概率论与数理统计教程第三章课后习题答案概率(03章)

P(X=0,Y=3)=1/8 P(X=2,Y=1)=3/8
X Y 0 1 2 3
P(X=1,Y=1)=3/8 P(X=3,Y=3)=1/8
3 1/8 0 0 1/8 1 0 3/8 3/8 0
例
一个口袋中有三个球， 依次标有数字1， 2， 2， 从中任 取一个， 不放回袋中， 再任取一个， 设每次取球时， 各球被 取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分别记第一次和第二次取到的球 上标有的数字， 求( X , Y ) 的联合分布列.
Probability
华南农业大学理学院应用数学系

第一章 随机事件及其概率 第二章 随机变量及其概率分布 第三章 二维随机变量及其分布
第四章 随机变量的数字特征
第三章
二维随机变量及其分布
二维随机变量及其联合分布 边缘分布与独立性 两个随机变量的函数的分布
§3.1 二维随机变量及其联合分布
RY
0
X(e)
x
二维随机变量(X, Y)的取值可看作平面上的点
（x，y） A
随机事件
y


(a,b)
X X
a, Y b a, Y b
Y)D
( X , ( X ,
Y ) ( a, b )
X
x
a, Y b


二维随机变量的联合分布函数
定义 若（X，Y）是随机变量，对于任意的实数x,y.
表格形式
X
Y
x1
x2
p11 p12 p21 p22
。。。...
... 。。。
y1
y2
。。。
。。。...
yj p1 j
... 。。。
... 。。。
pij0
。。。...
p2 j
。。。
... 。。。
... 。。。
。。。...
xi
... 。。。
pi1 pi 2
... 。。。
... 。。。
pij
...
...
前面我们讨论的是随机实验中单独的一个随机变量， 又称为一维随机变量；然而在许多实际问题中，常常需要 同时研究一个试验中的两个甚至更多个随机变量。
例如
E：抽样调查15-18岁青少年的身高 X与体重 Y,以
研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。 不过此时我们需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质，
更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。因此，
P{X xi } pi
4/9
1
5/9×4/9
4/9
5/9×5/9
5/9
5/9
P{Y y j } p j
(2) 采取无放回摸球时，( X , Y ) 的联合分布与边缘分布 由下表给出：
(2) 采取无放回摸球时，( X , Y ) 的联合分布与边缘分布 由下表给出：
Y
X
0
1
0 4/9×3/8 5/9×4/8 4/9
(2 x 3 y )
dxdy
(1 e8 )(1 e3 ) 0.95
(4)
P{ X Y } f ( x, y )dxdy
D
0
x
x y
f ( x, y)dxdy
y (2 x 3 y ) 3 y 2 y 6 e dx dy 3 e [1 e ]dy 0 0 0 3 y 5 y 3 2 3e dy 3e dy 1 0 0 5 5


f ( x, y)dxdy dx e 3 y dy
0
0

0
ke
(2 x 3 y )
dxdy
2 x
1 2 x 1 3 y 1 k[ e ]0 [ e ]0 k 1 2 3 6
(2)
y x F ( x, y ) f (u, v)dudv
f X ( x)


f ( x, Biblioteka )dy 解 ( X , Y ) 的可能取值为(1， 2)， (2， 1)， (2， 2).
Ｐ{Ｘ＝１，Ｙ＝２}＝(1/3) × (2/2)＝1/3，
Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝１}＝(2/3) ×(1/2)＝1/3， Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝２}= (2/3) ×(1/2)＝1/3，
Ｙ
Ｘ
１
２
１ ２
０ 1/3
1/3 1/3
联合概率密度
f X ( x)
求导可得
f ( x, y)dy
Y的边缘概率密度为
fY ( y ) f ( x, y )dx
边缘概率密度
-----------由 f(x, y)求 fX(x)和 fY(y))：
积分结果 不含y

f X ( x)


f ( x, y )dy
二维随机变量 ( X , Y ) 作为一个整体，具有联合 分布函数 F ( x, y) ，而 X , Y 又都是一维随机变量， 都有各自的分布函数，分别记为
FX ( x), FY ( y)
依次称它们为二维随机变量 ( X , Y ) 关于 X 和关于
Y 的边缘分布函数．
FX ( x) P{X x} P{X x, Y } F ( x, )
第一次摸出白球 第一次摸出红球
第二次摸出白球 第二次摸出红球
写出下列两种试验的随机变量 ( X , Y ) 的联合分布与边 缘分布. (1) 有放回摸球； (2) 无放回摸球.
) 解 (1)采取有放回摸球时， ( X , Y的联合分布与边缘分 布由下表给出：
X
0
Y
0 4/9×4/9
1 4/9×5/9

p.
j

p.１

p.2

p.3

．．．
关于X的边缘分布 关于Y的边缘分布
pi P{X xi } pij
j
行和
p j P{Y y j } pij
i
列和
例1 设袋中有4个白球及5个红球，现从其中随机地抽 取两次，每次取一个，定义随机变量 X ， Y 如下：
0, X 1, 0, Y 1,
f ( x, y) 0




f ( x, y)dxdy 1
F (, ) 1
f ( x, y)
2 F ( x, y) . f ( x, y) xy
几何解释
P(( x, y) D) f ( x, y)d
D
x
D
y
例
设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为
定义
若存在非负函数 f（x，y），使对任意实 数x，y，二元随机变量(X,Y)的分布函数
F ( x, y)
x


y

f (u, v)dudv
则称(X,Y)是二元连续型随机变量。f（x， y）称为二元随机变量(X,Y)的联合概率密度函 数.
联合概率密度f (x, y)的性质
非负
.
二维离散型随机变量
定义 若二维 R.v. （X，Y）的所有可能的取值是 有限对或可列个实数对，则称（X，Y）是二维离 散型随机变量。 研究问题 ① （X，Y）可能取哪些值？ ② 它取这些值的概率分别为多少？
Y
（xi, yj)
X
（X，Y）的联合概率分布（分布律）
表达式形式
P{X=xi，Y=yj）= Pij（i，j=1,2,……）
1
P{X xi } pi
4/9
5/9
4/9×5/8
5/9×4/8 5/9
P{Y y j } p j
二维连续型随机变量的边缘分布
X 的边缘分布函数为
x FX ( x) F ( x, ) f (u, y)dy du

X的边缘概率密度为
其中 1 , 2 , 1 , 2 , 均为参数 1 0, 2 0, 1 1 则称 ( X , Y ) 服从参数为 1 , 2 , 1 , 2 , 的二维正态分布
作业P69
1; 3; 5; 7;
§3.2
边缘分布与独立性
边缘分布 marginal distribution
例
设随机变量（X，Y）的分布函数为
x y F ( x, y ) A( B arctg )(C arctg ) 2 3
确定常数A，B，C的值；
几何意义
( X , Y )
平面上的随机点
F ( x, y) P{X x, Y y}
随机点（X, Y）落在以点（x，y）为顶点而位 于该点左下方的无穷矩形域G内的概率。

fY ( y )


f ( x, y )dx
例
设（X, Y）的联合密度为
kxy x [0,1], y [1,3] f ( x, y) 其它 0
求k和边缘密度
解

D
f ( x, y )dxdy k ydy xdx 2k 1
1 0

3
1
当x [0,1]时
k 6
y x (2u 3v ) 2 x 3 y 6 e dudv (1 e )(1 e ), y 0, x 0 0 0 0 其它
(3)
P{0 X 4, 0 Y 1}
y
x 0, y 0 y x

1 0

4 0
6e
ke f ( x, y ) 0
(1) 确定常数 k；
； .
(2 x 3 y )
x 0, y 0
其它
(2) 求 ( X , Y ) 的分布函数；
(3)求 P{0 X 4,0 Y 1}
(4) 求
P{ X Y }
(1)
k e
0

我们将二者作为一个整体来进行研究，记为(X, Y),称为随 机向量，又称多维R.v.。
二维随机变量
定义
设X、Y 为定义在同一样本空间Ω上的随机变 量，则称向量（ X，Y ）为Ω上的一个二维随机变 量。有时也用(ξ,η)表示.
y e Ω Y(e) X(e) RX Y(e) (X(e), Y(e))
FX ( x) F ( x, )
FY ( y) F (, y)
二维离散型R.v.的边缘分布
P{X xi , Y y j } pij
Y
X x１ x２ p11 p21 p12 p22 p13 p23
．．． ．．．
i, j 1, 2,3,
y3
．．．
y1
y2
Pi .
p1． p2．
二维连续型随机变量的边缘分布dydu的边缘概率密度为求导可得边缘概率密度积分结果不含y的联合密度为01其它同理ydyxdx求概率pxy1dxdykdxdy的面积均匀分布化重积分为累次定积分下面我们借助于随机事件的相互独立性概念引进随机变量的相互独立性定义34313则称随机变量特别对于离散型和连续型的随机变量该定义分别等价于随机变量的相互独立在实际问题或应用中当x的取值与y的取值互不影响时我们就认为x与y是相互独立的进而把上述定义式当公式运用
例
设随机向量（X，Y）的分布函数为
(1 e ax )(1 e by ), x 0, y 0 F ( x, y) 其它 0
求其密度函数。
例
设随机向量（X，Y）的密度函数为
2 xy x f ( x, y ) 3 0
求
0 x 1, 0 y 2 else
P( X Y 1)
二维均匀分布
设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为
1 , f ( x, y ) A 0,
( x, y ) D 其它
其中 D 是平面上的有界区域，其面积为
A
，则称 ( X , Y ) 在 D 上服从均匀分布.
二维正态分布
设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为
F ( x, y) P{X x, Y y}
称为二维随机变量的联合分布函数 性质
(1) F ( x, y)分别关于x和y单调不减
(2) 0 F ( x, y) 1 F (, y) 0 F ( x, ) 0 F (, ) 0 F (, ) 1
联合分布函数表示矩形域概率
P （ x 1 X x 2， y 1 X y 2）
y y2 2 2 y y1 1 1 x x1 1 1 x x2 2 2
F(x2,y2) -F(x2,y1) -F(x1,y2)
+F(x1,y1) P （ x 1 X x 2， y 1 Y y 2）
= F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2) + F(x1,y1)
1 2 1 2 1
2 ( x 1 )2 ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 2 2 2 2(1 2 ) 1 2 1 2 1
f ( x, y )
e
( x , y )
... 。。。
p
i 1 j 1


ij
1
... 。。。
。。。...
。。。...
。。。
...
例
掷三次均匀的硬币，以X表示出现正面的
次数，以Y表示正面出现次数与反面出现
次数之差的绝对值，求（X，Y）的分布列。
解 ( X ,Y )
的可能取值为(0， 3)， (1， 1)， (2， 1)，（3，3）.