5.7 用二元一次方程组确定一次函数表达式 课件 北师大版数学 八年级上册
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可以求出k，b的值，即可以求出乙中s与t之间的函
数表达式.你能求出甲的表达式吗？
s 20t 100
s
15t
s
300 7
t
20 7
因为甲为正比例函数，设甲的关系式为s=kt,当t=2
时s=30，即30=2k，k=15,所以s=15t
1小时后乙距A地80千米,即乙的速度是20千米/时
小亮
2小时后甲距A 地30千米,故甲的速度是15千米/时 设同时出发后t小时相遇，
消元法 图象法
是一种代数方法
合作探究
新知 确定一次函数的表达式 探究 A ,B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B 两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地 的距离s(千米)都是骑车时间t(时)的一次函数.1小时后乙距A地 80千米; 2小时后甲距A地30千米. 问：经过多长时间两人相遇 ?说出你的方法，并与同学们交流.
所以｛800k + b = 1000
700k + b = 2000
解这个方程组得｛: bk==-91000
因此,购买量y与单价x的函数解析式为 y =-10x + 9000
当 y = 400时得，-10 x + 900 =400, 所以x =860.
答:当客户购买400kg,单价是860元.
合作探究
(2)已知某儿童最大拉力为400 N，求该儿童能使单根弹簧伸长的最大长
度．
x(单位：cm) 28 30
35
y(单位：N)
0 120 420
解：(1)设 y＝kx＋b.根据题意得2380kk＋＋bb＝＝01，20.解得kb＝＝6－01，680.∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝60x－1680.自变量 x 的取值范围为 28≤x≤58 (2) 三根弹簧每伸长 1 cm，需用力 60 N，一根弹簧每伸长 1 cm，需用力 20 N， 400÷20＝20 (cm)．∴最大可使单根弹簧的长度伸长 20 cm
解：（1）设此一次函数表达式为：y=kx+b（k≠0) . 根据题意，可得方程组
5 60k b 10 90k b
解得
k 1 , 6
b 5.
所以 y 1 x 5.
6
（2）当y=0时，16 x 5 0 .解得x=30 所以当x>30时，y>0.
答：旅客最多可免费携带30千克的行李．
(1)y＝20－6x(x>0) (2)500米＝0.5千米，当x＝0.5时，y＝17 ℃ (3)当y＝－34时，x＝9千米
10．在弹性限度内，一根弹簧最大可伸长长度为58 cm.拉力y与弹簧的总长
度x之间是一次函数的关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
4.求：进而求出一次函数的表达式.
巩固新知
在某个范围内,某产品的购买量y(单位:kg)与单价x(单位:元)
之间满足一次函数,若购买1000kg,单价为800元;若购买
2000kg,单价为700元.若一客户购买400kg,单价是多少?
解:设购买量y与单价x的函数解析式为y=kx+b， 因为当x=1000时 y = 800;当x=2000时y = 700，
5．已知一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(3，－3)，且与直线 y ＝4x－3 的交点在 x 轴上．
(1)求该直线的函数表达式； (2)此函数的图象经过哪几个象限？ (3)求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．
解：(1)y＝－43x＋1
(2)经过第一、二、四象限
3 (3)8
6．某公司市场营销人员的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系，其 图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员的底薪(没有销售时的收 入)是_____9_0_0____元．
则15t+20t=100，
所以 t 20 . 7
探究交流 在以上的解题过程中你受到什么启发？
小明
小颖
小亮
用图象法可 以解决问题
用方程组的方法 可以解决问题
用一元一次方 程的方法可以
解决问题
用作图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却
难以准确，为了获得准确的结果，我们一般用代数方法.
例 某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量 的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元） 是行李质量x（kg）的一次函数．已知李明带了60 kg的行 李，交了行李费5元；张华带了90 kg的行李，交了行李费 10元． （1）写出y与x之间的函数表达式； （2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？
b=14.5. 当所挂物体的质量为4kg时，y=0.5×4+14.5 =16.5， 即弹簧长为16.5cm.
归纳新知
利用二元一次方程组 确定一次函数表达式
用含字母的系数设出一次函数 的表达式：y=kx+b
将已知条件代入上述表达式中
得关于k，b的二元一次方程组
解这个二元一次方程组得k，b
课后练习
1．如图，某函数图象的一条线段的两个端点的坐标为(－1，0)和(1，
(1)求图中a的值； (2)组委会在距离起点2.1千米处设立一个拍摄点C，该运动员从第一次经过 点C到第二次经过点C所用的时间为68分钟． ①求AB所在直线的函数表达式； ②该运动员跑完赛程用时多少分钟？
解：(1)由题意得 a＝0.3×35＝10.5(千米) (2)①∵线段 OA 经过点 O(0， 0)，A(35，10.5)，∴直线 OA 表达式为 y＝0.3t(0≤t≤35)，∴当 s＝2.1 时， 0.3t＝2.1，解得 t＝7，∵该运动员从第一次经过 C 点到第二次经过 C 点所 用的时间为 68 分钟，∴该运动员从起点到第二次经过 C 点所用的时间是 7 ＋68＝75(分钟)，∴直线 AB 经过点(35，10.5)，(75，2.1)，设直线 AB 表达 式为 s＝kt＋b，∴3755kk＋ ＋bb＝ ＝120.1.， 5，解得kb＝ ＝－ 170.8.251，，∴直线 AB 表达式为 s ＝－0.21t＋17.85.②由题意得当 s＝0 时，－0.21t＋17.85＝0，解得 t＝85， ∴该运动员跑完赛程用时 85 分钟
解：设 y＝kx＋b.由题意得38kk＋ ＋bb＝ ＝511，. 解得kb＝ ＝11..24，. ∴收费 y(元)与行驶 x(千米)(x≥3)之间的函数关系式为 y ＝1.2x＋1.4
8．如图，直线 l1 与 l2 相交于点 P，l1 的函数表达式为 y1＝2x＋3，点 P
的横坐标为－1，且 l2 的函数表达式为 y2＝kx－1.
3.已知函数y=2x+b的图像经过点(a，7)和(-2，a)，则这个函数
的表达式为____y_=_2_x_+_5___.
4. 在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一 次函数.当所挂物体的质量为1kg时，弹簧长度为15cm；当所 挂物体的质量为3kg时，弹簧长度为16cm.写出y与x之间的关系 式，并求当所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度. 解：设y与x之间的关系式为y=kx+b. 解把方（程1，组1得5）与k=（0.35，，1所6）以分y与别x代之入间，的得关：系3式kk++为bb==y11=560，，.5x+14.5
课堂练习
1.若直线 y=0.5x+n 与 y=mx-1 相交于点(1,-2),则（ C）
A.m=0.5，n=-2.5
B.m=0.5，n=-1
C.m=-1，n=-2.5
D.m=-3，n=-1.5
2.已知二元一次方程在2 同一平面直角坐标
系中，直线y=x﹣5 与直线 y=-x+1 的交点坐标为 (3,．-2)
y＝2x＋3， x＝
，
(1)方程组y＝kx－1 的解y＝
；
(2)如图，点 A，B 分别是两直线与 y 轴的交点，试求△PAB 的面积．
解：(1)－1 1 (2)AB＝3－(－1)＝4，P 到 y 轴的距离为 1，∴S△PAB＝21 ×4×1＝2
9．我们知道，海拔高度每上升1千米，温度下降6 ℃，某时刻某地地面温 度为20 ℃，设高出地面x千米处的温度为y ℃. (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)已知此地一山峰高出地面约500米，求这时山顶的温度大约是多少？ (3)此时，有一架飞机飞过此地上空，若机舱内仪表显示飞机外面的温度为 －34 ℃，求飞机离地面的高度为多少千米？
1)，那么这个函数是( C ) A．y＝12x＋12(x≥0) B．y＝－21x＋21(0≤x≤1) C．y＝12x＋12(－1≤x≤1) D．y＝12x＋12(0≤x≤1)
x＝1， x＝－1， 2.y＝2 和y＝4 都是方程 y＝kx＋b 的解，则 k，b 的值分别为
( A)
A．－1，3
B．1，4
像这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表 达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待 定系数法.
利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤： 1.设：用含字母的系数设出一次函数的表达式：
y=kx+b.
2.代：将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一
次方程组.
3.解：解这个二元一次方程组得k，b.
甲
乙距A地80千米
乙
A 2小时后甲距A
地30千米
B
1小时后
小明
可以分别作出两人s 与t 之间的关系图象，找出 交点的横坐标就行了.
s/千米 图象表示
120
100 (B)
80
甲
60
40
20
(A)
0
乙 1 2 3 4 t/时
小颖
对于乙，s是t的一次函数，可设s=kt+b.当t=0时， s=100；当t=1时s=80.将它们分别代入s=kt+b中，
7．如图是某出租车单程收费y(元)与行驶路程x(千米)之间的函数关系图象， 根据图象回答下列问题： (1)当行驶8千米时，收费应为____1_1__元； (2)从图象上你能获得哪些信息？(请写出2条) ①________3_千__米__内_收__费__5_元_________； ②_____超__过__3_千_米__，__每__千__米_收__费__1_.2_元_______． (3)求出收费y(元)与行驶x(千米)(x≥3)之间的函数关系式．
北师大版· 数学· 八年级（上）
第五章 二元一次方程组
5.7 用二元一次方程组确定一次函 数表达式
学习目标
1.了解待定系数法，会用二元一次方程组确定一次 函数的表达式。
2.会应用方程与函数的联系解决实际问题。
导入新知
1.二元一次方程组与一次函数有何联系? 二元一次方程组的解是它们对应的两个
一次函数图象的交点坐标；反之，两个一次 函数图象的交点坐标也是它们所对应的二元 一次方程组的解． 2.二元一次方程组有哪些解法？
方法点拨
确定一次函数关系式的方法： 1）设关系式； 2）找x与y的对应值； 3）代入转化成方程（组） 4）解方程（组）确定系数； 5）还原关系式.
巩固新知
已知一次函数的图象过点（3，5）与（-4，-9），求 这个一次函数的解析式．
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b. 把点（3，5）与（-4，-9）分别代入，得： 3k+b=5， -4k+b=-9， k=2， 解方程组得 b=-1. 所以这个一次函数的解析式为 y=2x-1.
11． (2019·丽水)2019年3月27日“丽水半程马拉松竞赛”在莲都举行，某 运动员从起点万地广场西门出发，途经紫金大桥，沿比赛路线跑回终点万 地广场西门．设该运动员离开起点的路程s(千米)与跑步时间t(分钟)之间的 函数关系如图所示，其中从起点到紫金大桥的平均速度是0.3千米/分，用时 35分钟，根据图象提供的信息，解答下列问题：
典例精析 已知两点坐标确定一次函数的表达式
例 已知一次函数的图象过点（-1，3）与（2，-3），
求这个一次函数的解析式． 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b. 把点（-1，3）与（2，-3）分别代入，得： -k+b=3，
2k+b=-3， 解方程组得 k=-2， 所以这个一次函b数=1的.解析式为 y=-2x+1.
C．3，2
D．5，－3
3．(2019·莒县模拟)在平面直角坐标系中，如果点(x，4)，(0，8)，(－4，0) 在同一条直线上，则x＝___－_2___．
4．(2019·澧县三模)有一列有序数对：(1，2)，(4，5)，(9，10)，(16， 17)，…，按此规律，第5对有序数对为_____(2_5_，__2_6_) ____；若在平面直角 坐标系xOy中，以这些有序数对为坐标的点都在同一条直线上，则这条直 线的表达式为___y_＝__x_＋__1________．
数表达式.你能求出甲的表达式吗？
s 20t 100
s
15t
s
300 7
t
20 7
因为甲为正比例函数，设甲的关系式为s=kt,当t=2
时s=30，即30=2k，k=15,所以s=15t
1小时后乙距A地80千米,即乙的速度是20千米/时
小亮
2小时后甲距A 地30千米,故甲的速度是15千米/时 设同时出发后t小时相遇，
消元法 图象法
是一种代数方法
合作探究
新知 确定一次函数的表达式 探究 A ,B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B 两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地 的距离s(千米)都是骑车时间t(时)的一次函数.1小时后乙距A地 80千米; 2小时后甲距A地30千米. 问：经过多长时间两人相遇 ?说出你的方法，并与同学们交流.
所以｛800k + b = 1000
700k + b = 2000
解这个方程组得｛: bk==-91000
因此,购买量y与单价x的函数解析式为 y =-10x + 9000
当 y = 400时得，-10 x + 900 =400, 所以x =860.
答:当客户购买400kg,单价是860元.
合作探究
(2)已知某儿童最大拉力为400 N，求该儿童能使单根弹簧伸长的最大长
度．
x(单位：cm) 28 30
35
y(单位：N)
0 120 420
解：(1)设 y＝kx＋b.根据题意得2380kk＋＋bb＝＝01，20.解得kb＝＝6－01，680.∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝60x－1680.自变量 x 的取值范围为 28≤x≤58 (2) 三根弹簧每伸长 1 cm，需用力 60 N，一根弹簧每伸长 1 cm，需用力 20 N， 400÷20＝20 (cm)．∴最大可使单根弹簧的长度伸长 20 cm
解：（1）设此一次函数表达式为：y=kx+b（k≠0) . 根据题意，可得方程组
5 60k b 10 90k b
解得
k 1 , 6
b 5.
所以 y 1 x 5.
6
（2）当y=0时，16 x 5 0 .解得x=30 所以当x>30时，y>0.
答：旅客最多可免费携带30千克的行李．
(1)y＝20－6x(x>0) (2)500米＝0.5千米，当x＝0.5时，y＝17 ℃ (3)当y＝－34时，x＝9千米
10．在弹性限度内，一根弹簧最大可伸长长度为58 cm.拉力y与弹簧的总长
度x之间是一次函数的关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
4.求：进而求出一次函数的表达式.
巩固新知
在某个范围内,某产品的购买量y(单位:kg)与单价x(单位:元)
之间满足一次函数,若购买1000kg,单价为800元;若购买
2000kg,单价为700元.若一客户购买400kg,单价是多少?
解:设购买量y与单价x的函数解析式为y=kx+b， 因为当x=1000时 y = 800;当x=2000时y = 700，
5．已知一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(3，－3)，且与直线 y ＝4x－3 的交点在 x 轴上．
(1)求该直线的函数表达式； (2)此函数的图象经过哪几个象限？ (3)求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．
解：(1)y＝－43x＋1
(2)经过第一、二、四象限
3 (3)8
6．某公司市场营销人员的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系，其 图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员的底薪(没有销售时的收 入)是_____9_0_0____元．
则15t+20t=100，
所以 t 20 . 7
探究交流 在以上的解题过程中你受到什么启发？
小明
小颖
小亮
用图象法可 以解决问题
用方程组的方法 可以解决问题
用一元一次方 程的方法可以
解决问题
用作图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却
难以准确，为了获得准确的结果，我们一般用代数方法.
例 某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量 的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元） 是行李质量x（kg）的一次函数．已知李明带了60 kg的行 李，交了行李费5元；张华带了90 kg的行李，交了行李费 10元． （1）写出y与x之间的函数表达式； （2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？
b=14.5. 当所挂物体的质量为4kg时，y=0.5×4+14.5 =16.5， 即弹簧长为16.5cm.
归纳新知
利用二元一次方程组 确定一次函数表达式
用含字母的系数设出一次函数 的表达式：y=kx+b
将已知条件代入上述表达式中
得关于k，b的二元一次方程组
解这个二元一次方程组得k，b
课后练习
1．如图，某函数图象的一条线段的两个端点的坐标为(－1，0)和(1，
(1)求图中a的值； (2)组委会在距离起点2.1千米处设立一个拍摄点C，该运动员从第一次经过 点C到第二次经过点C所用的时间为68分钟． ①求AB所在直线的函数表达式； ②该运动员跑完赛程用时多少分钟？
解：(1)由题意得 a＝0.3×35＝10.5(千米) (2)①∵线段 OA 经过点 O(0， 0)，A(35，10.5)，∴直线 OA 表达式为 y＝0.3t(0≤t≤35)，∴当 s＝2.1 时， 0.3t＝2.1，解得 t＝7，∵该运动员从第一次经过 C 点到第二次经过 C 点所 用的时间为 68 分钟，∴该运动员从起点到第二次经过 C 点所用的时间是 7 ＋68＝75(分钟)，∴直线 AB 经过点(35，10.5)，(75，2.1)，设直线 AB 表达 式为 s＝kt＋b，∴3755kk＋ ＋bb＝ ＝120.1.， 5，解得kb＝ ＝－ 170.8.251，，∴直线 AB 表达式为 s ＝－0.21t＋17.85.②由题意得当 s＝0 时，－0.21t＋17.85＝0，解得 t＝85， ∴该运动员跑完赛程用时 85 分钟
解：设 y＝kx＋b.由题意得38kk＋ ＋bb＝ ＝511，. 解得kb＝ ＝11..24，. ∴收费 y(元)与行驶 x(千米)(x≥3)之间的函数关系式为 y ＝1.2x＋1.4
8．如图，直线 l1 与 l2 相交于点 P，l1 的函数表达式为 y1＝2x＋3，点 P
的横坐标为－1，且 l2 的函数表达式为 y2＝kx－1.
3.已知函数y=2x+b的图像经过点(a，7)和(-2，a)，则这个函数
的表达式为____y_=_2_x_+_5___.
4. 在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一 次函数.当所挂物体的质量为1kg时，弹簧长度为15cm；当所 挂物体的质量为3kg时，弹簧长度为16cm.写出y与x之间的关系 式，并求当所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度. 解：设y与x之间的关系式为y=kx+b. 解把方（程1，组1得5）与k=（0.35，，1所6）以分y与别x代之入间，的得关：系3式kk++为bb==y11=560，，.5x+14.5
课堂练习
1.若直线 y=0.5x+n 与 y=mx-1 相交于点(1,-2),则（ C）
A.m=0.5，n=-2.5
B.m=0.5，n=-1
C.m=-1，n=-2.5
D.m=-3，n=-1.5
2.已知二元一次方程在2 同一平面直角坐标
系中，直线y=x﹣5 与直线 y=-x+1 的交点坐标为 (3,．-2)
y＝2x＋3， x＝
，
(1)方程组y＝kx－1 的解y＝
；
(2)如图，点 A，B 分别是两直线与 y 轴的交点，试求△PAB 的面积．
解：(1)－1 1 (2)AB＝3－(－1)＝4，P 到 y 轴的距离为 1，∴S△PAB＝21 ×4×1＝2
9．我们知道，海拔高度每上升1千米，温度下降6 ℃，某时刻某地地面温 度为20 ℃，设高出地面x千米处的温度为y ℃. (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)已知此地一山峰高出地面约500米，求这时山顶的温度大约是多少？ (3)此时，有一架飞机飞过此地上空，若机舱内仪表显示飞机外面的温度为 －34 ℃，求飞机离地面的高度为多少千米？
1)，那么这个函数是( C ) A．y＝12x＋12(x≥0) B．y＝－21x＋21(0≤x≤1) C．y＝12x＋12(－1≤x≤1) D．y＝12x＋12(0≤x≤1)
x＝1， x＝－1， 2.y＝2 和y＝4 都是方程 y＝kx＋b 的解，则 k，b 的值分别为
( A)
A．－1，3
B．1，4
像这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表 达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待 定系数法.
利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤： 1.设：用含字母的系数设出一次函数的表达式：
y=kx+b.
2.代：将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一
次方程组.
3.解：解这个二元一次方程组得k，b.
甲
乙距A地80千米
乙
A 2小时后甲距A
地30千米
B
1小时后
小明
可以分别作出两人s 与t 之间的关系图象，找出 交点的横坐标就行了.
s/千米 图象表示
120
100 (B)
80
甲
60
40
20
(A)
0
乙 1 2 3 4 t/时
小颖
对于乙，s是t的一次函数，可设s=kt+b.当t=0时， s=100；当t=1时s=80.将它们分别代入s=kt+b中，
7．如图是某出租车单程收费y(元)与行驶路程x(千米)之间的函数关系图象， 根据图象回答下列问题： (1)当行驶8千米时，收费应为____1_1__元； (2)从图象上你能获得哪些信息？(请写出2条) ①________3_千__米__内_收__费__5_元_________； ②_____超__过__3_千_米__，__每__千__米_收__费__1_.2_元_______． (3)求出收费y(元)与行驶x(千米)(x≥3)之间的函数关系式．
北师大版· 数学· 八年级（上）
第五章 二元一次方程组
5.7 用二元一次方程组确定一次函 数表达式
学习目标
1.了解待定系数法，会用二元一次方程组确定一次 函数的表达式。
2.会应用方程与函数的联系解决实际问题。
导入新知
1.二元一次方程组与一次函数有何联系? 二元一次方程组的解是它们对应的两个
一次函数图象的交点坐标；反之，两个一次 函数图象的交点坐标也是它们所对应的二元 一次方程组的解． 2.二元一次方程组有哪些解法？
方法点拨
确定一次函数关系式的方法： 1）设关系式； 2）找x与y的对应值； 3）代入转化成方程（组） 4）解方程（组）确定系数； 5）还原关系式.
巩固新知
已知一次函数的图象过点（3，5）与（-4，-9），求 这个一次函数的解析式．
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b. 把点（3，5）与（-4，-9）分别代入，得： 3k+b=5， -4k+b=-9， k=2， 解方程组得 b=-1. 所以这个一次函数的解析式为 y=2x-1.
11． (2019·丽水)2019年3月27日“丽水半程马拉松竞赛”在莲都举行，某 运动员从起点万地广场西门出发，途经紫金大桥，沿比赛路线跑回终点万 地广场西门．设该运动员离开起点的路程s(千米)与跑步时间t(分钟)之间的 函数关系如图所示，其中从起点到紫金大桥的平均速度是0.3千米/分，用时 35分钟，根据图象提供的信息，解答下列问题：
典例精析 已知两点坐标确定一次函数的表达式
例 已知一次函数的图象过点（-1，3）与（2，-3），
求这个一次函数的解析式． 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b. 把点（-1，3）与（2，-3）分别代入，得： -k+b=3，
2k+b=-3， 解方程组得 k=-2， 所以这个一次函b数=1的.解析式为 y=-2x+1.
C．3，2
D．5，－3
3．(2019·莒县模拟)在平面直角坐标系中，如果点(x，4)，(0，8)，(－4，0) 在同一条直线上，则x＝___－_2___．
4．(2019·澧县三模)有一列有序数对：(1，2)，(4，5)，(9，10)，(16， 17)，…，按此规律，第5对有序数对为_____(2_5_，__2_6_) ____；若在平面直角 坐标系xOy中，以这些有序数对为坐标的点都在同一条直线上，则这条直 线的表达式为___y_＝__x_＋__1________．