动量守恒定律的典型模型
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是匀速行走还是变速行走，甚至往返行走，只要 人最终到达船的左端，那么结论都是相同的。
3、人船模型的适用条件是：两个物体组成的 系统动量守恒，系统的合动量为零。
例7. 质量为m的人站在质量为M，长为L的静止小船的 右端，小船的左端靠在岸边。当他向左走到船的左端时， 船左端离岸多远？
解：先画出示意图。人、船系统动量守恒，总动
动量守恒典型问题
碰撞中弹簧模型
三、碰撞中弹簧模型
注意：状态的把握 由于弹簧的弹力随形变量变化，弹簧 弹力联系的“两体模型”一般都是作加速 度变化的复杂运动，所以通常需要用“动 量关系”和“能量关系”分析求解。复杂 的运动过程不容易明确，特殊的状态必须 把握：弹簧最长（短）时两体的速度相同； 弹簧自由时两体的速度最大（小）。
完全非弹性碰撞
碰撞后系统以相同的速度运动 v1=v2=v 动量守恒：
m1v10 m2v20 m1 m2 v
动能损失为
E＝
1 2
m1v120
1 2
m2v220
1 2
m1
m2
v 2
m1m1
2 m1 m2
v10 v20 2
例1. 如图所示，光滑水平面上质量为m1=2kg的物 块以v0=2m/s的初速冲向质量为m2=6kg静止的光滑 1／4圆弧面斜劈体。求：
多大的速度做匀速运动．取重力加速度g=10m/s2.
m=1.0kg
C
v0 =2.0m/s
B
A
M=2.0kg M=2.0kg
解：先假设小物块C 在木板B上移动距离 x 后，停在B上．这
时A、B、C 三者的速度相等，设为V．
由动量守恒得 mv0 (m 2M )V
①
在此过程中，木板B 的位移为S，小木块C 的位移为S+x．
v1
2 24 5
1.38m / s
⑧
当滑到A之后，B 即以V1= 0.155m/s 做匀速运动．而C 是以 v1=1.38m/s 的初速在A上向右运动．设在A上移动了y 距离后停 止在A上，此时C 和A 的速度为V2，如图示：
由动量守恒得
MV1 mv1 (m M )V2 ⑨
解得 由功能关系得 解得
P215 新题快递. • 例8.在一个足够大的光滑平面内,有两质量相同的
木块A、B,中间用一轻质弹簧相连.如图所示.用 一水平恒力F拉B,A、B一起经过一定时间的匀加 速直线运动后撤去力F.撤去力F后,A、B两物体的 情况足( ). • (A)在任意时刻,A、B两物体的加速度大小相等 • (B)弹簧伸长到最长时,A、B的动量相等 • (C)弹簧恢复原长时,A、B的动量相等 • (D)弹簧压缩到最短时,系统的总动能最小
二、人船模型
例6：静止在水面上的小船长为L，质量为M，在 船的最右端站有一质量为m的人，不计水的阻力， 当人从最右端走到最左端的过程中，小船移动的 距离是多大？
S
L-S
条件: 系统动量守衡且系统初动量为零.
处理方法: 利用系统动量守衡的瞬时性和物体间作用的 等时性,求解每个物体的对地位移.
m v1 = M v2 m s1 = M s2 s1 + s2 = L
A V0
B
例11：如图所示，质量为M=4kg的平板车静止在光滑
水平面上，其左端固定着一根轻弹，质量为m=1kg的小
物体以水平速度v0=5m/s从平板车右端滑上车，相对于 平板车向左滑动了L=1m后把弹簧压缩到最短，然后又 相对于平板车向右滑动到最右端而与之保持相对静止。 求
（1）小物体与平板车间的动摩擦因数； （2）这过程中弹性势能的最大值。
1、物块m1滑到最高点位置时，二者的速度 2、 m1上升的最大高度 3、物块m1从圆弧面滑下后，二者速度
若m1= m2物块m1从圆弧面滑下后，二者速度
5、分析与比较：下面的模型与该题的异同？
m1 v0
m2
例2：如图所示，木块质量m=4 kg，它以速度v=5 m/s水平地滑上一辆静止的平板小车，已知小车质量
• 例14.如图所示，有两个长方形的物体A和B紧靠在 光滑的水平面上，已知mA＝2kg，mB＝3kg，有一 质量m＝100g的子弹以v0＝800m/s的速度水平射入 长方体A，经0.01s又射入长方体B，最后停留在B内 未穿出。设子弹射入A时所受的摩擦力为3×103N。 (1)求子弹在射入A的过程中，B受到A的作用力的大 小。(2)当子弹留在B中时，A和B的速度各为多 大?[15]
• 2.弹性碰撞应满足： 经解得：
m1v1/
m2
v
/ 2
m1v1
m2 v2
1 2
m1 v1/ 2
1 2
m2
v
/2 2
1 2
m1v12
1 2
m2
v
2 2
一、弹性碰撞
• 系统机械能守恒，弹
性碰撞前后系统动能
相等。
m1v1/
m2
v
/ 2
m1v1
m2 v2
1 2
m1 v1/ 2
1 2
m2
v
/2 2
1 2
量始终为零，所以人、船动量大小始终相等。从
图中可以看出，人、船的位移大小之和等于L。
设人、船位移大小分别为l1、l2 ，则：mv1=Mv2，
两边同乘时间t，ml1=Ml2，
而l 1+l 2=L，
∴
l2
m M
m
L
l2 l1
应该注意到：此结论与人在船上行走的速度 大小无关。不论是匀速行走还是变速行走， 甚至往返行走，只要人最终到达船的左端， 那么结论都是相同的。
m v1 t = M v2 t ---------------- ① -----------②
结论: 人船对地位移为将二者相对位移按质量反比分配关系
s人
M mM
L
s船
m mM
L
1、“人船模型”是动量守恒定律的拓展应用， 它把速度和质量的关系推广到质量和位移 的关系。即：
m1v1=m2v2 则：m1s1= m2s2 2、此结论与人在船上行走的速度大小无关。不论
M=16 kg，木块与小车间的动摩擦因数为μ=0.5，木
块没有滑离小车，地面光滑，g取10 m/s2，求： （1）木块相对小车静止时小车的速度； （2）从木块滑上小车到木块相对于小车刚静止时， 小车移动的距离. （3）要保证木块不滑下平板车，平板车至少要有多 长？
（4）整个过程中系统机械能损失了多少？
v0
M
m
四.子弹打木块的模型
1.运动性质：子弹对地在滑动摩擦力作用下匀减
速直线运动；木块在滑动摩擦力作用下做匀加速 运动。
2.符合的规律：子弹和木块组成的系统动量守恒， 机械能不守恒。
3.共性特征：一物体在另一物体上，在恒定的阻 力作用下相对运动，系统动量守恒，机械能不守
恒，ΔE = f 滑d相对
例3、放在光滑水平地面上的小车质量为M.两端各有
弹性挡板P和Q,车内表面滑动摩擦因数为μ,有一质量 为m的物体放于车上, 对物体施一冲量,使之获得初速 v0向左运动，物体在车内与弹性挡板P和Q来回碰撞若 干次后,最终物体的速度为多少?
例4：两块厚度相同的木块A和B，紧靠着放在光 滑的水平面上，其质量分别为mA=0.5kg， mB=0.3kg，它们的下底面光滑，上表面粗糙； 另有一质量mc=0.1kg的滑块C（可视为质点）， 以vc=25m/s的速度恰好水平地滑到A的上表面， 如图所示，由于摩擦，滑块最后停在木块B上， B和C的共同速度为3.0m/s，求： （1）木块A的最终速度； （2）滑块C离开A时的速度。
V2 = 0.563 m/s
⑩
1 2
m v12
1 2
MV12
1 2
(m
M )V22
m gy
y = 0.50 m
y 比A 板的长度小，故小物块C 确实是停在A 板上．
最后A、B、C 的速度分别为:
VA V2 0.563m / s
V1 y C V2
VB V1 0.155m / s
B
A
VC VA 0.563m / s
ABD
碰撞中弹簧模型
例10：如图所示，质量为m的小物体B连着轻弹 簧静止于光滑水平面上，质量为2m的小物体A以 速度v0向右运动，则（1）当弹簧被压缩到最短 时，弹性势能Ep为多大？ （2）若小物体B右侧固定一挡板，在小物体A与 弹簧分离前使小物体B与挡板发生无机械能损失 的碰撞，并在碰撞后立即将挡板撤去，则碰撞前 小物体B的速度为多大，方可使弹性势能最大值 为2.5Ep？
• 例12.如图所示，质量为M的木块放在光滑水 平面上，质量为m的子弹以速度v0沿水平方
向射中木块，并最终留在木块中与木块一起 以速度v运动。已知当子弹相对木块静止时木 块前进的距离为L，若木块对子弹的阻力f视 为恒定，求子弹进入木块深度s
物理过程分析
a
b
Sa S
Sb
• 例13.子弹水平射入停在光滑水平地面上的 木块中，子弹和木块的质量分别为m和M， 从子弹开始接触木块到子弹相对木块静止 这段时间内，子弹和木块的位移分别为s1 和s2(均为相对地面的位移)，则s1：s2＝ __________。
【例5】如图所示，A、B是静止在水平地面上完全相
同的两块长木板，A的左端和B的右端相接触，两板的 质量均为M=2.0kg，长度均为l =1.0m,C 是一质量为 m=1.0kg的木块．现给它一初速度v0 =2.0m/s，使它从B
板的左端开始向右运动．已知地面是光滑的，而C与A、 B之间的动摩擦因数皆为μ=0.10．求最后A、B、C各以
m1v12
1 2
m2 v22
v1/
(m1
m2 )v1 2m2 v2 m1 m2
v2' (m2 m1)v2 2m1v1 m1 m2
二、弹性碰撞
• 3. 特点：⑴碰撞过程无机械能损失。⑵相 互作用前后的总动能相等。⑶可以得到唯 一的解。
• 4.当m1=m2时， v1′ = v2，v2′ = v1 （速度交换）
动量守恒定律的典型模型及其应用
几个模型：
（一）碰撞中动量守恒 （二）人船模型：平均动量守恒 （三）碰撞中弹簧模型
（四）子弹打木块类的问题： (五)类碰撞中绳模型
动量守恒典型模型 碰撞模型
一、弹性碰撞
• 1.在碰撞过程中物体间只有弹性内力做功， 系统机械能守恒，这样的碰撞叫弹性碰撞。 弹性碰撞前后系统动能相等。
由功能关系得
mg(s
x)
1 2
mV
2
1 2
mv02
mgx
பைடு நூலகம்
1 2
(m
2M
)V
2
1 2
mv02
相加得 mgs 1 2MV 2
②
2
解①、②两式得 x
Mv02
③
(2M m)g
代入数值得
v0
C
B
A
x 1.6m ④
xC
S
B
VA
x 比B 板的长度l 大．这说明小物块C不会停在B板上，而要
滑到A 板上．设C 刚滑到A 板上的速度为v1，此时A、B板的
• 答案:(1)1.8×103N(2)vA＝6m／s，vB＝22m／s
类碰撞中绳模型
• 例15.如图所示，光滑水平面上有两个质量相 等的物体，其间用一不可伸长的细绳相连，开 始B静止，A具有（规定向右为正）的动量， 开始绳松弛，那么在绳拉紧的过程中，A、B 动量变化可能是（ ）
速度为V1，如图示：
则由动量守恒得
mv0 mv1 2MV1 ⑤
由功能关系得
1 2
mv02
1 2
mv12
1 2
2MV12
mgl
⑥
以题给数据代入解得
V1
8
24 20
v1
2 8 24 5
2 24 5
由于v1 必是正数，故合理的解是
V1
8 24 20
0.155 m / s
⑦
v1
C
B
V1 A
3、人船模型的适用条件是：两个物体组成的 系统动量守恒，系统的合动量为零。
例7. 质量为m的人站在质量为M，长为L的静止小船的 右端，小船的左端靠在岸边。当他向左走到船的左端时， 船左端离岸多远？
解：先画出示意图。人、船系统动量守恒，总动
动量守恒典型问题
碰撞中弹簧模型
三、碰撞中弹簧模型
注意：状态的把握 由于弹簧的弹力随形变量变化，弹簧 弹力联系的“两体模型”一般都是作加速 度变化的复杂运动，所以通常需要用“动 量关系”和“能量关系”分析求解。复杂 的运动过程不容易明确，特殊的状态必须 把握：弹簧最长（短）时两体的速度相同； 弹簧自由时两体的速度最大（小）。
完全非弹性碰撞
碰撞后系统以相同的速度运动 v1=v2=v 动量守恒：
m1v10 m2v20 m1 m2 v
动能损失为
E＝
1 2
m1v120
1 2
m2v220
1 2
m1
m2
v 2
m1m1
2 m1 m2
v10 v20 2
例1. 如图所示，光滑水平面上质量为m1=2kg的物 块以v0=2m/s的初速冲向质量为m2=6kg静止的光滑 1／4圆弧面斜劈体。求：
多大的速度做匀速运动．取重力加速度g=10m/s2.
m=1.0kg
C
v0 =2.0m/s
B
A
M=2.0kg M=2.0kg
解：先假设小物块C 在木板B上移动距离 x 后，停在B上．这
时A、B、C 三者的速度相等，设为V．
由动量守恒得 mv0 (m 2M )V
①
在此过程中，木板B 的位移为S，小木块C 的位移为S+x．
v1
2 24 5
1.38m / s
⑧
当滑到A之后，B 即以V1= 0.155m/s 做匀速运动．而C 是以 v1=1.38m/s 的初速在A上向右运动．设在A上移动了y 距离后停 止在A上，此时C 和A 的速度为V2，如图示：
由动量守恒得
MV1 mv1 (m M )V2 ⑨
解得 由功能关系得 解得
P215 新题快递. • 例8.在一个足够大的光滑平面内,有两质量相同的
木块A、B,中间用一轻质弹簧相连.如图所示.用 一水平恒力F拉B,A、B一起经过一定时间的匀加 速直线运动后撤去力F.撤去力F后,A、B两物体的 情况足( ). • (A)在任意时刻,A、B两物体的加速度大小相等 • (B)弹簧伸长到最长时,A、B的动量相等 • (C)弹簧恢复原长时,A、B的动量相等 • (D)弹簧压缩到最短时,系统的总动能最小
二、人船模型
例6：静止在水面上的小船长为L，质量为M，在 船的最右端站有一质量为m的人，不计水的阻力， 当人从最右端走到最左端的过程中，小船移动的 距离是多大？
S
L-S
条件: 系统动量守衡且系统初动量为零.
处理方法: 利用系统动量守衡的瞬时性和物体间作用的 等时性,求解每个物体的对地位移.
m v1 = M v2 m s1 = M s2 s1 + s2 = L
A V0
B
例11：如图所示，质量为M=4kg的平板车静止在光滑
水平面上，其左端固定着一根轻弹，质量为m=1kg的小
物体以水平速度v0=5m/s从平板车右端滑上车，相对于 平板车向左滑动了L=1m后把弹簧压缩到最短，然后又 相对于平板车向右滑动到最右端而与之保持相对静止。 求
（1）小物体与平板车间的动摩擦因数； （2）这过程中弹性势能的最大值。
1、物块m1滑到最高点位置时，二者的速度 2、 m1上升的最大高度 3、物块m1从圆弧面滑下后，二者速度
若m1= m2物块m1从圆弧面滑下后，二者速度
5、分析与比较：下面的模型与该题的异同？
m1 v0
m2
例2：如图所示，木块质量m=4 kg，它以速度v=5 m/s水平地滑上一辆静止的平板小车，已知小车质量
• 例14.如图所示，有两个长方形的物体A和B紧靠在 光滑的水平面上，已知mA＝2kg，mB＝3kg，有一 质量m＝100g的子弹以v0＝800m/s的速度水平射入 长方体A，经0.01s又射入长方体B，最后停留在B内 未穿出。设子弹射入A时所受的摩擦力为3×103N。 (1)求子弹在射入A的过程中，B受到A的作用力的大 小。(2)当子弹留在B中时，A和B的速度各为多 大?[15]
• 2.弹性碰撞应满足： 经解得：
m1v1/
m2
v
/ 2
m1v1
m2 v2
1 2
m1 v1/ 2
1 2
m2
v
/2 2
1 2
m1v12
1 2
m2
v
2 2
一、弹性碰撞
• 系统机械能守恒，弹
性碰撞前后系统动能
相等。
m1v1/
m2
v
/ 2
m1v1
m2 v2
1 2
m1 v1/ 2
1 2
m2
v
/2 2
1 2
量始终为零，所以人、船动量大小始终相等。从
图中可以看出，人、船的位移大小之和等于L。
设人、船位移大小分别为l1、l2 ，则：mv1=Mv2，
两边同乘时间t，ml1=Ml2，
而l 1+l 2=L，
∴
l2
m M
m
L
l2 l1
应该注意到：此结论与人在船上行走的速度 大小无关。不论是匀速行走还是变速行走， 甚至往返行走，只要人最终到达船的左端， 那么结论都是相同的。
m v1 t = M v2 t ---------------- ① -----------②
结论: 人船对地位移为将二者相对位移按质量反比分配关系
s人
M mM
L
s船
m mM
L
1、“人船模型”是动量守恒定律的拓展应用， 它把速度和质量的关系推广到质量和位移 的关系。即：
m1v1=m2v2 则：m1s1= m2s2 2、此结论与人在船上行走的速度大小无关。不论
M=16 kg，木块与小车间的动摩擦因数为μ=0.5，木
块没有滑离小车，地面光滑，g取10 m/s2，求： （1）木块相对小车静止时小车的速度； （2）从木块滑上小车到木块相对于小车刚静止时， 小车移动的距离. （3）要保证木块不滑下平板车，平板车至少要有多 长？
（4）整个过程中系统机械能损失了多少？
v0
M
m
四.子弹打木块的模型
1.运动性质：子弹对地在滑动摩擦力作用下匀减
速直线运动；木块在滑动摩擦力作用下做匀加速 运动。
2.符合的规律：子弹和木块组成的系统动量守恒， 机械能不守恒。
3.共性特征：一物体在另一物体上，在恒定的阻 力作用下相对运动，系统动量守恒，机械能不守
恒，ΔE = f 滑d相对
例3、放在光滑水平地面上的小车质量为M.两端各有
弹性挡板P和Q,车内表面滑动摩擦因数为μ,有一质量 为m的物体放于车上, 对物体施一冲量,使之获得初速 v0向左运动，物体在车内与弹性挡板P和Q来回碰撞若 干次后,最终物体的速度为多少?
例4：两块厚度相同的木块A和B，紧靠着放在光 滑的水平面上，其质量分别为mA=0.5kg， mB=0.3kg，它们的下底面光滑，上表面粗糙； 另有一质量mc=0.1kg的滑块C（可视为质点）， 以vc=25m/s的速度恰好水平地滑到A的上表面， 如图所示，由于摩擦，滑块最后停在木块B上， B和C的共同速度为3.0m/s，求： （1）木块A的最终速度； （2）滑块C离开A时的速度。
V2 = 0.563 m/s
⑩
1 2
m v12
1 2
MV12
1 2
(m
M )V22
m gy
y = 0.50 m
y 比A 板的长度小，故小物块C 确实是停在A 板上．
最后A、B、C 的速度分别为:
VA V2 0.563m / s
V1 y C V2
VB V1 0.155m / s
B
A
VC VA 0.563m / s
ABD
碰撞中弹簧模型
例10：如图所示，质量为m的小物体B连着轻弹 簧静止于光滑水平面上，质量为2m的小物体A以 速度v0向右运动，则（1）当弹簧被压缩到最短 时，弹性势能Ep为多大？ （2）若小物体B右侧固定一挡板，在小物体A与 弹簧分离前使小物体B与挡板发生无机械能损失 的碰撞，并在碰撞后立即将挡板撤去，则碰撞前 小物体B的速度为多大，方可使弹性势能最大值 为2.5Ep？
• 例12.如图所示，质量为M的木块放在光滑水 平面上，质量为m的子弹以速度v0沿水平方
向射中木块，并最终留在木块中与木块一起 以速度v运动。已知当子弹相对木块静止时木 块前进的距离为L，若木块对子弹的阻力f视 为恒定，求子弹进入木块深度s
物理过程分析
a
b
Sa S
Sb
• 例13.子弹水平射入停在光滑水平地面上的 木块中，子弹和木块的质量分别为m和M， 从子弹开始接触木块到子弹相对木块静止 这段时间内，子弹和木块的位移分别为s1 和s2(均为相对地面的位移)，则s1：s2＝ __________。
【例5】如图所示，A、B是静止在水平地面上完全相
同的两块长木板，A的左端和B的右端相接触，两板的 质量均为M=2.0kg，长度均为l =1.0m,C 是一质量为 m=1.0kg的木块．现给它一初速度v0 =2.0m/s，使它从B
板的左端开始向右运动．已知地面是光滑的，而C与A、 B之间的动摩擦因数皆为μ=0.10．求最后A、B、C各以
m1v12
1 2
m2 v22
v1/
(m1
m2 )v1 2m2 v2 m1 m2
v2' (m2 m1)v2 2m1v1 m1 m2
二、弹性碰撞
• 3. 特点：⑴碰撞过程无机械能损失。⑵相 互作用前后的总动能相等。⑶可以得到唯 一的解。
• 4.当m1=m2时， v1′ = v2，v2′ = v1 （速度交换）
动量守恒定律的典型模型及其应用
几个模型：
（一）碰撞中动量守恒 （二）人船模型：平均动量守恒 （三）碰撞中弹簧模型
（四）子弹打木块类的问题： (五)类碰撞中绳模型
动量守恒典型模型 碰撞模型
一、弹性碰撞
• 1.在碰撞过程中物体间只有弹性内力做功， 系统机械能守恒，这样的碰撞叫弹性碰撞。 弹性碰撞前后系统动能相等。
由功能关系得
mg(s
x)
1 2
mV
2
1 2
mv02
mgx
பைடு நூலகம்
1 2
(m
2M
)V
2
1 2
mv02
相加得 mgs 1 2MV 2
②
2
解①、②两式得 x
Mv02
③
(2M m)g
代入数值得
v0
C
B
A
x 1.6m ④
xC
S
B
VA
x 比B 板的长度l 大．这说明小物块C不会停在B板上，而要
滑到A 板上．设C 刚滑到A 板上的速度为v1，此时A、B板的
• 答案:(1)1.8×103N(2)vA＝6m／s，vB＝22m／s
类碰撞中绳模型
• 例15.如图所示，光滑水平面上有两个质量相 等的物体，其间用一不可伸长的细绳相连，开 始B静止，A具有（规定向右为正）的动量， 开始绳松弛，那么在绳拉紧的过程中，A、B 动量变化可能是（ ）
速度为V1，如图示：
则由动量守恒得
mv0 mv1 2MV1 ⑤
由功能关系得
1 2
mv02
1 2
mv12
1 2
2MV12
mgl
⑥
以题给数据代入解得
V1
8
24 20
v1
2 8 24 5
2 24 5
由于v1 必是正数，故合理的解是
V1
8 24 20
0.155 m / s
⑦
v1
C
B
V1 A