P ＝－(－32)2－2×(－32)＋3＝15
4，
∴△PAB 面积的最大值为278，此时点P 的坐标为(－32，15
4)．
15．解：(1)∵抛物线的顶点C 的坐标为(1，4)， ∴设二次函数的顶点式为y ＝a(x －1)2＋4. 把B(3，0)代入，得0＝a(3－1)2＋4. 解得a ＝－1.
∴二次函数的解析式为y ＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3. 令x ＝0，则y ＝3，∴点D 的坐标为(0，3)．
设直线BD 的解析式为y ＝mx ＋n ，把B(3，0)，D(0，3)代入，得
⎩⎪⎨⎪⎧0＝3m ＋n ，3＝n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，
n ＝3.
∴直线BD 的解析式为y ＝－x ＋3.
(2)设点P 的横坐标为x ，则点P 的坐标为(x ，－x ＋3)，点M 的坐标为(x ，－x 2＋2x ＋3)． ∵点P 在第一象限，
∴线段PM 的长为y M －y P ＝－x 2＋2x ＋3－(－x ＋3)＝－x 2＋3x ＝－(x －32)2＋94.
∴当x ＝32时，线段PM 的长有最大值，最大值是9
4.
16．解：(1)将A(－4，0)，B(－1，3)代入
y ＝ax 2＋bx
中，得⎩
⎪⎨⎪⎧16a －4b ＝0，
a －
b ＝3，
解得⎩
⎪⎨⎪
⎧a ＝－1，b ＝－4，
∴抛物线C 的函数解析式为y ＝－x 2－4x. 17．解：设抛物线的函数解析式为y ＝a(x ＋2)2＋k. 代入A ，B 两点的坐标，得
⎩⎪⎨⎪⎧（－5＋2）2a ＋k ＝0，4a ＋k ＝5，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－1，
k ＝9. 所以此抛物线的函数解析式为y ＝－(x ＋2)2＋9，即y ＝－x 2－4x ＋5.。