上海市浦东新区建平中学2020届高三下学期4月模拟考试试题 数学【含解析】
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【点睛】本题考查不等式的求解、集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题．
2.函数 的最小正周期为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先化简 .再根据公式 即可求出最小正周期.
【详解】因为函数 .所以最小正周期为： .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了正切函数的最小正周期的求法，属于基础题.
A. “ ”是α成立的充分条件
B. “ ”是α成立的必要条件
C. “ ”是α成立的充分条件
D. “ ”是α成立的必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义，利用排除法进行判断即可.
【详解】当 ， ，满足 成立，但在区间 内只有一个整数1，故充分性不成立，则A错误，
当 ， ，满足 成立，但在区间 内只有一个整数1，故充分性不成立，则C错误，
先求出基本事件总数 ，其中甲、乙都抢到红包包含的基本事件个数 ，由此能求出其中甲、乙都抢到红包的概率．
【详解】某微信群中四人同时抢 个红包（金额不同），假设每人抢到的几率相同且每人最多抢一个，
则基本事件总数 ，
其中甲、乙都抢到红包包含的基本事件个数 ，
∴其中甲、乙都抢到红包的概率 ．
故答案为 .
【点睛】本题考查古典概型，属于基础题.
【答案】
【解析】
试题分析：曲线曲线 可化为 ，可得曲线表示以 为圆心，半径为 的圆，又 是曲线上一点，则 ，即点 两点连线的斜率，当 的坐标为 时， 有最小值为 ，当 的坐标为 时， 有最大值为 ，所以 的取值范围为 ．
考点：简单的线性规划的应用，圆的参数方程．
【方法点晴】本题主要考查了曲线的参数与普通方程的联系，两者可进行互化，可根据实际情况选择不同的方程进行求解，同时考查简单的线性规划求最值，体现了转化与化归的思想方法，属于中档试题，本题的解答中求出圆的普通方程，利用 的几何意义，转化为圆上的点与坐标原点之间连线的斜率问题，求出直线的斜率的范围，即可得到结论．
【详解】由 可得 ，又 ，即
，求得
故答案为：
【点睛】本题考查指数和对数的互化，换底公式的用法，对数的运算性质，属于基础题
6.设常数 ，命题“存在 ，使 ”为假命题，则a的取值范围为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
将条件转化为任意 ， 恒成立，此时有 ，从而解出实数a的取值范围.
【详解】命题：“存在 ，使 ”为假命题，
取 的中点E,连接 , ，则 (或其补角)为所求的异面直线所成角的大小,运用解直角三角形,计算即可得到所求值.
【详解】作图如下：
依题意得,
面 ,
就是侧棱 与底面 所成的角 ,
由 ,
则 ,
由D为 中点,
，
即有 .
由 ，
即有 ,
所以
即侧棱 与底面 所成角为 .
取 中点 ，连接 ,
则 (或其补角)为所求的异面直线所成角的大小.
三、解答题（满分76分）
17.如图，三棱柱中 ，它的体积是 底面△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3， 在底面的射影是D，且D为BC的中点.
(1)求侧棱 与底面ABC所成角的大小；
(2)求异面直线 与 所成角的大小.
【答案】
【解析】
【分析】
面 , 就是侧棱 与底面 所成的角 ,运用棱柱的体积公式和解直角三角形,即可得到所求值.
上海市浦东新区建平中学
一、填空题.
1.已知 ， ，则 ________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出 与 中不等式的解集分别确定出 与 ，找出两集合的交集即可．
【详解】集合 中不等式，当 时，解得： ，此时 ，
当 时，解得： ，无解，
，
集合 中不等式变形得： ，即 ，
解得： ，即 ，
则
故答案为： ．
11.已知 ，若数列 、 、 、 是一个单调递增数列，则 的最大值为____.
【答案】
【解析】
【分析】
先由展开式通项求得 ，根据 可得 最大，由此求得 的最大值.
【详解】 ，
展开式通项为 ， ，
由于数列 、 、 、 是一个单调递增数列，
，即 ，解得 ，
因此， 的ຫໍສະໝຸດ Baidu大值为 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查项的系数最大值的求法，属于中档题．
命题④不正确，缺少两条相交直线的条件．
15.已知关于 的一元二次不等式 的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的
整数 的值之和是（ ）
A. 13B. 18C. 21D. 26
【答案】C
【解析】
设 ，其图象是开口向上，对称轴是x=3的抛物线，如图所示．
若关于x的一元二次不等式 的解集中有且仅有3个整数，则
③如果直线 与平面 内的两条直线都垂直，则 ⊥ ；
④如果平面 内的两条直线都平行于平面 ，则 ∥ ．其中正确的个数是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
本题考查空间线面关系的判定和性质．
解答：命题①正确，符合面面垂直的判定定理．
命题②不正确，缺少 条件．
命题③不正确，缺少两条相交直线都垂直的条件．
联立方程 ，消去y得： ，
∴ ， ， ，
又 ， ， ，
∴ ，
由题意知
，
∵ ，∴ ，
即 ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
故存在点 ，使得以 ， 为邻边的平行四边形是菱形，m的取值范围为 .
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆，解决此类问题的关键是把直线代入椭圆利用韦达定理，转化成向量之间的关系，属于中等题.
由 面 ,
,
面 面 ,
所以 面 ,
故 ,
,
所以所求异面直线 与 所成角为 .
【点睛】本题考查空间角的求法.主要考查直线和平面所成的角和异面直线所成的角的求法;考查直线与平面的位置关系;属于中档题;
线面角和异面直线所成角的求解步骤：
作出所要求的角;
证明所作的角即为所求的角（或其补角）；
在三角形中，通过解三角形求角的大小或其角的三角函数值.
【详解】由 得直线的一般式方程为： ，所以直线 的一个法向量为 .
故答案为 .
【点睛】本题主要考查三阶行列式的运算和直线的法向量的问题，属中等难度题.
5.若实数 满足 ，且 ，则实数 值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
现结合指数与对数的互化公式，表示出 ，再结合换底公式表示出 ，最后结合对数运算即可求解
若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，
则有f（x1+x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=2x1+x2﹣1﹣[（2x1﹣1）+（2x2﹣1）]=（2x2﹣1）（2x1﹣1）≥0
所以过球心O作小圆的垂线，垂足 是AC的中点． ，AC=3 ，
∴BC=3，即BC=OB=OC．∴∠BOC= ，
则B、C两点的球面距离= ×3=π．
考点：球的几何特征，球面距离．
点评：中档题，解有关球面距离的问题，最关键是突出球心，找出数量关系．
10.设 是曲线 （ 为参数， ）上任意一点，则 的取值范围是________．
12.函数 的图象与函数 的图象所有交点的横坐标之和等于2012，则满足条件的整数k的值是_________.
【答案】1002或1003
【解析】
【分析】
由题意可得函数 的图象与函数 的图象所有交点成对出现，
且每一对关于点 对称，结合所有横坐标之和等于2012即可得到k的值.
【详解】解：函数 的图象关于点 对称，函数 的图象也关于点 对称，如图所示：
（2）先设点P，Q的坐标以直线l的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到P，Q横坐标的和与积，再利用菱形的对角线垂直得到向量数量为0，将坐标代入后化简得到m与k的关系式，可求出m的取值范围.
【详解】解：（1）∵点E在椭圆上，且 ，
∴ ， ，
又∵定点 在椭圆上，∴ ，
∴ ，
∴椭圆C的方程为： ；
（2）假设存在点 满足条件，设 ， ，直线l的方程为： ，
故函数 的图象与函数 的图象所有交点成对出现，
且每一对关于点 对称，
因为他们的横坐标之和为2012，当 时，它们共有1006对交点，
所以 或 ，
解得 或 .
故答案为：1002或1003.
【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，属于中等题.
二、选择题（共有4题）
13.已知α：区间 内恰含两个整数.则以下结论正确的是（ ）
8.如果函数 的图象关于点 中心对称，那么 的最小值为_____.
【答案】
【解析】
详解】由 得图象关于点 中心对称知，
，即 ，
即 .因此， 的最小值为
.
故答案为
9.如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点， ， ，球心O到平面ABC的距离是 ，则B、C两点的球面距离是______．
【答案】
【解析】
试题分析：由已知，AC是小圆的直径．
（2）若f（x）为理想函数，求f（x）的最小值和最大值；
（3）若f（x）为理想函数，假设存在x0∈[0，1]满足f[f（x0）]=x0，求证：f（x0）=x0．
【答案】（1）是；（2）f（x）取得最小值2，f（x）取得最大值3；（3）见解析．
【解析】
【详解】（1）①显然f（x）=2x﹣1在[0，1]上满足f（x）≥0；②f（1）=1．
即 恒成立，必须 ，
即： ，解得 ，
故实数a的取值范围为 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查了一元二次不等式的应用，体现了等价转化的思想，属于中等题.
7.某微信群中四人同时抢 个红包（金额不同），假设每人抢到的几率相同且每人最多抢一个，则其中甲、乙都抢到红包的概率为 _____.
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】解：设圆心为F，则F为抛物线 的焦点，该抛物线的准线方程为 ，设 ，由抛物线的定义： ，要使 最小，则 需最大，
如图
最大时，经过圆心F，且圆F的半径为1，
∴ ，且 .
∴ ，
令 ，则 ，
∴ ，当 时取“=”，此时 .
∴ 的最小值为4.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程、焦点坐标公式、准线方程、抛物线的定义、圆的标准方程，属于中等题.
3.计算： _________.
【答案】
【解析】
【分析】
将原数列极限变成 ，根据 ，从而可求出原数列极限的值.
【详解】 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了求极限，解决此类问题关键是化简，属于基础题.
4.直线 的方程为 ，则直线 的一个法向量是________.
【答案】
【解析】
【分析】
先将三阶行列式化简得出直线的一般式方程，再求出直线 的一个法向量即可.
，即 ，
解得5<a⩽8，又a∈Z，∴a=6，7，8.
则所有符合条件的a的值之和是6+7+8=21.
故选C.
16.已知点 ，点P在曲线 上运动，点Q在曲线 上运动，则 的最小值为（ ）
A. B. 4C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
设圆心为F，可知F为抛物线 的焦点，并且 最小时， 经过圆心F，设 ，则 ， ，可得 ，换元后利用基本不等式求最值即可.
20.对定义在[0，1]上的函数f（x），如果同时满足以下三个条件：
①对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．
则称函数f（x）为理想函数．
（1）判断g（x）=2x﹣1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并说明理由；
（2）依题意 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 .
解得 ，所以 ，当 时取等号，即 的最大值为14.
【点睛】本题主要考查了解三角形，解三角形是高考重点考查的内容，正确变形合理转化，把涉及到的量转化到一个三角形内求解，涉及求最值时可以适当地选取变量，把所求最值用变量表示，属于中等题.
19.已知椭圆C： 经过定点 ，其左右集点分别为 ， 且 ，过右焦 且与坐标轴不垂直的直线l与椭圈交于P，Q两点.
18.四边形 如图所示，已知 ， .
（1）求 的值；
（2）记 与 的面积分别是 与 ，求 的最大值.
【答案】（1） （2）最大值为14
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理，求出 ，即可求 的值；
（2）求出 的表达式， ，即可求 的最大值.
【详解】解：（1）在 中，由余弦定理得 ，
在 中，同理可得 ，
所以 .
（1）求椭圆C的方程：
（2）若O为坐标原点，在线段 上是否存在点 ，使得以 ， 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） （2）存在，m的取值范围为
【解析】
【分析】
（1）由椭圆的定义可求出a的值，再把点E的坐标代入椭圆方程，即可求出b的值，从而得到椭圆C的方程；
若区间 内恰含两个整数，则满足 ，故B正确，
当 ， 时，满足 成立，但在区间 内有3个整数0，1，2，故必要性不成立，则D错误，
故选：B.
【点睛】本题主要充分条件和必要条件的定义，属于基础题.
14. 在空间给出下列四个命题：
①如果平面 内的一条直线 垂直于平面 内的任意一条直线，则 ⊥ ；
②如果直线 与平面 内的一条直线平行，则 ∥ ；
2.函数 的最小正周期为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先化简 .再根据公式 即可求出最小正周期.
【详解】因为函数 .所以最小正周期为： .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了正切函数的最小正周期的求法，属于基础题.
A. “ ”是α成立的充分条件
B. “ ”是α成立的必要条件
C. “ ”是α成立的充分条件
D. “ ”是α成立的必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义，利用排除法进行判断即可.
【详解】当 ， ，满足 成立，但在区间 内只有一个整数1，故充分性不成立，则A错误，
当 ， ，满足 成立，但在区间 内只有一个整数1，故充分性不成立，则C错误，
先求出基本事件总数 ，其中甲、乙都抢到红包包含的基本事件个数 ，由此能求出其中甲、乙都抢到红包的概率．
【详解】某微信群中四人同时抢 个红包（金额不同），假设每人抢到的几率相同且每人最多抢一个，
则基本事件总数 ，
其中甲、乙都抢到红包包含的基本事件个数 ，
∴其中甲、乙都抢到红包的概率 ．
故答案为 .
【点睛】本题考查古典概型，属于基础题.
【答案】
【解析】
试题分析：曲线曲线 可化为 ，可得曲线表示以 为圆心，半径为 的圆，又 是曲线上一点，则 ，即点 两点连线的斜率，当 的坐标为 时， 有最小值为 ，当 的坐标为 时， 有最大值为 ，所以 的取值范围为 ．
考点：简单的线性规划的应用，圆的参数方程．
【方法点晴】本题主要考查了曲线的参数与普通方程的联系，两者可进行互化，可根据实际情况选择不同的方程进行求解，同时考查简单的线性规划求最值，体现了转化与化归的思想方法，属于中档试题，本题的解答中求出圆的普通方程，利用 的几何意义，转化为圆上的点与坐标原点之间连线的斜率问题，求出直线的斜率的范围，即可得到结论．
【详解】由 可得 ，又 ，即
，求得
故答案为：
【点睛】本题考查指数和对数的互化，换底公式的用法，对数的运算性质，属于基础题
6.设常数 ，命题“存在 ，使 ”为假命题，则a的取值范围为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
将条件转化为任意 ， 恒成立，此时有 ，从而解出实数a的取值范围.
【详解】命题：“存在 ，使 ”为假命题，
取 的中点E,连接 , ，则 (或其补角)为所求的异面直线所成角的大小,运用解直角三角形,计算即可得到所求值.
【详解】作图如下：
依题意得,
面 ,
就是侧棱 与底面 所成的角 ,
由 ,
则 ,
由D为 中点,
，
即有 .
由 ，
即有 ,
所以
即侧棱 与底面 所成角为 .
取 中点 ，连接 ,
则 (或其补角)为所求的异面直线所成角的大小.
三、解答题（满分76分）
17.如图，三棱柱中 ，它的体积是 底面△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3， 在底面的射影是D，且D为BC的中点.
(1)求侧棱 与底面ABC所成角的大小；
(2)求异面直线 与 所成角的大小.
【答案】
【解析】
【分析】
面 , 就是侧棱 与底面 所成的角 ,运用棱柱的体积公式和解直角三角形,即可得到所求值.
上海市浦东新区建平中学
一、填空题.
1.已知 ， ，则 ________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出 与 中不等式的解集分别确定出 与 ，找出两集合的交集即可．
【详解】集合 中不等式，当 时，解得： ，此时 ，
当 时，解得： ，无解，
，
集合 中不等式变形得： ，即 ，
解得： ，即 ，
则
故答案为： ．
11.已知 ，若数列 、 、 、 是一个单调递增数列，则 的最大值为____.
【答案】
【解析】
【分析】
先由展开式通项求得 ，根据 可得 最大，由此求得 的最大值.
【详解】 ，
展开式通项为 ， ，
由于数列 、 、 、 是一个单调递增数列，
，即 ，解得 ，
因此， 的ຫໍສະໝຸດ Baidu大值为 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查项的系数最大值的求法，属于中档题．
命题④不正确，缺少两条相交直线的条件．
15.已知关于 的一元二次不等式 的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的
整数 的值之和是（ ）
A. 13B. 18C. 21D. 26
【答案】C
【解析】
设 ，其图象是开口向上，对称轴是x=3的抛物线，如图所示．
若关于x的一元二次不等式 的解集中有且仅有3个整数，则
③如果直线 与平面 内的两条直线都垂直，则 ⊥ ；
④如果平面 内的两条直线都平行于平面 ，则 ∥ ．其中正确的个数是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
本题考查空间线面关系的判定和性质．
解答：命题①正确，符合面面垂直的判定定理．
命题②不正确，缺少 条件．
命题③不正确，缺少两条相交直线都垂直的条件．
联立方程 ，消去y得： ，
∴ ， ， ，
又 ， ， ，
∴ ，
由题意知
，
∵ ，∴ ，
即 ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
故存在点 ，使得以 ， 为邻边的平行四边形是菱形，m的取值范围为 .
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆，解决此类问题的关键是把直线代入椭圆利用韦达定理，转化成向量之间的关系，属于中等题.
由 面 ,
,
面 面 ,
所以 面 ,
故 ,
,
所以所求异面直线 与 所成角为 .
【点睛】本题考查空间角的求法.主要考查直线和平面所成的角和异面直线所成的角的求法;考查直线与平面的位置关系;属于中档题;
线面角和异面直线所成角的求解步骤：
作出所要求的角;
证明所作的角即为所求的角（或其补角）；
在三角形中，通过解三角形求角的大小或其角的三角函数值.
【详解】由 得直线的一般式方程为： ，所以直线 的一个法向量为 .
故答案为 .
【点睛】本题主要考查三阶行列式的运算和直线的法向量的问题，属中等难度题.
5.若实数 满足 ，且 ，则实数 值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
现结合指数与对数的互化公式，表示出 ，再结合换底公式表示出 ，最后结合对数运算即可求解
若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，
则有f（x1+x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=2x1+x2﹣1﹣[（2x1﹣1）+（2x2﹣1）]=（2x2﹣1）（2x1﹣1）≥0
所以过球心O作小圆的垂线，垂足 是AC的中点． ，AC=3 ，
∴BC=3，即BC=OB=OC．∴∠BOC= ，
则B、C两点的球面距离= ×3=π．
考点：球的几何特征，球面距离．
点评：中档题，解有关球面距离的问题，最关键是突出球心，找出数量关系．
10.设 是曲线 （ 为参数， ）上任意一点，则 的取值范围是________．
12.函数 的图象与函数 的图象所有交点的横坐标之和等于2012，则满足条件的整数k的值是_________.
【答案】1002或1003
【解析】
【分析】
由题意可得函数 的图象与函数 的图象所有交点成对出现，
且每一对关于点 对称，结合所有横坐标之和等于2012即可得到k的值.
【详解】解：函数 的图象关于点 对称，函数 的图象也关于点 对称，如图所示：
（2）先设点P，Q的坐标以直线l的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到P，Q横坐标的和与积，再利用菱形的对角线垂直得到向量数量为0，将坐标代入后化简得到m与k的关系式，可求出m的取值范围.
【详解】解：（1）∵点E在椭圆上，且 ，
∴ ， ，
又∵定点 在椭圆上，∴ ，
∴ ，
∴椭圆C的方程为： ；
（2）假设存在点 满足条件，设 ， ，直线l的方程为： ，
故函数 的图象与函数 的图象所有交点成对出现，
且每一对关于点 对称，
因为他们的横坐标之和为2012，当 时，它们共有1006对交点，
所以 或 ，
解得 或 .
故答案为：1002或1003.
【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，属于中等题.
二、选择题（共有4题）
13.已知α：区间 内恰含两个整数.则以下结论正确的是（ ）
8.如果函数 的图象关于点 中心对称，那么 的最小值为_____.
【答案】
【解析】
详解】由 得图象关于点 中心对称知，
，即 ，
即 .因此， 的最小值为
.
故答案为
9.如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点， ， ，球心O到平面ABC的距离是 ，则B、C两点的球面距离是______．
【答案】
【解析】
试题分析：由已知，AC是小圆的直径．
（2）若f（x）为理想函数，求f（x）的最小值和最大值；
（3）若f（x）为理想函数，假设存在x0∈[0，1]满足f[f（x0）]=x0，求证：f（x0）=x0．
【答案】（1）是；（2）f（x）取得最小值2，f（x）取得最大值3；（3）见解析．
【解析】
【详解】（1）①显然f（x）=2x﹣1在[0，1]上满足f（x）≥0；②f（1）=1．
即 恒成立，必须 ，
即： ，解得 ，
故实数a的取值范围为 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查了一元二次不等式的应用，体现了等价转化的思想，属于中等题.
7.某微信群中四人同时抢 个红包（金额不同），假设每人抢到的几率相同且每人最多抢一个，则其中甲、乙都抢到红包的概率为 _____.
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】解：设圆心为F，则F为抛物线 的焦点，该抛物线的准线方程为 ，设 ，由抛物线的定义： ，要使 最小，则 需最大，
如图
最大时，经过圆心F，且圆F的半径为1，
∴ ，且 .
∴ ，
令 ，则 ，
∴ ，当 时取“=”，此时 .
∴ 的最小值为4.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程、焦点坐标公式、准线方程、抛物线的定义、圆的标准方程，属于中等题.
3.计算： _________.
【答案】
【解析】
【分析】
将原数列极限变成 ，根据 ，从而可求出原数列极限的值.
【详解】 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了求极限，解决此类问题关键是化简，属于基础题.
4.直线 的方程为 ，则直线 的一个法向量是________.
【答案】
【解析】
【分析】
先将三阶行列式化简得出直线的一般式方程，再求出直线 的一个法向量即可.
，即 ，
解得5<a⩽8，又a∈Z，∴a=6，7，8.
则所有符合条件的a的值之和是6+7+8=21.
故选C.
16.已知点 ，点P在曲线 上运动，点Q在曲线 上运动，则 的最小值为（ ）
A. B. 4C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
设圆心为F，可知F为抛物线 的焦点，并且 最小时， 经过圆心F，设 ，则 ， ，可得 ，换元后利用基本不等式求最值即可.
20.对定义在[0，1]上的函数f（x），如果同时满足以下三个条件：
①对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．
则称函数f（x）为理想函数．
（1）判断g（x）=2x﹣1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并说明理由；
（2）依题意 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 .
解得 ，所以 ，当 时取等号，即 的最大值为14.
【点睛】本题主要考查了解三角形，解三角形是高考重点考查的内容，正确变形合理转化，把涉及到的量转化到一个三角形内求解，涉及求最值时可以适当地选取变量，把所求最值用变量表示，属于中等题.
19.已知椭圆C： 经过定点 ，其左右集点分别为 ， 且 ，过右焦 且与坐标轴不垂直的直线l与椭圈交于P，Q两点.
18.四边形 如图所示，已知 ， .
（1）求 的值；
（2）记 与 的面积分别是 与 ，求 的最大值.
【答案】（1） （2）最大值为14
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理，求出 ，即可求 的值；
（2）求出 的表达式， ，即可求 的最大值.
【详解】解：（1）在 中，由余弦定理得 ，
在 中，同理可得 ，
所以 .
（1）求椭圆C的方程：
（2）若O为坐标原点，在线段 上是否存在点 ，使得以 ， 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） （2）存在，m的取值范围为
【解析】
【分析】
（1）由椭圆的定义可求出a的值，再把点E的坐标代入椭圆方程，即可求出b的值，从而得到椭圆C的方程；
若区间 内恰含两个整数，则满足 ，故B正确，
当 ， 时，满足 成立，但在区间 内有3个整数0，1，2，故必要性不成立，则D错误，
故选：B.
【点睛】本题主要充分条件和必要条件的定义，属于基础题.
14. 在空间给出下列四个命题：
①如果平面 内的一条直线 垂直于平面 内的任意一条直线，则 ⊥ ；
②如果直线 与平面 内的一条直线平行，则 ∥ ；