2017年山东省德州市禹城市中考数学一模试卷带答案解析

2017年山东省德州市禹城市中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣3的相反数是（）
A．3 B．﹣3 C．D．﹣
2．（3分）上海铁路局公布2015年春运临客开行方案：2月4日至3月15日春运期间，预计发送旅客5275万人，5275万用科学记数法表示为（）A．5.275×103B．5.275×106C．5.275×107D．0.5275×108
3．（3分）下列运算正确的是（）
A．（a﹣3）2=a2﹣9 B．a2•a4=a8 C．=±3 D．=﹣2
4．（3分）赵老师是一名健步走运动的爱好者，她用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成了如图所示的统计图．在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（）
A．1.2，1.3 B．1.4，1.3 C．1.4，1.35 D．1.3，1.3
5．（3分）下面几何体中，其主视图与俯视图相同的是（）
A．B．C．D．
6．（3分）如图，等腰直角三角板的顶点A，C分别在直线a，b上．若a∥b，∠1=35°，则∠2的度数为（）
A．35°B．15°C．10°D．5°
7．（3分）如图，AB为⊙O的直径，AB=6，AB⊥弦CD，垂足为G，EF切⊙O于点B，∠A=30°，连接AD、OC、BC，下列结论不正确的是（）
A．EF∥CD B．△COB是等边三角形
C．CG=DG D．的长为π
8．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）
A．m＜﹣2 B．m＞4 C．m≤4 D．m＜4
9．（3分）如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（）
A．10cm B．15cm C．10cm D．20cm
10．（3分）点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1=y2C．y1＞y2＞y3D．y1=y2＞y3
11．（3分）如图①，直六棱柱的底面是正六边形，侧面ABCD中，AB=10cm，BC=20cm，现用一块矩形纸板EFGH制作图①中的直六棱柱，按图②中的方案裁剪，则GF的长是（）
A．（20+10）cm B．（30+10）cm C．（20+20）cm D．40cm 12．（3分）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作
EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：
=13S ①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若=，则3S
△EDH
，其中结论正确的有（）
△DHC
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题4分，共20分）
13．（4分）计算（）0+2sin45°﹣=．
14．（4分）已知四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，当四边形ABCD的对角线AC、BD满足时，四边形EFGH是菱形．
15．（4分）方程x2﹣5x+6=0的两根为x1、x2，则+=．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，以B为圆心，AB为半径画弧，恰好经过AC的中点D，则与线段AD围成的弓形面积是．
17．（4分）如图，直线l：y=x，点A1坐标为（0，1），过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交y一轴于点A2；再过点A2作y轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交y轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A4的坐标为（，）；点A n的坐标
为（，）．
三、解答题（本题7个小题，满分64分）
18．（6分）先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中x是不等式组
的整数解．
19．（8分）今年高中招生体育考试测试管理系统，改为计算机自动生成，现场公布成绩，降低了误差，提高了透明度，保证了公平．考前张老师为了解全市初三男生考试项目的选择情况（每人限选一项），对全市部分初三男生进行了调查，将调查结果分成五类：A、1000米跑；B、立定跳远；C、50米跑；D、仰卧起坐；
E、其它．并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）抽查了名男生，所抽查的B．立定跳远的总人数是，并将上面的条形统计图补充完整；
（2）假定全市初三毕业学生中有5500名男生，试估计全市初三男生中选50米跑的人数有多少人？
（3）甲、乙两名初三男生在上述选择率较高的三个项目：B．立定跳远；C.50米跑；D．仰卧起坐中同时选择仰卧起坐和立定跳远的概率是多少？请用列表法或画树形图的方法加以说明并列出所有等可能的结果．
20．（8分）如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，
在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C 两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：≈1.414，≈1.732）
21．（10分）一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg，销售单价不低于120元/kg．且不高于180元/kg，经销一段时间后得到如下数据：
设y与x的关系是我们所学过的某一种函数关系．
（1）直接写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（2）当销售单价为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？
22．（10分）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=6，tan∠CDA=，求BE 的长．
23．（10分）现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板的直角边所在直线分别与直线BC、CD交于点M、N．
（1）如图1，若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是；
（2）如图2，若点O在正方形的中心（即两对角线的交点），则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）如图3，若点O在正方形的内部（含边界），当OM=ON时，请探究点O在移动过程中可形成什么图形？请说理证明．
（4）如图4是点O在正方形外部的一种情况．当OM=ON时，请你就“点O的位置在各种情况下（含外部）移动所形成的图形”提出一个正确的结论．（不必说理）
24．（12分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
2017年山东省德州市禹城市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣3的相反数是（）
A．3 B．﹣3 C．D．﹣
【解答】解：﹣3的相反数是3，
故选：A．
2．（3分）上海铁路局公布2015年春运临客开行方案：2月4日至3月15日春运期间，预计发送旅客5275万人，5275万用科学记数法表示为（）A．5.275×103B．5.275×106C．5.275×107D．0.5275×108
【解答】解：5275万用科学计数法表示为：5.275×107．
故选C．
3．（3分）下列运算正确的是（）
A．（a﹣3）2=a2﹣9 B．a2•a4=a8 C．=±3 D．=﹣2
【解答】解：A、（a﹣3）2=a2﹣6a+9，故错误；
B、a2•a4=a6，故错误；
C、=3，故错误；
D、=﹣2，故正确，
故选D．
4．（3分）赵老师是一名健步走运动的爱好者，她用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成了如图所示的统计图．在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（）
A．1.2，1.3 B．1.4，1.3 C．1.4，1.35 D．1.3，1.3
【解答】解：由条形统计图中出现频数最大条形最高的数据是在第四组，1.4万步，故众数是1.4（万步）；
因图中是按从小到大的顺序排列的，最中间的步数都是1.3（万步），故中位数是1.3（万步）．
故选B．
5．（3分）下面几何体中，其主视图与俯视图相同的是（）
A．B．C．D．
【解答】解：A、圆柱主视图是矩形，俯视图是圆；
B、圆锥主视图是三角形，俯视图是圆；
C、正方体的主视图与俯视图都是正方形；
D、三棱柱的主视图是矩形与俯视图都是三角形；
故选：C．
6．（3分）如图，等腰直角三角板的顶点A，C分别在直线a，b上．若a∥b，∠1=35°，则∠2的度数为（）
A．35°B．15°C．10°D．5°
【解答】解：如图所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，∠ACB=45°，
∴∠1+∠BAC=35°+90°=125°，
∵a∥b，
∴∠ACD=180°﹣125°=55°，
∴∠2=∠ACD﹣∠ACB=55°﹣45°=10°；
故选：C．
7．（3分）如图，AB为⊙O的直径，AB=6，AB⊥弦CD，垂足为G，EF切⊙O于点B，∠A=30°，连接AD、OC、BC，下列结论不正确的是（）
A．EF∥CD B．△COB是等边三角形
C．CG=DG D．的长为π
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点B，
∴AB⊥EF，又AB⊥CD，
∴EF∥CD，A正确；
∵AB⊥弦CD，
∴=，
∴∠COB=2∠A=60°，又OC=OD，
∴△COB是等边三角形，B正确；
∵AB⊥弦CD，
∴CG=DG，C正确；
的长为：=π，D错误，
故选：D．
8．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个不相等的实数根，则
m的取值范围是（）
A．m＜﹣2 B．m＞4 C．m≤4 D．m＜4
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=4﹣4×1×（m﹣3）＞0，
∴m＜4．
∴m的取值范围是m＜4；
故选D．
9．（3分）如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（）
A．10cm B．15cm C．10cm D．20cm
【解答】解：过O作OE⊥AB于E，∵OA=OB=60cm，∠AOB=120°，
∴∠A=∠B=30°，
∴OE=OA=30cm，
∴弧CD的长==20π，
设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=20π，解得r=10，
∴圆锥的高==20．
故选D．
10．（3分）点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1=y2C．y1＞y2＞y3D．y1=y2＞y3
【解答】解：∵y=﹣x2+2x+c，
∴对称轴为x=1，
P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵3＜5，
∴y2＞y3，
根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，故y1=y2＞y3，
故选D．
11．（3分）如图①，直六棱柱的底面是正六边形，侧面ABCD中，AB=10cm，BC=20cm，现用一块矩形纸板EFGH制作图①中的直六棱柱，按图②中的方案裁剪，则GF的长是（）
A．（20+10）cm B．（30+10）cm C．（20+20）cm D．40cm
【解答】解：如图所示：可得MN=BC=20cm，
△OWM是等边三角形，边长为10cm，
则它的高为：=5（cm），
故FG=20+4×5=（20+20）cm．
故选：C．
12．（3分）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：
①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若=，则3S
=13S
△EDH
，其中结论正确的有（）
△DHC
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD，
∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°，
∴△CFG为等腰直角三角形，
∴GF=FC，
∵EG=EF﹣GF，DF=CD﹣FC，
∴EG=DF，故①正确；
②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，
∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，
在△EHF和△DHC中，，
∴△EHF≌△DHC（SAS），
∴∠HEF=∠HDC，
∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故②正确；
③∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，
∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，
在△EHF和△DHC中，，
∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正确；
④∵=，
∴AE=2BE，
∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，
∴FH=GH，∠FHG=90°，
∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，
在△EGH和△DFH中，，
∴△EGH≌△DFH（SAS），
∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°，
∴△EHD为等腰直角三角形，
过H点作HM垂直于CD于M点，如图所示：
设HM=x，则DM=5x，DH=x，CD=6x，
=×HM×CD=3x2，S△EDH=×DH2=13x2，
则S
△DHC
∴3S
=13S△DHC，故④正确；
△EDH
故选：D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
13．（4分）计算（）0+2sin45°﹣=1﹣．
【解答】解：（）0+2sin45°﹣
=1+2×﹣2
=1+﹣2
=1﹣
故答案为：1﹣．
14．（4分）已知四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，当四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC=BD时，四边形EFGH是菱形．
【解答】解：连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH=BD，FG=BD，EH∥BD，FG∥BD，HG=AC，
∴EH=FG，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
当AC=BD时，HE=HG，
∴四边形EFGH是菱形，
故答案为：AC=BD．
15．（4分）方程x2﹣5x+6=0的两根为x1、x2，则+=．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣5x+6=0的两根，
∴x1+x2=5，x1x2=6，
又∵+==，
故答案为：．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，以B为圆心，AB为半径画
弧，恰好经过AC的中点D，则与线段AD围成的弓形面积是．
【解答】解：连接BD，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，以B为圆心，AB为半径画弧，恰好经过AC 的中点D，
∴BD=2，AC=2BD=4，
∴AD=2，
∴△ABD是等边三角形，
∴与线段AD围成的弓形面积是：=，故答案为：．
17．（4分）如图，直线l：y=x，点A1坐标为（0，1），过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交y一轴于点A2；再过点A2作y轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交y轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A4的坐标为（0，8）；点A n的坐标为（0，2n﹣1）．
【解答】解：直线y=x，点A1坐标为（0，1），过点A1作y轴的垂线交直线l 于点B1，可知B1点的坐标为（，1），
以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交y一轴于点A2，OA2=OB1=2OA1=2，点A2的坐标为（0，2），
这种方法可求得B2的坐标为（2，2），
故点A3的坐标为（0，4），点A4的坐标为（0，8），
此类推便可求出点A n的坐标为（0，2n﹣1）．
故答案为：0，8，0，2n﹣1．
三、解答题（本题7个小题，满分64分）
18．（6分）先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中x是不等式组
的整数解．
【解答】解：原式=×
=，
解不等式①得：x＞2，
解不等式②得：x≤3，
故不等式组的解集是：2＜x≤3，
故不等式组的整数解为：3，
当x=3时，原式==．
19．（8分）今年高中招生体育考试测试管理系统，改为计算机自动生成，现场公布成绩，降低了误差，提高了透明度，保证了公平．考前张老师为了解全市初三男生考试项目的选择情况（每人限选一项），对全市部分初三男生进行了调查，将调查结果分成五类：A、1000米跑；B、立定跳远；C、50米跑；D、仰卧起坐；
E、其它．并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）抽查了1000名男生，所抽查的B．立定跳远的总人数是200名，并将上面的条形统计图补充完整；
（2）假定全市初三毕业学生中有5500名男生，试估计全市初三男生中选50米跑的人数有多少人？
（3）甲、乙两名初三男生在上述选择率较高的三个项目：B．立定跳远；C.50米跑；D．仰卧起坐中同时选择仰卧起坐和立定跳远的概率是多少？请用列表法或画树形图的方法加以说明并列出所有等可能的结果．
【解答】解：
（1）∵样本总数为：150÷15%=1000（人），B占百分比为1﹣15%﹣20%﹣40%﹣5%=20%，
∴B的人数为1000×20%=200（人）．
补充完整条形统计图如下：
故答案为：1000，200名；
（2）∵5500×40%=2200（人），
∴估计全市初三男生中选50米跑的人数有2200人．
（3）画树形图如下：
所有等可能结果有9种：
BB BC BD CB CC CD DB DC DD
同时选择B和D的有2种可能，即BD和DB，
∴同时选择仰卧起坐和立定跳远的概率=．
20．（8分）如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C 两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：≈1.414，≈1.732）
【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．则DE=BF=CH=10m，
在直角△ADF中，∵AF=80m﹣10m=70m，∠ADF=45°，
∴DF=AF=70m．
在直角△CDE中，∵DE=10m，∠DCE=30°，
∴
CE===10（m），
∴BC=BE﹣CE=70﹣10≈70﹣17.32≈52.7（m）．
答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7m．
21．（10分）一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg，销售单价不低于120元/kg．且不高于180元/kg，经销一段时间后得到如下数据：
设y与x的关系是我们所学过的某一种函数关系．
（1）直接写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（2）当销售单价为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）∵由表格可知：销售单价每涨10元，就少销售5kg，
∴y与x是一次函数关系，
∴y与x的函数关系式为：y=100﹣0.5（x﹣120）=﹣0.5x+160，
∵销售单价不低于120元/kg．且不高于180元/kg，
∴自变量x的取值范围为：120≤x≤180；
（2）设销售利润为w元，
则w=（x﹣80）（﹣0.5x+160）=﹣x2+200x﹣12800=﹣（x﹣200）2+7200，
∵a=﹣＜0，
∴当x＜200时，w随x的增大而增大，
∴当x=180时，销售利润最大，最大利润是：w=﹣（180﹣200）2+7200=7000（元），
答：当销售单价为180元时，销售利润最大，最大利润是7000元．
22．（10分）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=6，tan∠CDA=，求BE 的长．
【解答】（1）证明：连OD，OE，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠1=90°，
又∵∠CDA=∠CBD，
而∠CBD=∠1，
∴∠1=∠CDA，
∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵EB为⊙O的切线，
∴ED=EB，OE⊥DB，
∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，
∴∠ABD=∠OEB，
∴∠CDA=∠OEB．
而tan∠CDA=，
∴tan∠OEB==，
∵Rt△CDO∽Rt△CBE，
∴===，
∴CD=×6=4，
在Rt△CBE中，设BE=x，
∴（x+4）2=x2+62，
解得x=．
即BE的长为．
23．（10分）现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板的直角边所在直线分别与直线BC、CD交于点M、N．
（1）如图1，若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是OM=ON；（2）如图2，若点O在正方形的中心（即两对角线的交点），则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）如图3，若点O在正方形的内部（含边界），当OM=ON时，请探究点O在移动过程中可形成什么图形？请说理证明．
（4）如图4是点O在正方形外部的一种情况．当OM=ON时，请你就“点O的位置在各种情况下（含外部）移动所形成的图形”提出一个正确的结论．（不必说理）
【解答】解：（1）若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是：OM=ON；理由：∵四边形ABCD时正方形，
∴AB=AD，∠ADC=∠ABM=∠BAD=90°，
∵∠MON=90°，
∴∠BAM=∠DAN，
在△ABM和△ADN中，
∴△ABM≌△ADN，
∴OM=ON，
故答案为：OM=ON，
（2）仍成立．
证明：如图2，连接AC、BD，则
由正方形ABCD可得，∠BOC=90°，BO=CO，∠OBM=∠OCN=45°
∵∠MON=90°
∴∠BOM=∠CON
在△BOM和△CON中，
∴△BOM≌△CON（ASA）
∴OM=ON
（3）如图3，过点O作OE⊥BC，作OF⊥CD，垂足分别为E、F，则∠OEM=∠OFN=90°
又∵∠C=90°
∴∠EOF=90°=∠MON
∴∠MOE=∠NOF
在△MOE和△NOF中，
∴△MOE≌△NOF（AAS）
∴OE=OF
又∵OE⊥BC，OF⊥CD
∴点O在∠C的平分线上，
∵点O在正方形的内部（含边界）
∴O在移动过程中可形成线段AC
（4）如图4，过点O作OE⊥BC，作OF⊥CD，垂足分别为E、F，则∠OEM=∠OFN=90°
又∵∠C=90°
∴∠EOF=90°=∠MON
∴∠MOE=∠NOF
在△MOE和△NOF中，
∴△MOE≌△NOF（AAS）
∴OE=OF
又∵OE⊥BC，OF⊥CD
∴点O在∠C的平分线上，
∵点O在正方形外部，
∴O在移动过程中可形成直线AC中除去线段AC的部分．
24．（12分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
【解答】解：（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，
，
解得，
故抛物线为y=﹣x2+2x+3
又设直线为y=kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3）得
，
解得
故直线AC为y=x+1；
（2）如图1，作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），
故直线DN′的函数关系式为y=﹣x+，
当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，
则m=﹣×=；
（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），
∵点E在直线AC上，
设E（x，x+1），
①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，
则F（x，x+3），
∵F在抛物线上，
∴x+3=﹣x2+2x+3，
解得，x=0或x=1（舍去）
∴E（0，1）；
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，
则F（x，x﹣1）
由F在抛物线上
∴x﹣1=﹣x2+2x+3
解得x=或x=
∴E（，）或（，）
综上，满足条件的点E的坐标为（0，1）、（，）或（，）；
（4）方法一：如图3，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C 作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）
∴PQ=（﹣x2+2x+3）﹣（x+1）
=﹣x2+x+2
=S△APQ+S△CPQ
又∵S
△APC
=PQ•AG
=（﹣x2+x+2）×3
=﹣（x﹣）2+
∴面积的最大值为．
方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图3，
设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）
=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC
又∵S
△APC
=（x+1）（﹣x2+2x+3）+（﹣x2+2x+3+3）（2﹣x）﹣×3×3
=﹣x2+x+3
=﹣（x﹣）2+
∴△APC的面积的最大值为．
赠送：初中数学几何模型举例
【模型四】
几何最值模型：
图形特征：
P
A
B
l
运用举例：
1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为
B
2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

D
F
A
3.在Rt△POQ中，OP=OQ=4．M是PQ中点，把一把三角尺的直角顶点放在点M处，以M 为旋转中心．旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B。

（1）求证：MA=MB；
（2）连接AB．探究：在旋转三角尺的过程中．△AOB的周长是否存在最小值．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
4.如图，在锐角△ABC 中，AB
=BAC =45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 和N 分别是AD ，AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是 .
D
C
M
5.如图，△ABC 中，︒=∠60BAC ，︒=∠45ABC ，AB =22，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 。

F
E
O
C A
B D
6. 在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，3OA =，4OB =，D 为边OB 的中点.
（1）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；
（2）若E、F为边OA上的两个动点，且2
EF ，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.。