【压轴卷】初三数学上期中一模试题含答案

【压轴卷】初三数学上期中一模试题含答案
一、选择题
1．方程x 2
+x-12=0的两个根为（ ）
A ．x 1=-2，x 2=6
B ．x 1=-6，x 2=2
C ．x 1=-3，x 2=4
D ．x 1=-4，x 2=3 2．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上．若∠ACD=25°，则∠BOD 的度数为（ ）
A ．100°
B ．120°
C ．130°
D ．150°
3．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ．
D ．
4．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(－1，0)，对称轴为直线l.则下列结论：①abc ＞0；②a －b ＋c ＝0；③2a ＋c ＜0；④a ＋b ＜0.其中所有正确的结论是( )
A ．①③
B ．②③
C ．②④
D ．②③④ 5．若α，β是一元二次方程x 2﹣x ﹣2018＝0的两个实数根，则α2﹣3α﹣2β+3的值为（ ）
A ．2020
B ．2019
C ．2018
D ．2017 6．如果关于x 的方程240x x m -+=有两个不相等的实数根，那么在下列数值中，m 可以取的是（ ）
A ．3
B ．5
C ．6
D ．8 7．书架上放着三本小说和两本散文，小明从中随机抽取两本，两本都是小说的概率是（ ）
A ．310
B ．925
C ．425
D ．110
8．如图，将三角尺ABC （其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕点B 按逆时针方向转动一个角度到△A 1BC 1的位置，使得点A 1、B 、C 在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．90°
D ．120° 9．一元二次方程2410x x --=配方后可化为（ ）
A ．2(2)3x +=
B ．2(2)5x +=
C ．2(2)3x -=
D ．2(2)5x -= 10．若关于x 的方程240kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是( ) A ．k 16≤ B ．1k 16≤ C ．k 16≤且k 0≠ D ．1k 16
≤且k 0≠ 11．山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．下列四幅剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．若a ，b 为方程2x 5x 10--=的两个实数根，则22a 3ab 8b 2a ++-的值为（ ） A ．-41 B ．-35 C ．39 D ．45
二、填空题
13．已知：如图，CD 是O e 的直径，AE 切O e 于点B ，DC 的延长线交AB 于点A ，20A ∠=o ，则DBE ∠=________度．
14．关于x 的一元二次方程kx 2﹣4x+3＝0有实数根，则k 应满足的条件是_____.
15．如图，量角器的0度刻度线为AB ，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C ，直尺另一边交量角器于点A ，D ，量得10AD cm =，点D 在量角器上的读数为60o ，则该直尺的宽度为____________cm ．
16．如图，四边形ABCD 是O e 内接四边形，若3080BAC CBD ∠︒∠︒＝，＝，则BCD ∠的度数为______．
17．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，⊙O 的半径为6，则这个正六边形的边心距OM 的长为__．
18．小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是____________．
19．若关于 x 的一元二次方程2x 2-x+m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值为__________．
20．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若直角边AC ＝5，BC ＝12，则此三角形的内切圆半径为________．
三、解答题
21．学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如表所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数. 购买件数
销售价格 不超过30件
单价40元 超过30件 每多买1件，购买的所有物品单价将降低0.5元，但单价不得低于
30元
22．已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ．
（I ）如图①，若BC 是⊙O 的直径，BC ＝4，求BD 的长；
（Ⅱ）如图②，若∠ABC 的平分线交AD 于点E ，求证：DE ＝DB ．
23．解方程
（1）2250x x --= （2） x （3－2x ）= 4 x －6
24．如图，已知AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，∠EAB 的平分线交⊙O 于点C ，过点C 作AE 的垂线，垂足为D ，直线DC 与AB 的延长线交于点P ．
（1）判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠P=34
，AD=6，求线段AE 的长． 25．如图，在Rt△ABC 中，点O 在斜边AB 上，以O 为圆心，OB 为半径作圆，分别与BC ，AB 相交于点D ，E ，连结AD ．已知∠CAD=∠B,
（1）求证：AD 是⊙O 的切线．
（2）若BC=8，tanB=12
，求⊙O 的半径．
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
试题分析：将x 2+x ﹣12分解因式成（x+4）（x ﹣3），解x+4=0或x ﹣3=0即可得出结论． x 2+x ﹣12=（x+4）（x ﹣3）=0， 则x+4=0，或x ﹣3=0， 解得：x 1=﹣4，x 2=3．
考点：解一元二次方程-因式分解法
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据圆周角定理求出∠AOD 即可解决问题．
【详解】
解：∵∠AOD=2∠ACD ，∠ACD=25°，
∴∠AOD=50°，
∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣50°=130°，
故选：C ．
【点睛】
本题考查圆周角定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，
3．B
解析：B
【解析】
由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”分析可知，上述图形中，A 、C 、D 都不是中心对称图形，只有B 是中心对称图形.
故选B.
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：①∵二次函数图象的开口向下，
∴a ＜0，
∵二次函数图象的对称轴在y 轴右侧， ∴﹣2b a
＞0， ∴b ＞0，
∵二次函数的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，
∴c ＞0，
∴abc ＜0，故①错误；
②∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（﹣1，0），
∴a ﹣b+c=0，故②正确；
③∵a ﹣b+c=0，∴b=a+c ．
由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，
∴4a+2（a+c）+c＜0，
∴6a+3c＜0，∴2a+c＜0，故③正确；
④∵a﹣b+c=0，∴c=b﹣a．
由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，
∴4a+2b+b﹣a＜0，
∴3a+3b＜0，∴a+b＜0，故④正确．
故选D．
考点：二次函数图象与系数的关系．
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据方程的解的定义及韦达定理得出α+β=1、α2-α=2018，据此代入原式=α2-α-2（α+β）+3计算可得．
【详解】
解：∵α，β是一元二次方程x2﹣x﹣2018＝0的两个实数根，
∴α+β＝1、α2﹣α＝2018，
则原式＝α2﹣α﹣2（α+β）+3
＝2018﹣2+3
＝2019，
故选：B．
【点睛】
考查根与系数的关系，解题的关键是掌握韦达定理及方程的解的定义和整体代入思想的运用．
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据根的判别式的意义得到16﹣4m＞0，然后解不等式得到m＜4，然后对各选项进行判断．
【详解】
根据题意得：△=16﹣4m＞0，解得：m＜4，所以m可以取3，不能取5、6、8．
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．
7．A
解析：A
【解析】
【分析】
画树状图（用A、B、C表示三本小说，a、b表示两本散文）展示所有20种等可能的结果数，找出从中随机抽取2本都是小说的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
画树状图为：（用A、B、C表示三本小说，a、b表示两本散文）
共有20种等可能的结果数，其中从中随机抽取2本都是小说的结果数为6，
∴从中随机抽取2本都是小说的概率＝6
20
＝
3
10
．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查等可能事件的概率，掌握画树状图以及概率公式，是解题的关键．
8．D
解析：D
【解析】
根据题意旋转角为∠ABA1，由∠ABC=60°，∠C=90°，A、B、C1在同一条直线上，得到∠ABA1=180°-∠A1BC1=180°-60°=120°
解：旋转角为∠ABA1，∵∠ABC=60°，∠C=90°，
∴∠ABA1=180°-∠A1BC1=180°-60°=120°；
故答案为D
点评：本题考查了弧长的计算公式：l=n R
180
，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的
度数．9．D
解析：D 【解析】【分析】
根据移项，配方，即可得出选项．
【详解】
解：x 2-4x-1=0，
x 2-4x=1，
x 2-4x+4=1+4，
（x-2）2=5，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解题的关键．
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
当0k =时，代入方程验证即可，当0k ≠时，根据方程的判别式△≥0可得关于k 的不等式，解不等式即得k 的取值范围，问题即得解决.
【详解】
解：当0k =时，40x -+=，此时4x =，有实数根；
当0k ≠时，∵方程240kx x -+=有实数根，∴△2
(1)440k =--⨯⨯…，解得：116k …，此时116
k …且0k ≠； 综上，116k …
．故选B. 【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知一元二次方程的根的判别式与根的关系是解题的关键.
11．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：A 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B 、是中心对称图形，故本选项符合题意；
C 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选B ．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系可得a2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，把22a3ab8b2a
++-变形为2(a2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2，即可得答案．
【详解】
∵a，b为方程2x5x10
--=的两个实数根，
∴a2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，
∴22a3ab8b2a
++-
=2(a2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2
=2×0+3×（-1）+8×5+2
=39．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，则x1+x2=
b
a
-，x1·x2=
c
a
；熟练掌握韦达定理是解题
关键．
二、填空题
13．55【解析】【分析】连接BC由CD是⊙O的直径知道∠CBD=90°由AE是
⊙O的切线知道∠DBE=∠1∠2=∠D又∠1+∠D=90°即∠1+∠2=90°；而
∠A+∠2=∠1由此即可求出∠1即求出∠D
解析：55
【解析】
【分析】
连接BC，由CD是⊙O的直径知道∠CBD=90°，由AE是⊙O的切线知道∠DBE=∠1，
∠2=∠D，又∠1+∠D=90°，即∠1+∠2=90°；而∠A+∠2=∠1，由此即可求出∠1，即求出∠DBE．
【详解】
如图，连接BC，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD=90°，
∵AE是⊙O的切线，
∴∠DBE=∠1，∠2=∠D；
又∵∠1+∠D=90°，
即∠1+∠2=90°①，
∠A+∠2=∠1②，
-②得∠1=55°
即∠DBE=55°．
故答案为：∠DBE=55°．
【点睛】
本题考查的是弦切角的性质及圆周角定理，三角形内角与外角的关系，是一道较简单的题目．
14．k≤且k≠0；【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义解答即可【详解】∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根∴△=(-4)2-4k×3≥0且k≠0解得k≤且k≠0故
解析：k≤4
3
且k≠0；
【解析】
【分析】
利用一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义解答即可.【详解】
∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根，
∴△=(-4)2-4k×3≥0且k≠0，
解得k≤4
3
且k≠0，
故答案为：k≤4
3
且k≠0
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义及判别式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)，当判别式△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当
△<0时，方程没有实数根；解题时，要注意a≠0这个隐含的条件.
15．【解析】【分析】连接OCODOC与AD交于点E根据圆周角定理有根据垂径定理有：解直角即可【详解】连接OCODOC与AD交于点E直尺的宽度：故答案为【点睛】考查垂径定理熟记垂径定理是解题的关键
【解析】
【分析】
连接OC,OD,OC与AD交于点E，根据圆周角定理有
1
30,
2
BAD BOD
∠=∠=︒根据垂径定
理有：15,2AE AD =
= 解直角OAE △即可. 【详解】 连接OC ,OD ,OC 与AD 交于点E ，
130,2BAD BOD ∠=∠=︒ 10 3.cos303
AE OA ==︒ 5tan 303,3
OE AE =⋅︒= 直尺的宽度：105533 3.333CE OC OE =-=
= 533
【点睛】 考查垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键.
16．70°【解析】【分析】先根据圆周角定理求出的度数再由圆内接四边形的性质即可得出结论【详解】∵四边形ABCD 是内接四边形故答案为：70°【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质熟知圆内接四边形的对角互补
解析：70°
【解析】
【分析】
先根据圆周角定理求出BAD ∠的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．
【详解】
80CBD ∠︒Q ＝，
80CAD CBD ∴∠∠︒＝＝．
． 30BAC ∠︒Q ＝
3080110BAD ∴∠︒+︒︒＝＝．
∵四边形ABCD 是O e 内接四边形，
180********BCD BAD ∴∠︒∠︒︒︒＝﹣＝﹣＝．
故答案为：70°．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 17．3【解析】连接OB ∵六边形ABCDEF 是⊙O 内接正六边形
∴∠BOM==30°∴OM=OB•cos∠BOM=6×=3故答案为：3 解析：33
【解析】
连接OB，
∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，∴∠BOM=360
62
︒
⨯
=30°，
∴OM=OB•cos∠BOM=6×
3
2
=33，
故答案为：33.
18．【解析】【分析】画出树状图得出所有情况让从左向右恰好成上中下的情况数除以总情况数即为所求的概率【详解】画树状图如图：共有6个等可能的结果从上到下的顺序恰好为上册中册下册的结果有1个∴从上到下的顺序恰
解析：1 6
【解析】
【分析】
画出树状图得出所有情况，让从左向右恰好成上、中、下的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详解】
画树状图如图：
共有6个等可能的结果，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果有1个，
∴从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率为1
6
，
故答案为：1
6
．
【点睛】
本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列
出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．【解析】【分析】根据关于x的一元二次方程2x2-x+m=0有两个相等的实数根结合根的判别式公式得到关于m的一元一次方程解之即可【详解】根据题意得：△=1-4×2m=0整理得：1-8m=0解得：m=故
解析：1 8
【解析】
【分析】
根据“关于x的一元二次方程2x2-x+m=0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于m的一元一次方程，解之即可．
【详解】
根据题意得：
△=1-4×2m=0，
整理得：1-8m=0，
解得：m=1
8
，
故答案为：1
8
．
【点睛】
本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．
20．2【解析】【分析】设ABBCAC与⊙O的切点分别为DFE；易证得四边形OECF是正方形；那么根据切线长定理可得：CE=CF=12（AC+BC-AB）由此可求出r的长【详解】解：如图；在Rt△ABC∠
解析：2
【解析】
【分析】
设AB、BC、AC与⊙O的切点分别为D、F、E；易证得四边形OECF是正方形；那么根据切线长定理可得：CE=CF=（AC+BC-AB），由此可求出r的长．
【详解】
解：如图；
在Rt△ABC，∠C=90°，AC=5，BC=12；
根据勾股定理AB=
四边形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°；
∴四边形OECF是正方形；
由切线长定理，得：AD=AE，BD=BF，CE=CF；
∴CE=CF=（AC+BC-AB）；
即：r=（5+12-13）=2．
故答案为2．
三、解答题
21．王老师购买该奖品的件数为40件．
【解析】
试题分析：根据题意首先表示出每件商品的价格，进而得出购买商品的总钱数，进而得出等式求出答案．
试题解析：∵30×40=1200＜1400，
∴奖品数超过了30件，
设总数为x件，则每件商品的价格为：[40﹣（x﹣30）×0.5]元，根据题意可得：
x[40﹣（x﹣30）×0.5]=1400，
解得：x1=40，x2=70，
∵x=70时，40﹣（70﹣30）×0.5=20＜30，
∴x=70不合题意舍去，
答：王老师购买该奖品的件数为40件．
考点：一元二次方程的应用．
22．（I）BD＝22；（II）见解析.
【解析】
【分析】
（I）连接OD，易证△DOB是等腰直角三角形，由勾股定理即可求出BD的长；
（II）由角平分线的定义结合（1）的结论即可得出∠CBD+∠CBE＝∠BAE+∠ABE，再根据三角形外角的性质即可得出∠EBD＝∠DEB，由此即可证出BD＝DE．
【详解】
解：（I）连接OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，
∴∠BAD ＝∠CAD ＝45°，
∴∠BOD ＝90°，
∵BC ＝4，
∴BO ＝OD ＝2，
∴BD ==；
（II ）证明：∵BE 平分∠ABC ，
∴∠ABE ＝∠CBE ．
∵∠BAD ＝∠CBD ，
∴∠CBD +∠CBE ＝∠BAE +∠ABE ．
又∵∠DEB ＝BAE +∠ABE ，
∴∠EBD ＝∠DEB ，
∴BD ＝DE ．
【点睛】
本题考查了三角形外接圆与外心、垂径定理、圆周角定理以及角平分线的定义，熟练掌握和圆有关的性质是解题的关键．
23．(1) 1211x x ==；(2) 123,22
x x =
=-. 【解析】
【分析】
(1)将方程2250x x --=移项得225x x -=，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方1，即可得出结论；(2)将方程()3246x x x =-－移项得32640x x x +-=－，提公因式后，即可得出结论.
【详解】
解：(1)2250x x --=，
移项，得：225x x -=，
等式两边同时加1，得：2216x x -+=，
即：()216x -=，
解得：11x =21x =，
(2)()3246x x x =-－，
移项，得：32640x x x +-=－，
提公因式，得：3220xx +=－， 解得:13 2
x =，22x =-，
故答案为：(1)11x =21x =；(2)132x =
，22x =-. 【点睛】
本题考查配方法、因式分解法解一元二次方程.配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的
右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.因式分解法的一般步骤：(1)移项，将方程右边化为0；(2)再把左边运用因式分解法化为两个一次因式的积；(3)分别令每个因式等于零，得到一元一次方程组；(4)分别解这两个一元一次方程，得到方程的解.
24．（1）PC是⊙O的切线；（2）9 2
【解析】
试题分析：（1）结论：PC是⊙O的切线．只要证明OC∥AD，推出∠OCP=∠D=90°，即可．
（2）由OC∥AD，推出OC OP
AD AP
=，即
10
610
r r
-
=，解得r=15
4
，由BE∥PD，AE=AB•sin
∠ABE=AB•sin∠P，由此计算即可．
试题解析：解：（1）结论：PC是⊙O的切线．理由如下：
连接OC．∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAB．又∵∠CAB=∠ACO，∴∠EAC=∠OCA，∴OC∥AD．∵AD⊥PD，∴∠OCP=∠D=90°，∴PC是⊙O的切线．
（2）连接BE．在Rt△ADP中，∠ADP=90°，AD=6，tan∠P=3
4
，∴PD=8，AP=10，设半
径为r．∵OC∥AD，∴OC OP
AD AP
=，即
10
610
r r
-
=，解得r=15
4
．∵AB是直径，∴∠
AEB=∠D=90°，∴BE∥PD，∴AE=AB•sin∠ABE=AB•sin∠P=15
2
×
3
5
=
9
2
．
点睛：本题考查了直线与圆的位置关系．解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．（1）证明见解析；（2）
35 r=.
【解析】
【分析】
（1）连接OD，由OD=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到∠1=∠3，求出∠4为90°，即可得证；
（2）设圆的半径为r，利用锐角三角函数定义求出AB的长，再利用勾股定理列出关于r 的方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】
（1）证明：连接OD，
OB OD =Q ，
3B ∴∠=∠，
1B ∠=∠Q ，
13∴∠=∠，
在Rt ACD ∆中，1290∠+∠=︒，
()41802390∴∠=︒-∠+∠=︒，
OD AD ∴⊥，
则AD 为圆O 的切线；
（2）设圆O 的半径为r ，
在Rt ABC ∆中，tan 4AC BC B ==， 根据勾股定理得：224845AB =+=
45OA r ∴=，
在Rt ACD ∆中，1tan 1tan 2
B ∠==， tan 12CD A
C ∴=∠=，
根据勾股定理得：22216420AD AC CD =+=+=，
在Rt ADO ∆中，222OA OD AD =+，即()22520r r =+， 解得：35r =
【点睛】 此题考查了切线的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．。