不同函数增长的差异-(新教材)人教A版高中数学必修第一册上课用PPT
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【思考】 (1)怎样理解“直线上升”和“对数增长”?
提示:“直线上升”是指增长速度保持不 变,“对 数增长” 是指增 长速度 越来越 慢.
(2)一次函数 y=kx(k>0),对数函数 y=logax(a>1)和指数 函数 y=bx(b>1)有怎样的增长差异?
提示:随着自变量x的越来越大,指数函 数y=bx(b>1)的 增长速 度越来 越快,一 次函数 y=kx(k >0)的 增长速 度保持 不变,对 数函数 y=logax (a>1) 的增长 速度越 来越慢, 因此总 会存在 一个x0, 当x>x0 时,恒有 bx>kx>logax.
第四章 指数函数与对数函数
4.4 对数函数
4.4.3 不同函数增长的差异 [学习目标] 结合现实情境中的具体问题,利用计算工 具,比较对数函数、线性函数、指数函数增长速度的差异,理 解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的含义,
发展直观想象素养.
一、指数函数 y=ax(a>1)与一次函数 y=kx(k>0)的增长差异
B.y= (x2-1)
C.y=log2x
D.y=( )x
答案:B
不同函数增长的差异-【新教材】人教 A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件
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(2)三个变量 y1,y2,y3 随着变量 x 的变化情况如下表:
x1
3
5
7
9
11
y1
B.y=log5x D.y=log4x
答案:A
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3.当 x 越来越大时,下列函数中,增长速度最慢的是 ( )
A.y=10 000x
B.y=log2x
C.y=ln x
第 x 年与年产量 f(x)(单位:万件)之间的关系如下表所示.
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.58
7.00
8.44
若 f(x)近似符合以下三种函数模型之一:
f(x)= ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=lo x+a.
4不.4同.3函不数同增函长数的增差长异的-【差新异-教【材新】教人材教】A人 版教 高A中版数（学20必1修9）第高一中册数优学秀必课修件第 一册课 件(共2 2张PPT )
是 f(x)=ax+b.由已知,得
解得
经检验,符合题意.
所以 f(x)= x+ ,x∈N*.
(2)因为 2020 年预计年产量约为 f(7)= ×7+ =13(万件),所以 2020 年实际年产量约为 13×(1-30%)=9.1(万件),故 2020 年的年产量 约为 9.1 万件.
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[知识梳理]
指数函数 y=ax(a>1)和一次函数 y=kx(k>0)的增长差异
指数函数 y=ax(a>1)与一次函数 y=kx(k>0)在区间[0,+∞)上
都单调递增,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”
越来越快
上,随着 x 的增大,y=ax(a>1)的增长速度
,会超过并远
远大于 y=kx(k>0)的增长速度.尽管在 x 的一定变化范围内,ax
A.y=20 000x C.y=1.01x
B.y=2x D.y=1.001x
解析:指数函数的增长速度大于一次函 数的增 长速度, 故选C.
答案:C
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二、对数函数 y=logax(a>1)与一次函数 y=kx(k>0)的增长差异
探索点二 根据图象判断函数模型
【例 2】 某种豆类生长枝数 y(单位:枝)与时间 t(单位:月)的图象如图所示,那么此种豆类生长枝数
与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是
() A.y=2t2 B.y=log2t
【解题模型示范】
C.y=t3
D.y=2t
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[基础测试]
2.当 x 越来越大时,下列函数中,增长速度最快的是( )
A.y=100x C.y=lg x
解析:一次函数的增长速度大于对数函 数的增 长速度, 所以函 数y=1 00x的 增长速 度最快.
解:(1)符合条件的函数模型是 f(x)=ax+b.若函数模型为 f(x)=2x+a,则由 f(1)=21+a=4,得 a=2,即 f(x)=2x+2,此时 f(2)=6,f(3)=10, f(4)=18,与表格数据相差过大,故不是该函数模型;若函数模型为 f(x)=lo x+a,因为 f(x)是减函数,所以与题意不符.故函数模型只能
会小于 kx,但由于 y=ax(a>1)的增长最终会快于 y=kx(k>0)的增
ax>kx
长,因此,总会存在一个 x0,当 x>x0 时,恒有
.
【思考】
怎样理解“指数爆炸”?
提示:“指数爆炸”是比喻指数函数当 自变量 越来越 大时,函 数值的 增长速 度越来 越快, 像爆炸 一样.
[基础测试]
1.下列函数中,增长速度越来越快的是 ( )
【跟踪训练】
1.下列函数中,随着 x 的增大,增长速度最快的是 ( )
A.y=50 C.y=2x-1
解析:指数型函数模型的增长速度最快, 故选C.
B.y=1 000x D.y=1 000ln x
答案:C
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探索点三 根据函数模型增长特点选择方案
【例 3】 某企业常年生产一种出口产品,根据预测可
知,该产品的产量平稳增长.记 2014 年为第 1 年,且前 4 年中,
4不.4同.3函不数同增函长数的增差长异的-【差新异-教【材新】教人材教】A人 版教 高A中版数（学20必1修9）第高一中册数优学秀必课修件第 一册课 件(共2 2张PPT )
方法规律 不同函数模型的选取标准
不同的函数模型能刻画现实中不同的变化规律: (1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变 化规律; (2)指数函数增长模型适合于描述速度急剧增长的变 化规律; (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变 化规律. 因此,需抓住题中蕴含的数学信息,恰当、准确地建立 相应变化规律的函数模型来解决实际问题.
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(1)找出你认为最合适的函数模型,并说明理由,然后选取其 中你认为最合适的数据求出相应的解析式;
(2)因 2020 年受某国对该产品进行反倾销的影响,2020 年的 年产量比预计减少 30%,试根据所建立的函数模型确定 2020 年 的年产量.
[知识梳理]
对数函数 y=logax(a>1)和一次函数 y=kx(k>0)的增长差异
对数函数 y=logax(a>1)与一次函数 y=kx(k>0)在区间(0,+∞)
上都单调递增,但它们的增长速度不同.随着 x 的增大,一次函数
y=kx(k>0)保持固定的增长速度,而对数函数 y=logax(a>1)的增
D.y=( )x
解析:当x越来越大时,对数函数的增长 速度最 慢,根据 对数函 数的图 象,知函 数y=ln x的增长速度比y=log2x的增长速度还慢, 故选C.
答案:C
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【跟踪训练】 2.函数 f(x)=lg x 与 g(x)=0.3x-1 的图象如图所示. (1)试根据函数的增长差异 指出曲线 C1,C2 分别对应的函 数; (2)比较两函数的增长差异 (以两图象交点为分界点,对 f(x),g(x)的大小进行比较).
探索点一 元素与集合的相关概念
【例 1】 (1)在某种新型材料的研制中,工作人员获得了下
面一组数据(见下表),现准备用下面选项中四个函数中的一个近
似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( )
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
A.y=2x-2
解析:题表中数据y随x的变化趋势为y 随x的增 大增长 得越来 越.因 为选项 A中函 数是线 性增加 的函数, 选项C中函数 是比线 性增加 缓慢的 函数,选 项D中 函数是 减函数, 所以排 除A,C, D选项, 故选B.
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方法规律 常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型:线性函数模型 y=kx+b(k>0)的增长 特点是直线上升,其增长速度不变.
(2)指数函数模型:指数函数模型 y=ax(a>1)的增长特 点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即速 度急剧增长,被形象地称为“指数爆炸”.
(3)对数函数模型:对数函数模型 y=logax(a>1)的增长 特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即 增长速度越来越慢.
(4)幂函数模型:幂函数 y=xn(n>0)的增长速度介于指 数增长和对数增长之间.
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5
13 21 29 37
45
y2
5
29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
则与 x 呈对数型函数、指数型函数、一次函数模型变 y3,y2,y1
化的变量依次是
.
解析:对数型函数的增长速度越来越慢, 变量y3 随x的 变化符 合此规 律;指数 型函数 的增长 速度越 来越快, y2随x 的变化 符合此 规律;易 知y1随x 变化的 关系为 y1=4x+ 1,符合 一次函 数模型.
解:(1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2 对应的 函数为f( x)=lg x. (2)当0<x<x1时,g(x)>f(x);当x1<x<x2时, f(x)>g( x); 当x>x2时,g(x)>f(x);当x=x1或x=x2时,f( x)=g(x) .
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越来越慢
长速度
.不论 a 的值比 k 的值大多少,在一定范围
内,logax 可能会大于 kx,但由于 logax 的增长慢于 kx 的增长,因 logax<kx
此总会存在一个 x0,当 x>x0 时,恒有
.
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提示:“直线上升”是指增长速度保持不 变,“对 数增长” 是指增 长速度 越来越 慢.
(2)一次函数 y=kx(k>0),对数函数 y=logax(a>1)和指数 函数 y=bx(b>1)有怎样的增长差异?
提示:随着自变量x的越来越大,指数函 数y=bx(b>1)的 增长速 度越来 越快,一 次函数 y=kx(k >0)的 增长速 度保持 不变,对 数函数 y=logax (a>1) 的增长 速度越 来越慢, 因此总 会存在 一个x0, 当x>x0 时,恒有 bx>kx>logax.
第四章 指数函数与对数函数
4.4 对数函数
4.4.3 不同函数增长的差异 [学习目标] 结合现实情境中的具体问题,利用计算工 具,比较对数函数、线性函数、指数函数增长速度的差异,理 解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的含义,
发展直观想象素养.
一、指数函数 y=ax(a>1)与一次函数 y=kx(k>0)的增长差异
B.y= (x2-1)
C.y=log2x
D.y=( )x
答案:B
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(2)三个变量 y1,y2,y3 随着变量 x 的变化情况如下表:
x1
3
5
7
9
11
y1
B.y=log5x D.y=log4x
答案:A
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3.当 x 越来越大时,下列函数中,增长速度最慢的是 ( )
A.y=10 000x
B.y=log2x
C.y=ln x
第 x 年与年产量 f(x)(单位:万件)之间的关系如下表所示.
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.58
7.00
8.44
若 f(x)近似符合以下三种函数模型之一:
f(x)= ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=lo x+a.
4不.4同.3函不数同增函长数的增差长异的-【差新异-教【材新】教人材教】A人 版教 高A中版数（学20必1修9）第高一中册数优学秀必课修件第 一册课 件(共2 2张PPT )
是 f(x)=ax+b.由已知,得
解得
经检验,符合题意.
所以 f(x)= x+ ,x∈N*.
(2)因为 2020 年预计年产量约为 f(7)= ×7+ =13(万件),所以 2020 年实际年产量约为 13×(1-30%)=9.1(万件),故 2020 年的年产量 约为 9.1 万件.
4不.4同.3函不数同增函长数的增差长异的-【差新异-教【材新】教人材教】A人 版教 高A中版数（学20必1修9）第高一中册数优学秀必课修件第 一册课 件(共2 2张PPT )
[知识梳理]
指数函数 y=ax(a>1)和一次函数 y=kx(k>0)的增长差异
指数函数 y=ax(a>1)与一次函数 y=kx(k>0)在区间[0,+∞)上
都单调递增,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”
越来越快
上,随着 x 的增大,y=ax(a>1)的增长速度
,会超过并远
远大于 y=kx(k>0)的增长速度.尽管在 x 的一定变化范围内,ax
A.y=20 000x C.y=1.01x
B.y=2x D.y=1.001x
解析:指数函数的增长速度大于一次函 数的增 长速度, 故选C.
答案:C
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二、对数函数 y=logax(a>1)与一次函数 y=kx(k>0)的增长差异
探索点二 根据图象判断函数模型
【例 2】 某种豆类生长枝数 y(单位:枝)与时间 t(单位:月)的图象如图所示,那么此种豆类生长枝数
与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是
() A.y=2t2 B.y=log2t
【解题模型示范】
C.y=t3
D.y=2t
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2.当 x 越来越大时,下列函数中,增长速度最快的是( )
A.y=100x C.y=lg x
解析:一次函数的增长速度大于对数函 数的增 长速度, 所以函 数y=1 00x的 增长速 度最快.
解:(1)符合条件的函数模型是 f(x)=ax+b.若函数模型为 f(x)=2x+a,则由 f(1)=21+a=4,得 a=2,即 f(x)=2x+2,此时 f(2)=6,f(3)=10, f(4)=18,与表格数据相差过大,故不是该函数模型;若函数模型为 f(x)=lo x+a,因为 f(x)是减函数,所以与题意不符.故函数模型只能
会小于 kx,但由于 y=ax(a>1)的增长最终会快于 y=kx(k>0)的增
ax>kx
长,因此,总会存在一个 x0,当 x>x0 时,恒有
.
【思考】
怎样理解“指数爆炸”?
提示:“指数爆炸”是比喻指数函数当 自变量 越来越 大时,函 数值的 增长速 度越来 越快, 像爆炸 一样.
[基础测试]
1.下列函数中,增长速度越来越快的是 ( )
【跟踪训练】
1.下列函数中,随着 x 的增大,增长速度最快的是 ( )
A.y=50 C.y=2x-1
解析:指数型函数模型的增长速度最快, 故选C.
B.y=1 000x D.y=1 000ln x
答案:C
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探索点三 根据函数模型增长特点选择方案
【例 3】 某企业常年生产一种出口产品,根据预测可
知,该产品的产量平稳增长.记 2014 年为第 1 年,且前 4 年中,
4不.4同.3函不数同增函长数的增差长异的-【差新异-教【材新】教人材教】A人 版教 高A中版数（学20必1修9）第高一中册数优学秀必课修件第 一册课 件(共2 2张PPT )
方法规律 不同函数模型的选取标准
不同的函数模型能刻画现实中不同的变化规律: (1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变 化规律; (2)指数函数增长模型适合于描述速度急剧增长的变 化规律; (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变 化规律. 因此,需抓住题中蕴含的数学信息,恰当、准确地建立 相应变化规律的函数模型来解决实际问题.
4不.4同.3函不数同增函长数的增差长异的-【差新异-教【材新】教人材教】A人 版教 高A中版数（学20必1修9）第高一中册数优学秀必课修件第 一册课 件(共2 2张PPT )
(1)找出你认为最合适的函数模型,并说明理由,然后选取其 中你认为最合适的数据求出相应的解析式;
(2)因 2020 年受某国对该产品进行反倾销的影响,2020 年的 年产量比预计减少 30%,试根据所建立的函数模型确定 2020 年 的年产量.
[知识梳理]
对数函数 y=logax(a>1)和一次函数 y=kx(k>0)的增长差异
对数函数 y=logax(a>1)与一次函数 y=kx(k>0)在区间(0,+∞)
上都单调递增,但它们的增长速度不同.随着 x 的增大,一次函数
y=kx(k>0)保持固定的增长速度,而对数函数 y=logax(a>1)的增
D.y=( )x
解析:当x越来越大时,对数函数的增长 速度最 慢,根据 对数函 数的图 象,知函 数y=ln x的增长速度比y=log2x的增长速度还慢, 故选C.
答案:C
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【跟踪训练】 2.函数 f(x)=lg x 与 g(x)=0.3x-1 的图象如图所示. (1)试根据函数的增长差异 指出曲线 C1,C2 分别对应的函 数; (2)比较两函数的增长差异 (以两图象交点为分界点,对 f(x),g(x)的大小进行比较).
探索点一 元素与集合的相关概念
【例 1】 (1)在某种新型材料的研制中,工作人员获得了下
面一组数据(见下表),现准备用下面选项中四个函数中的一个近
似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( )
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
A.y=2x-2
解析:题表中数据y随x的变化趋势为y 随x的增 大增长 得越来 越.因 为选项 A中函 数是线 性增加 的函数, 选项C中函数 是比线 性增加 缓慢的 函数,选 项D中 函数是 减函数, 所以排 除A,C, D选项, 故选B.
4不.4同.3函不数同增函长数的增差长异的-【差新异-教【材新】教人材教】A人 版教 高A中版数（学20必1修9）第高一中册数优学秀必课修件第 一册课 件(共2 2张PPT )
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方法规律 常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型:线性函数模型 y=kx+b(k>0)的增长 特点是直线上升,其增长速度不变.
(2)指数函数模型:指数函数模型 y=ax(a>1)的增长特 点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即速 度急剧增长,被形象地称为“指数爆炸”.
(3)对数函数模型:对数函数模型 y=logax(a>1)的增长 特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即 增长速度越来越慢.
(4)幂函数模型:幂函数 y=xn(n>0)的增长速度介于指 数增长和对数增长之间.
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5
13 21 29 37
45
y2
5
29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
则与 x 呈对数型函数、指数型函数、一次函数模型变 y3,y2,y1
化的变量依次是
.
解析:对数型函数的增长速度越来越慢, 变量y3 随x的 变化符 合此规 律;指数 型函数 的增长 速度越 来越快, y2随x 的变化 符合此 规律;易 知y1随x 变化的 关系为 y1=4x+ 1,符合 一次函 数模型.
解:(1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2 对应的 函数为f( x)=lg x. (2)当0<x<x1时,g(x)>f(x);当x1<x<x2时, f(x)>g( x); 当x>x2时,g(x)>f(x);当x=x1或x=x2时,f( x)=g(x) .
4不.4同.3函不数同增函长数的增差长异的-【差新异-教【材新】教人材教】A人 版教 高A中版数（学20必1修9）第高一中册数优学秀必课修件第 一册课 件(共2 2张PPT )
越来越慢
长速度
.不论 a 的值比 k 的值大多少,在一定范围
内,logax 可能会大于 kx,但由于 logax 的增长慢于 kx 的增长,因 logax<kx
此总会存在一个 x0,当 x>x0 时,恒有
.
不同函数增长的差异-【新教材】人教 A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件
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