信号与系统复习题型

信号与系统的时域分析
1. 什么是LTI 系统？在时域中，我们如何表示系统？什么是系统的单位冲激响应？ ◆ 系统的线性时不变性的证明与判断（书中例子1-14,1-16,1-17,1-18）；
◆ 表示系统的时域数学模型：卷积表示，微分方程（连续时间系统），差分方程（离散时间
系统）；
◆ 单位冲激响应h(t)：系统对输入为单位冲激信号)(t δ的零状态响应。

2. 请写出LTI 系统的卷积表达式。

你会计算两个信号之间的卷积吗？
例1：假设LTI 系统的单位冲激响应为)()(t u t h =, 系统输入为)()(t u e t x t -=. 通过计算卷积
)(t y =)(*)(t h t x 确定系统的输出)(t y 。

3. 信号x(t)与单位冲激信号δ(t-t0)相乘、卷积，你会吗？ ◆ 四个重要公式： 1）)()(*)(00t t x t t t x -=-δ 2) )()(*)(t x t t x =δ
3) )()()()(000t t t x t t t x -=-δδ 4) )()0()()(t x t t x δδ=
例2：)1()1(*)(+=+t x t t x δ )1()1()1()(-=-t x t t x δδ等
4. 形如
)()(2)
(3)(2
2t x t y dt t dy dt t y d =++的微分方程，你会求解吗？ 例3：一因果LTI 系统由微分方程)()(6)
(5)(2
2t x t y dt t dy dt
t y d =++描述，给定系统的输入和初始条件如下：)()(t u e t x t -=，)0(y =-0.5，
.50)(0
==t dt
t dy ，确定系统的完全解。

5. LTI 系统的因果性、稳定性，你理解吗？如何用单位冲激响应)(t h 来这两个性质描述系统的这两个性质？
因果性：判决条件：0,0)(<>t t h 稳定性：判决条件：∞<⎰∞
∞-dt t h )(
例4：假设LTI 系统的单位冲激响应为)(t h ，如果系统因果稳定，下列哪些满足：
1）)()(t u e t h t -= 2）)()()(t u e t u e t h t t -+=- 3）)()()(2t u e t u e t h t t --+=等等。

傅里叶级数
6. 周期信号的傅里叶级数表达式，包括级数的系数的计算公式你记清楚了吗？是否会用这个公式完成系数的计算？你是否理解，一个连续的周期信号，在满足狄氏条件时，可以分解成由很多具有谐波关系的周期复指数信号加权和这个道理？ 公式：∑∞
∞-=t jk k e a t x 0)(ω
002
2
)(1
1100ωωωωωk j X T
dt e a T dt e a T a T
T t jk k T
t
jk k k ====
⎰⎰-
-- 例5：),cos(),sin(00t t ωω周期性方波，周期性三角波等的傅里叶级数表示。

例6：考虑一个全波整流器如图所示，其中R=1Ω, C=1F. (1). (9’) 确定信号)(t x 的傅里叶级数系数k a 。

(2). (9’) RC 低通滤波器的输出信号)(t y 是否周期，如果是周期的，确定其傅里叶级数系数k b 。

7. 你知道什么叫基本频率分量、什么叫特征函数？特征函数具体有哪些形式？
8. 你理解这句话吗：若LTI 系统的输入信号是一个特征函数时，其输出信号是与输入相同的特征函数，但是，其幅度要用H(s)或H(j ω)加权。

（7、8两点结合，整理理解）
记住：当系统输入信号t j st e e t x ω或=)(，那么输出t j st e j H e s H t y ωω)()()(或=
{}
∑∞
-∞
=------=
k k t k t u k t u e
t x )]
22()2([
)()
2(23
特征函数：t j st e e ω、或)cos(),sin(00t t ωω。

9. 如果给定一个LTI 系统的输入为周期信号，你会使用相关结论，求解出该系统的输出信号傅里叶级数表达式吗？
记住：输入为周期信号∑∞
∞-=t
jk k e
a t x 0)(ω，那么对于LTI 系统来讲，输出=)(t y ∑∞
∞
-t jk k e a jk H 0)(0ωω
10. 理解周期信号的线谱吗？k a （傅里叶级数系数）通常是关于k 的复函数吗？k 表示什么？ 11. 给你二幅图，一幅图描述的是k a ，另一幅图描述的是k a ∠，你能根据这两幅图，直接写出它所代表的时域信号表达式吗？
强调：周期信号的傅里叶级数系数k a 的真正含义：周期信号的线谱（条线图表示）。

考虑到k a 是关于k 的复函数，借助极坐标表示法，k a 分解为幅度谱（k a ）和相位谱（k a ∠）两部分。

即：
k a j k k e a a ∠=
例7：假设 ω0 = π. 下图给出了连续时间周期信号)(t x 的傅里叶级数系数所对应的频谱结构。

(a) 写出)(t x 的表达式。

(b) 如果)(t x 作用于理想低通滤波器，其频率响应如:
⎩⎨
⎧≤=其它
,
012,1)(π
ωωj H ，确定输出y(t)。

12. 你理解滤波的含义吗？
四种理想滤波器（频率选择性滤波器）的频谱结构需
要掌握。

例7的第二个问题，就是对低通滤波器的频谱特性的考查。

例8：下图描述了一个通信系统的原理，已知信号 x 1(t)和x 2(t)的傅立叶变换分别为X 1(j ω) 和X 2(j ω)，如图(3.b)所示，令 ω1 = 4π, ω2 = 8π。

H 1(j ω)为理想带通滤波器， H 2(j ω)为理想低通滤波器。

为使得信号y(t)等于x 1(t):
(1). 在图中描述信号w(t)的傅立叶变换W(j ω)。

(2). 选择合适的频率ω3。

(3). 描述两个滤波器的频率响应。

•
••
•k
k
a ∠
傅立叶变换及应用
13. 傅里叶变换的定义公式和傅里叶反变换的定义公式你记住了吗？ 见书本公式（4.8）（4.9）
14. 傅立叶变换的时移性质、微分性质、卷积性质、乘法性质你记住了吗？是否会用它们解决问题？ 见表4.1
例9：假设信号x(t)的傅立叶变换为X(j ω), 求1）)cos()()(0t t x t y ω=的傅立叶变换；2）
)2()(-=t x t y 的傅里叶变换。

15. 典型信号的傅里叶变换你记住了多少个？
图
(3)
⊗
⊗
)
cos(t ω)
2t ω)
(1t x )
(2t x (a)
(b)
⊗
)
cos(3t ω
见书本表4.2
例10：求)cos(0t ω，)sin(0t ω，)(t u e t -等的傅里叶变换。

16. 用部分分式分解法求傅里叶反变换，你会了吗？ 例11: 已知信号)(t x 的傅立叶变换为)(ωj X =
)
3)(2(1
++ωωj j ，求其反变换)(t x
17. 傅立叶变换的幅度-相位表达方法，你会了吗？什么是信号的幅度频谱，什么是信号的相位频谱？
见书本习题：6.23
18. 周期信号的傅立叶变换有什么特点，其计算公式是怎样的，你记住了吗？
∑∞
∞-=t
jk k e
a t x 0)(ω
∑∞
∞
--=)(2)(0ωωδπωk a j X k
例12 求)cos(),sin(00t t ωω，）（KT t -∑∞
∞
-δ等周期信号的傅里叶变换。

19. 什么是系统的频率响应？给定系统的微分方程，你能求出它的频率响应吗？你会建立简单的一阶、二阶电路的微分方程吗？你能根据频率响应求得系统的微分方程吗？ 见习题4.19,4.33,4.36
建立如上电路的微分方程。

20. 是否会利用傅立叶变换的相关性质，求某些复杂信号的傅立叶变换？ 见习题4.21,4.25等
21. 给定信号的频谱图（若干个正弦信号构成的一个周期信号），能很快地求得该信号的时域表达式吗？若将这个信号作用于一个系统（滤波器），会求系统的输出信号的频谱及其时域表达式吗？
5. 给定一连续时间周期信号)(t x 的傅里叶变换所对应的频谱)(ωj X 如图所示。

(a) (8’) 写出)(t x 的表达式。

(b) (8’) 如果)(t x 作用于理想低通滤波器其频率响应为: ⎩⎨
⎧≤=其它
,
012,
1)(π
ωωj H
确定输出信号)(t y 。

22. 理解什么是带限信号，什么是时限信号吗？
➢ 带限信号（从频域的角度）：指信号的频谱频带宽度有限； ➢ 时限信号（时域的角度）：信号的时间变量取值范围是有限的。

拉普拉斯变换及应用
23. 拉普拉斯变换和逆变换的定义公式，你记住了吗？ 见书本公式（9.3）及（9.56）
24. 拉普拉斯变换的收敛域的性质理解了吗？尤其是：因果信号的拉普拉斯变换的收敛域，反因果信号的收敛域。

书本上描述的8个性质：
例：求信号)(t x =)()(2t u e t u e t t -+-- 的拉普拉斯变换，确定其收敛域。

25. 用部分分式分解法求逆变换的方法，你会了吗？
例：确定231
)(2++=s s s X 在下述三种情况下的拉普拉斯反变换:
(1). 收敛域： 1}Re{->s ; (2). 收敛域：1}Re{2-<<-s ; (3). 收敛域： 2}Re{-<s 。

习题9.21,9.22
26. 拉普拉斯变换的常用性质掌握了多少？ 见书本表9.1
ω
)
(ωj X π10π
20π20-π10-0)3()
5.1(图：)(t x 的傅里叶变换
)
3()
5.1(
例：已知信号)()(t u e t x t -=的拉普拉斯变换为1
1
)(+=s s X ,求信号)(t y =)()(t u te t tx t -=的拉普拉斯变换。

27. 常用信号的拉普拉斯变换你记住了多少？ 见书本表9.2
28. 什么是有理的拉普拉斯变换表达式？
如：2
873
2)(232+++++=s s s s s s H
29. 系统函数的概念你掌握了吗？系统函数与系统的单位冲激响应是何关系？
dt e t h s H st ⎰∞
∞--=)()(（系统的时域特性向频域特性的转换）
见习题9.31
30. 系统函数的零极点的概念，如何在s 平面上表示系统函数零极点？系统函数的零极点与系统函数的收敛域有何关系？
注：系统函数的极点确定收敛域的边界，但收敛域不包括任何极点。

31. 如何根据系统的零极点图，判断系统的稳定性、因果性？ 书本上的相关结论一定要掌握理解。

32. 如何根据系统的微分方程求系统函数？或者反过来。

方法：对微分方程两端同时进行拉普拉斯变换，并借助拉普拉斯变换的相关性质，实质：系统的时域特性向频域特性的转换。

33. 如何利用系统函数，求系统在给定输入信号作用时的系统的响应信号？
1：给定一个因果LTI 系统，如果其输入和输出信号分别为)()(t u e t x t -=,
)()61
2131()(42t u e e e t y t t t ---+-=,
(a). 确定系统的系统函数H(s); (b).判断该系统是否稳定，为什么？
(c). 如果输入信号为)()(2t u e t x t -=, 确定相应的输出信号y(t)。

2 考虑一个因果连续LTI 系统，其输入输出关系有下列方程描述:
)()(3)(4)(2
2t x t y dt t dy dt
t y d =++ (a). (4’) 确定系统函数H(s)；
(b). (4’) 画出H(s)的零极点图。

(c). (4’) 系统是否稳定? 为什么?
(d). (8’) 假设输入)(
x t-
t
=,确定响应的系统输出响应)(t
e
)(t
u
y。

34. 系统的频率响应与系统函数之间的关系，你理解了吗？
ωj
ω
(
)
((系统因果稳定)
=)
s
s
H
j
H=
35. 给定一个系统的零极点图和其他辅助条件，你能确定该系统的系统函数吗？
见书本上例题9.26（上课重点讲过）
希望各位同学认真复习，顺利通过考试！
黄松柏
2010.6.21。