山东省日照市2015届高三3月模拟考试数学(理)试题

第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项
是符合题目要求的.
1.集合{
}
{}24,0A y y x B x x x A B ==
≤≤=->⋂=，则（ ）
A.(]()12-∞⋃+∞，，
B. ()()012-∞⋃，，
C.∅
D. (]12，
【答案】D
考点：集合的交集运算、一元二次不等式、函数的值域.
2.已知复数121234,,z i z t i z z =+=+⋅且是实数，则实数t 等于（ ） A.
3
4
B.
43
C. 43
-
D. 34
-
【答案】A
考点：复数的运算.
3.已知命题(
)
2:,log 310x
p x R ∃∈+≤，则（ ） A.p 是假命题： ()2:,log 310x
p x R ⌝∀∈+≤
B. p 是假命题：()2:,log 310x
p x R ⌝∀∈+> C. p 是真命题：(
)
2:,log 310x
p x R ⌝∀∈+≤
D. p 是真命题：(
)
2:,log 310x
p x R ⌝∀∈+> 【答案】
B
考点：命题的真假、命题的否定.
4.一个简单几何体的正视图、侧视图如右图所示，则其俯视图不可能为．．．．①长方形；②正方形；③圆；④椭圆.中的（ ） A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
【答案】
B
考点：三视图.
5.已知x ，y 满足22y x
x y z x y x a ≥⎧⎪
+≤=+⎨⎪≥⎩
，且的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（ ）
A. 34
B.
14
C .
2
11
D.4【答案】B
【解析】
考点：线性规划.
6.运行如右图所示的程序框图，则输出的结果S为（）
A.1008
B.2015
C.1007
D. 1007
【答案】D
考点：程序框图.
7.已知函数()()2
1cos ,4
f x x x f x '=+是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是（ ）
【答案】A
考点：函数图象、导数图象和原函数图象的关系.
8.已知函数()22,1,
22,1,
x x f x x x -⎧≤-=⎨+>-⎩则满足()2f a ≥的实数a 的取值范围是（ ）
A. ()(),20,-∞-⋃+∞
B. ()1,0-
C. ()2,0-
D. (][),10,-∞-⋃+∞
【答案】D 【解析】
试题分析：当1a ≤-时，2()22a f a -=≥，解得1
2
a ≤-
，此时1a ≤-；当1a >-时，()222f a a =+≥，解得0a ≥，此时0a ≥.故实数a 的取值范围是(,1][0,)-∞-+∞ ．故
选D ．
考点：指数不等式.
9.在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，D 在线段AC 上，AD kAC =（k 为常数，且01k <<），BD=l 为定长，则△ABC 的面积最大值为（ ）
A. 2
2
1l k -
B. 2
1l k -
C. ()
2
2
21l k - D.
()
2
21l
k - 【答案】C
考点：函数的最值.
10.已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，
()()0f x f x x '+
>，若()1
111,22,ln ln 2
222a f b f c f ⎛⎫⎛
⎫
⎛⎫
==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A. a c b << B. b c a <<
C. a b c <<
D. c a b <<
【答案】A
考点：利用导数判断函数的单调性来比较大小.
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11.若双曲线()22
22103
x y a a -=>的离心率为2，则a =________.
考点：双曲线的离心率.
12.设随机变量(
)()()2
~,1=2=0.3N P P ξμσξξ<->，且，则()20=P ξ-<<______.
【答案】0.2
考点：正态分布.
13.如图，在ABC ∆中，若1AB =，3AC =，3
2
AB AC ∙= ，则BC = _.
考点：余弦定理.
14.学校体育组新买2个同样篮球，3个同样排球，从中取出4个发放给高一4个班，每班1个，则共有______种不同的发放方法. 【答案】10
考点：排列组合.
15.圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周逆时针滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为_________.
【答案】
(2π
2
+ 【解析】
试题分析：每次转动一个边长时，圆心角转过60°，正方形有4边，所以需要转动12次，回到起点.在
这11次中，半径为1的63次，半径为0的2次，点A 走过的路径的
长度=
121612π⨯⨯⨯+12312π⨯ 考点：点的轨迹.
三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.（本小题满分12分）
已知函数())22sin cos 0,0f x a x x x a ωωωω=+>>的最大值为2，且最小正周期为π.
（I ）求函数()f x 的解析式及其对称轴方程； （II ）若()4,sin 436f
παα⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭求的值. 【答案】（1）π()2sin(2)3f x x =+
，ππ
()122k x k Z =+∈；（2）19
-.
考点：倍角公式、两角和的正弦公式、诱导公式、三角函数的周期、三角函数的最值、图象的对称轴.
17.（本小题满分12分）
在如图所示的空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，ACD ACB ∆∆与是边长为2的等边三角
∠的平分线形，BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在ABC
上.
（I）求证：DE//平面ABC；
--的余弦值.
（II）求二面角E BC A
【答案】（1）证明详见解析；（2
，
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系O xyz
考点：线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角.
18.（本小题满分12分）
学校为测评班级学生对任课教师的满意度，采用“100分制”打分的方式来计分.现从某班学生中随机抽取10名，以下茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：
规定若满意度不低于98分，测评价该教师为“优秀”.
（I）求从这10人中随机选取3人，至多有1人评价该教师是“优秀”的概率；
（II）以这10人的样本数据来估计整个班级的总体数据，若从该班任选3人，记ξ表示抽到评价该教师为“优秀”的人数，求ξ的分布列及数学期望.
【答案】（1）49
60
；（2）分布列详见解析，0.9
Eξ=.
分布列为
……………10分
34344118927
01230.91000100010001000
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 考点：茎叶图、离散型随机变量的分布列和数学期望、二项分布、超几何分布.
19.（本小题满分12分）
已知数列{}n a 中，111
,1,33,n n n a n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩
为奇数，
为偶数.
（I ）求证：数列232n a ⎧
⎫-⎨⎬⎩⎭
是等比数列；
（II ）若n S 是数列{}n a 的前n 项和，求满足
0n S >的所有正整数n . 【答案】（1）证明详见解析；（2）2
21()3(1)23
n n S n =--+.
考点：等比数列的证明、等差数列和等比数列的前n 项和公式.
20.（本小题满分13分） 已知函数()()()cos ,2x
f x x
g x e f x π⎛⎫
'=-
=⋅ ⎪⎝
⎭
，其中e 为自然对数的底数. （I ）求曲线()y g x =在点()()
0,0g 处的切线方程； （II ）若对任意,02x π⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦，不等式()()g x x f x m ≥⋅+恒成立，求实数m 的取值范围； （III ）试探究当,42x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
时，方程()()g x x f x =⋅的解的个数，并说明理由. 【答案】（1）1y x =+；（2）π,2⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦；（3）函数()H x 在ππ,42⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上有且只有一个零点.
【解析】
因此，函数()H x 在ππ,42⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有且只有一个零点． ²²²²²²²²²²²²²² 13分
考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的切线方程、利用导数求函数的最值.
21.（本小题满分14分）
已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>，其中12,F F 为左、右焦点，O 为坐标原点.直线l 与椭圆
交于()()1122,,,P x y Q x y 两个不同点.当直线l 过椭圆C 右焦点F 2且倾斜角为4
π
时，原点O
到直线l 的距离为
2
.又椭圆上的点到焦点F 21. （I ）求椭圆C 的方程；
（II ）以OP ，OQ 为邻边做平行四边形OQNP ，当平行四边形OQNP 形OQNP 的对角线之积ON PQ ⋅的最大值；
（III ）若抛物线()2
2220C y px p F =>：以为焦点，在抛物线C 2上任取一点S （S 不是原点O ），
以OS 为直径作圆，交抛物线C 2于另一点R ，求该圆面积最小时点S 的坐标.
【答案】（1）22
132
x y +=；（2）5；（3）（16，±8）.
考点：椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆相交问题、韦达定理、基本不等式.。