带余数的除法

带余数的除法
雨点不停地滴，连石头都能穿透，不仅是石头，连钻石都保不住。

――哈代知识纵横
古代数学书《孙子算经》里，最引人瞩目的是“物不知其数”问题的算法。

这种算法
有很多有趣的名称，如“秦王暗点兵”，“韩信点兵”等等，人们还编了很多美妙动人的
故事。

实质上，这些算法正是带余数除法的表现形式。

两个整数相乘时，不一定都能够相乘，当无法相乘时，就发生了余数。

被除数、除数、商和余数之间存有下面的关系：
被除数=除数×商＋余数（0≤余数＜除数）。

【链接】理解带余数除法意义时，应注
意两点：（1）整除是带余数除法的特殊情况：（2）余数总小于除数；（3）除数不能为零；（4）被除数与余数的差能被除数整除，也能被商整除。

研究带余数除法可以转化为
整除问题。

例题求解
基准1两个数相乘得商15，余数就是11，被除数、除数、商与余数的和就是309，那么除数就是多少？
思路点拨将带余数除法转化为整除问题，并由和倍问题可求出除数。

基准2（1）班同学买了310个本子，如果让给每个同学数量相同的本子后还余下37本，且无法已连续平均分，问（1）班存有多少个同学？
思路点拨由题意知，人数一定是310与37的差的约数。

基准3自然数a除以7余3，自然数b除7余3，未知a大于b，那么a减至b的差除以7，余数就是多少？
思路点拨将自然数a、b分别用带余数除法式子表示出来，顺从题意便知所问。

【链接】基准3评析：（1）如果两个自然数除以自然数a的余数相同，那么这两个
自然数的差一定能够被自然数a相乘。

反之，如果两个自然数的差能被自然数a相乘，那
么这两个自然数除以自然数a的余数相同。

（2）自然数a除以自然数c余数是m，自然数b除以自然数c余数是n，a减b的差
除以c的余数等于m减n的差除以c的余数（a>b）。

基准4一个三位数被37除余1，被36除余19，那么这个三位数就是多少？
思路点拨将所求三位数可写成n=37a+1，并由第二个条件提示，可转化为n=36a+
（a+1），注意到：n被36除的余数等于（a+1）除以36的余数，第二次建立新的带余数
除法算式，便可求出所求三位数。

基准5一个数除以15的商是余数的4倍，那么这个数就是余数的多少倍？思路指点
此题中被除数、商和余数都没轻易说我们，何不我们利用拎余数乘法中四个量之间的关系
xi出来被除数就是除数的多少倍。

例6有一篮苹果不足60个，平均分给5名小朋友，多出一个；若平均分给6名小朋友，最后多出3个；若平均分给7名小朋友，最后却多出2个。

问这篮苹果一共有多少个？思路点拨将符合三种分法的数一一列举出来，得到三个数列，其中一定有一个数满足题目
的三个条件。

例7“物不知其数”问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五之数剩三，七七数之剩二，问物几何？思路点拨略
基准8某数被5除余2，被7除余6，被11除余9，求该数最小值就是多少？
思路点拨从7和11的倍数中找到被5除余1的最小数，从5和7的倍数中找到被11
除余1的最小数，从5和11的倍数中找到被7除余1的最小数，观察到要求的数被5、7、11除的余数是2、6、9，有剩余定理可知该数最小值。

学力训练基础打牢
1．474除以一个两位数的余数是6，求适合这个条件的所有两位数。

2．哪些数除以7能够使商和余数相同。

3．两个整数相除得商是12，余数是26，被除数、除数、商与余数的和等于454，问
除数是几？
4存有一个大于200的数，被7除余2，被8除余3，被9除余1，这个数就是多少？
5.一个四位数被131除时余112，被132除时余98，求这个四位数。

6.一个两位数除321，余数就是48，这个两位数就是多少？
7.自然数a除以13余6，自然数b除以13余12，问a和b的和除以13余几？
能力开拓
8.写五个不同的自然数，使其中任意三个自然数的和能被3整除，这五个自然数的和
至少是多少？
9.从4至100的自然数中，除以4余数都就是1的各个数的和就是多少？
10.有四个不同的自然数，其中任意两个数的和是2的倍数，任意三个数的和是3的
倍数，要使这四个数的和尽可能小，这四个数的和是多少？
11.一个数除以7余数就是2，例如将被除数不断扩大9倍，那么余数就是几？
12.有一个两位数，用它除58余2，除73余3，除85余1，求这个两位数。

13.用某数除1019余4，除1816严重不足4，这个数最小就是多少？
14.将既能被5整除又能被7整除的自然数自35起从小到大排成一行，共有1991个数，这1991个数的和被11除的余数是多少？
综合技术创新
15.70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0、1、3、8、21、55??，最右边的一个数被6除余几？
16.甲、乙两个人搞同一个数的拎余数法，甲将其除以8，乙将其除以9，甲税金的商数余乙KMH的余数之和为13，谋甲税金的余数。